正视图
侧视图
俯视图 图1 2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（湖南卷）
参考公式：（1）()
()()
P AB P B A P A =
，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式34
3
V R π=，其中R 为求的半径。
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 1．若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则 A ．1a =，1b = B ．1,1a b =-=
C ．1,1a b =-=-
D ．1,1a b ==-
2．设集合{}{}
2
1,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ?”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．9122π+
B ．9
182
π+
C ．942π+
D ．3618π+
4
由()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，()
2
2110403020207.860506050K ??-?=≈???．
参照附表，得到的正确结论是
A ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
5．设双曲线()22
2109
x y a a -
=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6
．由直线,,03
3
x x y π
π
=-
=
=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为
A ．
1
2
B ．1
C
D 7．设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥??
≤??+≤?
下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为
A ．（1，1
B ．（1+∞）
C ．（1,3 ）
D ．（
3，+∞）
8．设直线x=t 与函数2
()f x x = ()ln
g x x = 的图像分别交于点M,N,则当MN 达到最小时t 的值为
A ．1
B ．
1
2
C D 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．
中对应号后的横线上。
（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,
1sin x y αα
=??
=+?（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy
取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的方程为
()cos sin 10ρθθ-+=，则C 1与C 2的交点个数为
10．设,x y R ∈,且0
xy ≠，则2
22211()(4)x y y x
+
+的最小值为 。 11．如图2，A,E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，
AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 。
（二）必做题（11～16题）
12．设n S 是等差数列{}n a ()n N *∈，的前n 项和，且141,7a a ==，
则9S = ．
13．若执行如图3所示的框图，输入11x =，232,3,2x x x ==-=,
则输出的数等于 。
14．在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA CE ==则AD BE ?=__________________．
15．如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随
机地扔到该图内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事 件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则
（1）P （A ）= _____________; （2）P （B|A ）= ．
16．对于*
n N ∈ ,将n 表示12100121222...22k k k k k n a a a a a ---=?+?+?++?+? ,当0i =时，1i a =,当
1i k ≤≤时, 1a 为0或1．记()I n 为上述表示中a i 为0的个数（例如：021012,4120202I =?=?+?+?）
,故(1)0I =, (4)2I =）,则
（1）(12)I =________________;（2）
()
1
2
m
I n n =∑________________;
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC ． （Ⅰ）求角C 的大小；
A-cos （B+
4
π
）的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小。 18．（本小题满分12分）
某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．
，将频率视为概率。
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期型。 19．（本小题满分12分）
如图5，在圆锥PO 中，已知PO O 的直径2AB =,C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD ⊥平面PAC ; （Ⅱ）求二面角B PA C --的余弦值。 20．（本小题满分13分）
如图6，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0），雨速
沿E 移动方向的分速度为()c c R ∈。E 移动时单位时间．．．．
内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为
1
10
；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=3
2
时。
（Ⅰ）写出y 的表达式
（Ⅱ）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少。
21．（本小题满分13分）
如图7，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，x 轴被曲线22:C y x b =- 截得的线段
长等于C 1的长半轴长。
（Ⅰ）求C 1，C 2的方程；
（Ⅱ）设C 2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C 1相交
与D,E ．
（i ）证明：MD ⊥ME;
（ii ）记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l ,使得
1217
32
S S =?请说明理 由。
22．（本小题满分13分）
已知函数3()f x x =
，()g x x =（Ⅰ）求函数()()()h x f x g x =-的零点个数。并说明理由；
（Ⅱ）设数列{ n a }（*
n N ∈）满足10(0)a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M,使得 对于任
意的*
n N ∈，都有n a ≤ M ．
参考答案
一、选择题： DABCCDAD
1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）
A ．1,1a b ==
B ．1,1a b =-=
C ．1,1a b =-=-
D ．1,1a b ==- 答案：D
解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。
2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ?”则（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件 答案：A
解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ?”，反之
“N M ?”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有
“1a =”。
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．9122π+
B ．9182
π+ C ．942π+ D ．3618π+
答案：B
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322
V ππ=
??+（）。
由22
()()()()()
n ad bc K a
b c d a c b d -=++++算得22
110(403020
20)7.860506050K ??-?=
≈??? 参照附表，得到的正确结论是（ ）
正视图
侧视图
俯视图 图1
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：C
解析：由2
7.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C.
5.设双曲线22
21(0)9
x y a a -
=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
答案：C
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3
y x a
=±，故可知2a =。 6. 由直线,,03
3
x x y π
π
=-
=
=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）
A ．
12 B ．1 C
D
答案：D
解析：由定积分知识可得333
3
cos d sin |(22
S x x x π
π
ππ--
=
==
--=?D 。 7. 设1m >，在约束条件1y x
y mx x y ≥??
≤??+≤?
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）
A
．(1,1 B
．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 答案：A
解析：画出可行域，可知5z x y =+在点1(,)11m m m ++取最大值，由2
1211m m m
+<++
解得11m <<。 8.设直线x t =与函数2
(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为
（ ） A ．1 B ．12 C
D
．2
答案：D
解析：由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2
()ln h x x x =-，则1'(
)2h x x x =-，令'()0h x =
解得2
x =，
因(0,
)2x ∈时，'()0h x <，当(,)2
x ∈∞时，'()0h x >，
所以当2
x =
时，||MN 达到最小。
即2t =
二、填空题
9．2 10．9 11 12．25 13．23 14．14- 15．（1）21,(2)4π 16．（1）2（2）1093
一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9.在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,
1sin x y αα=??=+?（α为参数）在极坐标系（与直角坐
标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为
()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 。
答案：2
解析：曲线22
1:(1)1C x y +-=，2:10C x y -+=，由圆心到直线的距离01d =
=<，故1C 与2C 的交点个数为2. 10.设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x
++的最小值为 。 答案：9
解析：由柯西不等式可知2222
211
()(4)(12)9x y y x
+
+≥+=。 11.如图2，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，AD BC ⊥,垂足为D, BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 。
答案：
3
解析：由题可知，60AOB EOC ∠=∠=?，2OA OB ==,得1OD BD ==,3
DF =
，
又2
3AD BD CD =?=，所以AF AD DF =-=
二、必做题（12~16题）
12、设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S = 答案：25
解析：由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5
252
S +?==。
13、若执行如图
3
所示的框图，输入
1231,2,3,2
x x x x ===
=，则输出的数等于 。 答案：
2
3
解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
则222(12)(22)(32)2
33
S -+-+-=
=。
14、在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则________AD BE ?=。 答案：14
-
解析：由题12AD CD CA CB CA =-=
-，1
3
BE CE CB CA CB =-=-， 所以111171
()()232364
AD BE CB CA CA CB CB CA ?=-?-=--+?=-。
B
C
15、如图4， EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随
机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示
事件“豆子落
在扇形OHE （阴影部分）内”，则
（1）=______P A （）；（2）=______P A （B|）
答案：（1）
2
π
；（2）1
=4
P
A （B|） 解析：（1
）由几何概型概率计算公式可得2
=
=S P A S π
正圆（）；
（2）由条件概率的计算公式可得211
4===24
P AB P A P A ππ
?
（）（B|）（）。
16、对于*
n N ∈，将n 表示为1210012122222k k k k k n a a a a a ---=?+?+?+
+?+?，
当0i =时，1i a =，当1i k ≤≤时，i a 为0或1.记()I n 为上述表示中i a 为0的个数，
（例如0
112=?，210
4120202=?+?+?：故(1)0,(4)2I I ==）则
（1）(12)_____I = （2）127
()
1
2
______I n n ==∑
答案：（1）2；（2）1093
解析：（1）因3210
1212+120202=??+?+?，故(12)2I =；
（2）在2进制的(2)k k ≥位数中，没有0的有1个，有1个0的有11k C -个，有2个0的有2
1k C -个，……有m 个0的有1m k C -个，
……有1k -个0的有111k k C --=个。故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式中的()
2I n 的和为：
0112211
111112222
3k k k k k k C C C ------?+?+?+
+?=。 又7
12721=-恰为2进制的最大7位数，所以127
7
()
11
2
2
231093I n k n k -===+=∑∑。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =
因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4
A C C C C C π
>=≠==从而又所以则
（II ）由（I ）知3.4
B A π
=
-于是
cos()cos()
4
cos 2sin().
6
3110,,,,
46612623
A B A A A A A A A A A π
ππ
πππππππ
-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时 2sin()6
A π
+
取最大值2．
cos()4A B π
-+
的最大值为2，此时5,.312
A B π
π=
=
18．解（I ）P （“当天商品不进货”）P =（“当天商品销售量为0件”）P +（“当天商品销售量为1件”）
.10
3205201=+= （Ⅱ）由题意知，X 的可能取值为2,3.
P X P ==)2(（“当天商品销售量为1件”）;4
1205==
P X P ==)3(（“当天商品销售量为0件”）P +（“当天商品销售量为2件”）P +（“当天商品销售
量为3件”）.4
3
205209201=++=
故X
X 的数学期望为.4
4342=?+?=EX
19．解法1：连结OC ，因为,OA OC D AC =⊥是的中点,所以AC OD.
又PO ⊥底面⊙O ，AC ?底面⊙O ，所以AC PO ⊥，
因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD ， 而AC ?平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC 。
（II ）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（I ）知，平面,POD PAC ⊥平面 所以
OH ⊥平面PAC ，又PA ?面PAC ，所以
.PA OH ⊥
在平面PAO 中，过O 作
OG PA ⊥于G ，
连接HG ，
则有PA ⊥平面
OGH ，
从而
PA HG ⊥，故OGH ∠
为二面角B —PA —C
的平面角。
在,sin 45Rt ODA OD OA ?=??=
中
在
,Rt POD OH ?=
=
=中
在,3
Rt POA OG ?=
=
=中
在,sin
OH
Rt OHG OGH
OG
?∠===
中
所以cos
5
OGH
∠===
故二面角B—PA—C
解法2：（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则
(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),
O A B C P
-，
11
(,,0)
22
D-
设
1111
(,,)
n x y z
=是平面POD的一个法向量，
则由
11
0,0
n OD n OP
?=?=
，得11
1
11
0,
22
0.
x y
?
-+=
?
=
所以
11111
0,,1,(1,1,0).
z x y y n
====
取得
设
2222
(,,)
n x y z
=是平面PAC的一个法向量，
则由
22
0,0
n PA n PC
?=?=，
得22
22
0,
0.
x
y
?-=
?
?
+=
??
所以
22222
,.1,
x y
===
取z
得
2
(
n=。
因为
12
(1,1,0)(0,
n n?=?=
所以
12
.
n n
⊥从而平面POD⊥平面PAC。
（II）因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为
3
(0,1,0).
n=
由（I）知，平面PAC
的一个法向量为
2
(
n=
设向量
23
n n
和的夹角为θ，则
23
23
cos
||||5
n n
n n
θ
?
===
?
由图可知，二面角B —PA —C 的平面角与θ相等， 所以二面角B —PA —C
的余弦值为5
20．（本小题满分13分）
解：（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202
v c -+， 故100315
(||)(3||10)202y v c v c v v
=
-+=-+， （II ）由（I ）知
当0v c <≤时，55(310)
(3310)15;c y c v v v +=
-+=- 当55(103c)
10,y (3v 3c 10)15.v v
c v -<≤=-+=
+时 故(310)
15,0,5(103)15,10.c v c v
y c c v v 5+?-<≤??=?-?+<≤??
（1）当10
03
c <≤
时，y 是关于v 的减函数， 故当min 310,20.2
c
v y ==-时
（2）当10
53
c <≤时，在(]0,c 上，y 是关于v 的减函数， 在(],10c 上，y 是关于v 的增函数， 故当min 50
,.v c y c
==时 21．（Ⅰ）由题意知.1,2,2,2,2
3======
b a a b b a a
c e 解得又从而 故C 1，C 2的方程分别为.1,14
222
-==+x y y x （Ⅱ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.
由??
???-==12
x y kx y 得 012=--kx x .
设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是
.1,2121-==+x x k x x
又点M 的坐标为（0，—1），所以
2
121212
212122111
)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MB
MA +++=
++=+?+=? .11
1
22-=-++-=
k k
故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.
（ii ）设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为?????-=-=-=1
,
1,12
11x y x k y x k y 由解得 ???-==???-==1
,
102
1k y k x y x 或 则点A 的坐标为)1,(211-k k . 又直线MB 的斜率为1
1
k -
， 同理可得点B 的坐标为).11
,1(21
1--
k k
于是211111111|||||||22||
k S MA MB k k k +=?=-=
由?????=-+-=0
44,12
21y x x k y 得.08)41(12
21=-+x k x k 解得121
2
12
18,140,141
14k x k x y k y k ?
=?
+=????=--??=?+?或 则点D 的坐标为21122
11841
(,).1414k k k k -++
又直线ME 的斜率为k 1
-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2
121211k k k k +-+- 于是)
4)(1(||)1(32||||21
21211212++?+=?=k k k k ME MD S .
因此
211221
14
(417).64S k S k =++
由题意知，
2221112114171(417),4,.64324
k k k k ++===解得或 又由点A 、B 的坐标可知，21211111
1
13,.12k k k k k k k k -
=
=-=±+所以 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2
323x y x y -==
和 22．解：（I
）由3(),[0,)h x x x x =-∈+∞，而(0)0,(1)10h h ==-<且，
(2)60,0()h x h x =>=则为的一个零点，且()h x 在（1，2）内有零点。
因此()h x 至少有两个零点。
解法1：12
21()31,2h x x x -'=--记12
21()31,2x x x ?-=--则3
21()6.4
x x x ?-'=+
当(0,),()0,()(0,)x x x ??'∈+∞>+∞时因此在上单调递增，则()(0,)x ?+∞在内至多只有一个零点。
又因为(1)0,(
0,()(33
x ???><则在内有零点， 所以()(0,)x ?+∞在内有且只有一个零点，
记此零点为111,(0,),()()0x x x x x ??∈<=则当时； 当1(,)x x ∈+∞时，1()()0.x x ??>= 所以，
当1(0,),()x x h x ∈时单调递减，而1(0)0,()(0,]h h x x =则在内无零点； 当1(0,),()x x h x ∈时单调递减，而1(0)0,()(0,]h h x x =则在内无零点； 当1(,),()x x h x ∈+∞时单调递增，而1()(,)h x x +∞在内至多只有一个零点。 从而()(0,)h x +∞在内至多只有一个零点。 综上所述，()h x 有且只有两个零点。
解法2：由112
2
22
()(1),()1h x x x x x x x ?-
-
=--=--记，则3
21()2.2
x x x ?-
'=+
当(0,),()0,x x ?'∈+∞>时从而()(0,)x ?+∞在上单调递增，
则()(0,)x ?+∞在内至多只有一个零点，因此()(0,)h x +∞在内也至多只有一个零点。 综上所述，()h x 有且只有两个零点。
（II ）记()h x 的正零点为3
000,x x x =+
即
（1）当0110,,.a x a a a x <=<时由即
而2
3
210020,.a a x x a x ==<因此
由此猜测：0n a x <。下面用数学归纳法证明。 ①当101,n a x =<时显然成立。
②假设当0(1),,1k n k k a x n k =≥<=+时成立则当时，由
33
10010,.n k k a a x x a x ++=+=<知因此，当101
,k n k a x +=+<时成立。 故对任意的*0,k n N a x ∈<成立。
（2）当0a x ≥时，由（I ）知，0()(,)h x x +∞在上单调递增，则0()()0h a h x ≥=，
即33
3212,a a a a a a a a ≥=+=≤≤即，
由此猜测：k a a ≤，下面用数学归纳法证明， ①当11,n a a =≤时显然成立。
②假设当(1),k n k k a a =≥≤时成立，则当1n k =+时，
由3311,k k k a a a a a a ++=≤+≤≤知 因此，当11,k n k a a +=+≤时成立， 故对任意的*,n n N a a ∈≤成立
综上所述，存在常数0max{,}M x a =，使得对于任意的*
,.n n N a M ∈≤都有
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （I ）求角C 的大小； （II
cos()4
A B π
-+
的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．
解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =
因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4
A C C C C C π
>=≠==从而又所以则
（II ）由（I ）知3.4
B A π
=
-于是
cos()cos()
4
cos 2sin().
6
3110,,,,
46612623
A B A A A A A A A A A π
ππ
πππππππ
-+=--=+=+
<<∴<+<+==从而当即时 2sin()6
A π
+
取最大值2．
cos()4
A B π
-+
的最大值为2，此时5,.3
12
A B π
π
=
=
18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率。
(Ⅰ）求当天商品不进货．．．
的概率； （Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望。
解析：（I ）P （“当天商店不进货”）=P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量1件”）=
153
202010
+=。 （II ）由题意知，X 的可能取值为2，3.
51(2)("")204
P x P ===
=当天商品销售量为1件； (3)("")+("")+("1953
")++2020204
P x P P P ====
当天商品销售量为0件当天商品销售量为2件当天商品销售
量为3件故X 的分布
X 的数学期望为2+3=444
EX =??。
19.（本题满分12分）如图5，在圆锥PO 中，已知
PO O
=的直径
2,,AB C AB D AC =是的中点,为的中点．
（I ）证明：;POD PAC ⊥平面平面
（II ）求二面角B PA C --的余弦值． 解：（I ）连接OC ，因为OA OC =,D 为的AC 中点，所以
AC OD ⊥. 又
,,.
PO O AC O AC PO ⊥?⊥底面底面所以因为
,OD PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC POD
⊥平面。而AC PAC ?平面，所以POD PAC ⊥平面平面。
（II ）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（I ）知，POD PAC ⊥平面平面,所以,
OH PAC ⊥平面
又,PA PAC ?平面所以PA OH ⊥.
在平面PAO 中，过O 作OG PA ⊥于G,连接HG ,则有PA OGH ⊥平面， 从而PA HG ⊥，所以OGH ∠是二面角B PA C --的平面角．
在,sin 452Rt ODA OD OA ?=??=
中
在,5Rt POD OH ?=
=
=中
在,Rt POA OG ?=
=中
在,sin OH Rt OHG OGH OG ?∠====中
所以cos OGH ∠=。 故二面角B PA C --
的余弦值为5
20. 如图6，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为(0)v v >，
雨速沿E 移动方向的分速度为()c c R ∈。E 移动时单位时间．．．．
内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为
1
10
；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=
3
2
时。
（Ⅰ）写出y 的表达式
（Ⅱ）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少。
解析：（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为
31
||202
v c -+， 故100315
(||)(3||10)202y v c v c v v
=
-+=-+. （II ）由(I)知，当0v c <≤时，55(310)
(3310)15c y c v v v +=-+=-；
当10c v <≤时，55(103)
(3310)15c y v c v v
-=-+=
+. 故5(310)
15,05(103)15,10c v c v
y c c v v +?-<≤??=?-?+<≤??。
(1)当1003c <≤
时，y 是关于v 的减函数.故当10v =时，min 3202
c
y =-。 (2) 当
10
53
c <≤时，在(0,]c 上，y 是关于v 的减函数；在(,10]c 上，y 是关于v 的增函数；故当v c =时，min 50y c
=
。 21.(本小题满分13分）
如图7，
椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>
x 轴被曲线2
2:C y x b =- 截得的线段长等于1C 的长半轴长。
（Ⅰ）求1C ，2C 的方程；
（Ⅱ）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B,直线MA,MB 分别与1C 相交与D,E. （i ）证明：MD ME ⊥；
(ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S .问：是否存在直线
l ,使得21S S =
32
17? 请说明理由。
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (四川卷) 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上．在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷(选择题共50分) 注意事项： 必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．(2013四川，理1)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝()．A．{－2} B．{2} C．{－2,2} D． 答案：A 解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}， ∴A∩B＝{－2}．故选A． 2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()． A．A B．B C．C D．D 答案：B 解析：复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称． 3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()．
答案：D 解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D． 4．(2013四川，理4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则()．A．?p：?x∈A,2x?B B．?p：?x?A,2x?B C．?p：?x?A,2x∈B D．?p：?x∈A,2x?B 答案：D 5．(2013四川，理5)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) ππ 0, 22 ω? ?? >-<< ? ?? 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别 是()． A．2， π 3 -B．2， π 6 - C．4， π 6 -D．4， π 3 答案：A 解析：由图象可得，35ππ3π41234 T?? =--= ? ?? ， ∴T＝π，则ω＝2π π ＝2，再将点 5π ,2 12 ?? ? ?? 代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得， 5π sin1 6 ? ?? += ? ?? ， 令5π 6 ＋φ＝2kπ＋ π 2 ，k∈Z， 解得，φ＝2kπ－π 3 ，k∈Z， 又∵φ∈ ππ , 22 ?? - ? ?? ，则取k＝0，
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 理科数学 本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分. 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的. 1. 已知 ()2 11i i z -=+（i 为虚数单位） ，则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 2. 设A,B 是两个集合，则”A B A =I ”是“A B ?”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( ) A. 67 B.37 C.89 D.49 4. 若变量,x y 满足约束条件1,2,1x y x y y +≥-?? -≤??≤? 则3z x y =-的最小值为（ ） A.-7 B.-1 C.1 D.2 5. 设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ） A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 6. 已知5 ()x x -的展开式中含3 2x 的项的系数为30，则a =（ ） A ．3 B.3- C.6 D.-6 7. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。 参考公式：（1）() ()() P AB P B A P A = ，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。 （3）球的体积公式34 3 V R π=，其中R 为求的半径。 一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ） A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b =-=- D ．1,1a b ==- 答案：D 解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。 2.设{1,2}M =，2 {}N a =，则“1a =”是“N M ?” 则（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案：A 解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ?”，反之 “N M ?”，则2{}={1}N a =，或2 {}={2}N a =，不 一定有“1a =”。 3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．9122π+ B ．9182 π+ C ．942π+ D ．3618π+ 答案：B 解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体 积 正视图 侧视图 俯视图 图1
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1． 满足 (z i i i z +=为虚数单位）的复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122 i -- 2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则 A ．123 p p p =< B ．231 p p p =< C ．132p p p =< D ．123p p p == 3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++ (1)(1)f g +则＝ A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 4．5 1(2)2 x y -的展开式中23 x y 的系数是 A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20 5．已知命题2 2 :,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题 ①p q ∧②p q ∨③()p q ∧?④()p q ?∨中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[6,2]-- B ．[5,1]-- C ．[4,5]- D ．[3,6]- 7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2015年湖南省高考数学试卷（理科） 一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分 1．（5分）（2015?湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 2．（5分）（2015?湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A?B”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．（5分）（2015?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（） A．B．C．D． 4．（5分）（2015?湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1D．2 5．（5分）（2015?湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（） A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
6．（5分）（2015?湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6D．﹣6 7．（5分）（2015?湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（） 附“若X﹣N=（μ，a2），则 P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826． p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544． A．2386 B．2718 C．3413 D．4772 8．（5分）（2015?湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标 为（2，0），则||的最大值为（） A．6B．7C．8D．9 9．（5分）（2015?湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ= （） A．B．C．D． 10．（5分）（2015?湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的 利用率为（材料利用率=）（）
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷) 数 学(理科) 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x ∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N = （A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝ （C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3} （2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z= （A ）-1+i （B ）-1-i （C ）1+i （D ）1-i （3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ） （A ） 13 （B ）1 3 - （C ） 1 9 （D ）19 - （4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ??， 则 （A ）α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l （5）已知（1+ɑx）(1+x)5 的展开式中x 2 的系数为5，则ɑ = （A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1 （6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S= （A ）11112310+ +++ （B ）111 12!3!10!++++ （C ）11112311++++ （D ）111 12!3!11! ++++
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类） 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．复数(1)(i i i ?+为虚数单位)在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．“12x <<”是“2x <”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必 要条件 3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它 们的产品质量是否有显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 4．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2f g -+=，(1)(1)4f g +-=，则(1)g = A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5．在锐角ABC ?中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin 3a B b =，则角A 等于 A ． 3π B ．4π C ．6 π D ．12π 6．函数()ln f x x =的图象与函数2()44g x x x =-+的图象的交点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． 32 B ．1 C ．212 + D ．2 8．已知是单位向量，a ?b =0，若向量c 满足|c -a -b |1=，则|c |的最大值为 A ．21- B ．2 C ．21+ D ．22+ 9．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使APB ?的最大边是AB ”发生的概率为12，则 AD AB = A ． 12 B ．14 C ．32 D ．74 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10．已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ==，则()U A B = e__________
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 参考公式：（1）() ()() P AB P B A P A = ，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。 （3）球的体积公式34 3 V R π=，其中R 为求的半径。 一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ） A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b =-=- D ．1,1a b ==- 答案：D 2.设{1,2}M =，2 {}N a =，则“1a =”是“N M ?”则（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案：A 解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ?”，反之“N M ?”，则2 {}={1}N a =，或2 {}={2}N a =，不一定有“1a =”。 3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． 9122π+ B ．9 182 π+ C ．942π+ D ．3618π+ 答案：B 解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积 3439+332=18322 V ππ=??+（）。 由22 ()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22 110(40302020)7.860506050 K ??-?= ≈??? 附表：
绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数 学（文史类） 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数z=i ·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ B ____ A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 【答案】B 【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1.所以对应点(-1,1).选B 2.“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的___ A ____ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 若“1＜x ＜2”成立，则“x ＜2”成立,所以“1＜x ＜2”是“x ＜2”的充分条件； 若“x ＜2” 成立，则“1＜x ＜2”不一定成立, 所以“1＜x ＜2”不是“x ＜2”的必要条件. 综上，“1＜x ＜2”是“x ＜2”的充分不必要条件. 选A 3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=___ D ____ A .9 B .10 C .12 D .13 【答案】D 【解析】 4,63::60:80:120,,==?=b a b a c b a 个样本，则抽取从甲乙丙三个车间依次 n = a + b + c=13. 选D 4.已知f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （－1）+g （1）=2，f （1）+g （－1）=4，则g （1）等于____ B ____ A .4 B .3 C .2 D .1 【答案】 B 【解析】 由题知f （－1）+g （1）= - f （1）+g （1）= 2, f （1）+ g （－1）= f （1）+ g （1）= 4.上式相加，解得g(1) = 3 . 选B 5.在锐角?ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2sinB=3b ，则角A 等于____ A ____
2015年湖南省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分 1．（5分）（2015?湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（） 已知= 3．（5分）（2015?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）
B S= S= S= = 4．（5分）（2015?湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）
作出可行域如图， ，解得．由解得，由 时，））﹣﹣）
6．（5分）（2015?湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）B 的指数为 = 的项的系数为 ∴ ，并且 7．（5分）（2015?湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（） 附“若X﹣N=（μ，a2），则 P（μ﹣?＜X≤μ+?）=0.6826． p（μ﹣2?＜X≤μ+2?）=0.9544． × ×
8．（5分）（2015?湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（） ||=|2|=|4+|| |+|=|4+ | || 9．（5分）（2015?湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ= B ＜ ， ==×﹣ ，不合题意，
，，即=×﹣= 10．（5分）（2015?湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的 利用率为（材料利用率=）（） B （） V=
数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________
湖南省2013年普通高等学校对口招生考试 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1.已知集合A=｛3,4,5｝，B=｛4,5,6｝，则A ?B 等于 A ．{3,4,5,6} B ．{4,5} C ．{3,6} D ．Φ 2.函数y=x 2在其定义域内是 A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数 D ．偶函数 3. “x=2”是“（x-1）（x-2）=0”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 4.已知点A （m ，-1）关于y 轴的对称点为B （3，n ），则m ，n 的值分别为 A ．m=3，n=-1 B ．m=3，n=1 C ．m=-3，n=-1 D ．m=-3，n=1 5. 圆（x+2）2+（y-1）2=9的圆心到直线3x+4y-5=0的距离为 A ． 57 B ．5 3 C ．3 D ．1 6.已知sin α=5 4，且α是第二象限的角，则tan α的值为 A ． 43- B ．34- C ．34 D ．43 7.不等式x 2-2x-3>0的解集为 A ．（-3，1） B ．（-∞，-3）∪（1，+∞） C ．（-1，3） D ．（-∞，-1）∪（3，+∞） 8.在100件产品中有3件次品，其余的为正品。若从中任取5件进行检测，则下列事件是随机事件的为 A ．5件产品中至少有2件正品 B ．5件产品中至多有3件次品 C ．5件产品都是正品 D ．5件产品都是次品 9. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线BD 1与平面A 1ADD 1所成角的正切值为 A ． 33 了 B ．2 2 C ．1 D ．2
2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i 2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（?U A）∩B的子集个数为（） A．7 B．3 C．8 D．9 3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（）A．B．C．2 D． 4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（） A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10 5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2） 2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（） A．B．C．D． 6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2） 7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A．11 B．C．D． 8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（） A．1006 B．1007 C．1008 D．1009
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数2 2i 1+i ?? ??? 等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i - 2．不等式 2 01 x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--U ，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞U ，， D ．(12]-， 3．设M N ，是两个集合，则“M N =?U ”是“M N ≠?I ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 4．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b 5．设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<=（ ） A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950 D ．0.975 6．函数2441()431 x x f x x x x -?=?-+>?， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．下列四个命题中，不正确．．． 的是（ ） A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则0 lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→ B ．函数22 ()4 x f x x += -的不连续点是2x =和2x =- C ．若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞ -=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞ ∞ =→→ D ．1 11 lim 12 x x -=-→ 8．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱
2013年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学 第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为 （A ）3 （B ）6 （C ）8 （D ）10 2、将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 （A ）12种 （B ）10种 （C ）9种 （D ）8种 3、下面是关于复数z= 21i -+的四个命题 P1：z =2 P2: 2z =2i P3:z 的共轭复数为1+i P4 ：z 的虚部为-1 其中真命题为 （A ）. P2 ,P3 （B ） P1 ,P2 （C ）P2,P4 （D ）P3,P4 4、设F1，F2是椭圆E: 2 2x a + 2 2 y b =1 (a ＞b ＞0)的左、右焦点 ，P 为直线3 2a x = 上 的一点，12PF F △是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 （A ） 12 （B ） 23 （C ） 34 （D ） 45 5、已知{n a }为等比数列，214=+a a ，865-=?a a ，则=+101a a （A ）7 （B ）5 （C ）-5 （D ）-7 6、如果执行右边的程序图，输入正整数)2(≥N N 和 实数n a a a ?,,21，输入A ，B ，则 （A ）A+B 为的n a a a ?,,21和 （B ） 2 A B +为n a a a ?,,21的算式平均数
湖南省2018年普通高等学校对口招生考试 数 学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三个部分，共4页，时量120分钟，满分120分。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合=?==B A A ，则，{3,4,5,6}B {1,2,3,4} A.{1，2，3，4，5，6} B.{2，3，4} C.{3，4} D.{1，2，5，6} 2、 ”的”是““392==x x A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3、函数x x y 22-=的单调递增区间是 A .]1,(-∞ B.),1[+∞ C.]2,(-∞ D.),0[+∞ 4、已知,5 3cos -=α且α为第三象限角，则=αtan A.34 B.43 C.43- D.3 4- 5、不等式112>-x 的解集是 A.}0{ 9、已知c b a c b a ,,,200sin ,100sin ,15sin 则?=?=?=的大小关系为 A .c b a << B .b c a << C.a b c << D.b a c << 10、过点） （1,1的直线与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，O 为坐标远点，则ABC ?面积的最大值为 A.2 B.4 C.3 D.32 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11、某学校有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从 该学校学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取男生的人数为 。 12、函数)(cos )(为常数b b x x f +=的部分图像如图所示，则b = 。 13、6)1(+x 的展开式中5x 的系数为 （用数字作答）。 14、已知向量y x yb xa c c b a ++====则且,),16,11(),4,3(),2,1(= 。 15、如图，画一个边长为4的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2 个正方形，依次类推，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积为 。 2015年湖南省高考数学试卷（文科） 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 2．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（5分）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（） A．B．C．D． 6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（） A．B．C．D． 7．（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（） A．B．2 C．2 D．4 8．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（） A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数9．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 10．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（） 2014年湖南省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共10小题,每小题5分,共50分） 1．（5分）设命题p:?x∈R,x2+1＞0,则￢p为（） A．?x0∈R,x02+1＞0 B．?x0∈R,x02+1≤0 C．?x0∈R,x02+1＜0 D．?x0∈R,x02+1≤0 2．（5分）已知集合A={x|x＞2},B={x|1＜x＜3},则A∩B=（） A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3} 3．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则（） A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3 4．（5分）下列函数中,既是偶函数又在区间（﹣∞,0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x 5．（5分）在区间[﹣2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为（）A．B．C．D． 6．（5分）若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切,则m=（）A．21 B．19 C．9 D．﹣11 7．（5分）执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[﹣2,2],则输出的S属于（） A．[﹣6,﹣2]B．[﹣5,﹣1]C．[﹣4,5]D．[﹣3,6] 8．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（5分）若0＜x1＜x2＜1,则（） A．﹣＞lnx2﹣lnx1B．﹣＜lnx2﹣lnx1 C．x2＞x1D．x2＜x1 10．（5分）在平面直角坐标系中,O为原点,A（﹣1,0）,B（0,）,C（3,0）,动点D满足||=1,则|++|的取值范围是（） A．[4,6]B．[﹣1,+1]C．[2,2]D．[﹣1,+1] 二、填空题（共5小题,每小题5分,共25分） 11．（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于． 12．（5分）在平面直角坐标系中,曲线C:（t为参数）的普通方程为．13．（5分）若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为． 14．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1,0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等,若机器人接触不到过点P（﹣1,0）且斜率为k的直线,则k的取值范围是． 15．（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数,则a=． 2011年湖南省高考数学试卷（理科） 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）（2011?湖南）若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（） A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=﹣1，b=﹣1 D．a=1，b=﹣1 2．（5分）（2011?湖南）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N?M”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（5分）（2011?湖南）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A．9π+42 B．36π+18 C．D． 4．（5分）（2011?湖南）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如 由算得， ． A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 5．（5分）（2011?湖南）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的 值为（） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（5分）（2011?湖南）由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的 面积为（） A．B．1 C．D． 7．（5分）（2011?湖南）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小 于2，则m的取值范围为（） A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3）D．（3，+∞） 8．（5分）（2011?湖南）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（） A．1 B．C．D． 二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分） 9．（5分）（2011?湖南）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为 参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C1与C2的交点个数 为． 10．（5分）（2011?湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为． 11．（2011?湖南）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为． y 2008高考湖南理科数学试题及全解全析 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．复数31()i i -等于( ) A.8 B.－8 C.8i D.－8i 【答案】D 【解析】由3 3412()( )88i i i i i i --==-?=-,易知D 正确. 2．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由12x -<得13x -<<，由(3)0x x -<得03x <<，所以易知选B. 3.已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥?? -≤??+-≤? 则x y +的最大值是( ) A.2 B.5 C.6 D.8 【答案】C 【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点 分别为(1,1),(1,4),(3,3),代入验证知在点 (3,3)时,x y +最大值是33 6.+= 故选C. 4.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】2 (2,3)N ? 12 (1)1(1)(),3 c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ 12(1)( ),3c P c ξ--<-=Φ31 ()()1,33 c c --∴Φ+Φ= 31 1()()1,33 c c --?-Φ+Φ=解得c =2, 所以选B. 5.设有直线m 、n 和平面α、β,下列四个命题中，正确的是( ) A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n B.若m ?α,n ?α,m ∥β,n ∥β,则α∥β C.若α⊥β，m ?α,则m ⊥β D.若α⊥β，m ⊥β，m ?α,则m ∥α 【答案】D 【解析】由立几知识,易知D 正确. 6. 函数2 ()sin cos f x x x x =在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是( ) A.1 B. 12 + C. 32 【答案】C 【解析】由1cos 21()2sin(2)226 x f x x x π -= +=+-, 52,42366x x ππππ π≤≤ ? ≤- ≤ max 13 ()1.22 f x ∴=+=故选C. 7.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且 2,DC BD = 2,CE EA = 2,AF FB = 则AD BE CF ++ 与BC ( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 【答案】A 【解析】由定比分点的向量式得:212,1233 AC AB AD AC AB += =++ 12,33BE BC BA =+ 12,33CF CA CB =+ 以上三式相加得 1,3 AD BE CF BC ++=- 所以选A. 8.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离 大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)2015年湖南省高考数学试卷文科
[历年真题]2014年湖南省高考数学试卷(文科)
2011年 湖南省高考数学试卷(理科)
2008高考湖南数学理科试题及详细解答(全word版)080625
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