中学自主招生数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．9的平方根为（ ） A ．3
B ．-3
C ．±3
D ．
2．如图的几何体，它的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．下列运算正确的是（ ） A ．（-3mn ）2=-6m2n2 B ．4x4+2x4+x4=6x4 C ．（xy ）2÷（-xy ）=-xy
D ．（a-b ）（-a-b ）=a2-b2
4．如图，AE ∥CD ，△ABC 为等边三角形，若∠CBD=15°，则∠EAC 的度数是（ ）
A ．60°
B ．45°
C ．55°
D ．75°
5．已知正比例函数y=kx （k≠0）的图象经过点A （a-2，b ）和点B （a ，b+4），则k 的值为（ ）
A ．12
B ．-12
C ．2
D ．-2
6．如图，△ABC 中，∠A=25°，∠B=65°，CD 为∠ACB 的平分线，CE ⊥AB 于点E ，则∠ECD 的度数是（ ）
A ．25°
B ．20°
C ．30°
D ．15°
7．直线l1：y=-1
2x+1与直线l2关于点（1，0）成中心对称，下列说法正确的是（ ）
A ．将l1向下平移2个单位得到l2
B ．将l1向右平移2个单位得到l2
C ．将l1向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到l2
D ．将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到l2
8．如图，BD 为菱形ABCD 的一条对角线，E 、F 在BD 上，且四边形ACEF 为矩形，若EF=1
2BD ，则AE
AD 的值为（ ）
A
．
B ．25
C ．12
D
．2
9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接OC 、BD ，若∠AOC=110°，则∠BCD 的度数是（ ）
A ．35°
B ．46°
C ．55°
D ．70°
10．关于x 的二次函数y=mx2+（m-4）x+2（m ＜0），下列说法：①二次函数的图象开口向
下；②二次函数与x 轴有两个交点；③当x ＜-1
3，y 随x 的增大而增大；④二次函数图象顶
点的纵坐标大于等于6，其中正确的论述是（ ） A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．②③④
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
11．不等式4
42x x
->-的最小整数解为
12．如图，在正五边形ABCDE 中，连接AC 、AD ，则∠CAD 的度数是 度
13．若直线y=-x+m 与双曲线y=n
x （x ＞0）交于A （2，a ），B （4，b ）两点，则mn 的值为 .
14．如图，等腰直角△ABC 中，∠C=90°，
，E 、F 为边AC 、BC 上的两个动点，且CF=AE ，连接BE 、AF ，则BE+AF 的最小值为
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15
．计算：
3
12tan 602-???
-+ ?
?? 16．解方程：13
222x x
x --=
-- 17．如图，已知四边形ABCD 中，AD ＜BC ，AD ∥BC ，∠B 为直角，将这个四边形折叠使得
点A 与点C 重合，请用尺规作图法找出折痕所在的直线．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，AB ∥CD ，且AB=CD ，连接BC ，在线段BC 上取点E 、F ，使得CE=BF ，连接AE 、DF ．求证：AE ∥DF ．
19．我校“点爱”社团倡导全校学生参加“关注特殊儿童”自愿捐款活动，并对此次活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A 、B 两组捐款人数的比为1：5．请结合以上信息解答下列问题．
（1）a= ，本次抽样调查样本的容量是；
（2）补全“捐款人数分组统计图1”；
（3）若记A组捐款的平均数为5元，B组捐款的平均数为15元，C组捐款的平均数为25元，D组捐款的平均数为35元，E组捐款的平均数为50元，全校共有2000名学生参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额大约为多少元．
20．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向2千米处．有一艘小船在观测点A北偏西60°的方向上航行，一段时间后，到达点C处，此时，从观测点B 测得小船在北偏西15°方向上．求点C与点B之间的距离．（结果保留根号）
21．为了美化环境，建设最美西安，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用为y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为100元/m2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少费用为多少元？
22．甲、乙、丙、丁4人聚会，吗，每人带了一件礼物，4件礼物从外盒包装看完全相同，将4件礼物放在一起．
（1）甲从中随机抽取一件，则甲抽到不是自己带来的礼物的概率是 ；
（2）甲先从中随机抽取一件，不放回，乙再从中随机抽取一件，求甲、乙2人抽到的都不是自己带来的礼物的概率．
23．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°，点O 为AB 上一点，且3AO=AB ，以OA 为半径作半圆O ，交AC 于点D ，AB 于点E ，DE 与OC 相交于F ． （1）求证：CB 与⊙O 相切； （2）若AB=6，求DF 的长度．
24．已知抛物线L ：y=ax2+bx+3与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点D 的坐标；
（2）若将抛物线L 沿y 轴平移后得到抛物线L′，抛物线L′经过点E （4，1），与y 轴的交点为C′，顶点为D′，在抛物线L′上是否存在点M ，使得△MCC′的面积是△MDD′面积的2倍？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．发现问题：如图1，直线a ∥b ，点B 、C 在直线b 上，点D 为AC 的中点，过点D 的直线与a ，b 分别相交于M 、N 两点，与BA 的延长线交于点P ，若△ABC 的面积为1，则四边形AMNB 的面积为 ；
探究问题：如图2，Rt △ABC 中，∠DAC=1
3∠BAC ，DA=2，求△ABC 面积的最小值；
拓展应用：如图3，矩形花园ABCD 的长AD 为400米，宽CD 为300米，供水点E 在小路AC 上，且AE=2CE ，现想沿BC 上一点M 和CD 上一点N 修一条小路MN ，使得MN 经过E ，并在四边形AMCN 围城的区域内种植花卉，剩余区域铺设草坪根据项目的要求种植花卉的区域要尽量小．请根据相关数据求出四边形AMCN 面积的最小值，及面积取最小时点M 、N 的位置．（小路的宽忽略不计）
参考答案与试题解析
1. 【分析】根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个．
【解答】解：9的平方根有：．
故选：C．
【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
2. 【分析】找到从几何体的上面看所得到的图形即可．
【解答】解：这个几何体的俯视图为
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3. 【分析】根据积的乘方、合并同类项、整式的乘法、除法，即可解答．
【解答】解：A、（-3mn）2=9m2n2，故错误；
B、4x4+2x4+x4=7x4，故错误；
C、正确；
D、（a-b）（-a-b）=-（a2-b2）=b2-a2，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查了积的乘方、合并同类项、整式的乘法、除法，解决本题的关键是熟记相关法则．
4. 【分析】如图，延长AC交BD于H．求出∠CHB即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AC交BD于H．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB=∠CBD+∠CHB，∠CBD=15°，
∴∠CHB=45°，
∵AE∥BD，
∴∠EAC=∠CHB=45°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5. 【分析】由正比例函数y=kx可得k=y
x，将点A与B代入可得
4
2
b b
a a
+
=
-，求出b=2a-4，
再将A点代入即可求解．
【解答】解：由正比例函数y=kx可得k=y x，
∵图象经过点A（a-2，b）和点B（a，b+4），
∴
4
2
b b
a a
+
=
-，
∴b=2a-4，
∴A（a-2，2a-4），
将点A代入y=kx可得2a-4=k（a-2），
∴k=2，
故选：C．
【点评】本题考查正比例函数的性质；能够根据已知点建立方程求出b=2a-4是解题的关键．6. 【分析】根据∠ECD=∠DCB-∠ECB，求出∠DCB，∠ECB即可．
【解答】解：∵∠ACB=180°-∠A-∠B=90°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=1
2×90°=45°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°-65°=25°，
∴∠ECD=45°-25°=20°．
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7. 【分析】设直线l2的点（x，y），则（2-x，-y）在直线l1：y=-1
2x+1上，代入可得直线l2
解析式，根据直线l1与直线l2的解析式即可判断．
【解答】解：设直线l2的点（x，y），则（2-x，-y）在直线l1：y=-1
2x+1上，
∴-y=-1
2（2-x）+1，
∴直线l2的解析式为：y=-1
2（x-2）+1，
∴将l1向右平移2个单位得到l2，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，求得直线l2的解析式是解题的关键．
8. 【分析】由菱形的性质可知对角线垂直且互相平分，由矩形的性质可知对角线又互相平
分且相等，再加上EF=1
2BD，可以得到OA=OC=OE=OF=
1
2OB=
1
4BD，设OA=x，用勾股定理
可以表示出AE、AD，进而求出他们的比值，再做出选择．【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，OA=OC=1
2AC，OB=OD=
1
2BD，
∵AFCE是矩形，
∴AC=EF=2OF=2OE，
又∵EF=1
2BD，
∴OA=OF，OB=2OA，
设OA=x，则OE=x，OB=2x，在Rt△AOE和Rt△AOB中，
AE
AE AB
AD
====∴==
；
，
故选：A．
【点评】考查菱形的性质、矩形的性质、直角三角形的勾股定理等知识，合理的转化以及设参数是解决问题常用方法．
9. 【分析】连接BC，根据圆周角定理求得∠ABC的度数，然后根据直角三角形的锐角互余即可求解．
【解答】解：连接BC，
∵∠AOC=110°，
∴∠ABC=1
2∠AOC═55°，
∵CD⊥AB，
∴∠BEC=90°，
∴∠BCD=90°-55°=35°，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理以及圆周角定理，根据圆周角定理把求∠ABD的问题转化成求等腰三角形的底角的问题．
10. 【分析】①由m＜0即可判断出①；②令y=mx2+（m-4）x+2=0，求出根的判别式△＞0，判断②；③求出抛物线的对称轴，即可判断③；④根据顶点坐标式求出抛物线的顶点，然后根据顶点纵坐标判断④．
【解答】解：①∵m＜0，∴二次函数的图象开口向下，故①正确，
②令y=mx2+（m-4）x+2=0，求△=（m-8）2-48，
∵m＜0，
∴△=（m-8）2-48＞0，
∴二次函数与x轴有两个交点，故②正确，
③抛物线开口向下，对称轴
4
2
m
x
m
-
=-
，
∵
4112
0 236
m m
m m
--
-+=<
，
∴
41
23 m
m
-
-<-
，
所以当
4
2
m
x
m
-
-
＜
时，y随x的增大而增大，故③错误，
④y=mx2+（m-4）x+2，
∵
22
42(4)(4)
60 44
m m m
m m
?--+
-=-…
，
∴
2
42(4)
6
4
m m
m
?--
…
，
∴二次函数图象顶点的纵坐标大于等于6，故④正确，
正确的结论有①②④， 故选：C ． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握抛物线的图象以及二次函数的性质，此题难度一般．
11. 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最小整数解即可．
【解答】解：4
42x x
->-，
x-4＞8-2x ， 3x ＞12 x ＞4，
故不等式4
42x x
->-的最小整数解为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 12. 【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABC ≌△AED ，AC=AD ，AB=BC=AE=ED ，先求出∠BAC 和∠DAE 的度数，再求∠CAD 就很容易了． 【解答】解：根据正五边形的性质，△ABC ≌△AED ，
∴∠CAB=∠DAE=1
2（180°-108°）=36°，
∴∠CAD=108°-36°-36°=36°．
【点评】本题考查了正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．
13【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征得出
2244n
m n m ?
-+=???
?-+=??
①②
，解方程组即可求得m 、n 的值，从而求得mn 的值．
【解答】解：由题意得2244n m n m ?
-+=???
?-+=?
?①②，
①-②得，4n
=2，解得n=8，
把n=8代入①求得m=6， ∴mn=48， 故答案为48．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，根据题意得到关于m 、n 的方程组