2020年上海交大附中自主招生数学试卷
一、填空题
1．直线l1∥l2∥l3∥l4，其中l1，l2之间距离和l3，l4之间距离均为1，l2，l3之间距离为2．正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，则S四边形ABCD＝．
2．设f（x）＝，则f（）+f（）+…+f（）+f（2）+f（3）+…+f（99）＝．3．设第n行第m个数为a n，m．满足a n，n＝a n，1＝，a n，m＝a n+1，m+a n+1，m+1，求a12，11＝．二、解答题
4．设P（x1，y1）、Q（x2，y2），定义PQ的“xx距离”为|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，求下列情况中PQ的“xx距离”的最小值．
（1）P（﹣2，2），Q在y＝x﹣1上；
（2）P（﹣2，2），Q在y＝x2﹣1上；
（3）P在y＝x﹣1上，Q在y＝x2﹣1上；
5．试用直尺，圆规在图中作出∠ACB＝90°，CA＝CB的△ACB，其中A在找段a上，B 在线段b上．
6．我们知道存在无穷多组最大公数约为1的正整数a、b、c使a2+b2＝c2，求证：存在无穷多组最大公约数为1的正整数r、s、t，其中r＜s＜t，使得（rs）2+（rt）2＝（st）2．7．矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，联结AC，若以B为圆心，r为半径的圆与线段AC，AD，CD都有公共点，则r的取值是．
8．解关于x的方程a（x﹣1）++3＝0．9．（1）如图1，求证：∠AOD＝2∠ACD；
（2）如图2，AC⊥BD，M是AB中点，求证：
①EM⊥CD；
②CD＝2OM．
2020年上海交大附中自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．直线l1∥l2∥l3∥l4，其中l1，l2之间距离和l3，l4之间距离均为1，l2，l3之间距离为2．正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，则S四边形ABCD＝10．
【分析】过A作AE⊥l1于E，过C点作CF⊥l2于F，根据AAS定理证得△ABE≌△BCF，得到AE＝BF＝1，EB＝CF＝3，由勾股定理求得AB2＝10，即为正方形的面积．
【解答】解：过A作AE⊥l1于E，过C点作CF⊥l2于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠ABE＝∠BCF＝90°﹣∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE＝BF＝1，EB＝CF＝3，
∴AB2＝AE2+EB2＝12+32＝10，
∴S正方形ABCD＝10，
故答案为：10．
2．设f（x）＝，则f（）+f（）+…+f（）+f（2）+f（3）+…+f（99）＝98．【分析】通过计算f（2）+f（）＝1，f（3）+f（）＝1…，可以推出f（）+f（）
+…+f（）+f（2）+f（3）+…+f（99）的结果．
【解答】解：∵f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝1，
f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝1，
…
f（99）＝＝，f（）＝＝，f（99）+f（）＝1，
∴f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（2）+f（3）+…+f（98）+f（99）＝98×1＝98，
故答案为：98．
3．设第n行第m个数为a n，m．满足a n，n＝a n，1＝，a n，m＝a n+1，m+a n+1，m+1，求a12，11＝．
【分析】观察已知所给等式的规律即可求出结果．
【解答】解：因为a n，n＝a n，1＝，
所以a11，11＝a11，1＝，
a12，12＝a12，1＝，
因为a n，m＝a n+1，m+a n+1，m+1，
所以a12，11＝a11，11﹣a12，12＝﹣＝．
故答案为：．
二、解答题
4．设P（x1，y1）、Q（x2，y2），定义PQ的“xx距离”为|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，求下列情况中PQ的“xx距离”的最小值．
（1）P（﹣2，2），Q在y＝x﹣1上；
（2）P（﹣2，2），Q在y＝x2﹣1上；
（3）P在y＝x﹣1上，Q在y＝x2﹣1上；
【分析】（1）根据题意，可以写出PQ的“xx距离”，然后利用分类讨论的方法，可以得到PQ的“xx距离”的最小值；
（2）根据题意，可以写出PQ的“xx距离”，然后利用分类讨论的方法，可以得到PQ 的“xx距离”的最小值；
（3）根据题意，可以写出PQ的“xx距离”，然后根据绝对值的性质，可以得到PQ的“xx距离”的最小值．
【解答】解：（1）由题意可得，
PQ的“xx距离”是：d＝|x﹣（﹣2）|+|（x﹣1）﹣2|＝|x+2|+|x﹣3|，
当x＜﹣2时，PQ的“xx距离”是：d＝﹣（x+2）+[﹣（x﹣3）]＝﹣x﹣2﹣x+3＝﹣2x+1＞5，
当﹣2≤x≤3时，PQ的“xx距离”是：d＝x+2+[﹣（x﹣3）]＝x+2﹣x+3＝5，
当x＞3时，PQ的“xx距离”是：d＝x+2+x﹣3＝2x﹣1＞5，
由上可得，PQ的“xx距离”的最小值是5；
（2）由题意可得，
PQ的“xx距离”是：|x﹣（﹣2）|+|（x2﹣1）﹣2|＝|x+2|+|x2﹣3|，
当x≤﹣2时，PQ的“xx距离”是：d＝﹣（x+2）+x2﹣3＝x2﹣x﹣5＝（x﹣）2﹣≥1；
当﹣2＜x≤时，PQ的“xx距离”是：d＝x+2+x2﹣3＝（x+）2﹣≥2﹣；
当＜x≤时，PQ的“xx距离”是：d＝x+2﹣x2+3＝﹣（x﹣）2+＞2﹣；
当x＞时，PQ的“xx距离”是：d＝x+2+x2﹣3＝（x+）2﹣＞2+；
由上可得，PQ的“xx距离”的最小值是2﹣；
（3）设点P的坐标为（x1，x1﹣1），点Q的坐标为（x2，x22﹣1），
PQ的“xx距离”是：d＝|x1﹣x2|+|（x1﹣1）﹣（x22﹣1）|＝|x1﹣x2|+|x1﹣x22|≥0，当x1＝x2时，d＝0，
故PQ的“xx距离”的最小值是0．
5．试用直尺，圆规在图中作出∠ACB＝90°，CA＝CB的△ACB，其中A在找段a上，B 在线段b上．
【分析】①过点C作CD⊥直线b于D．②在直线b上截取DE＝CD．③过点E作EA ⊥b交直线a于A．④连接CA，以C为圆心，CA为半径画弧交线段DE于B，连接AB，BC，△ABC即为所求．
【解答】解：如图，△ABC即为所求．
6．我们知道存在无穷多组最大公数约为1的正整数a、b、c使a2+b2＝c2，求证：存在无穷多组最大公约数为1的正整数r、s、t，其中r＜s＜t，使得（rs）2+（rt）2＝（st）2．【分析】先证明两两互素的a、b、c有无穷多组；然后基于a、b、c构造r、s、t．故设a＜b＜c，取r＝ab，s＝ac，t＝bc，此时根据r＜s＜t且r＜s＜t的最大公数约为1进行推理论证．
【解答】证明：去互素的两数m、n，使a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2．
此时a、b、c两两互素且a2+b2＝c2，
由于互素的正整数组（m，n）有无穷多组，故存在无穷多组满足（a，b，c）．
不妨设a＜b＜c，取r＝ab，s＝ac，t＝bc，此时r＜s＜t且r＜s＜t的最大公数约为1，此时（rs）2＝a4b3c2，（rt）2＝a2b4c2，（st）2＝a2b3c4，
故（rs）2+（rt）2＝（st）2．
7．矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，联结AC，若以B为圆心，r为半径的圆与线段AC，AD，CD都有公共点，则r的取值是r＝4．
【分析】当⊙B经过点C时，满足条件．
【解答】解：如图，当r＜BC时，和CD无交点，
当r＞BC时，和AC无交点，
∴r＝BC＝4时，以B为圆心，r为半径的圆与线段AC，AD，CD都有公共点．故答案为：r＝4．
8．解关于x的方程a（x﹣1）++3＝0．
【分析】方程整理后，根据a的范围分类讨论求出解即可．
【解答】解：方程整理得：+＝﹣3，
去分母得：ax2+3x+2＝0，
当a＝0时，方程为3x+2＝0，即x＝﹣；
当a＞时，方程无解；
当a＝时，方程的解为x＝﹣；
当a＜且a≠0时，方程的解为x1＝，x2＝．9．（1）如图1，求证：∠AOD＝2∠ACD；
（2）如图2，AC⊥BD，M是AB中点，求证：
①EM⊥CD；
②CD＝2OM．
【分析】（1）如图1中，连接CO，延长CO到T．利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）①如图2﹣1中，延长ME交CD于H．想办法证明∠D+∠DEH＝90°，可得结论．②如图2﹣2中，延长BO交⊙O于P，连接PD，P A，AD．这部分证明CD＝P A，P A＝2OM即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，连接CO，延长CO到T．
∵∠TOD＝∠D+∠DCO，∠AOT＝∠A+∠AOC，
∴∠AOD＝∠TOD+∠TOA＝∠D+∠DCO+∠ACO+∠A，
∵OD＝OC＝OA，
∴∠D＝∠OCD，∠A＝∠ACO，
∴∠AOD＝2∠ACD．
（2）①证明：如图2﹣1中，延长ME交CD于H．
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∵AM＝BM，
∴ME＝AM＝BM，
∴∠A＝∠D＝∠AEM，
∵∠AEM+∠MEB＝90°，∠MEB＝∠DEH，
∴∠D+∠DEH＝90°，
∴∠DHE＝90°，
∴ME⊥CD．
②证明：如图2﹣2中，延长BO交⊙O于P，连接PD，P A，AD．
∵AM＝MB，OP＝OB，
∴AP＝2OM，
∵PB是直径，
∴∠PDB＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝∠PDB＝90°，
∴PD∥AC，
∴∠ADP＝∠DAC，∴＝，
∴CD＝AP，
∴CD＝2OM．
2018年山东省枣庄实验高中自主招生数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处） 1．如图，数轴上点A表示数a，则|a﹣1|是（） A．1B．2C．3D．﹣2 2．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜﹣1D．k＜﹣1或k＝0 3．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为（） A．84株B．88株C．92株D．121株 4．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（） A．﹣＝4B．﹣＝4 C．﹣＝4D．﹣＝4 5．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）
A．B． C．D． 6．如图在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树稍的仰角分别是45°与60°，∠DCA＝90°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°，若房屋的高BC＝5米，则高DE的长度是（） A．6米B．6米C．5米D．12米 7．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（） A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵 C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵
2015年上海交通大学自主招生自荐信范文
2015年上海交通大学自主招生自荐信范文 尊敬的各位老师领导： 您好！首先感谢您能在百忙之中抽出时间审视我的申请材料！ 我是xx市高级中学2010届理科实验班的**，和其他的同胞或者说是竞争者们一样，我也但愿通过贵校的自主招生来实现我一直以来的梦想——考入上海交通大学。 在众多高校中，唯有自由、开放、享有“东方MIT”美誉的上海交通大学深深吸引了我，而且我也听到上海交大的学长陈蕾先容说，上海交大非常适合那些“有想法主意”的人，只要你有想法主意，上海交大都会尽全力帮你实现，我觉得我就是那种有想法主意、有立异意识的人，这也使我更加坚定了“将来一定要到上海交大读书”的决心。凭借着十几年如一日的努力，我的成绩一直名列前茅，中考更是以全市第二十八的成绩考入铁岭市重点高中理科实验班。到了高中，我并没有骄傲，而是更加努力的学习，成绩也有了进一步的奔腾，每次考试成绩均不乱在年级前十名，施展好时还会进入前五名，我坚信自己是有资格进入上海交通大学的。
相信在此之前，您已经阅读过了无数的自荐信，对省、市三好学生，校学生会主席，团支部书记等也已经见怪不怪了。很可惜，这些刺眼的荣誉和职位我都没有，我有的是对交大全面的了解，有的是对交大始终如一的热爱与向往，有的是“非交大不去”的勇气与决心。更重要的是，我有着老实、量力而行的品质，我不会为了得到您的青睐而强调事实，虚张声势，而且我觉得一个人的领导能力、组织能力、交际能力和协调能力并不是只有靠这些职位才能体现出来的，究竟校学生会主席只有一个，但具有多地方能力的高中生远不止这些。 众所周知，上海交大的机械工程及自动化、车辆工程等专业都是当前海内最一流的。除此之外，贵校的密歇根学院不仅包含机械类专业，而且假如前两年在校成绩凸起，还能出国到密歇根大学继承深造，学习国外提高前辈的理念，这些都非常有助于实现我弘远的理想。我保证，假如我能进入上海交通大学，一定会本着“饮水思源，爱国荣校”的校训努力学习机械地方的专业知识，培养各地方的综合素质，成为像钱学森、吴文俊、茅以升那样的上海交通大学的骄傲。
（交通运输）外事网上申报系统使用说明书上海交通 大学人事处
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上海交通大学外事网上申报系统
目录1．登录3 2.用户注册3 3.功能菜单4 4.教师学生出国申报4 4.1团组编辑5 4.2出访地编辑6 4.3成员编辑7 4.4团组附件9 4.5打印申请表10 4.6近期申报记录10 4.7出访历史查询11 5.医学院业务流程11 5．1出国申报11 5．2 医学院团组受理11 5．3 医学院团组审核11 5．4 医学院政审12 5．5 生成市外办上报接口文件13 5．6 申报市外办办理护照签证16 6．医学院附属医院业务流程17 6．1出国申报17 6．2审核和审批18
6. 3生成市外办上报接口文件18 6．4 申报市外办办理护照签证18 7．因私申报18 7.1因私教师申报19 7.2因私学生申报19 7.3因私历史查询19
1．登录 打开浏览器，打入以下地址：https://www.doczj.com/doc/da5749055.html,，即可进入申报系统。注意：(1).浏览器必须设置允许本网站弹出窗口；(2).如果登录后30分钟不操作，或者使用期间离开页面超过30分钟，服务器会自动断开连接，这时候会返回出错信息，录入的数据不能保存，需要重新进行登录。所以，录入期间如果中途离开请先保存和退出。 仍没有账号的，需要先行进行注册 2.用户注册 注意：所属学院需照实填写，将会影响团组的流向，特别是医学院下属的附属医院申报的团组需要经过医学院的审核，所以不能选错。 3.功能菜单 登录成功后，能够见到页面上方的功能栏。 根据用户类型不同，及其所具有的权限不同，菜单栏会有所不同。 普通用户（自行注册用户）拥有：【出国申请】，【近期申报团组】，【出访历史查询】，【帮 助】，【出访小结格式】，【因私申报】，【团组查询】 二级单位用户（由管理员创建的附属医院管理员用户）拥有：【出国申请】，【近期申报团 组】，【出访历史查询】，帮助】，【出访小结格式】，【因私申报】，【团 组查询】，【上报市外办】
中学自主招生数学试卷 一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分） 1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（） A．B．D． 2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（） A．2πB．4πC．2D．4 3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（） A．15 B．20 C．25 D．30 5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（） A．B．2C．3D．6 二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分） 6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是． 7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为． 8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两
点，且=m，=n，则+=． 9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个． 10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=． 11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是． 三、简答题（共4小题，满分50分） 12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分． 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由： 班级内环中环外环
2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p c q = ，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成；
4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ，然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9
【解析】难度简单，直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?， 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是 【答案】 454 【解析】
8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2 n ），如果n 是奇数，则将它乘以3 加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】
高中自主招生考试数学试卷 亲爱的同学： 欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学，有雄厚的师资，优秀的学生，先进的育人理念，还有美丽的校园，相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分，考试时间为70分钟。 2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ） A ．313 - B ． 33 C ．314 - D ． 12 3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++= b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ） A ．N M > B ．N M = C ．N M < D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 4 1 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。 6．下列名人中：①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） A ．①④⑦ B ．②④⑧ C ．②⑥⑧ D ．②⑤⑥ 7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方 式如下表所示： 欲购买的 商品 原价（元） 优惠方式 A B C D B ' D C '
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题5分，共50分） 1．设函数()f x 满足2(3)(23)61f x f x x +-=+，则()f x = ． 2．设,,a b c 均为实数，且364a b ==，则11a b -= ． 3．设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为 ． 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?=L ． 6．设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 ． 7 ． 设 函 数 ()x f x x = ，则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++=L ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ，则a = ． 9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10．已知函数121 ()1 x f x x -= +，对于1,2,n =L ，定义11()(())n n f x f f x +=，若355()()f x f x =，则28()f x = ． 二、计算与证明题（每小题10分，共50分） 11．工件内圆弧半径测量问题．
为测量一工件的内圆弧半径R ，工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 12．设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像． 13．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点 M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标． 参考答案： 1. 21x - 2. 1 2 - 3. 2 4. 94 5. ()1!1n +- 6. 2
第2题 自主招生考试 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点： 1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。 2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。做在试题卷上无效。 3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。 4．答题过程不准使用计算器。 【 祝你成功! 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个 符合题目要求） 1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为 A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定根的情况 2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形 P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< $ C S S S 132<< D S S S 123== 3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是 A π－1 B π－2 C 121-π D 22 1 -π
… 4．由325x y a x y a x y a m -=+??+=??>??>?得a>－3,则m 的取值范围是 A m>－3 B m ≥－3 C m ≤－3 D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB
2018年上海交通大学自主招生考试 数学试题 一、填空题（每题5分，共50分） 1．已知方程2212x px p --=0（p R ∈）的两根12,x x 满足441222x x +≤，则p= ． 2．设8841sin cos ,0,1282x x x π??+=∈ ??? ，则x = ． 3．已知,n Z ∈且1200411112004n n +????+=+ ? ?????，则n= ． 4．如图，将3个12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为2的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图．则该多面体的体积为 ． 第4题图 523333,,,x y x y Q -=∈则（x ，y ）= ． 6．化简：() ()122222246812n n +-+-++-L = ． 7．若3z ＝1，且z ∈C ，则3z ＋22z ＋2z +20= ． 8．一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 ． 9．4封不同的信放人4个写好地址的信封中，全装错的概率为 ，恰好只有一封信装错的率为 ． 10．已知等差数列｛a n ｝中，a 3＋a 7+a 11+a 19=44，则a 5+a 9+a 16＝ ．
二、解答题（本大题共50分） 1．已知方程x 3+ax 2 +b x ＋c ＝0的三根分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是不全为零的有理数，求a 、b 、c 的值． 2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得 （l ）最大角是最小角的两倍？ （2）最大角是最小角的三倍？ 若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由． 3．已知函数y =2281 ax x b x +++的最大值为9，最小值为1．求实数a 、b 的值。 4．已知月利率为y ，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关系式（假设贷款时间为2年）． 5．对于数列{}n a :1，3，3，3，5，5，5，5，5，?， 即正奇数k 有k 个·是否存在整数 r ，s ，t ，使得对于任意正整数n ， 都有n a r t =+恒成立（[x ]表示不超过x 的最大整数）?
一.选择题 1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（ ） A ．16900 B ．17900 C ．18900 D ．前三个答案都不对 2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（ ） A ．3524 B ．3624 C ．3724 D ．前三个答案都不对 3.已知x ∈[0,2 π]，对任意实数a ，函数y=2cos x ?2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．前三个答案都不对 4.已知2010?202是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．前三个答案都不对 5.在凸四边形ABCD 中，BC=4，∠ADC=60°，∠BAD=90°，四边形ABCD 的面积等于 2 AB CD BC AD ?+?，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（ ） A ．6.9 B ．7.1 C ．7.3 D ．前三个答案都不对 二.填空题 6.满足等式120151 11+)(1)2015 x x +=+（的整数x 的个数是_______． 7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则2 2222()()() ab cd a d b c +++ 的最大值与最小值的和为___________ 8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,的最大整数是__________ 9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=222 2b a c ba +-,且x+y+z=1，则201520152015x y z ++的值为___ 10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ?|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________ 三．解答题 11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值 12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a 13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC 的三边满足a >b>c ， 求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B + 14.从O 出发的两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点，且AOB S ?=c(c 为定值),记AB 的中点为X ， 求证：X 的轨迹为双曲线 15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足：1210...a a a +++=30，1210...a a a <21，求证：i a ?，使得i a <1 ##Answer##
2001年度上海交通大学冬令营数学试题 一、填空题（本题共40分，每小题4分） 1．数12 8 25N =?的位数是________________． 2．若log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝log 4[log 2(log 3z )]＝0，则x +y +z ＝_________． 3．若log 23＝p ，log 35＝q ，则用p 和q 表示log 105为________________． 4．设sin α和sin β分别是sin θ与cos θ的算术平均和几何平均，则cos2α:cos2β＝____________． 5．设[0, ]2 x π ∈，则函数f (x )＝cos x +x sin x 的最小值为________________． 6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为____________． 7．若在数列1，3，2，…中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_______________． 8．在(1+2x -x 2)4的二项展开式中x 7的系数是_______________． 9．某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a 厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a 厘米在排版时比原稿上多1．虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a ＝________________． 10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等 差数列的概率为_________________． 二、选择题（本题共32分，每小题4分） 11．a >0，b >0，若(a +1)(b +1)＝2，则arctan a +arctan b ＝ ( ) A ． 2 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 12．一个人向正东方向走x 公里，他向左转150°后朝新方向走了3公里，公里，则x 是 ( ) A B ．C ．3 D ．不能确定 13．1111132 16 8 4 2 (12 )(12 )(12)(12)(12)- - - --+++++= ( ) A ．11 321(12)2 --- B ．1 1 32(12 )--- C ．132 12 - - D ．1321 (12)2 -- 14．设[t ]表示≤ t 的最大整数，其中t ≥0且S ＝{(x ,y )|(x -T )2+y 2≤T 2,T ＝t -[t ]}，则 ( ) A ．对于任何t ，点(0,0)不属于S B ．S 的面积介于0和π之间 C ．对于所有的t ≥5，S 被包含在第一象限 D ．对于任何t ，S 的圆心在直线y ＝x 上
2009年鄂州高中自主招生考试数学试题 一、选择题（3分*12=36分） 1、已知a=2009x+2008，b=2009x＋2009，c=2009x+2010，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为 （） A、0 B、1 C、2 D、3 2、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2＋2x＋2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） 3、第二象限有一点P（x , y），且，则点P关于原点的对称点的坐标是（） A、（－5，7） B、（5，－7） C、（－5，－7） D、（5，7） 4、若方程x2＋（4n＋1）x＋2n=0（n为整数）有两个整数根，则这两个根（） A、都是奇数 B、都是偶数 C、一奇一偶 D、无法判断 5、如右下图，等边ΔABC外一点P到三边距离分别为h1，h2，h3，且h3＋h2－h1=3，其中PD= h3， PE= h2，PF= h1。则ΔABC的面积SΔABC=（） A、B、C、D、 6、某班有50人，在一次数学考试中，得分均为整数，全班最低分为48分，最高分为96分，那么 该班考试中（） A、至少有两人得分相同 B、至多有两人得分相同 C、得分相同的情况不会出现 D、以上结论都不对 7、若实数a 满足方程，则=（），其中表示不超过a的最大整数。 A、0 B、1 C、2 D、3 8、在⊿ABC中，P、Q分别在AB、AC上，且，则PQ一定经过⊿ABC的（） A、垂心 B、外心 C、重心 D、内心 9、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每 隔9千米经过一个速度监控仪，刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么，第二次同时经过这两种设施是在（）千米处。 A、36 B、37 C、55 D、91 10、已知x2－ax＋3－b=0有两个不相等的实数根，x2＋（6－a）x＋6－b=0有两相等的实数根，x2
2017年自主招生数学试题 (分值: 100分 时间:90分钟) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1、若对于任意实数a ，关于x 的方程0222 =+--b a ax x 都有实数根，则实数b 的取值范围是（ ） A b ≤0 B b ≤2 1 - C b ≤81- D b ≤-1 2、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，已知S △BDE ∶S △CDE =1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为（ ） A ．1∶3 B ．1∶4 C ．1∶9 D ．1∶16 3、某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高(如图所示)。已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD) 恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为300 ，在C 处测得电线杆 顶端A 得仰角为450，斜坡与地面成600 角，CD=4m ，则电线杆的高(AB)是（ ） A ．)344(+m B ．)434(-m C ．)326(+m D ．12m 4、如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=3．点 E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG ．同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当经过（ ）秒时，直线MN 和正方形AEFG 开始有公共点。 A ．53 B ． 12 C ．43 D ．23 (第2题图) (第3题图) (第4题图) 5、如图，在反比例函数x y 2 - =的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC=BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数x k y =的图 象上运动，若tan ∠CAB=2，则k 的值为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6、如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA=3，OB=4，OC=5．将线段OB 绕点B 逆时针 旋转600得到线段O′B，则下列结论：①△AO′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转600 得 到；②∠AOB=1500 ；③633AOBO'S =+四边形93 6AOB AOC S S +=△△（ ）
2016年上海交通大学媒体与设计学院 硕士研究生复试考生名单公示 一、夏令营考生：已参加我院2016年推免优秀生源夏令营自主招生选拔，经考核后获得“全国招考初始成绩达到规定的复试分数线标准，优先复试”资格。 准考证号姓名报考学科总成绩各单科成绩备注102486121611560 程乾工业设计工程378 73/80/120/105 B档 二、普通考生：已参加2016年全国硕士研究生招生考试，初始成绩达到复试分数线标准。 准考证号姓名报考学科总成绩各单科成绩备注102486121614203 张舒欣新闻传播学39771/85/127/114 学术型102486121615698 吴燏函新闻传播学39574/83/122/116 学术型102486121610227杨红新闻传播学39369/81/123/120 学术型102486121614860郑晓晴新闻传播学39274/81/115/122 学术型102486121617495 郭廉卿新闻传播学39166/78/133/114 学术型102486121617523 杨蓉新闻传播学39177/78/126/110 学术型102486121611249 陶思彤新闻传播学38973/77/121/118 学术型102486121610261武奋丰新闻传播学38671/67/119/129 学术型102486121616904董丽雪新闻传播学38568/77/119/121 学术型102486121611628 周梦霞新闻传播学（文管）40684/80/130/112 学术型102486121612655 李航新闻传播学（文管）40272/78/127/125 学术型102486121615943 许松影新闻传播学（文管）40270/82/125/125 学术型102486121601615 钟媛新闻传播学（文管）39571/77/127/120 学术型102486121615855 李龙飞新闻传播学（文管）39576/70/132/117 学术型
浙江省杭州市自主招生考试数学试卷 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．（4分）（2006?潍坊）计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（） A．2 B．C．D．1 2．（4分）（2006?潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（） A．B．C．1﹣D．1﹣ 3．（4分）（2004?宁波）已a，b为实数，ab=1，M=，N=，则M，N的 大小关系是（） A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定 4．（4分）（2005?淮安）一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能 准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（） A．20分钟B．22分钟C．24分钟D．26分钟 5．（4分）（2012?大田县校级自主招生）二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y=﹣2x2的图象（） A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D．向右移动1个单位，向下移动3个单位 6．（4分）（2011?浙江校级自主招生）下列名人中：①比尔盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（） A．①④⑦ B．②④⑧ C．②⑥⑧ D．②⑤⑥
7．（4分）（2012?麻城市校级自主招生）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（） 原价（元）优惠方式 欲购买的 商品 一件衣服420 每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物 券 一双鞋280 每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购 物券 一套化妆品300 付款时可以使用购物券，但不返购物券 A．500元B．600元C．700元D．800元 8．（4分）（2012?麻城市校级自主招生）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深H的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（） A．B．C．D． 二、填空题：（每题6分，共30分） 9．（6分）（2013?福建校级自主招生）若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a=． 10．（6分）（2011?浙江校级自主招生）三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为cm2． 11．（6分）（2014?南充自主招生）对正实数a，b作定义，若4*x=44，则x的值是． 12．（6分）（2011?萧山区校级自主招生）已知方程x2+（a﹣3）x+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是． 13．（6分）（2011?萧山区校级自主招生）如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、 4、3、2、1、2、3、4、 5、4、3、2、1…的规律报数，那么第2007名学生所报的数是． 三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．14．（8分）（2011?萧山区校级自主招生）田忌赛马 齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各﹣匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上
上海交通大学 化学 注意事项：本试卷共有19道试题，总分100分。 一、填空题（共11小题） 1．【真题】将等物质的量的A 和B ，混合于2L 的密闭容器中，发生如下反应： ()()()()3A g B g C g 2D g x ++═，经过5min 后测得D 的浓度为0.5mol /L ，()()A :B 3:5c c =，C 的反应速率是()0.1mol /L min ?，A 在5min 末的浓度是___________，B 的平均反应速率是___________，D 的平均反应速率是___________．x 的值是___________ 3．【真题】一定温度下，在2L 的密闭容器中，X 、Y 、Z 三种气体的物质的量随时间变化的曲线如图所示： （1）从反应开始到10s 时，用Y 表示的反应速率为______________________________。 （2）该反应的化学方程式为______________________________。 （3）若上述反应分别在甲、乙、丙三个相同的密闭容器中进行，经同一段时间后，测得三个容器 中的反应速率分别为 甲：()11X 0.3mol L s v --=??；乙：()11Y 0.12mol L s v --=?? 丙：()11Z 9.6mol L min v --=??； 则甲、乙、丙三个容器中反应速率由慢到快的顺序为______________________________。 5．【真题】叶绿素在光的作用下可将2CO 和2H O 转化为葡萄糖()6126C H O 和2O 。????22612626CO 6H O C H O 6O ?+?→+，葡萄糖可进一步合成淀粉()6105C H O n ????。科学家预言，在不久的将来，人类将模拟生物体内的这一变化过程，从工厂中由2CO 和2H O 直接生产出淀粉。这样，合成优质叶绿素将十分重要。叶绿素有a 、b 两种，已知某种叶绿素中仅含有C 、H 、O 、N 、Mg 五 种元素，且知该叶绿素中各元素的质量分数分别是()C 73.99%w =，()H 8.072%w =， ()O 8.969%w = ()N 6.278%w =，()Mg 2.691%w =经测定该叶绿素的相对分子质量小于1000，试确定该叶绿素的分子式。 7．【真题】下列物质之间能够发生如图所示的化学反应。合金由两种金属组成，取C 溶液进行焰色反应则火焰呈黄色，在反应中产生的水均未在图中标出。 （1）写出下列物质的化学式：A ：_________________M ：_________________H_________________ （2）合金成分______________（元素符号）
巧易思教育2014年上海交通大学、复旦大学自主招生预录取学员名单 上海徐汇区巧易思进修学校在2014年高校自主招生中再创佳绩，其中：73名学员被上海交通大学预录取，48名学员被复旦大学预录取，合计121名学员。除已经被交大、复旦预录的学员外，另有五十余名已在全国数理化联赛中获奖的学员将入读清华、北大、港大以及美国常春藤联盟等知名学府。 作为上海市领先的专注自主招生、专注学科竞赛及培优的课外辅导学校，2014年我校高中学员不仅在全国数理化联赛中取得了可喜的成绩，全国知名重点大学自主招生预取率从89%也上升到了95%以上。 具体名单如下： 姓名入选专业毕业中学名称院校名称 刘凯文密西根学院（工科类）上海市杨浦高级中学上海交通大学 孙诗韵法学上海市行知中学上海交通大学 李佳宜口腔医学[七年制]上海市向明中学上海交通大学 陈旭旸电子信息类上海市向明中学上海交通大学 金颖信息安全上海市向明中学上海交通大学 刘宸机械工程及自动化[试点班]上海市向明中学上海交通大学 倪韵霏德语上海市向明中学上海交通大学 王逸飞生物医学工程上海市向明中学上海交通大学 王子铭经济学类上海市西南位育中学上海交通大学 刘洋临床医学[五年制]上海市吴淞中学上海交通大学 熊泽宇密西根学院（工科类）上海市位育中学上海交通大学 徐程密西根学院（工科类）上海市位育中学上海交通大学
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（交通运输）上海交通大学
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电力系统及其自动化 （专业代码：080802） （200909版） 本学科建于1952年，1960年开始招收研究生，是国内高校中首批有权授予硕士学位的学科之壹。1993年获博士学位授予权，1996年被评为上海市教委重点学科。现有教授6人，其中博导6人。副教授12人。本学科以电力系统为研究对象，涉及电力系统分析、规划、控制、自动化和保护各个领域。研究方向以电力系统现代化为目标，进行计算机离线计算和仿真，在线监测、控制和网络通讯，新型电力电子器件在电力系统中应用等多方面研究。本学科拥有数百台微机及网络系统、动态模拟实验室、计算机继电保护和自动、远动实验室等。研究课题多来自国家自然科学基金、国家电力X公司，各省、市电力X公司以及发电、用电单位。 壹、培养目标 学位获得者在电力系统及其自动化学科上掌握坚实的基础理论和系统的专门知识，了解国内外电力系统及其自动化领域的现状和发展方向，具有从事科学研究工作或独立担负专门技术工作的能力，能用外语阅读专业书刊，且具有壹定的听、读能力。 二、主要研究方向 电力系统分析和仿真2.电力系统规划3.电力市场4.综合自动化和继电保护5.新理论和新技术在电力系统中的应用等 三、学制和学分
全日制硕士研究生学制为二年半；总学分≥32，其中学位课学分≥19。硕士生的课堂课程教学计划壹般应在第壹学年内完成 四、课程设置 课程类别课程代码课程名称学分开课时间组号备注学位课G071503 计算方法 3.0 秋 学位课G071507 数学物理方程 3.0 秋 学位课G071532 应用泛函分析 3.0 春 学位课G071536 高等计算方法 2.0 春 学位课G071552 应用近世代数 3.0 春 学位课G071555 矩阵理论 3.0 秋 学位课G071556 近代矩阵分析 2.0 春 学位课G071559 最优化理论基础 3.0 秋 学位课G071562 基础数理统计 2.0 秋 学位课G071563 时间序列和多元分析 2.0 春 学位课G071564 应用随机过程 3.0 秋 学位课G090501 自然辩证法概论 2.0 春，秋必修