第一讲：行列式
排列
定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。n 级排列的总数为
(1)(2)21!n n n n ⋅-⋅-⋅=（n 的阶乘个）。
定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它
们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例1 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性
134782695
解 逆序数为10，是偶排列。
行列式：
定义（设为n 阶）：n 阶行列式
是取自不同行不同列的n 个元素的乘
积的代数和，它由n !项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()n j j j τ表示排列 12n j j j 的
逆序数。
n 阶行列式具有的性质
1．性质（1）行列互换，行列式不变。即
111211121121222122221
2
12n n n n n n nn
n
n
nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
=
。
2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即
11121121
2
n i i in n n nn
a a
a ka ka ka
a a a =k 11121121
2
n i i in n n nn
a a a a a a a a a 特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。
3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。即
1212121112121222()
1212(1)n n n
n
n j j j j j nj j j j n n nn
a a a a a a A a a a a a a τ==-∑
11121111211112
1112212
12
1
2
12
12
n n n n n n n n n nn
n n nn
n n nn
a a a a a a a a a
b
c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+。
4．性质（4）如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同）。
5．性质（5）如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。即
11121111211
2
12121
2
1
2
12
0n n i i in
i i in
i i in i i in n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a k ka ka ka a a a a a a a a a ==。 6．性质（6）把一行的倍数加到另一行，行列式不变。即
11121111211112111
22
121212121212
1
2
1
2
1112112
n n n
i k i k in kn
i i in
k k kn k k kn k k kn k k
kn n n nn
n n nn
n n nn
n i i i a a a a a a a a a a ca a ca a ca
a a a ca ca
ca a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+=121
2n k k kn n n nn
a a a a a a
7．性质（7）对换行列式中两行的位置，行列式反号。即
1112111121111211
2
1122
11221212121
2
1
21
2
11121n n n i i
in
i k i k in kn
i k i k in kn k k kn
k k kn i i in n n nn
n n nn
n n nn
n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++==---
=11
12
1121212121
2
1
2
n k k kn
k k kn i i in i i in n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-
---
行列式的计算
数字型行列式的计算 1.三角化法
例2 计算行列式1
1
2233
1
111
11
1b b b D b b b --
=
----之值。
解 从第1行开始,依次把每行加至下一行,得
11
1
2
222
33
33
3
1111
1
1
11111
11111
b b b b b b D b b b b b b =
=
=
=------
例3 计算行列式x a a
a a x a
a
D a a x
a a a a
x
=之值。 解 把每行均加至第一行,提出公因式()1x n a +-,再把第一行的a -倍分别加到第二行至第n 行,得
[][]
[]1
111
1
1111
(1)(1)(1)()n n a x a
a
x a
D x n a x n a x n a x a a a x
a x a
a a a
x
x a
--=+-=+-=+----
2．递推法
例4 计算行列式511
1111
111a a a a D a
a a a a
---=
------之值。
解 把各列均加至第1列，并按第1列展开，得到递推公式
5145411(1)111
111a a a D D a a a
a a a a
+-=
=--------
继续使用这个递推公式，有443D D a =+
332D D a =- 而初始值221D a a =-+，所以 234551D a a a a a =-+-+-
例5 计算行列式 12
3111
1n n n
a a x a x
D a x
a x
---=
-之值。
解 按第n 行展开，有
1111(1)(1)n n n n n n n D xD a xD a +---=+-⋅-=+， 从而递推地得到
212121(1)(1)n n n n n n n D xD a xD a ------=+-⋅-=+， 232n n n D xD a ---=+
212D a x a =+
对这些等式分别用1，x ,2
x ,
,2
n x
-相乘，然后相加，得到
1231231n n n n n n D a x a x a x a x a ----=+++
++ 3．公式法
例6 计算行列式 a b c d b
a d c
A c d a b d
c b a
--=
----之值。
解 由于2222()T AA a b c d E =+++,故用行列式乘法公式，得
2
22224()T T A A A AA a b c d =⋅==+++
因A 中，4
a 系数是+1，所以22222
()A a b c d =+++。
行列式的概念与性质的例题
例7 已知2331645615ij a a a a a a 是6阶行列式中的一项，试确定,i j 的值及此项所带的符号。 解 根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和。因此，行指标2,3,,6,5,1i 应取自1至6的排列，故4i =，同理可知2j =。
直接计算行的逆序数与列的逆序数，有(2,3,4,6,5,1)(3,1,2,4,6,5)639ττ+=+=。 亦知此项应带负号。
抽象行列式的计算
例8 已知123,,,,αααβγ都是4维列向量，且123,,,a αααβ=，321,,,b βγααα+=，则
1232,,,γααα=（ ）。 解
321,,,βγααα+中第1列是两个数的和，用性质3可将其拆成两个行列式之和，再利用对换，
提公因式等行列式性质作恒等变行，就有
321321321,,,,,,,,,βγαααβαααγααα+=+
321123321123,,,,,,,,,,,,,βααααααβγαααγααα==-于是
1232,,,2()a b γααα=-。
含参数行列式的计算
例9 已知3
11
1510113
x D x x --=
-=--，求x 。 解 将第3行的-1倍加至第1行，有
2202101100
151(2)151(2)152
11311311452
(2)
(2)(918)
14
x x D x x x x x x x x x x x x x x ---=-=--=---------=-=--+- 所以2,3,6x x x ===。 关于0A =的证明 解题思路：
①设证法A A =-；
②反证法：如0A ≠从A 可逆找矛盾；
③构造齐次方程组0Ax =，设法证明它有非零解； ④设法证矩阵的秩()r A n <； ⑤证明0是矩阵A 的一个特征值。
例10 设2,A A A E =≠(单位矩阵)，证明：0A =。
证法一：如0A ≠，则A 可逆，那么121
A A A A A E --===.与已知条件A E ≠矛盾。
证法二：由2
A A =，有()0A A E -=,从而A E -的每一列都是齐次方程组0Ax =的解，又因
A E ≠，故0Ax =有非零解，从而0A =。
证法三：证同上，由于A E -的每一列
(1,2,,i i n β=都是0Ax =的解，所以
12()(,,
,)()n r A E r n r A βββ-=≤-，又因A E ≠，()0r A E ->，故()()r A n r A E n ≤--<，
所以0A =。
证法四：证同上，设i β是A E -中非零列，则00i i A ββ==,则，0是A 的特征值，故0A =。
特殊行列式的解法 1 范德蒙行列式
定义：行列式1
2
3
2
2221
2
3
12
311231111n
n n n n n n
a a a a d a a a a a a a a ----=称为n 级的范德蒙行列式。
例11 计算行列式1122332221122331
11
(1)
(1)(1)(1)
(1)(1)
A x x x x x x x x x x x x =------之值。 解 把1改写成(1)i i x x --，第一行成为两数之和，A 可拆成两个行列式之和，即
12312311223311223322
2222112233112233(1)(1)(1)(1)(1)
(1)(1)
(1)
(1)(1)(1)(1)(1)
(1)
(1)
x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=---+---------
分别记这两个行列式为B 和C ，则由范德蒙行列式得，
123123222112233
3
1231
231132
22
123
1
11
1
111
1
1()
i i j i j i B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =≤<≤=------==⋅-∏∏
3
1
13
(1)()i i j i j i C x x x =≤<≤=--⋅
-∏∏
故3
3
13
1
1
()(1)i j i i j i i i A x x x x ≤<≤===-[--]∏∏∏
第一章 行列式 ◆ 基础知识概要 1.n 阶行列式的定义 二阶行列式 2112221122 21 1211a a a a a a a a -=. 三阶行列式. 33 32 31 232221131211a a a a a a a a a 112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---. 对角线法则： n 阶行列式的定义 ()1 212111212122212,,,121...n n n t n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a ???== -∑ , 它是取自不同行不同列的n 个数的乘积1212...n j j nj a a a 的代数和（共!n 项），其中各项的符号为()1t -，t 代表排列12,,,n j j j ???的逆序数，简记为() det ij a . n 阶行列式也可定义为()1 2 1212,,,1...n n t i i i n i i i D a a a ???=-∑，其中t 为行标12,,,n i i i ???排 列的逆序数. 例1.1 计算行列式 （1） 1 2 n λλλ ； （2） 1 2 n λλλ .
练习：计算下列行列式 （1） 234134201300400 ； （2） 11 12122 20n n nn a a a a a a ????????? （上三角形行列式）； （3） 11 21221 2 n n nn a a a a a a ????????? （下三角形行列式）. 2. 行列式的性质与计算 2.1行列式的性质 （1）行列式与其转置行列式相等； （2）互换行列式的某两行(列)得到新行列式则新行列式应反号； 特别地：若行列式中有两行(列)对应元素相等，则行列式等于零； （3）行列式中某一行(列)的所有元素的公因数可以提到行列式的外面； 即以数k 乘以行列式等于用数k 乘以行列式的某一行或某一列； 特别地：若行列式中有一行(列)的元素全为零，则行列式等于零； （4）行列式中如果有某两行(列)对应元素成比例，则行列式的值为零； 特别地：比例系数为1 （5）若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如，第i 列的元素都是两数之和： ()()()111211121 2222 212 i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '???+???'??? +???=?????????????????? '???+???， 则D 等于如下两个行列式之和：
一章行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点 行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│ 2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│·│B│ 3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1 若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1 4、若A为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是A的特征值，│A│＝∏λi 四、题型及解题思路 1、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法） 1）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法，多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即 x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题 1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解） 2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出 第二章矩阵 一、重点 1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵） 2、掌握： 1）矩阵的各种运算及运算规律 2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法 3）矩阵的初等变换方法 二、难点
第一章行列式 行列式是一个重要的数学工具．它广泛应用于理、工、农、医、经济等很多领域。在线性代数中， 行列式更是一种不可或缺的重要工具.本章主要介绍行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程 组中的应用——Cramer（克莱姆）法则. §行列式定义 一、数域 定义设P是含有0和1的一个数集，若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在 P中，则称P为一个数域． 如果数集P中任意两个数作某一运算后的结果任在P中，则称P对这个运算封闭。因此数域的 定义也可简单叙述为：含有0和1且对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集称为数域. 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、 实数域、复数域依次用Q、R、C来记。全体整数组成的集合不是数域，因为任意两个整数的商不一 定是整数. 要指出的是所有的数域都包含有理数域。这是因为如果P是一个数域，则1在P中且由于P对 加法封闭，所以1+1=2，2+1=3，，n+1全在P中，即P包含全体自然数；又因0在P中且P对减 法封闭，于是 0 - n = - n在P中,所以P包含全体整数；因为任意一个有理数都可表为两个整数的 商，再由P对除法的封闭性知P包含全体有理数。即任何一个数域都包含有理数域. 今后本教材中所论及的数都是指某一固定数域中的数，文中一般不再特别加以说明. 二、排列 为了给出n阶行列式的定义，先介绍n级排列的概念． 定义由自然数1 ，2 ，…，n组成的全排列称为n级排列．记作 i1 i2…i n n级排列共有n!个. n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序.
第一讲：行列式 排列 定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。n 级排列的总数为 (1)(2)21!n n n n ⋅-⋅-⋅=（n 的阶乘个）。 定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它 们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例1 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性 134782695 解 逆序数为10，是偶排列。 行列式： 定义（设为n 阶）：n 阶行列式 是取自不同行不同列的n 个元素的乘 积的代数和，它由n !项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()n j j j τ表示排列 12n j j j 的 逆序数。 n 阶行列式具有的性质 1．性质（1）行列互换，行列式不变。即 111211121121222122221 2 12n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 。 2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即 11121121 2 n i i in n n nn a a a ka ka ka a a a =k 11121121 2 n i i in n n nn a a a a a a a a a 特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。 3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。即 1212121112121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a A a a a a a a τ==-∑
第一章行列式 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。 性质3行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数，等于用数乘以此行列式。第行（或者列）乘以，记作(或)。 推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第行（或者列）提出公因子，记作(或)。 性质4行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。 性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第列的元素都是两数之和，则等于下列两个行列式之和： ′ ′′= ′ ′ ′ 性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。 定义在阶行列式，把（）元所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做（）元的余子式，记作；记，叫做（）元的代数余子式。 引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除（）元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即 定理3(行列式按行按列展开法则) 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
，， ，或 ，， 推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 和 范德蒙德行列式 克拉默法则 ① 如果线性方程组①的系数行列式不等于零，即 ， 那么，方程组①有唯一解， ，， 其中 ， ，， 是把系数行列式矩阵中第列的元素用方程组 ， ， 右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即 ， ， 定理4 如果非齐次线性方程组的系数行列式 ，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。 定理如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。 定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次线性方程组没有非零解 定理如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零 第二章矩阵级其运算 定义1 由个数 ， ，， 排成的行列的数表，称为行列矩阵；
考研数学一大纲线性代数部分详解线性代数作为数学的一个重要分支，在考研数学一大纲中占据了相 当大的比重。本文将对考研数学一大纲中线性代数部分进行详细解析，包括矩阵和行列式、向量空间、线性变换和特征值等内容。 一、矩阵和行列式 矩阵和行列式是线性代数的基础概念。矩阵是数的矩形排列，行列 式是一个用于求解特征值和特征向量的工具。在准备考研数学一的过 程中，我们要熟悉矩阵的基本概念和运算法则，如矩阵的转置、乘法 和逆矩阵等。同时，理解行列式的含义和性质也是必不可少的一步。 二、向量空间 向量空间是指由一组向量所构成的集合。在考研数学一大纲中，我 们需要掌握向量空间的定义及其基本性质。此外，线性相关性和线性 无关性也是重要的概念，在向量空间的讨论中起到关键的作用。了解 向量空间的特性，能够帮助我们更好地理解线性代数的核心内容。 三、线性变换 线性变换是指对向量空间中的每个向量进行某种特定操作的变换。 在考研数学一大纲中，我们需要了解线性变换的定义、性质及其在矩 阵表示下的运算。熟练掌握线性变换的理论和具体的计算方法，对于 解题和理解线性代数的相关概念都有着重要的意义。 四、特征值和特征向量
特征值和特征向量是矩阵和线性变换中的重要概念。在考研数学一大纲中，我们需要了解特征值和特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。通过学习特征值和特征向量，我们可以更好地理解矩阵的本质和线性变换的特性，为解题提供有力的工具。 五、应用领域 线性代数作为一门基础学科，广泛应用于各个领域。在现代科学和工程技术中，线性代数的应用非常广泛。例如在计算机图像处理、信号处理、机器学习等领域中，线性代数都扮演着重要的角色。因此，在备考考研数学一的过程中，我们应该注重将线性代数的理论知识与实际问题相结合，理解线性代数在各个领域中的具体应用。 总结： 本文对考研数学一大纲中线性代数部分进行了详细解析，包括矩阵和行列式、向量空间、线性变换和特征值等内容。通过深入理解这些概念和原理，我们可以在备考过程中更加系统和全面地掌握线性代数的知识，为解答和分析数学问题提供坚实的基础。同时，我们也应该重视线性代数的应用，结合实际问题来加深对线性代数的理解，为将来的科研和工程实践做好充分的准备。
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵， 取值为一个标量，写作 或。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。 不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A=????? ??i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A=i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
考研数学线性代数必考的知识点 考研数学线性代数是考研数学中的重要一部分，是以线性代数为基础 的高等数学课程。线性代数在科学与工程中有着广泛的应用，而考研数学 线性代数的知识点主要包括矩阵、行列式、线性方程组、特征值与特征向量、线性空间和线性变换等内容。 一、矩阵 1.矩阵的基本运算：矩阵的加减法、数乘、乘法及其性质； 2.矩阵的转置、对称与反对称矩阵、单位矩阵； 3.矩阵的秩：元素型和行列型定义、秩的性质和计算方法； 4.矩阵的逆：可逆矩阵与非奇异矩阵、矩阵的逆的存在性和计算方法； 5.矩阵的秩公式和分块矩阵。 二、行列式 1.行列式的定义：n阶行列式的定义、性质和计算方法； 2.行列式的性质：行列式的性质和性质导出的定理； 3.方阵的行列式的计算：按行（列）展开、对角线法则、拉普拉斯展开； 4.计算商工差、计算行列式的特殊方法； 5.行列式的应用：方阵可逆的判定、线性方程组的解的存在性与唯一性、向量线性相关与线性无关的判定。 三、线性方程组
1.线性方程组的线性组合与线性相关性； 2.齐次方程组与非齐次方程组的概念； 3.齐次线性方程组的基础解系与通解； 4.线性方程组的求解方法：初等变换法、高斯消元法、矩阵法； 5.线性方程组的解的判别准则：齐次线性方程组有非零解的充分必要 条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件。 四、特征值与特征向量 1.特征值与特征向量的定义； 2.特征值与特征向量的性质：特征值的性质、特征向量的性质； 3.对角化与相似矩阵：矩阵的相似与相似矩阵的性质； 4.对称矩阵的主轴定理和谱定理； 5.特征值与特征向量的计算方法。 五、线性空间与线性变换 1.线性空间的定义和性质； 2.线性子空间的定义和性质； 3.线性相关与线性无关性质的判定； 4.线性空间的基与维数的概念； 5.线性变换的定义和性质：线性变换的线性性质、线性变换的像与核。
《线性代数》复习提纲 第一章、行列式 1．行列式的定义：用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法 定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； ◊行列式值为0的几种情况： Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。 奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义：n q q q n a a a ⋯=∑21t 2 1 1-D ）（，t 为n q q q ⋯21的逆序数 4.行列式性质： 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。 3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。 6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则） 7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则： ：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解D D D D x D D n =⋯== n 2211x ,x ，，。
行列式的性质与计算方法 行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。 一、行列式的性质 1. 行列式与转置矩阵 矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即 $\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$ 2. 行列式的行列互换 行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。行列互换会改变行列式的符号，即
$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$ 其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。 3. 行列式的元素线性组合 如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即 $\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}
行列式的应用 行列式是线性代数中重要的概念之一，它有着广泛的应用。在本 文中，我将介绍行列式的定义及其应用领域。行列式的定义在高中数 学课本中就有讲解，这里不再赘述。而行列式的应用则是如此广泛， 以至于无法在一篇3000字的文章中详细介绍每个领域的应用。因此， 我将简要地介绍一些常见的应用领域，以帮助读者了解行列式的实际 应用价值。 首先，行列式在线性方程组求解中起到重要作用。线性方程组是 实际问题中常见的数学模型，例如电路中的电流分布、力学中的受力 分析等。通过将线性方程组转化为矩阵形式，可以用行列式来求解未 知变量。行列式的性质可以用来判断线性方程组的解的个数和可解性。此外，行列式的值还可以用来判断线性方程组的解是否唯一。 其次，行列式在几何学中有着重要的应用。例如，平面上的三个 点可以构成一个三角形，而这个三角形的有向面积可以通过这三个点 的坐标计算得到。这个有向面积的值就等于这三个点所确定的行列式 的值的绝对值。因此，行列式可以用来计算三角形的面积。同样地， 在三维空间中，四个点可以构成一个四面体，而四面体的有向体积也 可以通过这四个点的坐标计算得到，其值等于这四个点所确定的行列 式的值的绝对值。行列式在计算几何体的体积、面积以及位置关系等 方面都有重要的应用。 另外，行列式在概率与统计学中也有着重要的作用。在概率论中，行列式可用来计算随机变量的联合概率密度函数的雅可比行列式，进 而计算随机变量之间的相关性。在统计学中，行列式可以用来计算多 元线性回归模型的参数估计，并且可以通过行列式的性质来检验回归 模型的拟合优度。行列式在概率与统计学中的应用可以帮助我们理解 和分析复杂的随机现象。 除此之外，行列式还有着许多其他领域的应用。例如在图论中， 行列式可以用来计算图的邻接矩阵，进而研究图的连通性和路径问题。
考研数学一大纲解析高等代数部分重要知识 点 高等代数是考研数学一科目中的重要内容，它占有较大的比重，并且在实际应用中有着广泛的运用。本文将从大纲角度出发，对高等代数的重要知识点进行解析和讨论。 一、行列式 行列式是高等代数中的基础内容，主要涉及到矩阵的性质和运算。在考研数学一的大纲中，行列式的相关内容主要包括行列式的概念、行列式的性质、行列式的计算、克莱姆法则等。 1.1 行列式的概念 行列式的概念是理解整个高等代数的基础，它是一个重要的数学工具。行列式可以用来描述线性方程组的解的情况，它的值可以表示方程组解的存在性和唯一性。考研数学一大纲中，对行列式的定义和性质进行了详细的说明。 1.2 行列式的性质 行列式的性质是我们在解题过程中的基本依据，熟悉并掌握这些性质对于解题来说非常重要。行列式的性质包括行列式交换行（列）变换、行列式的倍加性、行列式的性质等。在解题过程中，我们可以通过这些性质进行适当的变形，简化计算的过程。 1.3 行列式的计算
行列式的计算是高等代数的核心内容之一，它是解题过程中的重点。行列式的计算方法包括按行（列）展开法、三阶及以上行列式的计算、克莱姆法则等。熟练掌握这些计算方法，可以有效地解决各种行列式 的计算问题。 二、矩阵 矩阵是高等代数中另一个重要的概念，它是行列式的推广。在考研 数学一的大纲中，矩阵的相关内容主要包括矩阵的定义、矩阵的运算、矩阵的初等变换等。 2.1 矩阵的定义 矩阵的定义是掌握矩阵运算的基础，矩阵可以用来表示多个数按特 定排列方式组成的矩形阵列。矩阵的定义不仅包括矩阵的行数和列数，还包括矩阵的元素。矩阵可以用于解决线性方程组、方阵和逆矩阵等 问题。 2.2 矩阵的运算 矩阵的运算是应用矩阵求解问题的关键，熟练掌握矩阵的运算可以 更好地解决实际问题。矩阵的运算包括矩阵的加法、矩阵的数乘、矩 阵的乘法、矩阵的转置等。在解题过程中，我们可以通过矩阵的运算 简化计算步骤，提高解题效率。 2.3 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是矩阵的重要性质之一，它可以通过一系列计算变 换将一个矩阵转化为另一个矩阵。矩阵的初等变换包括行变换、列变
行列式相关知识点及其应用 2023年，行列式已经成为了高中数学教学中不可或缺的一部分。行列式是线性代数中的重要概念，它从某种程度上来说是一个矩阵的量度，能够描述矩阵的性质和变换。 首先，行列式的概念。行列式是一个数学上的函数，它可以用来计算一个方形矩阵的值。行列式的计算方法非常简单，只需要对矩阵进行特定的变换就可以得到。行列式的符号为“|A|”，其中A代表的是一个方形矩阵。 在行列式中，有一个非常重要的概念——行列式的性质。行列式的性质共有六条，它们分别是： 1. 交换行：将矩阵的任意两行互换，行列式的值反号。 2. 交换列：将矩阵的任意两列互换，行列式的值反号。 3. 数乘行：将矩阵的某一行乘以一个数k，行列式的值乘以k。 4. 数乘列：将矩阵的某一列乘以一个数k，行列式的值乘以k。 5. 行加行：将矩阵的一行加上另一行的k倍，行列式的值不变。 6. 列加列：将矩阵的一列加上另一列的k倍，行列式的值不变。 这些性质非常重要，因为它们为行列式的计算提供了很多简便的方法，能够大大减少计算量。 除此之外，行列式还有一些重要的应用。其中最重要的一个就是求方程组的解。对于一个由m个线性方程组成的方程组，我们可以将其表示成矩阵的形式，然后通过求矩阵的行列式来解方程组。如果行列式不为0，则方程组有唯一解；如果行列式等于0，则有无数解或无解。
此外，行列式还可以用来描述矩阵的性质和变换。通过行列式的值，我们可以判断矩阵的行列式、行列式的正负性、行列式的大小等。这些性质在矩阵变换中非常有用。 最后，我想说一下行列式在计算机科学中的应用。在现代计算机技术中，行列式被广泛用于图形学和计算机视觉领域。在图形学中，行列式可以用来计算3D对象的方向和大小，而在计算机视觉领域中，行列式则可以用来识别数字、文字和图像等。 综上所述，行列式是线性代数中的重要概念，它具有很多重要的性质和应用。对于学习数学的学生来说，深入理解行列式的原理和运用，对提高数学能力和发展科学素养都有着重要的意义。
行列式的应用 行列式是线性代数中一个重要的概念，它广泛应用于各 个领域，比如数学、物理、工程等。行列式的计算方法和性质十分丰富，它可以帮助我们解决很多实际问题。 首先，行列式在线性代数中起到了非常关键的作用。线 性代数是研究向量空间的一个分支，而向量空间中很多重要的性质和定理都与行列式密切相关。矩阵的行列式可以用来判断矩阵的可逆性。若一个矩阵的行列式为零，那么该矩阵就是奇异矩阵，不能求逆；反之，若一个矩阵的行列式不为零，那么该矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 其次，行列式在解线性方程组中有着重要的应用。通过 行列式的计算可以判断线性方程组的解的情况。对于一个n阶线性方程组，若系数矩阵的行列式不为零，则方程组有唯一解；若系数矩阵的行列式为零，但方程组的增广矩阵的行列式不为零，则方程组无解；若系数矩阵和增广矩阵的行列式都为零，则方程组有无穷多解。 此外，行列式还广泛应用于线性变换和特征值问题中。 在线性变换中，矩阵的行列式可以帮助我们判断变换后的空间面积或体积的变化情况。如果一个线性变换的矩阵的行列式大于1，则变换会使原来的图形面积或体积扩大；如果行列式小 于1，则变换会使原来的图形面积或体积缩小。在特征值问题中，矩阵的特征值通过行列式的计算得到，特征值的大小和特征向量的方向可以帮助我们了解矩阵的性质和特点。 此外，行列式还在概率统计中有着重要的应用。在概率
统计模型中，行列式可以用来判断多变量概率分布的独立性。如果一个多变量概率分布的协方差矩阵的行列式为零，那么多变量之间就是线性相关的，它们之间存在一定的依赖关系；如果行列式不为零，则多变量之间是独立的。 行列式在工程中也有着广泛的应用。在结构力学中，通 过计算矩阵的行列式可以判断结构体系的稳定性和变形情况。在电力系统中，行列式可以用来解决电力网络的潮流计算问题。在图像处理中，行列式可以用来进行图像的压缩和恢复等。 总之，行列式作为线性代数的重要工具，应用广泛。无 论是数学领域，还是其他领域，行列式都能发挥重要的作用，帮助我们解决实际问题。它的应用不仅仅局限于这里提到的几个领域，还可以应用于更多的领域中。因此，了解和掌握行列式的性质和计算方法，对于我们深入研究各个领域的问题有着重要的意义。
线性代数总结-笔记 ●注 ●结合两位李老师线代辅导讲义整理而成 ● ●一、行列式 ●1、概念及性质 ●行列式 ●定义：不同行不同列元素乘积的代数和（完全展开式）（共n！项） ●逆序数：一个排列中逆序的总数 ●性质 ●行列式性质： ●①提公因式； ●②两行互换，行列式变号（两行相等、两行成比例，丨A丨=0）； ●③拆分； ●④倍加 ●方阵行列式性质（运算公式）： ●※注意：①行列式性质≠矩阵初等变换；②行列式性质≠矩阵运算 ●余子式 ●定义：Mij ●代数余子式 ●定义： ●展开公式 ●丨A丨=按第i行展开=按第j列展开
●某行（列）元素×其他行（列）元素的代数余子式=0 ●Aij的值与aij的取值无关 ●2、主要公式 ●上（下）三角行列式 ●关于副对角线的行列式 ●拉普拉斯展开式 ●范德蒙行列式 ●△特征多项式→求特征值 ●克拉默法则 计算方程组的解 ●系数行列式D≠0（即丨A丨≠0） ●推论1：齐次线性方程组D≠0，则方程组只有零解
●推论2：齐次线性方程组有非零解，则丨A丨=0 ●3、题型总结 ●行列式的计算 ●数字型行列式 ●步骤：①观察行列式特征；②利用展开公式或行列式性质 ●方法：行（列）加法、加边法、分块法、拆项法、递推法 ●特殊行列式归纳 ●爪形行列式： ●一般思路：利用对角线元素把行或者列消去，变为上/下三角形； ●考题中一般不会给明显爪形，需要先进行恒等变换 ●三对角线行列式 ●一般思路：把对角线两边的某一对角线化为0 ●低阶：①每一行加到第一行；②逐行相加 ●高阶：数学归纳法递推——①把A展开，看A与几个低阶有关②与一个低阶有 关，选择第一数学归纳法；与两个或两个以上低阶有关，选择第二数学归纳法 ●抽象性行列式 ●丨A+B丨型的计算 ●给出A=α，β，γ；B=δ，ε，η→把A+B表示出来，用行列式性质 ●完全抽象：利用E把A+B恒等变形，根据矩阵行列式性质化为已知条件 ●丨A丨型计算 ●遇到A的伴随、转置或逆矩阵等，先利用矩阵性质化为A后，再计算 ●遇到α1，α2，α3是线性无关向量且给有Aα1，Aα2，Aα3：①行列式性质②利用 相似“A~B，则丨A丨=丨B丨”
行列式的应用 行列式是一个重要的数学工具，在许多领域都有广泛的应用。 以下是一些行列式的应用： 1. 线性代数中的解析几何：行列式可以用来描述向量的线性相关性，判断向量组是否线性相关或线性无关，以及计算向量组的体积、面积等几何性质。 2. 线性代数中的矩阵方程求解：行列式可以用来求解线性方程组的解，通过计算行列式的值可以判断线性方程组是否有唯一解、无解或有无穷多个解。 3. 线性代数中的矩阵的逆：行列式可以用来判断矩阵是否可逆，即是否存在逆矩阵。通过计算行列式的值可以判断矩阵是否可逆，若行列式的值不为零，则矩阵可逆。
4. 线性代数中的特征值与特征向量：行列式可以用来计算 矩阵的特征值，特征值与特征向量在很多应用中具有重要 的意义，例如在物理学中的量子力学和振动系统的分析中。 5. 几何学中的面积和体积计算：行列式可以用来计算平面 上的三角形面积、立体图形的体积等几何性质。通过构建 矩阵并计算行列式的值，可以得到几何性质的解析表达式。 6. 统计学中的多元随机变量的联合密度函数：行列式可以 用来计算多元随机变量的联合密度函数。通过计算行列式 的值，可以得到多元随机变量的概率分布。 7. 物理学中的刚体运动学：行列式可以用来描述刚体的转 动和运动。通过计算刚体的转动惯量矩阵的行列式，可以 得到刚体的转动惯量，从而分析刚体的运动状态。 8. 工程学中的电路分析：行列式可以用来分析电路的相关 参数，如电流、电压的分布、电路的功率等。通过构建电
路的增广矩阵，并计算其行列式的值，可以得到电路的解析解。 以上仅是行列式的一些应用领域，实际上行列式在数学、物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
线代性质总结 性质1行列式与它的转置行列式相等.即 Ps.行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号。 推论： 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明： 性质3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即： 性质4 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式. 推论1 若行列式中有一行（列）的元素全为0，则行列式等于0。 推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去， 行列式不变． 性质7 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于 零，即 解题思路：化成上下三角行列式或是化为一行或列有多个0的简单行列式。 例题1 . T D D =02 ,=-=D D D in in i i i i A a A a A a D +++= 2211nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211()n i ,,2,1 =()n j ,,2,1 =nn ni ni n n n i i n i i a a a a a a a a a a a a a a a D )()()(2122222211111211'+'+'+=nn ni n n i n i nn ni n n i n i a a a a a a a a a a a a a a a a a a D '''+=12221111112221111111220,.i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠ ).(,02211t j A a A a A a nt nj t j t j ≠=+++ a b b b b a b b b b a b b b b a D =[]. )()1(1 ---+=n b a b n a
线性代数知识点总结（第1、2章） （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式 数学归纳法证明
★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如
华北水利水电学院 行列式的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年11月05 日
摘要： 行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的 应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。 关键词： 递推法 行列式 三角化法 公式法 数学归纳法 英文题目: Determinantal properties and application Abstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinat,on our learning will bring very useful help. Key words: Recurrence method Determinant triangularization method formula method mathematical induction 正文： 1 引言: 问题的提出 在实践中存在许多解n 元一次方程组的问题，如 ①11112212112222 a x a x b a x a x b +=⎧⎨+=⎩ ②11112211121222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 运用行列式可以解决如②的n 元一次方程组的问题。 2 2.1排列定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。n 级排列的总数为 (1)(2)21!n n n n ⋅-⋅-⋅= （n 的阶乘个） 。 定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数， 那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。 2.2行列式 定义（设为n 阶）：n 阶行列式 1212121112121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a A a a a a a a τ==-∑
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑11 12121 22 212 n n n n nn a a a a a a D a a a = 将它的行依次变为相应的列，得 11 2111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记1112 12122212 n n T n n nn b b b b b b D b b b = 则(,1,2, ,)ij ji b a i j n == 12 12 () 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑12 12() 12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑ 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔)或两列(i j c c ↔)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即
111211112 112121 2 1 2 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =； 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零． 性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 1112111221 2 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=1112112 12n i i in n n nn a a a a a a a a a +1112112 12 n i i in n n nn a a a b b b a a a . 证: 由行列式定义 12 12() 12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑ 12 12 12 12() () 1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑ 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 11121121 2 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=111211122 1 2 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++ 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．