夹心法双对数向平滑曲线的转换
前面提到回归拟合要求指标r^2必须大于0.9。这是一个最基本的要求，r^2 越接近于1，表示浓度与吸光值的线性关系越好，标本检测结果的相关性越好。我们的出厂指标要求在0.99以上。
最基本的拟合方式是双对数拟合方式与logit拟合方式。这都是直线拟合的。但有时侯推荐的拟合方式并不是最适用的。本节讲的是利用曲线回归方式来改善检测结果。
按照第一种模型-双对数直线模型进行计算。
点击“回归/拟合”
查看方程参数，点击“回归方程”。r^2 = 0.99805，拟合效果非常好。
如果仍按照上面的双对数直线方程进行拟合，会出现下面的曲线：
观察曲线，S5，S6处有点平，似乎略呈S形。检查方程参数，r^2 = 0.98921。如果标本吸光值为0.6，计算浓度为40.99ng/ml。标本吸光值为1.8时，计算浓度为180.6ng/ml。
我们可以采用曲线拟合方式来改善结果。
首先选用logistic曲线1。这时左侧“X数据列”及“Y数据列”处要改作不转换。如果查看回归方程参数，可以发现r^2 = 0.99883。这一曲线相关性非常好，标本吸光值为0.6时，计算浓度41.5ng/ml，标本吸光值为1.8时，计算浓度为154.7ng/ml。我们可以看到，高吸光值的标本浓度变化较大，而低吸光值区的标本浓度变化较小。这是因为我们上面的畸点S5，S6属于高浓度区。
同样也可以采用logistic曲线2（四参数）来进行拟合。效果差不多。r^2 = 0.99715。略差一些。
但用logistic曲线拟合3（五参数）时，计算出错，未能形成曲线。
如果选用Hill曲线，也能拟合成功，但r^2 = 0.98416。效果较差。
二次指数平滑法程序 线性指数平滑法Matlab程序，代码如下： 注：Data-原始数据 s-一次和二次平滑结果 at-预测式中的a参数 bt-预测式中的b参数 y1-预测结果 本例是取alpha为0.8时的情况 arr=[0;6;8.3;9.8;13;15;13.5;26.1;80.3;86;102.6]; [m,n]=size(arr); alf=0.2; for j=1:2 s(1,j)=arr(1,1) end for i=2:m for j=1:2 if j==1 s(i,j)=alf*arr(i,1)+(1-alf)*s(i-1,j); else s(i,j)=alf*s(i,j-1)+(1-alf)*s(i-1,j); end end end temp=alf/(1-alf); for i=1:m at(i,1)=2*s(i,1)-s(i,2); bt(i,1)=temp*(s(i,1)-s(i,2)); yy(i+1)=at(i,1)+bt(i,1); end for i=2:11 y1(i-1)=yy(i); end for i=2:11 b(i-1)=arr(i); end for i=1:3 y2(i)=at(m,1)+bt(m,1)*(i+1); end year=[1999:2011]; year=year'; y1=y1'; y2=y2';
data=cat(1,y1,y2); data1=cat(1,b,y2); % plot(year,data,'-rs','markerFaceColor','g', 'MarkerSize',3); % plot(year,data,'-rs',year,data1,'-rs'); 因论文中要分析旅游时间分布，预测不同年份旅游者人数，从而做了一个Matlab布朗单一参数线性指数平滑法Matlab程序，代码如下： 注：Data-原始数据 s-一次和二次平滑结果 at-预测式中的a参数 bt-预测式中的b参数 y1-预测结果 本例是取alpha为0.8时的情况 arr=[0;6;8.3;9.8;13;15;13.5;26.1;80.3;86;102.6]; [m,n]=size(arr); alf=0.2; for j=1:2 s(1,j)=arr(1,1) end for i=2:m for j=1:2 if j==1 s(i,j)=alf*arr(i,1)+(1-alf)*s(i-1,j); else s(i,j)=alf*s(i,j-1)+(1-alf)*s(i-1,j); end end end temp=alf/(1-alf); for i=1:m at(i,1)=2*s(i,1)-s(i,2); bt(i,1)=temp*(s(i,1)-s(i,2)); yy(i+1)=at(i,1)+bt(i,1); end for i=2:11 y1(i-1)=yy(i); end for i=2:11 b(i-1)=arr(i); end for i=1:3 y2(i)=at(m,1)+bt(m,1)*(i+1);
一次指数平滑法 一次指数平滑法是指以最后的一个第一次指数平滑。如果为了使指数平滑值敏感地反映最新观察值的变化，应取较大阿尔法值，如果所求指数平滑值是用来代表该时间序列的长期趋势值，则应取较小阿尔法值。同时，对于市场预测来说，还应根据中长期趋势变动和季节性变动情况的不同而取不同的阿尔法值，一般来说，应按以下情况处理：1.如果观察值的长期趋势变动接近稳定的常数，应取居中阿尔法值(一般取0.6—0.4)使观察值在指数平滑中具有大小接近的权数；2.如果观察值呈现明显的季节性变动时，则宜取较大的阿尔法值(一般取0.6一0.9)，使近期观察在指数平滑值中具有较大作用，从而使近期观察值能迅速反映在未来的预测值中；3.如果观察值的长期趋势变动较缓慢，则宜取较小的e值(一般取0.1—0.4)，使远期观察值的特征也能反映在指数平滑值中。在确定预测值时，还应加以修正，在指数平滑值S，的基础上再加一个趋势值b，因而，原来指数平滑公式也应加一个b。
8.1.2 指数平滑法 移动平均法的预测值实质上是以前观测值的加权和，且对不同时期的数据给予相同的加权。这往往不符合实际情况。指数平滑法则对移动平均法进行了改进和发展，其应用较为广泛。 1. 指数平滑法的基本理论 根据平滑次数不同，指数平滑法分为：一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。但它们的基本思想都是：预测值是以前观测值的加权和，且对不同的数据给予不同的权，新数据给较大的权，旧数据给较小的权。 ①一次指数平滑法 设时间序列为，则一次指数平滑公式为： 式中为第t周期的一次指数平滑值；为加权系数，0＜＜1。 为了弄清指数平滑的实质，将上述公式依次展开，可得： 由于0＜＜1，当→∞时，→0，于是上述公式变为： 由此可见实际上是的加权平均。加权系数分别为，，…，是按几何级数衰减的，愈近的数据，权数愈大，愈远的数据，权数 愈小，且权数之和等于1，即。因为加权系数符合指数规律，且又具有平滑数据的功能，所以称为指数平滑。 用上述平滑值进行预测，就是一次指数平滑法。其预测模型为： 即以第t周期的一次指数平滑值作为第t+1期的预测值。 ②二次指数平滑法 当时间序列没有明显的趋势变动时，使用第t周期一次指数平滑就能直接预测第t+1期之值。但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法来预测仍存在着明显的滞后偏差。因此，也需要进行修正。修正的方法也是在一次指数平滑的基础上再作二次指数平滑，利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后建立直线趋势预测模型。故称为二次指数平滑法。
指数平滑法 移动平均法的预测值实质上是以前观测值的加权和，且对不同时期的数据给予相同的加权。这往往不符合实际情况。指数平滑法则对移动平均法进行了改进和发展，其应用较为广泛。 1. 指数平滑法的基本理论 根据平滑次数不同，指数平滑法分为：一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。但它们的基本思想都是：预测值是以前观测值的加权和，且对不同的数据给予不同的权，新数据给较大的权，旧数据给较小的权。 ①一次指数平滑法 设时间序列为，则一次指数平滑公式为： 式中为第t周期的一次指数平滑值；为加权系数，0＜＜1。 为了弄清指数平滑的实质，将上述公式依次展开，可得： 由于0＜＜1，当→∞时，→0，于是上述公式变为： 由此可见实际上是的加权平均。加权系数分别为， ，…，是按几何级数衰减的，愈近的数据，权数愈大，愈远的数据， 权数愈小，且权数之和等于1，即。因为加权系数符合指数规律，且又具有平滑数据的功能，所以称为指数平滑。 用上述平滑值进行预测，就是一次指数平滑法。其预测模型为： 即以第t周期的一次指数平滑值作为第t+1期的预测值。 ②二次指数平滑法 当时间序列没有明显的趋势变动时，使用第t周期一次指数平滑就能直接预测第t+1期之值。但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法来预测仍存在着明显的滞后偏差。因此，也需要进行修正。修正的方法也是在一次指数平滑的基础上再作二次指数平滑，利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后建立直线趋势预测模型。故称为二次指数平滑法。
设一次指数平滑为，则二次指数平滑的计算公式为： 若时间序列从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期亦按此直线趋势变化，则与趋势移动平均类似，可用如下的直线趋势模型来预测。 式中t为当前时期数；T为由当前时期数t到预测期的时期数；为第t+T期的预测 值；为截距，为斜率，其计算公式为： ③三次指数平滑法 若时间序列的变动呈现出二次曲线趋势，则需要用三次指数平滑法。三次指数平滑是在二次指数平滑的基础上再进行一次平滑，其计算公式为： 三次指数平滑法的预测模型为： 其中： ④加权系数的选择 在指数平滑法中，预测成功的关键是的选择。的大小规定了在新预测值中新数据和原预测值所占的比例。值愈大，新数据所占的比重就愈大，原预测值所占比重就愈小，反之亦然。 若把一次指数平滑法的预测公式改写为： 则从上式可以看出，新预测值是根据预测误差对原预测值进行修正得到的。的大小表明了修正的幅度。值愈大，修正的幅度愈大，值愈小，修正的幅度愈小。因此，值既代表了预测模型对时间序列数据变化的反应速度，又体现了预测模型修匀误差的能力。
EXCEL自动计算液塑限并绘制图表至双对数坐标系 发表时间：2016-12-07T13:52:32.897Z 来源：《基层建设》2016年24期8月下作者：周常欣[导读] 摘要：用解析法计算液塑限试验数据，并将其编制成EXCEL表格并绘制图表至双对数坐标系，由此确定出的液限、塑限值，较传统方法方便、快捷、准确。 湖南理工职业技术学院湖南湘潭 411000 摘要：用解析法计算液塑限试验数据，并将其编制成EXCEL表格并绘制图表至双对数坐标系，由此确定出的液限、塑限值，较传统方法方便、快捷、准确。 关键词：土工试验；EXCEL；液塑限；解析法；双对数；解析法 0 概述 土的液塑限指标是细粒土进行分类和定名的最基本指标，在土工试验中具有很重要的作用。这两个指标一般通过土的液塑限联合测定法进行测定，由其求得的液性指数在一定程度上反映了粘性土的结构特征，可用于评价土的强度和压缩性，也是获取一般粘性土地基承载力值的重要指标。因此，准确确定土壤的液塑限指标对工程具有很重要的意义。 按照《土工试验规程》SL237-1999 (以下简称《规程》)的规定，该试验数据处理采用绘图——查图的方法。由于图形要绘在对数坐标下，绘制过程相当复杂，且绘图、查图过程中均有误差的产生，因此，该试验的数据既费时、费力，又难以保证精度。 本文通过解析法代替手工绘图、查图过程的数据处理方法，用EXCEL编写了相应的表格进行自动计算并并绘制图表至双对数坐标系，取得了良好的效果。 1．液塑限自动计算思路繁琐的查图过程背后，实际上隐藏着一定的数学关系。只要把这种数学关系找出来，就可以在EXCEL中用简洁的数学运算代替查图操作。 EXCEL具有绘制曲线、折线、散点图等各种图表的功能，只要知道坐标，绘制图表是比较容易的。而液塑限用的是双对数坐标，双对数坐标系通常可以根据测试数据使用origin或matlab来绘制，在这里我选用应用最广泛的Excel完成液塑限试验中双对数坐标的绘制。如何将绘制双对数坐标系和将直线绘制到双对数坐标系是本文的难题。 算术坐标系：就是普通的笛卡儿坐标系，横纵的刻度都是是等距的。（举例来说：如果每1cm的长度都代表2，则刻度按照顺序1，3，5，7，9，11，13，15……）；但一般情况下，刻度仍然是均匀的，按照0，1，2，3，4的顺序排列下去。 双对数坐标系，就是图的两个坐标轴的刻度均为对数刻度，这样一来的话，形如y=ax^b的指数曲线，在双对数曲线图中就表现为一条直线，b就是这条直线的斜率(这里的斜率并不是按数轴上的刻度值计算的，而是将坐标轴看成普通坐标轴，按坐标轴的单位长度计算的)。 可以这样来理解，将y=ax^b两边都取对数，得到：ln(y) = ln(a) + bln(x)，令 = ln(y), = ln(x), 那么在对数曲线图中，得到的就是一条=+ b的直线，数轴的长度单位用的就是和的单位，但是“对数曲线图”的“对数”指的是刻度取对数，所以数轴上的值标的还是x和y的值，所以相邻长度单位上标的数值随数轴的延伸相差越大，也就是说每次增加1，但是x 增加的幅度却是按= ln(x)越来越大的。 对数坐标有几个特点，在应用时需特别注意： (1) 标在对数坐标轴上的数值为真数。 (2) 坐标的原点为x=1，y=1，而不是零。因为1ogl=0。 (3) 由于0.01、0.1、1,10、100等的对数，分别为-2、-1、0、1、2等，所以在坐标纸上，每次数量级的距离是相等的。 (4) 在对数坐标上求斜率的方法，与笛卡儿坐标上的求法有所不同。这一点需要特别注意。在笛卡儿坐标上求斜率可直接由坐标度来度量，如斜率△Y/△X；而在双对数坐标上求斜率则不能直接由坐标度来度量，因为在对数坐标上标度的数值是真数而不是对数。因此双对数坐标纸上直线的斜率需要用对数值来求算，或者直接用尺子在坐标纸上量取线段长度求取。斜率： x=a/b=(logy2-logy1)/( (logx2-logx1) 式中△h与△1的数值，即为用尺子测量而得的线段长度。 (5) 在双对数坐标上，直线与x=1的纵轴相交处的y值，即为原方程中的值，若所标绘的直线需延长很远才能与x=1的纵轴相交，则可求得斜度x之后，在直线上任取一组数据x和y，代入原方程 y=axn中，也可求得值 EXCEL绘制双对数坐标系
Excel应用案例 指数平滑法 移动平均法的预测值实质上是以前观测值的加权和，且对不同时期的数据给予相同的加权。这往往不符合实际情况。指数平滑法则对移动平均法进行了改进和发展，其应用较为广泛。 ? ? 1. 指数平滑法的基本理论 根据平滑次数不同，指数平滑法分为：一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。但它们的基本思想都是：预测值是以前观测值的加权和，且对不同的数据给予不同的权，新数据给较大的权，旧数据给较小的权。 ? ? ①一次指数平滑法 ? ? 设时间序列为，则一次指数平滑公式为： ? ? ? ? 式中为第 t周期的一次指数平滑值；为加权系数，0＜＜1。 ? ? 为了弄清指数平滑的实质，将上述公式依次展开，可得： ? ? ? ? 由于0＜＜1，当→∞时，→0，于是上述公式变为： ? ? ? ? 由此可见实际上是的加权平均。加权系数分别为，，…，是按几何级数衰减的，愈近的数据，权数愈大，愈远的数据， 权数愈小，且权数之和等于1，即。因为加权系数符合指数规律，且又具有平滑数据的功能，所以称为指数平滑。 ? ? 用上述平滑值进行预测，就是一次指数平滑法。其预测模型为： ? ? ? ? 即以第t周期的一次指数平滑值作为第t+1期的预测值。 ? ? ②二次指数平滑法
? ? 当时间序列没有明显的趋势变动时，使用第t周期一次指数平滑就能直接预测第t+1期之值。但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法来预测仍存在着明显的滞后偏差。因此，也需要进行修正。修正的方法也是在一次指数平滑的基础上再作二次指数平滑，利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后建立直线趋势预测模型。故称为二次指数平滑法。 ? ? 设一次指数平滑为，则二次指数平滑的计算公式为： ? ? ? ? 若时间序列从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期亦按此直线趋势变化，则与趋势移动平均类似，可用如下的直线趋势模型来预测。 ? ? ? ? 式中t为当前时期数；T为由当前时期数t到预测期的时期数；为第t+T 期的预测值；为截距，为斜率，其计算公式为： ? ? ? ? ? ? ③三次指数平滑法 ? ? 若时间序列的变动呈现出二次曲线趋势，则需要用三次指数平滑法。三次指数平滑是在二次指数平滑的基础上再进行一次平滑，其计算公式为： ? ? ? ? 三次指数平滑法的预测模型为： ? ? ? ? 其中： ? ? ? ? ? ? ? ? ④加权系数的选择 ? ? 在指数平滑法中，预测成功的关键是的选择。的大小规定了在新预测
双对数坐标纸的使用 方法 Revised on November 25, 2020
双对数坐标纸的使用方法 将等式x c C υθθυ=等号两边取对数得到： θlg =c x c υθυlg lg + 此式相当于y=ax+b ，该式为一典型的直线方程。 若将Y= logy 和X= logu c 标绘在笛卡儿坐标上，也就可以得到一条直线。 例如，有一组数据如下表所示， 将这些实验数据按y 对x 和Y= logy 对X=logx ，分别标绘在笛卡儿坐标上，可得一条曲线和一条直线。为了避免将每个数据都换算成对数值，可以将纸标纸上的分度直接按对数值绘制。 纵坐标和横坐标都用对数值进行绘制，称为对数坐标。对数坐标有几个特点，在应用时需特别注意： (1) 标在对数坐标轴上的数值为真数。 (2) 坐标的原点为x=1，y=1，而不是零。因为1ogl=0。 (3) 由于、、1,10、100等的对数，分别为-2、-1、0、1、2等，所以在坐标纸上，每次数量级的距离是相等的。 (4) 在对数坐标上求斜率的方法，与笛卡儿坐标上的求法有所不同。这一点需要特别
注意。在笛卡儿坐标上求斜率可直接由坐标度来度量，如斜率△Y/△X ；而在双对数坐标上求斜率则不能直接由坐标度来度量，因为在对数坐标上标度的数值是真数而不是对数。因此双对数坐标纸上直线的斜率需要用对数值来求算，或者直接用尺子在坐标纸上量取线段长度求取。斜率： x=a /b =(logy2-logy1)/( (logx2-logx1) 式中△h 与△1的数值，即为用尺子测量而得的线段长度。 (5) 在双对数坐标上，直线与x=1的纵轴相交处的y 值，即为原方程x c C υθθυ=中的θυC 值，若所标绘的直线需延长很远才能与x=1的纵轴相交，则可求得斜度x 之后，在直线上任取一组数据x 和y ，代入原方程x c C υθθυ=y=axn 中，也可求得θυC 值
双对数坐标纸的使用方 法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
双对数坐标纸的使用方法 将等式x c C υθθυ=等号两边取对数得到： θlg =c x c υθυlg lg + 此式相当于y=ax+b ，该式为一典型的直线方程。 若将Y= logy 和X= logu c 标绘在笛卡儿坐标上，也就可以得到一条直线。 例如，有一组数据如下表所示， 将这些实验数据按y 对x 和Y= logy 对X=logx ，分别标绘在笛卡儿坐标上，可得一条曲线和一条直线。为了避免将每个数据都换算成对数值，可以将纸标纸上的分度直接按对数值绘制。 纵坐标和横坐标都用对数值进行绘制，称为对数坐标。对数坐标有几个特点，在应用时需特别注意： (1) 标在对数坐标轴上的数值为真数。 (2) 坐标的原点为x=1，y=1，而不是零。因为1ogl=0。
(3) 由于、、1,10、100等的对数，分别为-2、-1、0、1、2等，所以在坐标纸上，每次数量级的距离是相等的。 (4) 在对数坐标上求斜率的方法，与笛卡儿坐标上的求法有所不同。这一点需要特别注意。在笛卡儿坐标上求斜率可直接由坐标度来度量，如斜率△Y/△X ；而在双对数坐标上求斜率则不能直接由坐标度来度量，因为在对数坐标上标度的数值是真数而不是对数。因此双对数坐标纸上直线的斜率需要用对数值来求算，或者直接用尺子在坐标纸上量取线段长度求取。斜率： x=a /b =(logy2-logy1)/( (logx2-logx1) 式中△h 与△1的数值，即为用尺子测量而得的线段长度。 (5) 在双对数坐标上，直线与x=1的纵轴相交处的y 值，即为原方程x c C υθθυ=中的θυC 值，若所标绘的直线需延长很远才能与x=1的纵轴相交，则可求得斜度x 之后，在直线上任取一组数据x 和y ，代入原方程x c C υθθυ=y=axn 中，也可求得θυC 值
二次曲线模型简介 二次曲线模型的一般形式为： ^ 2012t y b b t b t =++ （20b ≠） （3-1） 用阶差法识别二次曲线模型，如表（3-1） 表（3-1） 二次曲线模型的阶差计算表 时间 t 模型 ^ 2 012t y b b t b t =++ 一阶差分 ^ ^ 1t t y y -- 二阶差分 ^ ^ ^ ^ 112()()t t t t y y y y ------ 1 ^012t y b b b =++ -- -- 2 ^01224t y b b b =++ 123b b + -- 3 ^01239t y b b b =++ 125b b + 22b 4 ^012416t y b b b =++ 127b b + 22b 1n - ^ 202(1)(1)t y b b n b n =+-+- 12(23)b n b +- 22b n ^ 2012t y b b n b n =++ 12(21)b n b +- 22b 由表（2-1）可知，二次曲线模型的特点是二阶差分为一个常数。因此，当一个时间序列{}t y 的二阶分差近似为一个常数时，都可以选择二次曲线模型进行预测。 二次曲线模型的参数估计可以采用最小二乘法。首先，将二次曲线模型线性化，令1t t = ，22t t = ，这样将二次曲线模型转化为二元线性模型： ^ 01122t y b b t b t =++ （3-2） 然后，根据最小二乘法原理：使误差平方和 ^ 2 2011221 1 ()()n n t t t t t Q y y y b b t b t ===-=---∑∑ （3-3） 达到最小，从而得到参数0b 、1b 和2b 的估计值。根据极值原理,Q 在其偏导数为0时取得极值。因此，令
二次指数平滑法 二次指数平滑法（Second exponential smoothing method） [编辑] 什么是二次指数平滑法 二次指数平滑法是对一次指数平滑值作再一次指数平滑的方法。它不能单独地进行预测，必须与一次指数平滑法配合，建立预测的数学模型，然后运用数学模型确定预测值。一次移动平均法的两个限制因素在线性二次移动平均法中也才存在，线性二次指数，平滑法只利用三个数据和一个α值就可进行计算；在大多数情况下，一般更喜欢用线性二次指数平滑法作为预测方法。 [编辑] 二次指数平滑法的优点[1] 二次指数平滑法实质上是将历史数据进行加权平均作为未来时刻的预测结果。 它具有计算简单、样本要求量较少、适应性较强、结果较稳定。 [编辑] 二次指数平滑法的计算 线性二次指数平滑法的公式为：
(1) 式中：分别为t期和t–1期的二次指数平滑值；a为平滑系数。在和已知的条件下，二次指数平滑法的预测模型为： (2) (3) T为预测超前期数 例5：某地1983年至1993年财政入的资料如下，试用指数平滑法求解趋势直线方程并预测1996年的财政收入。计算过程及结果如下：
由上表可知：；；；,a=0.9 则 所求模型为: [编辑]
二次指数平滑法实例分析[2] 表中第③栏是我国1978-2002年全社会客运量的资料,据期绘制散点图，见下图，可以看出，各年的客运量资料基本呈线性趋势，但在几个不同的时期直线有不同的斜率，因此考虑用变参数线性趋势模型进行预测。具体步骤如下： 表 我国1978-2002年全社会客运量及预测值 单位：万人 年份 时 间t 全社会客运量y 各期的一次指数平滑值 各期的二次指数平滑值 a t b t ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 253993.0 253993.0 1978 1 253993 253993.0 253993.0 253993.0 0.0 1979 2 289665 275396.2 266834.9 283957.5 12841.9 253993.0 1980 3 341785 315229.5 295871.7 334587.3 29036.7 296799.4 1981 4 384763 356949.6 332518.4 381380.8 36646.8 363624.0 1982 5 428964 400158.2 373102.3 427214.2 40583.9 418027.5 1983 6 470614 442431.7 414699.9 470163.4 41597.6 467798.1 1984 7 530217 495102.9 462941.7 527264.1 48241.8 511761.1 1985 8 620206 570164.8 527275.5 613054.0 64333.8 575505.8
双对数坐标纸的使用方法 x将等式等号两边取对数得到: ,,C,,,c lgc，xlg,= lg,,,c 此式相当于y=ax+b，该式为一典型的直线方程。 若将Y= logy和X= logu标绘在笛卡儿坐标上，也就可以得到一条直线。 c 例如，有一组数据如下表所示， 1 2 3 4 5 转数n(rmin) 155 315 410 590 830 , 切削速度(mmin) 23.36 47.48 61.8088.92 125.10 c 毫伏值() 6.8 8.7 9.4 10.511.2 mvmv 将这些实验数据按y对x和Y= logy对X=logx，分别标绘在笛卡儿坐标上，可得一条曲线和一条直线。为了避免将每个数据都换算成对数值，可以将纸标纸上的分度直接按对数值绘制。 纵坐标和横坐标都用对数值进行绘制，称为对数坐标。对数坐标有几个特点，在应用时需特别注意: (1) 标在对数坐标轴上的数值为真数。 (2) 坐标的原点为x=1，y=1，而不是零。因为1ogl=0。 (3) 由于0.01、0.1、1,10、100等的对数，分别为-2、-1、0、1、2等，所以在坐标纸上，每次数量级的距离是相等的。 (4) 在对数坐标上求斜率的方法，与笛卡儿坐标上的求法有所不同。这一点需要特别注意。在笛卡儿坐标上求斜率可直接由坐标度来度量，如斜率?Y/?X;而在双对数坐标上求斜率则不能直接由坐标度来度量，因为在对数坐标上标度的数值是真
数而不是对数。因此双对数坐标纸上直线的斜率需要用对数值来求算，或者直接用尺子在坐标纸上量取线段长度求取。斜率: x=a/b=(logy2-logy1)/( (logx2-logx1) 式中?h与?1的数值，即为用尺子测量而得的线段长度。 x (5) 在双对数坐标上，直线与x=1的纵轴相交处的y值，即为原方程中的,,C,,,cC值，若所标绘的直线需延长很远才能与x=1的纵轴相交，则可求得斜度x之后，在,, xC直线上任取一组数据x和y，代入原方程y=axn中，也可求得值 ,,C,,,,,c
二次指数平滑法的应用 庄赟 二次指数平滑法也称布朗指数平滑法。二次指数平滑值记 为，它是对一次指数 平滑值计 算的平滑值，即 （1） 二次指数平滑法主要用于变参数线性趋势时间序列的预测。变参数线性趋势预测模型的 表达式为： （2）式的预测模型与一般的线性趋势模型的区别在于，式 中、是参数变量，随着 时间自变量 t 的变化而变化，即直线在各时期的截距和斜率是可能不同的； 是从期开始的预测期数。（2） 运用二次指数平滑法求解（2）式可得参数变量的表达式，即 根据（3）求出各期参数变量的取值，代入（2）式，则具有无限期的预测能力，当仅作 一期预测时，有（3） （4） 表1中第③栏是我国1978-2002年全社会客运量的资料,据期绘制散点图，见图1，可以看出，各年的客运量资料基本呈线性趋势，但在几个不同的时期直线有不同的斜率，因此考虑用变参数线性趋势模型进行预测。具体步骤如下： 第一步，计算一次指数平滑值。取， ，根据一次指数平滑公式，可计算各期的一次指数平滑预测值： 1978年： 1979年： ) 2(t S ) 1(t S ) 2(1 )1()2()1(--+=t t t S αS αS T b a y t t T t +=+^ t a t b (1)(2) (1)(2)2()1t t t t t t a S S b S S αα?=-??=-?-? ^ (1)(2)(1)(2)1(1)(2) 2()121 11t t t t t t t t t y a b S S S S S S α α ααα +=+=-+---= ---6 .0=α2539931)1(0)2(0===y S S ) 1(1 ) 1()1(--+=t t t S αy αS 2539932539934.02539936.04.06.0) 1(01) 1(1=?+?=?+?=S y S 2 .2753962539934.02896656.04.06.0)1(12)1(2=?+?=?+?=S y S T t
双对数坐标纸的使用方法 将等式x c C υθθυ=等号两边取对数得到： θlg =c x c υθυlg lg + 此式相当于y=ax+b ，该式为一典型的直线方程。 若将Y= logy 和X= logu c 标绘在笛卡儿坐标上，也就可以得到一条直线。 例如，有一组数据如下表所示， 将这些实验数据按y 对x 和Y= logy 对X=logx ，分别标绘在笛卡儿坐标上，可得一条曲线和一条直线。为了避免将每个数据都换算成对数值，可以将纸标纸上的分度直接按对数值绘制。 纵坐标和横坐标都用对数值进行绘制，称为对数坐标。对数坐标有几个特点，在应用时需特别注意： (1) 标在对数坐标轴上的数值为真数。 (2) 坐标的原点为x=1，y=1，而不是零。因为1ogl=0。 (3) 由于0.01、0.1、1,10、100等的对数，分别为-2、-1、0、1、2等，所以在坐标纸上，每次数量级的距离是相等的。 (4) 在对数坐标上求斜率的方法，与笛卡儿坐标上的求法有所不同。这一点需要特别注意。在笛卡儿坐标上求斜率可直接由坐标度来度量，如斜率△Y/△X ；而在双对数坐标上求斜率则不能直接由坐标度来度量，因为在对数坐标上标度的数值是真数而不是对数。因此双对数坐标纸上直线的斜率需要用对数值来求算，或者直接用尺子在坐标纸上量取线段长度求取。斜率： x=a /b =(logy2-logy1)/( (logx2-logx1) 式中△h 与△1的数值，即为用尺子测量而得的线段长度。 (5) 在双对数坐标上，直线与x=1的纵轴相交处的y 值，即为原方程x c C υθθυ=中的 θυC 值，若所标绘的直线需延长很远才能与x=1的纵轴相交，则可求得斜度x 之后，在直线上任取一组数据x 和y ，代入原方程x c C υθθυ=y=axn 中，也可求得θυC 值
实验二：时间序列平滑预测法 一、实验目的 根据所给的数据，采用适当的时间序列平滑预测法，来实现对原序列的趋势进行平滑，从而对未来某现象做出预测 二、实验内容 利用时间序列平滑预测法对某商品销售进行预测或商品的供应量进行预测 三、实验步骤 下表为某市自来水历年供应量，请选择合适的方法对下一期的自来水供应量进行预测，并说明选择该方法的理由。
一：根据上表数据做出散点图如下： 根据上图可以看出：从1993后时间序列具有明显的线性变化趋势，为了避免利用移动平均法预测有趋势的数据时产生的误差，所以不宜采用一次移动平均法及一次指数线性二次指数平滑法才能满足预测模型的要求 二次曲线指数平滑法的计算过程如下： （1）计算t 时期的单指数平滑值)1(t s ： ) 1(1) 1()1(--+=t t t S x S αα （2）计算t 时期的双指数平滑值)2(t s ： ) 2(1) 1() 2()1(--+=t t t S S S αα （3）计算t 时期的三重指数平滑值)3(t s ： ) 3(1) 2() 3()1(--+=t t t S S S αα （4）计算t 时期的水平值t A ： ) 3() 2() 1(33t t t t S S S A +-= （5）计算t 时期的线性增量t B ：
])34()810()56[() 1() 3()2()1(2 2t t t t S S S B ααααα-+----= （6）计算t 时期的抛物线增量t C ： )2()1() 3()2()1(2 2t t t t S S S C +--=αα （7）预测m 时期以后，即（t+m ）时期的数值m t F +： 22 1 m C m B A F t t t m t ++=+ 其中，m 是正整数，1≥m 。 二次曲线指数平滑法的初始值依赖于两个时期的观测值21x x 和。 已知21x x 和，假设：1)3(1)2(1)1(1x S S S ===。 根据表中的数据可知：各个时期的供水量变化很大，所以的值要选择大一些，本题选择的 5.0=α和8.0=α同时把第一期的值作为预测一 次二次的初始预测值，所以其计算结果如下 根据所给的数据，选取了三个不同的α值对该模型进行预测，具体计算数值通过计算机计算如下： （1）取 二次曲线指数平滑法预测某市的供水量 5.0=α 时序 年份 供水量（10 万吨） )1(t s )2(t s )3(t s t A t B t C )1(=+m F m t 1 1990 19.98 19.98 19.98 19.98 2 1991 29.56 24.77 22.38 21.18 28.36 3 5.39 1.2 3 1992 20.96 22.865 22.62 21.9 22.63 4 -0.9 -0. 5 34.35 4 1993 12.94 17.903 20.2 6 21.08 14.004 -6.2 -1.5 21.45 5 1994 31.95 24.926 22.59 21.84 28.834 6.2 7 1.5 8 7.025 6 1995 36.16 30.543 26.57 24.2 36.127 8 1.61 35.8 9 7 1996 43.76 37.152 31.86 28.03 43.906 8.95 1.46 44.93
二次指数平滑法 一、指数平滑法 1、指数平滑法是一种特殊的加权移动平均法。 2、对同一市场现象连续计算其指数平滑值，对较早期的市场现象观察值不是一概不予考虑，而是给予递减权数。 3、市场现象观察值对预测值的影响，由近及远按等比数列减小，其首项α，公比1-α.。这种市场预测之所以被称为指数平滑市场预测法，就是应为这个等比数列若绘制成曲线是一条指数曲线，而并不是这种预测法的预测模型是指数形式。 4、指数平滑法具有所需资料少、计算方便、短期预测精度高等优点。 二、一次指数平滑法: 一次指数平滑的预测模型： Y t+1=S t+1（1）=αY t +（1-α）S t （1） α为平滑常数（0≤α≤1）；S t （1）为第t 期的一次指数平滑值；Y t 为第t 期的实际观察值。 市场预测值即这一期的一次指数平滑值。 三、二次指数平滑法： 定义：是指对市场现象实际观察值计算两次平滑值，并在此基础上建立预测模型，对市场现象进行预测的方法。 二次指数平滑法的计算公式： S t （1）=αY t-1+（1-α）S t-1（1） S t （2）=αS t （1）+（1-α）S t-1（2） S t （1）为第t 期的一次指数平滑值；S t （2）为第t 期的二次指数平滑值；α为平滑 常数。 二次指数平滑法的预测模型： F t+T = a t +b t T a t =2 S t （1）- S t （2） b t = （S t （1）- S t （2）） ∧ ① ② ③ α 1-α ④ ⑤ ⑥
F t+T为第t+T期预测值；T为向未来预测的期数；a t、b t分别为模型参数。 一次指数平滑值和二次指数平滑值并不是直接运用于预测，只是用以求出线性预测模型的平滑系数（区别于一次指数平滑法市场预测值即这一期的一次指数平滑值）。 四、例题（P137 例4—7） 1、常数α的选取方法，见课本P135最后一段。 2、观察期内（预测值的意义：检验模型是否可行，观察值和预测值相比较）、预 测期。 五、总结： 1、一次指数平滑值和二次指数平滑值并不是直接运用于预测，只是用以求出线性预测模型的平滑系数。 2、在观察期内各期估计值a、b值是变化的，而在预测期各预测值的a、b值是一致的，即最后一个观察期的a、b值。 3、二次指数平滑法解决了一次指数平滑法只能向未来预测一期的不足。 4二次指数平滑法解决了一次指数平滑法不能用于有明显趋势变动的市场现象的预测。 六、补充问题 对例题（P137 例4—7）数据的进一步分析。 远方
实验二：指数平滑法 一、实验目的 Part A:一次指数平滑法 1根据时间序列数据散点图，熟悉一次指数平滑法适用条件的判断；2熟悉应用一次指数平滑法进行相应预测； 3熟悉一次指数平滑法预测精度的分析及其最优平滑系数α的确定； Part B:二次指数平滑法 1根据时间序列数据散点图，熟悉二次指数平滑法适用条件的判断； 2熟悉应用二次指数平滑法进行相应预测； 3熟悉二次指数平滑法预测精度的分析及其最优平滑系数α的确定； 二、实验内容及实验过程 Part A 问题描述 某商场在过去1-12周的某冰箱销售量统计数据如表1所示。 （1）试分析统计数据，选择合适的模型来估计下周产品销售量。 （2）平滑系数α=0.2，S 0(1) =（X1+X2）/2采用一次指数平滑法进行预测，并分析其预 测精度。 （3）何选择合适的平滑系数α，使预测精度较高？ 实验过程 步骤1：绘制过去12周冰箱销售量的“XY散点图”，如图。从散点图可以看出，冰箱销售量走势基本沿水平方向变化且无季节影响，因而可以使用一次指数平滑法进行预测。
步骤2：计算一次指数平滑预测值。 方法1：公式法 取最初2期的观测值作为初始值，即在单元格C2中输入51。平滑系数取α=0.2，单元格C3中输入一次指数平滑值，即“=0.2*B3+0.8*C2”,如图。 将单元格C3的内容复制到单元格区域C4: C14，得一次指数平滑值，如图
在单元格D3输入“=C2”,并将单元格D3的内容复制到单元格区域D14，得一次指数平滑值，如图。 方法2：指数平滑数据分析模块法 Excel的数据分析工具也提供了简单方便的指数平滑预测模块。首先，在单元格B2中输入S0(1)的值“51”，并选择“指数平滑”数据分析。点击Excel【工具】菜单下的【数据分析】子菜单，打开“数据分析”对话框，从“分析工具”列表中选择“指数平滑”，如图，并点击[确定]按钮。
Log-log双对数标准曲线绘制教程 1. 实验做双孔，实验结果如下表所示。 2）各标准点吸光值取均值。在表中OD均一列。 3）如说明书上可能会要求直接使用OD均值作图，也可能要求减去空白吸光值或零标准的非特异吸光值。 4）在log-log坐标纸上绘图。 5）坐标纸上横轴从左至右第一个1-9表示为第一个10进位，第二个1-9表示为第二个10进位。第三个1-9表示为第三个10进位。也就是说，如果第一个1代表0.1ng/ml，则第二个1代表1ng/ml，第三个1代表10ng/ml。因为本次实验标准曲线范围是从2IU/ml到100IU/ml，则可以用第一个1代表1IU/ml，第二个1代表10IU/ml，第三个1代表100IU/ml。 6）坐标纸上纵轴也是同样的。因为吸光值一般是从0.01~2.5之间。则可用第一个1代表0.01，第2个1代表0.1，第三个1代表1。 7）曲线第一个数值点是（2，0.123）。则在横轴左起点的2处向上至第二个1到2之间，这里的1是0.1，2是0.2。其间分为10个小格，
每个小格是0.01。因此从第二个1向上2.3个小格。 8）曲线第二个数值点是（7，0.3505）。则在横轴左起点的7处向上至第二个3到4之间，这里的3是0.3，4是0.4。其间分为5个小格，每个小格是0.02。因此从第二个3向上约2个半小格。 9）曲线第三个数值点是（40，1.3385）。则在横轴从左至右的第2个4处向上至第三个1到2之间，这里的1是1.0，2是2.0。其间分为10个小格，每个小格是0.1。因此从第三个1向上约3.4个小格。10）曲线第四个数值点是（100，2.467）。则在横轴从左向右的第3个1处。这个1是指100IU/ml。向上至第三个2到3之间，这里的2是2.0，3是3.0。其间分为10个小格，每个小格是0.1。因此从第三个2向上约5个小格。 12)画一条通过各点的直线。要求尽可能多的点在线上，同时剩余的点均匀分布在直线的两边。 13）样品也同样由吸光值计算OD均值，再从纵轴上的相应位置找到直线上的点，此点对应的横坐标浓度即为样品的浓度。无须换算。
二次移动平均法 一次移动平均法一般只适用于现象没有明显的上升或下降趋势的现象，若时间数列呈直线趋势，则要进行二次移动平均法。二次移动平均法，就是在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均。 建立二次移动平均法直线预测模型：式中： 和分别代表第t期的一次移动平均数和二次移动平 均数；，N为选择移动平均的时期数。 应用二次移动平均法请注意： 1.时间数列发展趋势为直线型； 2.在计算以及时，移动平均的项数N应相同，其值的确定方法同一 次移动平均; 3) 与不直接用于预测。 指数平滑法 指数平滑法是在移动平均法的基础上发展起来的一种趋势分析预测法。其具体操作方法是以前期的实际值和前期的预测值（或平滑值），经过修匀处理后作为本期预测值。根据平滑次数不同，指数平滑法分为一次指数平滑法和二次指数平滑法。 一次指数平滑法 一次指数平滑公式是由移动平均数的计算公式改进而来的，其基本公式为： 式中：为第t期一次指数平滑值；为第t–1期一次指数平滑值；a为平滑系数。平滑系数a在原数列波动不大时，a取较小值（0.1—0.3），以加重前期预测值的权重；若原数列波动较大时，则a可取较大值（如0.6—0.9）,
以加重前期观测值的权重。 实践中可分别用几个不同的a值试算对比，然后选用误差较小的a值。 对于初始值的确定，若资料项数较大（如n大于或等于50）则可把第一期 观测值作为初始值使用，因为经过多次平滑推算后，对的影响已经不会很大了，若资料项数n较小（n小于或等于20），此时可用前几期观测值的平 均数作为使用。 二次指数平滑法 一次指数平滑一般也只能适用于没有明显趋势的现象，若时间数列呈上升或下降的直线趋势变化，则要进行二次指数平滑。二次指数平滑法是在第一次平滑的基础上再进行一次指数平滑。因此，二次指数平滑值计算公式为： 式中：分别为t期和t–1期的二次指数平滑值；a为平滑系数。 在和已知的条件下，二次指数平滑法的预测模型为：
夹心法双对数向平滑曲线的转换 前面提到回归拟合要求指标r^2必须大于0.9。这是一个最基本的要求，r^2 越接近于1，表示浓度与吸光值的线性关系越好，标本检测结果的相关性越好。我们的出厂指标要求在0.99以上。 最基本的拟合方式是双对数拟合方式与logit拟合方式。这都是直线拟合的。但有时侯推荐的拟合方式并不是最适用的。本节讲的是利用曲线回归方式来改善检测结果。 按照第一种模型-双对数直线模型进行计算。 点击“回归/拟合”
查看方程参数，点击“回归方程”。r^2 = 0.99805，拟合效果非常好。
如果仍按照上面的双对数直线方程进行拟合，会出现下面的曲线： 观察曲线，S5，S6处有点平，似乎略呈S形。检查方程参数，r^2 = 0.98921。如果标本吸光值为0.6，计算浓度为40.99ng/ml。标本吸光值为1.8时，计算浓度为180.6ng/ml。 我们可以采用曲线拟合方式来改善结果。 首先选用logistic曲线1。这时左侧“X数据列”及“Y数据列”处要改作不转换。如果查看回归方程参数，可以发现r^2 = 0.99883。这一曲线相关性非常好，标本吸光值为0.6时，计算浓度41.5ng/ml，标本吸光值为1.8时，计算浓度为154.7ng/ml。我们可以看到，高吸光值的标本浓度变化较大，而低吸光值区的标本浓度变化较小。这是因为我们上面的畸点S5，S6属于高浓度区。
同样也可以采用logistic曲线2（四参数）来进行拟合。效果差不多。r^2 = 0.99715。略差一些。 但用logistic曲线拟合3（五参数）时，计算出错，未能形成曲线。