实变函数论课后答案第三章3
第三章第三节习题
1.证明cantor 集合的测度为零，并在[]0,1上作一测度大于零的无处稠密的完备集，进而证明存在开集G ，使mG mG >.
证明：回忆cantor 集的产生过程：先从[]0,1中删除中间的开区间12
,33
??
??
?
， 剩下两个闭区间120,,,133????????????
，再删除这两个区间的中间的13， 第一次删去一个开区间，其长度为1
3；
第二次删去二个开区间，其长度为22
3
；
第三次删去四个开区间，其长度为2
323；
故cantor 集C 是由[]0,1删去了可列个开区间之并而成，删去的区间都
互不相交，总长度21123111222233333
212131
223213
n k n k k k
k --∞=∞=++++=??=== ???-∑∑ 设这可列个开区间之并为1
i i G I ∞
== ，
则()()1
1
1i i i i m G m I I ∞∞
=====∑∑
则()[]()0,1110m C m G **=-=-=. 故由60P 定理1知，C 为可测集.
用下面的方法在闭区间[]0,1上作集E ：已给正数的降序列，
12n a a a >>> ，
使1
1i i a A ∞
==<∑，从[]0,1中去掉中心在闭区间中点，而长为1a 的开区间；
其次，从剩下的两个闭区间中去掉中心在这些闭区间中点，而长为2
2
a 的开区间；
再其次从剩下的四个闭区间中去掉中心在这些闭区间中点，而长为
3
22
a 的开区间，如此作可数多次之后，剩下的集记为E ， 则[]1
0,1i i E I ∞
==- 为闭集，这里
{}
1
i i I ∞
=为去掉那些互不相交的开区间，
()231
21211
12311
2222221
n n i i n
i i n i i a a a m I m I a a a a a a A ∞
∞+==∞
+=??==+?++++ ???=+++++==<∑∑ ()()10,110i i m E m m I A ∞=??
∴=-=-> ???
如何证明cantor 集是完备的无处稠密集一样，可证E 是完备的无处稠密集.
E 是自密的'E E ?，这个证明与证明cantor 集是自密的是一致的，只需
注意以下的关键：
第一次删去一个长为1a 的开区间后，剩下两个闭区间，总长度为11a -，每个长度为
112a -，设为1112,I I ；第二步在1112,I I 中删去两个长为22
a
的开区间后，剩下四个闭区间，每个长度为
()12122
1112
222a a a a -+-??-= ??? ；第n 步后剩下每个长度为1
12
i
i n a ∞
=-∑的2n 个闭区
间i n I .
现设(),,x E αβ∈包含x 的任一开区间，令()min ,x x δαβ=--，则0δ>，
故只要()00n n δ=充分大，便有
112
n i
i n a δ=-<∑，既然x 是永远删不去的点，
x 也应该属于删去n 次后所余下的某一个闭区间0i n I ，则()0,i n I αβ?，
（()0
011,,,2
n i
i i n n a y I y x y δαβ=-?∈-<
<∴∈∑ ），于是它的两个端点也应该在
(),αβ中，但它们都是中的点，所以(),αβ至少有一异于x 的点属于E ，
这说明'x E ∈.
E 无处稠密：由上一步已知， (),αβ?包含x ，()min ,0x x δαβ=-->，
取0n 充分大，使
01
12
n i
i n a δ=-<∑，则()0,i n I αβ?，
但第01n +步将删去一个0
i n I 中的开区间，删去的部分不在E 中，这说
明E 无内点，即无处稠密.故E 是[]0,1上的无处稠密的完备集.
还可以这样：在[]0,1中作出总长度为δ()01δ<<是任意给定的稠密开集 令1
122,,1,2,i i i p p a i p
δ
δ
-+=
>==
则1
121122
212222122i
i i i p
a p i p p δδδ
∞
∞====
===+---??
∑∑ ???
故用上述方法作出开集
[]()()11
,0,1,1,
i i i i G I E G m E m G a δδ
∞
=∞
===-=-==∑
而G 是稠密与[]0,1的，上面证[]0,1E G =-无处稠密时，证明了
[]0,1x G E ?∈-=，
()()()
,,,,x αβαβαβ?∈有中既有E 中的点又有G 中的点.
故结论成立
[]()
()0,1,101
G m G m G δ∴==<=<
2.证明：只要E 可测，0ε>，就有开集G E ?，闭集合F E ?，使
()m G E ε-<， ()(),m E F m E ε-<<∞.
证明：先设E 可测，0ε>，则由外测度的定义，{}
1
i i
I ∞
=?开区间，使
()1
1
,i i i i E G I I m E ε∞
∞
==?=<+∑
而E G ?，故()()()m G E m G m E ε-=-<. 对一般E ，令()0,n E E B m = ， 则n E 可测，()1,n m m m E E E ∞
=<∞+
0,i ε∴?>?，有i G （开）(),2i i i i i
E G m G E ε
?-<
注意到()1
1
1
i i i i i i i G E G E ∞∞∞
===-?- .
故令1
i i G G ∞== ，则1
,i i E E G G ∞
==? 为开集，且
()
()()()1
1
1
1111
1
2
i i i i i i i i i i i i i i i i i
i i G G E G E m G E m G E m G E m G E ε
ε
∞∞∞
===∞∞
∞===∞∞
===-?-????
-=-≤- ? ?????
≤-<=∑∑
为证第二个结论，E ?可测，c E 也可测，由第一步结论，存在开集
(),c c G E m G E ε?-<
令c F G =，则,F E F ?为闭集 注意：()c
c F E E F =-
证明：()
c
c c x F E
x F E ?∈??
,,,c x F x E x E x F
x E F
∴???∈?∴∈-
反过来，,x E F x E x F ∴∈-?∈?
,,c x F x E ∴??c x F E ∴?
()c
c x F E ∴∈
()()()()
(
)()()c
c
c c c c m E F m F E m F E m G E m G E ε
∴-====-<
证毕
3．证明有界集合E 可测的充要条件是
{}inf |mG G G E ?为开集，={}sup |mF F F E ?为闭集， (1)
证明：先证必要性.设E 有界可测，由本节第2题，知 0ε?>，?开集G ε，闭集F ε，使得 (\)2
m G E εε
<,
(\)2
m E F εε
<
(2)
由于mE <+∞，从而也有mF ε<+∞ 从（2）可知 (\)mG mE m G E εεε-=<
(\)mE mF m E F εεε-=<
(\)(\)(\)G G E E G E E F F εεεεε=?=?? (\)(\)mG m G E m E F mF εεεε≤++ 2
2
mF εεε
≤++
故 mG mF εεε≤+ （这可不用E 有界，或mE <+∞） 则{}sup |mF F F E ?为闭集，≤mE ≤{}inf |mG G E G ?为开集， ≤mG mF εεε≤+
≤{}sup |mF F F E ε?+为闭集，
由ε的任意性，知（1）成立，即
{}{}*sup |inf |m E mF F F E mG G G E =?=?为闭集，为开集， 现设（1）成立和E 有界，我们来证明E 必可测 若（1）成立，则从F ?闭，G 开，有F E G ?? *mF m E mG ≤≤ 故
易
知，
{}{
}*i
n
f |m E m
G G
=?=为开集，为闭集，
就可以推出E 可测
n N ?∈，?开集n G E ?，1n mG mE n
<+ 因E 有界，*m E <+∞ 则*1
n mG m E n
-≤
（3）
且存在闭集n F ，n F E ?使*1
n m E mF mE n
-≤≤<+∞，
*1n m E mF n
-≤ （4）
（3）+（4）推出 2n n mG mF n
-≤ 令1
n n O G +∞
== ，1
n n F F +∞
==
则1
1
\\n n n n O F G F +∞+∞
===
11()c n n n n G F +∞+∞
===?
1
1
()c n n n n G F +∞
+∞
===?
1
()c
n n n G F +∞=?? 1
(\)n n n G F +∞
==
\m m G F ? （m ?） 则(\)(\)m m m O F m G F ≤ (\)m m m G F ≤ 2
m m mG mF m
=-≤ （m mF <∞，m m F E G ??） 令m →∞知
()()(\)0m O m F m O F -==，（F E O ?
?，mF <+∞） 即()m O =()m F
则*()()()m F m E m O mF ≤≤= *()()m E m O mF ==
**(\)(\)(\)0m O E m O F m O F ≤== P60,TH1推出O E -可测，从而
\(\)E O O E =也可测（1
n n O G +∞
== ，作为可测集的交仍可测）
证毕.
注：必要性的证明不需要E 有界.
4．证明有界集合E 可测的充要条件是对任意0ε>，都有可测集1E ，
2E 使
12E E E ??，21(\)m E E ε<
证明：必要性是显然的，取12E E E ==即可.（从本节习题2知，不用E 有界，甚至可取1E 为闭集，2E 为开集）.
下证充分性，0n ?>，?可测集n F ，n G ，n n F E G ??，
1
(\)n n m G F n
<
令1
n n O G +∞
== ，1
n n F F +∞
== ，则O ，F 都可测，且F E O ??，如同上题（本
节习题3）一样，\O F =1
1
\n n n n G F +∞+∞== ?1
(\)n n n G F +∞
= ?\m m G F ，（m ?）
则(\)m O F (\)m m m G F ≤1
m
<
， 令m →∞，得(\)0m O F =
*(\)m O E *(\)m O F ≤(\)0m O F ==
由P60,TH1得\O E 可测，从而
\(\)E O O E =可测
注：E 有界的条件是多余的
5．证明：对于n R 中任意一串点集,1,2,n E n = ，只需
12n E E E ???? ，使有
**1
()lim n n n n m E m E +∞
→∞
== （注意：本题结论不同于P64Th5,这里不要求n E 可测） 证明：由P69,Th3, k E ?,G δ?型集合k G 使得k k E G ?，*k k m E mG = 令k j j k B G +∞
== ，则k B 可测且121k k B B B B +???? ，且k k E B ?，
这是因为1k k E E +?，（1
2,3,k = ）
，则k k E G ?，,k j j j k E E G ?≥??，k j k j k
E G B +∞
=?= ，且*
k k m E mB =（*
()k k j k j k
mG m E m G mB +∞
==≥= ，又k k E B ?，
*k k m E mB ≤）
*
*
1
1
lim lim ()()k k k k n n k k m E mB m B m E +∞+∞
→∞
→∞
====≥ ，
（由P64,Th5于可测的情形） 另一方面，显然*
*1
lim ()k k n k m E m E +∞
→∞
=≤ 故*
*1
lim ()k k n k m E m E +∞
→∞
== 6．证明：若E 是n R 中的可测点集，0α>，则
{}1212(,,,)|(,,,)n n E x x x x x x E αααα∈ 也是可测的，并且
()n m E mE αα=
证明：P55习题5已证n E R ?∈，**()n m E m E αα=，故只用证E 可测时，
0α>，E α也可测即可.先证明对任取E ，n T R ?，0a >有
（i ）()()()aE aT a E T ?=? （ii ）()c c aE aE = (iii) 1
()a T T a
=
证明（i ）()()y aE aT ?∈?,y aE ∈且y aT ∈，则x E ?∈，y T ∈使
y ax =，y az =
因0a >，则x z =，y ax =，x E T ∈? 则()y a E T ∈?
反过来，()y a E T ?∈?，x E T ?∈?使y ax =，则y aE ∈，y aT ∈，
()()y aE aT ∈?
（ii ）()c y aE ?∈，y aE ? 则x E ?∈,y ax ≠,由于:n n a R R →，x ax 是n R 上的同构
（0a >）则?z 使y az =，显然z E ?，否则y az aE =∈矛盾于y aE ?，则c z E ∈，从而c y az aE =∈
反过来，c y aE ?∈，c x E ?∈，使y ax =
若y aE ∈，则z E ?∈使y az =，又0a >?x z =，c x E E ∈?矛盾 则,()c y aE y aE ?∈
（iii ）y T ?∈,1y T a ∈,11
()a y a T a a
∈
反过来，11(),y a T z T a a
?∈?∈使y az =，w T ?∈使得1
z w a =
则1
y az a w w T a
===∈ 证毕
下证E 可测推出aE 可测（0a >）
已知**()n m T m T αα=（0a >），n T R ?∈，E 可测
***11(())()n m T m a T a m T a a
==
**11()()n c a m T E m T E a a
??=?+??
??
?
**11(())(())n c a a a m T E m T E a a a a
??=?+??
??
?
**111(())(())n c n a m a T E m a T E a a a ????=?+??
??
?????
**11
(())(())c m a T E m a T E a
a
=?+?
**1
1())())c m a T aE m a T aE a a
=?+? **())())c m T aE m T aE =?+? 这说明aE 可测，证毕
则若0a >，aE 可测，则1()a E E a
=可测.
7．证明：如已知开集都是可测的，则从外测度的基本性质（i ）（ii ）（iii ）可推出基本性质（iv ）,这说明什么？
证明：这个题目的意思是：若{}*1:n m R R +→的子集的非负函数满足
（i ）**0,0m E m ≥?= （ii ）若A B ?，则**m A m B ≥ （iii ）**1
1
()n n n n m A m B ∞
∞
==≤∑
且对任意n R 中开集O 和任意集合n T R ?有 （此即开集可测的意思！） 则必有（iv ）若A 和B 的距离(,)0A B ρ> 则***()m A B m A m B ?=+ 下面我们就来证明这个结论： 证明：,n A B R ?∈，且(,)0A B ρ> x A ?∈，(,)(,)0x B A B ρρ≥> 则0x r ?>，使得(,)x B x r B ?=?
（事实上，0(,)r x B ρ?<<，即有(,)x B x r B ?=?） (,)x x A
A B x r G ∈? ，c A G ?=?
G 为开集，且G B ?=?，c B G B ?=从而有 ()A B G A G A ??=?=
()()()()c c c c A B G A G B G B G B ??=???=?= 则由G 为开集从而可测知
*****()(())(())c m A B m A B G m A B G m A m B ?=??+??=+ 故性质（iv ）的确成立.
注意到在定义了外测度后，只是用了外测度的性质（i ）（ii ）（iii ）就证明了测度的所有性质，而性质（iv ）仅用在证明“区间”的可测性（P67,Th1证明），区间的可测性加上P68引理?开集的可测性，上述结论说明：性质（iv ）与“开集可测”这一条件是等价的，也就是说，若一个集合函数*m 满足性质（i ）--(iii),加上对开集O 有
***()()()c m T m T O m T O =?+?
则*m 就是一个外测度，这一想法对学习抽象测度理论有用. 8．证明：2c =M ，即n R 中全体可测子集的类M 和n R 中全体子集的基数相同.
证明：?可测集E ∈M ，令{}()2n
R n E E R ψ=∈ 中全体子集的集合，
这显然是M 到()ψ?的一个1—1对应。 故22n
R c ≤=M
另一方面，[0，1]区间上的Cantor 集C 满足C c =?=,0mc = 故{}110n n C R R R -???= （10n R -∈）
是n R 中满足 {}{}(0)00m C mC m ?=?=的集合，从而可测，
{}0E C ???，{}*(0)0m E m C ≤?=
故E 是n R 中的可测集（P60Th1） {}0C ?~ C {}02C ?~ 2c
{}0222C C c ?== 则{}{};0E E C ??~ {}
02
C ?~ 2n
R
{}{};022n
R c E E C ??==
故M 一个子集构成的类{}{}|0E E C ??与n R 的全体子集构成的类
对等，故
2c ≥M ，前已知2c ≤M ，故由Bernstein 定理，2c =M .
9．证明对于任何闭集F ，都可作一完备集1F F ?，使1mF mF = （提示：考虑{}(,)|,0,N x F E x x F δδ=∈>使中至多有可数个点属于有，证明
0mE =）
证明：令{}(,)|,0,N x F E x x F δδ=∈>使中至多有可数个点属于有，想证
0mE =
x E ?∈，0x δ?>，使(,)x N x F δ?为至多可数集，故 {(,)|}x M N x x F δ=∈为E 的一族开覆盖，由Lindorf 定理（见P38习题5）, ?开集至多可数个i x E ∈使得1(,)i i i N x E δ+∞
=?
则从E E F =? 1
(,)i i i N x F δ+∞=?? 1
((,))i i i N x F K δ+∞
==? ，
K 是至多可数集，从而知E 也是至多可数集，从而有0mE = （P54习题2）
(\)F F E E =? （\p F E ?∈，0δ?>，
(,)N p F δ?为不可数无穷集）
令1\F F E =，我们来证明1F 是完备集
1）1F 是闭集：(\)p F E '?∈，存在(\)n p F E ∈，(,)0n n p p ρ→∞
→
则n p F ∈，推出p F ∈，
若(\)p F E ?，则p E ∈，0δ?>，(,)N p F δ?为至多可数集，
(,)0n p p ρ→，n 充分大时，(,)2
n p p δ
ρ<
，(,
)(,)2
n N p N p δ
δ?
（(,),||||||2
2
2
n n n y N p y p y p p p δ
δ
δ
δ?∈-≤-+-<
+
=）
则(,
)(,)2
n N p F N p F
δ
δ???
而(\)n p F E ∈，故(,
)2
n N p F
δ
?为不可数无穷集，这就得出矛盾
则(\)p F E ∈，即(\)(\)F E F E '?，故\F E 为闭集 2）\F E 为自密集，即\p F E ?∈，必有(\)p F E '∈
\p F E ?∈，则p E ?，则0δ?>，(,)N p F δ?为不可数无穷集. 若(,)N p F δ?中全是E 中的点，则由于前已证E 是可数集，就会得出矛盾，故从
(\)F F E E =?，(\)F E E ?=?知(,)N p F δ?中必至少有不可数无穷个\F E 中的点，否则，从E 可数，知(,)N p F δ?为可数集，得\p F E ∈矛
盾！由此可知(\)p F E '∈ 即\F E 是完备集
1(\)F F E F =?，1(\)(\)mF m F E mE m F E mF =+==，得证！（0mE =） 10．设A ，B 是1R 中的两个有界闭集，0x ，10y R ∈，10(,]A A x =?-∞，
20[,)A A x =?+∞
10(,]B B y =?-∞,20[,)B B y =?+∞,
证明：1122()()()m A B m A B m A B +≥+++
此处，“+”表示两个点集的向量和（参考第二章§2习题14）
证明：由第二章§2习题14（P38）的结论：A ，B 有界闭，则112
2
A B +也是有界闭集，从而可测，显然1
11()2
2
2
A B A B +=+
故由本节习题6，1
2(())2
A B A B +=+也可测
显然，1A ，2A ，1B ，2B 是有界闭集，故同理知11A B +，22A B +都是可测集.（第二章§2习题14已知若A ，B 无界，则A B +不一定闭，故不能保证其可测性！）
下证：1122()()A B A B A B +?+?+
事实上，i i p A B ?∈+，（1,2i =），则存在i x A A ∈?，i y B B ∈?
使得，p x y A B =+∈+，则1122()()A B A B A B +?+?+
注意：若1122()()p A B A B ∈+?+，则11x A ?∈，11y B ∈，22x A ∈，22y B ∈使
1122p x y x y =+=+，注意由1A ，1B ，2A ，2B 的定义，知10x x ≤，10y y ≤，20x x ≥， 20y y ≥，则
1100221100x y x y x y x y x y +≤+≤+=+≤+，这说明110022p x y x y x y =+=+=+，
即要么{}112200()()A B A B x y +?+=+或1122()()A B A B +?+=?，故总有
{}110022(\)()A B x y A B ++?+=?
{}{}110022110022()(\)()()())()
m A B m A B x y m A B m A B m x y m A B +≥++++=+-+++
1122()0()m A B m A B =++++
1122()()m A B m A B =+++
（注意单点集是可测，且测度为0）
问题：若A ，B 可测，A B +是否一定可测？
本题实际上证明了：若12A A A =?，12B B B =?，1A ，2A ，1B ，2B 是有
界
闭
集
，
则
01020
,,,,x x A x x x A x x ??∈≤?∈≥；
01020,,,,y y B y y y B y y ??∈≤?∈≥，则
1122()()()m A B m A B m A B +≥+++
11．证明：若A 和B 都是1R 中有限多个相互没有公共内点的有界闭区间的并，则
()m A B mA mB +≥+（提示：对于区间的个数用数学归纳法，并注意从上题知
11112222()[()][()]
m A B mA mB m A B mA mB m A B mA mB +--≥+--++--misleading ！！）
证明：事实上，只要,A B 是任意两个1R 上的非空有界闭集，就有 ()m A B mA mB +≥+ （若有一个是空集，结论也显然对！） 证：,A B 有界，故0sup x A <+∞ ,0inf y B >-∞
则从,A B 闭知，00,x A y B ∈∈且从sup ，inf 的定义知， {}00[,)A x x ?+∞=，{}00[,)B y y ?-∞=
令10(,]A A x A =?-∞=，{}200[,)A A x x =?+∞=，
{}100(,]B B y y =?-∞=，20[,)B B y B =?+∞=
则{}110000(,](,]A B A x B y A y A y +=?-∞+?-∞=+=+ {}2200000[,)[,)A B A x B y x B x B B x +=?+∞+?+∞=+=+=+ 由本节第10题的结果，知
112200()()()()()()m A B m A B m A B m A y m B x m A B +≥+++=+++=+
事实上，从第10题，第11题证明过程可知：若①A 有上界，B 有下界，且都是闭集，②且A B +可测（一般要求,A B 有界才能保证），则()m A B mA mB +≥+
12．设,A B 都是1R 中的有界闭集，证明对01λ<<，有
((1))(1)m A B mA mB λλλλ+-≥+-
（记号的意义见习题6及上题，提示：先证明任何有界闭集可表成一串下降的上题中所说的那种集合的交）
证明：由P38，CH2§2习题11知，若,A B 为闭集，01λ?<<，则A λ，
(1)B λ-均为闭集.
若,A B 有界闭，则显然还有A λ，(1)B λ-为有界闭集，故有本节习题11的改进结论：若,A B 是1R 中有界闭集，则()m A B mA mB +≥+知 ((1))((1))(1)m A B mA m B mA mB λλλλλλ+-=+-≥+-
（这里用到本节习题6：n E R ?∈可测，则 ()n m E mE αα=，取1n =）证毕.
注：从12题的结论知，若,A B 有界闭，1
2
λ=， 1
1111
()(
)()2
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A B mA mB m A B m m A B ++≤+==+， ()m A B mA mB +≥+，更说明11题对?,A B 有界闭都对！
3-1 设系统的微分方程式如下： （1） )(2)(2.0t r t c =& （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c =++&&& 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。已知全部初始条件为零。 解： （1） 因为)(2)(2.0s R s sC = 闭环传递函数s s R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010 )(≥=t t g 单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c （2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++= s s s R s C 闭环传递函数1 24.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 3 25)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++= s s s s s s C t e t e t c t t 4sin 4 34cos 1)(33----= 3-2 温度计的传递函数为1 1+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。若加热容器使水温按10oC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？ 解法一 依题意，温度计闭环传递函数 1 1)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为 Ts s s s G 1)(1)()(=Φ-Φ= ? ??==11v T K 用静态误差系数法，当t t r ?=10)( 时，C T K e ss ?=== 5.21010。
实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零， 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=?<< ， 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤， 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.
数字电子技术基础第三章习题答案 3-1如图3-63a~d所示4个TTL门电路，A、B端输入的波形如图e所示，试分别画出F1、F2、F3和F4的波形图。 略 3-2电路如图3-64a所示，输入A、B的电压波形如图3-64b所示，试画出各个门电路输出端的电压波形。 略 3-3在图3-7所示的正逻辑与门和图3-8所示的正逻辑或门电路中，若改用负逻辑，试列出它们的逻辑真值表，并说明F和A、B之间是什么逻辑关系。 答：（1）图3-7负逻辑真值表 A B F 000 011 101 111 F与A、B之间相当于正逻辑的“或”操作。 （2）图3-8负逻辑真值表 A B F 000 010 100 111 F与A、B之间相当于正逻辑的“与”操作。
3-4试说明能否将与非门、或非门、异或门当做反相器使用？如果可以，各输入端应如何连接？ 答：三种门经过处理以后均可以实现反相器功能。(1)与非门:将多余输入端接至高电平或与另一端并联；(2)或非门：将多余输入端接至低电平或与另一端并联；(3)异或门：将另一个输入端接高电平。 3-5为了实现图3-65所示的各TTL门电路输出端所示的逻辑关系，请合理地将多余的输入端进行处理。 答：a）多余输入端可以悬空，但建议接高电平或与另两个输入端的一端相连； b)多余输入端接低电平或与另两个输入端的一端相连； c)未用与门的两个输入端至少一端接低电平，另一端可以悬空、接高电 平或接低电平； d）未用或门的两个输入端悬空或都接高电平。 3-6如要实现图3-66所示各TTL门电路输出端所示的逻辑关系，请分析电路输入端的连接是否正确？若不正确，请予以改正。 答：a）不正确。输入电阻过小，相当于接低电平，因此将提高到至少 50 ? 2K? 。 b)不正确。第三脚V CC应该接低电平。 2K? c）不正确。万用表一般内阻大于，从而使输出结果0。因此多余输入端应接低电平，万用表只能测量A或B的输入电压。 3-7（修改原题，图中横向电阻改为6k?，纵向电阻改为3.5k?,β=30改为β=80）为了提高TTL与非门的带负载能力，可在其输出端接一个NPN晶体管，组成如图3-67所示的开关电路。当与非门输出高电平V OH=3.6V时，晶体管能为负载提供的最大电流是多少？ 答：如果输出高电平，则其输出电流为(3.6-0.7)/6=483u A，而与非门输出高
第一章绪论”习题答案 “绪论”思考和练习一 一、什么是现代汉民族共同语?它是怎样形成的? 现代汉民族的共同语就是“以北京语音为标准音，以北方话为基础方言，以典范的现代白话文著作为语法规范的普通话”。 现代汉民族共同语是在北方话基础上形成的。在形成的过程中，北京话占有特殊的地位。早在唐代，北京已是北方军事要镇。北京是辽、金、元、明、清各代的都城。近千年来，北京一直是我国政治、经济、文化的中心，北京话的影响越来越大。一方面，它作为官府的通用语言传播到了全国各地，发展成为“官话”，另一方面，白话文学作品更多地接受了北京话的影响。 本世纪初，特别是“五四”运动以后，掀起了“白话文运动”，动摇了文言文的统治地位；另一方面，“国语运动”的开展促使北京语音成为全民族共同语的标准音。两个运动互相推动和影响，这就使得书面语和口语接近起来，形成了现代汉民族共同语。 二、共同语和方言的关系是怎样的? 方言是一种民族语言的地方分支或变体，是局部地区的人们所使用的语言。一民族语言的共同语，则是通用于这个民族全体成员的语言。对于各地方言来说，规范化的共同语是民族语言的高级形式，它比任何方言都富有表现力。共同语形成后，对于方言的语音、词汇、语法都有一定的影响。它的词语经常传播到各方言中去。规范化的共同语，往往促使地域方言向它靠拢，对方言的发展起一种制约的作用。与此同时，共同语也要从方言中吸收种种语言成分，以丰富和发展自己。但是，地域方言间差异的缩小，以至于消失，则须经过一个长期而复杂的过程。 “第二章语音”习题答案 “语音”思考和练习一 四、语音具有物理属性、生理属性、社会属性。 “语音”思考和练习二 二、普通话声母的发音部位和发音方法各包括哪几种?请画成一个总表把声母填上。 普通话声母的发音部位包括双唇、唇齿、舌尖前、舌尖中、舌尖后、舌面、舌根七种。发音方法，从阻碍的方式看，包括塞音、擦音、塞擦音、鼻音、边音五种；从声带是否颤动看，包括清音、浊音两种；从气流的强弱看，包括送气音、不送气音两种。声母总表（略）。 三、根据所提供的发音部位和发音方法，在下面横杠上填上相应的声母。 1．双唇送气清塞音是p。
[0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案：B
[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集
C:可数集 参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1
实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上 的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有 限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数 显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积 由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可
测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式 证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性 质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明 证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,
计算机网络参考答案第三章（高教第二版冯博琴） 1 什么是网络体系结构？网络体系结构中基本的原理是什么？ 答：所谓网络体系就是为了完成计算机间的通信合作，把每个计算机互连的功能划分成定义明确的层次，规定了同层次进程通信的协议及相邻层之间的接口及服务。将这些同层进程间通信的协议以及相邻层接口统称为网络体系结构。 网络体系结构中基本的原理是抽象分层。 2 网络协议的组成要素是什么？试举出自然语言中的相对应的要素。答：网络协议主要由三个要素组成： 1）语义 协议的语义是指对构成协议的协议元素含义的解释，也即“讲什么”。2）语法 语法是用于规定将若干个协议元素和数据组合在一起来表达一个更完整的内容时所应遵循的格式，即对所表达的内容的数据结构形式的一种规定（对更低层次则表现为编码格式和信号电平），也即“怎么讲”。 3）时序 时序是指通信中各事件发生的因果关系。或者说时序规定了某个通信事件及其由它而触发的一系列后续事件的执行顺序。例如在双方通信时，首先由源站发送一份数据报文，如果目标站收到的是正确的报文，就应遵循协议规则，利用协议元素ACK来回答对方，以使源站知道其所发出的报文已被正确接收，于是就可以发下一份报文；如果目标站收到的是一份错误报文，便应按规则用NAK元素做出回答，以要求源站重发该报文。 3 OSI/RM参考模型的研究方法是什么? 答：OSI/RM参考模型的研究方法如下： 1）抽象系统 抽象实系统中涉及互连的公共特性构成模型系统，然后通过对模型系统的研究就可以避免涉及具体机型和技术实现上的细节，也可以避免技术进步对互连标准的影响。 2）模块化 根据网络的组织和功能将网络划分成定义明确的层次，然后定义层间的接口以及每层提供的功能和服务，最后定义每层必须遵守的规则，即协
。习题2.1 1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；[0,1][0,1]b E E E '===?。 2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明． (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是，总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是，总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =?，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而 ()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此， 有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈，即 ()A B A B ?。因此，()A B A B =. 4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ． 解 令1111 {1,,,,,,}234A n =，则{0}A '=，()A ''=?. 5．试作一点集E ，使得b E E ?． 解 取E =Q ，则b E =R 。 6．证明：无聚点的点集至多是可数集． 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而 (,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠， 从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =，则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可
第三章处理机调度与死锁 1，高级调度与低级调度的主要任务是什么？为什么要引入中级调度？ 【解】（1）高级调度主要任务是用于决定把外存上处于后备队列中的那些作业调入内存，并为它们创建进程，分配必要的资源，然后再将新创建的进程排在就绪队列上，准备执行。（2）低级调度主要任务是决定就绪队列中的哪个进程将获得处理机，然后由分派程序执行把处理机分配给该进程的操作。（3）引入中级调度的主要目的是为了提高内存的利用率和系统吞吐量。为此，应使那些暂时不能运行的进程不再占用宝贵的内存空间，而将它们调至外存上去等待，称此时的进程状态为就绪驻外存状态或挂起状态。当这些进程重又具备运行条件，且内存又稍有空闲时，由中级调度决定，将外存上的那些重又具备运行条件的就绪进程重新调入内存，并修改其状态为就绪状态，挂在就绪队列上，等待进程调度。 3、何谓作业、作业步和作业流？ 【解】作业包含通常的程序和数据，还配有作业说明书。系统根据该说明书对程序的运行进行控制。批处理系统中是以作业为基本单位从外存调入内存。作业步是指每个作业运行期间都必须经过若干个相对独立相互关联的顺序加工的步骤。 作业流是指若干个作业进入系统后依次存放在外存上形成的输入作业流；在操作系统的控制下，逐个作业进程处理，于是形成了处理作业流。 4、在什么情冴下需要使用作业控制块JCB？其中包含了哪些内容？ 【解】每当作业进入系统时，系统便为每个作业建立一个作业控制块JCB，根据作业类型将它插入到相应的后备队列中。 JCB 包含的内容通常有：1) 作业标识2)用户名称3)用户账户4)作业类型（CPU 繁忙型、I/O芳名型、批量型、终端型）5)作业状态6)调度信息（优先级、作业已运行）7)资源要求8)进入系统时间9) 开始处理时间10) 作业完成时间11) 作业退出时间12) 资源使用情况等 5．在作业调度中应如何确定接纳多少个作业和接纳哪些作业？ 【解】作业调度每次接纳进入内存的作业数，取决于多道程序度。应将哪些作业从外存调入内存，取决于采用的调度算法。最简单的是先来服务调度算法，较常用的是短作业优先调度算法和基于作业优先级的调度算法。 7．试说明低级调度的主要功能。 【解】（1）保存处理机的现场信息（2）按某种算法选取进程（3）把处理机分配给进程。 8、在抢占调度方式中，抢占的原则是什么？ 【解】剥夺原则有：（1）时间片原则各进程按时间片运行，当一个时间片用完后，便停止该进程的执行而重新进行调度。这种原则适用于分时系统、大多数实时系统，以及要求较高的批处理系统。（2）优先权原则通常是对一些重要的和紧急的作业赋予较高的优先权。当这种作业到达时，如果其优先权比正在执行进程的优先权高，便停止正在执行的进程，将处理机分配给优先权高的进程，使之执行。（3）短作业（进程）优先原则当新到达的作业（进程）比正在执行的作业（进程）明显地短时，将剥夺长作业（进程）的执行，将处理机分配给短作业（进程），使之优先执行。 9、选择调度方式和调度算法时，应遵循的准则是什么？ 【解】应遵循的准则有（1）面向用户的准则：周转时间短，响应时间快，截止时间的保证，优先权准则。（2）面向系统的准则：系统吞吐量高，处理机利用率好，各类资源的平衡利用。 10、在批处理系统、分时系统和实时系统中，各采用哪几种进程（作业）调度算法？ 【解】 批处理系统：FCFS算法、最小优先数优先算法、抢占式最小优先数优先算法 2 分时系统：可剥夺调度、轮转调度 实时系统：时间片轮转调度算法、非抢占优先权调度算法、基于时钟中断抢占的优先权调度算法、立即抢占的优先权调度。 11、何谓静态和动态优先权？确定静态优先权的依据是什么？ 【解】静态优先权是在创建进程时确定的，且在进程的整个运行期间保持不变。动态优先权是指，在创建进程时所赋予的优先权，是可以随进程的推进或随其等待时间的增加而改变的，以便获得更好的调度性能。确定静态优先权的依据是：（1）进程类型，通常系统进程的优先权高于一般用户进程的优先权。（2）进程对资源的需要。（3）用户要求，用户进程的紧迫程度及用户所付费用的多少来确定优先权的。 12、试比较FCFS和SPF两种进程调度算法。 【解】FCFS算法按照作业提交或进程变为就绪状态的先后次序，分派CPU。当前作业或进程占有CPU，直到执行完或阻塞，才让出CPU。在作业或进程唤醒后，并不立即恢复执行，通常等到当前作业或进程让出CPU。FCFS比较有利于长作业，而不利于短作业；有利于CPU繁忙的作业，而不利于I/O繁忙的作业。SPF有利于短进程调度，是从就绪队列中选出一估计运行时间最短的进
1-2理发吹风器的结构示意图如附图所示，风道的流通面积，进入吹风器的空气压力，温度℃。要求吹风器出口的空气温度℃，试确定流过吹风器的空气的质量流量以及吹风器出口的空气平均速度。电加热器的功率为1500W 。 解： 1-3淋浴器的喷头正常工作时的供水量一般为每分钟。冷水通过电热器从15℃被加热到43℃。试问电热器的加热功率是多少？为了节省能源，有人提出可以将用过后的热水（温度为38℃）送入一个换热器去加热进入淋浴器的冷水。如果该换热器能将冷水加热到27℃，试计算采用余热回收换热器后洗澡15min 可以节省多少能源？ 解：电热器的加热功率： kW W t cm Q P 95.16.195060 ) 1543(101000101018.4633==-?????=?==-ττ 15分钟可节省的能量： kJ J t cm Q 4.752752400)1527(15101000101018.46 33==-??????=?=- 1-10 一炉子的炉墙厚13cm ，总面积为20，平均导热系 数为，内外壁温分别是520℃及50℃。试计算通过炉墙 的热损失。如果所燃用的煤的发热量是×104kJ/kg ，问 每天因热损失要用掉多少千克煤？ 解：根据傅利叶公式 每天用煤 1-11 夏天，阳光照耀在一厚度为40mm 的用层压板制成 的木门外表面上，用热流计测得木门内表面热流密度为 15W/m 2。外变面温度为40℃，内表面温度为30℃。试估 算此木门在厚度方向上的导热系数。 解： ， 1-12 在一次测定空气横向流过单根圆管的对流换热实 验中，得到下列数据：管壁平均温度t w =69℃，空气温 度t f =20℃，管子外径 d=14mm ，加热段长 80mm ，输入 加热段的功率，如果全部热量通过对流换热传给空气， 试问此时的对流换热表面传热系数多大？ 解：根据牛顿冷却公式 所以 ＝ 1-18 宇宙空间可近似地看成为0K 的真空空间。一航天 器在太空中飞行，其外表面平均温度为250℃，表面发 射率为，试计算航天器单位表面上的换热量。 解：= 1-19 在1-14题目中，如果把芯片及底板置于一个封闭 的机壳内，机壳的平均温度为20℃，芯片的表面黑度为， 其余条件不变，试确定芯片的最大允许功率。 解： P ＝ 1-20 半径为 m 的球状航天器在太空中飞行，其表面发 射率为。航天器内电子元件的散热总共为175W 。假设航 天器没有从宇宙空间接受任何辐射能量，试估算其表面的平均温度。 解：电子原件的发热量＝航天器的辐射散热量即： =187K 热阻分析 1-21 有一台气体冷却器，气侧表面传热系数＝95W/，壁面厚＝，水侧表面传热系数W/。设传热壁可以看成平壁，试计算各个环节单位面积的热阻及从气到水的总传热系数。你能否指出，为了强化这一传热过程，应首先从哪一环节着手？ 解： 则＝，应强化气体侧表面传热。 1-34．一台R22的空调器的冷凝器如附图所示。温度为313K 的氟利昂22的饱和蒸气在管子内流动，温度为283K 的空气进入冷凝器冷却氟利昂蒸气使其凝结。该冷凝器的迎风面积为，迎面风速为。氟利昂蒸气的流量为，从凝结氟利昂蒸气到空气的总传热系数为,试确定该冷凝器所需的传热面积。提示：以空气进、出口温度的平 均值作为计算传热温差的空气温度。所谓迎风面积是指 空气进入冷凝器之前的流动面积。 2-11提高燃气进口温度是提高航空发动机效率的有效 方法。为了是发动机的叶片能承受更高的温度而不至于损坏，叶片均用耐高温的合金制成，同时还提出了在叶 片与高温燃气接触的表面上涂以陶瓷材料薄层的方法， 如附图所示，叶片内部通道则由从压气机来的空气予以 冷却。陶瓷层的导热系数为（m ·K ），耐高温合金能承 受的最高温度为1250K ，其导热系数为25W/(m ·K)。在 耐高温合金与陶瓷层之间有一薄层粘结材料，其造成的 接触热阻为10-4 ㎡·K/W 。如果燃气的平均温度为1700K ， 与陶瓷层的表面传热系数为1000W/(㎡·K)，冷却空气 的平均温度为400K ，与内壁间的表面传热系数为 500W/(㎡·K)，试分析此时耐高温合金是否可以安全地工作？ 2-13 在附图所示的平板导热系数测定装置中，试件厚度远小于直径d 。由于安装制造不好，试件与冷热表面之间平均存在着一层厚为的空气隙。设热表面温度℃，冷表面温度℃，空气隙的导热系数可分别按查取。试计算空气隙的存在给导热系数测定带来的误差。通过空气隙的辐射换热可以略而不计。 解：查附表8得℃， ℃， 无空气时 有空气隙时 得 所以相对误差为 圆筒体 2-16 一根直径为3mm 的铜导线，每米长的电阻为。导 线外包有厚为1mm 导热系数为的绝缘层。限定绝缘层的 最高温度为65℃，最低温度为0℃。试确定在这种条件 下导线中允许通过的最大电流。 解：根据题意有： 解得：
计算机网络课后习题答案（第三章） (2009-12-14 18:16:22) 转载▼ 标签： 课程-计算机 教育 第三章数据链路层 3-01 数据链路(即逻辑链路)与链路(即物理链路)有何区别? “电路接通了”与”数据链路接通了”的区别何在? 答：数据链路与链路的区别在于数据链路出链路外，还必须有一些必要的规程来控制数据的传输，因此，数据链路比链路多了实现通信规程所需要的硬件和软件。 “电路接通了”表示链路两端的结点交换机已经开机，物理连接已经能够传送比特流了，但是，数据传输并不可靠，在物理连接基础上，再建立数据链路连接，才是“数据链路接通了”，此后，由于数据链路连接具有检测、确认和重传功能，才使不太可靠的物理链路变成可靠的数据链路，进行可靠的数据传输当数据链路断开连接时，物理电路连接不一定跟着断开连接。 3-02 数据链路层中的链路控制包括哪些功能?试讨论数据链路层做成可靠的 链路层有哪些优点和缺点. 答：链路管理 帧定界 流量控制 差错控制 将数据和控制信息区分开 透明传输 寻址 可靠的链路层的优点和缺点取决于所应用的环境：对于干扰严重的信道，可靠的链路层可以将重传范围约束在局部链路，防止全网络的传输效率受损；对于优质信道，采用可靠的链路层会增大资源开销，影响传输效率。 3-03 网络适配器的作用是什么?网络适配器工作在哪一层? 答：适配器（即网卡）来实现数据链路层和物理层这两层的协议的硬件和软件 网络适配器工作在TCP/IP协议中的网络接口层（OSI中的数据链里层和物理层） 3-04 数据链路层的三个基本问题(帧定界、透明传输和差错检测)为什么都必须加以解决？ 答：帧定界是分组交换的必然要求
【课后作业】：某棒球拍公司目前有300万的债务，利率为12%。该公司希望为一个400万的扩张项目融资，有三种方案： 方案一：按14%的利率增发债务； 方案二：发行股利率为12%的优先股； 方案三：按每股16元出售普通股。 公司目前有80万股普通股流通在外，使用的税率为40%。 （1）如果息税前收益目前是150万元，假设营业利润没有立即增加，三种方案的每股收益各是多少？ （2）为三种方案画出无差异图。三种方案的无差异点大致是多少？用数学方法确定债务方案和普通方案间的无差异点，检查前面的判断。三种方案下横轴的截距各是多少？ （3）为每种方案计算EBIT 的期望值150万的财务杠杆系数。 （4）你希望选择哪种方案？请说明理由。 【解答】：（1） 三种筹资方案每股收益比较 单位：千元 （2）【无差异点】： 债务方案一与普通股方案三：EBIT=2712（千元）； 优先股方案二与普通股方案三：EBIT=3720（千元）； 按相同的EPS 增量债务方案始终优于优先股方案，这两种融资方案之间不存在无差别点。 从数学上看，债务方案一和普通股方案三之间的无差别点为： 同理，优先股方案二和普通股方案三之间的无差别点为： 1 920 000=（360 000+560 000）;3 000 000×12%=360 000(元)；4 000 000×14%=560 000（元）； 2 480 000=4 000 000×12% 3 80（万股）+400（万元）÷16元/股=105（万股） （千元）2712050 ,10 %)401)(360(8000%)401)(920(3,13,13,1=---=---EBIT EBIT EBIT （千元） 3720050,10%)401)(360(800480%)401)(360(3,23,23,2=---= ---EBIT EBIT EBIT
第一章习题参考解答 3．等式)()(C B A C B A --=?-成立的的充要条件是什么？ 解： 若)()(C B A C B A --=?-，则 A C B A C B A C ?--=?-?)()(. 即，A C ?. 反过来, 假设A C ?, 因为B C B ?-. 所以, )(C B A B A --?-. 故, C B A ?-)(?)(C B A --. 最后证，C B A C B A ?-?--)()( 事实上，)(C B A x --∈?, 则A x ∈且C B x -?。若C x ∈，则C B A x ?-∈)(；若C x ?，则B x ?，故C B A B A x ?-?-∈)(. 从而,C B A C B A ?-?--)()(. A A C B A C B A C =?-?--=?-?)()(. 即 A C ?. 反过来，若A C ?，则 因为B C B ?-所以)(C B A B A --?- 又因为A C ?，所以)(C B A C --?故 )()(C B A C B A --??- 另一方面，A x C B A x ∈?--∈?)(且C B x -?，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ?因为C B x -?，所以B x ?故B A x -∈. 则 C B A x ?-∈)(. 从而 C B A C B A ?-?--)()( 于是，)()(C B A C B A --=?- 4．对于集合A ，定义A 的特征函数为????∈=A x A x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是 一集列 ，证明： （i ）)(inf lim )(inf lim x x n n A n n A χχ= （ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n A n n A χχ= 证明：（i ）)(inf lim n n m N n n n A A x ≥∈??=∈?，N ∈?0n ，0n m ≥?时，m A x ∈. 所以1)(=x m A χ，所以1)(inf =≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A n m N b A n χχ
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
3.4.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(2 2+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向 大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/2 2 +== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴ 质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 3.4.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为： j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 222 2 )?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m 1 ,m 2,如图所示，m 2和桌面间的摩擦系数为μ2，m 1和m 2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。 解：以地为参考系，隔离m 1、m 2，其受力与运动情况如图所示， 其中，N 1'=N 1,f 1'=f 1=μ1N 1,f 2=μ2N 2，选图示坐标系o-xy ，对m 1,m 2分别应用牛顿二定律，有 02122222 11111 111=--=--=-=g m N N a m N N F g m N a m N μ μμ 解方程组，得 ()2221211211/m g m g m g m F a g a μμμμ---== 要把木板从下面抽出来，必须满足12a a >，即 g m g m g m g m F 12221211μμμμ>---()()g m m F 212 1++>∴μ μ 3.4.6在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。 m 1g f 1 N 1 a 1 a 2 x y
1. 证明:()B A A B -=U 的充要条件就是A B ?、 证明:若()B A A B -=U ,则()A B A A B ?-?U ,故A B ?成立、 反之,若A B ?,则()()B A A B A B B -?-?U U ,又x B ?∈,若x A ∈,则 ()x B A A ∈-U ,若x A ?,则()x B A B A A ∈-?-U 、总有()x B A A ∈-U 、故 ()B B A A ?-U ,从而有()B A A B -=U 。 证毕 2. 证明c A B A B -=I 、 证明:x A B ?∈-,从而,x A x B ∈?,故,c x A x B ∈∈,从而x A B ?∈-, 所以c A B A B -?I 、 另一方面,c x A B ?∈I ,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈?,从而x A B ∈-, 所以 c A B A B ?-I 、 综合上两个包含式得c A B A B -=I 、 证毕 3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式与定理9、 证明:定理4中的(3):若A B λλ?(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I 、 证:若x A λλ∈∧ ∈I ,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ?(? λ∈∧)成立 知x A B λλ∈?,故x B λλ∈∧ ∈I ,这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I 、 定理4中的(4):()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 证:若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ,则有' λ∈∧,使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U 、 反过来,若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U 、 不妨设x A λλ∈∧ ∈U ,则有' λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U 、 故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U 、 综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧ =I U 、 证:() c x A λλ∈∧ ?∈I ,则x A λλ∈∧ ?I ,故存在' λ∈∧ ,'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ??U 从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧ ?I U 、 反过来,若c x A λλ∈∧ ∈U ,则' λ?∈∧使'c x A λ?,故'x A λ?, x A λλ∈∧ ∴?I ,从而()c x A λλ∈∧ ∈I ()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ∴?I U 、 证毕 定理9:若集合序列12,,,,n A A A K K 单调上升,即1n n A A +?(相应地1n n A A +?)对一切n 都成立,则 1 lim n n n A ∞ →∞ ==U (相应地)1 lim n n n A ∞ →∞ ==I 、 证明:若1n n A A +?对n N ?∈成立,则i m i m A A ∞ ==I 、故从定理8知
习题3 一、填空题 1.若二维随机变量(X,Y)在区域}),({222R y x y x ≤+上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为 。 ??? ??≤+=其他 1 ),(2 222 R y x R y x f π 则},max{Y X 的分布律为 。 3.设二维随机变量(X,Y)的概率分布见下表，则(1)关于X 的边缘分布律为 ；(2)关于 4.设随机变量X 与Y 相互独立，X 在区间(0,2)上服从均匀分布，Y 服从参数为的指数分布，则概率=>+}1{Y X P 。 12 11--e 5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为? ??≤≤≤=其他01 0),(y x bx y x f ，则}1{≤+Y X P = 。 4 1 6. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间(0,3)上对的均匀分布，则}1},{max{≤Y X P = 。 9 1 7.设随机变量
i=1,2,且满足1}0{21==X X P ，则==}{21X X P 。 0 8.如图3.14所示，平面区域D 由曲线x y 1 = 及直线2,1,0e x x y ===所围成，二维随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度在2=x 处的值为 。 4 1 9.设X,Y 为两个随机变量，且73}0,0{= ≥≥Y X P ，7 4 }0{}0{=≥=≥Y P X P ，则 }0},{max{≥Y X P = 。 7 5 10.设随机变量X 与Y 相互独立，),3(~),,2(~p B Y p B X ，且9 5 }1{= ≥X P ，则 ==+}1{Y X P 。 243 80 二、选择题 1.设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布，}1{}1{}1{==-==-=X P Y P X P = ,2 1 }1{==Y P 则下列各式中成立的是( ) A (A)2 1 }{==Y X P , (B) 1}{==Y X P (C) 41}0{==+Y X P (D) 4 1 }1{==XY P 2.设随机变量X 与Y 独立，且0}1{}1{>====p Y P X P ， 01}0{}0{>-====p Y P X P ，令 ?? ?++=为奇数 为偶数Y X Y X Z 0 1 要使X 与Z 独立，则p 的值为( ) C (A) 31 (B) 41 (C) 21 (D) 3 2 3. 设随机变量X 与Y 相互独立，且)1,0(~N X ，)1,1(~N Y ，则( ) B