抽屉世界
——从小抽屉中看大组合
作者：
李……
摘要
抽屉原理又称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个很重要的原理。抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题的解决中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。但在有些问题中，“抽屉”和“物体”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“物体”.如何制造“抽屉”和“物体”有时会很困难的，往往这时我们首先需要认真地分析题目中的条件和问题，再根据以往做题所积累的经验进行制造。懂得制造抽屉是运用抽屉原则的一大关键。
关键词：组合数学，抽屉原理，应用实例，心得感受。18*14=252
抽屉世界
——从小抽屉中看大组合抽屉原理作为组合数学中一个重要的组成部分，其应用之广泛可想而知。
第一抽屉原理：
○1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。○2把多于mn+1(m乘以n加一)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
○3把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
第二抽屉原理：
把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可
以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。就我做过需要利用到抽屉原理的题目中，有一道很经典的题目，同时也是1958年6/7月号的《美国数学月刊》上的一道题目。即：证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。一开始看到这道题我觉得这不可能呀，我觉得所要证明的内容本身就是错的。所以我没有立即进行证明，而是举例来进行反驳，可是无论我怎么假设，所要证明的结论总是成立。我这才开始思考该从何入手来进行证明。我只知道这道题一定会用到抽屉原理，但到底是在哪用如何用还是不清楚，短暂的思考之后，终于有了头绪。首先用六个点分别代表六个人，任取一个点M，把M点到其他五点间连五条线段，用红黑两种颜色分别代表相互认识和彼此不认识，用这两种色将五条线段分别着色，由抽屉定理[5/2]+1=3 可知,至少有三条线段是同一种颜色，不妨假设是红色，且这三条线段的另一端点分别为A，B，C(见图)。再来讨论A，B，C三点间的连线的颜色问题，只要
它们间的三条线段有任意一条为红色，则该线段的两个端点和M点构成了一个红色的三角形，即有三个人以前相互认识。若三条线段全为黑色，则表示有三人彼此互不相识。从而结论得证。
这样一个看似无法解决的难题，只是稍稍运用了抽屉原理就迎刃而解了，只是这个转化的过程不是太容易想到，这类组合问题往往都是这样的，制造“抽屉”和“物体”是解决问题的关键，懂得制造抽屉是运用抽屉原则的一大关键。
还有一个问题也很有趣，在我没有看答案之前，我一直没有想通。那是一个关于重叠和覆盖的问题：有21个点在边长为12的
三角形中，证明用一个半径为√3（）的圆
纸片总可以盖住其中的三个点。一看到这题我就想到要用抽屉原理，由21和3可知，这道题需将这个三角形分为7~10份。于是我就
将三角形如下图般分割：。可分割完后发现每一小个三角形无法用半径为√3（）的圆纸片盖住。所以我继续分析，发现半径为√3（）的圆纸片正好是边长为3的正三角形的外接圆。于是我将三角形如下
图般分割：。但这样分割
后我觉得用10个圆不可能完全覆盖，这里一共有16个三角形，10个圆只能完全覆盖十个
三角形，还是不能证明结果。可看完答案后我才知道我的思路并没有错，只是我没有去尝试，而是直接就否定了自己的方案，如果我动手去画一画，就可以依靠自己的能力解决这道题了。最终的方法是：
用十个圆覆盖，每个圆覆盖一个，同时每相交的三个圆共同再覆盖一个，这样就将整个大三角形完全覆盖了。又因为[21/10]+1=3，从而结论得证。
从做这个问题的整个过程中，我有很多感触：做有些题目不可能一次就做对的，需要不断的尝试，而且要勇于尝试，并且不能光用脑袋想，要动笔把思考的内容大概的描述一下，只有这样才能更进一步的确认自己的思路是否正确。
总之，抽屉原理是组合数学中一个很重要的原理，在日常生活中也有很重要的应用。
排列组合论文 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
排列组合体系重建 制作：星哥 摘要 排列组合是高中数学中相对独立的内容，对学生分析问题、解决问题能力有较高要求，师生普遍反映难学难教。产生困难的原因很多，比如题目变化多，结构复杂，思考过程容易出错，很难找到一个简明而又全面的问题归类方式；解答思路灵活，简繁不一，答案检验也不容易；师生仅凭书面交流难以真正了解彼此的想法，更不用说纠正和改正错误了。 该论文在文献研究的基础上，通过对部分高三学生的测试与学生的访谈，意在揭示高中生学习排列组合时的常见认知错误，分析其产生原因，并基于实证研究，为改进排列组合教学提供具体建议。 本文中，我对排列组合问题提出了一个新的分类，先将排列组合问题分为选取模型和分配模型两大类，再依次分为4个小类，部分小类中还有进一步的划分。希望通过新的分类，更清晰地梳理问题类型，帮助学生更容易地找到解决问题的方法。 通过对测试结果的分析，我将学生常见的错误归为三种类型：题意理解错误、模式选择错误、操作技术错误。在这三大类错误中包含的具体错误情况共有11种。对于每种错误，我都根据学生的访谈内容、文献研究等对学生的出错原因进行了分析。通过访谈，我还发现，在解决陌生问题、解决限制条件多的问题时学生普遍存在困难，而且很多学生不知道如何自我检查答案。 针对学生普遍存在的困难和常见错误，我的建议是：(1)帮助学生认识学习目的；(2)多采用直观图示的方法；(3)重视读题过程，推敲问题特征，列式之后再次读题，检查是
否有遗漏和重复；(4)利用学生错误，开展有意义的学习；(5)适当变式，如改换背景和增加限制条件，提高学生的理解水平；(6)引导学生用“缩小数据”和“一题多解”的方法检验解法的正确性。 关键词：排列组合，常见错误，高中生，数学学习 目录 第一章引言 (4) 研究背景 (4) 研究问题 (5) 研究意义 (5) 第二章文献综述 (6) 关于排列组合问题模型 (6) 选取模型 (6) 分配模型 (6) 课程中的排列组合知识及其要求 (6) 课程标准及考纲要求 (6) 教材要求 (7) 关于排列组合常见错误类型及其成因 (8) 关于排列组合教学 (9) 第三章研究的设计和实施 (10) 研究对象 (10) 测试题的设计 (10) 按排列组合模型设计 (10)
第二类stirling 数S(n ，n-7)的一个公式 数学与应用数学（师范）2班 李霞 200902114078 一、定义与符号 定义1 从n 个不同事物中取出m 个的组合数,记作m n C . 定义2 把含有n 个元素的一个集合分成恰好有k 个非空子集合的分拆数目就叫 做第二类stirling 数,并记作(,)S n k ,对于0n k ==时,定义(0,0)S =0;当(,)0n k S n k <=时,. 对于集合A,我们用|A|表示A 的基数.关于第二类stirling 数的性质与计算方法,我们给出以下几个引理. 引理 []11 1 1 1 2 11(,1)1,(,2)21,(,3)(3 1)2 , 2 ,n n n n n S n S n S n S n S n n S n n ---≥==-= +-当时，（,0)=0,（,-1)=C （,)=1. 引理 [] 12 1(,)(1,1)(1,).k n S n k S n k kS n k ≤≤=--+-当时, 为了方便下面定理1的证明，根据引理1和引理2，我们可以算出以下几个第二类stirling 数： 8 99 1(9,2)21255;(10,3)(31)29330;(11,4)145750; 2 S S S =-== +-==(12,5)1379400.S = 定理 [][][][] 2345A 344,(,2)3n n n S n n C C ≥-=+当时4566(,3)1015;n n n S n n C C C ≥-=++;当n 时, 5 6 7 8 8(,4)25105105; n n n n n S n n C C C C ≥-=+++当时, 6 7 8 9 10 10(,5)564901260945; n n n n n n S n n C C C C C ≥-=++++当时, 7 8 9 10 11 12 12(,6)119191894501732510395.n n n n n n n S n n C C C C C C ≥-=+++++当时, 二、 主要结果及其证明
组合数学论文 现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好像是有思维的。组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。 广义的组合数学就是离散数学，离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。 组合数学中有几个著名的问题： 地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？这是图论的问题。 船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河？ 这是线性规划的问题。 中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。 货郎问题：一个货郎要去若干城镇卖货，然后会到出发地，给定各个城镇之间的旅行时间，应怎么样计划他的路线，使他可以去每个城镇而且所用的时间最短。这个问题至今都没有有效的算法。 这几个问题将组合数学研究的问题具体表现出来，同时也可以看出他在我们生活中有着很重要的地位。 组合数学中主要可以分成以下几个部分：排列组合与容斥原理、二项式定理、递推关系与生成函数、polya定理。下面我将以这四个部分分别介绍组合数学的各方面问题。 1、排列组合与容斥原理： 排列组合里面的4个重要的基本原理：加法原理、乘法原理、减法原理、除法原理 前面两个最为基本，后面两个是根据前两个派生出来的。乘法原理有的时候的应用很巧妙，可以作为一种打开思路的办法。
生活中的组合数学 摘要:组合数学在基础理论方面和生活应用方面都发挥着越来越重要的作用,组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。因此随着计算机科学和其它许多新兴应用学科的发展,组合数学在基础理论方面和生活应用方面都发挥着越来越重要的作用,进而需要我们对其进行更加深层次的研究. 关键词:组合数学;鸽巢原理;数学游戏 引言 随着计算机的普及推广,组合数学这门古老的学科焕发出蓬勃的生机.组合数学是一门研究内容丰富、应用广泛的学科,同时它也是一门讲究方法,讲究技巧的学科.组合数学的魅力在于找到巧妙的解法来完善的解决一个组合数学问题,计算机强大的计算能力为寻求组合数学问题的巧妙解法提供了无限的可能,同时组合数学也反过来有效地推动了计算机科学的发展. 组合数学在国外已有较快发展,在很多大学已设立组合数学与优化理论专业来培养专门人才.我国对组合数学的研究具有一定的基础,特别是图论研究和区组设计等方面已取得一定的成果. 组合数学的发展显然已经改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面,奠定了本世纪的计算机革命的基础.因此需要对其进行更加深入的理论探讨和实践.本文正是基于这种思想,希望借以简单的阐述引起人们对组合数学的更深层次的理解,并能够将其灵活应用于生活中. 所以我想通过一些实例和数学史上的一些故事和难题,介绍了组合数学是如何在生活中应用的.在研究了一些典型的例子和趣味性的故事的基础上,系统的查阅了相关文献，并结合生活中涉及组合数学的相关知识进行阐述,具体说明了组合数学的基本方法及其在生活中的应用.这样就使得晦涩的组合数学显得更加形象,也使抽象的理论概念变得浅显具体,更易被初学者理解和接受,以至于可以激发人们在生活中应用组合数学的意识.
序言 组合数学也称为组合论，组合学。是一门古老而又崭新的学科。传说早在4000多年前的大禹时期就观察到了神龟背上的幻方，北宋数学家，贾宪著有《皇帝九章细草》、《算法教古集》，以及非常著名的杨辉三角都是组合数学的早期表现。但是在没有现代科学技术出现特别是计算机技术出现之前组合数学发展遇到了瓶颈。直到近代计算机技术的大力发展，给组合数学又带来了一次新生。与传统的数学课程相比，组合数学研究的是一些离散的事物之间存在的数学关系，包括存在性问题，计数性问题，构造性问题以及最优化问题，其主要内容是计数和枚举。计数问题是组合学中研究得最多的问题，它出现在所有的数学分支中。组合数学不仅在基础数学中具有极其重要的地位，在其他学科中也有重要的作用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中，甚至在企业管理，交通规则，战争指导，金融分析，城市物流等领域具有重要应用。具有重要的应用。组合数学的发展奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机应用的灵魂是算法，对计算机来说它的算法针对的都是离散的对象而组合数学主要研究的是构造算法对离散数据进行处理，因此在组合数学的发展对计算的发展起到至关重要的作用。 组合数学的应用 1.组合数学在计算机科学方面的应用 1.1 组合数学在无线传感器网络中的应用 近年来无线传感网络在军事，科研和日常生活中扮演着越来越重要的角色。 但是关于无线传感网络的技术也遇到了很大的困难。 无线传感网络节点在民用方面：主要用来长时间不间断的收集周围环境的数据，但是由于节点能量有限，存储有限，数据如果不加处理就传输，则会造成很大的网络带宽浪费，能量浪费甚至造成节点存储溢出。因此这时候我们就可以利
目录 1.引言 (1) 2组合数学与数学竞赛简介. (1) 2.1组合数学 (1) 2.2数学竞赛 (1) 3 组合数学的几种方法在数学竞赛中的应用 (2) 3.1抽屉原理 (2) 3.2容斥原理 (2) 3.3排列组合 (8) 4.探索高中数学竞赛中的组合问题 (10) 4.1熟练掌握四个基本的技术原理 (10) 4.2学习组合数学的几点建议 (10) 4.3培养学生的组合性思维和组合思想 (11) 4.4常见排列组合的解题策略 (11) 参考文献 (12) 致谢 (12)
组合数学在数学竞赛中的应用 Combinatorial Mathematics in Applied Mathematics (0521110329 Class 2 Grade 2005 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Information) Abstract: Mathematical competitions in high school and junior high school are very popular in which the portfolio problem accounts for a large proportion. As for this issue, the writer combines with the portfolio mathematics and competitive mathematics in university, and adopts the drawer principle, exclusion principle and permutation and combination methods to make the research and discussion.Importantly, the writer carries new research on the problems of combination in mathematical competition. Key words: order; combination; drawer principle; Exclusion principle 1. 引言 组合数学是可以追溯到公元前2200既古老而又年轻的数学分支, 它的源泉可以追溯到公元前2200年的大禹时期，中外历史上许多著名的数字游戏是它古典部分的主要内容. 公元1666年，德国著名数学家莱布尼茨为它请名为“组合学”(Combinatorics),并预言了这一数学分支的诞生. 随着科学技术的发展，组合数学这门历史悠久的学科得到了迅速发展． 数学活动离不开解题，掌握数学的一个重要标志就是善于解题．现在专门以中学生为对象的数学竞赛成为时代的时尚，本论文希望结合组合数学和数学竞赛有关理论知识，针对在数学竞赛中占很大比例的组合问题，利用大学组合数学理论给出解释，并结合初等数学向学生渗透和合理讲解．在此过程中，提出自己直接的见解和总结． 2.组合数学与数学竞赛简介 2.1 组合数学 组合数学历史悠久，几千年前，我国的《河图》、《洛书》就已涉及一些简单有趣的组合问题．组合问题在日常生活中也随处可见．例如，在玩扑克牌游戏中计算“同花顺”的概率、一笔画和幻方等都是组合数学问题． 组合数学自20世纪60年代急速发展的部分原因在于计算机在我们的生活中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥．由于远算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的．近年来，由于计算机科学、编码理论、规划论、数字通讯、试验设计、社会科学、生物科学等学科的迅猛发展，大大促进了组合数学的研究，使这一古老的数学分支成为了一门充满活力的数学学科． 组合数学可以一般地描述为：组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化
组合数学论文1700字_组合数学毕业 论文范文模板 组合数学论文1700字(一)：浅谈“组合数学”的研究性教学方法 【摘要】组合数学是计算机相关专业的一门专业课程，其内容抽象，形式化 程度高，如何提高该课程的教学水平，使学生真正学懂并不断提高逻辑思维和抽 象思维能力是该课程教学研究和探讨的重点. 【关键词】研究性教学；组合数学；启发式学习 伴随着信息时代的来临，特别是计算机科学技术的迅猛发展，计算机相关专 业课程的学习方法研究成为热点.组合数学作为一门应用性较强的数学分支，对于 高校特别是计算机相关专业学生，培养他们运用组合数学方法分析和解决相关问 题的能力已经成为必要.如何在教学过程中提高学生学习组合数学的兴趣，建立组 合数学的逻辑思维并用于解决实际问题是教育工作者需要思考的问题. 一、课程特点与现状分析 组合数学在计算机科学、信息科学中具有重要的地位，是理科及工科院校的 一门必修课，其发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面.组合数学主 要研究符合一定条件的组态对象、计数及构造等方面的问题，主要内容包括排列
与组合、容斥原理及其应用、递推关系、生成函数、鸽巢原理和Polya定理等.然而，組合数学课程中概念、定理、性质和证明非常多而且都比较抽象，形式化程度高，学生在学习、理解和应用时比较困难.因此，需要通过研究性教学方法来激发和增强学生的学习兴趣，从而培养和增强学生的抽象思维、逻辑思维和理论联系实际的综合能力. 二、研究性教学改革与实践 （一）研究性教学理念 研究性教学是目前高等教育教学研究的一个热点方向[1]，它是一种教师指导下的以学生为主体的自主学习和实践过程，包含了教与学两个方面：前者以教师为主导，在课堂教学中创设一种类似科学研究的情境或途径，把凝结在知识点背后的思想、方法和创新过程揭示出来，在引导学生学习和掌握新知识的同时，又能受到知识创新和科学研究方法的熏陶和训练；后者指学生在教师指导下，以科学研究的方式查阅资料、搜集信息，并通过分组协作和讨论来完成指定项目或问题的一种主动的、独创性的学习活动[2]. （二）教学改革的目标 通过启发式教学方法进行组合数学教学，锻炼学生的论证能力，用组合数学的思想培养学生分析问题和解决问题的能力，使学生能得到严格的逻辑推理与抽
组合数学课程论文 简论幻方 摘要：通过介绍几类幻方的构造方法，以帮助我们了解幻方学习幻方，为深入研究幻方奠定基础。 关键词：奇阶幻方，偶阶幻方 引言：组合数学，这个数学分支正在迅猛的发展，他是古老的，又是年轻的。他的地位日益重要，它的应用极其广泛。从生物学、化学到社会经济，从电路网络到政治生活，都可以看到她的踪影，对于计算机科学，更是“不可一日无此君”！ 不但在各种数学竞赛中，它所占比重越来越大，而且还悄悄地渗入了中学的教材，由于它有助于提高学生的学习兴趣，培养学生的能力，激发学生的才智，已经有很多人认为它将要取代过去平面几何的地位！ 而幻方又是组合数学的重要组成部分，本文将着重论述幻方的相关知识。 幻方的定义及分类：幻方的定义：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 幻方的分类：对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式)（这里主要研究平面
幻方，对于立体幻方、高次幻方我们不做涉及。） 洛书，一个3阶幻方 一、奇阶幻方：N为奇数的N乘N阶的幻方，其构造 方法如下： (1) 将1放在第一行中间一列; (2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放： 按45°方向行走，如向右上 每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1 (3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。 例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1; (4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。 二、偶阶幻方。偶阶幻方又可分为两种1、N=4n；2、N=4n+2.其中n为正整数。 （一）：N=4n时其构造方法如下： 采用对称元素交换法。 首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵
北京航空航天大学软件学院组合数学论文 论文题目：抽屉原理及其应用 姓名： 学号： 专业：集成电路与物联网工程
目录 摘要 (2) Abstract (3) 1.引言 (4) 2.抽屉原理的形式 (4) 3.抽屉原理的构造 (5) 3.1分割图形构造抽屉 (5) 3.2利用划分数组来构造抽屉 (6) 3.3利用划分集合来构造抽屉 (6) 3.4利用等分区间构造抽屉 (7) 3.5利用奇偶性分类构造抽屉 (8) 3.6利用状态制构造抽屉 (8) 4.抽屉原理的应用 (9) 4.1抽屉原理在数学中的应用 (9) 4.1.1解决代数问题 (9) 4.1.2解决数论问题 (10) 4.1.3解决几何问题 (11) 4.2抽屉原理在生活中的应用 (11) 4.2.1手指纹和头发 (11) 4.2.2电脑算命 (12) 4.2.3招生录取 (12) 5.总结 (13) 参考文献 (13)
摘要 抽屉原理是组合数学中研究存在性问题的基本原理之一,也是非常规解题方法的重要类型之一，在数论和组合论中有着广泛的应用。 本文简单介绍了抽屉原理的几种形式，本文主要研究抽屉原理的抽屉构造和原理的应用。构造主要研究抽屉原理经常使用的几种构造方式：分割图形构造法，整数性质构造法（同余类构造法、划分数组构造法），间接转换构造法（染色体构造法）。应用主要从数学领域的应用和现实生活中的应用两大方面进行研究，数学领域方面主要应用于代数、数论、几何等几方面的解题，现实生活中大多数用于电脑算命，预测某些存在性的结果等等。 关键词：抽屉原理；“抽屉”的构造；抽屉原理的应用
Abstract Drawer principle is a mathematical combination of problem of the existence of one of the basic principles of non conventional problem solving method, is also one of the important types in number theory and combinatorics, has a wide range of applications. This paper briefly introduces the principle of drawer in several forms, This paper mainly studies the principle of drawer drawer structure and the application of the principle. Tectonic research drawer principle often use several construction methods: segmentation graph construction method, construction method of integer properties ( congruence class construction method, construction method of dividing the array ), indirect conversion method of construction ( chromosome construction method). Application mainly from the mathematical field of application and the reality of life in the application of the two major aspects of research, mathematical fields mainly used in number theory, algebra, geometry and so on several aspects of the problem solving, in real life, most used computer fortune-telling, predict some existence results etc. Key words：Drawer Principle；" drawer" tectonic drawer；principle application
组合数学浅谈 组合数学是一门既古老又年轻的数学分支。我国古人在《河图》《洛书》中便已经对一些有趣的组合问题给出了正确的解答。中国最早的组合数学理论可追溯到宋朝时期的”贾宪三角”, 后来被杨辉引用, 所以普遍称之为“杨辉三角”, 这在西方是1654年由帕斯卡提出，但比中国晚了400多年。近代，由于计算机的出现，组合数学这门学科得以迅猛发展，成为了一个重要的数学分支。近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过K?nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。 组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。 组合数学问题在生活中非常常见。例如，求n个球队参加比赛，每队只和其他队比赛一次的总比赛场数。例如，在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路揍，在笔不离开纸面而且不重复线路的条件下，一笔画出网络图。又例如这样一个简单的组合数学问题：一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。而当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个，问人怎样才能把三者都运过河。 我国著名数学家吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。计算机程序是计算机的大脑思维，而程序的本质就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。组合数学的产生恰好满足了编写计算机程序的需求。 由于计算机软件的促进和需求，组合数学已成为一门既广博又深奥的学科，需要很深的数学素养，逐渐成为了数学的主流分支。本世纪公认的伟大数学家盖尔芳德预言组合数学和几何学将是下一世纪数学研究的前沿阵地。这一观点得到了世界各界的广泛认可。甚至可以说，没有组合数学就没有计算机软件。世界上著名的计算机科学家很多都是组合数学出身。在欧洲，美国，组合数学的研究被很多大公司，大学所重视，而在中国，在中国的软件业还十分落后的今天，我们对组合数学的重视程度远远不够。Gian-Carlo Rota教授曾提出要向中国领导人呼吁，组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定能成为一个软件大国，但是要实现这个目标的一个突破点就是发展组合数学。新加坡，韩国，马来西亚也在积极推动组合数学的研究和人才培养。台湾的数学研究中心也正在考虑把组合数学作为重点方向来发展。 组合数学涉及将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。以下两种问题反复出现：排列的存在性，排列的计数和分类。虽然对任何组合数学问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实际问题中如果存在性问题需要广泛的研究那么计数问题则是非常困难的。与上述问题同时出现的另外两种组合数学问题是：研究一个已知的数列。当人们建立起满足某些指定条件的一个排列以后，可能要考察这个排列的性质和结构。这样的可能会涉及分类问题，也许还涉及一些分类问题，也许还涉及一些潜在的应用。另外一个问题是构造一个最优的排列。如果有可能存在多于一个的排列，即找出某种规定意义下的“最好的”或“最优的”排列。 组合数学可以一般描述为：组合数学是研究离散结构的存在，计数，分析，和优化等
抽屉世界 ——从小抽屉中看大组合 作者： 李……
摘要 抽屉原理又称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个很重要的原理。抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题的解决中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。但在有些问题中，“抽屉”和“物体”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“物体”.如何制造“抽屉”和“物体”有时会很困难的，往往这时我们首先需要认真地分析题目中的条件和问题，再根据以往做题所积累的经验进行制造。懂得制造抽屉是运用抽屉原则的一大关键。
关键词：组合数学，抽屉原理，应用实例，心得感受。18*14=252 抽屉世界 ——从小抽屉中看大组合抽屉原理作为组合数学中一个重要的组成部分，其应用之广泛可想而知。 第一抽屉原理： ○1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。○2把多于mn+1(m乘以n加一)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。 ○3把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。 第二抽屉原理： 把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。 抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可
以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。就我做过需要利用到抽屉原理的题目中，有一道很经典的题目，同时也是1958年6/7月号的《美国数学月刊》上的一道题目。即：证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。一开始看到这道题我觉得这不可能呀，我觉得所要证明的内容本身就是错的。所以我没有立即进行证明，而是举例来进行反驳，可是无论我怎么假设，所要证明的结论总是成立。我这才开始思考该从何入手来进行证明。我只知道这道题一定会用到抽屉原理，但到底是在哪用如何用还是不清楚，短暂的思考之后，终于有了头绪。首先用六个点分别代表六个人，任取一个点M，把M点到其他五点间连五条线段，用红黑两种颜色分别代表相互认识和彼此不认识，用这两种色将五条线段分别着色，由抽屉定理[5/2]+1=3 可知,至少有三条线段是同一种颜色，不妨假设是红色，且这三条线段的另一端点分别为A，B，C(见图)。再来讨论A，B，C三点间的连线的颜色问题，只要
排列组合体系重建 制作：星哥
摘要 排列组合是高中数学中相对独立的内容，对学生分析问题、解决问题能力有较高要求，师生普遍反映难学难教。产生困难的原因很多，比如题目变化多，结构复杂，思考过程容易出错，很难找到一个简明而又全面的问题归类方式；解答思路灵活，简繁不一，答案检验也不容易；师生仅凭书面交流难以真正了解彼此的想法，更不用说纠正和改正错误了。 该论文在文献研究的基础上，通过对部分高三学生的测试与学生的访谈，意在揭示高中生学习排列组合时的常见认知错误，分析其产生原因，并基于实证研究，为改进排列组合教学提供具体建议。 本文中，我对排列组合问题提出了一个新的分类，先将排列组合问题分为选取模型和分配模型两大类，再依次分为4个小类，部分小类中还有进一步的划分。希望通过新的分类，更清晰地梳理问题类型，帮助学生更容易地找到解决问题的方法。 通过对测试结果的分析，我将学生常见的错误归为三种类型：题意理解错误、模式选择错误、操作技术错误。在这三大类错误中包含的具体错误情况共有11种。对于每种错误，我都根据学生的访谈内容、文献研究等对学生的出错原因进行了分析。通过访谈，我还发现，在解决陌生问题、解决限制条件多的问题时学生普遍存在困难，而且很多学生不知道如何自我检查答案。 针对学生普遍存在的困难和常见错误，我的建议是：(1)帮助学生认识学习目的；(2)多采用直观图示的方法；(3)重视读题过程，推敲问题特征，列式之后再次读题，检查是否有遗漏和重复；(4)利用学生错误，开展有意义的学习；(5)适当变式，如改换背景和增加限制条件，提高学生的理解水平；(6)引导学生用“缩小数据”和“一题多解”的方法检验解法的正确性。 关键词：排列组合，常见错误，高中生，数学学习
组合数学浅谈 班级： 07数学 姓名：左志强 学号： 20075203 组合数学是一门既古老又年轻的数学分支。我国古人在《河图》《洛书》中便已经对一些有趣的组合问题给出了正确的解答。中国最早的组合数学理论可追溯到宋朝时期的“贾宪三角”, 后来被杨辉引用, 所以普遍称之为“杨辉三角”, 这在西方是1654年由帕斯卡提出，但比中国晚了400多年。近代，由于计算机的出现，组合数学这门学科得以迅猛发展，成为了一个重要的数学分支。近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过K?nigs berg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。 组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。 组合数学问题在生活中非常常见。 例如，求n个球队参加比赛，每队只和其他队比赛一次的总比赛场数。例如，在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路揍，在笔不离开纸面而且不重复线路的条件下，一笔画出网络图。又例如这样一个简单的组合数学问题：一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。而当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个，问人怎样才能把三者都运过河。 我国著名数学家吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。计算机程序是计算机的大脑思维，而程序的本质就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。组合数学的产生恰好满足了编写计算机程序的需求。 由于计算机软件的促进和需求，组合数学已成为一门既广博又深奥的学科，需要很深的数学素养，逐渐成为了数学的主流分支。本世纪公认的伟大数学家盖尔芳德预言组合数学和几何学将是下一世纪数学研究的前沿阵地。这一观点得到了世界各界的广泛认可。甚至可以说，没有组合数学就没有计算机软件。世界上著名的计算机科学家很多都是组合数学出身。在欧洲，美国，组合数学的研究被很多大公司，大学所重视，而在中国，在中国的软件业还十分落后的今天，我们对组合数学的重视程度远远不够。Gian-Carlo Rota教授曾提出要向中国领导人呼吁，组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定能成为一个软件大国，但是要实现这个目标的一个突破点就是发展组合数学。新加坡，韩国，马来西亚也在积极推动组合数学的研究和人才培养。台湾的数学研究中心也正在考虑把组合数学作为重点方向来发展。 组合数学涉及将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。以下两种问题反复出现：排列的存在性，排列的计数和分类。虽然对任何组合数学问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实际问题中如果存在性问题需要广泛的研
什么是组合数学 姓名：郭晨霞学号：20105034021 院系：数学与信息科学学院专业：信息与计算科学 1 组合数学的简介 现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好像是有思维的。 组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。 组合数学是近年来随着计算机科学的发展而新兴起来的一门综合性、边缘性学科。组合数学是什么, 有很多不同的看法。Richard A.Brua Di 所著5Introductory Comb in atorics6 中认为组合数学研究的是事物按照某种规则的安排, 主要有: 存在性问题, 计数性问题和对已知安排的研究。Danie I . A. Coh en 所著5Basic Techniques of Combinatoria T heory6 中这样描述: 组合数学就是对给定描述的事物有多少种或者某种事物发生的途径有多少种的研究。综合以上观点, 组合数学就是主要研究/ 事物的安排0 中涉及的数学问题。 2 组合数学研究的主要内容 在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每
排列组合体系重建 制作：星哥 摘要 排列组合是高中数学中相对独立的内容，对学生分析问题、解决问题能力有较高要求，师生普遍反映难学难教。产生困难的原因很多，比如题目变化多，结构复杂，思考过程容易出错，很难找到一个简明而又全面的问题归类方式；解答思路灵活，简繁不一，答案检验也不容易；师生仅凭书面交流难以真正了解彼此的想法，更不用说纠正和改正错误了。 该论文在文献研究的基础上，通过对部分高三学生的测试与学生的访谈，意在揭示高中生学习排列组合时的常见认知错误，分析其产生原因，并基于实证研究，为改进排列组合教学提供具体建议。 本文中，我对排列组合问题提出了一个新的分类，先将排列组合问题分为选取模型和分配模型两大类，再依次分为4个小类，部分小类中还有进一步的划分。希望通过新的分类，更清晰地梳理问题类型，帮助学生更容易地找到解决问题的方法。 通过对测试结果的分析，我将学生常见的错误归为三种类型：题意理解错误、模式选择错误、操作技术错误。在这三大类错误中包含的具体错误情况共有11种。对于每种错误，我都根据学生的访谈内容、文献研究等对学生的出错原因进行了分析。通过访谈，我还发现，在解决陌生问题、解决限制条件多的问题时学生普遍存在困难，而且很多学生不知道如何自我检查答案。 针对学生普遍存在的困难和常见错误，我的建议是：(1)帮助学生认识学习目的；(2)多采用直观图示的方法；(3)重视读题过程，推敲问题特征，列式之后再次读题，检查是否
有遗漏和重复；(4)利用学生错误，开展有意义的学习；(5)适当变式，如改换背景和增加限制条件，提高学生的理解水平；(6)引导学生用“缩小数据”和“一题多解”的方法检验解法的正确性。 关键词：排列组合，常见错误，高中生，数学学习 目录 第一章引言 (4) 1.1 研究背景 (4) 1.2 研究问题 (5) 1.3 研究意义 (5) 第二章文献综述 (6) 2.1 关于排列组合问题模型 (6) 2.1.1 选取模型 (6) 2.1.2 分配模型 (6) 2.2 课程中的排列组合知识及其要求 (6) 2.2.1 课程标准及考纲要求 (6) 2.2.2 教材要求 (7) 2.3 关于排列组合常见错误类型及其成因 (8)