“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。
在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。
在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。
非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。
大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。
考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。
做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。
按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。
从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是---”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。
你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。
阳春三月风光好，抓好基础正当时。
讲座（1）考好数学的基点
―木桶原理‖已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。
非数学专业的本科学生与数学专业学生的最基本差别，在于概念意识。
数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。各向齐茂，形成一棵参天大树。
在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。
在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。
在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。
非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。
大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。
考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，―与大一那会儿学的不一样。‖原因就在于学过的概念早忘完了。
做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。
按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你的大脑要饱受交混回想的检验。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。
从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，掌握计算方法，学会简单推理。首先是要记得住。
你要玩好游戏，你也得先了解游戏规则，把它记得滚瓜烂熟啊。
你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。
数学专业的学生面壁苦修的一个方式是画―联络图‖。每学完一章，抽一定时间复习小结，静心地用笔理线索。
先默写出各个定义，中心定理，辅助定理，简单结论，思考其相互关系。再回顾主要定理证明——关键步骤是哪步，有无特色细节，可否模仿。哪些可以收编为练习。条件能否削弱，有无相应反例。在主要参考书上，有没有更细化的评注或说明或应用。
有没有重要算法与公式。如果有，是否有前提条件，是否要判断分类，……。
这是一个下意识的系统消化手段，也是一个有效的记忆方法。记住了而还没有消化好的内容，则一点一点地成为定向思维的材料。
当然要做题。有了一定的知识准备后，首先做教科书习题。演练简单的题目，体念并熟悉概念与公式。剖析复杂的题目，了解如何综合考查自己，学习分步逻辑推理。把典型题目与相关概念或定理或典型方法归纳记忆在一起。进一步做参考书及资料上的题，感受了解考研题目如何考查自己。逐渐形成用―猎奇‖的眼光去挑选典型题目的能力
数学专业的学生面壁苦修的又一个方式是积累一个―材料库‖。尽可能熟悉课程讨论的基本对象。就如我将在讲解时（微积分部分）推荐的，―三个典型的（极限）不存在‖，―x趋于+∞时，指数函数，幂函数，对数函数的无穷大阶数比较。‖―三个典型的不可导‖，―四个典型的不可积‖，……，等等。概念记得越准确，观察判断的眼光越犀利。基本定理，基本方法记得越清晰，分析题目时方向越明白。当你面对一个题目时，你的自然反应是，―这个题目涉及的概念是……‖，而非―在哪儿做过这道题‖，才能算是有点入门了。
讲座（2）笔下生花花自红
在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，―一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。‖发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时―写‖与―思‖同步的重要性。
也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得―写‖的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案，或看题想解翻答案。动笔的时间很少。
数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。
科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。
或―依据已知条件，我首先能得到什么？‖（分析法）；
或―要证明这个结论，就是要证明什么？‖（综合法）。在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。
―连续函数与不连续函数的和会怎样？‖
写成―连续A+不连续B=？‖后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。
如果，―连续A+不连续B=连续C‖则―连续C-连续A=不连续B‖
这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。
有相当一些数学定义，比如―函数在一点可导‖，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，
题面上有已知条件f′(1)>0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出
h趋于0时，lim(f(1+h)-f(1）)/h>0
然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了
又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式Aα=λα，α≠0，要是移项写成（A-λE）α=0，α≠0，这就表示α是齐次线性方程组（A-λE）X=0的非零解，进而由理论得到算法。
数学思维的特点之一是―发散性‖。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一步步走。陈景润那篇名扬世界的―1+2‖论文中有28个―引理‖，那是他艰难地走向辉煌的28步。
对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。
《高等数学》感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题，选择一个分块变形就明白了。
《概率统计》中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说，二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。要考研吗，要去听指导课吗，最好先自己动笔，尽可能地把基本计算练一练。
经济类考生还格外有个―短板‖。就是不熟悉《解析几何》。要先下点功夫，做到能熟练地建立平面直角坐标系下的直线方程（点斜式，两点式），求两条直线的交点，随意能画出基本初等函数的图形等等。
我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。
多动笔啊，―写‖―思‖同步步履轻，笔下生花花自红。讲座（3）拓扑预备说质变
高等微积分（《数学分析》）的第一章，讲实数的完备性。即全体实数与数轴上的点成功一一对应。于是我们从此―点‖―数‖不分。
数轴的一段称为区间。区间是特殊的数集。为了方便起见，通常也把半直线说成区间。
记数轴的右端趋向为+∞（正无穷大），左端趋向为?∞（负无穷大）。有的数学分支虚拟了一个∞点，把直线说成是半径无穷大的园。+∞与?∞则是这个虚拟点的两侧。
不含端点的区间叫开区间。以点x0为中心的开区间称为x0的邻域。历史上约定，说―在点x0的邻近，……‖，就是指―在点x0的某个邻域内，……‖。（画外音：开区间的拓扑定义是，开区间任意一点，总有至少一个邻域，全含于这个开区间内。）
一元微积分的拓扑基础是区间。建立在区间基础上的积分叫―黎曼积分‖。
自然数集与区间都是含有无穷个数的数集，但两者也有差别。
从有限到无穷，这是质变。
只含有限个数的数集，一定有最大及最小的数，而无穷集则不一定。比如自然数集有最小值而没有最大值。数集（0，1）则既没有最小值，也没有最大值。
两个有限集相比时，一定可以分出，谁含有的数较多。而无限集之间不能这样比。只能看两个无限集是否能建立一一对应关系。如果两个无限集之间能建立一一对应，则称这两个数集属于同一级别。（专业词：有同样的―势‖。）相当于说这两个数集所含有的数―一样多‖，
很有趣也很哲学的是，通过对应2n→n，―偶自然数集‖可以与―自然数集‖建立一一对应。即它们属于同一级别。这表明，无限集的真子集可以与全集建立一一对应，而有限集显然不行。
能与自然数集建立一一对应的无限集，称为可列集。可列集中的全体数，可以与自然数对应排成一个―序列‖：
x1，x2，……，xn，……
每个不可列的无限集，都一定能与数集（0，1）建立一一对应。
这样一来，从含有数的―多少‖意义来看，只有两类无限集。可列集或不可列集。
最令人吃惊的是，尽管有理数具有稠密性，即任意两个实数之间必定至少有一个有理数，但是全体有理数是一个可列集。实轴上几乎全是无理数。
（画外音：一个小数学实验——可列集的―测度‖
让我们用一个个小区间来顺次―包装‖可列集的点。第1个小区间长δ/2，装入x1，第2个小区间长δ/4，装入x2，第3个小区间长δ/8，装入x3，……，第n个小区间长δ/（2的n次方，装入xn，……，按照一一对应方式，将可列集的点全体点，装入了可列个小区间内。各个小区间的长，顺次组成公比为1/2的无穷递缩等比数列，因而可以算得这可列个小区间的总长为δ，由于δ可以取成任意小的正数，因而这个实验说明了，把一个可列集的点―挤‖着排起来，也不会在数轴上占有长度。用数学专业用语说，可列集的―测度‖为0，所以实轴上几乎全是无理数。）
讲座（4）函数讨论先―微观‖
微分学研究函数。函数是描述过程的最简单的数学模型。
定义——任给定义域内一点x，通过某一对应规律，有唯一确定的y值与之对应，就称变量y是变量x 的函数。记为y=f（x）
所谓―对应规律‖，可能是解析表达式，这是我们所常见的。
可能是一句话显示的规定。例如，绝对值函数y=|x|，取整函数y=[x]，（y=不超过x的最大整数）
也可能是表格等方式，……，在高数学习过程中，还有含参极限，变上限积分，级数等方式。
定义中的―唯一确定‖，排斥了多值情形，有利于讨论反函数。
美国，台湾的微积分教材都不出现反三角函数。由于三角函数是周期函数，反三角函数需要选定对应区间，以保证反三角函数值能―唯一确定‖。其中，y=arcsinx，?1≤x≤1，?π/2≤y≤π/2
y=arctgx，x可为任意实数，?π/2≤y≤π/2
记法―y=f（x）‖有双重含义。理解x为定义域内任意一点，它表示这个函数。理解x为定义域内一点
（相对不变），它表示相应的函数值。在函数概念的深化讨论中，常常用到后一理解。
我们早已接触了六类基本初等函数——常函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
（画外音：圈内戏称为―反，对，幂，指，三‖。不如直接记两对加一―幂‖。）
初等函数——由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。
这个定义有可能使得函数的定义域是一个可列集。比如，y=√（cos2x?1），一般教材上会说，我们所讨论的函数，其定义域是区间或区间的并。
大学数学还让学生学习两类―分段函数‖。或是在不同的定义区间内，分别由不同的初等函数来表示的函数；或者是有孤立的特别定义点的函数。
微分学研究函数的特点，是先做微观分析。即讨论函数的连续性，可导性，可微性。再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。即单调性，有界性，奇偶性，周期性等。
所谓―微观分析‖，即是任取一点x0，讨论及描述函数的相对变化。
选定一个中心点x0，从坐标的角度讲，可以看成是把原点平移；从物理角度说，是给定一个初始点；从观察角度议，是选好一个边际点。把动点x在x0邻近变动称为―自变量x（在x0处）获得增量Δx‖。（潜台词：关键词―增量‖，既是一个词，又是一种新的思维方式。）
微量分析考虑的问题是：
在x0点邻近，如果自变量x有一个增量Δx，则函数相应该有增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）
鉴于函数的任意性与复杂性，―减号‖只能表示事实，没有一般的计算意义。我们如何表述，研究或估计这个Δy呢？
第一考虑自然是变化关系。当Δx→0时，Δy会有什么变化趋势呢？三种可能，Δy或趋于0，或不趋于0，或没有一定的趋向。
如果Δx→0时，必有Δy→0，就称函数在x0点连续。
第二考虑是―变化率‖。中国人把除法称为―归一法‖。无论Δx的绝对值是多少，商式Δy/Δx的含义总是，―当自变量变化一个单位时，函数值平均变化多少。‖有了极限观念，自然会考虑，当Δx→0时，函数的平均变化率Δy/Δx有什么变化趋势呢？两种可能，或者极限存在，或不存在。
如果Δx→0时，Δy/Δx有极限，就称函数在点x0可导。称极限值为函数在点x0的导数。
请看看，―连续‖与―可导‖的概念，出现得多么自然啊。这理的关键是极限观念。我们中国人在极限问题上先天不足。学了微积分，知道从有限到无穷是质变。牵涉―无穷‖的问题都得用极限工具。形成一点极限思维，那就是很大的收获。
函数在区间上每一点连续，就称函数在区间上连续。函数在区间上每一点可导，就称函数在区间上可导。所产生的对应关系称为该函数的导函数。
微积分以中值定理为―桥粱‖，用导函数讨论函数的宏观特征。这是一元微分学的基本目的。因此，可导性讨论与导数计算是第一基础。
考研复习《高数》的第一任务，是基本上理解导数定义并能作简单的定义讨论，最重要的是能熟练地求各类函数的导数。
导数定义作用于基本初等函数，生成一套有序的求导公式。伴随着初等函数的结构顺序，《高等数学》建立了―和，差，积，商函数求导法则‖与处理复合函数的―链锁法则‖。进而还有―取对数求导法‖，―用参数式表述的函数求导法‖，―隐函数求导法‖，―分段函数求导法‖，……，等等。一切函数皆可讨论可导性，计算导数。练习求导，实在可行。
娴熟地计算与讨论导数，是讨论函数宏观特征，乃至比较与估计定积分的前提与手段。导数好，则心有灵兮一点通，求不定积分，解微分方程，……，必定是处处反应特好。要先练完教材上的求导练习，再买本《高等数学》习题集，做完全部求导题。练！练！练！让你明年开春复习提高时，运算障碍最少。
（画外音：回忆一下吧。小时候，九九表你背了用了多少年？！初中时，有理数运算算了多少年？！中学里，代数式运算你又算了多少年？！而学习微积分，你花了多少时间作求导计算？！自己就明白高数差的基本原因之所在了。）
讲座（5）极限概念要体验
极限概念是微积分的起点。极限首先是个观念。面对―没完没了‖的过程，用什么方法去准确描述与讨论变量的发展趣势？自然是极限。只能是极限。
说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，―一尺之竿，日取其半，万世不竭。‖
近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，―割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。‖
国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。极限概念起自于对―过程‖的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。
自变量的变化趋势分为两类，一类是x→x0；一类是x→∞
讨论x→x0的情形，通常设x不会取到x0，这样一来，你可以体验到，x→x0的过程，和x→∞一样―没完没了‖。
无论哪一种情形，我们都不会考虑x从何处出发，也不会考虑x具体如何趋于x0或趋向无穷。是蛙跳般不停不息，或是左右左右摇摇摆摆，还是连续地一步一趋？如果真的选择连续地一步一趋方式，对x0来说只有从左侧或右侧两种逼近方式。对x→∞而言，则有直接向+∞或直接向?∞两种趋向。通常称这为―两条道路‖，其它形式统称为―子路径‖。―当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a？‖如果是，则称数a为函数的极限。
―无限接近‖还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。
学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。
自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。
我们早有经验，―若分子不变，而分母的绝对值越来越大，则分数的绝对值只会越来越小。‖由此即可以体验到，自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；x趋于无穷时，函数1/x的极限为0；进而得到第一个求极限的方法：
―x→∞，要考查一个有理分式函数（即：多项式/多项式）的变化趋势，将分子分母同除以分式中出现的x最高次方。再分别观察各项。‖
（画外音：我称之为―化零项法‖处理∞/∞型未定式。）
回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，x趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。
x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增
大，没有极限。底数大于0而小于1的指数函数则无限接近于0
x→0+时，对数函数lnx趋于-∞；x趋于正无穷时，lnx无限增大，没有极限。
x→∞时，正弦sinx与余弦cosx都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦y=sinx的图形是典型的波动。
我国《高等数学》教科书上普遍都选用了―震荡因子‖y=sin（1/x）。当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。你体验过它的震荡吗？？？
具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x=0靠近了一点点，而中间变元u=1/x的跨步却长达900个单位，正弦sinu相应完成了140多个周期。函数的图形在+1与-1之间上下波动140多次。你可以进一步体验下去，想想在x=0的邻近，函数各周期的图形是多么―紧紧地挤‖在一起，象是一片―电子云‖。
当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y=sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。
用―震荡因子‖能生出很多怪例。我的导师陈庆益先生爱说，怪例更深刻地揭示自然。
x→0时，（1/x）sin（1/x）不是无穷大。直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x→∞，它为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。
（画外音：让我们分别取两个―子过程‖来观察。取x=1/2nπ，相应的函数值列是0数列，
又取x=1/（2nπ+π/2），相应的函数值列是2nπ+π/2，趋向+∞，你能否体会到剧烈的震荡。）
x→0时，显然有0≤|xsin（1/x）|≤|x|，夹逼着xsin （1/x）→0，你可以体验x好比是个―摩擦因子‖，让震荡慢慢消失。实际上―摩擦因子‖可以是x的δ次方，δ是适当小的正数。有摩擦震荡就会最终平息。
能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡因子。
在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或绝对值无限增大。）那更深入一步的体验是，它们的绝对值变小（或变大）的速率是一样呢还是不同的？我们早就有初等数学知识，―若0 考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。 多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（即ε–δ语言）。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。比如前述的最简单结论，―x趋于无穷时，函数1/x的极限为0‖；但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的―符号体验‖来考查极限概念。这就是 ―若x趋于∞时，相应函数值f（x）有正的极限，则当∣x∣充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x ∣>x0时，)总有f（x）>0‖ *―若x趋于x0时，相应函数值f（x）有正的极限，则在x0的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正‖这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和―近朱者赤，近墨者黑‖一个道理吗。 除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。若x趋于无穷时，函数的极限为0，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣>x0时，)函数的绝对值恒小于1 （潜台词：为什么是―1‖，简单方便！换个别的正数也可以。） 若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣>x0时，)函数的绝对值全大于1 *若x趋于0时，函数的极限为0，则在0的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1 （你不仿设定有适当小的数δ＞0，当0<∣x∣<δ时，函数的绝对值全小于1） 没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中―无限接近‖的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x0，或充分小的数δ＞0，并利用它们。 讲座（6）无穷小与无穷大 微积分还有一个名称，叫―无穷小分析‖。 1.概念 定义——在某一过程中，若函数f（x）的极限为0，就称f（x）（这一过程中）为无穷小。 为了回避ε–δ语言，一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。 无穷小是个变量，不是0；是在中心点，过程，0极限背景下，我们给特定函数的称呼。 y=0视为―常函数‖，在任何一个过程中都是无穷小。但这是平凡的，没有实际意义。通常被排除在讨论之外。 依据极限定义，无穷大不存在极限。但是为了强调在变化过程中，变量有绝对值无限增大的趋势，历史上约定，―非法地‖使用等号来表示无穷大，以记述这个特点。比如 x从右侧趋于0时，limlnx=-∞x从左侧趋于π/2时，limtgx=+∞ (潜台词：仅仅表明其绝对值有无限增大的趋势，并不表示极限存在。) 2.无穷大与无界变量 无穷大与无界变量是两个概念。 无穷大的观察背景是过程，无界变量的判断前提是区间。 无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们（在特定过程中）的发展趋势。而无界变量的意思是，在某个区间内，其绝对值没有上界。 在适当选定的区间内，无穷大可以是无界变量。 y=tgx（在x→π/2左側时）是无穷大。在（0，π/2）内y=tgx是无界变量 x趋于0时，函数y=（1/x）sin（1/x）不是无穷大，但它在区间（0，1）内无界。 不仿再用高级语言来作个对比。任意给定一个正数E，不管它有多大，当过程发展到一定阶段以后，无穷大量的绝对值能全都大于E；而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点，此点处的函数绝对值大于E。 3.运算与比较 有限个无穷小量的线性组合是无穷小；―∞-∞‖则结果不确定。（未定式！） 乘积的极限有三类可以确定： 有界变量?无穷小=无穷小无穷小?无穷小=（高阶）无穷小 无穷大?无穷大=（高阶）无穷大 其它情形都没有必然的结果，通通称为―未定式‖。例1作数列x=1，0，2，0，3，0，---，0，n，0，--- y=0，1，0，2，0，3，0，---，0，n，0，--- 两个数列显然都无界，但乘积xy是零数列。这表示可能会有无界?无界=有界！！！！！！！！！！！ 两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即―无穷小的比较‖。如果极限为1，分子分母为等价无穷小；极限为0，分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。 无穷大有类似的比较。 无穷小（无穷大）的比较是每年必考的点。 x趋于0时，α=xsin（1/x）和β=x都是无穷小，且显然有∣α∣≤∣β∣；但是它们的商是震荡因子sin （1/x），没有极限。两个无穷小不能比较。这既说明了―极限存在‖是―比较‖的前提，又再一次显示了震荡因子sin（1/x）的用途。 更有意思的是，若γ==x的k次方，则无论k=0.9,还是k=0.99,k=0.999,……，α总是比γ高阶的无穷小。 回到基本初等函数，我们看到 x趋于+∞时，y=x的μ次方，指数μ＞0的幂函数都是无穷大。且习惯地称为μ阶无穷大。 （潜台词：这多象汽车的1档，2档，---啊。） x趋于+∞时，底数a大于1的指数函数y=a的x次方都是无穷大；底数小于1的都是无穷小。 x趋于+∞或x趋于0+时，对数函数y=lnx是无穷大。x趋于∞时，sinx及cosx都没有极限。正弦，余弦，反三角函数都是有界变量。 请体验一个很重要也很有趣的事实。 （1）x→+∞时，lim（x的n次方∕e的x次方）=0，这表明： ―x趋于+∞时，指数函数exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。‖ （2）x→+∞时，lim（lnx∕x的δ次方）=0；δ是任意取定的一个很小的正数。这表明： ―对数函数lnx是比xδ都还要低阶的无穷大。‖ 只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。它让我们更深刻地理解了基本初等函数。如果只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。 例2函数f(x)=xsinx，则 （A）当x→∞时为无穷大。（B）在（-∞，+∞）内有界。 （C）在（-∞，+∞）内无界。（D）在x→∞时有有限极限。 分析这与y=（1/x）sin（1/x）在x趋于0时的状态一样。（选（C）） 例3已知数列xn和yn满足n→∞时，limxnyn=0，则 （A）若数列xn发散，数列yn必定也发散。（B）若数列xn无界，数列yn必定也无界。 （C）若数列xn有界，数列yn必定也有界。（D）若变量1∕xn为无穷小量，则变量yn必定也是无穷小量。 分析尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。例10给了我们一个很好的反例。对本题的（A）（B）（C）来说，只要yn 是适当高阶的无穷小，就可以保证limxnyn=0 无穷小的倒数为无穷大。故（D）中条件表明xn为无穷大。 要保证limxnyn=0，yn必须为无穷小量。应选答案（D）。 《线性代数》—— （37）欲说《线代》先方程 初等数学以引入负数为起点，以方程为其重心之一。最简单的方程是一元一次方程。最基本的概念是方程的―根‖或―解‖。 什么东东叫一个方程（组）的根——把东东代入这个方程（组），方程（组）化为恒等式。这个概念是学习《线性代数》的基本需要。不少人读到―齐次线性方程组有限个解的线性组合，仍然是该方程组的解‖感觉盲然没反应，一是忘了概念，二是不动笔。应对这些貌似理论的语句，其实方法很简单。是不是―解‖，代入方程（组）算一算。 （潜台词：关键是要勤动笔。） 由一元一次方程出发，关于方程的研究向两个方向发展： （1）一元n次方程 （2）n元一次方程组（线性方程组） 大学数学《线性代数》教材有两大板块。第一板块解线性方程组。基本工具是矩阵，核心概念是矩阵的秩，理论重心是―齐次线性方程组解集的构造‖。第二板块是矩阵特征理论基础知识，在更高层次讨方阵及其应用。 n阶方阵A的特征方程是个一元n次方程。 一元n次方程的讨论点为：求根公式，根的个数，根与系数的关系。 一元二次方程有求根公式，在复数范围内有两个根。（二重根算两个根。）有韦达定理显示根与系数的关系。 从十六世纪到十八世纪，人们努力探索了近两百年，也没能找到一元五次方程及五次以上方程的求根公式。回头又花去整整六十年，才证明了所期盼的求根公式不存在。以后在理论方向发掘，又证明了 ―一元n次方程在复数范围内有n个根。‖（k重根算k个根。） 还同样找到了高次方程的―韦达定理‖。 对线性方程组的讨论则衍生出若干基本理论。可以合称为线性理论。依靠着完美透彻的线性理论，所有的线性问题（线性方程组，线性微分方程组，……）都得到了园满解决。 在研究非线性问题时，人们找到了―有限元‖，―边界元‖等线性化计算方法。但是一个非线性问题用线性化计算方法产生的齐次线性方程组可能有成千上万个方程。这样一来，方程组的表达方式自然就上升为首要问题。 描述一个齐次线性方程a1x1+a2x2+---+anxn=0，实际上只需按顺序写出它的系数组就行了。这就产生了形式上的n维向量（a1，a2，……，an）。 方程组的两种同解变换，即―方程两端同乘以一个数‖与―两个方程相加（减）‖，正好相应照―数乘向量‖与―向量加法‖。 如果是有m个方程的齐次线性方程组，则m个系数行就排成一个m×n阶矩阵。 如果把n个未知量也按顺序排成一个向量，（x1，x2，……，xn），则每个方程的左端 ―a1x1+a2x2+---+anxn‖，正好是，系数向量与未知量向量的―对应分量两两相乘，加在一起‖。数学家们把这个计算方式规定为―向量的内积（数量积）‖。进而规定出―矩阵的乘法‖。 运用有限元方法转换模型时，要多方交互使用每个节点处的数据。这就不可避免地会产生一个负面效应。即所得齐次线性方程组中可能有相当数量―多余的‖方程。（如果用几个方程的左端作线性组合，可以得到组内别的某个方程，那个方程就会在同解变换中化为恒等式。所以是―多余的‖方程。）这就产生了第二个问题： “一个齐次线性方程组中，究竟有多少个方程是相互独立的？” 由此有相应概念——矩阵的秩，n维向量组的秩。 解决一个复杂的数学问题，往往需要发展一门甚至多门基础理论。人类的最终收获，常常是远远超越问题本身。欧洲历史上有很多理髮师与钟表匠热衷于数学研究。中国民间也有大量的数学爱好者。中国数学协会常常收到很多诸如―证明哥德巴赫猜想‖之类的民间论文，无人敢于拜读只能束之高阁。作者们责难专家们为什么不能帮帮老百姓。回答曰，解决这样巨难的数学问题，必然需要新的基础理论。没有这个前提，你的证明自然是错的。 知道一点实际背景，会感到一切都自然而然。因为需要而创生新的描述方式；因为需要而定义新的概念；因为需要而―规定‖集合中的运算；……。愿这能有助于你减少一点抽象感。 （38）提升观念学集合 数学所说的集合，往往依赖―数‖或―形‖而生。隐含集合中的―元素‖有一定的共性特征。 1.集合与线性运算 《线性代数》的基本研究对象是矩阵集合——全体m×n阶矩阵——mn个元所排成的矩形阵列。 n阶方阵是矩阵集合最重要的子集合。 在我们学习范围内，n阶方阵有两个特殊的重要的子集合： 满秩方阵——（下含）正交阵，对称阵——（下含）正定阵 n维向量集合就是全体n元有序数组（a1，a2，-----，an）。有时候也把n维向量看成特殊的矩阵，即（n×1）阶行矩阵或（1×n）阶列矩阵。 矩阵集合与n维向量集合上都定义了―数乘‖与―加法‖。 在微分学中，常用集合记号C[a，b]表示区间[a，b]上的全体连续函数。用C1（a，b）表示在区间（a，b）上有连续的一阶导数的全体函数。……，用C∞（a，b）表示在区间（a，b）上任意阶可导的全体函数。只不过一般《高等数学》教材上都没有引入这些记号。 研究函数集合时，首先考虑的也是―数乘‖与―加法‖。―数乘‖与―加法‖合称为线性运算。由于有负数，因而―加法‖实际上包含了通常的减法。人们在讨论一般的集合时，往往都希望能在集合中定义线性运算。 集合中的若干个元素既作数乘又作加法，称为这些元素作―线性组合‖。学到这个地步，要会体验数学式的双重含义。一个线性组合式，它既表示相应的运算过程，又代表整个运算的结果。说―向量的线性组合‖，有时就指的是线性运算最终所得到的向量。还比如： 有限个无穷小量的线性组合是无穷小量。（―线性组合‖表示运算结果） 有限个连续函数的线性组合连续。有限个可导函数的线性组合可导。 …………………… （画外音：也不要随口说啊。无穷大的线性组合不一定是无穷大。―∞-∞‖是未定式。） 对于一个集合，我们既要考虑能否定义线性运算，又还要进一步考虑，这个集合对于线性运算是不是―封闭‖的。即集合中的任意有限个元素的线性组合，是否还属于这个集合。是！我们就说―集合对于线性运算是封闭的。‖高一个层次的理论中，这是集合能否被称为―线性空间‖首要条件。 显然，m×n阶矩阵集合，n维向量集合，C[a，b]函数集合，Ck（a，b）函数集合，对于线性运算都是封闭的。 2.向量内积与矩阵乘法 由于理论或应用的需要，人们经常需要考虑在集合上定义更特殊的―运算‖。这些―运算‖在观念上要比四则运算高一个层次。本质上是人为规定的，集合中任意两个元与唯一的―第三者‖的特殊对应规律。高级语言称之为集合上的一个―二元关系‖。 内积是n维向量集合上的一个―二元关系‖——两个n维向量对应唯一确定的一个数。即 对任意两个n维行向量α=(α1,α2,…，αn),β=(β1,β2,…，βn),规定 内积α?β=αβˊ=α1β1+α2β2+…+αnβn（=β?α） （画外音：喜欢口诀吗？左行右列作内积。对应分量积相加。） 内积又叫数量积。定义内积是深化讨论的常用手段，理论背景深远，应用范围广阔。比如，更高层次的讨论中，在C[a，b]函数集合上定义内积为内积（f，g）=积函数f（x）g（x）在[a，b]上的定积分 《线性代数》教材中通常把n维向量设为列向量。借助于列向量可以把m×n阶矩阵A表示为 A=(a1，a2，…，an)，称为矩阵A的列分块式。 其中，列向量a1=(a11，…，an1)ˊ，……，an=(a1n，…，ann)ˊ 如果把每个列块视为一个元素，可以说A=(a1，a2，…，an)是一个―形式向量‖。这个观念对学习《线性代数》大有好处。比如，让―形式向量‖与未知列向量x作―形式内积‖，可以把齐次线性方程组Ax=0改写为 (a1，a2，…，an)（x1，x2，…，xn）ˊ=0 即x1a1+x2a2+……+xnan=0 后面将会利用这个形式转换，把―（列）向量组的线性相关性‖与―齐次线性方程组有无非零解‖相连系。 矩阵乘法是矩阵集合上的一个―二元关系‖。它的计算基础是向量内积。具体规定为—— m×n阶矩阵A（aij）与n×s阶矩阵B（bij）可以有乘积矩阵AB=（cij）， AB是m×s阶矩阵，它的元素cij具体为cij=A的第i行与B的第j列的内积。 即cij=ai1bj1+ai2bj2+…+ainbjn，1≤i≤m，1≤j≤s 阶数规则（m×n）（n×s）=（m×s），保证―左行右列作内积‖可行。 最特殊的两种情形是（m×1）（1×s）=（m×s）与（1×n）（n×1）=（1×1） 后一情形就是两个向量作内积。 进一步有分块矩阵乘法。 按照应用需要，《线性代数》常常会将矩阵变化为某种分快形式。并实施矩阵乘法。较常见的是变化矩阵为列分块式或行分块式。 要分块矩阵乘法可行，必须要在―宏观‖与―微观‖两方面都确保可乘。 宏观可乘：把各分块看成一个元素，满足阶数规则。微观可乘：所有要相乘的子块，全都满足阶数规则。乘法变形 1.（m×n）（n×s）=（m×s）—→（1×1）（1×s）=（1×s） AB=A（b1，b2，…，bs）=（Ab1，Ab2，…，Abs）宏观可乘：各分块看成一个元素，满足阶数规则（1×1）（1×s）=（1×s） 微观可乘：对应相乘的子块Abj都满足：（m×n）（n×1）=（m×1） 乘法变形 2.（m×n）（n×s）=（m×s）—→（m×1）（1×s）=（m×s） AB=（A的行分块式）（B的列分块式） 这个分块乘积式显式了矩阵乘法与内积的关系。积矩阵AB的每一个元都是内积形式。 乘法变形 3.（m×n）（n×s）=（m×s）—→（1×n）（n×s）=（1×s） AB=（a1，a2，…，an）（bij） =（a1b11+a2b21+…+anbn1，…，a1b1n+a2b2n+…+anbnn） 乘积AB具列分块式。且它的各列都是A的列向量的线性组合。 乘法变形3的特殊情形就是―形式内积‖。（1×n）（n×1）=（1×1），考研数学题要求你会逆向还原：c1a1+c2a2+……+cnan=(a1，a2，…，an)（c1，c2，…，cn）ˊ 例设有列向量组a1，a2，a3，它们排成矩阵A=（a1，a2，a3），如果它们的三个线性组合分别是a1+a2+a3，a1+2a2+4a3，a1+3a2+9a3，试写出新的三向量排成的矩阵B与A的关系。 分析关键在于反写形式内积a1+a2+a3=（a1，a2，a3）（1，1，1）ˊ a1+2a2+4a3=（a1，a2，a3）（1，2，4）ˊ a1+3a2+9a3=（a1，a2，a3）（1，3，9）ˊ 于是，这三个线性组合为列排成的矩阵，等于A乘以―三个系数列排成的矩阵‖。 乘法变形 4.（m×n）（n×s）=（m×s）—→（m×n）（n×1）=（m×1） AB=（aij）（B的行分块式） 乘积AB具行分块式。且它的各行都是B的行向量的线性组合。 分块矩阵乘法形式多样，内函丰富。每一类形式变换都带来理论新意。充分体现出《线性代数》的特点，也是重点难点。对学生来说又相当陌生，史无前遇。考研复习《线性代数》的第一任务，就是熟悉矩阵乘法，熟悉分块矩阵乘法变换的各种形式及其新含义。 考研数学讲座（3）极限概念要体验 极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。 很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。” 近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n 边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，“割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。” 国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。 极限概念起自于对“过程”的观察。极限概念 显示着过程中两个变量发展趋势的关联。自变 量的变化趋势分为两类，一类是x→x0；一类 是x→∞， “当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a？”如果是，则称数a为函数的极限。 “无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。 学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。 自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。 自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；x 趋于无穷时，函数1/x的极限是0； 回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是， x趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。 x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。 x→0+时，对数函数lnx趋于－∞；x趋于正无穷时，lnx无限增大，没有极限。 x→∞时，正弦sinx与余弦conx都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦y=sinx的图形是典型的波动。 我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin（1/x）。当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x=0靠近了一点点，而正弦sinu 却完成了140多个周期。函数的图形在+1与－1之间上下波动140多次。在x=0的邻近，函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起，就好象是“电子云”。 当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y=sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。 x趋于0时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。 1/x为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。 更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。）就可能有的函数趋于0时（或无限增大时）“跑得更快”。这就是高阶，低阶概念。 考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。 多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（即ε–δ语言）。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是 “若x趋于∞时，相应函数值f（x）有正的极限，则当∣x∣充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，)总有f（x）＞0” *“若x趋于x0时，相应函数值f（x）有正的极限，则在x0的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正” 这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。 除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。 若x趋于无穷时，函数的极限为0，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，)函数的绝对值恒小于1 若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，)函数的绝对值全大于1 *若x趋于0时，函数的极限为0，则在0的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1 （你不仿设定有充分小的数δ＞0，当0＜∣x ∣＜δ时，函数的绝对值全小于1） 没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x0，或充分小的数δ＞0，并利用它们。 考研数学讲座（4）“存在”与否全面看 定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。 即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。 1．海涅定理 观察x趋于x0的过程时，我们并不追溯x从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理： 定理（1）极限存在的充分必要条件是，无论x 以何种方式趋于x0，相应的函数值总有相同的极限A存在。 这个定理条件的“充分性”没有实用价值。事实上我们不可能穷尽x逼近x0的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理：“如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。” 唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。 2．用左右极限来描述的等价条件 用ε–δ语言可以证得一个最好用也最常用 的等价条件： 定理（2）极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。 这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为 函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。 函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。 由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。 （3）突出极限值的等价条件 考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件： 定理（3）函数f（x）在某一过程中有极限A 存在的充分必要条件是，f（x）－A为无穷小。 从“距离”的角度来理解，在某一过程中函数f（x）与数A无限接近，自然等价于函数值f（x）与数A的距离∣f（x）－A∣无限接近于0 如果记α=f（x）－A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换： f（x）=A+α（无穷小） 考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。“存在”与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我用exp（）表示以e为底数的指数函数，（）内填指数。 例1x趋于0时，函数exp（1/x）不存在极限。 分析在原点x=0的左侧，x恒负，在原点右侧，x恒正。所以 x从左侧趋于0时，指数1/x始终是负数，故左极限f（0－0）=0， x从右侧趋于0时，函数趋向+∞， 由定理（2），函数不存在极限。也不能说，x 趋于0时，exp（1/x）是无穷大 但是，在这种情形下，函数图形在点x=0有竖直渐近线x=0 例2x趋于0时，“震荡因子”sin（1/x）不存在极限。俗称震荡不存在。 分析用海涅定理证明其等价问题，“x趋于+∞时，sinx不存在极限。” 分别取x=nπ及x=2nπ两个数列，n趋于+∞时，它们都趋于+∞，相应的两列正弦函数值却分别有极限0与1，不满足唯一性定理（定理（1））。故sinx不存在极限。 例3x趋于∞时，函数y=arctgx不存在极限。 分析把∞视为一个虚拟点，用定理（2）。由三角函数知识得， x趋于+∞时，函数极限为π/2，x趋于－∞时，函数极限为－π/2， 故，函数y=arctgx不存在极限。 请注意，证明过程表明，函数y=arctgx的图形有两条水平渐近线。即 －∞方向有水平渐近线y=－π/2；+∞方向则有有y=π/2 例4当x→1时，函数f(x)=(exp(1/(x－ 1)))(x平方－1)∕(x－1)的极限 （A）等于2（B）等于0（C）为∞（D）不存在但不为∞ 分析考查x→1时函数的极限，通常认为x不取1；而x≠1时，可以约去分母（x－1)，让函数的表达式化为f(x)=(x+1)exp(1/(x－1)) 左极限f（1－0）=0，x从右侧趋于1时，函数趋向+∞，（选（D）） （画外音：多爽啊。这不过是“典型不存在1”的平移。） 例5f（x）=（2+exp（1/x））∕（1+exp（4/x））+sinx∕∣x∣,求x趋于0时函数的极限。 分析绝对值函数y=|x|是典型的分段函数。x=0是其定义分界点。一看就知道必须分左右计算。如果很熟悉“典型不存在1”，这个5分题用6分钟足够了。实际上 x→0-时，limf（x）=（2+0）/（1+0）－1=1 x→0+时，exp（1/x）→+∞，前项的分子分母同除以exp（4/x）再取极限 limf（x）=（0+0）/（0+1）+1=1 由定理（2）得x→0时，limf（x）=1 例6曲线y=exp(1/x平方)arctg（（x平方 +x+1）∕(x－1)(x+2））的渐近线共有 （A）1条．（B）2条。（C）3条。（D）4条。选（B） 分析先观察x趋于∞时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。即0，1和－2；对于每个零点x0，直线x=x0都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。实际上有 x→∞时，limy=π/4，曲线有水平渐近线y=π/4 其中，x→∞时，limexp(1/x平方)=1 lim（（x平方+x+1）∕(x－ 1)(x+2））=1（分子分母同除以“x平方”） 考查“嫌疑点”1和－2时，注意运用“典型不存在3”， f（1－0）=－eπ/2；f（1+0）=eπ/2，x=1不是曲线的竖直渐近线。 类似可以算得x=－2不是曲线的竖直渐近线。 考研数学讲座（5）无穷小与无穷大微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。 1.概念 在某一过程中，函数f（x）的极限为0，就称f（x）（这一过程中）为无穷小。 为了回避ε–δ语言，一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。 无穷小是个变量，不是0；y=0视为“常函数”，在任何一个过程中都是无穷小。但这是平凡的，没有一点意义。通常被排除在讨论之外。 依据极限定义，无穷大不存在极限。但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。为了记述这个特点，历史上约定，“非法地”使用等号来表示无穷大。比如 x从右侧趋于0时，limlnx=－∞；x从左侧趋于π/2时，limtgx=+∞ (潜台词：仅仅表明它其绝对值有无限增大的趋势，并不表示极限存在。) 无穷大与无界变量是两个概念。无穷大的观察背景是过程，无界变量的判断前提是区间。无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们（在特定过程中）的发展趋势。在适当选定的区间内，无穷大量的绝对值没有上界。 y=tgx（在x→π/2左側时）是无穷大。在（0，π/2）内y=tgx是无界变量 x趋于0时，函数y=（1/x）sin（1/x）不是无穷大，但它在区间（0，1）内无界。 不仿用高级语言来作个对比。任意给定一个正数E，不管它有多大，当过程发展到一定阶段以后，无穷大量的绝对值能全都大于E；而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点，此点处的函数绝对值大于E。 2.运算与比较 有限个无穷小量的线性组合是无穷小；“∞－∞”则结果不确定。 乘积的极限有三类可以确定： 有界变量·无穷小=无穷小无穷小·无穷小=（高阶）无穷小 无穷大·无穷大=（高阶）无穷大 其它情形都没有必然的结果，通通称为“未定式”。 例10作数列x=1，0，2，0，3，0，---，0，n，0，--- y=0，1，0，2，0，3，0，---，0，n，0，--- 两个数列显然都无界，但乘积xy是零数列。这表示可能会有无界·无界=有界 两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。如果极限为1，分子分母为等价无穷小；极限为0，分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。 无穷大有类似的比较。 无穷小（无穷大）的比较是每年必考的点。 x趋于0时，α=xsin（1/x）和β=x都是无穷小，且显然有∣α∣≤∣β∣；但是，它们的商是震荡因子sin（1/x），没有极限。两个无穷小不能比较。这既说明了存在性的重要，又显示了震荡因子sin（1/x）的用途。能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡因子。 回到基本初等函数，我们看到 x趋于+∞时，y=x的μ次方，指数μ＞0的幂函数都是无穷大。且习惯地称为μ阶无穷大。 （潜台词：这多象汽车的1档，2档，---啊。）x趋于+∞时，底数大于1的指数函数都是无穷大；底数小于1的都是无穷小。 x趋于+∞或x趋于0+时，对数函数是无穷大。 x趋于∞时，sinx及cosx都没有极限。正弦，余弦，反三角函数都是有界变量。 请体验一个很重要也很有趣的事实。 （1）x→+∞时，lim（x的n次方）∕exp（x）=0，这表明： “x趋于+∞时，指数函数exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。” 或者说，“x趋于+∞时，函数exp（－x）是任意高阶的无穷小。” （2）x→+∞时，limlnx∕（x的δ次方）=0；δ是任意取定的一个很小的正数。这表明：“对数函数lnx是比x的δ次方都还要低阶的无穷大。” 在数学专业方向，通常称幂函数（x的n次方）为“缓增函数”；称exp（－x）为“速降函数”。 只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上 述两个极限。它让我们更深刻地理解了基本初等函数。如果只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。 例11函数f(x)=xsinx（A）当x→∞时为无 穷大。（B）在（－∞，+∞）内有 界。 （C）在（－∞，+∞）内无 界。（D）在x→∞时有有限极限。 分析这和y=（1/x）sin（1/x）在x趋于0时 的状态一样。（选（C）） 例12设有数列Xn，具体取值为 若n为奇数，Xn=（n平方+√n）∕n；若n为偶数，Xn=1∕n 则当n→∞时，Xn是（A）无穷大量（B）无穷小量（C）有界变量（D）无界变量 分析一个子列（奇下标）为无穷大，一个子列是无穷小。用唯一性定理。选（D）） 请与“典型不存在1”对比。本质相同。 例13已知数列Xn和Yn满足n→∞时，limXnYn=0，则 （A）若数列Xn发散，数列Yn必定也发散。 （B）若数列Xn无界，数列Yn必定也无界。 （C）若数列Xn有界，数列Yn必定也有界。 （D）若变量1∕Xn为无穷小量，则变量Yn 必定也是无穷小量。 分析尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。例10给了我们一个很好的反例。对本题的（A）（B）（C）来说，只要Yn是适当高阶的无穷小，就可以保limXnYn=0无穷小的倒数为无穷大。故（D）中条件表明Xn为无穷大。要保证limXnYn=0，Yn必须为无穷小量。应选答案（D）。 x→0时，前因式趋向+∞；后因式有极限arctg （－1/2），x=0是曲线的竖直渐近线。 啊，要想判断准而快，熟记“三个不存在”。看了上面几例，你有体会吗？ *还有两个判断极限存在性的定理（两个充分条件）： 定理（4）夹逼定理——若在点x0邻近（或|x|充分大时）恒有g(x)≤f(x)≤h(x)，且x→x0(或x→∞)时limg(x)=limh(x)=A则必有limf(x)=A 定理（5）单调有界的序列有极限。（或单增有上界有极限，或单减有下界有极限。） 加上讲座（3）中的““近朱者赤，近墨者黑”定理”。共计六个，可以说是微分学第一组基本定理。考研数学指导（6）微观分析始连续热度7已有746次阅读2010-2-1108:17|个人分类:学习经验| 微分学研究函数。函数是描述过程的最简单的数学模型。由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。 大学数学还让学生学习两类“分段函数”。或是在不同的定义区间内，分别由不同的初等函数来表示的函数；或者是有孤立的特别定义点的函数。 微分学研究函数的特点，是先做微观分析。即讨论函数的连续性，可导性，可微性。再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。即单调性，有界性，奇偶性，周期性等。 1．函数的连续性 定义——设函数f(x)在点x0的邻近有定义。当x趋于x0时，如果函数有极限，且极限值等于函数值f(x0)，就称函数f在点x0连续。否则，称函数f在点x0间断。x0是它的间断点。 “函数f在点x0的邻近有定义”意味着，如果函数在点x0没有定义，那x0只是函数的一个孤立的无定义点。也就是函数的一个天然的间断点。y=1/x在原点就是这样的。 “有极限”意味着存在。在分段函数情形，要立即转换成“左右极限存在且相等。” 函数在一点连续的定义等式，“左极限=右极限=中心点函数值”，最多可以得出两个方程。如果在这里出题：“用连续定义求参数值。”则函数可以含一个或两个参数。 如果函数在区间上每一点连续，就称函数在此区间上连续。 最值定理——在闭区间上连续的函数一定有最大，最小值。 “有”，意味着至少有两点，相应的函数值分别为函数值域中的最大，最小数。 介值定理——如果数c能被夹在连续函数的两个值之间，则c一定属于此函数的值域。 请体会我的描述方式，这比教科书上写的更简明。 介值定理的一个特殊推论是，连续函数取正取负必取零。从理论上讲，求方程F(x)=0的根，可以转化为讨论函数F的零点。 例16试证明，如果函数f在闭区间上连续，则它的值域也是一个闭区间。 分析函数f在闭区间上连续，f必有最大值M=f （x1），最小值m=f（x2），闭区间[m，M]内的任一数c，自然就夹在f的两个最值之间，因而属于f的值域。即f的值域就是这个闭区间。 例17试证明连续函数在相邻的两个零点间 不变号。 （潜台词：没有零点的连续函数定号。）分析如果此连续函数在相邻的两个零点间变号。则它取正取负必取零。与已知矛盾。 （潜台词：函数究竟恒正还是恒负，选个特殊点算算。） 例18函数f在闭区间[a，b]上连续，其值域恰好也是[a，b]，试证方程f(x)=x在区间[a，b]上有解。 分析作F=f(x)－x，它显然在已知闭区间上连续。且有F(a)≥0而F(b)≤0 如果有一等号成立，则结论得证。否则，用介值定理。 （潜台词：要寻找反号的两个函数值，当然该先把已知点拿去试试。） 2．间断点分类 连续的对立面是间断。人们把函数的间断点分为两类。 若函数在某点间断，但函数在这点的左右极限都存在。就称此点为第一类间断点。 若函数在某点间断，且至少有一个单侧极限不存在，就称此点为第二类间断点。 第一类间断又分为两种。左右极限不相等，跳跃间断；左右极限相等，可去间断。若考题要求你去掉某个可去间断点时，你就规定极限值等于此点的函数值，让其连续。 对于第二类间断，我们只学了两个特例。即 x=0是震荡因子y=sin（1/x)的震荡间断点。（画外音：请联想“典型不存在（2）”） x=0是函数y=exp(1/x)的无穷间断点。（画外音：请联想“典型不存在（1）”） 只要函数在x0的一个单側为无穷大，x0就是函数的无穷间断点。x=x0是图形的竖直渐近线。 考题中经常把问题平移到别的点去讨论。 例19确定y=exp(1/x)arctg（（x+1）/（x－1））的间断点，并说明其类型。 分析函数的解析表达式中，分母有零点0，1（潜台词：两个嫌疑犯啊。） 在点0，前因子的右极限为正无穷，后因子连续非零，故0点是无穷间断点. 在点1，前因子连续非零，后因子的左极限是－π/2，右极限为π/2，第一类间断。 三个特殊的“不存在”记得越熟，计算左右极限就越快。要有一个基本材料库，典型的知识首先在基本材料范围内滚瓜烂熟，你就会走得踏实走得远。 例20设函数f(x)=x∕(a+exp(bx))在(－∞,－∞)内连续，且x→－∞时，极限limf(x)=0； 则常数a，b满足（A）a<0，b<0（B）a>0，b>0（C）a≤0，b>0（D）a≥0，b<0 分析初等函数的表达式中若有分母，则分母的零点是其天然没有定义的点，也就是函数的一个天然间断点。 已知函数连续，则其分母不能为0，而指数函数exp(bx)的值域为(0,+∞)，故a≥0又，x→－∞时，极限limf(x)=0表明，f(x)分母是较分子x高阶的无穷大，即要指数函数exp(bx)为无穷大，只有b<0，应选（D）。（画外音：一个4分题，多少概念与基础知识综合！典型的考研题！漂亮的考研题！） *例21已知函数f(x)在区间[a，b]上处处有定义，且单调。若f(x)有间断点，则只能是第一类间断点。 分析（构造法）不仿设f(x)在区间[a，b]上单增，但是有间断点x0；我们得证明f在点x0的左右极限都存在。 已设f在区间单增，余下的问题是寻找其上界或下界。事实上有 x→x0－时，f单增，显然f(b)是它的一个上界。故左极限存在。 x→x0+时，自变量从右向左变化，相应的f值单减。显然f(a)是其一个下界。右极限也存在。 构造法是微积分自己的方法。它的要点是，实实在在地梳理函数的构造及其变化，由此推理获得所要结果。 考研数学指导（7）导数定义很重要 选定一个中心点x0，从坐标的角度讲，可以看成是把原点平移；从物理角度说，是给定一个初始点；从观察角度议，是选好一个边际点。微量分析考虑的问题是：在x0点邻近，如果自变量x有一个增量Δx，则 函数相应该有增量Δy=f（x0+Δx）－f（x0），我们如何表述，研究及估计这个Δy呢？ 最自然的第一考虑是―变化率‖。中国人把除法称为―归一法‖。无论Δx的绝对值是多少，Δy／Δx总表示，―当自变量变化一个单位时，函数值平均变化多少。‖ 定义令Δx趋于零，如果增量商Δy／Δx的极限存在，就称函数在点x0可导。称极限值为函数在点x0的导数。记为Δx→0，lim（Δy／Δx）=f′(x0) 或Δx→0，lim(（f（x0+Δx）－f（x0））／(x－x0）)=f′(x0)或x→x0，lim(（f（x）－f（x0））／(x－x0）)=f′(x0)理解1你首先要熟悉“增量”这个词。它代表着一个新的思维方式。增量Δy研究好了，在x0邻近，f （x）=f（x0）+Δy，函数就有了一个新的表述方式。回头用―增量‖语言说连续，则―函数在点x0连续‖等价于―Δx趋于0时，相应的函数增量Δy一定趋于0‖ 理解2要是以产量为自变量x，生产成本为函数y，则Δy／Δx表示，在已经生产x0件产品的状态下， 再生产一件产品的平均成本。导数则是点x0处的―边际成本‖。 （画外音：―生产‖过程中诸元素的磨合，自然会导致成本变化。） 如果用百分比来描述增量，则（Δy/y）／（Δx/x）表示，在x0状态下，自变量变化一个百分点，函数值平均变化多少个百分点。如果Δx趋于零时极限存在，称其（绝对值）为y对x的弹性。 理解3如果函数f在区间的每一点处可导，就称f 在此区间上可导。这时，区间上的点与导数值的对应关系构成一个新的函数。称为f的导函数。简称导数。函数概念由此得到深化。 用定义算得各个基本初等函数的导数，称为―求导公式‖。添上―和，差，积，商求导法则‖与―复合函数求导法则‖，我们就可以计算初等函数的导数。例24设函数f(x)=（n→∞）lim(（1+x）∕（1+x的2n次方）),讨论函数f(x)的间断点，其结论为（A）不存在间断点（B）存在间断点x=1（C）存在间断点x=0（C）存在间断点x=－1 分析这是用极限定义的函数，必须先求出f(x)的解析表达式，再讨论其连续性。 任意给定一点x，(视为不变。)此时，把分母中的―x 的2n次方‖项看成是―（x平方）的n次方‖，这是自变量为n的指数函数。令n→∞求极限计算相应的函数值。 鉴于指数函数分为两大类，要讨论把x给定在不同区间所可能的影响。（潜台词：函数概念深化，就在这变与不变。哲学啊！）算得 －1＜x＜1时，f(x)=1+x；f(1)=1；f(－1)=0 而x＜－1或x＞1时，恒有f(x)=0，观察得x→1时，limf(x)=2；应选（B）。 理解4运用定理（2），―极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。‖则 “函数在点x0可导”等价于“左，右导数存在且相等”。 讨论分段函数在定义分界点x0处的可导性，先看准，写下中心点函数值f（x0），然后分别在x0两側算左导数，右导数。 例25（1）h趋于0+时，lim(f(h)－f(0）)/h存在不等价于函数在0点可导，因为它只是右导数。（2）h趋于0时，lim(f(2h)－f（h））/h存在不等价于函数在0点可导，因为分子中的函数増量不是相对于中心点函数值的増量。 请对比:如果f（x）函数在0点可导，则h→0时，lim(f(2h)－f（h））/h=lim(f(2h)－f(0）+f(0）－f（h））/h =2lim(f(2h)－f(0）)/2h－lim(f（h）－f(0))/h =2f′(0)－f′(0)=f′(0) （画外音：我把上述恒等变形技术称为―添零项获得增量‖。考试中心认为你一定会这个小技术。（2）中的不等价，要点在于，即便（2）中的极限存在，f（x）在0点也可能不可导。你可以作上述恒等变形，但是，你无法排除“不存在－不存在=存在”） 例26若函数f（x）满足条件f（1+x）=af（x），且f′(0)=b，数a≠0，b≠0则 （A）f（x）在x=1不可导。（B）f′(1)=a（C）f′(1)=b （D）f′(1)=ab 分析将f′(0)=b还原为定义lim(f(0+h)－f（0））/h=b, 要算f′(1)，考查lim(f(1+h)－f（1））/h；如何向f′(0)的定义式转化？！只能在已知恒等式上下功夫。 显然f(1+h)=af（h）；而f（1）=f（1+0）=af（0）lim(f(1+h)－f（1））/h=lima(f(h)－f（0））/h=ab应选（D）。 *理解5两个无穷小的商求极限，就可以看成是两个无穷小的比较。于是， 连续函数f（x）在点x0可导的充分必要条件是，x→x0时，函数增量Δy是与Δx同阶，或较Δx高阶的无穷小。 考研的小题目中，经常在原点讨论可导性，且往往设函数在原点的值为零。我称这为―双特殊情形‖。这时，要讨论的增量商简化为f（x）/x，联想一下高低阶无穷小知识，可以说，―双特殊情形‖下函数在原点可导，等价于x趋于0时，函数是与自变量x同阶或比x高阶的无穷小。如果函数结构简单，你一眼就能得出结论。 例27设函数f（x）在点x=0的某邻域内有定义，且恒满足∣f(x)∣≤x平方，则点x=0必是f(x)的（A）间断点。（B）连续而不可导点。（C）可导点，且f′(0)=0（D）可导点，且f′(0)≠0 分析本题中实际上有夹逼关系0≤∣f(x)∣≤x平方，在x=0的某邻域内成立。这就表明f（0）=0，且 ∣f(x)/x∣≤∣x∣，由夹逼定理得，f′(0)=0，应选（C）。例28设有分段函数f(x)：x＞0时，f(x)=(1－cosx)∕√x；x≤0时，f(x)=x平方g(x) 其中，g(x)为有界函数。则f(x)在点x=0 （A）不存在极限。（B）存在极限，但不连续。（C）连续但不可导。（D）可导。 分析由定义得中心点函数值f（0）=0；本题在―双特殊情形‖下讨论。 x＞0时，显然f(x)是比x高阶的无穷小。右导数为0（潜台词：1－cosx是平方级无穷小。） x≤0时，f(x)/x=xg(x)，用夹逼法可判定左导数为0；应选（D）。 *理解6运用定理（3），若f（x）函数在点x0可导，即有已知极限Δx→0，lim（Δy／Δx）=f′(x0) 于是Δy／Δx=f′(x0)+α(x)（无穷小）；即Δy=f′(x0)Δx+α(x)Δx 由此即可证明，函数在点x0可导，则一定在x0连续。 ―如果分母是无穷小，商的极限存在，则分子也必定是无穷小。” 经济类的考生可以这样来体验―可导一定连续‖。考数学一，二的同学则应将此结论作为一个练习题。把导数定义中的极限算式记得用得滚瓜烂熟，你就既不会感到它抽象，也不会感到有多难。考研的题目设计都很有水平，如果側重考概念，题目中的函数结构通常都比较简单。 不要怕定义。就当是游戏吧。要玩好游戏，你总得先把游戏规则熟记于心。 考研数学讲座（8）求导熟练过大关 函数在一点x0可导，其导数值也就是函数图形在点（x0，f（x0））处的切线斜率。从这个意义出发，我们有时把函数可导说成是―函数光滑‖。 1典型的不可导 可导一定连续。函数的间断点自然是不可导点。这是平凡的。我们感兴趣的是函数连续而不可导的点。 最简单也最实用的反例是绝对值函数y=∣x∣。这是一个分段函数。还原成分段形式后，在点x=0两侧分别用定义计算，易算得右导数为1，左导数是－1 进一步的反例是y=∣sinx∣在点x=0和y=∣lnx∣在点x=1连续而不可导。 从图形变化上去看一个连续函数取绝对值，那是件非常有趣的事情。 连续函数在相邻的两个零点之间不变号。如果恒正，每一个正数的绝对值就是自已。在这两个零点间的函数图形不变。如果恒负，每一个负数的绝对值都是它的相反数。这两个零点间的函数图形由x 轴下面对称地反射到了x轴上方。 y=sinx在原点的左侧邻近为负，右侧邻近为正。它的图形在原点右侧段不变，将左侧段对称地反射到上半平面，就是y=∣sinx∣的图形。反射使得图形在原点处形成一个尖角，不光滑了。 这是否是一个普遍规律？不是！比如y=x立方与y=|x立方|在x=0点都可导。 函数y=x立方的图形叫―立方抛物线‖。在点x=0，函数导数为0，图形有水平的切线横穿而过。（潜台词：真有特色啊，突破了我们原有的切线印念。）要是取绝对值，图形的原点左侧段对称地反射到上半平面，但水平的切线保持不变。新函数仍然光滑。这里的关键在于，函数值为0，导数值也为0，x=0是立方函数的重零点。 综合上述,在f(x)恒为正或恒为负的区间上，曲线y=|f(x)|和曲线y=f(x)的光滑性是一致的。只有在f(x)的零点处，才可能出现曲线y=f(x)光滑而曲线y=|f(x)|不光滑的状况。 数学三的考巻上有过这样的4分选择题。 例31f(x)在点x=a可导，则|f(x)|在x=a不可导若函数的充分必要条件是 （A）f(a)=0且f′(a)=0（B）f(a)=0且f′(a)≠0 （C）f(a)>0且f′(a)>0（D）f(a)>0且f′(a)＜0 分析如果没有思路，首先联想y=x与y=|x|即可排除（A）； 俗语说，连续函数“一点大于0，则一段大于0”；相应绝对值就是自己。（C）（D）显然都错；只有选（B）。 （画外音：如果用代数语言，f(x)可导，f(a)=0，而f′(a)≠0，则点a是f(x)的单零点。这道题该算擦边题。） 2．讨论深化 我在讲座（2）中举例，―连续A+不连续B=？‖ 如果，―连续A+不连续B=连续C‖则―连续C－连续A=不连续B‖ 这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。 推理的关键在于，逆运算减法可行。 自然类似有：可导A+（连续）不可导B=不可导C。比如y=x+∣sinx∣在点x=0不可导。 例32函数f（x）=∣sinx∣+∣cosx∣的不可导点是（？） 分析函数为―和‖结构。无论是∣sinx∣的不可导点或∣cosx∣的不可导点，都是f的不可导点。即 x=kπ与x=kπ+π/2，k=0，±1，±2，… 更深化的问题是：可导A×(连续)不可导B，是可导还是不可导？比如y=x∣x∣在点0可导吗？ 与―和‖的情形相比，积的逆运算不一定可行。当且仅当A≠0时，才有C/A=B所以 结论1，若f（x）在点x0可导，且f（x0）≠0，g （x）在点x0连续不可导，则积函数y=f（x）g（x）在点x0一定不可导。 结论2（*例33）已知函数f(x)在点x=a可导，函数g(x)在点x=a连续而不可导，试证明 积函数F（x）=f（x）g（x）在点x=a可导的充分必要条件是f(a)=0. 证明先证充分性，设f(a)=0则F(a)=0 令h→0,F′(a)=lim(F(a+h)－F（a））/h=limf(a+h)g （a+h）/h =(lim(f(a+h)－f（a）)/h)limg（a+h） =f′(a)g（a） 再用反证法证必要性。设函数F(x)在点x=a可导而f(a)≠0.，则由连续函数的性质可知函数f（x）在点x=a的某邻域内恒不为零。逆运算除法可行。由结论1知矛盾。 例34设函数f（x）可导，F（x）=f（x）（1+∣sinx ∣），则f（0）=0是F(x)在x=0处可导的 （A）充分必要条件。（B）充分而非必要条件。（C）必要而非充分条件。（D）既非充分又非必要条件。（选（A））分析1+∣sinx∣是可导函数+连续不可导函数类型，在0点仍然连续但不可导。由上例结论知应选（A） 例35函数y=（x平方－x－2）∣x立方－x∣的不可导点的个数是 （A）3（B）2（C）1（D）0 分析函数y具―积‖结构。y=f（x）g（x），可导函数f（x）=x平方－x－2只有两个零点x=–1，x=2，而连续函数g（x）=∣x立方－x∣有不可导点x=0，x=1，x=–1；（即x3－x的三个零点。）其中有两个不是f（x）的零点。积函数在这两点不可导。（选（B））。 实际上，x=–1是积函数的而重零点。 3．函数求导（以下所涉及的函数都是可导函数）函数求导越熟练，高等数学的感觉越好。只要回忆一下，小时候，九九表你背了用了多少年？！初中时，有理数运算算了多少年？！中学里，代数式运算你又算了多少年？！而学习微积分，你花了多少时间作求导计算？！自己就明白问题之所在了。 求函数的导数，第一设问是，我对什么类型的函数求导？ 对初等函数求导，要点是学会熟练地对初等函数作结构分析。应该设问（步步设问）： “是对复合结构求导还是对四则运算结构求导？” 对含有多个变量（有参变量）的表达式求导，要始终提醒自己：―是对表达式中的哪一个变元求导？”对分段函数求导，各段分别求导；定义分界点用定义求导 对幂指型函数求导，视y=f（x）为恒等式，先取对数再求导，最后解出y′ 还有隐函数的求导法则；参数式所表述的函数求导；求乘积函数高阶导数的Leibnitz（莱布尼兹）公式。 没办法。这是首先必须要苦力干活的。没有捷径可循。 考研数学讲座（9）“基本推理”先记熟 在考研试题中，条件“f（x）连续，x 趋于0时，lim(f（x）/x)=1”出现的频率相当高。我们能由这个已知条件得到哪些信息呢？无论是《高数》，《线代》或《概率》部分，都还可以找到类似问题。预先把其间的逻辑推理或计算程序练熟，在头脑里形成一个个小集成块。既是深化基本概念的手段，也是应对考试的方法。 1条件“f（x）连续，x趋于0时，lim(f（x）/x)=1”推理——→ 信息（1），自变量x，当然是x趋于0时的无穷小。分母是无穷小，商的极限为1（存在），则分子也必定是无穷小。即x趋于0时，limf（x）=0 （潜台词：由极限存在的充分必要条件（3），f（x）/x=1+α（无穷小），即，f（x）=x（1+α））信息（2），已知f连续，故f（0）=limf（x）=0 信息（3），（潜台词：这是“双特殊情形”啊！）已知极限表明函数f（x）与自变量是等价无穷小。f（x）在原点可导，且导数值f′(0)=1 信息（4），(“符号体念，近朱者赤。”)商的极限为正数1，在0点的一个适当小的去心邻域内，商的符号恒正。分子与分母同号。即f（x）与x同号，左负右正。 最后一条没有进一步的结论，但这是体验极限符号的思维素养。 对比：如果把条件中的分母换成“x2”，则后两条信息就不同了。 信息（3）*，函数是比自变量高价的无穷小。f（x）在原点可导，且导数值为0 信息（4）*，商的极限为正数1，在点0的一个适当小的去心邻域内，商的符号恒正。分子与分母同号。x的平方恒正，f（x）恒正。f（0）是函数的极小值。 再对比：若考题把条件中的分子换成f（x）－x，怎么办？ 那你把分子整体看成一个函数，写成F（x）=f （x）－x，先对F写出结论，再写还原讨论f（x）。 比如信息（3）得，F（x）在原点可导，故f （x）=F（x）+x也在原点可导。……。 有了高速路，找到匝道就上去了。 例36已知x→1时，lim(x2+b x+c)∕(x－1)=3，求常数b，c的值。 分析平移到点x=1用基本推理。记f（x） =x2+b x+c，f连续，由已知极限得 x→1时，limf（x）=0=f（1），实际计算f（1）得方程1+b+c=0 再由已知极限与极限定义得f′(1)=3，实际求导即2+b=3；联解之，b=1c=－2 2．程序化的经典题目 在考研试卷上有一个出现概率很高的大分值题，其基本模式为： “求（分段）函数f(x)的导函数，并讨论导函数的连续性。” 这个题目涵盖了连续与可导概念及求极限与 求导计算。考查内容相当全面。求解过程可以程序化。即用公式及法则求分段函数各段的导数；用定义算得分界点或特殊定义点的导数。写出导函数的分段式。再讨论连续性。 例37设a为实常数，定义函数f(x) 如下 x＞0时f(x)=x a sin(1/x2),x≤0时， f(x)=0 回答下列问题，并简单说明理由。 （1）在什么情况下，f(x)不是连续函数。（2）在什么情况下，f(x)连续但在点x=0不可微？（3）在什么情况下，f(x)有连续的导函数f′(x)？ *（4）在什么情况下，f(x)可微但f′(x)在原点邻近无界？ *（5）在什么情况下，f(x)可微，f′(x)在原点邻近有界，但f′(x)不连续？ 分析x≤0时，f(x)恒为零，故f(x)在0点左连续，且左导数为0；讨论的关键在于： sin（1/x2），cos（1/x2）都是震荡因子。当x→0+时，必须再乘以一个无穷小因子才有极限零存在。 （潜台词：有界变量·无穷小量=无穷小量） 解（1）a≤0时，f(x)不是连续函数，它在点x=0处有第二类间断（振荡间断）。 （2）0 x→0+时，lim(f（x）/x)=limx（a －1）sin（1/x2）不存在 这又表明，仅当a>1时，f(x)在0点的右导数为0，从而f′(0)=0；反之则右导数不存在。 于是，a>1时，f(x)是可导函数。且f′(x)有分段表达式： x≤0时，f′(x)=0；x＞0时，f′(x)=ax（a－1）sin（1/x2）－2x（a－3）cos（1/x2） （3）仅当a>3时，f′(x)的两项在0点的右极限都存在，且都为0；f′(x)连续。 （潜台词：存在+不存在=不存在；1＜a≤3时，f′(x)不连续。有振荡间断点0。） *（4）观察f′(x)的结构，当1＜a≤3时，它之所以会在原点邻近无界，显然是因为其后项存在有负幂因子。即1＜a＜3时，f′(x)在原点邻近无界。 （5）最后，自然有a=3时，f′(x)在原点邻近有界，但f′(x)不连续。 分析法，综合法，反证法。这都是欧氏几何的方法。公元前400年就有了。老老实实地写，实实在在地看，实实在在地说，水到渠成有结论。这是微积分自家的方法——“构造法”。 再看一例来体念“实实在在”的“构造法”。 例38已知函数f（x）在x≥a时连续，且当x →+∞时f（x）有极限A，试证明此函数有界。 分析（1）用综合法走一步：本题即证，∣f（x）∣≤C （2）想用分析法走一步，有困难。我们只学过，闭区间上连续的函数一定有界。（？！） （3）（试探）随便选一个充分大的数b，函数在a与b组成的闭区间上有界。那无穷的尾巴上怎么估计函数的绝对值呢？ （4）需要从数值上体念已知极限： x→+∞时函数有极限A，即x→+∞时函数的绝对值无限靠近数A的绝对值。 这就是说，我们可以取到充分大的数b，使x＞b时，恒有∣f（x）∣≤∣A∣+1 （5）a与b组成的闭区间上函数有最大，最小值。取其绝对值。三个正数相比较，最大的那个数就是我们需要的C 啊，我们“构造”出了函数的一个上界。 考研数学讲座(10)-(14) 考研数学指导（10）微分是个新起点 微分学研究函数的方法，是用函数的导数回头去研究函数。这和物理学用速度及加速度去研究物体运动是一个道理。微分则是运用导数研究函数的起点。 线性关系是最简单的函数关系。我们在生活中遇到的正比例问题举不胜举。而讨论非线性问题，总是件很困难的事。到朋友家要上楼，如果他们家的楼梯是非线性的，多半你会摔个跟头。 ―能否把非线性问题线性化？‖这是人们在经验基础上的自然思考。实际上，非线性问题就是非线性问题，所谓“线性化”，只是用一个“合适的”线性模型去近似非线性模型。即 非线性模型=线性模型+尾项（尾项=非线性模型－线性模型）， 关键在于表示尾项，研究尾项！找到尾项可以被控制的逼近模型。 把这个思想落实到函数上，就是，在中心点x0邻近，能否有 Δy=AΔx+尾项，尾项=Δy－AΔx能否是比Δx高阶的无穷小？ 如果能，就称函数在点x0可微分。简称可微。记dy=AΔx，称为函数的微分，又称为函数的线性主部。 将可微定义等式两端同除以Δx，令Δx趋于零取极限即知，若函数在点x0可微，则 A就是函数在点x0的导数f′(x0)；从而Δy=f′(x0)Δx+ο(Δx)；ο(Δx)表示―比Δx高阶的无穷小。‖ 或Δy=dy+ο(Δx)；dy=f′(x0)Δx=f′(x0)dx 要是需要，我们可以丢去尾项，微局部地得到函数值的（线性的）近似计算式。由于丢去的尾项是比Δx高阶的无穷小，如果∣Δx∣＜0.01,那么，绝对誤差也小于0.01 不丢尾项，我们得到函数的一个新的（微局部地）有特定含义的表达式： f（x）=f（x0）+Δy=f（x0）+f′(x0)Δx+ο(Δx) 历史上，这个表达式称为，―带皮阿诺余项的一阶泰勒公式‖。 近一步可以证明，可微与可导等价。 例41设函数f（u）可导，y=f（x平方）当自变量x在点x=－1取得增量Δx=－0.1时，相应的函数增量Δy的线性主部为0.1，则f′(1)=_______ 分析Δy的线性主部即是微分dy，而y′(x)=f′(u)2x,y′(1)=－2f′(1) 故dy=y′(x)dx具体为0.1=y′(1)(－0.1)，解得f′(1)=1/2函数f（x）在一个区间上可导时，我们记微分dy=f′(x)dx。但是不能忘了微分的微局部意义。 函数可微，且f′(x0)≠0时，还可以把可微定义等式变形为Δy/f′(x0)Δx=1+ο(Δx)∕f′(x0)Δx 令Δx→0取极限，即知Δy和dy是等价无穷小。为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小，例如在x→0过程中 sinx～x；ln（1+x）～x；exp（x）－1～x；√（1+x）－1～x∕2 它们都是在原点计算Δy和dy而获得的。最好再记住1－cosx～x平方∕2 两条经验： （1）常用等价无穷小的拓展——例如，若在某一过程中，若α（x）是无穷小，则 sinα（x）～α（x）；ln（1+α（x））～α（x）；eα（x）－1～α（x） √（1+α（x））－1～α（x）∕2；1－cosα（x）～α（x）平方∕2 （2）等价无穷小的差为高阶无穷小。 例42设当x→0时，（1－cosx）ln（1+x平方）是比x（sinx的n次方）高阶的无穷小； 而x(sinx的n次方)是比exp（x平方）－1高阶的无穷小，则正整数n=？ 分析x→0时，（1－cosx）ln（1+x平方）为4次方级的无穷小；x(sinx的n次方)是n+1次方级； exp（x平方）－1是2次方级，由已知，2＜n+1＜4，只有n=2 我们还可以学会主动选定中心点，计算Δy和dy来获得等价无穷小。 例43设在区间[1/2，1）上，f（x）=1/πx+1/sinπx －1/π（1－x），试补充定义函数值f（1），使函数在闭区间上连续。 分析（1）点1是右端点，按照连续的定义，应该补充定义f（1）为函数在点1的左极限。 （2）观察函数结构，第一项是连续函数求极限。第二，三项形成―无穷－无穷‖未定式。 （3）―计算无穷－无穷，能通分时先通分‖。通分后化为0/0型未定式。求商的极限是否顺利，关健在于分母。要尽可能先简化分母。 （4）公分母为π(1－x）sinπx,可以考虑在点1计算sinπx的等价无穷小 因为sinπ=0,故Δy=sinπx；而dy=πconπΔx=－π（x －1） 作等价无穷小因式替换，分母变成二次函数，再用洛必达法则求极限，一定顺利。 学习本是为了用，该出手时就出手。你不妨直接用洛必达法则求通分后的0/0型未定式极限。作个对比。 例44设函数f(x)在x=0的某邻域内有连续的一阶导数，且f(0)≠0，f′(0)≠0，若 af（h）+bf（2h）－f（0）在h→0时是较h高阶的无穷小，试确定数a和b的值。 分析由高阶无穷小的定义得h→0时lim(af（h）+bf （2h）－f（0）)/h=0 记F(h)=af（h）+bf（2h）－f（0），F连续。于是（用―基本推理‖）由极限式与连续性推出 F(0)=limF(h)=（a+b+1）f（0）=0，只有a+b+1=0 同时（F(h)－F(0))/h=F(h)/h，再由极限式得F′(0)=0实际上，F′(h)=af′(h)+2bf′(2h)，F′(0)=（a+2b）f′(0)=0这就有第二个方程a+2b=0；联解之，a=－2，b=1 *分析二换一个思考方法，可微分定义式给了函数一个新的（微局部意义的）表达式。试用一下。 设想h充分靠近0，则f（x）=f（0）+f′(0)x+ο(x)（中心点是原点，Δx=x－0=x） 故f（h）=f（0）+f′(0)h+ο(h)f（2h）=f（0）+f′(0)2h+ο(h)从而af（h）+bf（2h）－f（0）=（a+b－1）f（0）+（a+2b）f′(0)h+ο(h) 要它在h→0时是比h高阶的无穷小，常数项和h 项系数必需为0，获得两个方程。 考研数学指导（11）洛尔定理做游戏 洛尔定理既为中值定理做准备，又在函数零点讨论方面具有独立意义。洛尔定理的证明中，逻辑推理既有典型性，又简明易懂。因而洛尔定理成为考研数学的一个特色考点。 我国的大学数学教材，通常把―费尔玛引理‖的证明夹在洛尔定理的证明中，使得证明显得冗长。我先把它分离出来。（画外音：这可是个难得的好习题。）1费尔玛引理——若可导函数在区间内一点取得最值，则函数在此点的导数为0 分析我们复习一下―构造法‖。已知或讨论函数在某一点的导数，不仿先写出导数定义算式，观察分析增量商。这是基本思路。 ―老老实实‖地写：设函数在区间内一点x0取得最大值。写出增量商(f（x）－f（x0）)/（x－x0） ―实实在在‖地想：它有什么特点呢？f（x0）最大，分子函数增量恒负，分母自变量增量左负右正。这样一来， 增量商在x0左侧恒正，（负负得正）。其左极限即左导数非负。（潜台词：极限可能为0） 增量商在x0右侧恒负。故右极限即右导数非正。函数可导，左，右极限存在且相等，导数只能为0 （画外音：导数为0，不是直接算出来，而是由逻辑推理判断得到的。你能否由此体会到一点数学美呢。） 2洛尔定理——若函数f（x）在闭区间[a，b]连续，在（a，b）内可导，且端值相等。则 必在（a，b）内一点ξ处导数为0 分析函数在闭区间[a，b]连续→函数必有最大最小值 端值相等→只要函数不是常数，端值最多只能占最值之一。至少有一最值在区间内。 函数在（a，b）内可导→内部的最值点处导数为0 请看看，分离证明，前段运用导数定义，符号推理非常典型。后段逻辑有夹逼味道，十分简明。 运用洛尔定理，关键在于要对各种说法的―端值相等‖有敏感性。 例47设函数f（x）二阶可导，且函数有3个零点。试证明二阶导数f"（x）至少有一个零点。 分析―函数有两个零点‖，意味着两个函数值相等！它俩组成一个区间，就满足―端值相等‖条件。可以应用洛尔定理得到函数的一阶导数的零点。 设函数的3个零点由小到大依次为x1，x2，x3 顺次取区间[x1，x2]，[x2，x3]，分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的两个零点，ξ1，ξ2，且ξ1＜ξ2 ξ1，ξ2客观存在。它们组成区间[ξ1，ξ2]，且f′(x)在此区间上端值相等。 已知二阶导数f"（x）存在，即f′(x)可导。对函数f′(x)用洛尔定理就得本题结论。 本例同时展示了―逐阶运用洛尔定理‖的思路。 不要怕―点ξ‖，不要去想它有多抽象。客观存在，为我所用。只是要留心它的范围。 (画外音：怕啥子嘛，你不是学了哲学，学了辩证法 吗。) 3“垒宝塔”游戏 如果函数n阶可导，且函数有n+1个互不相同的零点。由此可以得到什么信息？ 我们可以象上例那样，先把这n+1个零点由小到大排序编号，x1，x2，x3，……，xn，x(n+1) 再顺次组成n个区间，[x1，x2]，[x2，x3]，……，[xn，x(n+1)] 分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的n个零点，且有大小排序 ξ11＜ξ12＜……＜ξ1n 同理，顺次取区间[ξ11，ξ12]，[ξ12，ξ13]，……，[ξ1（n－1），ξ1n] 共计n－1个区间，分别对一阶导函数f′(x)用洛尔定理，得到二阶导数的n－1个零点，由小到大依次记为 ξ21，ξ22，……ξ2（n－1） ………… 再一次次逐阶运用洛尔定理，最后可以得到结论：函数的n阶导数有1个零点。 这是微分学的一个经典题目，结论好似一个倒置的―杨辉三角形‖。 就当是做游戏吧。一个―垒宝塔‖游戏。 4研考典型大题 考研数学有时在这个考点上出大题，基本模式为“已知……，证明区间内至少有一点ξ，使得一个含有导数的等式成立。” 例48设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（1）=0，试证（0，1）内至少有一点ξ，使得f（ξ）+ξf′(ξ)=0 分析（综合法）ξ只是一个特殊点。ξ就是方程f（x）+xf′(x)=0的根。 方程的根转化为函数g（x）=f（x）+xf′(x)的零点讨论。 （潜台词：我们有―介值定理‖，―洛尔定理‖两件兵器哦。） 由于关系式中有含导数的项，可以猜想，ξ应当是我们对某个函数运用洛尔定理后，得到的导函数的零点。即g（x）是某个函数F（x）的导函数？！再仔细观察g（x）的结构，它多象是一个乘积函数求导公式啊。（画外音：求导不熟练，肯定反应慢。）实际上它的确是积函数F（x）=xf（x）的导函数，且恰好端值相等。 证明时只需从―作辅助函数F（x）=xf（x），……‖说起。 啊，典型的欧氏方法，困难的逆向思维。 考研数学指导（12）中值公式不为算 数学公式基本上可以分为两类，一类用于计算。一类用于描述。 中值定理的公式（有限增量公式）就是描述型的数学公式。非数学专业的本科学生感到数学难学，一个基本原因在于观念。以为数学公式都是计算公式，遇上了描述型的公式，他们毫无思想准备。 描述型的数学公式意义深远。从根本上说，数学科学企图描述世界的任何过程。 描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。 微局部地研究函数，焦点在于讨论增量。我说微分是个新起点，指的就是，若函数f（x）在点x0可微，则函数实际上就有了一个（微局部的）新的表达式： f（x）=f(x0)+f′(x0)(x－x0)+ο(Δx)（尾项，比Δx高阶的无穷小） 历史上，这个表达式称为，―带皮阿诺余项的一阶泰勒公式‖。 之所以是―微局部‖的描述公式，是因为只有在x0的充分小的邻域内，“高阶无穷小”的描述才有实际意义。 不要认为这有多抽象。这是线性化思维的一个自然结果，一个客观事实。知道其存在，能对几个简单的基本初等函数按过程写出来，就算掌握了。 比如，在原点邻近，可以有，sinx=x+ο(x)，（请对比sinx～x）。由此近一步有 x－sinx=x－（x+ο（x））=ο（x）（潜台词：表达式嘛，那就可以代进去。） 这就是描述型的思路。它告诉我们，x趋于0时，x －sinx是比x高阶的无穷小。 在求极限时，我们只可以对（分子或分母）的“无穷小因式”作等价无穷小替换。但是，只要对运算有利，我们就可以把函数的（带高阶无穷小尾项）表达式代到任何一个位置去。 在运用函数的导数来研究函数的过程中，这个思路沿着两个方向延拓。 （1）对尾项的描述能否更具体？ （2）能否提高描述的精度？即能否把函数写成 f（x）=以x0为中心的n次多项式+尾项（比(Δx的n次方)高阶的无穷小） 《高等数学》在方向（1）上，讲了―拉格郎日公式‖；在方向（2）上则讲带有―拉格郎日型尾项的泰勒公式‖。（后者只征对考数学一，二的考生）。 拉格郎日公式若函数在闭区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则（a，b）内至少有一点ξ，使得f(b)－f(a)=f′(ξ)（b－a） 教科书上是增量商的形式，我更喜欢用乘积形式。定理说的是区间，应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个（子）区间。比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，（潜台词：任给一点，相对不变。）也可以有 f（x）－f（x0）=f′(ξ)（x－x0），ξ在x与x0之间，即f（x）=f（x0）+f′(ξ)（x－x0），ξ在x与x0之间， （画外音：一个x相应有一个ξ，理论上构成一个函数关系。） 这样一来，中值定理也给了函数一个新的表达式。带ξ的项是尾项。（拉格朗日尾项）。 思考题目时，只要看到有导数条件及函数增量式，你就可以考虑先用拉格朗日公式转换描述方式，迈出第一步。再考虑如何利用导数条件及ξ所属范围处理尾项。 例51已知f（x）在[0，1]可导，且导函数单增，试将f′(0)，f′(1),f(1)－f（0）三个数按大小排序。 分析导函数单增，都是导函数值才能比较大小。f （1）－f（0）是增量式，先用拉格朗日公式得， f（1）－f（0）=f′(ξ)，0＜ξ＜1，写出这一步来就啥都明白了。 不要怕ξ，它是区间内客观存在的一点。它的范围有时（如上例）也能导出信息。 例52已知f（x）在某区间可导且导函数有界，试证明f（x）恒满足∣Δy∣≤C∣Δx∣ 分析不知道已知区间是开区间还是闭区间，反正已知有∣f′(x)∣≤M（正常数） 在区间内任取两点,视为常数,运用拉格朗日公式 f（x1）－f（x2）=f′(ξ)(x1－x2)，x1＜ξ＜x2 等式两端取绝对值，导函数有界的条件管住了ξ，取C=M，本题结论成立 多写才能熟悉。最好的基本练习是，把上例中的函数具体取为正弦，余弦，指数函数，反正切等，自己设定区间，求出M值，重复写出证明过程。 例53已知当x趋于+∞时，limf′(x)=e，求lim（f（x+1）－f（x）） 分析对任意给定的x,所求极限的变量式，恰是函数f（t）在点x与x+1的增量式。先用拉格郎日公式改变其描述方式。 （画外音：分层次思维，走一步，写一步，再观察。）f（x+1）－f（x）=f′(ξ)，x＜ξ＜x+1，实际上ξ=ξ （x） 显然，当x趋于+∞时，必有ξ趋于+∞；故，原极限=limf′(ξ)=e最后的答案来自唯一性定理。 （潜台词：无论ξ（x）以怎样的方式趋向无穷，唯一性定理都管住了它。） 例54试证明x＞0时，ln（1+x）＜x 分析ln（1+x）=ln（1+x）－ln1=x/ξ＜x，1＜ξ＜x+1 实际计算步骤为，取函数y（t）=ln（t），则y′(t)=1/t 进而y′(ξ)=1/ξ,得到结论只用了ξ＞1 ―添零项获得增量‖。创造条件运用拉格郎日公式。考研中心认为，你一定会这个小技术。 考研数学指导（13）图形特征看单调 用导数讨论函数,中值定理是座座桥梁。拉格郎日公式有两个推论。使它更好地发挥桥梁作用。 1．拉格郎日公式的两个推论 推论（1）可导函数恒为常数的充分必要条件是其导函数恒为零。 推论（2）设函数f(x)在区间（a，b）内可导，且导函数f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单增。 推论(1)是一个很好的―相对比较‖练习题。即任选一点x0，视为不变。再任给一点x，比较两个函数值的差。我们就可以应用拉格郎日公式，并联系已知条件得到结论。 由推论（1）得到―证明两个可导函数恒等‖的程序：―在某区间上证明可导函数f(x)≡g(x)‖—→作F（x）=f(x)－g(x)，F（x）可导 —→验证fˊ(x)－gˊ(x)≡0，证得f(x)－g(x)=常数—→选一个特殊点，计算验证这个常数就是0 为什么推论(2)中，―导函数f′(x)＞0‖不是可导函数单增的充分必要条件呢？这是因为单增的函数也可能在若干个孤立点上导数为0。比如，立方函数单增，而它的导数在原点为0。 （潜台词：要注意函数单增的定义啊，自变量变大，相应的函数值一定也变大。） 例57设函数f(x)在实轴上单增，可导，则（A）在实轴上恒有fˊ(x)＞0（B）对任意x，fˊ(－x)≤0（C）函数f(－x)在实轴上单增。（D）函数－f(－x)在实轴上单增。 分析由已知信息只能推得fˊ(x)≥0，（A）错。 fˊ(－x)是个复合函数。其结构是y=fˊ(u)，u=－x，故fˊ(－x)≥0；（B）错。 f(－x)的导数为－fˊ(－x)，由此知（C）错。应选（D）。 2.“逐阶说单调” 单调性是函数最重要的图形特征。如果一个连续函数分段单调，那么，单调性改变的分界点，就是函数的极值点。这就自然而然地产生了极值点的―第一判别法‖。 一个很好玩的游戏是―逐阶说单调‖。 例58设函数f在点x0邻近三阶连续可导，且在点x0，其一，二阶导数都为0，而三阶导数不为0，你能由此得到什么样的信息？ 分析（1）不仿设f"′（x0）＞0，三阶导数连续，在点x0邻近三阶导数全大于零。 （潜台词：体验极限，近朱者赤。连续函数一点大于0则一段大于0） （2）三阶导数大于零，则二阶导数单增。 又因为f"（x0）=0，故当x由左侧趋近点x0时，f"（x）由负单增到0，从x0点再向右，f"（x）单增为正。 x0两側二阶导数反号，图形上点（x0，f(x0)）是拐点。 (3）在x0点左側，一阶导数单减，且由正单减到0；在x0点右側，一阶导数单增，且由0单增为正。f′(x0)=0是一阶导数的极小值。一个孤立的零点。（4）函数f在点x0邻近单增。（画外音：其导数有一个孤立的零点。） 逐阶说单调，这是基本功。可以算是一个基本推理集成块。它同时展示了讨论连续函数符号的基本方法。 如果设f在点x0邻近四阶连续可导，且在点x0，其一，二，三阶导数都为0，而四阶导数不为0，则练习逐阶说单调后，你会发现，x0一定是极值点。例59已知正函数f与g都在[a，b]上可导，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则对区间内任意一点x，有 （A）f(x)g(b)＞f(b)g(x)（B）f(x)g(a)＞f(a)g(x) （C）f(x)g(x)＞f(b)g(b)（D）f(x)g(x)＞f(a)g(a) 分析已知关系式的左端象是―商函数‖求导公式的分子。分母可配g(x)的平方，表明f(x)/g(x)单减。也可以配f(x)的平方，表明g(x)/f(x)单增。 （A）即是f(x)/g(x)＞f(b)/g(b)，只要商函数f(x)/g(x)单减，它就显然是对的。应该选（A）。 例60设函数f在闭区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且端值都为零，但在（a，b）内至少一点c处为正。试证明（a，b）内至少有一点ξ，使得f"（ξ）＜0 分析没有相关的高阶导数信息。试用反证法。设（a，b）内恒有f"（x）≥0，则一阶导数―不减‖。 （潜台词：不知道f"（x）是否只在某些孤立点上为0，就不能说f′(x)单增。） 对函数f用洛尔定理得知（a，b）内至少有一点η，使得f′(η)=0 f′(x)―不减‖，在（a，η）内必有f′(x)≤0，f―不增‖，而起点处f(a)=0，只有f(x)≤0； f′(x)―不减‖，在（η，b）内必有f′(x)≥0，f也―不减‖，但已知f(b)=0，函数还是只能非正。 这和已知f(c)＞0矛盾。本题结论成立。 （画外音：构造法的叙诉方式。类似于做了一次―逐阶说单调‖游戏。） 方法二也可以先顺次在区间（a，c）及（c，b）上分别用拉格郎日公式，得到两个客观存在的点。已知f(c)是正数，老老实实地写出两个式子，应该能确定这两点处一阶导数值各自的符号。试试在这两点组成的区间上再对一阶导函数用拉格郎日公式 *例61设f(0)=0，f′(x)在（0，+∞）上单增，试证明函数g(x)=f(x)/x也在区间（0，+∞）上单增。 分析证单调，先求导。g′(x)=（xf′(x)－f(x)）∕x平方分母恒正。但是无法判定分子的符号。没有二阶导数信息，不能再说单调讨论分子符号（―二次讨论‖）。已知f′(x)单增，两个导数值可望比较大小。又已知f的一个零点与一阶导数信息。考虑用中值定理改变f的描述方式。即f(x)=f′(ξ)x，0＜ξ＜x，（潜台词：一个x相应有一个ξ，ξ=ξ（x）） 代入分子后，有（xf′(x)－f(x)）=x（f′(x)－f′(ξ)）＞0 ξ的范围与导数单增的条件就管住了ξ。你也可以说是用了―添零项获得增量‖技术。 描述性的公式，在应用中加深理解。就学了那么一点点。练他个滚瓜烂熟，遇到问题时，一看条件，你就能想到它。 考研数学指导（14）单调法是重头戏 有了初始点x0的信息，又知道函数的单调性，就能判定函数的符号。 ―若函数f(x)单增且f(x0)≥0，则x＞x0时f(x)＞0‖ 其实在（13）段中―逐阶说单调‖，已经说了好多花样。这里还可以拓展的是： （1）若函数单增但只在x＞x0时有定义，只要f(x0+0)≥0，则f(x)＞0 （画外音：这种情形下,数f(x0+0)称为函数的―下确界‖。即最大的下界。） （2）若函数f(x)单减且当x趋于+∞时为无穷小，则f(x)＞0 这个符号逻辑非常简明。因而尽管本科教材上写得 较少，考研数学却经常在这个点上出大题。我把这个典型题型称之为―用单调法证明简单的函数不等式。‖ 要证明x＞x0时，f(x)＞g(x)，转化为证明F=f(x)－g(x)＞0，到底行不行，先看有没有―初始信息‖，再对F求导。看导数正负说单调，两者结合定符号。例64试证在（0，π/2）内，sinx＞2x/π 分析作F=sinx－2x/π，F在[0，π/2]连续。要证，F 在（0，π/2）内恒正。 显然，Fˊ=cosx－2/π，导函数在（0，π/2）内有一个零点η；要分两段―说单调判符号‖。 在前段（0，η]，Fˊ≥0，等号只在η成立。F单增，初值F(0)=0，故F（x）＞0 在后段（η，π/2），Fˊ＜0，F单减，终值F(π/2)=0，同样有F（x）＞0 方法二在有驻点情形，要证明函数非负，还可以考虑证明其最小值非负。 本题中，在（0，π/2）内，驻点唯一，F"=－sinx＜0，这是唯一的极大点。 唯一的极大就是最大。最小值一定落在区间端点处。而F（0）=F（π/2）=0 分析三（反证法）已有F（0）=F（π/2）=0；如果F在（0，π/2）内不定号，就必定还会有零点。这就能作―垒宝塔‖游戏，证得二阶导数F"在（0，π/2）内有零点。实际计算知矛盾。故F定号。再计算F （π/6），即知F恒正。 方法四作F=sinx/x－2/π, 这有两点新意。首先，函数F在原点无定义，但右极限为1。 其次，F的导函数，就是前项商函数的导数，分母为xconx－sinx，难以判定符号。那就从头再来。设G=xconx－sinx，G（0）=0；再求导，Gˊ=－sinx 在（0，π/2）内Gˊ＜0，G（x）单减，G（x）＜0 （潜台词：没啥了不起，―说单调讨论符号‖是我们的拿手戏。） 我给这种情形取名为―二次讨论‖。 我读本科时，同学们在宿舍里比赛。造一道不等式证明题，看谁的逐阶说单调的阶数高。记得优胜者出的题目需要―五次讨论‖。 （画外音：哇噻，你们学数学的就这样玩？！） 例65设函数f(x)在实轴上二阶可导，且f"（x）＞0；又已知x趋于0时，limf(x)/x=1， 试证明f(x)≥x 分析（1）f"（x）＞0，则一阶导数单增。 （2）分值有限，在大题中，可以直接说：―从已知极限得f(0)=0，f′(0)=1‖。预先背熟基本推理的好处就在这理。 （3）已知极限还暗示，原点是个特殊点。仔细再看，要证的―等号‖就在原点成立。本题如果用单调法，得选原点为初始点分段讨论。 比如，在（－∞，0），作F=f(x)－x，Fˊ=f′(x)－1，F"=f"（x）＞0一阶导数单增而Fˊ(0)=0，在（－∞，0）内Fˊ(x)恒负； 函数F(x)单减而F(0)=0，在（－∞，0）内F(x)恒正。（4）用最值法——实际上，作F=f(x)－x后，晃一眼导数，就会敏感地想到极值点。一阶导数为零，二阶导数为正的点，必是函数的极小点。唯一的极小点一定是最小点。函数的最小值为零，函数非负。 (5)用泰勒中值定理——由（2）出发，可以考虑选0为中心点，先用泰勒中值定理给函数一个表达式f(x)=x+（1/2）f"（ξ）x平方，ξ在0与x之间 这就是说，对任意一点x≠0，总有f(x)=x+正数（尾项），自然有f(x)≥x 试探就是研究。中值定理只能给出一个描述方式。能否解决问题，写出来再观察。例66设b＞a＞e，证明，a的b次方＞b的a次方分析尽管我们习惯于用x表示（自）变量，为了完成证明，不仿把不等式看成是―幂指型‖的，即底数，指数都是变量。处里―幂指型‖问题，通常先看能否取对数。对数函数是增函数，本题即证blna＞alnb，再单把a看成自变量，作F（a）=blna－alnb，显然F（b）=0，就可以在（b，e）上使用单调法了。（画外音：要是不习惯，就先把a换成x嘛。） 例67试证明x>0时，（x平方－1）lnx≥（x－1）平方 分析本题有潜在的分界点x=1，且x=1时所证关系式中的等号成立。问题归结为 证明0 为了求导及讨论导数符号方便，我们证明 0 作F=lnx－(x－1)∕(x+1)，F(1)=0，（潜台词：F（0+）不存在。） 易算得x>0时，Fˊ(x)＞0，分段说单调讨论符号就能完成本题证明。 方法完全程序化了，具体问题还得注意具体特点。考研数学讲座（15）极，拐，零点巧讨论 讨论好连续函数的极值点，图形拐点，零点。函数图形特征一目了然。 1．极值点与图形拐点 极值点是函数单调性改变的分界点。极值是函数微局部的最大或最小值。由于只是微局部的最值，就有可能某个极大值比另一个极小值还小。 唯一的极值（极大或极小）一定是函数的最值。实际上，极值点唯一，函数分两段单调，且单调性不同。如果有另一个最值，则它必定是边界值。函数图形类似于抛物线。 用增量的语言来说，函数在一点取得极值的充要条件是，在此点的适当小邻域内，函数增量Δy为负（极大）或为正（极小）。 按照游戏规则，定义区间端点没有资格做极值点。计算闭区间上连续函数的最值——把驻点（一阶导数的零点），不可导点，区间端点，……，排成一列，比对相应函数值来挑选。 拐点（x0，y0）——函数图形凹凸性改变的分界点。在x0两侧，函数的二阶导数反号。 函数有高阶导数时，可以用疑点处的高阶导数值来作判断。称之曰“第二判别法”。 如果驻点处的二阶导数小（大）于0，则函数值极大（极小）。在多元情形，没有了单调概念。要判断普通极值，就只能依靠“二阶导数”。 驻点处的多个“二阶导数”值恰能排成一个方阵（海森矩阵），最终得用上《线性代数》理论。 如果拐点疑点（二阶导数的零点）处的三阶导数值不为0，则图形上的相应点一定是拐点。在指导（13）中“逐阶说单调”时，我们已经得到了这个结论。例70已知连续函数f(x)在点x=a有极大值f(a)，则在点a的适当小的邻域内有 （A）（x－a）（f(x)－f(a)）≥0（B）（x－a）（f(x)－f(a)）≤0 （C）t→a时，lim（f(t)－f(x)）∕(t→x)平方≥0,（x ≠a) (D)t→a时，lim（f(t)－f(x)）∕(t→x)平方≤0,（x ≠a) 分析在极值点的两侧，函数增量Δy定号且同号，自变量增量Δx则左负右正，故乘积Δx·Δy在极值点的两侧必定反号，（A）、（B）皆错。 （C）与（D）是连续函数取极限。f(a)是极大值，f(a)－f(x)≥0，应选（C） 例71函数f(x)有连续的二阶导数，且f′(0)=0，又当x趋于0时，极限 limf"（x）∕∣x∣=1，则 （A）f(0)是f(x)的极大值（B）f(0)是f(x)的极小值 （C）(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点。（D）f(0)不是函数的极值，(0，f(0))也不是拐点。 分析（基本推理。符号体验，近朱者赤。）在x=0的适当小的去心邻域内，要取极限的商式恒正，分子分母同号。即有f"（x）＞0 逐阶说单调。一阶导数f′(x)单增而f′(0)=0，所以f′(x)在0点左侧为负，右侧为正。函数f(x)先单减再单增，f(0) 极小。选（B）。 例72已知函数y=(x－1)平方·(x－2)平方，它的图形共有几个拐点？ 分析（1）函数是四次多项式，有两个二重根。只好先求一阶导数。 （2）y′=4（x－1）（x－2）（x－3），三次多项式总共有3个单根。 （画外音：可以做“垒宝塔”游戏了。） （3）y"有且仅有两个零点ξ1，ξ2，且1＜ξ1＜2＜ξ2＜3 （4）三阶导数是一次多项式，有且仅有1个零点，且位于ξ1与ξ2之间。 （5）逆向思维，三阶导数在点ξ1与ξ2都不为零。故函数图形共有两个拐点。 例73设f(x)=∣x（1－x）∣，讨论，0点是否是f 的极值点，（0，0）是否是其图形的拐点。 分析（1）第一感觉，f是连续的分段函数。在0点做微局部讨论。只需在0点邻近把它还原为分段表达式。(潜台词：不要去管另一个零点，自讨麻烦。)即 x＜0时f=x（x－1）而x＞0时f=x（1－x） （2）用第一判别法。不要管中心点，直接在原点两侧分别求一，二阶导数，再看符号。 （3）结论：0点是f的极值点，（0，0）又是其图形的拐点 (画外音：为什么会这样，鱼和熊掌兼得。原因在于0点是不可导点。) 例74设函数f(x)满足f"(x)+f′(x)f(x)=x且f′(0)=0，讨论0点是否是f 的极值点，（0，f(0)）是否是其图形的拐点。 分析（1）“满足”意味着“逐点成立”。令x=0，得f"(0)=0，0点是双重疑点。 （2）既不能对关系式两端求导，又没有别的信息。只好思考，关系式能否变形？ （3）如果最终使用第一判别法，那就可以不管中心点0，只在其两侧考虑。联想到“基本推理”集成块，我们在关系式两端同除以x，得f"(x)∕x +f′(x)f(x)∕x=1 再令x趋于0，各项分别取极限，得limf"(x)∕x=1 （画外音：主动求极限，难！？这就又上了“体验符号，近朱者赤。”的轨道。） 其中，limf′(x)f(x)∕x=limf′(x)·lim（f(x)∕x）=0 （画外音：好机会哦。要想想这第二项为什么不能整体用洛必达法则求极限。但是，不知道f(0)是否为零，必须对后一因子用洛必达法则求极限。）f"(x)在原点两侧反号，（0，f(0)）是函数图形的拐点。 对于分段单调的连续函数来说，相邻的两个极值点不能同为极大（或同为极小）。否则，函数先增后减形成极大。在相邻的两个极大点之间，会出现由单减变为单增的变化。变化的分界点又是一个极值点。与“相邻”的条件矛盾。 例75如果函数二阶可导，则相邻的两个极值点之间一定至少有一个拐点。 实际上，设极值点为x1，x2，且x1＜x2，则f′(x1)=f′(x2)=0 要是二阶导数在（x1，x2）内不变号，则一阶导数单调。无论单增或单减，f′(x2)=0都是不可能的。矛盾。 （2）连续函数的零点 运用单调性可以在理论上给出函数的零点个数及各自所在的区间。 讨论连续函数的零点（方程的根的讨论归结为讨论函数的零点。），先要求导，利用导数确定函数的单调区间。每个单调区间上，函数最多只有一个零点。有没有零点，用介值定理判断。 例76常数a≠0，方程x=lnax在 （A）a＜0时没有实根。（B）0＜a＜e时有一实根。（C）a=e时有三个实根。（D）a＞e时有两个实根。分析有三个选择涉及a＞0，就先设a＞0；作F=x －lnax，定义域为x＞0 Fˊ（x）=1－1∕x，有唯一驻点，函数分两段单调。且显然F"（x）＞0，F（1）是极小也是最小。（画外音：类似于抛物线零点讨论。赶快求两侧极限。） x趋于0+时，limF=+∞；x趋于+∞时，limF=+∞（潜台词：“开口”向上。） F（1）=1－lna的符号决定了答案。应该选（D）。 考研数学讲座（17）论证不能凭感觉 一元微分学概念众多，非常讲究条件。讨论问题时，要努力从概念出发，积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。绝不能凭感觉凭想象就下结论。 1.x趋于∞时，求极限limxsin（2x∕(x平方+1),你敢不敢作等价无穷小替换? 分析只凭感觉，多半不敢。依据定义与规则，能换就换。 x趋于∞时，α=2x∕(x平方+1)是无穷小，sinα是无穷小， sinα（x）~α（x）且sinα处于“因式”地位。可以换。 等价无穷小替换后，有理分式求极限，是“化零项法”处理的标准∞∕∞型，答案为2 2.设f(x)可导，若f(x)是奇（偶）函数（周期函数，单调函数，有界函数），它的导函数 fˊ(x)有什么样的奇偶性（周期性，单调性，有界性）？ 分析有定义数学式的概念，一定要先写出其定义式。简单一点也行。比如 奇函数f(-x)=-f(x)周期为T的函数f(x+T)=f(x) 等式两端分别求导，得fˊ(-x)=fˊ(x)fˊ(x+T)=fˊ(x) （实际上，由复合函数求导法则，（f(-x)）ˊ=fˊ(-x)(-x)ˊ=-fˊ(-x)） 所以，奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。（如果高阶可导，还可以逐阶说下去。）周期函数的导数也是周期函数。很有趣的是，因为(x)ˊ=1，有的非周期函数，比如y=x+sinx，的导数却是周期函数。 （潜台词：周期函数的原函数不一定是周期函数。） 单调函数定义中没有等式的概念，可以先在基本初等函数中举例观察。 如y=x单增，yˊ=1不是单调函数。y=sinx在（0，π/2）单增，yˊ=conx 单减，没有确定的结论。 有界性讨论相对较为困难。如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。即切线倾角的正切。就可以想到，在x趋于x0 时，要是导数值无限增大，相应的图形切线就趋向于与x轴垂直。显然，圆周上就有具竖直切线的点。 取y=√（1-x的平方），它在[0，1]有界，但是x趋于1时，其导数的绝对值趋于正无穷。 这个反例说明有界函数的导数不一定有界。 （画外音：写出来很吓人啊。x→1时，limf(x)=0，而limfˊ(x)=-∞） 3.连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数的复合函数就一定间断吗？ 分析 连续函数的复合，花样更多。原因在于复合函数f （g（x））的定义域，是f（x）的定义域与g（x）值域的交。有“病”的点可能恰好不在“交”内。因而，有间断点的函数的复合函数不一定间断。比如： 取分段函数g（x）为，x>0时g=1，x≤0时g=-1，0是其间断点。 取f（u）=√u，则f（g（x））=1在x>0时有定义且连续。 还有一些原因让“病态点”消失。 如果只图简单，你可以取f（u）为常函数。以不变应万变。 取f（u）=u的平方，则f（g（x））=1，显然是个连续函数。 4.设f(x)可导，若x趋于+∞时，limf(x)=+∞,是否必有limfˊ(x)=+∞ 分析稍为一想，就知为否。例如y=x 更复杂但颇为有趣的是y=lnx，x趋于+∞时，它是无穷大。但是yˊ=1∕x趋于0 ，这就是对数函数异常缓慢增长的原因。 5.设f(x)可导，若x趋于+∞时，limfˊ(x)=+∞,是否必有limf(x)=+∞ 分析用导数研究函数，这是微积分的正道。首先要体念极限（见指导（3）。）： 因为limfˊ(x)=+∞，所以当x充分大时，不仿设x>x0时，总有fˊ(x)>1 用拉格朗日公式给函数一个新的表达式f(x)=f(x0)+fˊ(ξ)(x-x0),x0<ξ＜x (潜台词:ξ=ξ(x)。你有这种描述意识吗？) 进而就有,x>x0时,f(x)>f(x0)+1(x-x0)（画外音：这一步是高级动作。） 因为f(x0)是个常数，x0是我们选择的定点，所以上式表明，必有limf(x)=+∞ 6。设f(x)可导，若x趋于-∞时，limfˊ(x)=-∞,是否必有limf(x)= -∞ 分析否。你如果与上述问题5对比，认为情形相仿，结论必有。那就太想当然了。 请你还是老老实实地象5中那样写出推理吧。结论是 若x趋于-∞时，limfˊ(x)=-∞,则必有limf(x)=+∞7.设f(x)可导，若x趋于+∞时，limf(x)=c（常数，）是否必有limfˊ(x)= 分析否。limfˊ(x)有可能不存在。 这是最容易凭感觉想当然的一个题目。我读本科时，最初的想法就是，“limf(x)=c 表示函数图形有水平渐近线，函数又可导，当然在 x趋于+∞时，切线就趋于水平了。” 想当然的原因之一是我们见识太少，脑子里的函数都较简单，图形很光滑漂亮。之二则是对于渐近线的初等理解有惯性。 由极限定义的水平渐近线，并不在乎曲线中途是否与其相交。比如， 曲线可以以渐近线为轴震荡，最终造成limfˊ(x)不存在的后果。 对比条件强化——如果limfˊ(x)存在，则必有limf ˊ(x)=0 用反证法证明。且不仿设x趋于+∞时limfˊ(x)=A>0 与前述5中同样，可以选定充分大的正数x0，使x>x0时，总有fˊ(x)>A/2 ，然后用拉格朗日公式给函数一个新的表达式，导数条件管住ξ，从而有 f(x)>f(x0)+A(x-x0)/2—→+∞矛盾。 8.函数在一点可导，且导数大于0，能说函数在这一点单增吗？ 分析 不能。函数的单调性是宏观特征，背景是区间。函数在一点可导，且导数大于0，其间所蕴含的信息只能通过可导的定义去挖掘。即先把条件还原成定义算式，即 x趋于x0时，lim(f(x)-f（x0））/（x-x0）>0 如果没有别的条件，下一步就试试体念符号。即在x0邻近，分子分母同号。进而在其右侧邻近，分子分母皆为正，f (x)>f（x0）。但是，我们不知道函数值相互间的大小。 *9设f(x)可导，若fˊ(a)·fˊ(b)<0，则（a，b）内必有点c，fˊ(c)=0 分析对。尽管可导函数的导函数不一定连续。但是，导函数天然地满足介值定理。这个结论在微积分中叫“达布定理”。 在本篇问题8中，我们讲了“一点导数大于0”的逻辑推理。现在不仿设fˊ(a)>0而fˊ(b)<0 分别在a，b两点处写出导数定义式，体念极限符号，（本篇问题8。）可以综合得到结论： 函数的端值f(a)，f(b)都不是f(x)在[a，b]上的最大值。 最大值只能在（a，b）内一点实现，该点处导数为0 好啊，多少意外有趣事，尽在身边素材中。要的是脚踏实地，切忌空想。 考研数学讲座（18）泰勒公式级数连 中值定理是应用函数的导数研究函数变化特点的桥梁。中值定理运用函数在选定的中心点x0的函数值、导数值以及可能的高阶导数值，把函数表示为一个多项式加尾项的形式。再利用已知导函数的性质来处理尾项，对函数做进一步讨论。 中值定理的公式（可微分条件，有限增量公式，泰勒公式,……）都是描述型的数学公式。 描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。公式中的“点ξ” 理解为客观存在的点。在选定的中心点x0，函数的已知信息越丰富，相应的泰勒多项式与函数越贴近。 1.“微分是个新起点”——若函数f（x）在点x0可微， Δy=f′(x0)Δx+ο(Δx)；其中，ο(Δx)表示“比Δx高阶的无穷小。” 则函数实际上就有了一个新的（微局部的）表达式：f（x）=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+ο(Δx)（ο(Δx) 尾项，比Δx高阶的无穷小） （潜台词：只有|Δx|充分小，“高阶无穷小”余项才有意义。） 历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。 2.拉格郎日公式——若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则（a，b）内至少有一点ξ，使得f(b)-f(a)=f′(ξ)（b-a） 定理说的是区间，应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个（子）区间。 比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，（任给一点，相对不变。）也可以有 f(x)-f(x0)=f′(ξ)（x-x0），ξ在x与x0之间， （潜台词：任意一点x，对应着一个客观存在的“点ξ”，ξ=ξ（x）） 即f（x）=f（x0）+f′(ξ)（x--x0），ξ在x与x0之间， 3.泰勒公式——如果函数在点x0邻近有二阶导数 f（x）=f（x0）+f′(x0)（x-x0）+（f″(ξ)/2）（x-x0)2，ξ 在x与x0之间 式中的尾项叫拉格郎日尾项。有时也把ξ表示为x0+θ(x-x0)，0<θ＜1 一般情况下，我们无法知道ξ= ξ（x）的结构、连续性等，只能依靠已知导函数的性质来限定尾项，实现应用目的。 如果函数在点x0二阶可导，我们可以用高阶无穷小尾项（皮阿诺余项） f（x）=f（x0）+f′(x0)（x-x0）+（f″(x0)/2）（x-x0）2+ο（|Δx|2） 泰勒系数——如果在点x0邻近f（x）n+1阶可导，则有泰勒系数 f（x0），f′(x0)，f″(x0)/2！，f′″(x0)/3！，……可以写出，f（x）=n次泰勒多项式+拉格朗日尾项4.泰勒级数——如果在点x0邻近f（x）无穷阶可导，不妨就取x0=0 ，则利用泰勒系数可以写出一个幂级数 f（x）=f（0）+f′(0)x+（f″(0)/2）x2+（f′″(0)/ 3！）x3+…… 这个幂级数的和函数是否就是f（x）呢？不一定！（画外音：太诡异了，f（x）产生了泰勒系数列，由此泰勒系数列生成一个幂级数，它的和函数却不一定是 f（x）。就象鸡下的蛋，蛋孵出的却不一定是鸡。）关键在余项。当且仅当n→∞时，泰勒公式尾项的极限为0，f（x）一定是它的泰勒系数列生成的幂级数的和函数。称为 f（x）的泰勒展开式。 验证这个条件是否成立，往往十分困难。故通常利用五个常用函数的泰勒展开式，依靠唯一性定理，用间接法求某些别的函数的泰勒展开式。 美国的学生特别轻松，他们的大学数学教材很有创意，早在极限部分就要他们当成定义记住指数函数与正弦函数的泰勒展开式。 exp（x）=1+x+x2/2！+x3/3！+…… -∞ sinx=x-x3/3！+…… -∞ 一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-极限知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。 模块二 极限 1、设221,0 ()0,01,0x x f x x x x ?->? ==??+ （3） () 22311lim arcsin 121x x x x x →∞++++ （4）30 tan sin lim sin x x x x →- （5）2 10lim ln cos x x e e x +→- （6）() tan sin 3 0lim ln 1x x x e e x →-- （7 ）1x →（8 ）021ln 1x x x →+ ? -?? 7、求下列极限 （1）0lim sin x x x e e x -→- （2）() 20ln 1lim sec cos x x x x →+- （3）()02sin 22lim arcsin ln 16x x x x x →-?? + ??? （4）0ln cos lim arctan x x x x x →- （5 ）0 x x → （6）0 1 1lim cot sin x x x x →??- ??? （7）2 10 lim x x xe → （8）2 1lim(ln(1))x x x x →∞ -+ 8、求下列极限 （1）( ) 1 lim x x x x e →+ （2）0 )x x π +→ （3）tan 24 lim(tan ) x x x π → （4）222lim 12x x x x x →∞??+ ?-+?? （5） ( ) 1lim x x x x e →+∞ + （6 ）tan 0lim x x +→ 9 、设)12n x x n ==≥，求lim n n x →∞ . 高等数学公式篇 ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 导数公式： 基本积分 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222????+-+--=-+++++=+-= ==-C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n ln 22)ln(221 cos sin 22222 2222222 22 2 22 2 π π 2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数三） 一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()b a M xf x dx =?， 01 [()()]2b a N b f x dx a f x dx =+??，则必有（ ） （A ）M N ≥；（B ）M N ≤；（C ）M N =；（D ）2M N =； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导，函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为（ ） (A) (B) (C) (D) (3)设有下列命题： ①若2121 ()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1 n n u ∞=∑收敛； ②若1 n n u ∞=∑收敛，则10001 n n u ∞ +=∑收敛； ③若1 lim 1n n n u u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散； ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑，1n n v ∞ =∑收敛 正确的是（ ） （A ）①②（B ）②③（C ）③④（D ）①④ (4)设22 0ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==-；（B ）0,2a b ==-；（C ）50,2 a b ==-；（D ）1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ） T A x b =，对任何12(,,)T n b b b b =L （A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解； （C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解 (6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，则行列式1020 T A B -?? -? ??? 的值为 （A ）1 (2)n A B --； （B ）2T A B -； （C ）12A B --； （D ）1 2(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X L 为来自X 的样本，X 为样本均值，则（ ） （A ）22 11()~(1)1n i i X X n n χ=---∑； （B ）221 1(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑； （C ）22 12()~()2n i i X n χ=-∑； （D ）221 ()~()2n i i X X n χ=-∑； (8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ，若概率1 ()2 P aX bY μ-<=则（ ） （A ）11,22a b ==；（B ）11,22a b ==-；（C ）11,22a b =-=；（D ）11 ,22 a b =-=-； 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。 考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A 2019最新考研数学模拟试题（含答案） 学校：__________ 考号：__________ 一、解答题 1． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m 和6m ，高为20m ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力． 解：如图20，建立坐标系，直线AB 的方程为 y =-x 10 +5． 压力元素为 d F =x ·2y d x =2x ??? ?-x 10+5d x 所求压力为 F =??0202x ????-x 10+5d x =? ???5x 2-115x 3200 =1467(吨) =14388(KN) 2．证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5). 证明：略 3．一点沿对数螺线e a r ?=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解： d d d e e .d d d a a r r a a t t ???ωω?=?=??= 4．一点沿曲线2cos r a ?=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率. 解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ???? ?=?==? d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2 cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a t t ???ωω????ωω??=?=??-?=-=?=?= （20） 5．椭圆22 169400x y +=上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？ 解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得 d d 32180d d x y x y t t ? +?= 由d d d d x y t t -=. 得 161832,9y x y x == 代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=± 即所求点为1616,3,3,33????-- ? ???? ?. 6．设总收入和总成本分别由以下两式给出： 2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+ 其中q 为产量，0≤q ≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？ 解：(1) 边际成本为： ()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+= (2) 利润函数为 2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q =-=--'=- 令()0L q '=,得650q = 即为获得最大利润时的产量. (3) 盈亏平衡时： R (q )=C (q ) 即 3.9q －0.003q 2－300=0 q 2－1300q +100000=0 解得q =1218(舍去)，q =82. 7．已知函数()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0f a f b ==，试证：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使得 ()()0, (,)f f a b ξξξ'+=∈. 证明：令()()e ,x F x f x =?()F x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(,)a b ξ?∈，使得()0 F ξ'= ，即()e ()e f f ξξξξ'+=,即()()0, (,).f f a b ξξξ'+=∈ 8．求下列曲线的拐点： 23(1) ,3;x t y t t ==+ 考研高数辅导：高等数学的比重 考生已经进入了复习准备，考生首要了解的就是自己考试的专业、学校和考试科目等等。为了让考生尽快的了解自己的优缺点，尽快对考研数学有多了解，帮助自己选择专业院校，这里就高等数学在历年考研数学中的比重来做一个简要的分析。 提到高等数学很多考生有或多或少的想起一些事情来，比如有的考生会说“大一大二时哪块知识点没有学好，没有学会”、“哪里掌握的还好”、“线代还好” 等等。可谓是有的头痛有的欢喜，但头痛的考生也不要气馁，因为这里有跨考教育，可以帮助你达标过线，甚至将“劣势”转为“优势”。那我们先看看高等数学在考研数学中的比重。考研数学按照难易程度分为数学一、数学二和数学三，其中数学一考查内容最多，相比于数学二和数学三较难，数学二在积分计算中注重考查积分的物理应用，而数学三则侧重于经济方面的应用，数学一和数学三的考试内容包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计，考试分数分配比为高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。数学二的考试内容有高等数学和线性代数，没有概率论与数理统计，分数比例为高等数学占78%，线性代数占22%。上述分数比例均是通过统计历年真题得到的大致比例，实际上，由于高等数学与线代和概率论之间的关联，使得高等数学的比例达到80%左右，可见它有多重要，自然高等数学也成了广大考生复习的重要学科，投入更多的复习时间。 今年的考研数学试题仍不改往年的传统，高等数学的占到了80%以上，数学一中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、曲面的切平面方程、傅里叶级数、曲线积分、数列极限、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、隐函数求导、参数方程求导、反常积分、变上限函数求积分、幂级数的和函数、多元函数的极值、微分中值定理的应用、求曲面的方程以及立体的形心等。数学二中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、数列极限、函数极限、函数的连续性、反常积分的收敛性、多元函数的偏导数计算、二重积分的计算、反函数求导、定积分的应用(平面图形的面积及旋转体的体积)、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、微分中值定理的应用、多元函数的极值、导数的应用(求函数的最值)、弧长积分及平面图形的形心。数三中有无穷小的比较、函数间断点的判断、二重积分的计算、级数收敛性的判断、数列极限、多元函数偏导数的计算、反常积分的计算、二阶常系数齐次线性微分方程通解、定积分的应用(旋转体的体积)、导数的应用(与经济学相关的应用题)、微分中值定理的应用。 在高等数学的题目中数学一、数学二、数学三中虽然有重复的，但是题目的难度不一样，侧重点也有所不同，除了要很好的掌握知识点意外还要具有一定的计算能力，不要会做算不 生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。 －－泰戈尔 数学公式 导数公式： 基本积分表： 等价无穷小量代换 ()时，有：当0→x ? x x ~sin x x ~tan x x ~arcsin x x ~arctan a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='2 22211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='??????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222? ? ? ??++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 222222222222222222 222 020ππ 考研数学二模拟题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）当0x →时，设2 arctan x α=，11(0)a x a β=(+)-≠，2 arcsin x tdt γ=? ，把三个无 穷小按阶的高低由低到高排列起来，正确的顺序是（ ） （A ）,,αβγ；（B ）,,βγα；（C ）,,βαγ；（D ）,,γβα； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0) (0,)-∞+∞内可导，函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为（ ） (A) (B) (C) (D) (3)若()f x 是奇函数，()x ?是偶函数，则[()]f x ?（ ） （A ）必是奇函数 （B ）必是偶函数 （C ）是非奇非偶函数 （D ）可能是奇函数也可能是偶函数 (4)设220ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==- ；（B ）0,2a b ==-；（C ）5 0,2 a b ==-；（D ）1,2a b ==- (5)下列说法中正确的是（ ） （A ）无界函数与无穷大的乘积必为无穷大； （B ）无界函数与无穷小的乘积必为无穷小； （C ）有界函数与无穷大之和必为无穷大； （D ）无界函数与无界函数的乘积必无解； (6)设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶线性非齐次方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 123,,C C C 为任意常数，则该方程的通解是（ ） （A ）112333C y C y C y ++； （B ）1123123()C y C y C C y +++； （C ）1123123(1)C y C y C C y +---；（D ）1123123(1)C y C y C C y ++--； (7)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）T A x b =，对任何12(,, )T n b b b b = （A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解； （C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解 考研高数精华知识点总结：极限的运算 高等数学是考研数学考试中容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由海洋教授、鑫教授、卢营教授、王洋教授、武金教授、释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的 辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，海洋、鑫教授、方浩教授、卢营教授、浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程。在凯程官方的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元少华，2012年状元马佳伟，2011年状元玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。 考研数学三模拟题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()b a M xf x dx =?， 01[()()]2b a N b f x dx a f x dx =+??(中间的加号改成减号)，则必有（ ） （A ）M N ≥；（B ）M N ≤；（C ）M N =；（D ）2M N =； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导，函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为（ ） (A) (B) (C) (D) (3)设有下列命题： ①若 21 21 ()n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞=∑收敛； ②若1 n n u ∞=∑收敛，则10001 n n u ∞ +=∑收敛； ③若1 lim 1n n n u u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散； ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑，1n n v ∞ =∑收敛 正确的是（ ） （A ）①②（B ）②③（C ）③④（D ）①④ (4)设220ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==- ；（B ）0,2a b ==-；（C ）5 0,2 a b ==-；（D ）1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）T A x b =， 对任何12(,,)T n b b b b =L （A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解； （C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解 (6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，则行列式1020 T A B -?? -? ??? 的值为 （A ）1 (2)n A B --； （B ）2T A B -； （ C ）12A B --； （ D ）1 2(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X L 为来自X 的样本，X 为样本均值，则（ ） 考研高等数学复习方法指导 考研高等数学复习方法指导 下面简单谈谈如何复习考研数学中的高等数学部分。 首先考生们要明确的是考研数学主要是考根底，包括基本概念、基本理论、基本运算等，假如概念、基本运算不太清晰，运算不太 纯熟那你肯定是考不好的。高数的根底应着重放在极限、导数、不 定积分、当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多 元函数、微分、线面积分等内容，这些内容可以看成那三部分内容 的联系和应用。另一部分考查的是简朴的分析综合能力。因为现在 高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识 点的综合。如果能够围绕着这几个方面进行有针对性地复习，取得 高分也就不再是难事了。 在复习过程中考生们要注意以下几点： 第一：要明确考试重点，充分把握重点。比如高数第一章的不定式的极限，我们要充分把握求不定式极限的各种方法，比如利用极 限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重 点内容;对函数的连续性的探讨也是考试的重点，这要求我们需要充 分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。 第三：关于积分部分。定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型。而且求积分的过程中，特别要留意积分的对称性，利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。二重积分的计算，当然数学一里面还包括了三重积分，这里面每年 都要考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。 第四：一阶微分方程，还有无穷级数，无穷级数的求和等。 (1)强调学习而不是复习 (2)复习顺序的选择问题 对于考研数学，建议先高等数学再线性代数再概率论与数理统计。高等数学是线性代数和概率论与数理统计的基础，一定要先学习。 我们并不主张三门课齐头并进，毕竟三门课有所区别，要学一门就 先学精了再继续推进，做成“夹生饭”会让你有种骑虎难下的感觉，到时你反而会耗费更多的时间去收拾烂摊子。同学们也可根据自己 的特殊情况调整复习顺序。 (3)注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握 (4)加强练习，重视总结、归纳解题思路、方法和技巧 数学考试的所有任务就是解题，而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。试题千变万化，但其知识结 构却基本相同，题型也相对固定，一般存在相应的解题规律。通过 大量的训练可以切实提高数学的.解题能力，做到面对任何试题都能 有条不紊地分析和计算。 (5)不要依赖答案 学习的过程中一定要力求全部理解和掌握知识点，做题的过程中先不要看答案，如果题目确实做不出来，可以先看答案，看明白之 后再抛弃答案自己把题目独立地做一遍。不要以为看明白了就会了，只有自己真正做一遍，印象才能深刻。 (6)强调积极主动地亲自参与，并整理出笔记 对于考研数学来说，做题是最关键的，考生必须保证一定的做题量!看书是获得理论知识，要想考场上考出好成绩，必须经过大量的 做题实践，只有经过大量的做题实践，才能熟练、自如的应用理论 知识。做题有很多好处的：一是通过做题来准确理解、把握基本概念、公式、结论的内涵和外延，并逐渐掌握它们的使用方法。单纯 的看书，许多概念是无法掌握其精髓的，也不知道在什么情况下使用，如何使用。试卷上不需要考生默写某个概念或公式，而是用这 些概念或公式解决问题，这种灵活运用公式的能力只有也只能通过 做题来获得，所以考生必须做一定数目的题目。二是题目做的多了， 全国硕士研究生统一入学考试 数学公式大全 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学公式篇·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研高数辅导：高等数学的比重 考生已经进入了复习准备，考生首要了解的就是自己考试的专业、学校和考试科目等等。为了让考生尽快的了解自己的优缺点，尽快对考研数学有多了解，帮助自己选择专业院校，这里就高等数学在历年考研数学中的比重来做一个简要的分析。 提到高等数学很多考生有或多或少的想起一些事情来，比如有的考生会说“大一大二时哪块知识点没有学好，没有学会”、“哪里掌握的还好”、“线代还好” 等等。可谓是有的头痛有的欢喜，但头痛的考生也不要气馁，因为这里有跨考教育，可以帮助你达标过线，甚至将“劣势”转为“优势”。那我们先看看高等数学在考研数学中的比重。考研数学按照难易程度分为数学一、数学二和数学三，其中数学一考查内容最多，相比于数学二和数学三较难，数学二在积分计算中注重考查积分的物理应用，而数学三则侧重于经济方面的应用，数学一和数学三的考试内容包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计，考试分数分配比为高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。数学二的考试内容有高等数学和线性代数，没有概率论与数理统计，分数比例为高等数学占78%，线性代数占22%。上述分数比例均是通过统计历年真题得到的大致比例，实际上，由于高等数学与线代和概率论之间的关联，使得高等数学的比例达到80%左右，可见它有多重要，自然高等数学也成了广大考生复习的重要学科，投入更多的复习时间。 今年的考研数学试题仍不改往年的传统，高等数学的占到了80%以上，数学一中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、曲面的切平面方程、傅里叶级数、曲线积分、数列极限、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、隐函数求导、参数方程求导、反常积分、变上限函数求积分、幂级数的和函数、多元函数的极值、微分中值定理的应用、求曲面的方程以及立体的形心等。数学二中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、数列极限、函数极限、函数的连续性、反常积分的收敛性、多元函数的偏导数计算、二重积分的计算、反函数求导、定积分的应用(平面图形的面积及旋转体的体积)、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、微分中值定理的应用、多元函数的极值、导数的应用(求函数的最值)、弧长积分及平面图形的形心。数三中有无穷小的比较、函数间断点的判断、二重积分的计算、级数收敛性的判断、数列极 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！ 目录 一、函数与极限 ········································································错误!未定义书签。 1、集合的概念····································································错误!未定义书签。 2、常量与变量····································································错误!未定义书签。 2、函数·············································································错误!未定义书签。 3、函数的简单性态······························································错误!未定义书签。 4、反函数··········································································错误!未定义书签。 5、复合函数·······································································错误!未定义书签。 6、初等函数·······································································错误!未定义书签。 7、双曲函数及反双曲函数·····················································错误!未定义书签。 8、数列的极限····································································错误!未定义书签。 9、函数的极限····································································错误!未定义书签。 10、函数极限的运算规则 ······················································错误!未定义书签。 高等数学公式篇 导数公式： 基本积分表： C kx dx k +=? )1a (,C x 1 a 1 dx x 1a a -≠++=+? C x ln dx x 1+=? C e dx e x x +=? C a ln a dx a x x +=?(1a ,0a ≠>) C x cos xdx sin +-=? C x sin dx x cos +=? C x arctan dx x 11 2+=+? C a x arcsin x a dx C x a x a ln a 21x a dx C a x a x ln a 21a x dx C a x arctan a 1x a dx C x cot x csc ln xdx csc C x tan x sec ln xdx sec C x sin ln xdx cot C x cos ln xdx tan 2 2222222+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=???????? ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C )a x x ln(a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a ln a dx a C x csc xdx cot x csc C x sec dx x tan x sec C x cot xdx csc x sin dx C x tan xdx sec x cos dx 222 2x x 2 22 2 a ln x 1)x (log a ln a )a (x cot x csc )x (csc x tan x sec )x (sec x csc )x (cot x sec )x (tan x cos )x (sin aX )X (0)C (a x x 2 21a a = '='?-='?='-='='='='='-2 2 22 x x x 11 )x cot arc (x 11 )x (arctan x 11 )x (arccos x 11 )x (arcsin x 1 )x (ln e )e (x sin )x (cos +- ='+= '-- ='-= '= '='-='考研数学高数习题—极限
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