(sin (tan (cot x )
x )
x )
cos x
sec 2 x
(ln x )
x
(arcsin x )
1
(sec x ) (csc x ) ( a x )
csc
sec x
2 x
tan x
1
(arccos x )
x
1
2
1 x 2
a x
a x )
csc x
ln a
1
x ln a
cot x
(arctan x )
1
1 x 2
1
(log ( arc cot x )
1 x 2
kdx kx C x a dx
1
1 dx x ln x C e x d x
a
e x
1
x a 1 C, (a 1)
C
a x dx a x
ln a
C ( a 0, a 1) sin xdx cosx C
cosxdx sin x C
1 tanxdx ln cosx C 1
x 2
dx
dx arctanx C
sec2 xdx tan x C
cot xdx ln sin x C secxdx ln secx tan x C cos2 x
dx
sin 2 x
csc2 xdx cot x C
cscxdx
dx ln cscx cot x C secx tanxdx secx C
cscx cot xdx cscx C
a 2 x 2 1 arctan a
dx x
a
a
a
x
x
C
a x dx
x 2 a 2
1
ln
x
2a x
1
ln
a
C
shxdx
a x
ln a
chx
C
C
dx
a2 x 2
dx 2a a
C
a2 x 2 arcsin
x
a
C
chxdx
dx
x 2
shx C
a 2
ln(x 2
x 2 a ) C
导数公式：
基本积分表：
高等数学公式篇
( C ) 0 (cos x )
( e x ) e x
sin x
( X a ) aX a 1 1
x
a cos x bsin x dx Ax
B ln c cos x
d sin x C
c cos x
d sin x
其中， a cos x
b sin x A (
c cos x
d sin x) B(c cos x d sin x )
Ac
Bd a
Ad Bc b
A ,B
三角函数的有理式积分：
2u
1 u 2
x
2du sin x
1 u 2
，
cos x 1 u 2
， u tan ， dx 2
1 u 2
一些初等函数：
两个重要极限：
双曲正弦 : shx
e e lim sin x 1 2 e x e x x 0
x 1 x
双曲余弦
双曲正切 : chx
: thx
2
shx e x e x
chx e x e x
lim (1 ) x
x
e 2.718281828459045... arshx archx
arthx ln( x ln( x
1 ln 1 x
2 1） x 2 1)
x
2 1 x
三角函数公式： ·诱导公式：
函数 sin
cos
tan
cot
角 A
-α
-sin α cos α -tan α -cot α
90 °-α cos α sin α cot α tan α 90 °+α cos α -sin α -cot α -tan α 180 °-α sin α -cos α -tan α -cot α 180 °+α -sin α -cos α tan α cot α 270 °-α -cos α -sin α cot α tan α 270 °+α -cos α sin α -cot α -tan α 360 °-α -sin α cos α -tan α -cot α 360 °+α
sin α cos α tan α cot α
x
n
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin( cos(
) ) sin cos cos cos cos sin sin sin
sin sin 2 s in
2 cos
2
tan(
) tan 1 tan tan tan
sin sin 2 cos
2 sin
2
cot(
·倍角公式：
)
cot cot
cot 1
cot
cos cos
cos cos
2 c os 2 2 sin
2
cos 2 sin
2
sin 2 cos2
2sin 2cos cos 1 1 2sin
cos
sin
sin 3
3 s in 3
4 sin 3
cot 2
tan 2
cot
2 1
2 cot 2 tan
2
cos3 tan3
4 cos 3 tan
1 3 c os 3
tan
3 tan 2
1 tan
·半角公式：
sin
1 2 tan
1
2
1 cos
2 cos cos
1 cos sin
sin 1 cos
cos
2
cot
2
1 cos
2
1 cos 1 cos
1 cos sin
sin 1 cos
·正弦定理：
a sin A
b sin B c
2R
sin C ·余弦定理：
c 2
a 2
b 2
2 a b cosC
·反三角函数性质：
arcsin x
arccos x
2
arctan x
arc cot x 2
高阶导数公式——莱布尼兹（ Leibniz ）公式：
n
(uv)
( n)
C k u
( n k 0
k) v
( k )
u ( n )
v nu ( n 1) v
n(n 2!
1) u
( n
2)
v
n( n 1)
n
k k!
1) u
(n
k ) v ( k )
uv
(
n)
2
2
2
2
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f (b)
f (a)
f ( )( b a)
柯西中值定理： f (b) f (a)
f ( ) F (b) F (a)
F ( )
当F( x) 曲率：
x 时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。
弧微分公式： ds
1 y 2
dx,其中 y tg
平均曲率：K
.
: 从M 点到 M s
点，切线斜率的倾角变 化量； s ： MM 弧长。
M 点的曲率： K
lim d y .
直线： K 0;
s 0
s
ds
(1 y 2 )
3
半径为 a 的圆： K
1 . a
定积分的近似计算：
b
矩形法： a b
f ( x)
b a ( y y n
y n 1)
梯形法： a f ( x) b
b a [ n 1 ( y 0 2 y n ) y 1 y n 1] 抛物线法： f ( x) b a
[( y y n ) 2( y 2 y 4 y n 2 ) 4( y 1 y 3 y n 1)]
a
3n
定积分应用相关公式：
功： W
F s
水压力： F p A
引力： F
k m 1m 2
r 2 ,k 为引力系数
b
函数的平均值： y
1
b a a
f (x)dx
均方根：
b
1
b a a
f 2
(t )dt
空间解析几何和向量代数：
1
1
1
1
空间2点的距离： d
M 1M 2 (x 2
x ) 2
( y 2
y )2
( z 2
z )2
向量在轴上的投影： Pr j u AB AB cos , 是AB 与u 轴的夹角。
Pr j u (a 1 a 2) Pr ja 1 Pr ja 2
a b
a b cos a x b x
a y
b y a z b z ,是一个数量 ,
两向量之间的夹角：
cos
a x
b x 2
2
a x
a y a y
b y 2
a z a z
b z 2
2
2
b x b y b z
c a b
i j a x a y b x b y
k a z , c b z
a b sin
.例：线速度： v
w r .
向量的混合积：[ ab c]
代表平行六面体的体积
(a b ) c
。
a x a y a z
b x b y b z
c x c y c z
a b c
cos
, 为锐角时，
平面的方程：
1、点法式： A ( x x 0 ) B( y y 0 ) C( z z 0 ) 0，其中 n { A, B, C}, M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )
2、一般方程： Ax By Cz D 0
3、截距世方程： x a y z 1
b c
平面外任意一点到该平
面的距离： d
Ax 0 By 0 Cz 0 D
A
2
B
2
C 2
x x 0 mt
空间直线的方程： x x 0
m
y y 0 n z z 0 p
t , 其中 s { m, n, p}; 参数方程： y
y 0 nt
二次曲面： 1、椭球面： x
a
2 x
2
y
2 z
2 1
b 2
c 2
y 2 z z 0 pt
2、抛物面：
2p 3、双曲面：
x 2
z （, 2q
y 2
z 2
p, q 同号） 单叶双曲面： a 2 1
b 2
c 2
双叶双曲面： x
a
2 y 2
z
2
b
2 c
2
（1 马鞍面）
2
2
x
y
多元函数微分法及应用
全微分： dz
z dx x z dy y
du
u dx x u dy y u dz z
全微分的近似计算： 多元复合函数的求导法 z dz ： f x ( x, y) x f y (x, y) y z f [u(t ), v(t)]
dz dt
z f [u(x, y), v( x, y)]
z u
z v
u t v t
z z u z v
x
u x
v x 当u u( x, y)， v v( x, y)时， du
u
dx x
u dy y
dv
v
dx x v dy y
隐函数的求导公式： dy F
d 2
y
F
F dy 隐函数F( x, y) 0，
dx
F ，
dx 2 ( x )＋ ( x F y y x ) F y dx
隐函数F( x, y, z) 0，
z
x
F x ， F z
z
F y y
F z
隐函数方程组：
F (x, y ,u, v) 0
G(x, y,u, v) 0 J
( F ,G) (u,v)
F
F u v F u F v
G G G u G v
u
v
u 1 ( F,G) v 1 (F , G) x J
( x, v) x J (u, x) u 1 ( F,G) v 1 (F, G) y
J ( y,v)
y
J
(u, y)
微分法在几何上的应用：
x
空间曲线 y
z
(t ) (t )在点 M (x 0 (t)
, y 0 , z 0 )
处的切线方程： x x 0 (t 0)
y y 0 (t 0 ) z z 0
(t 0 ) 在点M 处的法平面方程：
(t 0 )( x x 0 ) (t 0 )( y y 0 ) (t 0)( z z 0 ) 0
若空间曲线方程为： F ( x , y, z) 0
F y ,则切向量 T {
F z F z , F x F x F y , } G( x, y, z) 0
G y G z G z G x G x G y
曲面F ( x, y, z) 0上一点 M ( x 0 , y 0 , z 0 )，则：
1
、过此点的法向量： n { F x (x 0 , y 0, z 0 ), F y ( x 0 , y 0, z 0 ), F z ( x 0 , y 0 , z 0)}
2、过此点的切平面方程 ： F x ( x 0 , y 0, z 0)( x x 0)
F y ( x 0 , y 0, z 0 )( y y 0 ) F z ( x 0 , y 0 , z 0 )( z z 0 ) 0
3
、过此点的法线方程： x x 0 y y 0 z z 0 F x ( x 0 , y 0 , z 0 )
F y ( x 0 , y 0 , z 0 )
F z (x 0, y 0, z 0 )
方向导数与梯度：
函数z 其中
f ( x, y)在一点p( x, y)沿任一方向
为x轴到方向l的转角。
l的方向导数为：
f
l
f
cos
x
f
sin
y
函数z f ( x, y)在一点p( x, y)的梯度：gradf ( x, y) f
i
f
j x y
f
它与方向导数的关系是：
l
单位向量。
grad f (x, y) e，其中e cos i sin j ，为l方向上的
f
是gradf (x, y)在l上的投影。l
多元函数的极值及其求法：
设f x ( x0 , y0 ) f y (x0, y0) 0，令：f xx(x0, y0 ) A, f xy(x0, y0) B, f yy(x0 , y0) C
AC B 2
A
0时，
A
0,( x0 , y0 )为极大值
0,( x0 , y0 )为极小值
则：AC B 20时，无极值AC B 20时, 不确定
重积分及其应用：
f ( x, y)dxdy f (r cos
D D
,r sin )rdrd
2 2
曲面z f ( x, y)的面积A 1
z z
D x y
x ( x, y)d dxdy
y ( x, y)d
平面薄片的重心：x M
x
M
D ,
( x, y) d
D
y
M y
D
M
D
( x, y)d
平面薄片的转动惯量：对于x轴I
x
y2 ( x, y)d ,
D 对于y轴I
y
x 2 ( x, y)d
D
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M (0,0, a), (a 0)的引力：F{ F x , F y , F z}，其中：
F x f
( x, y) xd
3
F y f
( x, y) yd
3
F z fa
( x, y) xd
3 D ( x2y2 a 2 ) 2D ( x2y 2 a 2 ) 2D ( x2y 2 a 2 ) 2
柱面坐标和球面坐标：
，，