杭州学军中学2016届第二次月考
高三数学 (理科) 试卷
150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1. 已知全集为R U =,集合2
{230}M x x x =--≤,2
{1}N y y x ==+，则(C )U M N ⋂ 为 ( )
A.
{11}x x -≤< B. {11}x x -≤≤ C. {13}x x ≤≤ D. {13}x x <≤
2. 已知,,,a b c d 为实数，且c d >。
则“a b >”是“a c b d ->-”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数
())0,0( )sin(2πϕωϕω<<>+=x x f ，
且函数的图象如图所示，则点),( ϕω的坐标是( )
A
)3
,2( π
B
)3
,4( π
C )32,
2( π D )3
2,4( π 4.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为122
+=x y ，值域为{}9的“孪生函数”就有三个，那么解析式为2
2log (1)=-y x
，
值域为{}5,1的“孪生函数”共有（ ）.
A ．6个
B ．7个
C ．8个
D ．9个 5．已知函数()()()2sin 2,9
f x x f x f π
ϕϕ⎛⎫
=+≤
⎪⎝⎭
其中为实数，且对x R ∈恒成立。
记 257,,,,,366P f Q f R f P Q R πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
则的大小关系是 （ ）
A ．R P Q <<
B ． Q R P <<
C ． P Q R <<
D ． Q P R << 6．已知函数y =sin x +a cos x 的图象关于x =3
5π
对称,则函数y =a sin x +cos x 的图象关于直线 ( ) A. x =
3π对称 B. x =32π 对称 C.x =6
11π对称 D.x =π对称
7.对于实数b a ,，定义运算“*”： 22
21,
,
a a
b a b a b b ab a b
⎧-+-≤⎪*=⎨->⎪⎩，设
)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根
321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是( )
A.1,032⎛⎫-
⎪⎝⎭ B.1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.10,32⎛⎫
⎪⎝⎭
D.10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8.已知x R ∈ ,符号[]x 表示不超过x 的最大整数,若函数[]()x f x a x
=
-有且仅有3个零点,则
a 的取值范围是( )
A.3443,,4532⎛⎤⎡⎫
⎪⎥⎢⎝⎦
⎣⎭
B.3443,,4532⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
C.1253,,2342⎛⎤
⎡⎫
⎪⎥⎢⎝⎦
⎣⎭ D.1253,,2342⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
9.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|2
1
)(222a a x a x x f --+-=
，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）
A.11,66⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
B. ,66⎡
-⎢⎣⎦ C. 11,33⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
D. 33⎡
-⎢⎣⎦
10.定义在R 上函数1
(2)
2()1(2)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=（其中
2)m >有n 个不同的实数根121,,...,,()n
n i i x x x f x =∑则的值为（）
A.
14 B. 18 C. 112 D. 1
16
二、填空题(本大题共7小题，共28分．)
11. 函数2
()cos sin cos 1f x x x x =+-的最小正周期是 ，单调递增区间是 ． 12.设函数2
1
()ln(1||)1f x x x =+-
+,则使得()(31)f x f x >-成立的x 的取值范围是 13.不等式)1(122->-x m x 对满足2||≤m 的一切实数m
都成立， x 的取值范围
是
.
,,sin 210αβαβαβ=
=+=
14.已知为锐角则
15.设函数()1()cos 2
f x x ωϕ=
+，对任意x ∈R 都有3
f x π
-⎛⎫
⎪⎝⎭
3f x π=+⎛⎫
⎪⎝⎭
， 若函数()()3sin 2g x x ωϕ=+-，则3g π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为 16.已知定义在R 上的单调递增奇函数f (x )，若当2
o π
θ≤≤时，f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)<0
恒成立，则实数m 的取值范围是________． 17．若实数,x y 满足()
()()2
2
21122cos 1,1
x y xy
x y x y ++--+-=
-+则xy 的最小值为
三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 18. (本题满分14分)已知集合122P x
x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
22log (22)=-+y ax x 的定义域为Q ． （1）若P Q φ≠ ,求a 实数的取值范围；
（2）若方程22log (22)2-+=ax x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内有解，求实数a 的取值的取值范围．
19．(本题14分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;
(1)若()y f x =在2[,]43
ππ
-
上单调递增,求ω的取值范围;
(2)令4ω=,将函数()y f x =的图像向左平移
12
π
个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有20个零点,
在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.
20.(本题满分15分) 已知函数
2()3f x ax x =--，
（1）求a 的范围，使)(x f y =在]2,2[-上不具单调性； （2）当1
2
a =
时，函数)(x f 在闭区间]1,[+t t 上的最大值记为)(t g ，求)(t g 的函数表达式； （3）第（2）题的函数)(t g 是否有最值，若有，请求出；若没有，请说明理由。
21．(本题满分14分)已知函数22()cos 2sin cos sin t f x x t x x x =+- (1)若13
()2
4
f α
=
,试求sin 2α的值. (2)定义在5,46ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的函数()g x 的图像关于724x π=对称,且当724x π≤时, ()g x 的图像与
)y x =的图像重合.记{()}M x g x αα==且αφ≠M ,试求M α中所有元素之和.
22.(本题15分)已知函数2()22f x x ax a =-++，
（1）若()0f x ≤的解集[0,3]A ⊆，求实数a 的取值范围；
（2）若2(
)()1g x f x x =+-
在区间(0,3)内有两个零点1212,(),x x x x <求实数a 的取值范围。
杭州学军中学2016届第二次月考 高三数学试卷(理科) 参考答案
一、选择题： ABDDC CAABB 二、填空题：(本大题共7小题，共28分．)
11. π ,3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ 12.11(,)
42 13.11
,)22
14.4π 15. -2 16. m >－1
2
17． 1
4
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 已知集合122P x
x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
2(22)2log ax x y -+=的定义域为Q ． （1）若P Q φ≠ ,求a 实数的取值范围；
（2）若方程2
(
22)
2
log 2ax
x -+=在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内有解，求实数a 的取值的取值范围．
解：（1）由已知Q={x|ax 2
﹣2x+2＞0}，若P∩Q≠∅，则说明在1,22⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
内至少有一个x 值，
使不等式ax 2
﹣2x+2＞0，即在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦内至少有一个x 值,使222
a x x >-成立,
令222
u x x
=
-,则只需min a u >
∴a 的取值范围是a ＞﹣4；………………………….(6分)
（2）∵方程，
∴
∵
∴
．………………..(14分)
19．(本题14分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;
(1)若()y f x =在2[,]43
ππ
-
上单调递增,求ω的取值范围;
(2)令4ω=,将函数()y f x =的图像向左平移
12
π
个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有20个零点,
在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.
解:(1)因为0ω>,根据题意有
342
0243
2π
πωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨
⎪≤⎪⎩ …………………….(6分) (2) ()2sin(4)f x x =,()2sin(4())12sin(4)1123
g x x x ππ
=+
+=++
11()0sin(4)3228g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或15
,224
x k k Z ππ=+∈,
即()g x 的零点相离间隔依次为
3π和6
π
, 故若()y g x =在[,]a b 上至少含有20个零点,则b a -的最小值为
141096
3
3
π
π
π
⨯
+⨯
=
. ..(14分) 20.(本题满分14分) 已知函数
2()3f x ax x =--，
（1）求a 的范围，使)(x f y =在]2,2[-上不具单调性；
（2）当1
2
a =时，函数)(x f 在闭区间]1,[+t t 上的最大值记为)(t g ，求)(t g 的函数表达式； （3）第（2）题的函数)(t g 是否有最值，若有，请求出；若没有，请说明理由。
解:(1)由题知1222a -<-
<,解得14a >或1
4
a <-………………(4分) (2当1
2
a =时,
22117()3(1)222
f x x x x =
--=-- 2
213(1)27
()(01)217
(0)22t t t g t t t t ⎧--≥⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≤⎪⎩ ……………….(10分)
(3)当1t ≥时, 7
()2
g t ≥-
当01t <<时, 7()2
g t =- 当0t ≤时, 7()2g t ≥-
综上: ()g t 有最小值7
2
-,无最大值……………….(14分)
21．（本题满分15分） 已知函数22()cos 2sin cos sin t f x x t x x x =+-
(1)若13
()24
f α
=,试求sin 2α的值.
(2)定义在5,46ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的函数()g x 的图像关于724x π=对称,且当724x π≤时, ()g x 的图像与
)y x =的图像重合.记{()}M x g x αα==且M αϕ≠,试求M α中所有元素之和.
解: (1) 2
2
13
()cos
2sin
cos
sin sin cos 2
2
222
4
f α
α
α
α
α
αα=+-=+=
又()
2
9sin cos 1sin 216ααα+=+= 7
sin 216
α∴=- (6分)
(2)依题意得,
)2sin(2)()6
x x g x π
=+
= 73,,2,424634x x πππππ⎡⎤
⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦ ,
记M α中所有的元素之和为S,由图像及对称性得
当a <时,7722412S ππ=⨯=
当a =时,773248S ππ=⨯=
2a < 时,774246S ππ=⨯= 当2a = 时,7722412
S ππ=⨯= (15分) 22.(本题15分)已知函数2()22f x x ax a =-++，
（1）若()0f x ≤的解集[0,3]A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若2
(
)()1g x f x x =+-
在区间(0,3)内有两个零点1212,(),x x x x <求实数a 的取值范围。
解：（1）若A =φ，则2
=44(2)4(2)(1)012a a a a a ∆-+=-+<⇒-<< （1分）
若,A ≠φ则0120303112.(0)0205(3)09620
a a a a a f a f a a ∆≥≤-≥⎧⎧⎪⎪<<<<⎪⎪
⇒⇒≤≤⎨⎨≥+≥⎪⎪
⎪⎪≥-++≥⎩⎩或 （4分）
综合得：11
15
a -<≤ （5分）
（2）22
2
221(1)
()221.23
(1)x ax a x g x x ax a x ax a x ⎧-++≥⎪=-+++-=⎨
-++<⎪⎩ （6分） 讨论：若0a =时，2
21(1)
()3(1)x x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩
无零点； （7分）
若0a ≠时，由于()23h x ax a =-++在(0,1)单调，所以在(0,1)内()h x 至多只有
一个零点。
记2()221x x ax a ϕ=-++。
① 若1201,13,x x <<≤<
则3
(0)(1)03(3)0193.19(1)(3)0(3)(195)0535a h h a a a a a >⎧⋅<-+<⎧⎧⎪⇒⇒⇒<≤⎨⎨⎨ϕ⋅ϕ≤--≤<≤
⎩⎩⎪⎩
（10分）
经检验195a =
时()x ϕ的零点为4,3[1,3)5∉，19.5a ∴≠
19
35
a ∴<< （11分） ② 若1213,x x ≤<<
则248(1)01126131 3.23
(1)019(3)05a a a a a a a a a ⎧⎧∆=-+><>⎪⎪
<<⎪⎪<<⎪⎪
⇒⇒+<≤⎨⎨≤⎪⎪ϕ≥⎪⎪<
ϕ>⎪⎪⎩⎩
（14分） 综合①②得，实数a
的取值范围是19
(1)5
+。
（15分）。
