高中数学经典的解题技巧和方法（数列求和及综合应用）【编者按】数列求和及综合应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下数列求和及综合应用的经典解题技巧。
首先，解答数列求和及综合应用这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：
1．了解数列求和的基本方法。
2．能在具体问题情景中识别数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应问题。
3．了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。
好了，搞清楚了数列求和及综合应用的上述内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。
一、可转化为等差、等比数列的求和问题
考情聚焦：1．可转化为等差或等比数列的求和问题，已经成为高考考查的重点内容之一。
2．该类问题出题背景选择面广，易与函数方程、递推数列等知识综合，在知识交汇点处命题。
3．多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。
解题技巧：某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有：
1．凑配、消项变换——如将递推公式（q、d为常数，q≠0，≠1）。通过凑配变成
；或消常数转化为
2．倒数变换—如将递推公式（c、d为非零常数）取倒数得
3．对数变换——如将递推公式取对数得
4．换元变换——如将递推公式（q、d为非零常数，q≠1，d≠1）变换成
，令，则转化为的形式。
例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１7）数列{n a } 中a ＝13，前n 项和n S 满足1n S +-n S ＝1
13n +??
?
??
（n ∈*
N ）.
( I ) 求数列{n a }的通项公式n a 以及前n 项和n S ；
（II ）若S 1, t ( S 1+S 2 ), 3( S 2+S 3 ) 成等差数列，求实数t 的值。
【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数方程思想、化归转化思想。
【思路点拨】第一步先求n a 的通项，可知n a 为等比数列，利用等比数列的前n 项和求解出n S ；第二步利用等差中项列出方程求出t
【规范解答】 ( I ) 由1
113n n n S S ++??
-= ?
??
得()1
113n n a n N +*
+??
=∈ ?
??
，又113a =，故()13n
n a n N *
??=∈ ???
，
从而()11123n
n S n N *
????=-∈?? ?????
??
（II ）由( I ) 1231413
,,,3927
S S S =
==从而由S 1, t ( S 1+S 2 ), 3( S 2+S 3 ) 成等差数列可得14131432,392739t ????
+?+=?+ ? ?????
解得2t =。 【方法技巧】要求数列通项公式，由题目提供的是一个递推公式，如何通过递推公式来求数列的通项。题目要求的是项的问题，这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题。一般地，含有n S 的递推关系式，一般利用11,
1
,2
n n n S n a S S n -=?
=?
-≥?化“和”为“项”。
二、错位相减法求和
考情聚焦：1．错位相减法求和，是高中数学中重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。 2．该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题。 3．多以解答题的形式出现，属于中、高档题。 解题技巧：几种求通项及求和方法 （1）已知
，求
可用叠加法，即
（2）已知，求可用叠乘法，即
（3）设{
}为等差数列，
为等比数列，求数列
的前n 项和可用错位相减法。
例2：（2010 ·海南宁夏高考·理科T17）设数列{}n a 满足12a =， （Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式：
（Ⅱ）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前n 项和的求法，解决本题的关键是仔细观察形式，找到规律，利用等比数列的性质解题.
【思路点拨】由给出的递推关系，求出数列的通项公式，在求数列的前n 项和. 【规范解答】（Ⅰ)由已知，当1n ≥时，
[]111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+
+-+
21232(1)13(222)22n n n --+-=++
++=
而12a =，满足上述公式，所以{}n a 的通项公式为21
2n n a -=. （Ⅱ）由212n n n b na n -==?可知，
35211222322n n n s -=?+?+?+
+? ①
从而 2
3572121222322n n n s +=?+?+?+
+? ②
①-②得
3
5
21212
(12)22222n n n n s -+-=+++
+-?
即 211
(31)229
n n S n +??=
-+?? 【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和. 三、裂项相消法求和
考情聚焦：1．裂项相消求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。
2．该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题。 3．多以解答题的形式出现，属中、高档题目。 解题技巧：裂项求和的几种常见类型
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
；
（5）若
是公差为d 的等差数列，则
；
（6）；
（7）
（8）
。
例3：（2010·山东高考理科·Ｔ18）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．
（1）求n a 及n S ；（2）令n b =
2
11
n a -(n ∈N *
)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.
【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求n a 及n S ；
(2)由(1)求出n b 的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.
【规范解答】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
11
27
21026a d a d +=??
+=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（
；n S =n(n-1)
3n+22
?=2n +2n . （2）由（1）知2n+1n a =，所以b n =
211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111
(-)4n n+1
?，
所以n T =
111111(1-+++-)4223n n+1?-=11
(1-)=
4n+1?n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =
n
4(n+1)
.
【方法技巧】数列求和的常用方法：
1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比1≠q 的讨论.
2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.
3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.
5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广). 四、与不等式有关的数列问题
考情聚焦：1．数列综合问题，特别是数列与不等式的综合问题是高考中经常考查的重要内容。 2．该类问题可与函数的单调性、基本不等式、导数函数等知识交汇，综合命题。 3．多以解答题的形式出现，属高档题。
例4：（2010·天津高考文科·Ｔ22）在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *
N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等
差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）记222
2323n n
n T a a a =+++，证明n 32n T 2n 2<-≤≥（
2）. 【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，
考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法． 【思路点拨】（Ⅰ）（Ⅱ）应用定义法证明、求解；（Ⅲ）对n 分奇数、偶数进行讨论．
【规范解答】（I ）由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，54412a a =+=，
65618a a =+=。从而
65543
2
a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列． （II ）由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈
所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+- ()441...41k k =+-++? ()21,*k k k N =+∈.
由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而2
22122k k a a k k +=-=.
所以数列{}n a 的通项公式为22
1
,2
,2
n n n a n n ?-??=????为奇数为偶数
或写为()21124n n n a --=+，*n N ∈． （III ）由（II ）可知()2121k a k k +=+，2
22k a k =，以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n 为偶数时，设n=2m ()*m N ∈
若1m =，则2
222n
k k
k n a =-=∑，若2m ≥，则
()()()2
2
222112211112212214441221n
m m m
m k k k k k k k k k k k k k k a a a k k k --=====++++=+=++∑∑∑∑∑ ()()21111441111222212121m m k k k k m m k k k k k k --==??+??
??=++=++-?? ???++-???
???∑∑ ()11312211222m m n m n
??=+-+
-=-- ???. 所以223122n
k k k n a n =-=+∑，从而2
2322,4,6,8,....2n
k k
k n n a =<-<=∑
（２）当n 为奇数时，设()21*n m m N =+∈．
()()()22
2222221212131
42221n
m k k k k
m m m k k m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ ()1131
4222121
m n m n =+
-=---+ 所以2231221n
k k k n a n =-=++∑，从而2
2322,3,5,7,....2n k k
k n n a =<-<=∑
综合（1）和（2）可知，对任意2,*,n n N ≥∈有
3
2 2.2
n n T <-≤
数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?
例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+
例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠
放缩法典型例题 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：
解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．．
∴．3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，
高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x
由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积
数列求和方法总结 一、公式法 ()()111122 n n a a n n n .na d +-==+等差型 S ()111111n n na q a q q q =??=-?≠?-? ，2.等比型 S ， →3.分式型/阶乘型 裂项相消法 () 1111111n n n n n a a a d a a ++??=- ???? ，其中为等差； ( 12n a d = ，其中为等差； ()()() ()113=+1+1+1n n n!n !n!.n !n!n !-?=- ， ()()()( )1111153759 11121121231233n n . .,n N n *???++++∈+++++++KK KK K KK 例1：求下列各数列的前项和S ，，， 二、等差等比混合型 (){}=n n n a b kn b q ??+?→ 1.等差等比 错位相减法 n n S 例2：求下列各数列的前项和 ()()112n n .a n =+? ()()12312n n .a n ??=-? ??? ()()()3312n n .a n =-+?-
{}111122n n k n b a q a q ±+++→ 2.等差等比 分组求和 n n S 例3：求下列各数列的前项和 ()1111123248 .,,,KK ()2211121333333 n n .,,,,+++KK → 3.奇偶项不同 分组求和 n n S 例4：求下列各数列的前项和 ()()()1115913143n n .n -=-+-++--K 相邻异号 例：S ()11211n n n .a ,a a ,S -=+= 和为常数 例：求()122314=+2n n n .a ,a ,a a ,S -== 差为常数 例：求()12+11142=63n n n n n .a a ,a a ,a S ??== ??? 比为常数 例：，求及 三、倒叙相加/相乘型 n n S 例5：求下列各数列的前项和 ()11110142n x n .f (x ),S f ()f ()f ()f ()n n -= =++++ 已知求；()211121220121201220112 x .f (x ),f ()f ()f ()f ()f ()f ()x =+++++++KK KK 已知求；()1312.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等比数列，求插入个数之积； ()1412.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等差数列，求插入个数之和； 22112n n n n n n n +++??== ??? T ,S
用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 数列求和汇总答案 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 例1、已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +???+++=32（利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+的和。 解：2222222212345699100-+-+-+--+ 由等差数列的求和公式得 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. 例2求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----?+=-- ∴2 1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1}的通项之积 设n n n S 2 226242232+???+++=…………………………………① 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。 三、数列求和 数列求和的方法. （1）公式法：①等差数列的前n 项求和公式 n S =__________________=_______________________. ② 等 比 数 列 的 前 n 项 和 求 和 公 式 ? ? ?≠===)1(___________________)1(__________q q S n （2）....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. （3）n n n C a b =?，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错 位相减法”. （4）1 n n n C a b = ?，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. （5）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。适用于形如()()n f a n n 1-=的类型。举例如下： ()()() 5050 12979899100129798991002 22222=++???++++=-+???+-+-= n S 常见的裂项公式： （1） 111)1(1+-=+n n n n ;(2) =+-) 12)(12(1 n n ____________________;(3)1 1++n n =__________________ 题型一 数列求解通项公式 1. 若数列{a n }的前n 项的和1232 +-=n n S n ，则{a n }的通项公式是n a =_________________。 2. 数列}{n a 中，已知对任意的正整数n ，1321-=+???++n n a a a ，则22221n a a a +???++等 于_____________。 3. 数列中，如果数列是等差数列，则________________。 4. 已知数列{a n }中，a 1＝1且 3 1 111+=+n n a a ，则=10a ____________。 5. 已知数列{a n }满足)2(1 1≥-= -n a n n a n n ，则n a =_____________.。 6. 已知数列{a n }满足)2(11≥++=-n n a a n n ，则n a =_____________.。 {}n a 352,1,a a ==1 { }1 n a +11a = 等差数列求和 引例：计算1+2+3+4+……+97+98+99+100 一、有关概念: 像1、2、3、4、5、6、7、8、9、……这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，……，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。这个固定的数就叫做“公差”。 二、有关公式： 和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+公差×（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 项数=（末项-首项）÷公差+1 三、典型例题： 例1、聪明脑筋转转转： 判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差项数 （1）1、2、4、8、16、32. （）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（） 例2、已知等差数列1,8,15,…,78.共12项，和是多少？（博易P27例2） （看ppt,推出公式） 例3、计算1+3+5+7+……+35+37+39 练习2：计算下列各题 （1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7+……+95+97+99 （2）3+15+27+39+51+63 （4）2+4+6+8+……+96+98+100 （3）已知一列数4,6,8,10，…，64，共有31个数，这个数列的和是多少？ 例5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加一根，共堆了10层。这堆圆木共有多少根？（博易P27例3）（看ppt） 练习3： 丹丹学英语单词，第一天学了6个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了26个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？ 等差数列求和练习题 一、判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项 及公差写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差 1. 2、4、6、8、10、12、14、16.（）（）（）（） 2. 1、3、6、8、9、11、12、14. （）（）（）（） 3. 5、10、15、20、25、30、35. （）（）（）（） 4. 3、6、8、9、12、16、20、26.（）（）（）（） 二、请计算下列各题。 （1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33 （2）4+8+12+16+20+24+28+32+36+40 （3）求3、6、9、12、15、18、21、这个数列各项相加的和。 （4）2+4+6+8+……+198+200 ★（5）求出所有三位数的和。 （其他作业：练习册B 1题、4题、6题） 【高考地位】 数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 【方法点评】 方法一 公式法 解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前n 项和公式求和结果 例1.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{n S n 的前n 项和，求n T ． 【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有： 等差数列前n 项和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =??=--?=≠?--? ． 自然数方幂和公式：1123(1)2 n n n +++???+=+ 22221123(1)(21)6 n n n n +++???+=++ 333321123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【变式演练1】已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B 【解析】 试题分析：a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，解方程组可得11,2a d == 101109101002 S a d ?∴=+ = 考点：等差数列通项公式及求和 方法二 分组法 解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式； 第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和； 第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. 例2. 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项 S n . 15 数列求通项问题 数列求通项方法一：累加法，解决形如型数列通项问题)(1n f a a n n =-+. 例．设数列}{a n 的前n 项和为S n ，}{a n }满足a 1＝1，a n +1﹣a n ＝n d ，n ∈N *．若n d ＝3n ，求数列}{a n 的通项公式； 解：（1）若a n +1﹣a n ＝d n ＝3n ，则a 2﹣a 1＝3， a 3﹣a 2＝32，a 4﹣a 3＝33，……a n ﹣a n ﹣1＝3n ﹣1， 累加得：a n ﹣a 1＝＝，又由a 1＝1，∴a n ＝. 数列求和方法二：构造法，解决形如型或接近于等差或d pa n n +=+1a .等比数列型 例．已知数列{a n }满足a 1＝1且a n +1＝2a n +1，求a n ； 解：∵a n +1＝2a n +1，∴a n +1+1＝2a n +2＝2（a n +1），又a 1+1＝2≠0，所以， ∴数列{a n +1}是等比数列，公比q ＝2，首项为2．则， ∴； 例 数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n +n ﹣1．求数列{a n }的通项公式． 解：根据题意，a n +1＝2a n +n ﹣1，则a n +1+n +1＝2a n +n ﹣1+n +1＝2a n +2n ＝2（a n +n ） 所以，所以数列{a n +n }为等比数列． 数列{a n +n }为以2为公比的等比数列，又a 1＝1，所以a 1+1＝2． 所以，所以． 例．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝﹣1，a n +1＝S n ?S n +1,求{a n }的通项公式． 解：因为a n +1＝S n +1﹣S n ，所以S n +1﹣S n ＝S n ?S n +1． 两边同除以S n ?S n +1得﹣＝﹣1．因为a 1＝﹣1，所以＝﹣1． 因此数列{ }是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列． 得＝﹣1+（n ﹣1）（﹣1）＝﹣n ，S n ＝﹣． 数列求和例题精讲 1． 公式法求和 （1）等差数列前 n 项和公式 S n n(a 1 a n ) n(a k 1 a n k ) n( n 1) d 2 2 na 1 2 （2）等比数列前 n 项和公式 q 1 时 S n na 1 q 1 时 S n a 1 (1 q n ) a 1 a n q 1 q 1 q （3）前 n 个正整数的和 1 2 3 n(n 1) n 2 前 n 个正整数的平方和 12 22 32 n 2 n(n 1)(2n 1) 6 前 n 个正整数的立方和 13 23 33 n 3 [ n(n 1) ] 2 （ 1）弄准求和项数 n 的值； 2 公式法求和注意事项 （ 2）等比数列公比 q 未知时，运用前 n 项和公式要分类。 例 1．求数列 1，4，7， ，3n 1 的所有项的和 例 2．求和 1 x x 2 x n 2 ( n 2, x 0 ) 2．分组法求和 例 3．求数列 1， 1 2，1 2 3，，1 2 3 n 的所有项的和。 5n 1 (n为奇数 ) 例 4．已知数列a n中，a n ，求 S2m。 ( 2) n (n为偶数 ) 3．并项法求和 例 5．数列a n 中， a n ( 1) n 1 n2，求 S100。 例 6．数列a n中，，a n( 1) n 4n ，求 S20及 S35。 4．错位相减法求和 若a n 为等差数列，b n 为等比数列，求数列a n b n（差比数列）前n项 b n 的公比。 和，可由S n qS n求 S n，其中q 为 例 7．求和12x 3x 2nx n 1（x0 ）。 5．裂项法求和 :把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 例 8．求和 1 1 1 1 。 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 例 9．求和 1 1 1 1 2 1 3 2 23 。 n 1n ［练习］ 1 1 1 1 1 2 3 2 3 n 1 2 1 a n S n 2 1 n 1 数列求和的方法 1、公式法： 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式：()() 11122 n n n a a n n S na d +-= =+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q ?=? =-?-=≠? --? 常见的数列的前n 项和：123+++……+n=(1)2 n n +， 1+3+5+……+(2n-1)=2 n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++，3333 123+++……+n =2 (1)2n n +?????? 等. 2、倒序相加法： 类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例1、 已知函数( )x f x = （1）证明：()()11f x f x +-=； （2）求128910101010f f f f ?? ?????? + +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 的值. 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知， 1928551101010101010f f f f f f ????????????+=+==+ = ? ? ? ? ? ??? ???? ?? ???? 128910101010S f f f f ?? ?? ????=+ +++ ? ? ? ?????????令 982110101010S f f f f ?? ??????=+ +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 则 两式相加得： 192991010S f f ? ? ????=?+= ? ? ??????? 所以92S =. 数列求和方法及典型例题 1.基本数列的前n 项和 ⑴ 等差数列{}n a 的前n 项和：n S ???? ??????+?-++=n b n a d n n na a a n n 211)1(212)( ⑵ 等比数列{}n a 的前n 项和n S ： ①当1=q 时，1na S n =；②当1≠q 时，q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11； 2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法. 题型一 公式法、性质法求和 1.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，公比7,299==S q ，则=++++99963a a a a 2.等差数列{}n a 中，公差2 1= d ，且6099531=++++a a a a ，则=++++100321a a a a . [例1]求数列 ，，，，，)21(813412211n n +的前n 项和n S . 题型二 拆项分组法求和 [练2]在数列{} n a 中，已知a 1=2，a n+1=4a n －3n ＋1，n ∈*N . （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，求S n 。 [练].求数列{}2)12(-n 的前n 项和n S . [例].求和：) 1(1431321211+++?+?+?n n . 题型三 裂项相消法求和 [例].求和： n n +++++++++11341231121 . [例]求和：n +++++++++++ 321132112111 [练4]已知数列{}n a 满足()*1112,1N n a a a n n ∈+==+ 求数列前n 项和的8种常用方法 一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1 n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ； （2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ； （4）1 (21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解：由21 2log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++ ，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50 )8(1 2+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 -n ，即8n =时，501)(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是 数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100 2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10 9 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距 为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622 3219,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1 { n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足 ,,2 1 1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(1 1*2 N n a b n n ∈-= 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n a a 2 11)11(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式； 数列的求和 1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 2 ． 公 式 法 ： 222221 (1)(21) 1236 n k n n n k n =++=++++= ∑L 2 3 3 3 3 3 1 (1)1232n k n n k n =+?? =++++=????∑L 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常 见 拆 项公式 ： 1 11)1(1+-=+n n n n ； 1111 ()(2)22 n n n n =-++ )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? （三）例题分析： 例1．求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1 (n n n x x x x x x S ++++ ++=Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 解：①)110(9 1 10101011112-= ++++==k k k k a Λ321Λ个 ])101010[(9 1)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ8110910]9)110(10[ 911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S Λ n x x x x x x n n 2)1 11()(242242++++++++=ΛΛ （1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2) 1() 1)(1(21)1(1)1(2 2222222222+-+-=+--+--=+---数列求和汇总例题与答案)
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