最短距离问题
1. 如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值．
2. 如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）
A
． B
． C ．3 D
3. 在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝
4. 一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．
5. 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．
A B
P
R Q 图3 A
D
E P
B C
6.如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸
垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？
作法：设a、b的距离为r。①把点B竖直向上平移r个单位得到点B'；
②连接AB'，交a于C；③过C作CD b于D；
④连接AC、BD。
证明：∵BB'∥CD且BB'＝CD，∴四边形BB'CD是平行四边形，∴CB'＝BD
∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B
在a上任取一点C'，作C'D'，连接AC'、D'B，C'B'
同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B，而AC'＋C'B'>A B'，∴AC＋CD＋DB最短。
7.如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若AC,AB是各有一个动点M,N,求BM+MN最小值.
8.如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC
边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .
9. 如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC =60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为 ．
10. 如图6所示，已知正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM =2，N 是AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为 ．
11. 如图7，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为 cm ．（结果不取近似值）．
12. 如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ）
A．42° B．48° C ．52° D．58°
13.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则A DB
'
∠=（
）
A．40°B．30°C．20°D．10°
14.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF 的长度是．
15.在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为
A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5
16.矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（）
A．8 B．11
2
C．4 D．5
2
第2题图
A'
B
D
A
C
17.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝3，
折叠后，点C落在AD边上的C
1
处，并且点B落在EC
1
边上的B
1
处．则BC的长为（）．A、3B、2 C、3 D、3
2
18.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点
E.
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.
19.如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F 处，折痕为MN，则线段CN的长是（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
N
M
F
E
B
A
《机械
B
C
D
G
F
16题）
F
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
最短距离问题 1. 如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值． 2. 如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ） A ． B ． C ．3 D 3. 在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝ 4. 一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式； （2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标． 第题 A B P R Q 图3 A D E P B C
5.如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____． 6.如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近 作法：设a、b的距离为r。①把点B竖直向上平移r个单位得到点B'； ②连接AB'，交a于C；③过C作CD b于D； ④连接AC、BD。 证明：∵BB'∥CD且BB'＝CD，∴四边形BB'CD是平行四边形，∴CB'＝BD ∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B 在a上任取一点C'，作C'D'，连接AC'、D'B，C'B' 同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B，而AC'＋C'B'>A B'，∴AC＋CD＋DB最短。7.如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若AC,AB是各有一个动点M,N,求BM+MN最小值. 8.如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .
最短距离问题 摘要：最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题。几何中的最短路线问题是中考热点之一，往往与两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称、勾股定理息息相关。
案例问题： （1）如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N 分别表示位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？理由是？ （2）如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，若村庄M、N在公路AB的同侧，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？请简单证明。
解决问题： 一 建立几何模型： 案例问题（2）可以转化为数学问题： 如图（1），在直线a 同侧有Ａ，Ｂ两点，在直线a 上找一点M ，可使MA+MB 的值最小？ 二 几何模型的解决 你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律? 思路分析：如图2，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点，本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中，线段A ′B 最短。因此，线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。 如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A ′N 。 因为直线a 是A ，A ′的对称轴，点M,N 在a 上，所以AM= A ′M,AN= A ′N 。
∴AM+BM= A ′M+BM= A ′B 在△A ′BN 中， ∵A ′B ＜A ′N+BN ∴AM+BM ＜AN+BN 即AM+BM 最小。 三 几何模型应用： 两条直线间的对称 题目1 如图，在旷野上，一个人骑马从A 出发，他欲将马引到河a1饮水后再到a2饮水，然后返回A 地，问他应该怎样走才能使总路程最短。 点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点A 作a1的对称点A ′，作a2的对称点A 〞,连接A ′A 〞交a1、a2于B 、C,连接BC.所经过路线如图5： A-B-C-A,所走的总路程为A ′A 〞。 A C 第1题图 第2题图
初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧 最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题”。 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变 式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线 段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街 道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的 点． 三、一点在两相交直线部 例：已知：如图A是锐角∠MON部任意一点，在∠MON的两边OM，ON 上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM， ON于点B、点C，则点B、点C即为所求 分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周 长最小
初中数学《最短路径问题》典型题型 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） 二、 两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短． 解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A ′B ，交“街道”于点C ，则点C 就是所求的点． 三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求 分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。 A· B M N E
初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧 最短路径问题中, 关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题” 。 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题” ，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短． 解：只有A、C 、B在一直线上时，才能使AC +BC最小．作点A 关于 直线“街道”的对称点A′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则 点C 就是所求的点． 、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A 是锐角∠ MON 内部任意一点，在∠ MON 的两边 OM ，ON 上各取一点B，C ，组成三角形，使三角形周长最小.
解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A OM ，ON 于点B、点C ，则点B、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长 最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河 上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE 中，∵ AC+CE >AE, ∴AC+CE+MN >AE+MN, 即AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。 例：如图，A、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B 两地，问该站建在 连接A ′，A ″，分 别交 B
初中数学《最短距离问题》教学设计 课题分析 （1）最短距离问题是初中数学的重要内容之一，也是中考命题的重点之一。学生已有两点之间线段最短的基本知识，故本课应对从直观认识的基础上，着重在不同背景的实际问题中应用，从而渗透化归的数学思想方法。 （2）通过本节的学习，类比、构造、化归转化等数学思想方法的渗透，使学生体会到数学中的美学意义，不断提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。 学情分析 （1）知识基础：学生了解两点之间线段最短等基本知识点，但此后的学习很少涉及此内容，所以学生对此内容的应用较为陌生，所以学生通过本课的学习，须掌握能在不同背景的实际问题中应用。 （2）能力基础：学生的作图能力还是读图能力，添加适当的辅助线、创造适合的条件去在不同背景的实际问题中应用的能力比较薄弱的，这些能力都必须得到加强。 （3）心理基础：因为陌生而害怕，学生在这部分的学习上存在心理的障碍，这不利于学习，故要在题目的设置上让学生更容易得到成就感，才会让学生敢于动手，达到学好的信心，要充分调动学生的积极性。 教学目标 知识目标：掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用。 技能目标：学习过平移、轴对称、旋转三种图形变换，利用图形变换能解决一些最短距离问题。 情感目标：引导学生对图形观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.体会数学的对称美，体验化归的思想方法，培养合作精神。 重点难点 重点：1.掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用 2.利用图形变换能解决一些最短距离问题
一、填空题（共6小题） 1、边长为2的正方形的顶点A 到其内切圆周上的最远距离是 _________ ，最短距离是 _________ ． 2、已知点P 到⊙O 上的点的最短距离为3cm ，最长距离为5cm ，则⊙O 的半径为 _________ cm ． 3、（2011?广安）如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距 离为5cm ，则弦AB 的长为 _________ ． 4、如图，圆锥的底面半径为OB=3，母线SB=9，D 为SB 上一点，且SD=，则点A 沿圆锥表 面到D 点的最短距离为 _________ ． 5、如图，P 为半圆直径AB 上一动点，C 为半圆中点，D 为弧AC 的三等分点，若AB=2，则PC+PD 的最短距离为 _________ ． 6、如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC 和BD ，且AC=BD ，若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 _________ 米． 二、解答题（共4小题） 7、正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为多少？ 8、己知圆锥的底面半径是4cm ，母线长为12cm ，C 为母线PB 的中点，求从A 到C 在圆锥的侧面上的最短距离． 2012年 初中数学求最短距离
9、已知如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，C是母线PB中点且在圆锥的侧面上，求从A到C的最短距离为多少厘米？ 10、如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP． 三、选择题（共4小题） 11、如图，在底面周长为12，高为8的圆柱体上有A、B两点，则A、B两点的最短距离为（） A、4 B、8 C、10 D、5 12、（2003?贵阳）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S的最短距离为（） A、B、 C、D、 13、如图，已知圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A 处．则小虫所走的最短距离为（）
初二数学专题练习最短距离问题 1.如图3－10，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小． 2.A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示） 3.如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短． 4.如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点， 且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值 5.如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值是． 6.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（） A．3．26 C．3 D6 7.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为 8.如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂， （1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．
（2）另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由． 9.（1）如图1示，∠AOB内有两点M，N，请你确定一点P，使点P到M，N的距离相等，且到OA，OB边的距离也相等，在图上标出它的位置． （2）某班举行文艺晚会，桌子摆成两直线（如图2中的AO，BO），AO桌面上摆满桔子，BO桌面上摆满糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短． 10.如图，厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个厂的水平距离都是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短．（河的两岸是平行的） ①请画出架桥的位置．（不写画法） ②求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程． 11.一次函数y kx b =+的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．12.如图，在直角坐标系中有四个点A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D?（n，0），当四边形ABCD周长最短时，则m=________，n=________． 13.蚂蚁搬家都选择最短路线行走，有一只蚂蚁
第6讲最短路径问题 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径 问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。 知识梳理 讲解用时：20分钟 两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？ 选A-B，因为两点之间，直线最短 垂线段最短 如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各 点的所有连线中，哪条最短？ PC最短，因为垂线段最短
两点在一条直线异侧 A P L B 如图，已知A点、B点在直线L异侧，在L上选一点P，使PA+PB最短. 连接AB交直线L于点P，则PA+PB 最短. 依据：两点之间：线段最短 两点在一条直线同侧 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位 久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不 得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边 l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 作法： 1、作B点关于直线L的对称点B’； 2、连接AB’交直线L于点C； 3、点C即为所求. 证明：在直线L上任意选一点C’（点C’不与C重合），连接AC’、BC’、B’C’. 在△AB’C’中， AC’+B’C’＞AB’ ∴AC’+BC’＞AC+BC 所以AC+BC最短.
课堂精讲精练 【例题1】 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据作图的方法即可得到结论． 解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小， ∴D的作法正确， 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1.1】 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需
2013求最短距离问题大全 一、填空题（共6小题） 1、边长为2的正方形的顶点A到其内切圆周上的最远距离是_________，最短距离是_________． 2、已知点P到⊙O上的点的最短距离为3cm，最长距离为5cm，则⊙O的半径为_________cm． 3、（2011?广安）如图所示，若⊙O 的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离 为5cm，则弦AB的长为_________． 4、如图，圆锥的底面半径为OB=3，母线SB=9，D为SB上一点，且SD=，则点A沿圆锥表 面到D点的最短距离为_________． 5、如图，P为半圆直径AB上一动点，C为半圆中点，D为弧AC的三等分点，若AB=2，则PC+PD的最短距离为_________． 6、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是_________米． 二、解答题（共4小题） 7、正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为多少？ 8、己知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 9、已知如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，C是母线PB中点且在圆锥的侧面上，求从A到C的最短距离为多少厘米？
10、如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP． 三、选择题（共4小题） 11、如图，在底面周长为12，高为8的圆柱体上有A、B两点，则A、B两点的最短距离为（） A、4 B、8 C、10 D、5 12、（2003?贵阳）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S的最短距离为（） A、B、 C、D、 13、如图，已知圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A 处．则小虫所走的最短距离为（） A、12 B、4π C、D、 14、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）
最短距离问题分析 洪湖市峰口镇二中 刘万兵 最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。 一、“最值”问题大都归于两类基本模型： Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定 某范围内函数的最大或最小值 Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况： （1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最 小值”时，大都应用这一模型。 （2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大 值”时，大都应用这一模型。 几何模型： 条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ， 则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用： （1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点， P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知， B 与D 关于直线A C 对称．连结E D 交AC 于P ，则 PB PE +的最小值是___________； （2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上， OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点， 求PA PC +的最小值； 解：（1）PB PE +的最小值是5DE = （2）PA PC +的最小值是23 【典型例题分析】 1.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．6 A D E P A B A ' P l A B B 图1 A B C 图2 P
中考数学专题最短距离问题 考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 问题原型：“饮马问题”，“造桥选址问题”。 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、A是直线A同旁的两个定点． 问题：在直线A上确定一点A，使A的值最小． 方法：作点A关于直线A的对称点A，连结A交A于 点A，则A的值最小 模型转化应用： 在锐角三角形中探求线段和的最小值 如图1，在锐角三角形ABC中，AB=A,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为． 在等边三角形中探求线段和的最小值 （2010 山东滨州）如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 . 在直角梯形中探求线段和的最小值 （2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________． 在等腰梯形中探求线段和的最小值 如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则 PA+PB的最小值为． 在菱形中探求线段和的最小值 如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值为． 在正方形中探求线段和的最小值 如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则 DN+MN的最小值为．
中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点） 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于 点P ，则PA PB A B '+=的值最小 例1、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三 角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：△AMB ≌△ENB ； （2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小； ②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM 的最小值为 时，求正方形的边长。 例2、如图13，抛物线y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x 轴于A 、B ，交y 轴于D ，其中B 点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中E 点的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G 、F 、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 的垂线，垂足为M ，过点M 作直线M N ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由. A B A ' ′ P l
《立方体中的最短距离问题》教学案2014-11-18 教学目的：应用线段公理解决立方体中的最短距离问题。 教学重点：立方体中的最短距离问题 教学难点：立体问题转化为平面问题 教学过程： 一、复习与引入 1.线段公理是____________________________ 2.勾股定理是直角三角形的__________,勾股定理的逆定理是直角三角形的 ____________(填“判定”或“性质”) 3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°。 ①若a=2，b=4，则c=________； ②点C 到点A的最短距离为_______,点C 到点B的最短距离为_______ ③点C 到点AB的最短距离为_______, 二、问题探究1：如图所示：有一个长、宽、高都是2米，高为正方体纸盒，一只小蚂蚁要 沿着正方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？
问题探究2：如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？ 问题探究3：如图所示：有一个长为6米，宽为4米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？
课堂小结：有一个长为a 米，宽为b 米，高为c 米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点爬到B 点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？ 三、课堂练习： （1）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是______________ （2）（分层提高）如图所示：有一个长为3米，宽为1米，高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕一圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________ (3)(课后讨论) 在（2）中小蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕n 圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________ B A 6m 3m 1m B A
初中数学“最短距离”问题分类及解题策略 绵阳市游仙区新桥中学数学教研组 何道华 最短距离问题贯穿于初中几何学习的整个过程，由初一上册的“两点之间的距离”，初一下册的“点到直线的距离”、“平移”等基本问题开始，到初二上册的轴对称，初二下册的直角三角形的有关计算，再到初三上册的旋转等，都涉及到研究距离最短的问题。虽然解决此类问题的依据很简单，主要是线段最短、垂线段最短以及三角形中的三边大小关系等原理，但图形千变万化，经常与三角形、四边形、圆及抛物线等问题综合考察，涉及的知识背景多，动点、动线的位置不确定，往往需要作平移、对称、旋转等辅助线才能发现线段之间的联系，找到最短距离的位置后，通常还需要进行准确的计算。通过这类问题的解决，能培养学生动手操作、逻辑思考、严密计算等能力，是各类考试的热点同时也是难点问题。 一、最短距离的基本原理 1、两点间的距离是指连接两点的 的长度。 在连接两点的所有线中， 最短。简称 。 2、点到直线的距离是指点到直线的 的长度。 在连接直线外一点与直线上一点的所有线段中， 最短。 简称 。 3、两平行线间的距离是指平行线中一条直线上的任意一点到另一直线的 的长度。 4、三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边。 由任意三点连接的三条线段中，另两边之差≤第三边≤另两边之和。 二、题型及解题策略 最短时的图形。 求一只蚂蚁从点沿正方体表面爬到
两小区居民散步。怎样规划路线，才能使所建的道路之和最短？ 在 值最小。 如图 CB=4 ⊙
CB 的值最小。 在△ABC 中找一点P ，使它到三顶点的距离之和最短（即费马点）。 三、典型例题 1、如图，直线33 3 -= x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，请在x 轴上求一点C ，使点C 到点B 和直线AB 的距离之和最短。 分析：虽然线段CB 和CD 同在一个三角形，但这个三角形三边都不固定。把线段BC 翻折到B ′C ，从而当B ′、C 、D 三点在同一直线上，且该直线垂直于AB 时，点C 到点B 和直线AB 的距离之和最短。 解：作点B 关于x 轴的对称点B ′，再作B ′E ⊥AB 于E ，交x 轴于点F ，连接B ′C ， ∴B ′C=BC ， ∴CB+CD=B ′C+CD最新八年级数学最短距离问题
最新八年级数学最短距离问题 最短距离；对称；平移；展开 初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的. 初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开. 一、利用“对称”解决最短路线问题. 对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，简单地说就是“对称轴垂直平分这条对应点连线段”.而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点到两端点的距离相等”. 所以，我们研究A点到直线l的距离问题，就转化成了A’点到直线l的距离问题，而这个转化是等价的. 例1.（饮马问题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远. 分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案.如果我们设饮水地点是P，所求的距离就是AP+BP两线段长度之和，为了应用“两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对称的方法将A点对称到河对岸的A’点，这样AP+BP=A’P+BP，我们连接A’B，与CD的交点P即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：A’B2=AG2+BG2，A’B=13公里. 二、利用“平移”解决最短路线问题 例2.A，B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸.请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A，B两个村子之间的路程最短. 分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线.分别是A点到河岸+桥长+河岸到B点.
中考数学专题---最短距离问题 考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移” 问题原型：“饮马问题”，“造桥选址问题”。 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小 模型转化应用： 在锐角三角形中探求线段和的最小值 4,∠BAC=450，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，如图，在锐角三角形ABC中，AB=2 则BM+MN的最小值为 在等边三角形中探求线段和的最小值 如图，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值 为 在直角梯形中探求线段和的最小值 如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________ 在等腰梯形中探求线段和的最小值 如图，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为 在菱形中探求线段和的最小值 如图,菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=600，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 在正方形中探求线段和的最小值 如图，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为 如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为 cm（结果不取近似值） 在圆背景下探求线段和的最小值 如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝300，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA ＋PB的最小值为________ 在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值 如图，正比例函数y=0.5x的图象与反比例函数y=k／x(k≠0)在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小,则点P坐标为_________. 在二次函数背景下探求线段和的最小值 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,3），△AOB的面积是3.在过点A、O、B的抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； 在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值
2019中考数学专题复习之最短距离和问题 一、 “两点之间的连线中，线段最短”，凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。 几何模型：“饮马问题” 条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ， 则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用： 例1，如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是 ； （1）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是 OB 上一动点，求PA PC +的最小值； （2）一次函数b kx y +-的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标． （3）已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1（—1，0）、B （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标； A B A ' P l A B E C P D 图1 A B C 图2 P
例2，如图，两条公路OA 、OB 相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P ，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短. 同类题训练： 如图4， 45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值． 例3. 如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？ 二、归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大 都应用这一模型。 如图，抛物线24 12 +--=x x y 的顶点为A ，与y (1)若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA-PB ≤AB ； (2)当PA-PB 最大时，求点P 的坐标. O A B P R Q 图4