初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧
例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，
使得PA+PB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：
两点之间线段最短.）
二、两点在一条直线同侧
例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A
关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于
点C，则点C就是所求的点．
三、一点在两相交直线部
例：已知：如图A是锐角∠MON部任意一点，在∠MON的两边OM，
ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON
于点B、点C，则点B、点C即为所求
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小
例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何
A·M
处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥
N
E
要与河垂直）
解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,
则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。
例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在
河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。
证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD, ∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC
在△ACE 中，AE+EC ＞AC, 即 AE+EC ＞AD+DB
所以抽水站应建在河边的点D 处，
例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO ，BO)，AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
作法：1.作点C 关于直线 OA 的对称点点D, 2. 作点C 关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE 分别交直线OA.OB 于点M.N ，
则CM+MN+CN 最短
例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，
·
·
C
D
A
B E
a
先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
作法：1.作点C 关于直线 OA 的 对称点点F, 2. 作点D 关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接EF 分别交直线OA.OB 于点G.H ，
则CG+GH+DH 最短
四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计
在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？ （5或4）
四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程
将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．可求出最短路程
例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD 是它的一个横截面，AB=，BC=3，
一只蚂蚁，要从A 点爬行到C 点，那么，最近的路程长为（ ）
A ．7
B ．
C ．
D ． 5
分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 解：将圆柱体展开，连接A 、C ， ∵
=
=?π?
=4，BC=3，
根据两点之间线段最短，AC==5． 故选D ．
五、在长方体（正方体）中，求最短路程 1）将右侧面展开与下底面在同一平面，求得其路程 2）将前表面展开与上表面在同一平面，求得其路程 3）将上表面展开与左侧面在同一平面，求得其路程了
G
E
然后进行比较大小，即可得到最短路程.
例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要
从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B
处，则需要爬行的最短路径长为（）
A．5cm B．cm C．4cm D．3cm
分析：把此长方体的一面展开，在平面，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
解：因为平面展开图不唯一，
故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；
（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；
（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；
所以最短路径长为cm．
例：如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其壁的A处（长的
四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子
处最短距离为（）
A．4.8 B．C．5 D．
分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
解：有两种展开方法：
①将长方体展开成如图所示，连接A、B，
根据两点之间线段最短，AB==；
②将长方体展开成如图所示，连接A、B，则AB==5＜；
所以最短距离5
例：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树
在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米
之外才是安全的．
分析：根据题意构建直角三角形ABC ，利用勾股定理解答．
解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m ，则BC=4﹣1=3m ，AB=9﹣4=5m ， 在Rt△ABC 中，AC=
=
=4．
例：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且＞AD ，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01米）
分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽， ∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米． 于是最短路径为：
=2.60米．
例：如图，AB 为⊙O 直径，AB=2，OC 为半径，OC ⊥AB,D 为AC 三等分点，点P 为OC 上的动点，求AP+PD 的最小值。 分折：作D 关于OC 的对称点D ’，于是有PA+PD ’≥
AD ’,
（当且仅当P 运动到P o 处，等号成立，易求AD ’=3。 六、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程
将圆锥侧面展开，根据同一平面的问题可求出最优设计方案 例：如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是 （结果保留根式）
小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长， 根据题意可得出：2πr=n.π.OA,/180则， 则2×π×2= ， 解得：n=90°，
由勾股定
理求得它的弦长AA
一、题中出现一个动点。
当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值. 例：如图，在正方形ABCD 中，点E 为AB 上一定点， 且BE=10,CE=14,P 为BD 上一动点，求PE+PC 最小值。
n ×π
×8 180
分析：作E关于BD对称点E’，E’在AB上，
有PE+PC=PE’+PC≥E’C易求E’C=26。
二、题中出现两个动点。
当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。
例：如图，在直角坐标系中有四个点,
A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长
最短时,求m
n
。
分折:因AB长为定值,四边形周长
最短时有BC+CD+DA最短,作B关于y轴对称点B’,
A关于x轴对称点A’,
DA+DC+BC=DA’+DC+B’C≥B’A’(当D,C运动到AB和x轴y轴的交
点时等号成立),易求直线A’B’解折式y= 2
3
x
+
7
3,C0(0,
7
3),D0(-
7
2,0),此时
m
n=-
2
3
三、题中出现三个动点时。
在求解时应注意两点：
(1)作定点关于动点所在直线的对称点,
(2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.
例：如图，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点,求PE+PF最小值
分折:作E 关于AC 所直线的对称点E ’,于是有,
PE+PF=PF+PE ’≥E ’F,又因为E 在AB 上运动,
故当EF 和AD,BC 垂直时，E0F 最短,易求E0F=3。
例：如图，∠AOB=45，角有一动点P ，PO=10，在AO ，BO 上有两动点Q ，R ，求△PQR 周长的最小值。
分折：作P 关于OA ，OB 对称点P1，P2 。
于是有PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2≥P1P2，
由对称性易知△P1OP2为等腰RT △,OP=OP1=OP2=10,P1P2=102
总之，在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
1、运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．
注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．
2、利用平移确定最短路径选址
选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点
的对称点来解决．
解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．
初中数学知识点总结中考必备,中考题完整上传1 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x化为一般式为3x2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A（3，0）在y轴上。 2．直角坐标系中，x轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A（1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A（-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A（-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=2x3的值为1. 2．当x=3时,函数y=1的值为1. x 2 1 x33．当x=-1时,函数y=的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数.
3．函数y x是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. 6．抛物线y1(x1)22的顶点坐标是(1,2). 212 7．反比例函数y2的图象在第一、三象限. x 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= . 2 2．sin260°+ cos260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 2 知识点7：圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆.
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
初中数学《最短路径问题》典型题型 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P， 使得PA+PB最小。 解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据： 两点之间线段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于 点C，则点C就是所求的点． 三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于 点B、点C，则点B、点C即为所求 分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何 A·M 处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥 N E
要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。 例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在 河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。 证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD, ∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC 在△ACE 中，AE+EC ＞AC, 即 AE+EC ＞AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D 处， 例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO ，BO)，AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 作法：1.作点C 关于直线 OA 的对称点点D, 2. 作点C 关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE 分别交直线OA.OB 于点M.N ， 则CM+MN+CN 最短 例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮 · · C D A B E a
最短距离问题 摘要：最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题。几何中的最短路线问题是中考热点之一，往往与两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称、勾股定理息息相关。
案例问题： （1）如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N 分别表示位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？理由是？ （2）如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，若村庄M、N在公路AB的同侧，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？请简单证明。
解决问题： 一 建立几何模型： 案例问题（2）可以转化为数学问题： 如图（1），在直线a 同侧有Ａ，Ｂ两点，在直线a 上找一点M ，可使MA+MB 的值最小？ 二 几何模型的解决 你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律? 思路分析：如图2，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点，本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中，线段A ′B 最短。因此，线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。 如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A ′N 。 因为直线a 是A ，A ′的对称轴，点M,N 在a 上，所以AM= A ′M,AN= A ′N 。
∴AM+BM= A ′M+BM= A ′B 在△A ′BN 中， ∵A ′B ＜A ′N+BN ∴AM+BM ＜AN+BN 即AM+BM 最小。 三 几何模型应用： 两条直线间的对称 题目1 如图，在旷野上，一个人骑马从A 出发，他欲将马引到河a1饮水后再到a2饮水，然后返回A 地，问他应该怎样走才能使总路程最短。 点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点A 作a1的对称点A ′，作a2的对称点A 〞,连接A ′A 〞交a1、a2于B 、C,连接BC.所经过路线如图5： A-B-C-A,所走的总路程为A ′A 〞。 A C 第1题图 第2题图
初中数学《最短路径问题》典型题型 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） 二、 两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短． 解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A ′B ，交“街道”于点C ，则点C 就是所求的点． 三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求 分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。 A· B M N E
初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧 最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题”。 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线 “街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是 所求的点． 三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求 分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何 处 才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与 河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。 例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉 作 物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 · · C D A B E a A· B M N E
勾股定理中最短路径问题专题 一、同步知识梳理 1、勾股数：满足a2＋b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数． （1）由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件： ①满足a2＋b2＝c2 ②都是正整数．两者缺一不可． （2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2 (但不一定是勾股数)，例如：3、4、5是一组勾股数，但是以0.3 cm、0.4 cm、0.5 cm为边长的三个数就不是勾股数。 二、同步题型分析 1、等腰三角形的周长是20 cm，底边上的高是6 cm，求它的面积. 2、（1）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，DE垂直平分AB，求BE的长. （2）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，AE平分∠CAE，ED⊥AB,求BE的长. （3）如图，折叠长方形纸片ABCD，是点D落在边BC上的点F处，折痕为AE，AB=CD=6，AD=BC=10，试求EC的长度. 一、专题精讲 知识总结：长方体： （1）长方体的长、宽、高分别为a、b、c；（2）求如图所示的两个对顶点的最短距离d。 E D A C B D E A C B
A B A 1B 1D C D 1C 1214 （2）长方体盒子表面小虫爬行的最短路线d 是22c b a ++）（、22b c a ++）（、2 2a c b ++）（ 中最小者的值。 圆柱体： （1）圆柱体的高是h 、半径是r ；（2）要求圆柱体的对顶点的最短距离。 圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线d ； 两条路线比较：其一、AC+BC 即高+直径 ； 其二、圆柱表面展开后线段AB=2 2r h +的长. 题型二、长方体 例题1、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 . 例题2、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。 B A A B
初中数学《最短距离问题》教学设计 课题分析 （1）最短距离问题是初中数学的重要内容之一，也是中考命题的重点之一。学生已有两点之间线段最短的基本知识，故本课应对从直观认识的基础上，着重在不同背景的实际问题中应用，从而渗透化归的数学思想方法。 （2）通过本节的学习，类比、构造、化归转化等数学思想方法的渗透，使学生体会到数学中的美学意义，不断提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。 学情分析 （1）知识基础：学生了解两点之间线段最短等基本知识点，但此后的学习很少涉及此内容，所以学生对此内容的应用较为陌生，所以学生通过本课的学习，须掌握能在不同背景的实际问题中应用。 （2）能力基础：学生的作图能力还是读图能力，添加适当的辅助线、创造适合的条件去在不同背景的实际问题中应用的能力比较薄弱的，这些能力都必须得到加强。 （3）心理基础：因为陌生而害怕，学生在这部分的学习上存在心理的障碍，这不利于学习，故要在题目的设置上让学生更容易得到成就感，才会让学生敢于动手，达到学好的信心，要充分调动学生的积极性。 教学目标 知识目标：掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用。 技能目标：学习过平移、轴对称、旋转三种图形变换，利用图形变换能解决一些最短距离问题。 情感目标：引导学生对图形观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.体会数学的对称美，体验化归的思想方法，培养合作精神。 重点难点 重点：1.掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用 2.利用图形变换能解决一些最短距离问题
初二数学专题练习最短距离问题 1.如图3－10，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小． 2.A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示） 3.如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短． 4.如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点， 且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值 5.如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值是． 6.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（） A．3．26 C．3 D6 7.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为 8.如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂， （1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．
（2）另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由． 9.（1）如图1示，∠AOB内有两点M，N，请你确定一点P，使点P到M，N的距离相等，且到OA，OB边的距离也相等，在图上标出它的位置． （2）某班举行文艺晚会，桌子摆成两直线（如图2中的AO，BO），AO桌面上摆满桔子，BO桌面上摆满糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短． 10.如图，厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个厂的水平距离都是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短．（河的两岸是平行的） ①请画出架桥的位置．（不写画法） ②求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程． 11.一次函数y kx b =+的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．12.如图，在直角坐标系中有四个点A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D?（n，0），当四边形ABCD周长最短时，则m=________，n=________． 13.蚂蚁搬家都选择最短路线行走，有一只蚂蚁
__________________________________________________ 第一篇 数与式 专题一 实数 一、中考要求： 1．在经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过程；从事借助计算器探索数学规律的活动中，发展同学们的抽象概括能力，并在活动中进一步发展独立思考、合作交流的意识和能力． 2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的方法，发展数感和估算能力． 3．了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根号表示并会求数的平方根、立方根；能进行有关实数的简单四则运算． 4．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用价值． 二、中考热点： 本章多考查平方根、立方根、二次根式的有关运算以及实数的有关概念，另外还有一类新情境下的探索性、开放性问题也是本章的热点考题． 三、考点扫描 1、实数的分类： 实数0 ???? ? ??? 正实数有理数或无理数 负实数 2、实数和数轴上的点是一一对应的． 3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数． 若a 、b 互为相反数，则a+b=0，1-=a b （a 、b ≠0） 4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 ??? ??<-=>=)0() 0(0)0(||a a a a a a 5、近似数和有效数字； 6、科学记数法； 7、整指数幂的运算： () ()m m m mn n m n m n m b a a b a a a a a ?===?+,, （a ≠0） 负整指数幂的性质：p p p a a a ?? ? ??==-11 零整指数幂的性质：10 =a （a ≠0） 8、实数的开方运算：()a a a a a =≥=2 2 ;0)( 9、实数的混合运算顺序 *10、无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数如1．414141·(41 无限循环）；（2）带根号的数是无理 ；（3）两个无理数的和、差、积、商也还是无理数， 但它们的积却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个唯一位置， 我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此． *11、实数的大小比较： (1).数形结合法 (2).作差法比较 (3).作商法比较 (4).倒数法: 如6756--与 (5).平方法 四、考点训练 1、（2005、杭州，3分）有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－17是17的平方根，其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 3、－8 ） A ．2 B ．0 C ．2或一4 D ．0或－4 4、若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，则m 为（ ） A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．－1 5、若实数a 和 b 满足 b=a+5+-a-5 ,则ab 的值等 于_______ 6、在3－2的相反数是________，绝对值是______. 7、81的平方根是（ ） A ．9 B ．9 C ．±9 D ．±3 8、若实数满足|x|+x=0, 则x 是（ ） A ．零或负数 B ．非负数 C ．非零实数D.负数 五、例题剖析
第6讲最短路径问题 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径 问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。 知识梳理 讲解用时：20分钟 两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？ 选A-B，因为两点之间，直线最短 垂线段最短 如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各 点的所有连线中，哪条最短？ PC最短，因为垂线段最短
两点在一条直线异侧 A P L B 如图，已知A点、B点在直线L异侧，在L上选一点P，使PA+PB最短. 连接AB交直线L于点P，则PA+PB 最短. 依据：两点之间：线段最短 两点在一条直线同侧 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位 久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不 得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边 l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 作法： 1、作B点关于直线L的对称点B’； 2、连接AB’交直线L于点C； 3、点C即为所求. 证明：在直线L上任意选一点C’（点C’不与C重合），连接AC’、BC’、B’C’. 在△AB’C’中， AC’+B’C’＞AB’ ∴AC’+BC’＞AC+BC 所以AC+BC最短.
课堂精讲精练 【例题1】 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据作图的方法即可得到结论． 解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小， ∴D的作法正确， 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1.1】 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需
初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练专练3 最短路径模型——旋转最值类 基本模型图: 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连 结B′D，则B′D的 最小值是（）． A． B.6 C. D.4 【思路探究】根据E为AB中点，BE＝B′E可知，点A、B、B′在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，D、E为定点，B′是动点，当E、B′、D三点共线时，B′D的长最小，此时B′D＝DE－EB′，问题得解. 【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心，AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE－EB′.故选A． 22 -=-
【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B′、D 三点共线B D DE B E ''≤-时，等号成立. 【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是 . 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解. 【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中 点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝， OD ＝，∴DH 的最小值为112 AB =OD －OH . 1【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用的基本模型解决. DH OD OH ≤-【针对训练 】 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在轴正半轴上运动时，点C 随之在轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大x y 距离为（ ）. A B C ． D ．31
初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧 最短路径问题中, 关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题” 。 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题” ，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短． 解：只有A、C 、B在一直线上时，才能使AC +BC最小．作点A 关于 直线“街道”的对称点A′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则 点C 就是所求的点． 、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A 是锐角∠ MON 内部任意一点，在∠ MON 的两边 OM ，ON 上各取一点B，C ，组成三角形，使三角形周长最小.
解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A OM ，ON 于点B、点C ，则点B、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长 最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河 上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE 中，∵ AC+CE >AE, ∴AC+CE+MN >AE+MN, 即AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。 例：如图，A、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B 两地，问该站建在 连接A ′，A ″，分 别交 B
圆 【知识点梳理】 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内； 2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上； 3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； A
五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 图4 图5 B D
最短距离问题分析 洪湖市峰口镇二中 刘万兵 最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。 一、“最值”问题大都归于两类基本模型： Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定 某范围内函数的最大或最小值 Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况： （1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最 小值”时，大都应用这一模型。 （2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大 值”时，大都应用这一模型。 几何模型： 条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ， 则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用： （1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点， P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知， B 与D 关于直线A C 对称．连结E D 交AC 于P ，则 PB PE +的最小值是___________； （2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上， OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点， 求PA PC +的最小值； 解：（1）PB PE +的最小值是5DE = （2）PA PC +的最小值是23 【典型例题分析】 1.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．6 A D E P A B A ' P l A B B 图1 A B C 图2 P
数学知识内容考点及分值分析 一、教材设置 初中数学共学习6册书，中考数学难易比例5:3:2。数学授课方式：先讲后练（基础差型学生）先练后讲（基础好型学生） 初一： 1、上册：有理数、整式的加减、一元一次方程、图行的初步认识。 （1）有理数：是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。考察内容：复数以及混合运算（期中、期末必考计算）数轴、相反数、绝对值和倒数（选择、填空）。 （2）整式的加减：中考试题中分值约为4分，题型以选择和填空题为主，难易度属于易。考察内容：①整式的概念和简单的运算，主要是同类项的概念和化简求值②完全平方公式，平方差公式的几何意义③利用提公因式发和公式法分解因式。 （3）一元一次方程：是初一学习重点内容，主要学习内容有（归纳、总结、延伸）应用题思维、步骤、文字题，根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分，题型主要以选择和填空题为主，极少出现简答题，难易度为易。考察内容：①方程及方程解的概念②根据题意列一元一次方程③解一元一次方程。题型：追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。 （4）几何：角和线段，为下册学三角形打基础 2、下册：相交线和平行线、平面直角坐标系、三角形、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。 （1）相交线和平行线：相交线和平行线是历年中考中多见的考点。通常以填空，选择题形式出现。分值为3-4分，难易度为易。考察内容：①平行线的性质（公理）②平行线的判别方法③构造平行线，利用平行线的性质解决问题。
（2）平面直角坐标系：中考试题中分值约为3-4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。考察主要内容：①考察平面直角坐标系内点的坐标特征②函数自变量的取值范围和球函数的值③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 （3）三角形：是初中数学的基础，中考命题中的重点。中考试题分值约为18-24分，以填空，选择，解答题，也会出现一些证明题目。考查内容：①三角形的性质和概念，三角形内角和定理，三边关系，以及三角形全等的性质与判定。②三角形全等融入平行四边形的证明，③三角形运动，折叠，旋转，拼接形成的新数学问题，④等腰三角形的性质与判定，面积，周长等，⑤直角三角形的性质，勾股定理是重点。⑥三角形与圆的相关位置关系⑦三角形中位线的性质应用。 （4）二元一次方程组：中考分值约为3-6分，题型主要以选择，解答为主，难易度为中。考察内容：①方程组的解法，解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。 （5）不等式和不等式组：中考试题中分值约为3-8分，选择，填空，解答题为主。主要考察内容：①一元一次不等式（组）的解法，不等式（组）解集的数轴表示，不等式（组）的整数解等，题型以选择，填空为主。②列不等式（组）解决经济问题，调配问题等，主要以解答题为主。③留意不等式（组）和函数图像的结合问题。 数据库的收集整理与描述：分值大凡在6-10分，题型近几年主要以解答题出现，偶尔以选择填空出现。难易度为中。考察内容：①多见统计图和平均数，众数，中位数的计算分析。②方差，极差的应用分析③与现实生活有关的实际问题的考察热点。题目注重考查统计学的知识分析和数据处理。 初二： 1、上册：全等三角形、轴对称、实数、一次函数、整式的乘除与因式分解。 （1）全等三角形
中考数学专题最短距离问题 考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 问题原型：“饮马问题”，“造桥选址问题”。 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、A是直线A同旁的两个定点． 问题：在直线A上确定一点A，使A的值最小． 方法：作点A关于直线A的对称点A，连结A交A于 点A，则A的值最小 模型转化应用： 在锐角三角形中探求线段和的最小值 如图1，在锐角三角形ABC中，AB=A,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为． 在等边三角形中探求线段和的最小值 （2010 山东滨州）如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 . 在直角梯形中探求线段和的最小值 （2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________． 在等腰梯形中探求线段和的最小值 如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则 PA+PB的最小值为． 在菱形中探求线段和的最小值 如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值为． 在正方形中探求线段和的最小值 如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则 DN+MN的最小值为．