二元一次方程组与一元一次不等式经典应用题
（2007年绵阳中考）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
解：（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车（8－x ）辆，依题意，得
??
?≥-+≥-+12
)8(220
)8(24x x x x 解此不等式组， 即 2≤x ≤4． ∵ x 是正整数，∴ x 可取的值为2，3，4． 因此安排甲、乙两种货车有三种方案： 方案一，甲种货车2辆，乙种货车6辆 方案二，甲种货车3辆，乙种货车5辆 方案三，甲种货车4辆，乙种货车4辆
（2）方案一所需运费 204062402300=?+?元；
方案二所需运费 210052043300=?+?元； 方案三所需运费 216042404300=?+?元． 所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．
（2007年济南）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．
（1）设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；
（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．
解：（1）由租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8)x -辆
由题意得：4030(8)290
1020(8)100
x x x x +-??
+-?≥≥
解得：56x ≤≤
即共有2种租车方案：
第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆； 第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．
（2）第一种租车方案的费用为520003180015400?+?=元； 第二种租车方案的费用为620002180015600?+?=元 ∴第一种租车方案更省费用．
（2007资阳）年陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元. ” 王老师算了一下，说：“你肯定搞错了. ”
⑴ 王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；
⑵ 陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本. 但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，笔记本的单价可能为多少元？
(1) 设单价为元的课外书为x 本，得：812(105)1500418x x +-=- (2) 解之得：44.5x =(不符合题意) (3) 所以王老师肯定搞错了.
⑵ 设单价为元的课外书为y 本，
解法一：设笔记本的单价为a 元，依题意得： 812(105)1500418y y a +-=-- . 解之得：178+a =4y ，
∵ a 、y 都是整数，且178+a 应被4整除，∴ a 为偶数， 又∵a 为小于10元的整数，∴ a 可能为2、4、6、8 .
当a =2时，4x =180，x =45，符合题意；当a =4时，4x =182，x =，不符合题意； 当a =6时，4x =184，x =46，符合题意；当a =8时，4x =186，x =，不符合题意 . ∴ 笔记本的单价可能2元或6元 . ················· 8分 解法2：设笔记本的单价为b 元，依题意得：
[][]??
?+-+-+-+-10418)105(1281500418)105(12815000＜
＜
x x x x 解得：475.44＜＜x
∴ x 应为45本或46本 .
当x =45本时，b =1500-[8×45+12(105-45)+418]=2， 当x =46本时，b =1500-[8×46+12(105-46)+418]=6，
（2012四川泸州，6分）某商店准备购进甲、乙两种商品。已知甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。
（1）若该商品同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进的甲、乙两种商品各多少件？
（2）若该商品准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润为多少？ （利润 = 售价 - 进价）
解：（1）设购进甲种商品x 件，购进乙种商品y 件，根据题意
?
?
?=+=+.27003515,
100y x y x
解这个方程组得，??
?==.
60,
40y x
答：商店购进甲种商品40件，则购进乙种商品60件。
（2）设商店购进甲种商品x 件，则购进乙种商品（x -100）件，根据题意，得
()()?
??≥-+≤-+.890100105,
31001003515x x x x 解之得20≤x ≤22
方案一，甲种商品20件，乙种商品80件 方案二，甲种商品21件，乙种商品79件 方案三，甲种商品22件，乙种商品78件 方案一所得利润9008010205=?+?元； 方案二所得利润8957910215=?+?元 方案三所得利润8907810225=?+?元． 所以应选择方案一利润最大， 为2040元。
（2014?宜宾）在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题．每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．
（1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？
（2）小王获得二等奖（75～85分），请你算算小王答对了几道题？
（2009年河南）某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共l5
(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?
(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴.在(1)的条件下． 如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元? 设购进电视机、冰箱各x 台，则洗衣机为（15-2x ）台
依题意得：???
??
≤-++≤-32400
)215(1600240020002
1215x x x x x
解这个不等式组，得6≤x ≤7
∵x 为正整数，∴x =6或7 方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；
方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台
（2）方案1需补贴：（6×2100+6×2500+1×1700）×13%=4251（元）； 方案2需补贴：（7×2100+7×2500+1×1700）×13%=4407（元）； ∴国家的财政收入最多需补贴农民4407元.
（2011年达州）我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A 、B 、C 三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解
（1）设装运A 种物资的车辆数为x ，装运B 种物资的车辆数为y ．求y 与x 的函数关系式； （2）如果装运A 种物资的车辆数不少于5辆，装运B 种物资的车辆数不少于4辆， 那么车辆的安排有几种方案?并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案?请求出最少总运费． ）解：（1）根据题意，得：
200)20(81012=--++y x y x 200881601012=--++y x y x 202=+y x
∴x y 220-=……………………2分 （2）根据题意，得：
?
?
?≥-≥42205
x x 解之得：85≤≤x ∵x 取正整数，∴=x 5，6，7，8……………………4分 ∴共有4种方案，即
……………………5分 （3）设总运费为M 元，
则M=)20220(2008)220(3201024012-+-?+-?+?x x x x 即：M=640001920+-x
∵M 是x 的一次函数，且M 随x 增大而减小，
∴当x =8时，M 最小，最少为48640元……………………7分
（2011年广元）某童装店到厂家选购A 、B 两种服装．若购进A 种服装12件、B 种服装8
件，需要资金1880元；若购进A 种服装9件、B 种服装10件，需要资金1810元． (1)求A 、B 两种服装的进价分别为多少元？
(2)销售一件A 服装可获利18元，销售一件B 服装可获利30元．根据市场需求，服装店决定：购进A 种服装的数量要比购进B 种服装的数量的2倍还多4件，且A 种服装购进数量不超过28件，并使这批服装全部销售完毕后的总获利不少于699元．设购进B 种服装x 件，那么请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？
解：（1）设A 种型号服装每件x 元，B 种型号服装每件y 元． 依题意可得??
?=+=+18808121810109y x y x 解得???==100
90
y x ，
答：A 种型号服装每件90元，B 种型号服装每件100元．
（2）①设购进B 种服装x 件，则购进A 种服装的数量是2x+4， ∴y=30x+（2x+4）×18， =66x+72；
②设B 型服装购进m 件，则A 型服装购进()42+m 件，
根据题意得??
?≤+≥++28
4269930)42(18m m m ，解不等式得1221
9≤≤m ，
因为m 这是正整数，
所以m=10，11，12，则2m+4=24，26，28 有三种进货方案：
方案一：B 型服装购进10件，A 型服装购进24件； 方案二：B 型服装购进11件，A 型服装购进26件；
方案三：B 型服装购进12件，A 型服装购进28件．
方案一所得利润90024301018=?+?元； 方案二所得利润97826301118=?+?元 方案三所得利润105628301218=?+?元． 所以应选择方案一利润最大， 为1056元。
（2011?雅安）某部门为了给员工普及电脑知识，决定购买A 、B 两种电脑，A 型电脑单价为4800元，B 型电脑单价为3200元，若用不超过160000元去购买A 、B 型电脑共36台，要求购买A 型电脑多于25台，有哪几种购买方案？
解：设购买A 种电脑x 台，则购买B 种电脑（36﹣x ）台，由题意得：
??
?≤-+25
160000
)36(32004800＞x x x ，解得：25＜x≤28， ∵x 必须求整数， ∴x=26，27，28，
∴购买B 种电脑：10，9，8， 可以有3种购买方案，
①购买A 种电脑26，台，则购买B 种电脑10台， ②购买A 种电脑27台，则购买B 种电脑9台， ③购买A 种电脑28台，则购买B 种电脑8台．
（2012?哈尔滨）同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元． （1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
解：设购买一个足球需要x 元，购买一个篮球需要y 元， 根据题意得，
解得
，
∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元．
解：设购买n 个足球，则购买（96﹣n ）个篮球． 50n+80（96﹣n ）≤5720，
n≥65
∵n为整数，
∴n最少是66
96﹣66=30个．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
（2014?攀枝花）为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
租金（单位：元/台?时）挖掘土石方量（单位：m3/台?时）
甲型挖掘机10060
乙型挖掘机12080
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？
解：（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．
依题意得：，
解得．
答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；
（2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机．
依题意得：60m+80n=540，化简得：3m+4n=27．
∴m=9﹣n，
∴方程的解为，．
当m=5，n=3时，支付租金：100×5+120×3=860元＞850元，超出限额；
当m=1，n=6时，支付租金：100×1+120×6=820元，符合要求．
答：有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和3辆乙型挖掘机．
（2012四川广安）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．
（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？
（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？
（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？
解：（1）设购买1块电子白板需要x 元，一台笔记本电脑需要y 元，由题意得：
x=3y+30004x+5y=80000???，解得：x=15000
y=4000??
?
。 答：购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元。 （2）设购买购买电子白板a 块，则购买笔记本电脑（396﹣a ）台，由题意得：
()
396a 3a
270000015000a+4000396a -≤??≤?
-??，解得：599a 10111≤≤。 ∵a 为整数，∴a =99，100，101，则电脑依次买：297，296，295。 ∴该校有三种购买方案：
方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块；
方案二：购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块； 方案三：购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块。
（2012年河南）某中学计划购买A 型和B 型课桌凳共200套，经招标，购买一套A 型课桌凳比购买一套B 型课桌凳少用40元，，且购4套A 型和6套B 型课桌凳共需1820元。
（1）求购买一套A 型课桌凳和一套B 型课桌凳各需多少元？ 【解析】（1）设A 型每套x 元，B 型每套（40x +）元 ∴45(40)1820x x ++= ∴180,40220x x =+=
即购买一套A 型课桌凳和一套B 型课桌凳各需180元和220元。
（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买
A 型课桌凳的数量不能超过
B 型课桌凳的
23
，求该校本次购买A 型和B 型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？
（2）设A 型课桌凳a 套，则购买B 型课桌凳（200a -）套
2(200)
3180220(200)40880
a a a a ?
≤-??
?+-≤? 解得7880a ≤≤
∵a 为整数，所以a =78,79,80 所以共有3种方案。
（2011?眉山）在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A 、B 、C 三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D 、E 两地进行处理．已知运往D 地的数量比运往E 地的数量的2倍少10立方米．
（1）求运往两地的数量各是多少立方米？ （2）若A 地运往D 地a 立方米（a 为整数），B 地运往D 地30立方米，C 地运往D 地的数量小于A 地运往D 地的2倍．其余全部运往E 地，且C 地运往E 地不超过12立方米，则A 、C 两地运往D 、E 两地哪几种方案？
A 地
B 地
C 地 运往
D 地（元/立方米） 22 20 20 运往
E 地（元/立方米） 20 22 21 x+2x ﹣10=140， 解得：x=50， ∴2x﹣10=90，
答：共运往D 地90立方米，运往E 地50立方米；
（2）由题意可得，
，
解得：20＜a≤22， ∵a 是整数， ∴a=21或22，
∴有如下两种方案：
第一种：A 地运往D 地21立方米，运往E 地29立方米； C 地运往D 地39立方米，运往E 地11立方米；
第二种：A 地运往D 地22立方米，运往E 地28立方米； C 地运往D 地38立方米，运往E 地12立方米；
（3）第一种方案共需费用：
22×21+20×29+39×20+11×21=2053（元）， 第二种方案共需费用：
22×22+28×20+38×20+12×21=2056（元）， 所以，第一种方案的总费用最少．
（2014?德阳）为落实国家“三农”政策，某地政府组织40辆汽车装运A、B、C三种农产品共200吨到外地销售，按计划，40辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题：
农产品种类A B C
每辆汽车的装载量（吨）456
（1）如果装运C种农产品需13辆汽车，那么装运A、B两种农产品各需多少辆汽车？（2）如果装运每种农产品至少需要11辆汽车，那么车辆的装运方案有几种？写出每种装运方案．
解：（1）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．则
，
解得．
答：装运A、B两种农产品各需13、14辆汽车；
（2）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．则
4x+5y+6（40﹣x﹣y）=200，
解得：y=﹣2x+40．
由题意可得如下不等式组：，即，
解得：11≤x≤
因为x是正整数，
所以x的值可为11，12，13，14；共4个值，因而有四种安排方案．
方案一：11车装运A，18车装运B，11车装运C
方案二：12车装运A，16车装运B，12车装运C．
方案三：13车装运A，14车装运B，13车装运C．
方案四：14车装运A，12车装运B，14车装运C．
（2011?内江）某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．
（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？
（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？
解：（1）设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x ，y 元， 根据题意得：??
?=+=+4120527000810y x y x ，解得：???==800
60
y x ，
答：每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；
（2）设该经销商购进电脑机箱m 台，购进液晶显示器（50﹣m ）台， 根据题意得：??
?≥-+≤-+4100
)50(1601022240
)50(80060m m m m ，解得：24≤m≤26，
因为m 要为整数，所以m 可以取24、25、26， 从而得出有三种进货方式：
①电脑箱：24台，液晶显示器：26台， ②电脑箱：25台，液晶显示器：25台； ③电脑箱：26台，液晶显示器：24台． ∴方案一的利润：24×10+26×160=4400， 方案二的利润：25×10+25×160=4250， 方案三的利润：26×10+24×160=4100， ∴方案一的利润最大为4400元．
（2013?自贡）某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．
（1）求该校的大小寝室每间各住多少人？ （2）预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？ 解答
：
解：（1）设该校的大寝室每间住x 人，小寝室每间住y 人，由题意得： ， 解得：，
答：该校的大寝室每间住8人，小寝室每间住6人；
（2）设大寝室a 间，则小寝室（80﹣a ）间，由题意得：
，
解得：80≥a≥75， ①a=75时，80﹣75=5， ②a=76时，80﹣a=4， ③a=77时，80﹣a=3， ④a=78时，80﹣a=2， ⑤a=79时，80﹣a=1， ⑥a=80时，80﹣a=0．
故共有6种安排住宿的方案．
（2012浙江温州12分）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n
件产品运往A,B,C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图
所示。设安排x件产品运往A地。
（1）当n200
=时，
①根据信息填表：
A地B地C地合计
产品件数（件）x2x200运费（元）30x
②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？
（2）若总运费为5800元，求n的最小值。
【答案】解：（1）①根据信息填表
A地B地C地合计
产品件数（件）x2003x
-2x200运费（元）30x160024x
-50x56x+1600
②由题意，得
2003x2x
160056x4000
-≤
?
?
+≤
?
，解得40≤x≤
6
42
7
。
∵x为整数，∴x=40或41或42。
∴有三种方案，分别是
（i）A地40件，B地80件，C地80件；
（ii）A地41件，B地77件，C地82件；
（iii ）A 地42件，B 地74件，C 地84件。
（2）由题意，得30x +8（n －3x ）+50x =5800，整理，得n =725－7x ．
∵n －3x ≥0，∴x ≤。
又∵x ≥0，∴0≤x ≤且x 为整数。
∵n 随x 的增大而减少，∴当x =72时，n 有最小值为221。
（2007年南充）某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：
类 别 电视机 洗衣机 进价（元/台） 1800 1500 售价（元/台）
2000
1600
计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金160 600元．
（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价） 9. 解：（1）设商店购进电视机x 台，则购进洗衣机（100－x ）台，根据题意，得
????
?
≤-+≥160600
)100(15001800)
-100(21x x x x
解不等式组，得 133
3≤x ≤3
1
35．
即购进电视机最少34台，最多35台，商店有2种进货方案．
方案一，电视机34台，洗衣机66台：利润为134006610034200=?+?元 方案二，电视机35台，洗衣机65台：利润为135006510035200=?+?元 商店为了获得最大利润应选方案二，最大利润为13500元。
（2008年南充）某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配(3)x x ≥个乒乓球，已知A B ，两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元，现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算？ （2）当12x =时，请设计最省钱的购买方案．
解：（1）去A 超市购买所需费用0.9(201010)A y x =?+
即9180A y x =+
去B 超市购买所需费用201010(3)B y x =?+- 即10170B y x =+
当A B y y <时，即918010170x x +<+
10x >
当A B y y =时，即918010170x x +=+
10x =
当A B y y >时，即918010170x x +>+
10x <
综上所述：当10x >时，去A 超市购买更合算；当10x =时，去A 超市或B 超市购买一样；当310x <≤时，去B 超市购买更合算．
（2）当12x =时，即购买10副球拍应配120个乒乓球 若只去A 超市购买的费用为：
9180912180288x +=?+=（元）
若在B 超市购买10副球拍，去A 超市购买余下的乒乓球的费用为：
2000.9(123)10281+-?=（元）
281288 ∴最佳方案为：只在B 超市购买10副球拍，同时获得送30个乒乓球，然后去A 超市按九 折购买90个乒乓球． （2009年南充）某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式： 方式A 以每分钟元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基费20元外，再以每分钟元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月手机上网的时间共有x 分钟，上网费用为y 元． （1）分别写出顾客甲按A 、B 两种方式计费的上网费y 元与上网时间x 分钟之间的函数关系式，并在图7的坐标系中作出这两个函数的图象； （2）如何选择计费方式能使甲上网费更合算？ 方式A ：0.1(0)y x x =≥， 方式B ：0.0620(0)y x x =+≥， 两个函数的图象如图所示． （2012南充）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元． （1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？ （2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案． 解：（1）设大车每辆的租车费是x 元、小车每辆的租车费是y 元． 可得方程组， 解得． 答：大车每辆的租车费是400元、小车每辆的租车费是300元． 240名师生都有座位，租车总辆数≥6；每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数≤6，故租车总数为6辆，设大车辆数是x辆，则租小车(6－x)辆，得 解得 ∴4≤x≤5. ∵x是正整数， ∴x＝4或5， 于是有两种租车方案： 方案1：大车4辆，小车2辆，总租车费用2 200元； 方案2：大车5辆，小车1辆，总租车费用2 300元， 可见最省钱的是方案1. 三元一次方程组解法举例练习题附答案解析一、选择题(每题3分，共36分) 1. 解方程组，若要使运算简便，消元的方法应选取( ) （A）先消去x. （B）先消去y. （C）先消去z. （D）以上说法都不对. 2. 三元一次方程组，消去未知数后，得到的二元一次方程组是( ) （A ）.（B ）.（C ）.（D ）. 3. 三元一次方程组的解是( ) （A ）. （B）. （C ）. （D ）. 4. 已知是方程组的解，则，，的值为( ) （A ）. （B ）. （C ）. （D）. 5. 若方程组的解和的值互为相反数,则的值等于( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)3. 6. 已知方程组有无穷多组解,则的值分别为( ) (A)． (B) ． (C) ．(D) 可取任意值． 7．己知，，满足方程组，则( ) （A ）．（B ）．（C ）．（D ）． 8. 若三元一次方程组的解使，则的值是( ） （A）0.（B ）.（C ）.（D）-8. 9 ．如果，且，，则( ) （A）18.（B）2.（C）0.（D）-2. 10. 若，，都是不等于零的数，且，则( ) （A）2.（B）-1.（C）2或-1.（D）不存在. 11. 某瓶中装有1分，2分，5分三种硬币，15枚硬币共3角5分，则有多少种装法( ) （A）1.（B）2.（C）3.（D）4. 12. 学校的篮球数比[本文由361学习网https://www.doczj.com/doc/db10504907.html,搜集整理，小学教案https://www.doczj.com/doc/db10504907.html,]排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2:3，三种球共41个，则篮球有多少个？( ) （A）21.（B）12.（C）8.（D）35. 二、填空题(每空3分，共21分) 13．若是一个三元一次方程组，则______，_______， _______. 14 ．已知若用含的一次式表示，则________． 15. 解三元一次方程组时，若先消去，得到关于，的二元一次方程 组是_________；若先消去，得到关于，的二元一次方程组是________；若先消去，得到关于 ，的二元一次方程组是_________.因此比较简单的方法是先消去________. 16. 已知代数式， 当时， 其值为；当时，其值为3； 当时， 其值为35. 当时，其值是___________. 17. 若，则________． 18. 甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，那么甲、乙、丙这三个数分别是_______． 三、解答题(19题12分，20题9分，21-24，每题7分，共43分) 19．解下列方程组． (1)； (2) ． 20．已知关于 ，， 的方程组 和的解相 同，求，，的值． 21. 有一个三位数，个位数字是百位数字的3倍，十位数字比百位数字大5，若将此数的个位数与 百位数互相对调，所得新数比原数的2倍多35，求原数． 22. 如果与是同类项，求，，的值． 23. 某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需 的劳动力人数及投入的设备奖金如下表： 农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入奖金 水稻4人1万元 棉花8人1万元 蔬菜5人2万元 已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有 工作，而且投入的资金正好够用？ 24. 今有上等谷子三捆，中等谷子二捆，下等谷子一捆，共得谷子三十九斗；如果有上等谷子二 捆，中等谷子三捆，下等谷子一捆，共得谷子三十六斗；上等谷子一捆，中等谷子二捆，下等谷子三 捆，共得谷子三十三斗.上、中、下三等谷子一捆各多少斗？ 三元一次方程组--- 三元一次万程组专项练习 90题（有答案） 'z+y= - 2 x+y=2z=414 .十 z 二-1. 15 . r-2yfz=-2. jH-2y+3z=0 x+y+z=12 x - 2yf z= - 5 16 .- 2x+3y+z=9 ② 17 ? x+2y - z=6 26. * 2x+y~3z=10 ? - 9y+7z=3③ 3x - yfz=10 3x+2y - 4E =3 f 2x+3y+z=6 1. r -护2疋二-1 . 2 x+2y - z=5 '2x+3y- z=4 3x - 2y+3z-7 x+3y - 2z= - 1 \+y+z=l 19. r- 2厂 z=3 . 2x - y+z=O f 3r+2y+x=13 20. ic+y+22-7 2x+3y- z=12 3. \+y^z=12 * x+2y - z=6 4 3x-y+z=10 x+y _ z=5 * 2x+3y+^10 x - 2y- z=20 x ： ys z=7； 8； 21. * 2x+ 7y - 6z=16 \ -艸血二5 .22. 2x+y- z=l 3x - z=0 ① ② ③ '2a+b+c=0 5. ' 4a+2b+ c-56. 2a - b+ u 二 4 7. 3x - y+z=4 “ K+y+z=6 2x+3y- z=12 L 2x+y+z~9 3x+4y+z=18 b- c=3 9. f i+y+E=6 x - y=l 2x - y+z=5 8. a- 2b= - 9 . L 2c+a=47. r 3x-^2z=3p +^s=6 10, &r+y _ 3z?=ll * x+y - z=0 x+y+z=12 x - y= - 1 L 3x+2y+5z=2 12.心-2厂工二6 . 13 4x+2y- 7z=30. L K - y+z=2 * s+y - ￡= _ 2 . L x+y+z=O y - y - 5z=4 23. * 2x+y - 吐=10 .、 L 3x+y+z=8. 24.已知方程组『W 的解能使等式 5x - 2y=D~ 1 4x - 6y=10成立，求m 的值.、 25 . 当 a 为何值时’方程组｛”；卅的解x 、 \+y+z=4 ① \+y=2 * i - y+z=O ② 27 . y+2z=4 . 28. L K -Z =8 ③ i 时工二1 18 y 的值互为相反数. 《9.3一元一次不等式组》（2）翻转课教学设计表（网上自主学习+课堂互助探究） 习 网上、网下 发布的任 务 任务一、认真观看微课《解不等式组》和《解含有字母的一元一次不等式组》， 弄清楚以下任务： 1)能正确地解一元一次不等式组。 2)解含有字母的一元一次不等式组。 任务二、认真阅读教材《9.3一元一次不等式组》相关的内容，勾画重点，并 提出你的问题。 任务三、看完微课后，认真完成预习小测（小牛试刀） 学生的完 成情况 1.认真完成作业客观题，拍照上传作业。 有42位同学全部提交课本预习，课本预习同学们都很认真，4位同学不合格，合格率90.4% 。 2.预习小测完成情况： 学生的问题归纳（共性问题和个性问题）个性问题： 1、去分母漏乘。 2.系数化为1时，当系数为负数时，学生易忘记不等号的改变。共性问题： 1、含参数的不等式组字母的取值范围。 五课堂互助探究教学目标 1.熟悉一元一次不等式组的解集规律； 2.几个一元一次不等式含有参数的字母的取值范围； 3.体会数形结合，类比，化归思想。 4.培养学生团队合作精神，不畏挫折勇于探究的精神。 教师活动学生活动设计意图 预设 时间 活 动 一 展示学生课前预习、任务完成情况 反思 让学生了解自己 是否预习到位， 表扬先进，激励 后进。 2 分 钟 活 动 二 知 识 回 顾 默读 唤醒学生对已有 知识的回顾，建 构知识网络，形 成解题方法。 3 分 钟 活 动 三 典 例 精 析 做一做，2 个学生上 黑板展示， 其他学生 独自作答。 找出学生的错 误，再纠正其错 误，调动学生参 与课堂活动的积 极性。从而培养 学生数形结合的 思想及化归的思 想。 6 分 钟 三元一次方程组解应用题专项练习20题（有答案） 1、在一次足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在足球比 赛得4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？ 2、有甲，乙，丙三种货物，购买5件甲，2件乙，4件丙，需要80元；购买3件甲，6件 乙，4件丙，需要144元。问：购买甲乙丙各一件，共需多少元.？ 3、某校初中三个年级共有651人，初二的学生数比初三的学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%，求这三个年级各有多少人？ 4、某人买13个鸡蛋，5个鸭蛋、9个鹅蛋共用去了9.25元；买2个鸡蛋，4个鸭蛋、3个 鹅蛋共用去了3.20元．试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元． 5、汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现 在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多 少公里？去时上下坡路各有多少公里？ 6、一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个 位、十位的数字大2，个位十位百位上数字的和是14，求这个三位数 7、36块砖，36人搬，男搬4女搬3，两个小孩搬一块。问男人，女人，小孩各多少人？ 8、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花 和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵 红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花， 则黄花一共用了 43804380朵． 9、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，l 千克 C 水果．A 水果价格每千克2元，B 水果价格每千克1.2元，C 水果价格每千克10元． 某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，则C 水果的销售 额为 多少元？ 10、甲、乙、丙三数的和是41，甲数的2倍比丙数的3倍大3，甲、乙两数的比为3:2。求 这三个数 11、用一百块钱买一百只鸡,公鸡5块一只.母鸡三块一只.小鸡一块三只.问公鸡.母鸡.小鸡各多少只? 12、有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共值7元，1角、5角、1元各取多少枚？ 13、甲地到乙地全程是3.3km ，一段上坡，一段平路，一段下坡。上坡每小时行3km ，平路 每小时行4km ，下坡每小时行5km ，那么，从甲地到乙地要51分钟，乙地到甲地要53.4 分。求甲地到乙地的上坡、平路、下坡的路程各是多少? 14、一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个 位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数． 15.某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、 丙两组的和的 4 1，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？ 《一元一次不等式组》说课稿 说课内容:《一元一次不等式组》 教材分析: 上节课学习了一元一次不等式，知道了一元一次不等式的有关概念，本节主要学习一元一次不等式组及其解集，这是学好利用一元一次不等式组解决实际问题的关键，同时要求学生会用数轴确定解集。并且本课也通过一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解不等式的概念来类推学习一元一次不等式组的一些概念，尝试对学生类比推理能力进行培养。在情感态度、价值观方面要培养学生独立思考的习惯，也要培养学生的合作交流意识与创新意识，为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学重点：1、理解有关不等式组的概念。 2、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组。 教学难点：在数轴上确定解集。 教学难点突破办法： 一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型构成，它们的解集、数轴表示，学生很难确定，用顺口溜的方式解决问题，即：大大取大；小小取小；比小大，比大小，中间找；比小小，比大大，解不了（无解）。 学生分析： 学生已经学习了一元一次不等式，并会解简单的一元一次不等式，知道了用数轴表示一元一次不等式的解集分三步进行：画数轴、定界点、走方向。本节我们要学习一元一次不等式组，因此由一元一次不等式猜想一元一次不等式组的概念学生易于接受，同时能更好的培养学生的类比推理能力。本节所选例题也真正的实现了低起点小台阶，循序渐进，能使学生更好的掌握知识。 教学方法： 1、采用复习法查缺补漏，引导发现法培养学生类比推理能力，尝试指导法逐步培养学生独立思考能力及语言表达能力。充分发挥学生的主体作用，使学生在轻松愉快的气氛中掌握知识。 2、让学生充分发表自己的见解，给学生一定的时间和空间自主探究每一个问题，而不是急于告诉学生结论。 3、尊重学生的个体差异，注意分层教学，满足学生多样化的学习需要。 学习方法： 1、学生要深刻思考，把实际问题转化为数学模型，养成认真思考的好习惯。 2、学生做题要紧扣不等式基本性质，特别是不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，要认真检查不等号的方向是否正确。 3、合作类推法：学习过程中学生共同讨论，并用类比推理的方法学习。 教学步骤设计如下： （一）创设问题情境，引入新课： 让学生从字面上来推断一下一元一次不等式和一元一次不等式组之间是否存在一定的关系。并由验证猜想是否正确引人课题。 学生活动：猜想和推断一元一次不等式和一元一次不等式组的关系。 （二）讲授新课 1、想一想： 出示一个实际问题，请大家先理解题意，搞清已知条件和未知元素，从而确定用那个知识点来解决问题，即把实际问转换为数学模型，从而求解。通过学生的分析和解答，让学生根据一元一次不等式的有关概念来类推一元一次不等式组的有关概念。 学生活动：找出已知条件，列出所有的不等关系。互相讨论，类推概念。 三元一次方程组练习题 知识点1 三元一次方程组的概念 1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) A. 123a b b c =??=??-=? B. 213x y y z z c +=??+=??+=? C. 437521424x y x y x y -=??-=??-=? D. 357xy z x yz xy y +=??+=??+=? 知识点2 三元一次方程组的解法 2.解方程组3423126x y z x y z x y z -+=??+-=??++=? ①②③时，第一次消去未知数的最佳方法是 A.加减法消去x ，①-③×3与②-③ B.加减法消去y ，①+③与①×3+② C.加减法消去z ，①+②与③+② D.代入法消去,,x y z 中的任何一个 3.已知212223x y y z x z +=??+=??+=? ，则x y z ++的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.方程组42132x z x y y z -=??-=??+=? 经消元后得到的一个关于,x y 的二元一次方程组为 . 5.三元一次方程组1223x y y z x z -=??+=??-=? ①②③的解是 . 6.已知430x y z +-=，且4520x y z -+=，217x z =，则::x y z 为( ) A. 1:2: 3 B.1:3:2 C. 2: 1:3 D.3:1:2 7.在代数式2 ax bx c ++中，当1,1,2x =-时，代数式的值依次是0,8,9--，当10x =时，这个代数式的值是 . 8.纸箱里有红黄绿三种颜色的球，红球与黄球的个数比为1:2，黄球与绿球的个数比为3:4,纸箱内共有68个球，则黄球有个 . 9.解下列方程组: 精心整理三元一次方程组专项练习90题（有答案） 1．．2．．3． 4．．5. 6．．7． 8．．9．．10．．11．．12．．13．．14．．15．．16．． 17．． 18．． 19．． 20．． 21．． 22．． 23．． 24．已知方程组的解能使等式4x﹣6y=10成立，求m的值． 25．当a 为何值时，方程组的解x、y的值互为相反数． 26．27．． 28． 29．已知方程组的解x、y的和为12，求n的值． 30．已知方程组的解满足3x﹣ 4y=14， 求a的值． 31． （1） （2）． 32．． 33．． 34．． 35．． 36．． 37.． 38．在y=ax2+bx+c中，当x=0时，y=﹣7；x=1 时， y=﹣9；x=﹣1时，y=﹣3，求a、b、c的值．39．． 40． 41． 42．． 43．． 44．． 45．46．．47．；48．．49．．50． 51．．52．．53．．54．．55．． 56． 若，求x，y，z的值． 57．对于等式y=ax2+bx+c，有三对x，y 的值 ；；能使等式两边值相等，试求a，b，c的值． 58． 59．已知关于x，y的方程组的解也是方程4x﹣y=﹣9的解，求k的值． 60．方程组的解也是方程 4x﹣3y+k=0的解，求k的值． 61．已知等式y=ax2+bx+c，且当x=1时y=2；当x=﹣1时y=﹣2；当x=2时y=3，你能求出a，b，c的值吗？ 62．当x=1，x=2，x=4时，代数式ax+bx+c的值分别是﹣4，3，35，求a，b，c的值． 63．已知关于x，y 的方程组的解满 足3x+15y=16+2k，求k． 64．在等式y=ax 2+bx+c中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a、b、c的值．65．（1） （2）． 66．（1）； （2）． 67.（1）； （2）． 68．k取何值时，方程组的解满足5x﹣3y=0？ 69．． 70． 同步测试一 （一）填空题(每空2分，共26分）: 1．已知二元一次方程12 13-+y x ＝0,用含y 的代数式表示x,则x=___＿_ ____；当y ＝－2时，x ＝＿＿_ __＿_． 2.在（1)???-==23y x ,（２)?????-==354y x ，(3）?? ???-==27y 41x 这三组数值中， 是方程组x －3ｙ=9的解,_＿___ _是方程2x ＋y=4的解， 是方程组? ??=+=-4293y x y x 的解． 3．已知???=-=5 4y x ，是方程41x ＋2m ｙ＋7＝0的解，则ｍ=__＿___ _. ４.若方程组???=-=+13 7by ax by ax 的解是???-=-=12y x ,则a=__ ，b ＝_ ． 5.已知等式y=kx+b,当x=2时，y ＝－2；当x=- 21时,y=3,则k=___ _，b=_＿__ ． 6.若0)2b c (4 1c 4b 3a 2=-+-+，则a ∶b ∶ｃ＝______＿__ . 7.当m=___＿___时，方程x+2y=２，2x ＋y=７，mx-y=0有公共解． 8．一个三位数，若百位上的数为x,十位上的数为y ，个位上的数是百位与十位上的数的差的２倍，则这个三位数是＿_＿＿___＿__＿＿_＿_． (二）选择题(每小题2分,共16分): 9.已知下列方程组:（１）???-==23y y x ，(2)???=-=+423z y y x ,（3）??? ????=-=+0131y x y x ，(4)???=-=+0y 3y x x ，其中属于二元一次方程组的个数为（ ) （Ａ)1 (B ）2 （C)3 (D)4 10.已知2 x ｂ＋５y 3a 与－4 x ２a y 2-4b 是同类项,则b a 的值为（ ) (A ）2 （Ｂ）－２ （C ）1 （D ）-1 11.已知方程组???-=-=+1242m ny x n y mx 的解是???-==1 1y x ,那么m 、n 的值为( ） (Ａ)???-==11n m (Ｂ）???==12n m （C)???==23n m (Ｄ)???==13n m 12.三元一次方程组?????=+=+=+65 1x z z y y x 的解是( ）（A)?????===501z y x (B)?????===421z y x (C ）?????===401z y x (Ｄ）?? ???===014z y x 一元一次不等式组的概念及其解法 班级________ 姓名________ 【例1】下列四个不等式组，哪一个是一元一次不等式组，并写出这个不等式组的解集． A ．53x x <-??->? B ．11x y x y +>??-??-???+>? 【例2】（2005·南平市）解下列不等式组． （1）532,314;2x x x -???-??->??-+??<-? 元解，求a 的取值范围． 【例6】已知关于x 、y 的方程组39,51x y a x y a +=+??-=-? 的解是一对正数． （1）求a 的取值范围；（2）化简445a a +--． 【例7】若不等式组0,1x a x a ->??-? 的解集是_________． 2．（2004·绵阳市）不等式组310,27x x +??? …无解，则a 的取值范围为_________． 三元一次方程组解决实际问题 (1)、三元一次方程的概念 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 (2)、三元一次方程组的概念 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 (3)、三元一次方程组的解法 （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 典例剖析： 例解方程组 2636 31576 4949 x y z x y z x y z ++= ? ? ++= ? ?-+= ? ① ② ③ 思路探索：此方程组中没有一个未知数的系数的绝对值是1，所以考虑用加减消元法，选择消去系数较简单的未知数x，由①和②，①和③两次消元，得到关于y,z的二元一次方程组，最后求x。 解析：①×3,得 6x＋18y＋9z=18④ ②×2,得 6x＋30y＋14z=12⑤ ⑤－④,得12y＋5z=－6⑥ ①×2，得4x＋12y＋6z=12⑦ ⑦－③, 得21y＋2z=3⑧ 由⑥和⑧组成方程组 1256 2123 y z y z +=- ? ? += ? ，解这个方程组，得 1 3 2 y z ? = ? ? ?=- ? 把y=1 3 , z=－2代入①，得2x＋6× 1 3 ＋3×(－2)=6, ∴ x=5 【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 三元一次方程组（基础）知识讲解 责编:杜少波 【学习目标】 1．理解三元一次方程(或组)的含义； 2．会解简单的三元一次方程组； 3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题. 【要点梳理】 要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念 1.三元一次方程的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程． 要点诠释： (1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次． (2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零． 2．三元一次方程组的定义 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释： (1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可． （2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解． 要点二、三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤 (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点诠释： （1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是： （2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤 1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 三元一次方程组专项练习90题（有答案） 1．．2．．3．4．． 5. 6．．7．8．．9．．10 12．．13．．14．．15．．16．．17．．．18 19．．20．．21．．22．．23．．、 24．已知方程组的解能使等式4x﹣6y=10成立，求m的值．、 25．当a 为何值时，方程组的解x、y的值互为相反数． 26． 27．．28．． 31 1）（2）．32．．33．．34．．35． 36．．37. ． 38在y=ax2+bx+c中，当x=0时，y=﹣7；x=1时y=﹣9；x=﹣1时，y=﹣3，求a、b、c值．39．． 40． 41． 42．． 43．． 44．． 45．．46． 47．；48． 49．．50． 51．．52． 53．．54． 55．． 56．若，求x，y，z的值． 57．对于等式y=ax2+bx+c，有三对x，y 的值；；能使等式两边值相等，试求a，b，c的值． 58．． 59．已知关于x，y 的方程组的解也是方程4x﹣y=﹣9的解，求k的值． 60．方程组的解也是方程 4x﹣3y+k=0的解，求k的值． 61．已知等式y=ax2+bx+c，且当x=1时y=2；当x=﹣1时y=﹣2；当x=2时y=3，你能求出a，b，c的值吗？63．已知关于x，y 的方程组的解满足3x+15y=16+2k，求k． 64．在等式y=ax2+bx+c中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a、b、c的值． 65．（1）（2）．66．（1）； （2）．（1）；（2）． k 取何值时，方程组的解满足 5x﹣3y=0？ 69．． 70． 三元一次方程组专项练习1．．2．． 3．4．． 5. 6．． 7．8．． 9．．10 12．．13．． 14．．15．． 16．．17．．． 18 19．．20．． 21．．22．． 24．已知方程组的解能使等式4x﹣6y=10成立，求m的值．、 25．当a为何值时，方程组的解x、y的值互为相反数． 26． 27．．28．． 31 1）（2）． 32．．33．． 34．．35． 36．．37. ． 38在y=ax2+bx+c中，当x=0时，y=﹣7；x=1时 y=﹣9；x=﹣1时，y=﹣3，求a、b、c值．39．． 40． 41． 42．． 44．． 45．．46． 47．；48．49．．50．51．．52．53．．54． 55．． 56．若，求x，y，z的值． 57．对于等式y=ax2+bx+c，有三对x，y的值；；能使等式两边值相等，试求a，b，c的值． 58．． 59．已知关于x，y的方程组的解也是方程4x﹣y=﹣9的解，求k的值． 60．方程组的解也是方程 4x﹣3y+k=0的解，求k的值． 61．已知等式y=ax2+bx+c，且当x=1时y=2；当x=﹣1时y=﹣2；当x=2时y=3，你能求出a，b，c 的值吗？ 63．已知关于x，y的方程组的解满足3x+15y=16+2k，求k． 64．在等式y=ax2+bx+c中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a、b、c的值．65．（1）（2）． 66．（1）； （2）．（1）； （2）． k取何值时，方程组的解满足 5x﹣3y=0？ 69．． 70． 72．．73．． 74．若三元一次方程组的解使ax+2y﹣z=0，求a的值． 75．已知：，求x，y，z的值． 76．已知代数式ax2+bx+c，当x=1时，其值为﹣4；当x=7时，其值为8；当x=5时，其值为0，求a、b、c的值． 一元一次不等式组有解、无解、整数解的求参问题 【一元一次不等式组有解、无解、整式解的数轴表示】 1．一元一次不等式组有解 （1） （2） （3） （4） 2．一元一次不等式组无解 （1） （2） （3） 3．一元一次不等式组整数解 4．验证端点的取舍 【总结】①解一元一次不等式 ②数形结合，画数轴分析 ③验证端点的取 舍 例1-a ．一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集为（ ） A ．x ＜﹣3 B ．x ≥2 C ．﹣3＜x ≤2 D ．无解 例2-a ．如图表示的是某个关于x 的一元一次不等式组解集，则此不等式组的解集是（ ） A ．x ≥﹣3 B ．﹣3≤x ＜1 C ．x ＜1 D ．无解 例3-b ．若关于x 的一元一次不等式组 无解，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＞﹣ B ．m ≤ C ．m ＜﹣ D ．m ≥﹣ 例4-b ．一元一次不等式组 的解集是x ＞1，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．m ＞0 D ．m ＜0 例5-b ．一元一次不等式组的整数解的个数是 ． 例6-b ．若关于x 的一元一次不等式组有解，则m 的取值范围是 ． 例7-b ．一元一次不等式组 有5个整数解，则a 的取值范围是 ． 例8-a ．关于x 的一元一次不等式组? ??> 例9-c ．关于x 的一元一次不等式组? ??-≥-≥-1230x a x ，（1）有解，求a 的取值范围． 变式：(2)有五个整数解，求a 的取值范围． 例10-b ．关于x 的一元一次不等式组???>-≥+m x x x 148无解，求m 的取值范围． 例11-b ．关于x 的一元一次不等式组? ??->+<121m x m x 无解，求m 的取值范围． 例12-b ．关于x 的一元一次不等式组?????>+<--x x a x x 422)2(3有解，求a 的取值范围． 1、某足球联赛一个赛季共进行26场比赛（即每队均赛26场），其中胜一场得三分，平一场得一分，负一场得0分。某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分。这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？ 2、学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2：3，三种球共41个，求三种球各有多少 3、一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管4小时，乙管2小时和丙管2小时，则水池中余水5吨；若打开甲管2小时，乙管3小时，丙管1小时，则池中余水1吨，求打开甲管22小时，乙管5小时，丙管11小时，池中余水多少吨？ 4、小红买了面值为50分和230分的邮票共8枚，共用去9元4角问50分和230分的邮票各买几枚？ 5、运往某地的两批货物，第一批为440吨，用8节火车车厢和10辆汽车正好运完；第二批货物520吨，多用了2节火车车厢而少用了5辆汽车，正好运完。求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？ 6、1、有一批零件共420个，若甲先做2天，乙加入，合作2天可以完成；若乙先做2天，甲加入，合作3天可以完成，求二人每天平均做多少个？ 1．为了组织一个50人的旅游团开展“乡间民俗”游，旅游团住村民家，住宿客房有三人间、二人间、单人间三种，收费标准是三人间每人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房，旅游团如何安排住宿才能够使得住宿费最低，并说明理由． 2．有三种物品，每件的价格分别是2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品（三种物品均需买到），总数共买16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件？价格为2元的物品最少买几件？ 3．琪琪、倩倩、斌斌三位同学去商店买文具用品．琪琪说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元．”倩倩说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元．”斌斌说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格． 4．某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台5000元、B 型每台4000元、C型每台3000元，某中学现有资金100000元，计划全部用从这家电脑公司购进30台两种型号的电脑，请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由． 5．已知△ABC的周长为48cm，最长边与最短边之差为14cm，另一边与最短边之和为25cm，求△ABC各边的长． 6．已知某体育公司有A型、B型、C型三种型号的健身器材，其中价格分别是A 型每台5000元、B型每台3000元、C型每台2000元．某单位计划将87000元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的健身器材36台．请你设计几种不同的购买方案供学校选择，并说明理由． 8.1 二元一次方程组练习题 一、选择题： 1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．3x －2y=4z B ．6xy+9=0 C ． 1x +4y=6 D ．4x=24 y - 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A ．22 8 4 23119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=??=??? ? ? ?+=-==-=???? 3．二元一次方程5a －11b=21 （ ） A ．有且只有一解 B ．有无数解 C ．无解 D ．有且只有两解 4．方程y=1－x 与3x+2y=5的公共解是（ ） A ．3333 (2422) x x x x B C D y y y y ==-==-????? ? ? ? ===-=-???? 5．若│x －2│+（3y+2）2=0，则的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．32 6．方程组43235 x y k x y -=?? +=?的解与x 与y 的值相等，则k 等于（ ） 7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ①xy+2x －y=7； ②4x+1=x －y ； ③ 1 x +y=5； ④x=y ； ⑤x 2－y 2=2 ⑥6x －2y ⑦x+y+z=1 ⑧y （y －1）=2y 2－y 2+x A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．某年级学生共有246人，其中男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（ ） A ．246246216246 (22222222) x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+=????? ? ? ? =-=+=+=+???? 9.三元一次方程组?? ???=+=+=+65 1 x z z y y x 的解是（ ） （A ）?????===501z y x （B ）?? ?? ?===4 21 z y x （C ）?????===401z y x （D ）?????===014z y x 《解含字母的一元一次不等式组的解集》教学设计 抚顺市第五十六中学尹丽红教材分析：本章内容是人教版七年级数学（下）第九章，是在学习了《二元一次方程组》和《一元一次不等式（组）》后的基础上安排的内容，是为今后学习一次函数打下基础。上节课学习了《一元一次不等式组》，知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法，并会用数轴直观的得到一元一次不等式组的解集，它是解决本节课内容《含字母的一元一次不等式组的解集》的基础和关键。通过本节课知识的学习，学生能对初中数学中的分类讨论、数形结合的思想方法有进一步的认识，养成独立思考的习惯，也能加强与同学的合作交流意识与创新意识，为今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学目标： （1）知识目标：使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解，掌握一元一次不等式组的解法，会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。 （2）能力目标：培养探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。 （3）德育目标：加强同学之间的合作交流与探讨，体验数学发现带来的乐趣。 学习重点： （1）加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。 （2）通过含参数不等式的分析与讨论，让学生理解掌握分类讨论和数形结合的数学思想。学习难点： （1）一元一次不等式组中字母参数的讨论。 （2）运用数轴分析不等式组中参数的范围。 教学难点突破办法： （1）借助数轴，数型结合，让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。（2）和学生一起探讨解决问题的一般方法：先运用口诀定大小，再考虑特殊情况定等号。 七年级数学三元一次方程组同步练习题及答案 学习要求 会解简单的三元一次方程组 课堂学习检测 一、填空题 1．若?? ???=+=+=+.3,2,1z x z y y x 则x ＋y ＋z ＝__________________． 2．方程组?? ???=--=++=+1,5,7z y x z y x y x 的解是________________． 3．判断?????-===15,10,5z y x 是否是三元一次方程组?? ???=-+-=+-=++402,152,0z y x z y x z y x 的解______． 二、解下列三元一次方程组 4．?????=-+=+++=.52,14, 1z y x z y x y x 5．???=++=.36,5:4:3::c b a c b a 6．?? ???-=-=+-=-.522,34,73z x z y y x 综合、运用、诊断 一、填空题 7．方程组? ??+=--=-542,32m x y m y x 的解满足x ＋y ＝0，则m ＝________． 8．若x ＋y ＋z ≠0 且k x z y ==+2，则k ＝_________． 9．代数式ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时值为0，当x ＝2时值为3，当x ＝ －3时值为28，则这个代数式是_________． 二、解下列三元一次方程组 10．?????=++=++=++.639,324, 0z y x z y x z y x 11．?? ???=-+=-+=-+.1,5,11y x z x z y z y x 拓展、探究、思考 12．甲、乙、丙三个班的学生共植树66棵，甲班植树的棵数是乙班 植树棵数的2倍，丙班与乙班植树棵数比为2∶3，求三个班各植树多少棵? 13．三个数的和是51，第二个数去除第一个数时商2余5，第三个数 去除第二个数时商3余2，求这三个数． 答案：测试7 1．3． 2．?????-===.2,4,3z y x 3．是． 4．?????===.3,5,6z y x 5．?? ???===.15,12,9c b a 一元一次不等式组练习题 一.解下列一元一次不等式组 1．?????? >-<-322,352x x x x 2．?????->---->-.6)2(3)3(2,132x x x x 3．?????+>-≤+).2(28,142x x x 4.()324 2+1 1 3x x x x --???≥-??＜ 5.()()281043141126x x x x +≤--???-+-??＜ 6. ???????<+->+--.1)]3(2[21,312233x x x x x 7.?????????? >-->-->-24,2 55, 13x x x x x x 8. 32472x -≤-＜ 9．.234512x x x -≤-≤- 二.解答题: 10.求不等式组 () 324 12 1 4 x x x x --≤ ? ? ?- - ? ? ＜ 的整数解. 11.求不等式组 () 1 212 3 73+4 34 25 x x x x ? --≤ ?? ?? ?? ? - ?-- ?? ＞ 的负整数 解 12.求不等式组 5 13 2 2110+15 5 364 x x x x x + ? - ?? ? - ?-≥- ?? ＜ 的非负整数解. 三.．列不等式组解应用题 13.一工厂要将100吨货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆一次将货物全部运动，已知每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，租金800元，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨，租金850元，若此工厂计划此次租车费用不超过5000元，通过计算求出该公司共有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用． 三元一次方程组解应用题专项练习88题（有答案） 1．为了组织一个50人的旅游团开展“乡间民俗”游，旅游团住村民家，住宿客房有三人间、二人间、单人间三种，收费标准是三人间每人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房，旅游团如何安排住宿才能够使得住宿费最低，并说明理由． 2．有三种物品，每件的价格分别是2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品（三种物品均需买到），总数共买16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件？价格为2元的物品最少买几件？ 3．琪琪、倩倩、斌斌三位同学去商店买文具用品．琪琪说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元．”倩倩说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元．”斌斌说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格． 4．某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台5000元、B型每台4000元、C型每台3000元，某中学现有资金100000元，计划全部用从这家电脑公司购进30台两种型号的电脑，请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由． 5．已知△ABC的周长为48cm，最长边与最短边之差为14cm，另一边与最短边之和为25cm，求△ABC各边的长． 6．已知某体育公司有A型、B型、C型三种型号的健身器材，其中价格分别是A型每台5000元、B型每台3000元、C型每台2000元．某单位计划将87000元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的健身器材36台．请你设计几种不同的购买方案供学校选择，并说明理由． 第1 页共1 页三元一次方程组解法举例练习题附答案解析
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