实变函数论课后答案第二章4
第二章第四节习题
1. 证明全体有理数所构成的集合不是G δ集,即不能表成可数多个开集的交. 证明:设1R 上全体有理数为{}123,,,
,
n r r r r Q =.
则一个{}n r 作为单点集是闭集,所以{}1
i i Q r ∞==
是F δ集,但要证Q 不是G δ集,则不容易.
这里用到:Baire 定理,设n
E R ?是
F δ集,即1
k k E F ∞==.
k F ()1,2,k =是闭集,若每个k F 皆无内点,则E 也无内点
(最后再证之) 反证设{};1,2,i Q r i ==为G δ集,即1i i Q G ∞
==,
(i G 为开集,1,2,i =
)
1R 上的单调函数的全体所组成的集合的势为c =?.
证明:任取1
R 上的单调函数f ,则其间断点至多可数个,设其无理数的间断点,为
12,,
,,
m x x x (可为有限)
设1
R 中的有理数为{}12,,
,
,,n Q r r r f =?∈
令
()()()()()()()()(){}2
1111,,,,
,,,,i
i
i
i
f x f x r f r x f x r f r R
?=?.
则()f ?为2
R 中可数集.
若,f g ∈,使()()f g ??=,则()()
(),i i x f x f ??∈存在()()(),j j x g x g ?∈
使()()
()(),,i i j j
x f x x g x =
所以()()
,i j i j x x f x g x ==, 从而()(),i i i x Q f r g r ?∈=.
f ?的无理数间断点i x ,i x 也是
g 的无理数间断点,且()()i i g x f x =.
反过来也是的,g ?的无理间断点,i x 也是f ,的无理数间断点,且()()i i g x f x =. 故()()f g ??=表明f 与g 在有理点重合,无理间断点相同,且在无理间断点的值. 所以f g =于1
R ,所以?是11-的.
利用下面结论:Claim :任何其有连续势的集合的全体可数子集所构成的族的势为连续势. 知:
c ≤.
另一方面()(){}
,0,1c c f x x c c ==+∈≤
证毕.
Lemma :设为,X Y 两集合,:X Y ?→是一个满射,则Y X ≤.即存在X 的一个子集
,A A Y .
证明:因为?为满射,()(){}
1,;,y Y y x x X x y ??-?∈=∈=≠? 且,,y z Y y z ∈≠时必有()()1
1y z ??--=?.
令(){}1
;y y Y ?-Γ=
∈,则由选择公理存在一个集合X ,它由Γ中每一个集合()1
y ?-中
恰取一个元素而形成,显,X X a X ??∈,存在唯一一个y Y ∈,使()1
a y ?-∈.
所以X 与Y 是对等的,故Y X ≤.
证毕.
选择公理:若Γ是由互不相交的一些非空集合所形成的集合族,则存在集合X ,它由该族的每一个集合中恰取一个元素而形成.
2. 证明[]0,1上全体无理数所作成的集合不是F δ集. 证明:设[]0,1上全体无理数所作成的集合是,则
[]0,1Q =-,
(Q 为1
R 上全体有理数的集合) 若为F δ集,则存在闭集,1,2,
i F i =使
1
i i F ∞==
.
所以
[]10,1c
c i i Q
F ∞
===为G δ集.
[][]{}{}11
0,10,1i k i k Q F r ∞∞==??
=
= ???
,{}k r ,i F 为闭集,{}k r 无内点.
1
i i F ∞==
显为内点.
所以i F 无内点.
这说明[]0,1无内点(Baire 定理)得矛盾. 证毕.
3. 证明不可能有在[]0,1上定义的在有理点处都连续,在无理点处都不连续的实函数.
证明:若存在这样的[]0,1上的实函数,它在有理点都连续,在无理点都不连续.
()f x 的全体不连续点的集合为[]0,1上的全体无理数为
,由本章第二节习题10结论知
为F δ集,这于本节习题2的结论:不是F δ集矛盾.
故不存在这样的[]0,1上的函数.
4. 证明1R 中全体开集构成一基数为c 的集合,从而1R 中全体闭集也构成一基数为c 的集
合.
证明:对任意的1R 上开集合,由开集的构造定理,存在{}{}1,,,i i R αβαβ∞∞∈∞-∞
使得()()()1
,,,i i i G αββα∞∞∞==
-∞+∞.
下面建立1
R 上的开集到全体实数列集成的集合的一个映射I . 若1
G R =,令()()0,0,
,0,
I G =.
若1
G R ≠,则()()()1
,,,m i i i G αββα∞∞==
-∞+∞.
令()()1122,,,,,,
I G k k αβαβ∞∞=.
这里k β∞∞=,若,0k β∞∞≠-∞=;若,k βα∞∞∞=-∞=;若,0k α∞∞≠+∞=;若α∞=+∞则这个映射I 是单射.
若1
12,G G R ?()
1212,G R G R ≠≠且()()12I G I G =.
()()()
()()()
11'
'
'
'21
,,,,,,i i i i
i
i G G αββααββα
∞∞∞=∞
∞
∞
==-∞+∞=
-∞+∞
则''''
,,,i i i i ααββααββ∞∞∞∞====.
故12G G =. 又若()()0,0,
0,
I G =则必有1G R =(否则()I G 至少有一个分量不等于零).
故I 是单射,所以1
R 上全体开集所作成的集合的势c ≤. 令一方面,()1
,,1a R a a ?∈+是一开集,
令1
1:I R
R 上全体开集之集合,
则1c R ≤≤“1
R 上全体开集之集的势” c ≤, 由Berstrein 定理,1R 上全体开集之集合的势为c . 证:记可数集(){
}()()()(
){}1
1
1
,;,,,
,,,
m n
m B x r x Q r Q
B x r B x r υ=∈∈=.
显()(){}1
2
:0,1,,
,
;01m m u a a a a ?∞
→=
=或 ()()()12,,,,
,
m B x r V
U B x r a a a ?=
()()
()()
1,0,m m m m c
m B x r U a B x r U ???
=?
≠???
()()()()(),,,,n U V B x r U x r Q Q B x r V ??+=??∈???
所以U V =. ?为单射.
所以{}(){}
()0,1,;0,c B x r r R c υ∞
+
=≥≥∈=∞=.
由Berstein 定理 c υ=
{}{}
n c n F F R F F R c υ=?=?==为闭集为闭集.
故I 是单射,所以1
R 上全体开集所作成的集合的势c ≤. 另一方面,()1,,1a R a a ?∈+是一开集
令1
1:I R
R 上全体开集的集合
则1c R ≤≤“1
R 上全体开集的集合的势” c ≤, 由Berstein 定理,1
R 上全体开集的集合的势为c .