导数公式：
基本积分表：
( C ) 0
( X a ) aX a 1
(sin x ) cos x
(tan x ) sec 2 x
(cot x ) csc 2 x
(sec x ) sec x tan x
(csc x ) csc x cot x
( a x ) a x ln a
(log a x )
1 x ln a
kdx kx C
1
ln x C
dx
x
a x dx a x C ( a 0, a 1)
ln a
cosxdx sin x C
tan xdx ln cosx C
cot xdx ln sin x C secxdx ln secx tan x C cscxdx ln cscx cot x C
高等数学公式篇
(cos x ) sin x
( e x ) e x
(ln x )
1
x
(arcsin x )
1
1 x 2
(arccos x )
1
1 x 2
(arctan x ) 1
x 2
1
( arc cot x )
1
1 x
2 x a dx
1
x a 1C, (a1)
a 1
e x dx e x C
sin xdx cosx C
1
1 x 2
dx
arctanx C
dx
x
sec2 xdx tan x C
cos2
dx
x
csc2 xdx cot x C
sin 2
secx tan xdx secx C
dx
a2 x 2 dx
x 2 a 2 dx
a2 x 2
dx
a2 x 2 1
arctan
x
C
a a
1 x a
2a
ln C
x a
1 a x
2a
ln C
a x
arcsin
x
C
a
cscx cot xdx cscx C
a x dx a x C
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln(x x 2a2 ) C
x 2 a 2
a cos x bsin x dx Ax B ln c cos x d sin x C
c cos x
d sin x
其中， a cos x b sin x A (c cos x d sin x) B(c cos x d sin x ) Ac Bd a Ad Bc b A ,B
三角函数的有理式积分：
2u 1 u 2 x 2du
sin x 1 u 2 ，cos x
1 u
2 ，u tan 2 ， dx 1 u 2
一些初等函数：
双曲正弦: shx e x e x
2
双曲余弦: chx e x e x
2
双曲正切: thx shx e x e chx e x e
arshx ln( x x 2 ）1
archx ln( x x2 1) arthx 1 ln 1 x
2 1 x
两个重要极限：
lim sin x 1
x 0 x
lim (1
1
) x e 2.718281828459045...
x x
x
x
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
sin cos tan cot
角 A
-α-sin α cos α-tan α -cot α
90 °-αcos αsin αcot αtan α
90 °+αcos α-sin α -cot α-tan α
180 °-αsin α-cos α -tan α-cot α
180 °+α-sin α-cos α tan αcotα
270 °-α-cos α-sin α cot αtan α
270 °+α-cos αsin α-cot α-tan α
360 °-α-sin αcos α-tan α-cot α
360 °+αsin αcos αtan αcotα
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin( ) sin cos
cos sin sin
sin
2sin
cos
cos( ) cos cos sin sin
2
2
tan(
) tan tan sin
sin 2 cos sin 1 tan tan
2
2
cos cos
2cos cos
cot cot
1
cot(
)
2
2 cot
cot
cos
cos
2 sin
sin
2
2
·倍角公式：
sin 2
2sin cos
4 sin 3
cos2
2
1 1 2sin 2
2
sin 2
sin 3
3sin
2cos
cos
4 cos 3
cot 2
cot
2
1
cos3
3cos
3
2 cot tan3
3 tan tan tan 2 2 tan
2
1 3 tan 2
1 tan
·半角公式：
sin
1 cos
cos
1 cos
2
2
2
2
tan
1 cos 1 cos
sin cot
1 cos
1 cos sin 1 cos
sin
1 cos
1 cos
sin
1 cos
2
2
·正弦定理：
a b
c 2R
·余弦定理：
c 2
a 2
b 2 2ab cosC
sin A sin B
sin C
·反三角函数性质：
arcsin x
arccos x
arctan x
2
arc cot x
2
高阶导数公式——莱布尼兹（
Leibniz ）公式：
(uv)( n)
n
C n k u ( n k) v ( k )
k 0
u ( n )v nu ( n 1) v
n(n 1) u ( n 2) v n(n 1)
(n
k 1) u (n k ) v ( k )
uv ( n)
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理： f (b) f (a) f ( )(b a)
柯西中值定理：
f (b)
f (a)
f ( )
F (b) F (a)
F ( )
当 F( x) x 时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式： ds 1 y 2 dx,其中 y tg
平均曲率：K
s .
: 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变 化量；
M 点的曲率： K lim
d
y .
s
ds
y 2 )3
s 0
(1
直线： K
0;
1
半径为 a 的圆： K .
a
定积分的近似计算：
b
b a
矩形法： f ( x)
y n 1 )
( y 0 y 1
a
n
b
b a [ 1 ( y 0
梯形法： f ( x) y n ) y 1
y n 1
]
a
n 2
b
b a
[( y 0
抛物线法： f ( x) y n ) 2( y 2 y 4
y n 2 ) 4( y 1 y 3
a
3n 定积分应用相关公式：
功：W F s
水压力： F p A
引力： F
k
m 1
m
2
,k 为引力系数
r 2
1
b
函数的平均值： y
f (x)dx
b a a
b
均方根： 1
f 2 (t )dt b a a
s ： MM 弧长。
y n 1 )]
空间解析几何和向量代数：
空间 2点的距离： d M 1M 2
(x 2 x 1) 2 ( y 2 y 1 )2 ( z 2 z 1 )2 向量在轴上的投影： Pr j u AB AB cos , 是 AB 与 u 轴的夹角。
Pr j u (a 1 a 2 ) Pr ja 1 Pr ja 2 a b a
b cos
a x
b x
a y
b y
a z
b z ,是一个数量 ,
两向量之间的夹角： cos
a x
b x a y b y a z b z
a x 2
a y 2 a z 2
b x 2 b y 2 b z 2
i j k
c a b
a x a y a z , c a
b sin .例：线速度： v
w r .
b x
b y
b z
a x a y a z
向量的混合积：[ ab c]
(a b ) c
b x b y b z a b
c cos , 为锐角时，
c x c y c z
代表平行六面体的体积 。
平面的方程：
1、点法式： A ( x x 0 ) B( y y 0 ) C(z z 0 ) 0，其中 n { A , B, C}, M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )
2、一般方程： Ax By Cz D 0
3、截距世方程：
x
y z 1
a b c
平面外任意一点到该平
Ax 0 By 0 Cz 0 D
面的距离： d
A
2
B
2
C
2
空间直线的方程：
x
x 0
y y 0 z z 0
x x 0 mt
t,其中 s { m, n, p}; 参数方程： y y 0 nt
m
n
p
z z 0 pt
二次曲面： 1、椭球面： x
2 y 2 z 2 1
a 2
b 2
c 2
、抛物面： x
2 y 2
（
同号）
2
2q z,
p, q
2p
3、双曲面：
单叶双曲面： x 2 y 2 z a 2 b 2 c 双叶双曲面： x
2
y 2
z a 2
b 2 c
2
2
2
2
1
（1马鞍面）
多元函数微分法及应用
全微分： dz
z
dx
z
dy
du
u
dx
u
dy
u
dz
x y
x y z
全微分的近似计算： z dz
f x ( x, y) x f y (x, y) y
多元复合函数的求导法 ：
z
f [u(t ), v(t)]
dz z dt
u
z
f [u(x, y), v( x, y)]
z x
当 u ，
时， u( x, y)
v v( x, y)
du
u dx u
dy
dv
x y
隐函数的求导公式：
隐函数 F ( x, y) ， dy
0 dx
隐函数 F ( x, y, z)
，
z
x
u
z v t v t z u z v u
x
v x
v
dx
v
dy
x
y
F x
， d 2 y
F x ＋
F x dy
F y dx 2 ( )
(
)
x F y y F y dx
F x
， z F y
F z y
F z
F (x, y,u, v) 0
(F ,G) F
F F u F v
隐函数方程组：
u v
G(x, y,u, v) 0 J
G G G u G v
(u,v)
u
v
u 1 (F,G) v 1 (F ,G) x J ( x, v) x J (u, x) u 1 (F,G) v 1 (F,G) y
J
( y,v)
y
J
(u, y)
微分法在几何上的应用：
x (t )
空间曲线 y
(t )在点 M (x 0 , y 0 , z 0 )处的切线方程： x x 0
y
y 0 z z 0
z
(t)
(t 0 ) (t 0 ) (t 0 )
在点 M 处的法平面方程：
(t 0 )( x x 0 )(t 0 )( y
y 0 ) (t 0 )( z z 0 ) 0
F ( x, y, z) 0
F y F
z
F z
F x F x
若空间曲线方程为：
,则切向量 T {
G y
,
,
G ( x, y, z) 0
G
z
G z
G x G x
曲面 F ( x, y, z) 0上一点 M ( x 0 , y 0 , z 0 )，则：
1、过此点的法向量： n
{ F x (x 0 , y 0 , z 0 ), F y ( x 0 , y 0 , z 0 ), F z ( x 0 , y 0 , z 0 )}
2、过此点的切平面方程 ： F x ( x 0 , y 0 , z 0 )( x x 0 ) F y ( x 0 , y 0 , z 0 )( y y 0 )
3、过此点的法线方程：
x x 0 y y 0 z z 0
F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) F z (x 0 , y 0 , z 0 )
F
y
}
G y
F z ( x 0 , y 0 , z 0
)( z
z 0 )
方向导数与梯度：
函数 z f ( x, y) 在一点
沿任一方向 的方向导数为：
f
f
f
p( x , y l
cos sin
x
y
其中 为 轴到方向 的转角。
x
l
函数 z f ( x, y) 在一点 的梯度：
gradf ( x, y) f
i f j
p( x, y)
x
y
它与方向导数的关系是 ：
f
，其中 e cos
i sin j ，为 方向上的
grad f (x, y) e
l
l
单位向量。
f
是 gradf (x, y)在l 上的投影。
l
多元函数的极值及其求法：
设 f x ( x 0 , y 0 ) f y (x 0 , y 0 ) 0，令： f xx (x 0 , y 0 ) A, f xy (x 0 , y 0 ) B, f yy (x 0 , y 0 ) C
AC B 2 0时，
A
0,( x 0 , y 0 )为极大值
A 0,( x 0 , y 0 )为极小值
则： AC B 2 0时，
无极 值 AC B 2 0时 ,
不确定
重积分及其应用：
f ( x, y)dxdy
f (r cos ,r sin )rdrd
D
D
曲面 z f ( x, y)的面积 A
M 平面薄片的重心： x
M
2
z 2
z
dxdy
1
D
x y
x ( x, y)d
M y y ( x, y)d
x
D
,
D
( x, y) d y
( x, y)d
M
D
D
平面薄片的转动惯量： 对于 x 轴 I x
y 2 ( x, y)d
,
对于 y 轴 I y
x 2 ( x, y)d
D
D
平面薄片（位于 xoy 平面）对 z 轴上质点 M (0,0, a), (a 0)的引力： F
{ F x , F y , F z }，其中：
F x f
( x, y) xd
，F y f
( x, y) yd
3，F z fa
( x, y) xd
3
3
D
( x 2
y
2
a 2 ) 2
D
( x 2
y
2
a 2 ) 2
D
( x 2
y
2
a 2 ) 2
柱面坐标和球面坐标：
x r cos
柱面坐标： y r sin , f ( x, y, z)dxdydz F (r , , z) rdrd dz, z z
其中： F (r , 球面坐标：,z) f (r cos , r sin , z)
x r sin cos
y r sin sin，dv rd r sin d dr r 2 sin drd d z r cos
, )r 2 sin 2 r ( , )
, )r 2 sin
f (x, y, z)dxdydz F ( r , drd d d d F (r , dr
0 0 0
1
x dv, y 1
y dv, z
1
z dv，其中 M x dv
重心： x
M M
M
转动惯量： I x ( y 2 z2 ) dv，I y ( x2 z2 ) dv，I z ( x2 y2 ) dv 曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
设 f (x, y)在 L上连续， L的参数方程为：x
(t) , ( t ), 则：y (t)
f (x, y)ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t)dt ( )
x t 特殊情况：
L y (t )
第二类曲线积分（对坐 标的曲线积分）： 设L 的参数方程为
x
(t)，则：
y
(t )
P( x, y)dx Q( x, y)dy
{ P[ (t ), (t )] (t ) Q[ (t ), (t)] (t )} dt
L
两类曲线积分之间的关 系：
Pdx Qdy
(P cos
Q cos
，其中 和 分别为
) ds
L
L
L 上积分起止点处切向量 的方向角。
格林公式：
Q
P
格林公式：
Q
P
Pdx Qdy
x
)dx dy
Pdx Qdy
)dx dy
D
y
L
D
x
y
L
当 P y,Q
x ，即：
Q
P 时，得到 D 的面积： A
1 xdy ydx x y
2 dx dy
D
2 L
平面上曲线积分与路径 无关的条件：
·
、 是一个单连通区域； 1 G
2、 P( x, y)， Q( x, y)在 G 内具有一阶连续偏导数 ，且 Q ＝ P
。注意奇点，如
(0,0)，应
x y
减去对此奇点的积分， 注意方向相反！
·二元函数的全微分求积 ：
在
Q
＝ P
时， Pdx Qdy 才是二元函数 u(x, y)的全微分，其中： x y
( x, y)
u(x, y)P( x, y) dx
，通常设
x 0
。
Q( x, y)dy
y 0 0
( x 0 , y 0 )
曲面积分：
对面积的曲面积分： f ( x, y, z) ds
f [ x, y, z(x, y)] 1 z x 2 ( x, y) z y 2 (x, y) dxdy
D
xy
对坐标的曲面积分：
，其中：
P(x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z) dxdy
R( x, y, z) dxdy
，取曲面的上侧时取正 号；
R[ x, y, z(x, y)]dxdy
D xy
P( x, y, z) dydz P[ x( y, z), y, z]dydz ，取曲面的前侧时取正 号；
D y z
Q( x, y, z)dzdx
Q[ x, y( z, x), z]dzdx ，取曲面的右侧时取正 号。
D
z x
两类曲面积分之间的关 系： Pdydz Qdzdx Rdxdy
(P cos Q cos Rcos )ds
高斯公式：
P Q R (
)dv Pdydz Qdzdx Rdxdy (P cos Q cos R cos ) ds
x
y
z
高斯公式的物理意义 — —通量与散度：
散度： div
P Q R
,即：单位体积内所产生
的流体质量，若 div
0,则为消失 ...
x
y z
通量： A n ds
A n ds
(P cos Q cos
R cos ) ds ，
因此，高斯公式又可写 成： div Adv
A n ds
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
(
R
Q
) dydz (
P
R
) dzdx (
Q P
) dxdy Pdx Qdy Rdz y
z
z
x
x
y
dydz dzdx dxdy cos
cos cos
上式左端又可写成：
x
y z x y
z
P
Q
R
P Q R
空间曲线积分与路径无 关的条件：
R
Q ， P
R ， Q P
y
z
z
x x
y
i j k 旋度： rotA
x
y z
P
Q
R
向量场 沿有向闭曲线 的环流量：
Pdx Qdy Rdz A t ds
A
常数项级数：
等比数列： q q 2
n 1
1 q n
1
q
1 q
等差数列： 2 3
(n 1)n
1
n 2
调和级数：
1
1 1
是发散的
1 2 3
n
级数审敛法：
、正项级数的审敛法 — —根植审敛法（柯西判 别法）：
1
时，级数收敛
1
设：
lim n u n ，则
时，级数发散
1
n
时，不确定
1
、比值审敛法： 2
时，级数收敛
U
n 1
，则
1
设： lim
时，级数发散
U n 1
n
时，不确定
1
、定义法：
3
s n u 1 u 2
u n ; lim s n 存在，则收敛；否则发 散。
n
交错级数 u 1 u 2 u 3 u 4 或
的审敛法 — —莱布尼兹定理：
(u 1 u 2 u 3 ,u n 0) 如果交错级数满足 u n u n 1
u 1 ,其余项 r n 的绝对值 r n u n 1。 lim u n ，那么级数收敛且其和 s
n
绝对收敛与条件收敛：
(1)u 1 u 2
u n ，其中 u n 为任意实数； (2) u 1 u 2
u 3
u n
如果 ( 2)收敛，则 (1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数；如果 ( 2)发散，而 (1)收敛，则称 (1)为条件收敛级数。 调和级数：
1
发散，而
( 1)n 收敛；
n
n
级数：
1
收敛；
n 2
p 级
数：
1 ｐ １时发散 n p
p 1时收敛
幂级数：
x 1时，收敛于
1
1 x x
2
x
3
x
n
1 x
x 1时，发散
对于级数 (3) a 0 a 1x a 2 x 2
a n x n ，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全
x
R 时收敛
数轴上都收敛，则必存 在 R ，使 x R 时发散 ，其中 R 称为收敛半径。
x R 时不定
1
0时， R
求收敛半径的方法：设 lim
a
n 1
，其中 a n ， a n 1是 (3)的系数，则
0时， R
n
a n
时，R 0
函数展开成幂级数：
函数展开成泰勒级数： f (x)
f ( x 0 )( x x 0 )
f ( x 0 )
( xx 0
)
2
f
( n)
( x 0 )
( x x 0
)
n
f ( n 1) ( ) ( x
2!
n!
余项： R n
x 0 )n 1 , f ( x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是： lim R n 0
(n 1)! n
x 0 0时即为麦克劳林公式： f (x) f (0)
f (0)x f (0) x 2
f (n ) (0) x n
2!
n!
一些函数展开成幂级数：
(1 x) m
1 mx m( m 1) x 2
m(m 1)
(m n 1) x n ( 1 x 1)
2!
n!
sin x x
x 3
x 5 ( 1)n 1
x 2 n 1
(
x
)
3!
5!
(2n 1)!
欧拉公式：
cosx e ix e ix
2 或
e cosx i sin x
e ix
e
sin x
2
ix
ix
三角级数：
f (t ) A 0
A n sin( n t
a 0
( a n cosnx b n sin nx)
n
)
n 1
2
n 1
其中， a 0 aA 0， a n A n sin n ， b n
A n cos n ， t x 。 正交性：
sin nx,cosnx 任意两个不同项的乘积 在 [ , ] 1,sin x, cos x, sin 2x,cos2x
上的积分＝ 0。
傅立叶级数：
a0
(a n cosnx b n sin nx)，周期
f (x)
2 n 1
a n 1
(n 0,1,2
f (x) cosnxdx
其中
1
b n (n 1,2,3
f ( x)sinnxdx
2 ) )
1 1 1
2 1 1 1
1
2
（相加）3252
11 1 224262
正弦级数： a n 余弦级数： b n
8 22 32 42
2 1 1 1
24
1
32 42
22
0， b n
2
f ( x) sin nxdx
0， a n
2
f ( x) cosnxdx
6
2
（相减）
12
n 1,2,3 f ( x) b n sin nx是奇函数
n 0,1,2 f ( x)
a0
a n cosnx是偶函
数
2
周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数：
f (x)
a 0
(a n cos
n
x b n sin
n x
)，周期 2l
2
n 1
l
l
a n 1 l
f ( x) cos
n x
dx (n 0,1,2 )
其中 l l l
1 l
f (x) sin
n x
dx
b n (n 1,2,3 )
l l l
微分方程的相关概念：
一阶微分方程： y f ( x, y) 或 P(x, y) dx Q(x, y) dy 0
可分离变量的微分方程 ：一阶微分方程可以化 为
的形式，解法： g ( y)dy f ( x)dx
g( y)dy f ( x) dx 得： G( y) F ( x) C 称为隐式通解。 齐次方程：一阶微分方 程可以写成
dy f ( x, y)
，即写成 y
的函数，解法：
dx ( x, y) x
设 u y ，则 dy
du ， u du ， dx du 分离变量，积分后将 y
代替 ， x u x
dx (u) x (u) u u
dx dx
x 即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
1、一阶线性微分方程：
dy
P( x) y Q (x)
dx
当 Q( x) 0时 ,为齐次方程， y
Ce P ( x) dx
当 Q( x) 0时，为非齐次方
程， y P( x)dx dx
P( x)dx
( Q ( x)e C )e
、贝努力方程： dy
P( x) y n ，
2 dx Q (x) y (n 0,1)
全微分方程：
如果 P( x, y)dx Q ( x, y)dy
0中左端是某函数的全
微
分方程，即：
du( x, y) P( x, y) dx Q( x, y)dy 0，其中：
u
P( x, y)，
u
Q ( x, y)
x
y
u(x, y) C 应该是该全微分方程的
通解。
二阶微分方程：
2
y
dy f ( x)
时为齐次
d
dx 2
P( x) d x Q( x) y f ( x)，
时为非齐次
f ( x) 0
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*) y py qy ，其中 p, q 为常数；
求解步骤：
、写出特征方程：
2
pr
，其中 r 2， 的系数及常数项恰好是 (*) 式中 的系数；
1
( ) r
q 0 r
y , y , y 、求出 ( ) 式的两个根
r 1 , r 2 2
3、根据 r 1 , r 2的不同情况，按下表写 出 (*) 式的通解：
(*) 式的通解
r 1， r 2的形式
两个不相等实根
( p 2 4 0) y c 1e r 1x c 2 e r 2 x
q
两个相等实根
( p 2 4q 0) y (c 1 c 2 x)e r 1x
一对共轭复根
( p 2 4q
0)
y e x (c 1 cos x c 2 sin x)
r 1
i ， r 2
i
p ，
4q p 2
2
2
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f ( x)， p, q 为常数
f (x) e x P m ( x)型， 为常数；
f (x) e x [ P l ( x) cos x P n ( x) sin x]型
1、行列式
n 行列式共有 n 2 个元素，展开后有 n ! 项，可分解为 2n 行列式； 代数余子式的性质： ①、 A ij 和 a ij 的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为
A ；
代数余子式和余子式的关系： M ij
( 1)i j A ij
A ij
( 1)i j M ij
设 n 行列式 D ：
n (n 1)
将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为
D 1 ，则 D 1
(1)2 D ；
n ( n 1)
将 D 顺时针或逆时针旋转
90o ，所得行列式为 D 2 ，则 D 2
(1)2
D ；
将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 将 D 主副角线翻转后，所得行列式为 D 4 ，则
行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
D 3，则 D 3
D ；
D 4
D ；
n ( n 1)
②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ( 1)
2
；
③、上、下三角行列式（◥◣ ）：主对角元素的乘积；
n ( n 1)
④、◤ 和◢ ：副对角元素的乘积( 1) 2 ；
A O A C
A B C A O A
⑤、拉普拉斯展开式：
B O B 、
O B
( 1)m gn A B
C B C
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
n
对于 n 阶行列式 A ，恒有：E A
n ( 1)k S k n k，其中 S k为 k 阶主子式；
k 1
证明 A 0 的方法：
①、A A；
②、反证法；
③、构造齐次方程组Ax0 ，证明其有非零解；
④、利用秩，证明r ( A) n ；
⑤、证明0 是其特征值；
2、矩阵
A 是 n 阶可逆矩阵：
A0 （是非奇异矩阵）；
r (A)n （是满秩矩阵）
A的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组Ax0 有非零解；
b R n， Ax b 总有唯一解；
A与E等价；
A可表示成若干个初等矩阵的乘积；
A 的特征值全不为0；
A T A 是正定矩阵；
A 的行（列）向量组是R n的一组基；
A是 R n中某两组基的过渡矩阵；
对于 n 阶矩阵 A ： AA* A* A A E 无条件恒成立；
(A 1)* (A*) 1 (A 1)T (A T)1 (A*)T (A T)* (AB )T B T A T (AB )* B* A* (AB) 1 B1A1
矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
A1
若 A A2
，则：O
A s
Ⅰ、 A A 1 A 2L A s ；
A 1
1
Ⅱ、 A 1
A 2 1
；
O
A s
1
A O
1 1 O
②、 A ；（主对角分块）
O B
O
B 1
O A
1
B 1
③、 O ；（副对角分块）
B O A 1
O
A C 1
1
A 1C
B 1
④、
A O
B O
；（拉普拉斯）
B 1
A O 1
A
1
O
⑤、
C B
B 1CA 1 ；（拉普拉斯）
B 1
3、矩阵的初等变换与线性方程组
一个 m n 矩阵 A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：
E r O ；
F
O
m n
O
等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵 A 、 B ，若 r ( A) r (B )
A: B ；
行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非 0 元素必须为 1；
③、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为
0；
初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
r
A 1 ；
若(A,E) :
(E,X)，则 A 可逆，且 X
A 变为 E 时，
B 就变成 A
c
1
B) ；
②、对矩阵 ( A, B) 做初等行变化，当
1
B ，即： (A,B) (E, A
r
1
③、求解线形方程组：对于n 个未知数 n 个方程
Ax b ，如果 ( , ) : ( ,
) ，则 A 可逆，且
x x A b ；
A b E
初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
1
②、
2
，左乘矩阵 A ， i 乘 A 的各行元素；右乘， i 乘 A 的各列元素；
O
n
③、对调两行或两列，符号E (i , j ) ，且 E (i , j )1
④、倍乘某行或某列，符号 E (i (k)) ，且E (i (k))1
⑤、倍加某行或某列，符号 E (ij (k )) ,且E (ij (k ))1
矩阵秩的基本性质：
①、 0 r ( A m n )min( m, n) ；
②、 r ( A T )r ( A) ；
1
1
1
E (i , j) ，例如： 1 1 ；
1 1
1 1 1
E (i (
1
)) ，例如：k 1 ( k 0)
；
k
1
k
1
1
1
1 k
k
E (ij ( k )) ，如： 1 1 (k 0) ；
1 1
③、若 A : B ，则r ( A) r ( B) ；
④、若 P 、Q可逆，则r (A) r (PA) r (AQ ) r (PAQ) ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）
⑤、 max(r ( A), r ( B)) r ( A, B) r ( A) r ( B ) ；（※）
⑥、 r ( A B) r (A) r (B ) ；（※）
⑦、 r ( AB) min(r ( A), r (B)) ；（※）
⑧、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且AB 0 ，则：（※）
Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组AX 0 解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、 r ( A) r (B ) n
⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵，则r ( AB ) r (A) r (B) n ；
三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
1 a c
②、型如 0 1 b 的矩阵：利用二项展开式；
0 0 1
b)n C n0a n C n1 a n 1b1 C n m a n m b m C n n 1a1b n 1 C n n b n n
C n m a m b n m；
二项展开式：(a L L
m 0 注：Ⅰ、 ( a b)n 展开后有 n 1 项；
Ⅱ、C n m n( n 1)L L ( n m 1) n!
m)! C n0 C n n 1
1g2g3gL gm m!(n
n
Ⅲ、组合的性质：C n m C n n m C n m 1 C n m C n m 1 C n r 2n rC n r nC n r 11；
r 0
③、利用特征值和相似对角化：
伴随矩阵：
n r ( A ) n
①、伴随矩阵的秩：r ( A* ) 1 r ( A ) n 1 ；
0 r ( A ) n 1
②、伴随矩阵的特征值： A ( AX
X,A
*
A A
1
A *
X
A
X)；
③、 A *
AA 1、 A *
n 1
A
关于 A 矩阵秩的描述：
①、 r ( A) n ， A 中有 n 阶子式不为 0， n 1阶子式全部为 0；（两句话） ②、 r ( A) n ， A 中有 n 阶子式全部为
0；
③、 r ( A) n ， A 中有 n 阶子式不为 0；
线性方程组： Ax
b ，其中 A 为 m n 矩阵，则：
①、 m 与方程的个数相同，即方程组
Ax b 有 m 个方程；
②、 n 与方程组得未知数个数相同，方程组 Ax b 为 n 元方程；
线性方程组 Ax
b 的求解：
①、对增广矩阵 B 进行初等行变换（ 只能使用初等行变换 ）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；
由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成 n 元线性方程：
a 11 x 1 a 12 x 2
L a 1n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2
L a 2n x n
b 2
；
①、
LLLLLLLLLLL
a m 1 x 1a m 2
x
2
L a nm x n b n
a
11
a
12
L a 1 n x 1 b 1
a 21 a 22
L a 2 n
x 2
b 2
Ax b （向量方程， A 为 m n 矩阵， m 个方程， n 个未知数）
②、
M O
M M M
M
a m 1 a m 2 L a mn x m
b m
x 1
b 1
③、 a 1 a 2 L
a n
x 2
（全部按列分块，其中
b 2
）；
M M
x n b n
④、 a 1 x 1 a 2 x 2 L a n x n
（线性表出）
⑤、有解的充要条件： r ( A) r ( A, ) n （ n 为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
m 个 n 维列向量所组成的向量组
A ：
1
, 2,L ,
m 构成 n
m 矩阵 A
(1,2,L,
m ) ；
T
1
T
m 个 n 维行向量所组成的向量组
B ：
1T , 2T
,L , m T 构成 m n 矩阵 B
2
；
M
T
m
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； ①、向量组的线性相关、无关 Ax 0 有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出
Ax
b 是否有解；（线性方程组）
③、向量组的相互线性表示 AX B 是否有解；（矩阵方程）
矩阵 A m n 与 B l
n 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组
Ax 0 和 Bx 0
同解； ( P 101 例 14)
r ( A T A ) r ( A ) ； ( P 101 例 15)
n 维向量线性相关的几何意义： ①、 线性相关 0 ；
②、
, 线性相关
,
坐标成比例或共线（平行）；
③、
, , 线性相关
, , 共面；
线性相关与无关的两套定理：
若 1, 2,L ,
s 线性相关，则
1
, 2 ,L , s ,
s 1 必线性相关；
若 1, 2,L , s 线性无关，则 1 ,
2 ,L , s 1 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若 r 维向量组 A 的每个向量上添上 n r 个分量，构成 n 维向量组 B ： 若 A 线性无关，则 B 也线性无关；反之若
B 线性相关，则 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）
简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
向量组 A （个数为 r ）能由向量组
B （个数为 s ）线性表示，且 A 线性无关，则 r
s (二版 P 74 定理 7)；
向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则 r ( A) r (B) ；（ P 86 定理 3） 向量组 A 能由向量组 B 线性表示
AX B 有解；
r ( A) r ( A, B) （ P 85 定理 2）
向量组 A 能由向量组 B 等价
r ( A) r (B ) r (A, B ) （ P 85 定理 2 推论 ）
方阵 A 可逆
存在有限个初等矩阵 P 1 , P 2 ,L , P l ，使 A P 1P 2 L P l ；
r
①、矩阵行等价：
A ~ B
PA B （左乘， P 可逆） Ax 0 与 Bx 0 同解
c
AQ B （右乘， Q 可逆）； ②、矩阵列等价： A ~ B
③、矩阵等价：
A ~ B
PAQ B （ P 、Q 可逆）；
对于矩阵 A m n 与 B l n ：
①、若 A 与 B 行等价，则 A 与 B 的行秩相等；
②、若 A 与 B 行等价，则 Ax 0 与 Bx 0 同解，且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵 A 的行秩等于列秩； 若 A m s B s n
C m n ，则：
①、 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示， B 为系数矩阵；
②、 C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示，
A T 为系数矩阵；（转置）
齐次方程组 Bx 0 的解一定是 ABx
0 的解， 考试中可以直接作为定理使用，而无需证明
；
①、 ABx 0 只有零解
Bx
0 只有零解；
②、 Bx
0 有非零解 ABx 0 一定存在非零解；
设向量组 B n r : b 1 ,b 2 ,L , b r 可由向量组 A n s : a 1, a 2 ,L ,a s 线性表示为：（ P 110 题 19 结论 ）
(b 1 ,b 2 ,L , b r ) (a 1 , a 2 ,L , a s ) K （ B AK ）
其中 K 为 s r ，且 A 线性无关，则 B 组线性无关 r ( K ) r ；（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性
）
（必要性： Q r
r ( B ) r ( AK ) r (K ), r ( K ) r , r( K ) r ；充分性：反证法）
注：当 r
s 时， K 为方阵，可当作定理使用；
①、对矩阵 A m n ，存在 Q n m ， AQ E m r ( A) m 、 Q 的列向量线性无关；（
P 87 ）
高等数学公式篇 ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 导数公式： 基本积分 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222????+-+--=-+++++=+-= ==-C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n ln 22)ln(221 cos sin 22222 2222222 22 2 22 2 π π
考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边,
·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A
最新最全版考研数学公式，奉献给大家 高等数学公式篇 ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。 －－泰戈尔 数学公式 导数公式： 基本积分表： 等价无穷小量代换 ()时，有：当0→x ? x x ~sin x x ~tan x x ~arcsin x x ~arctan a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='2 22211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='??????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222? ? ? ??++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 222222222222222222 222 020ππ
2013高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 2 2 2 122 11cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+= ， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+= -+±=++=+-= =+=-=----11ln 21) 1ln(1ln(:2:2:2 2）双曲正切双曲余弦双曲正弦... 590457182818284 .2)11(lim 1 sin lim ==+ =∞ →→e x x x x x x
·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2 sin 2cos cos 2 cos 2 cos 2cos cos 2 sin 2 cos 2sin sin 2 cos 2 sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(
高等数学公式篇·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
高等数学公式篇 导数公式： 基本积分表： C kx dx k +=? )1a (,C x 1 a 1 dx x 1a a -≠++=+? C x ln dx x 1+=? C e dx e x x +=? C a ln a dx a x x +=?(1a ,0a ≠>) C x cos xdx sin +-=? C x sin dx x cos +=? C x arctan dx x 11 2+=+? C a x arcsin x a dx C x a x a ln a 21x a dx C a x a x ln a 21a x dx C a x arctan a 1x a dx C x cot x csc ln xdx csc C x tan x sec ln xdx sec C x sin ln xdx cot C x cos ln xdx tan 2 2222222+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=???????? ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C )a x x ln(a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a ln a dx a C x csc xdx cot x csc C x sec dx x tan x sec C x cot xdx csc x sin dx C x tan xdx sec x cos dx 222 2x x 2 22 2 a ln x 1)x (log a ln a )a (x cot x csc )x (csc x tan x sec )x (sec x csc )x (cot x sec )x (tan x cos )x (sin aX )X (0)C (a x x 2 21a a = '='?-='?='-='='='='='-2 2 22 x x x 11 )x cot arc (x 11 )x (arctan x 11 )x (arccos x 11 )x (arcsin x 1 )x (ln e )e (x sin )x (cos +- ='+= '-- ='-= '= '='-='
全国硕士研究生统一入学考试 数学公式大全 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式篇· 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·si nβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·si nβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tan β·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tan γ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1 -2sin^2(α)
2012数学一考研大纲
2012考研数学一大纲(文字版) 考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟. 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试. 三、试卷内容结构 高等教学 56% 线性代数 22% 概率论与数理统计 22% 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单选题 8小题，每题4分，共32分 填空题 6小题，每题4分，共24分 解答题(包括证明题) 9小题，共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:
函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.
凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研数学：高数重要公式总结（基本积 分表） 考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。 其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦!
凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经
高等数学公式篇 ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·倍角公式：si n(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数的有理式积分： 22 2212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： 和差角公式： ·和差化积公式： ·正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理： C ab b a c cos 2222 -+= 反三角函数性质： arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： ) () ()()2()1()(0)()() (!)1()1(!2)1() (n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+ '+==---=-∑ a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arc c os 11 )(arc sin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβ αβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+= -+±=++=+-==+= -= ----11ln 21) 1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1 1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
(sin (tan (cot x ) x ) x ) cos x sec 2 x (ln x ) x (arcsin x ) 1 (sec x ) (csc x ) ( a x ) csc sec x 2 x tan x 1 (arccos x ) x 1 2 1 x 2 a x a x ) csc x ln a 1 x ln a cot x (arctan x ) 1 1 x 2 1 (log ( arc cot x ) 1 x 2 kdx kx C x a dx 1 1 dx x ln x C e x d x a e x 1 x a 1 C, (a 1) C a x dx a x ln a C ( a 0, a 1) sin xdx cosx C cosxdx sin x C 1 tanxdx ln cosx C 1 x 2 dx dx arctanx C sec2 xdx tan x C cot xdx ln sin x C secxdx ln secx tan x C cos2 x dx sin 2 x csc2 xdx cot x C cscxdx dx ln cscx cot x C secx tanxdx secx C cscx cot xdx cscx C a 2 x 2 1 arctan a dx x a a a x x C a x dx x 2 a 2 1 ln x 2a x 1 ln a C shxdx a x ln a chx C C dx a2 x 2 dx 2a a C a2 x 2 arcsin x a C chxdx dx x 2 shx C a 2 ln(x 2 x 2 a ) C 导数公式： 基本积分表： 高等数学公式篇 ( C ) 0 (cos x ) ( e x ) e x sin x ( X a ) aX a 1 1
主页君整理的超全数学公式，整理了好久TT 。果断保存，不用浪费时间找公式了~ 这篇高等数学公式大全分享到考研数学交流群的群共享中，有其他好的资料我也会上传上去滴~建这个群主要是资料共享和交流，大家复习中遇到的问题可以在群里讨论，互相促进~ 考研数学交流群， 高等数学公式 导数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222???+++++= +-= ==-C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n )ln(1 cos sin 222 2 2 2 2 22 2 π π
导数公式： 基本积分表： ( C ) 0 ( X a ) aX a 1 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (cot x ) csc 2 x (sec x ) sec x tan x (csc x ) csc x cot x ( a x ) a x ln a (log a x ) 1 x ln a kdx kx C 1 ln x C dx x a x dx a x C ( a 0, a 1) ln a cosxdx sin x C tan xdx ln cosx C cot xdx ln sin x C secxdx ln secx tan x C cscxdx ln cscx cot x C 高等数学公式篇 (cos x ) sin x ( e x ) e x (ln x ) 1 x (arcsin x ) 1 1 x 2 (arccos x ) 1 1 x 2 (arctan x ) 1 x 2 1 ( arc cot x ) 1 1 x 2 x a dx 1 x a 1C, (a1) a 1 e x dx e x C sin xdx cosx C 1 1 x 2 dx arctanx C dx x sec2 xdx tan x C cos2 dx x csc2 xdx cot x C sin 2 secx tan xdx secx C dx a2 x 2 dx x 2 a 2 dx a2 x 2 dx a2 x 2 1 arctan x C a a 1 x a 2a ln C x a 1 a x 2a ln C a x arcsin x C a cscx cot xdx cscx C a x dx a x C ln a shxdx chx C chxdx shx C dx ln(x x 2a2 ) C x 2 a 2
高等数学公 式 导数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='2 22211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='??????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222?? ? ??++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 222222222222222222 222 020ππ
经典文 历年考研数学一真题及答案(1987-2014)_图文 历年考研数学一真题1987-2014 （经典珍藏版） 1987年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y x2x取得极小值. (2)由曲线y lnx与两直线y e1x及y0所围成的平 面图形的面积是_____________. 1x (3)与两直线y1t z2t 及 x1y12z 1 1 1 都平行且过原点的平面方程为 _____________. (4)设
为取正向的圆周x2 y2 9,则曲线积分 L (2xy2y)dx(x24x)dy= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为 α1(1,1,0),α2(1,0,1),α3(0,1,1),则向量β(2,0,0)在此基底下的 坐标是_____________. 二、(本题满分8分) 求正的常数a与b,使等式lim1x2 x0bx sinx0 1成立. 三、(本题满分7分) (1)设f、g为连续可微函数,u f(x,xy),v g(x xy), 求 u x,v x . (2)设矩阵
和 B 满足关系式 AB=A2B, 其中 301 A110,求矩阵B. 401 四、(本题满分8分) 求微分方程y6y(9a2)y1的通解,其中常数a0. 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设lim f(x)f(a) x a (x a) 2 1,则在x a处 (A)f(x)的导数存在,且f(a)0 (B)f(x)取 得极大值
2018考研数学复习大纲 ー、时间安排及复习目标 持续到7月份?同学们应尽量保证在暑假前完成基础阶段旳复习?即第ー轮复习。基础阶段旳复习主要依据考试大纲?从大纲上获知哪些是重要旳考点?哪些是不考旳内容?熟练掌握基本概念、定理、公式及常用结论等?为后期旳强化(第二轮复习)和冲刺(第三轮复习)打下牢固旳基础。 二、具体旳复习方法 1. 结合大纲看教材 从历年旳考研试卷分析?凡是大纲中提及旳内容?都是可能旳考点?甚至自己认为是ー些不太重要旳内容?也完全有可能在考研试题中出现。所以?对于大纲中提到旳考点?要做到重点、全面、有针对性旳复习。不仅要在主要旳内容和方法上下功夫?更要注重寻找各个知识点之间旳联系。近年来?考研数学越来越注重综合能力旳考查?这也是以后命题旳ー个趋势。而综合能力旳培养及提高?源于自己平时旳积累与练习。 2.看教材与做题相结合 大家在看教材旳时候?常常会发现看了后边旳忘了前边所学旳内容?所以在复习旳时候要不断旳巩固?加强对基础知识点旳理解。首先?要做自己所选教材后边旳ー些配套旳基础性旳练习题?以及ー些参考辅导书?这些参考辅导书可以上网去找找?像旳政治、英语和数学类考研图书质量还是比较高旳。复习中ー定要勤动手?同时对于ー些自己不会做旳题目?要多思考?多问几个为什么。有些具有ー定难度旳题目?可能需要参考标准答案?此时ー定要分析ー下别人旳思路?多总结?
多想想以后遇到类似旳题目?自己应该从哪些方面去思考?这样慢慢积累?就会成为自己旳知识?被自己所用。 3.有思考亦有总结 总结是ー个良好旳复习方法?是使知识旳掌握水平上升ー个层次旳方法。在单独复习好每ー个知识点旳同时ー定要联系总结?建立ー个完整旳考研数学旳知识体系结构。比如?在复习好积分这个知识点旳时候?要能建立定积分、二重积分、重积分之间旳关联?由此及彼?深刻理解掌握每ー个知识点。另外?要把基础阶段中遇到旳问题?做错旳题目?重新再整理ー遍?总结自己旳薄弱点?正确通过强化把遗留问题ーー解决。 2018考研数学旳复习虽任务艰巨但有章法可循?相信大家在制定合理复习计划旳基础上循序渐进?定可得心应手、信心十足！
全国硕士研究生统一入学考试 数学公式大全 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π