考研数学线性代数行列式的计算方法
考研数学线性代数行列式的计算方法
考生们在复习考研数学的线性代数行列式时，需要把计算的方法掌握好。店铺为大家精心准备了考研数学线性代数行列式的计算秘诀，欢迎大家前来阅读。
考研数学线性代数行列式的计算技巧
一、基本内容及历年大纲要求。
本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中的相关推论是如何得到的。
二、行列式在线性代数中的地位。
行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着密切的联系。
三、行列式的计算。
由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式的计算。
1.数值型行列式的计算
主要方法有：
(1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的计算，但是它计算量大，而且容易出错;
(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算;
(3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算;
(4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行
列式计算;
(5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。
2.抽象型行列式的计算
主要计算方法有：
(1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的;
(2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的行列式的计算;
(3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算;
(4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算;
(5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。
考研数学真题使用的问题
我们究竟该做多少年的真题?
在这里，建议大家至少要做近20年的真题，这是因为考研数学和考研英语、考研政治不一样，英语和政治的时代感比较强，时效性也比较强，比如说，大家在做10年前的英语和政治真题和现在真题是完全不一样的感觉。然而，数学恰恰与此相反，经过近28年的萃取，考研数学早已发展成熟，不会在知识点和深度上面有太多的变化。这个时候，有一些学生会问，考过的真题还会再考吗?给大家举一个例子，在2012年考过一道和1994年完全一样的题目，可以告诉大家，纵然不会考原题，至少也会在做题的思路和做题的思想上是完全一样的，所以说，建议大家至少要做近20年的考研真题。
我们需要在什么时候做真题?
建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。
应该怎么样去做真题?
我给大家的建议是，在提高阶段，我们首先将真题按照题型进行分类，我们从题型的类别去做真题。这样做的目的有两个，第一，我们可以知道我们目前的程度和考试差距究竟有多大;第二，在我们分开类别去做真题的时候，我们也可以知道，自己究竟在那一块的知识比较薄弱，方便我们进行有针对性的查缺补漏做专题复习。其次，在我们的第四个阶段，也就是冲刺模考阶段，也是要以真题为根本出发点，需要大家继续做真题。但是这个时候，我们不用再将真题进行分类，而是直接进行整套真题的进行做。这个时候，可能会有同学这样说，我在提高阶段已经做过真题，为什么现在还有做真题?大家必须明白，你做分类的真题和整套真题是两种概念，我们在做分类的真题的时候，我们不需要太多的思维跨度，然而，当我们做整套真题的时候，我们是需要思维跨度，这一点，在考试过程中，对大家的要求也是比较大的。所以，在冲刺模考阶段，我们还是需要做真题。当然，也需要有一定的模拟题进行穿插起来做。毕竟，大家在提高阶段已经将真题做过一遍。这里，给大家的建议是做两套真题，做一套模拟题。
考研数学备考的复习方法总结
第一：练习重质不重量
许多同学为求稳求全，唯恐错过任何最新的题目，凡是市面上出现的试题都想买回来做上一遍。要知道每年新出的各种科目的练习题起码有2000多种，要在短短的几十天里都做完是根本不可能的。
建议同学们适当选择2-3套模拟题，可优先选择所看参考书配套的.练习题——便于查漏补缺，再选择名师所出的模考题——便于重组知识点，然后参考最后十多天考研辅导机构或考研专家所出的押题性质资料。
第二：时间规划要科学
有许多同学认为，到了备考阶段，练习模拟题应该严格按照考试的时间及科目来进行，以便找到临场的真实感觉并调整好生物钟，进入百分之百的临考状态。例如，许多人很早就开始选择循环两天进行一轮模拟考：第一天早上安排政治，下午英语，第二天接着是上午数
学(专业课一)，下午专业课二。但这样的练习缺乏“系统性”，犯了复习的大忌。
因为这样的安排只能简单地对一下答案，没有足够的时间去消化错误;有的同学草草对完一遍答案后，就会纠结于所考分数，容易忽略对所考题型和知识点的进一步总结，然后又为了完成复习计划匆匆进行下一轮的模拟考，导致一整套题做下来收效甚微，这就陷入了“为练习而练习”的误区。练习最重要的目的是查漏补缺，侧重检验知识点，要把错题和新的解法、新的技巧整理出来。
一位考上北大数学系的同学介绍她的复习经验时说：“我复习每一个科目都是以天作为单位，例如今天一整天连续做2-3套数学习题，然后要花5个小时左右对答案，整理纠错笔记，把所有的知识点都串一遍。明天再换成专业课，以此类推。这样每一天都能保证每套题目都做出‘味道’，一个科目有阶段性的收获。”
第三：多多总结
同学们做模拟考题，最为关注的往往是模拟考的成绩。分数高了容易放松，分数低了就会失落，心情会随着分数大起大落。一个去年的成功同学的备考经历：模拟考难度要比正式考试难很多，所以很多同学在11月、12月的模拟考分数都不理想。有一个同学在最后一次模拟考试后放声痛哭，甚至说不想去参加考试了。经过研友多次沟通才鼓起勇气踏入考场，最后数学考了满分。
这种情况每年都会发生。大家要相信，经过长时间的反复练习后，自己在知识基础、应试技巧、心理承受能力方面都已经得到提高。做模拟考题的主要目的还是查漏补缺，有不懂的题目高度重视，多花时间攻克。
小贴士：模拟题仅仅是模拟题，不能完全与真题相提并论。特别是里面的题型、知识点往往偏全、偏难，要拿到高分不太容易。同学们不需背负太多的心理负担，记住需要查漏补缺的知识点，对于考分则要过后即忘。
【考研数学线性代数行列式的计算方法】
行列式的几种计算方法 行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。 一、按定义式计算行列式： 按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算： det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n} σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。 按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。我们通常会采用其他方法来计算行列式。 计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。 利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。 对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。 三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式： 对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。即 M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij}) 其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。 矩阵的代数余子式A_{ij}定义为A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}。利用矩阵的代数余子式和余子式的概念，我们可以利用递归的方法来计算行列式的值，从而简化计算过程。 四、按特征值和特征向量计算行列式：
行列式计算7种技巧7种手段 编者:Cas ｔｅlu 【编写说明】行列式就是线性代数得一个重要研究对象,就是线性代数中得一个最基本,最常用得工具,记为ｄet(A)。本质上,行列式描述得就是在n 维空间中,一个线性变换所形成得平行多面体得体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等、鉴于行列式在数学各领域得重要性,其计算得重要性也不言而喻,因此,本人结合自己得学习心得,将几种常见得行列式计算技巧与手段归纳于此,供已具有行列式学习基础得读者阅读 一。7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算得技巧,即在计算行列式时,对已给出得原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算得行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧１:行列式与它得转置行列式得值相等,即D ＝D T 技巧2:互换行列式得任意两行(列),行列式得值将改变正负号 技巧3:行列式中某一行(列)得所有元素得公因子可以提到行列式记号得外面 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 111211112111121112212 12 1 2 1212 n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧５:将行列式得某一行(列)得各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应得元素上,行列式得值不变 技巧6:分块行列式得值等于其主对角线上两个子块行列式得值得乘积 11111111 111111111 1 1 1 0000m m n m mm m n m mm n nn n nm n nn a a a a b b a a c c b b a a b b c c b b = 技巧７:［拉普拉斯按一行(列)展开定理］ 行列式等于它得任一行(列)得各元素与其对应得代数余子式乘积之与 二。7种手段: 【手段】所谓行列式计算得手段,即在计算行列式时,观察已给出得原始行列式或进行化简后得行列式,只要它们符合已知得几种行列式模型,就可以直接计算出这些行列式 手段1:对于2阶行列式与３阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 00100 20010000 n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---= . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算
例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足 ,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j a a =-知i i i a a =-，即 0,1,2,,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A ' = 1213112 23213 2331230000n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
行列式的定义计算方法 行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。 行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。 一、行列式的定义 行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。 二、行列式的计算方法 1. 二阶行列式的计算： 对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为： det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_21 2. 三阶行列式的计算： 对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为： det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32 - a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_12 3. 高阶行列式的计算： 对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。 选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。 【举例说明】 为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。 考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。 代入行列式的计算公式： det(A) = 1 * 5 * 9 + 2 * 6 * 7 + 3 * 4 * 8 - 7 * 5 * 3 - 8 * 6 * 1 - 9 * 4 * 2 = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 由此可见，上述矩阵A的行列式值为0。 行列式是线性代数中一个重要的概念，它可以用于判断矩阵的性质和计算线性方程组的解。本文从行列式的定义和计算方法进行了详细的介绍，并通过实例加以说明。掌握行列式的计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。行列式作为线性代数的基础概念之一，还有许多更深入的研究和应用，读者可以进一步学习和探索。【参考文献】
行列式的几种计算方法 行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵和向量运算中起着关键作用。行列式的计算方法有多种，接下来将介绍几种常用的计算方法。 1. 代数余子式法 代数余子式法是最基本的行列式计算方法之一。对于一个n阶行列式A，我们可以通过以下公式进行计算： Det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n a11是矩阵A的元素，A11是a11的代数余子式。代数余子式的计算方法是对矩阵A的每个元素求其代数余子式，然后再按照公式相加，得到最终的行列式值。 代数余子式法的优点是直观易懂，适用于任意阶数的行列式。但是当阶数比较大时，计算量较大，需要进行大量的矩阵代数运算，因此效率较低。 2. 初等变换法 初等变换法是另一种常用的行列式计算方法。该方法通过对矩阵进行一系列的初等变换，将矩阵化简为上三角矩阵或对角矩阵，然后再通过对角线元素的乘积得到行列式的值。 初等变换包括三种操作：互换两行（列）、某一行（列）乘以一个非零数、某一行（列）加上另一行（列）的若干倍。通过这三种操作，我们可以将矩阵变换为三角形式，从而更容易计算行列式的值。 初等变换法的优点是可以有效地简化矩阵，使得行列式的计算更加简单。但是这种方法对于高阶矩阵来说，计算量仍然较大，且需要一定的技巧和经验。 3. 克拉默法则 克拉默法则是一种利用矩阵的逆矩阵来计算行列式的方法。对于一个n阶行列式A，其公式如下： Det(A) = (A^-1) * Adj(A) A^-1表示矩阵A的逆矩阵，Adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵。 利用克拉默法则进行行列式的计算，首先需要求出矩阵A的逆矩阵，然后再求出伴随矩阵，最后通过矩阵相乘得到行列式的值。
行列式的几种计算方法 行列式是线性代数中一种重要的概念，它可以通过不同的计算方法来求解。下面将介绍几种常用的行列式计算方法。 1. 代数余子式展开法 代数余子式展开法是求解行列式的一种常用方法。对于一个n阶行列式A，可以选择任意一行或一列展开，然后按照一定的规律计算各个元素的代数余子式，并与原矩阵对应元素相乘再求和，得到最终的行列式的值。 假设我们选择第i行展开，则有： det(A) = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + … + a_{in}A_{in} a_{ij}表示矩阵A的第i行第j列的元素，A_{ij}表示矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式。 2. 公式法 对于2阶和3阶的行列式，可以直接使用公式来计算。对于2阶行列式A，有： 对于3阶行列式A，有： det(A) = a_{11}·a_{22}·a_{33} + a_{12}·a_{23}·a_{31} + a_{13}·a_{21}·a_{32} - a_{13}·a_{22}·a_{31} - a_{11}·a_{23}·a_{32} - a_{12}·a_{21}·a_{33} 3. 初等变换法 对于某些特殊形式的矩阵，可以通过初等变换将其转化为简单的行阶梯形或对角形矩阵，从而方便计算行列式的值。 一般来说，可以通过初等行变换将矩阵A转化为行阶梯形矩阵U，即U = E_k·E_{k-1}·…·E_2·E_1·A，其中E_i是一个初等矩阵。 然后，行列式的值可以通过计算行阶梯形矩阵的对角线元素的乘积得到，即det(A) = u_{11}·u_{22}·…·u_{nn}，其中u_{ii}是U的第i行第i列元素。 4. 递推关系法 递推关系法是一种递归地求解行列式的方法。对于n阶行列式A，可以通过将其展开成(n-1)阶行列式的形式来计算。
行列式计算7种技巧7种手段 行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读 一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 1112111121212212212221222211211 2...n n n n n n n n n n nn n n nn a a a a a a a b b b b a a a a a a a a b b b b b a a a b b b = 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 111211112111121121212121 22121 t t tn t t n n n t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn tn a a a a a a a a a b b b b b c c c c b a a a a a a a a a c c +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的
考研数学线性代数行列式的计算方法 考研数学线性代数行列式的计算方法 考生们在复习考研数学的线性代数行列式时，需要把计算的方法掌握好。店铺为大家精心准备了考研数学线性代数行列式的计算秘诀，欢迎大家前来阅读。 考研数学线性代数行列式的计算技巧 一、基本内容及历年大纲要求。 本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中的相关推论是如何得到的。 二、行列式在线性代数中的地位。 行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着密切的联系。 三、行列式的计算。 由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式的计算。 1.数值型行列式的计算 主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的计算，但是它计算量大，而且容易出错; (2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行
列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算 主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。 考研数学真题使用的问题 我们究竟该做多少年的真题? 在这里，建议大家至少要做近20年的真题，这是因为考研数学和考研英语、考研政治不一样，英语和政治的时代感比较强，时效性也比较强，比如说，大家在做10年前的英语和政治真题和现在真题是完全不一样的感觉。然而，数学恰恰与此相反，经过近28年的萃取，考研数学早已发展成熟，不会在知识点和深度上面有太多的变化。这个时候，有一些学生会问，考过的真题还会再考吗?给大家举一个例子，在2012年考过一道和1994年完全一样的题目，可以告诉大家，纵然不会考原题，至少也会在做题的思路和做题的思想上是完全一样的，所以说，建议大家至少要做近20年的考研真题。 我们需要在什么时候做真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。
论行列式的计算方法 摘要：归纳行列式的各种计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。 关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助行列式法 行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n 阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。接下来要介绍计算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行（列）展开法。 方法1 化三角形法 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 例1：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值： 123123413451 21221 n n n n D n n n -=-- [分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式 的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。 解：
线性代数行列式计算方法总结 线性代数中，行列式是一个非常重要的概念。它是一种用于表示线性变换、矩阵和线性方程组性质的数值指标。在实际应用中，我们常常需要计算行列式的值。下面将总结一些常用的行列式计算方法。 一、定义法 行列式的定义法是最基本的计算方法。对于一个n阶方阵 A=[a[i][j]]，其行列式表示为det(A)，可以通过如下公式进行计算：det(A) = Σ[(-1)^perm] * a[1][p[1]] * a[2][p[2]] * ... * a[n][p[n]] 其中，Σ表示求和，perm表示排列p[1]、p[2]、..、p[n]的所有可能情况。公式中的(-1)^perm是一个符号因子，当一些排列具有奇数个逆序时，符号为负；当一些排列具有偶数个逆序时，符号为正。 这种方法简单直观，但对于大型的n阶矩阵计算复杂度较高。因此，我们需要探索一些优化方法。 二、拉普拉斯展开法 拉普拉斯展开法也是一种常用的行列式计算方法。它基于行列式的定义法，并通过将行列式展开为一系列子行列式的和来计算。 对于一个n阶方阵A=[a[i][j]]，其行列式表示为det(A)，可以通过以下公式进行计算： det(A) = Σ[(-1)^(i+1)] * a[i][j] * det(A[i][j])
其中，A[i][j]表示A删去第i行和第j列后的子矩阵。公式中的Σ 表示求和，从j=1到j=n进行累加。 拉普拉斯展开法的优点是可以通过递归地计算子矩阵的行列式来减少 计算量，但其复杂度仍然为O(n!)，对于大型矩阵仍然不够高效。 三、行变换法 行变换法是一种常用的行列式计算方法，通过矩阵的初等行变换将矩 阵转化为易于计算的上（下）三角形式，从而求得行列式的值。 对于一个n阶方阵A=[a[i][j]]，其行列式表示为det(A)，可以通过 以下步骤进行计算： 1.对A进行初等行变换，将其转化为上（下）三角形形式。 2.计算上（下）三角形矩阵对角线上的元素的乘积，即可得到行列式 的值。 行变换法的优点是可以通过初等行变换将矩阵转化为易于计算的形式，从而减少计算量。不过，对于特殊矩阵（如稀疏矩阵）来说，这种方法可 能并不高效。 四、特殊矩阵的行列式计算方法 对于一些特殊的矩阵，还可以使用其特点来简化行列式的计算。 1.对称矩阵的行列式计算方法： 对于一个n阶对称矩阵A，其行列式可以通过以下公式进行计算： det(A) = a[1][1] * a[2][2] * ... * a[n][n] 即，对称矩阵的行列式等于其对角线上各元素的乘积。
线性代数行列式计算方法总结 线性代数是数学的一个分支，研究向量空间与线性映射的代数理论。行列式是线性代数中重要的概念之一，用于判断线性方程组的解的存在与唯一性，以及计算线性变换的特征值与特征向量等。本文将介绍线性代数中行列式的计算方法，并总结为以下几种常见的方法。 方法一：定义法 行列式的定义是一个很重要的概念，也是计算行列式的基础。对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为|A|或det(A)，定义为n个行向量或列向量所组成的n维向量空间的基向量所构成的平行多面体的有向体积。根据这个定义，我们可以通过构造平行多面体来计算行列式的值，方法即是代数余子式展开法。 方法二：对角线法则 对角线法则是计算2阶或3阶方阵行列式的简易方法。对于2阶方阵A，其行列式的值等于主对角线上元素的乘积减去副对角线上元素的乘积；对于3阶方阵A，其行列式的值等于主对角线上元素的乘积与副对角线上元素的乘积之差。此方法适用于小规模方阵的计算。 方法三：按行展开法 按行展开法是计算n阶方阵行列式的一种常用方法。对于一个n阶方阵A，选择其中一行（通常选择第一行）展开，即将该行中的元素与所在行和列上排列的剩余元素分别构成n-1阶的方阵，然后将其乘以对应元素的代数余子式，最后再按正负号相间相加得到行列式的值。按行展开法在计算大规模方阵的行
列式时，不仅简化了计算过程，还可以通过递归的方式实现。 方法四：按列展开法 按列展开法与按行展开法类似，只是选择展开的对象变为一列。选择第j列展开，则将该列中的元素与所在行和列上排列的剩 余元素分别构成n-1阶的方阵，然后将其乘以对应元素的代数 余子式，最后再按正负号相间相加得到行列式的值。 方法五：性质法 行列式具有一系列的性质，可以根据这些性质来简化行列式的计算过程。这些性质包括行列对换，相同行列的元素倍加，行列式放缩等。利用这些性质，我们可以通过对行列式进行简单的变换，使其更容易计算，例如将行列式转化为上三角形矩阵，然后直接求解主对角线上元素的乘积即可。 总结以上几种计算方法，可以根据问题的具体情况选择合适的计算方法。在实际应用中，通常会结合不同的方法，根据问题的规模与特点进行计算，以达到高效、准确的目的。行列式作为线性代数中的一个重要概念，对于理解和应用线性代数具有重要意义，掌握行列式的计算方法对于深入理解线性代数的概念和原理非常有帮助。
求行列式的值的方法总结本文旨在总结求解行列式的方法以及计算行列式的步骤。行列式在线性代数中是一个重要的概念，广泛应用于各学科领域，尤其是在计算机科学、物理学、化学等领域。行列式是矩阵的一种变换操作，本质上是一个标量值，有着重要的数学性质。行列式的计算方法有多种，包括定义法、三角分解法、拉普拉斯展开法、按行（列）展开法、特征值法等，下面逐一进行介绍。 一、定义法 行列式的定义法就是通过定义来计算出行列式的值。通过这种方法来计算行列式时，需要先找到一个合适的行列式定义，进行推导并最终求解出它的值。以一个二阶行列式为例： $D=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}$ 通过对行列式的定义进行推导，可以得到该二阶行列式的公式： $D=a_1b_2-a_2b_1$ 同理，对于 n 阶行列式，也可以通过定义法进行计算：
$D=\sum\limits_{\sigma\in S_n}(- 1)^{\tau(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}...a_{ n\sigma(n)}$ 其中 S(n) 表示 n 个数的排列组合，并且 $(- 1)^{\tau(\sigma)}$ 表示交换相邻两数使得原序列变成排列 $\sigma$ 所需要的交换次数的奇偶性。 二、三角分解法 三角分解法是指将一个矩阵变形成一个上三角和一个下三角矩阵。上三角矩阵的对角线上是矩阵的主对角线，下三角矩阵的对角线上则是一串0。行列式的值取决于对角线上的元素的乘积。通过对角线上系数的相乘，就能得到一个矩阵的行列式值。三角分解法可以将一个 MXN 矩阵化为一个 N*N 的上三角矩阵或者一个 M*M 的下三角矩阵。计算行列式的结果是容易的，因为上三角和下三角矩阵的行列式是它们对角线上元素的乘积。 三、拉普拉斯展开法 拉普拉斯（Laplace）展开法是一种通用的行列式计算法，基于这个展开式，可以将 n 阶行列式的计算拆分成较小的 n-1 阶子式的求解。拉普拉斯展开的核心在于将行列式计算逐步推平。 拉普拉斯展开法的计算公式如下：
行列式的性质与计算方法 行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。 一、行列式的性质 1. 行列式与转置矩阵 矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即 $\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$ 2. 行列式的行列互换 行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。行列互换会改变行列式的符号，即
$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$ 其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。 3. 行列式的元素线性组合 如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即 $\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}