2013年-2014学年河南永城市高级中学高一年级数学学案
几种不同增长的函数模型
永城市高中：陆 洋
1、记住常见增长函数的定义、图像、性质，体会直线上升、对数增长、指数爆炸的含义
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195页到101页，要读三遍。
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（1）线性函数模型
线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变。
（2）指数函数模型
指数函数模型y=x
a （a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越
快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”。
（3）对数函数模型
对数函数模型y=x a log （a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓。
(4)幂函数模型
幂函数的增长速度介于指数增长和对数增长之间。 2、指数函数、对数函数和冥函数的增长差异
一般地，在区间（0,+∞）上，尽管函数y=x a （a>1）, y=x a log （a>1）和y=n x (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着x 的增大，y=x a
（a>1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=n x (n>0)的增长速度，而 y=x a log
（a>1）的增长速度则会越来越慢。
因此，总会存在一个0x ，使得当x>0x 时，就有x a log a (a>1,n>0) 3.解决应用题的一般步骤 ① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； ② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③ 解模：求解数学模型，得出数学结论； ④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义 1）函数2x y =与x y 2=在()+∞,4上哪一 个增长得更快些？ （2）观察在同一坐标系中，函数2x y =，x y 2=，x y 2log =的图像，当 0x x >时， x x x 22log 2>>，则0x 的最小值是多少？ 类型一、一次函数模型的应用 例1.一报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同。问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱。 则y=20?0.1x+250?0.1?10-(x-250)?0.12?10=0.8x+550(250≤x ≤400) 因为：y 在x []400,250∈上是一次函数，且是增函数 所以：当x=400时，y 取得最大值870 即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元 小结：（1）认真审题，准确理解题意； （2）抓准数量关系，运用已有的数学知识和方法，建立函数关系式； （3）根据实际情况确定定义域。 类型二、指数函数模型 例2.有一种储蓄按复利计算利息，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到0.01元）？（复利是指在每经过一个计息期后，都要将所剩利息加入本金，以计算下期的利息。这样，在每一个计息期，上一个计息期的利息都将成为生息的本金，即以利生利，也就是俗称的“利滚利”。 复利的计算是对本金及其产生的利息一并计算，也就是利上有利。复利计算的特点是：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。） 分析：（1）根据利息公式求出定期储蓄1年期，2年期，3年期，5年期的利息，观察这 些数字发现本金一定的情况下：存期越长，利息越高，归纳得出写出本利和y 随x 变化的函数关系式； （2）根据（1）的函数表达式，最后代入数据即可计算4期后的本利和． 解：（1）根据题意得：1年期到期利息为：y=a （1+r ）； 2年期到期利息为：y=a （1+r ）2； 3年期到期利息为：y=a （1+r ）3 ； ∴y=a （1+r ）x （x ∈N*）， （2）a=1000，r=2.25%，x=4，y=1000×（1+2.25%）4=1000×1.02254≈1093.08（元） 答：4期后本利和为1093.08元． 小结：本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是熟练掌握利息=本金×年利率×储存 年数． 类型三、对数函数模型 例3.2003年10月15日，我国的“长征”二号F 型火箭成功发射了“神州”五号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m 和燃料x 重量之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为y=k[ln(m+x)—ln(2m)]+4ln2(其中k ≠0)，当燃料重量为（e —1）m 吨（e 为自然对数的底数，e ≈2.72）时，该火箭的最大速度为4km/s （1）求火箭的最大速度y(km/s) 与燃料重量x 吨之间的函数关系式y=f(x) （2）已知该火箭的起飞重量是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使该火箭的最大飞行速 度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？ 分析：（1）根据火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为y=k[ln(m+x)—ln(2m)]+4ln2，当燃料重量为（e —1）m 吨时，该火箭的最大速度为4（km/s ）．可求函数关系式； （2）由已知M=m+x=479.8，则m=479.8-x ，又y=8，代入（1）中函数关系式，即可求得． 解：（1）由题意，4=k[ln(m+x)—ln(2m)]+4ln2，则k=8， 所以y=8[ln(m+x)—ln(2m)]+4ln2即8 ln ?? ? ??+=m x m y （2）由已知M=m+x=479.8，则m=479.8-x ，又y=8，代入上式得，8=8[ln479.8-ln(2(479.8-x))]+4ln2，解得 x=303.3 答：应装载303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8（km/s ）． 小结：本题以“长征”二号F 型火箭成功发射了“神州”五号载人飞船为素材，考查函数模型 1( ) A.y=5x +10 B.y=1003x C.y=ln(x+1) D.y=0.5x e —2 2、1y =x 2，2y =2x ，3y =2log x ，当2 A.1y >2y >3y B.2y >1y >3y C.1y >3y >2y D.2y >3y >1y 3、如下图△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的 位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y =f （x ）的图象大致为 4、某种动物繁殖数量y （只）与时间x （年）的关系为y= a 2log （x+1），设这种动物第一 年有100只，到第7年它们发展到（ ） A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 5、某品牌的笔记本电脑成本不断降低，若每隔4年价格就降低 3 1，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格可降为（ ） A.2400元 B.900元 C.300元 D.3600元 6、有4种飞行器进行飞行表演，假设其飞过的路程和时间的函数关系分别是1f （x ）=2x , 2f （x ）=4x,3f (x)=2log x,4f (x)=x 2,如果它们一直飞下去，最终跑在最前面的飞行器飞过的路程和时间具有的函数关系是（ ） A.1f （x ）=2x B.2f （x ）=4x C.3f (x)=2log x D.4f (x)=x 2 7、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，它的解析式为（ ） A ．y=20-2x (x ≤10) B 。y=20-2x (x<10) C 。y=20-2x (5≤x ≤10) D ．y=20-2x (5 8、已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y ，则y 与x 的函数关系是（ ） A ．100)9576.0(x y = B x y 100)9576.0(=C x y )1009576.0(=D ．100)0424,0(1x y -= 9、某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2 个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y 为（ ）. A ．12x y += B. y =21x - C. y =2x D. y =2x 10、某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b