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分式是不同于整式的另一类有理式，分式是代数式中重要的基本概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分．在此基础上学习分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序．在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利．与此同时借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用．
一、分式的意义与基本性质： 1、分式的概念：两个整式、B 相除，即A B 时，可以表示为
A
B
．如果B 中含有字母，那么A
B
叫做分式，叫做分式的分子，B 叫做分式的分母．
在理解分式的概念时，注意以下三点： （1）分式的分母中必然含有字母； （2）分式的分母的值不为0；
（3）分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．
2、分式有意义的条件：
两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式
分式的意义、性质及综合计算
知识结构
知识精讲
内容分析
无意义．例如：分式1
x
，当0
x≠时，分式有意义；当0
x=时，分式无意义．
3、分式值为零的条件：
分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．4、分式的基本性质：
分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不
变．上述性质用公式可表示为：a am
b bm
=，
a a m
b b m
÷
=
÷
(0
m≠)．
注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0
m≠；
②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；
③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．
二、分式的乘除：
1、分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表
示为：A C AC
B D BD
?=．
2、分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即
n n
n
A A
B B
??
=
?
??
．
3、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用
公式表示为：A C A D AD
B D B
C BC
÷=?=．
4、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．
【注意】
1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算．
2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．
三、分式的加减：
1、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
2、异分母的分式加减法法则：
（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．
（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．
四、分式的综合运算：
与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．
一、选择题
1. 代数式中分式有（
）
A 、6个
B 、4个
C 、3个
D 、2个
【难度】★ 【答案】C
【解析】x
x 21+，11
2+-x x ，y 3是分式．
【总结】本题主要考查分式的概念．
2. 下列判断中，正确的是（
） A 、分式的分子一定含有字母
B 、只要分式的分子为零，则分式的值为零
C 、2
x x 不是分式而是整式
D 、只要分式的分母为零，则分式必无意义
【难度】★ 【答案】D
【解析】考查分式的概念．
3. 以下分式化简：（1）；（2）；（3）
； （4）．其中错误的有（
）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
【难度】★ 【答案】C
【解析】（1）（2）（3）都是最简分式，不能化简． 【总结】本题主要考查最简分式的概念以及如何化简分式．
4. 不改变分式的值，使分式115101139
x y
x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（ ）
A 、10
B 、9
C 、45
D 、90
【难度】★ 【答案】D
【解析】找5，10，3，9的最小公倍数． 【总结】本题主要考查分式的基本性质．
2222
1131321223x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，42226131x x x x ++=--x a a
x b b +=+22x y x y x y +=++22
x y x y x y
-=-+
5. 分式
1a b +、22
2a a b
-、b
b a -的最简公分母是（ ）
A 、()
()()22a b a b b a +-－ B 、()
()22a b b a +－ C 、()
()22a b b a -－
D 、22a b -
【难度】★ 【答案】D
【解析】考察最简公分母的定义．
6. 化简：22
2m n m mn -+的结果是（ ）
A 、2m n m -
B 、m n m
-
C 、
m n
m
+ D 、
m n
m n
-+ 【难度】★ 【答案】B
【解析】()()()222=m n m n m n m n
m mn m m n m +---=++．
【总结】本题主要考查分式的约分．
7. 已知：25，a b ab +==-，则a b
b a +的值等于（ ） A 、2
5
-
B 、145
- C 、195
- D 、245-
【难度】★★ 【答案】B
【解析】()2
222221014
55
a b ab a b a b b a ab ab +-+++====--．
【总结】本题一方面考查异分母分式的加法，另一方面考查整体代入思想的运用．
8. 在下列各式中：①2
22mn a b -?? ???
；②42528m n an a b bm -?；③2
2
22m nb ab a ??
??
? ? ?-????
；④2222mn a ab m ÷．
相等的两个式子是（ ）
A 、①②
B 、①③
C 、②③
D 、③④
【难度】★★ 【答案】B
【解析】①2
2224224mn m n a b a b -??
= ???；
②4223
524288m n an m n a b bm a b -?=-；
③2
2
22222224242244m nb m n b m n ab a a b a a b ??
??
?=?= ? ?-??
??
； ④2222222232222mn a mn m m n ab m ab a a b ÷=?=．
【总结】本题主要考查分式的约分．
9. 计算222226
62
x x x x x x x x --+-÷
--+-的结果是（ ）
A 、13
x x --
B 、19
x x +-
C 、2219
x x --
D 、2213
x x ++
【难度】★★ 【答案】C
【解析】()()()()()()()()()()()()222222212111261
623232339x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+---+--÷=?==--+--++-+--．
【总结】本题主要考查分式的除法运算，注意要先分解因式．
10. 化简：
2129m -＋2
3
m +的结果是（ ） A 、
26
9
m - B 、
2
3
m - C 、
2
3
m + D 、
226
9
m m +- 【难度】★★ 【答案】B 【解析】
212
9
m -＋()()2222323212239993m m m m m m m -+=+==+----． 【总结】本题主要考查异分母分式的加法运算．
11. 计算2222
2a b a b a b
a b a b ab ??+---? ?-+??
的结果是（ ）
A 、
1
a b
- B 、
1
a b
+ C 、a －b D 、a ＋b
【难度】★★ 【答案】B
【解析】2222
2a b a b a b a b a b ab ??+---? ?-+??()()()()()2
222a b a b a b a b a b a b a b ab
??-+-=-???+-+-???? ()()22ab a b a b a b ab -=
?+-1
a b
=
+． 另：本题也可以利用乘法分配律，不用先算括号里面的也可以计算．
【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意按照运算法则进行计算．
12. 已知2519970x x --=，则代数式
()
()2
2
2112
x x x ---+-的值为（ ）
A 、1999
B 、2000
C 、2001
D 、－2
【难度】★★ 【答案】D 【解析】
()
()2
2
2112
x x x ---+-22442112x x x x x -+-+-+=-242x x -+=-()222x x --=-2=-．
【总结】本题主要考查分式的化简，分式的最终结果跟x 的取值并无关系．
二、填空题 13. 分式
()()
()()
1221x x x x +---有意义的条件是_________．
【难度】★
【答案】2≠x 且1≠x ．
【解析】考察分式有意义的条件是分母不为0．
14. 桶中装有液体纯农药a 升，刚好一满桶，第一次倒出8升后用水加满，第二次倒出混合
药4升，则这4升混合药液中的含药量为__________升． 【难度】★
【答案】a a 32
4-．
【解析】4升中含药百分比为
a
a 32
4-． 【总结】本题主要考查的是含药量的问题，与浓度有关，可以选择性的讲解．
15. 当x =_________时，分式23
1
x x --的值等于1． 【难度】★ 【答案】2．
【解析】132-=-x x ，∴2=x ．
【总结】当分式的值为1时，在分式有意义的背景下，说明分子与分母相等． 16. 若13x x +
=，则221
x x
+=______． 【难度】★ 【答案】7．
【解析】2
2
22112327x x x x ??
+=+-=-= ??
?．
【总结】当已知互为倒数的两个数的和时，它们的平方和等于和的平法减2．
17. 若269a a -+与1b -互为相反数，则式子()a b a b b a ??
-÷+ ???
的值为__________．
【难度】★★
【答案】3
2
．
【解析】∵269a a -+与1b -互为相反数，∴2
6910a a b -++-=，即()0132=-+-b a ，
∴3=a ，1=b ．
∴()22123a b a b a b a b b a ab a b ab --??
-÷+=
?== ?+??
． 【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面注意相反数的概念．
18. 当x _______时，分式
1111x
+
+有意义．
【难度】★★
【答案】1-≠x 且2-≠x ．
【解析】∵01≠+x 且011
1≠++x ，∴1-≠x 且2-≠x ．
【总结】本题主要考查分式有意义的条件．
19. 当x _______时，分式
211x
x
++的值为零． 【难度】★★ 【答案】2-=x ．
【解析】由题意，得：02=+x 且0≠x 且01
1≠+x
，所以2-=x ． 【总结】本题主要考查分式值为零的条件．
20. 已知：222222M xy y x y
x y x y x y
--=+--+，则M =_________．
【难度】★★ 【答案】2x ．
【解析】因为()()()2
22
2222
2x y xy y x x y x y x y x y --+=-+--，所以2M x =．
【总结】本题一方面考查异分母分式的加减，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时， 分子也相等．
21. 若2
2
3a b ab +=，则333
2211b b a b a b ????
+÷+ ? ?--?
???的值等于_____________． 【难度】★★★
【答案】2
1
．
【解析】3332211b b a b a b ????+÷+ ? ?--????333333322a b b a b b a b a b a b a b ??--??=+÷+ ? ?----????
3333
a b a b
a b a b +-=?-+
()()()()2222a b a b ab a b
a b
a b a b ab ++--=?
+-++2222a b ab a b ab +-=++33ab ab ab ab -=+12
=． 【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查整体代入思想的运用．
22. 已知对任意x 有324231+3
x A Bx C
x x x x x ++=+
+--+，则A =_______，B =______，C =______． 【难度】★★★
【答案】1；-1；-1．
【解析】因为222(3)()(1)1+3(1)(3)A Bx C A x x Bx C x x x x x x x +++++-+=-+-++ 3()()(3)
23
A B x A B C x A C x x ++-++-=
+-，
又
3
2
4231+3
x A Bx C
x x x x x ++=++--+
所以0134A B A B C A C +=??-+=??-=?， 解得111A B C =??
=-??=-?
．
【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时， 分子也相等．
三、计算题
23. 将下列分式化为最简分式：
（1）222a ab a b +-； （2）2239m m m --；
（3）2
223
332ab b a b ab b +++．
【难度】★ 【答案】（1）
b a a -；（2）3+-m m ；（3）b
a +3． 【解析】（1）()()()222
a a
b a ab a
a b a b a b a b ++==-+--；
（2）()()()22339333
m m m m m m m m m --==--+-+；
（3）()()()()222232233333
22b a b b a b ab b a b ab b a b
b a ab b b a b +++===++++++．
【总结】本题主要面考查分式的约分．
24. 计算：
（1）；
（2）
． 【难度】★ 【答案】（1）
b ad 52；（2）ax
103
． 【解析】本题考查分式的乘法．
25. 计算：
（1） ；
（2）22
41
222a a a a a ??-? ?--+??
． 【难度】★ 【答案】（1）
1-x x ；（2）a
1
． 【解析】（1）原式=()()1
1112-=-+?+x x
x x x x x ；
（2）原式=
()()()()a
a a a a a a a a a 12122221
242=+?--+=+?--． 【解析】本题主要考查分式的除法运算．
22635a b cd
c ab --?21285xy
x y a
÷2211
x x x x
+-÷
26. 计算：
（1）
2
16
39a a -
+-； （2）
2
313
26629x x x -+
+--． 【难度】★
【答案】（1）
3
1
-a ；（2）()()332-+x x x ．
【解析】（1）原式=()()()()()()3
1
333336333-=
-++=-++-+-a a a a a a a a a ； （2）原式=
()()()()()()()()()()()
33233243326332333233-+=-+=-++-+++-+-x x x
x x x x x x x x x x x ．
【解析】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意最终结果一定要化到最简．
27. 计算：
（1）22266
(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+??--+-；
（2）222
221211()(22x x x x x x x x --+÷÷---+．
【难度】★★
【答案】（1）2；（2）x
x -22
．
【解析】（1）22266
(3)(2)443
x x x x x x x x -+-÷+??--+-
()
()
()()2
23321(2)33
2x x x x x x x -+-=
?
??-+--
2=；
（2）222
221211()()22x x x x x x x x
--+÷÷---+
()()()()
()2
22
222
121211x x x x x x x --=??+-+-
2
2x x
=
-． 【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用．
28. 计算：
（1） 22
22
1244n m m n m n m mn n --+÷
--+； （2）322114
221x x x x x x ??+--+? ?-++??
． 【难度】★★ 【答案】（1）
n
m n
+3；（2）44223+-+x x x ． 【解析】（1）原式()()()
2
122m n m n n m m n m n +--=+÷--()()()2
212m n n m
m n m n m n --=+?-+-
21m n m n -=-
+3n
m n =
+；
（2）原式32221414
2121x x x x x x x x +---=?+?
-+++ ()()()()()()()()
2112211222
1
2
1
x x x x x x x x x x x x x +-++-+-+-=
?
+
?
-+++
()()()()
21212x x x x x =-+++--
32244x x x =+-+．
【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意对法则的准确运用以及方法的选择．
29. 计算：
（1） ； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）
()()()()2423-++-x x x x ；（2）2
2+-a a ． 【解析】（1）原式()()()()()()2
2
32444322x x x
x x x x x -+-=??+--+-()()()()3242x x x x -+=+-；
（2）原式()()()
()()
2
11221112a a a a a a a -++-=??+-+2222a a
a a --=-
=
++．
【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用．
2222963441644x x x x x x x x -+-++÷?---22
214(1)441
a a a a a a --÷+?
++-
30. 已知a ，b ，x ，y 是有理数，且()2
0x a y b -++=，
求代数式：2222
a ay bx
b a ax by b x y a b
+-+++-÷
++的值． 【难度】★★
【答案】2
1
．
【解析】由题意得：a x =，b y -=．
所以2222a ay bx b a ax by b x y a b +-+++-÷++()22
2222
a a
b ba b a a b b a b a b
+?--++--=÷
-+
()()2222a b a b a ba b a b a b
+--+=÷-+()()()2
2a b a b a b a b a b -+=?-+-1
2=． 【总结】本题一方面考查非负数的特性，另一方面考查分式的除法运算．
31. 计算：()()22
1111a b a b a b a b ????
-÷-?? ?+-??
+-???? 【难度】★★★ 【答案】2
22b a a
-．
【解析】原式()()()()()()()()2222
a b a b a b a b a b a b a b a b ????--+--+=÷????+-+-?
???????()()()()2242a b a b ab
b a b a b +--=?-+- ()()2a a b a b =
+-2
2
2a
a b
=-．
【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意有括号时先算括号里面的．
32. 计算：
22221111
3256712920
x x x x x x x x +++
++++++++ 【难度】★★★
【答案】5
64
2++x x ．
【解析】原式()()()()()()()()1111
12233445x x x x x x x x =+++
++++++++ 11111111
12233445
x x x x x x x x =
-+-+-+-
++++++++
1115x x =-++()()415x x =++2
4
65x x =++．
【总结】本题主要考查异分母分式的加法运算，注意裂项法的运用．
33. 计算：
2
2
22x z y x y z
x xy xz yz x xy xz yz
+-++--+-+++． 【难度】★★★
【答案】2
22y
x y
-． 【解析】原式()()()()x z x y x y x z x x y z x y x x y z x y ++-+++=--+-+++()()()()x z x y x y x z
x z x y x z x y ++-+++=-
+-++
1111x y x z x z x y ??=
+-+ ?
-+++??11x y x y =--+()()2y
x y x y =-+222y x y =-．
【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意裂项法的运用．
34. 计算：
2222
11a b a b
a b a b a ab b a ab b -++--
-+++-+． 【难度】★★★
【答案】4
66
6ab a b -．
【解析】原式22
2
211a b a b
a b a ab b a b a ab b -+=-+--+++-+
()
()()
()
()()
2
2
22222222a ab b a b a ab b a b a b a ab b a b a ab b ++---+-+=
+
-+++-+3333
33ab ab
a b a b
=
--+ ()()
()()
33333
33333ab a b ab a b a
b a b +--=
-+4
6
6
6ab a b =-． 【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意立方差和立方和公式的运用， 2233()()a b a ab b a b ±+=±m ，立方差和立方和有些学校不讲，请选择运用．
四、解答题
35. 为何值时，分式无意义？ 【难度】★
【答案】4
1
-=x ．
【解析】考查分式无意义的条件是分母为0．
x 21
41
x x ++
36. 求下列各分式有意义的条件：（1）；（2）；（3）． 【难度】★
【答案】（1）0≠x ；（2）3-≠x ；（3）b a ≠2，且0a ≠，0b ≠． 【解析】考查分式有意义的条件是分母不为0．
37. 当为何值时，下列分式的值为0？ （1）；
（2）；
（3）288
x
x +；
（4）22421
6136
x x x x --++
【难度】★
【答案】（1）1-=x ；（2）2
1
=
x ；（3）0=x ；（4）7=x 或3-=x ． 【解析】分式值为0的条件是分子为0且分母不为0．
38. 若，的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？ （1）；
（2）22
x y
x y -+；
（3）22
239x y x
+．
【难度】★
【答案】（1）不变；（2）缩小为原来的31
；（3）扩大为原来的3倍．
【解析】考查分式的基本性质．
39. 求下列各组分式的最简公分母：
（1），，；
（2），，．
【难度】★★
【答案】（1）()()2
117-+a a ；（2）()()()215++-x x x ．
【解析】考查最简公分母的定义．
1x 33
x +2a b a b +--x 1x x
+213
x x -+x y x y x y
+-277a -2312a a a -+2
1
1a -2145x x --232
x
x x ++22310x x x --
40. 把下列各式通分．
（1），，；
（2）
，，．
【难度】★★
【答案】（1）z y x z xy y x 33221204583-=-，z y x y yz x 332312050125=，z
y x x z xy 332
312018203-=-；
（2）()()()()()11111122
+--+=-+x x x x x x x x ，()()()2221111-+-=-x x x x x x x ，()()()2
21112122-++=
+-x x x x x x x ． 【解析】考查分式的基本性质．
41. 求代数式的值：23621
4422
x x x x x x +-÷-
+++-，其中6x =-． 【难度】★★
【答案】1
4-．
【解析】原式()()
2
3221222x x x x x ++=
?---+3122x x =---2
2x =-， 当6x =-时，原式21
624=
=---．
【总结】本题主要考查分式的化简求值，注意符号的变化．
42. 已知：250m n -=，求下式的值：11n m n m m m n m m n ?
???+-÷+- ? ?-+????
．
【难度】★★
【答案】18
7
-．
【解析】∵250m n -=，∴2
5=n m ． ∴
52=m n ，35=-n m m ，7
5=+n m m ． ∴原式=18735241547552135521-=÷-=??
?
??-+÷??? ??-+． 【总结】本题主要考查分式的性质，也可以先对所求值的分式进行化简再求值．
238x y -3512x yz 33
20xy z -1(1)x x x +-21x x -22
21
x x -+
43. 已知21610x x --=，求331
x x
-的值． 【难度】★★ 【答案】4144．
【解析】∵21610x x --=，∴161
=-
x
x ．
∴3
31x x -2211++1x x x x ????=- ???????2
11=+2+1x x x x ??????--?? ? ?????????
()
2
=1616+3?=4144．
【总结】本题综合性较强，一方面考查对原式的变形，另一方面考查立方差的运用．
44. 已知：0a b c ++=，8abc =，求证：111
0a b c
++<． 【难度】★★
【答案】证明略，见解析．
【解析】∵0=++c b a ，∴()()022222
=+++++=++ac bc ab c b a c b a ．
即2222220a b c ab ac bc +++++=．∴2221
()2ab ac bc a b c ++=-++．
∵8abc =， ∴a 、b 、c 均不为零．
∴2221111
=
()016
bc ac ab a b c a b c abc ++++=-++<． 【总结】本题综合性较强，主要还是利用了异分母分式的加减以及完全平方公式．
45. 已知2222233+
=?，2333388+=?，244441515+=?，…，若21010a a
b b
+=?（a 、b 为正整数），求分式22
222a ab b ab a b
+++的值．
【难度】★★★
【答案】990
109
．
【解析】找规律可知：10=a ，99=b ．
所以()()2
222221099109990990
a b a ab b a b ab a b ab a b ab +++++====++．
【总结】本题是一道规律题，解题时注意总结．
46. 已知2210a a +-=，求222
142442a a a a a a a a ---??-÷
?++++??
的值． 【难度】★★★ 【答案】1．
【解析】原式()()2
212242a a a a a a a ??--+=-???+-+????
()2224242a a a a a a a --++=?-+()12a a =+21
2a a =+． 又2210a a +-=，所以原式=1．
【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面考查整体代入思想的运用．
47. 已知1abc =，求111
a b c
ab a bc b ac c ++
++++++的值． 【难度】★★★ 【答案】1．
【解析】因为1abc =，所以a 、b 、c 均不为零．
所以原式1a b c
ab a abc bc b ac c abc =
++
++++++11111b c b bc bc b c b
=++++++++ 1111b bc b bc bc b bc b =
++++++++11b bc
b b
c ++=++1=．
【总结】本题综合性较强，要善于发现每一项的特征，从而利用代入法求出结果．
48. 已知a 、b 、c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15
ca c a =+，
那么abc
ab bc ca ++的值是多少？ 【难度】★★★ 【答案】61
．
【解析】∵13ab a b =+，14bc b c =+，1
5ca c a =+， ∴3=+ab b a ，4=+bc c b ，5=+ca c a ． ∴311=+b a ，411=+c b ，511=+c a ， ∴121112=???
??++c b a ． ∴61
11=++c
b a ． ∵
61
11=++=++c
b a ab
c ac bc ab ，
∴
1
6
abc ab bc ca =++．
【总结】本题主要考查对分式之间的关系，要善于总结．
49. 若111122229999199991A +=+，2222333399991
99991
B +=+，试比较A 与B 的大小．
【难度】★★★ 【答案】A B >．
【解析】设1111
9999a =，则2+1
=1
a A a +，23+1=1a B a +．
则B A -232
2323+1+12=11(1)(1)a a a a a a a a a -+-=++++2
23(1)(1)(1)
a a a a -=
++． 又111199991a =>，所以10a ->．
所以0A B ->，所以A B >．
【总结】本题主要考查通过换元法试原来的式子变得简洁一些，然后再通过做差比较两数大 小．
50. 设10x y z a b c a b c x y z ++=++=，，求222
222x y z a b c
++的值．
【难度】★★★
【答案】1．
【解析】设m a x =，n b y =，t c z
=．
∵1x y z
a b c ++=， ∴1=++t n m ． ∵0=++z c
y b x a ， ∴
01
11=++t
n m ， ∴
0=++mnt
mn
mt nt ，
∴0=++mn mt nt ．
∴()()2222
22222222101x y z m n t m n t mn nt mt a b c
++=++=++-++=-=． 【总结】本题也是考查对换元法的理解和运用．
分式知识点归纳 一、分式的定义： 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 三、分式的基本性质 （1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 四、分式的约分 1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 3．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约 去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！） 2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法： 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
分式计算题精选1.计算（x+y）2．化简3．化简：4．化简：5．化简：6.计算：
7.化简：． 8.化简： 9.化简：． 10计算：．11.计算：．12．解方程：．
13.解方程： 14.解方程：=0． 15.解方程：（1） ． 16. 17解方程：﹣=1； ﹣=0．18.
20.已知 3x 2 + xy - 2 y 2 = 0 （ x ≠0， y ≠0），求 - - 的值。 1 ? ? x ，求 1 ? ? x ，求 19.已知 a 、 b 、 c 为实数，且满足 (2 - a )2 + 3 - b 2 + c 2 - 4 (b - 3)(c - 2) = 0 ，求 1 1 + 的值。 a - b b - c x y x 2 + y 2 y x xy 21.计算已知 x 2 1 ? 1 ?= - ?÷? + x ? 的值。 x 2 - 2 1 - 2 ? 1 - x 1 + x ? ? x 2 - 1 ? ? 1 1 1 ? x - y = 3 22.解方程组： ? ? 1 1 = 2 ?? x y 9 23.计算（1）已知 x 2 1 ? 1 ?= - ?÷? + x ? 的值。 x 2 - 2 1 - 2 ? 1 - x 1 + x ? ? x 2 - 1 ?
- x - y ?? ÷ 25. ? 24. 1 1 2 4 + + + 1 - x 1 + x 1 + x 2 1 + x 4 ? 2 2 ? x + y ?? x - y - ? 3x x + y ? 3x ?? x
2014寒假初中数学分式计算题精选 参考答案与试题解析 1计算（x+y）?=x+y． 解：原式=． 2化简，其结果是． 解：原式=??（a+2）+ = + = = =． 故答案为： =． 3 解：原式=×=． =． 4 解：=1﹣=1﹣==．5化简：=．
分式的意义和性质 一、分式的概念 1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做 分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。 2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不 一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有 意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。 3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。 （2）分式：，当B≠0时，分式有意义。 （3）分式：，当时，分式的值为零。 （4）分式：，当时，分式的值为1。 （5）分式：，当时，即或时，为正数。 （6）分式：，当时，即或时，为负数。 （7）分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的基本性质： 1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。 2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式） 3、学习基本性质应注意几点： （1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零； （2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子； （3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。 4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。 5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子： ，。 四、约分： 1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。 2、约分的理论依据是分式的基本性质。 3、约分的方法： （1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。 例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3） （4）
初中数学分式随堂练习40 一、选择题（共5小题；共25分） 1. 下列各式与相等的是 A. B. D. 2. 若，，，则，，大小关系是 A. B. C. D. 3. 为保证达万高速公路在年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲 队单独完成这项工程比规定时间多用天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前天完成任务．若设规定的时间为天，由题意列出的方 程是 A. B. C. D. 4. 若为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的的值有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 已知关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是 A. B. C. 且 D. 二、填空题（共4小题；共20分） 6. 要使有意义，则实数的取值范围是． 7. 一种病毒的直径为米，用科学记数法表示为米． 8. 如果，那么的结果是． 9. 年月，全球首个火车站在上海虹桥火车站启动．虹桥火车站中网络峰值速率为 网络峰值速率的倍．在峰值速率下传输千兆数据，网络比网络快秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，依题意，可列方程为． 三、解答题（共4小题；共52分） 10. 阅读下列材料：
方程的解是；的解是；的解是； （即）的解是． 观察上述方程与解的特征，猜想关于的方程的解，并利用“方程的解” 的概念进行验证． 11. 求下列各分式的值： （1），其中． （2），其中，． 12. 计算：． 13. 阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 【解析】 由分母为，可设，则 对应任意，上述等式均成立， ，， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （2）直接写出时，的最小值为．
分式的概念及性质 定义 示例剖析 分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 A B 叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且0B ≠． 例如211 a ax +， 分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等 于零即0B ≠． 使1x 有意义的条件是0x ≠ 分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零． 即当0A =且0B ≠时，0A B =． 使1 1x x -+值为0的x 值为1 知识互联网 模块一 分式的基本概念 知识导航
【例1】 ⑴下列式子：2 124233a x y a x x x a b x +---π，，，， ，1 x x y +其中是分式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ⑵当x 时，分式 2x x +有意义；当x 时，分式21 1 x +有意义； ⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？ ① 213x x -+ ②6(6)(1)x x x --+ ③ 216(4)(1)x x x -+- ④ 288 x x + ⑤ 2225(5)x x -- 【例2】 ⑴当x 时，分式 233x x --的值为1；如果分式1 21x x -+的值为1-，则x 的值是_____. ⑵当x 时，分式48x -的值为正数；当x 时，分式48x x --的值为负数；当 x 时，分式6 1x +的值为正整数. ⑶当3x =-时，分式x b x a --无意义，当5x =时，分式x b x a --的值为0，则a b +=_____. 能力提升 夯实基础 模块二 分式的基本性质
2014寒假初中数学分式计算题精选 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．（2012?台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程 中正确的是（） A．B．C．D． 解答：解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时， 根据回来时路上所花时间比去时节省了，得出回来时所用时间为：×， 根据题意得出=×，故选：A． 2．（2011?齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（） A．0和3 B．1C．1和﹣2 D．3 考点：分式方程的增根；解一元一次方程． 专题：计算题． 分析：根据分式方程有增根，得出x﹣1=0，x+2=0，求出即可．D 二．填空题（共15小题） 3．计算的结果是． 4．若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=3 分析： 分别将去分母，然后将所得两式相加，求出yz+xz+xy=3xyz，再将xy+yz+zx=kxyz 代入即可求出k的值．也可用两式相加求出xyz的倒数之和，再求解会更简单． 点评：此题主要考查学生对分式的混合运算的理解和掌握，解答此题的关键是先求出yz+xz+xy=3xyz．5．（2003?武汉）已知等式：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，10+=102×，（a，b均为正整数），则a+b= 109． 解答： 解：10+=102×中，根据规律可得a=10，b=102﹣1=99，∴a+b=109． 6．（1998?河北）计算（x+y）?=x+y．
考点跟踪训练4 分式及其运算 一、选择题 1．(2010·孝感)化简????x y －y x ÷x －y x 的结果是( ) A. 1y B. x ＋y y C.x －y y D ．y 答案 B 解析 原式＝x 2－y 2xy ·x x －y ＝(x ＋y )(x －y )xy ·x x －y ＝x ＋y y . 2．(2011·宿迁)方程2x x ＋1－1＝1x ＋1 的解是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B 解析 把x ＝2代入方程，可知方程左边＝43－1＝13，右边＝13 .∴x ＝2是方程的解． 3．(2011·苏州)已知1a －1b ＝12，则ab a －b 的值是( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 答案 D 解析 1a －1b ＝12，2b －2a ＝ab ，－2(a －b )＝ab ，所以ab a －b ＝－2. 4．(2011·威海)计算1÷1＋m 1－m ·()m 2－1的结果( ) A ．－m 2－2m －1 B ．－m 2＋2m －1 C ．m 2－2m －1 D ．m 2－1 答案 B 解析 原式＝1×1－m 1＋m ×(m ＋1)(m －1)＝－(m －1)2＝－m 2＋2m －1. 5．(2011·鸡西)分式方程x x －1－1＝m (x －1)(x ＋2) 有增根，则m 的值为( ) A ．0和3 B ．1 C ．1和－2 D ．3 答案 D 解析 去分母，得x (x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝m ，当增根x ＝1时，m ＝3；当增根x ＝－2 时，m ＝0，经检验，当m ＝0时，x x －1 －1＝0.x ＝x －1，方程无解，不存在增根，故舍去m ＝0.所以m ＝3. 二、填空题 6．(2011·嘉兴)当x ______时，分式13－x 有意义． 答案 ≠3 解析 因为分式有意义，所以3－x ≠0，即x ≠3. 7．(2011·内江)如果分式3x 2－27x －3 的值为0，那么x 的值应为________． 答案 －3 解析 分母x －3≠0，x ≠3；分子3x 2－27＝0，x 2＝9，x ＝±3，综上，x ＝－3. 8．(2011·杭州)已知分式x －3x 2－5x ＋a ，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝________；当x <6时，使分式无意义的x 的值共有________个． 答案 6,2
分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、再乘除、后加减，同级运算从左到右（谁在前先 算谁）依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简，再求值：23393 x x x ++--，其中1x =-． 2．先化简，再求值 4 421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ． 3．先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2． 4.计算：2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5.化简: 35(2)482y y y y -÷+---
6.化简，： 2211()22x y x y x x y x +--++， 7.先化简，再求值：211122 x x x -??-÷ ?++??，其中2x =． 8.计算：22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+． 二．分式方程： 解分式方程的步骤： 1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母，分子要括起来， 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。 1、解分式方程： 2131 x x =--． 2、解方程223-=x x
3、解分式方程： 3131=---x x x 4、解方程： 22333x x x -+=-- 5、解方程 22111x x =--- 6、解方程： x x x -=+--23123. 7、解分式方程： 6122x x x +=-+ 8、 解方程33122x x x -+=--．
分式 第 1 节 分式的基本概念和性质 【知识梳理】 1．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是B A 的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．5．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 6．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．7．最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8．最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
. 分式计算题精选1.计算（x+y）? 2．化简 3．化简： 4．化简： 5．化简： 6.计算：
. 7. 化简：． 8.化简： 9.化简：． 10计算：． 11.计算：． 12．解方程：．
. 13.解方程： 14.解方程：=0． 15. 解方程：（1） ． 16. 17解方程：﹣=1； ﹣=0． 18.
. 19.已知a 、b 、c 为实数，且满足()() 02)3(432222=---+-+-c b c b a ，求c b b a -+-11的值。 20.已知0232 2=-+y xy x （x ≠0，y ≠0），求xy y x x y y x 2 2+--的值。 21.计算已知211222-=-x x ，求?? ? ??+-÷??? ??+--x x x x x 111112的值。 22.解方程组：??? ????==-92113111y x y x 23.计算（1）已知211222-=-x x ，求?? ? ??+-÷??? ??+--x x x x x 111112的值。
24.4214 121111 x x x x ++++++- 25.x y x y x x y x y x x -÷????????? ??--++-3232
2014寒假初中数学分式计算题精选 参考答案与试题解析 1计算（x+y）?= x+y ． 解：原式=． 2化简，其结果是． 解：原式=??（a+2）+ =+ = = =． 故答案为： = ． 3 解：原式=×=． = ． 4 解：=1﹣=1﹣==．5化简：= ．
分式的概念和性质（基础） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】 要点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个 常数，不是字母，如a π 是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式 不能先化简，如 2 x y x 是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式， 不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做 分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M ?÷ == ?÷ ，（其中M是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加 的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后， 字母x的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则
化简求值常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果12x x + =，则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=. 2 2 2 2 11111121 3 1()1 x x x x == = -++ + -. 2、倒数法 例2 如果12x x + =，则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 4 2 2 22 2 2 1 111()1213x x x x x x x ++=+ +=+ -=-= ∴原式=13 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则2 2 1x x + 的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2 2 2 2 1124,42 2.x x x x ++ =∴+ =-= 4、设参数法 例4 已知 0235 a b c ==≠，求分式 2 2 2 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设 235a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式= 22 2 2 2 2323532566.(2)2(3)3(5) 5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??= =- +-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求 a b c a b c +--+的值. 解：设 a b c k b c a = ==，则 ,,.a bk b ck c ak ===
第一节分式的基本概念与性质 一、课标导航 二、核心纲要 1.分式概念 一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母(B≠O)，那么式子B A 叫做分式， 注：在理解分式的概念时，注意以下四点 (1)分式的分母中必须含有字母； (2)分式的分母的值不为O ； (3)分式是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开； (4)判断分式时需要看最初形式． 2．有理式 整式与分式统称为有理式． 3．分式有意义的条件 两个整式相除，除数不能为O ，故分式有意义的条件是分母不为O ； 当分母为0时，分式无意义． 4．分式的值 (1)分式的值为零：必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 即00=?=A B A 且.0=/ B (2)分式的值为1：满足分式的分子与分母相等，且分式的分母不能为零， 即.01=/=?=B A B A (3)分式的值为-1：满足分式的分子与分母互为相反数，且分式的分母不能为零. 即 .01=/-=?=B A B A (4)分式的值为正：满足分式的分子与分母同号， 即???>>?>000B A B A 或???? <<00B A (5)分式的值为负：满足分式的分子与分母异号． 即 ???<>?<000B A B A 或????><00B A 5.分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，
即：).0(,=/÷÷==m m b m a b a bm am b a 注：①在运用分式的基本性质时，前提条件是m≠0； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的整式； 6．约分 (1)概念：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． (2)步骤： ①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去； ②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去． (3)公因式的确定：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母中的相同字母，指数取次数低的，即为它们的公因式． 7.最简分式 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．约分时，一般将一个分式化为最简分式． 8．通分 (1)概念：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分． (2)步骤 ①求出所有分式分母的最简公分母； ②将所有分式的分母变为最简公分母．同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子． (3)最简公分母的确定：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积． 本节重点讲解：四个定义，一个性质，一种求值，一个条件． 三、全能突破 基 础 演 练 1．在x x x y x y y x x --+2,4,,3,0,3π中，是整式的有 ；是分式的有 2．当x 时，分式 53+x 有意义；当x 的值为 时，分式53+x 的值为1． 3．如果分式x x x 55||2+-的值为O ，那么x 的值是( )． 0.A 5.B 5.-C 5.±D 4． (1)分式 2)1(2?+-x x 的值为正数的条件是( )． 2. 一、选择题 1．当x ＝1时，下列分式中值为0的是( ) A ． 11 x - B ． 22 2 x x -- C ． 3 1 x x -+ D ． 1 1 x x -- 2．计算221 93x x x +--的结果是（ ） A ． 13 x - B ． 13 x + C ． 13x - D ． 233 9 x x +- 3．分式 x 2 2x 6 -- 的值等于0，则x 的取值是 A ．x 2= B ．x ?2=- C ．x 3= D ．x ?3=- 4．下列式子中，错误的是 A ． 1a a 1 a a --=- B ．1a a 1 a a ---=- C ．1a 1a a a --- =- D ．1a 1a a a +--- = 5．计算： ()3 3 2xy ?-一 的结果是 A ．398x y -- B ．398x y --- C ．391x y 2 --- D ．361x y 2 --- 6．下列运算正确的是（ ） A ．2-3=-6 B ．(-2)3=-6 C ．( 23)-2=49 D ．2-3= 1 8 7．下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A ．2211 88 a a a a ---=-++ B ．()() 2 2 1a b a b -+=- C ． 22 x y x y x y +=++ D ． 052520.11y y x x ++=-++ 8．使分式29 3 x x -+的值为0，那么x （ ）． A ．3x ≠- B ．3x = C ．3x =± D ．3x ≠ 9．将分式()0,0xy x y x y ≠≠-中的x .y 扩大为原来的3倍，则分式的值为：（ ） A ．不变； B ．扩大为原来的3倍 C ．扩大为原来的9倍； D ．减小为原来的 13 10．人体中红细胞的直径约为0.000 007 7 m ，用科学记数法表示该数据为 （ ） A ．7.7× 106 B ．7.7×107 C ．7.7×10－6 D ．7.7×10－7 讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。 【趣味链接】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。 【知识梳理】 分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义. 3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式 有理式的分类：有理式 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0） 约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母： 约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】 【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D． 【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1 x ，当0 x≠时，分式有意义；当0 x=时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =， a a m b b m ÷ = ÷ (0 m≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0 m≠； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 一、分式的基本概念 【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ 1 t ，(2) 3 x x+， 221 1 x x x -+ - ， 24 x x + ， 5 2 a ，2m， 2 1 321 x x x + -- ， 3 π x - ， 32 3 a a a + 【例2】代数式 2222 113 1 321223 x x x a b a b ab m n xy x x y +-- +++ + ，，，，，，，中分式有（） A.1个 B.1个 C.1个 D.1个 分式的基本概念及性质 1 分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计 算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、再乘除、后加减，同级运算从左到右（谁在前先 算谁）依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简，再求值：23393 x x x ++--，其中1x =-． 2．先化简，再求值 4 421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ． 3．先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2． 4.计算：2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5.化简: 35(2)482y y y y -÷+--- 2 6.化简，： 2211()22x y x y x x y x +--++， 7.先化简，再求值：211122 x x x -??-÷ ?++??，其中2x =． 8.计算：22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+． 二．分式方程： 解分式方程的步骤： 1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母，分子要括起来， 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。 1、解分式方程： 2131 x x =--． 2、解方程223-=x x 3 3、解分式方程：313 1=---x x x 4、解方程：22 333x x x -+=-- 5、解方程22 1 11x x =--- 6、解方程：x x x -=+--23 123. 7、解分式方程：6 122x x x +=-+ 内容 基本要求 略高要求 较高要求 分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义 的条件 能确定使分式的值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单 的变型 能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题 分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式 1 x ，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a m b b m ÷=÷(0m ≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠； 知识点睛 中考要求 分式的基本概念及性质 ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 1. ⑴x 为何值时，分式 21 41 x x ++无意义？ ⑵x 为何值时，分式21 32x x -+有意义？ ⑶x 为何值时，分式21 1 x x -+有意义？ 2. 若分 24 1 ++x x 的值为零，则x 的值为________________________． 3. 若22032 x x x x +=++，求 21(1)x -的值. 4. 若分式216 0(3)(4) x x x -=-+，则x ； 5. （6级）若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？ ⑴2222 x y x y +- ⑵3 323x y ⑶223x y xy - 6. （4级）约分： ⑴2322 15____20a b c b c -= ⑵22 4____16x x x -=- ⑶ 2 (2)____2x y y x -=- ⑷2 2 ____mx my x y +=- ⑸22 2 249____4129x y x xy y -=++ ⑹22412____710 x x x x --=++ ⑺222222 2____2a b c bc c a b ab --+=--+ ⑻ 11 23 4____18m m m m x y x y +-+-= 课后作业 17.2分式的运算 17.2.2 分式的加减法（1） 同步练习 一、请你填一填(每小题4分,共36分) 1. 异分母分式相加减，先________变为________分式，然后再加减. 2. 分式xy 2,y x +3,y x -4的最简公分母是________. 3. 计算：2223 2 1xyz z xy yz x +-=_____________. 4. 计算：)11(1x x x x -+-=_____________. 5. 已知22y x M -=2222y x y xy --+y x y x +-,则M=____________. 6. 若（3－a ）2与|b －1|互为相反数，则b a -2的值为____________. 7. 如果x ＜y ＜0，那么x x ||+xy xy ||化简结果为____________. 8. 化简y x y x --2 2的结果为____________. 9. 计算22+-x x －2 2-+x x =____________. 二、判断正误并改正: (每小题4分,共16分) 1. a b a b a a b a a b a --+=--+=0（ ） 2. 1 1)1(1 )1(1 )1()1(1 )1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x （ ） 3. )(21 21 21 2222y x y x +=+（ ） 4.2 22b a c b a c b a c +=-++（ ） 三、认真选一选:(每小题4分,共8分) 1. 如果x ＞y ＞0,那么x y x y -++11的值是（ ）最新初中数学—分式的分类汇编及解析(5)
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