一、设计目的
设计一个程序使得运行后生成一个旋转的正方体和一个可旋转的正四面体，旋转过程中伴随着颜色的变化。
二、算法描述
运用多个glV ertex3f函数赋予颜色，以及运用多个选择语句，实现消息转变。根据题目要求，分别选择正方体和正四面体，分别作左上右下旋转和水平逆时针（从上方看）旋转。正方体的六个面采用不同的颜色，正四面体的三个可见面则采用多色分布镶嵌。
程序要运用多个函数有：
GLvoid ReSizeGLScene(GLsizei width, GLsizei height)（调整和初始化GL窗口）；
int InitGL(GLvoid)（初始化）；
int DrawGLScene(GLvoid)（GL场景绘制）；
GLvoid KillGLWindow(GLvoid)（选择正确方式选择窗口或关闭窗口）；AdjustWindowRectEx(&WindowRect, dwStyle, FALSE, dwExStyle);（调整窗口大小来创建合适的窗口）；
int WINAPI WinMain( HINSTANCE hInstance, HINSTANCE h PrevInstance,
LPSTR lpCmdLine, int nCmdShow)（主函数）
三、程序代码
#include
#include
#include
#include
HDC hDC=NULL;
HGLRC hRC=NULL;
HWND hWnd=NULL;
HINSTANCE hInstance;
bool keys[256];
bool active=TRUE;
bool fullscreen=TRUE;
GLfloat rtri;
GLfloat rquad;
LRESULT CALLBACK WndProc(HWND, UINT, WPARAM, LPARAM);
GLvoid ReSizeGLScene(GLsizei width, GLsizei height)//调整和初始化GL窗口{
if (height==0)
{
height=1;
}
glViewport(0,0,width,height);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluPerspective(45.0f,(GLfloat)width/(GLfloat)height,0.1f,100.0f);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
}
int InitGL(GLvoid) //初始化
{
glShadeModel(GL_SMOOTH);
glClearColor(0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.5f);
glClearDepth(1.0f);
glEnable(GL_DEPTH_TEST);
glDepthFunc(GL_LEQUAL);
glHint(GL_PERSPECTIVE_CORRECTION_HINT, GL_NICEST);
return TRUE;
}
int DrawGLScene(GLvoid) // GL场景绘制{
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
glLoadIdentity();
glTranslatef(-1.5f,0.0f,-6.0f);
glRotatef(rtri,0.0f,1.0f,0.0f);
glBegin(GL_TRIANGLES);
glColor3f(1.0f,0.0f,0.0f);
glV ertex3f( 0.0f, 1.0f, 0.0f);
glColor3f(0.0f,1.0f,0.0f);
glV ertex3f(-1.0f,-1.0f, 1.0f);
glColor3f(0.0f,0.0f,1.0f);
glV ertex3f( 1.0f,-1.0f, 1.0f);
glColor3f(1.0f,0.0f,0.0f);
glV ertex3f( 0.0f, 1.0f, 0.0f);
glColor3f(0.0f,0.0f,1.0f);
glColor3f(0.0f,1.0f,0.0f);
glV ertex3f( 1.0f,-1.0f, -1.0f);
glColor3f(1.0f,0.0f,0.0f);
glV ertex3f( 0.0f, 1.0f, 0.0f);
glColor3f(0.0f,1.0f,0.0f);
glV ertex3f( 1.0f,-1.0f, -1.0f);
glColor3f(0.0f,0.0f,1.0f);
glV ertex3f(-1.0f,-1.0f, -1.0f);
glColor3f(1.0f,0.0f,0.0f);
glV ertex3f( 0.0f, 1.0f, 0.0f);
glColor3f(0.0f,0.0f,1.0f);
glV ertex3f(-1.0f,-1.0f,-1.0f);
glColor3f(0.0f,1.0f,0.0f);
glV ertex3f(-1.0f,-1.0f, 1.0f); glEnd();
glLoadIdentity();
glTranslatef(1.5f,0.0f,-7.0f); glRotatef(rquad,1.0f,1.0f,1.0f); glBegin(GL_QUADS);
glColor3f(0.0f,1.0f,0.0f);
glV ertex3f( 1.0f, 1.0f,-1.0f);
glV ertex3f(-1.0f, 1.0f,-1.0f);
glV ertex3f(-1.0f, 1.0f, 1.0f);
glV ertex3f( 1.0f, 1.0f, 1.0f);
glColor3f(1.0f,0.5f,0.0f);
glV ertex3f( 1.0f,-1.0f, 1.0f);
glV ertex3f(-1.0f,-1.0f, 1.0f);
glV ertex3f(-1.0f,-1.0f,-1.0f);
glV ertex3f( 1.0f,-1.0f,-1.0f);
glColor3f(1.0f,0.0f,0.0f);
glV ertex3f( 1.0f, 1.0f, 1.0f);
glV ertex3f(-1.0f, 1.0f, 1.0f);
glV ertex3f(-1.0f,-1.0f, 1.0f);
glV ertex3f( 1.0f,-1.0f, 1.0f);
glColor3f(1.0f,1.0f,0.0f);
glV ertex3f( 1.0f,-1.0f,-1.0f);
glV ertex3f(-1.0f,-1.0f,-1.0f);
glV ertex3f(-1.0f, 1.0f,-1.0f);
glV ertex3f( 1.0f, 1.0f,-1.0f);
glColor3f(0.0f,0.0f,1.0f);
glV ertex3f(-1.0f, 1.0f, 1.0f);
glV ertex3f(-1.0f, 1.0f,-1.0f);
glV ertex3f(-1.0f,-1.0f, 1.0f);
glColor3f(1.0f,0.0f,1.0f);
glV ertex3f( 1.0f, 1.0f,-1.0f);
glV ertex3f( 1.0f, 1.0f, 1.0f);
glV ertex3f( 1.0f,-1.0f, 1.0f);
glV ertex3f( 1.0f,-1.0f,-1.0f);
glEnd();
rtri+=0.2f;
rquad-=0.15f;
return TRUE;
}
GLvoid KillGLWindow(GLvoid)//选择正确方式选择窗口或关闭窗口
{
if (fullscreen)
{
ChangeDisplaySettings(NULL,0);
ShowCursor(TRUE);
}
if (hRC)
{
if (!wglMakeCurrent(NULL,NULL))
{
MessageBox(NULL,"Release Of DC And RC Failed.","SHUTDOWN ERROR",MB_OK | MB_ICONINFORMA TION);
}
if (!wglDeleteContext(hRC))
{
MessageBox(NULL,"Release Rendering Context Failed.","SHUTDOWN ERROR",MB_OK | MB_ICONINFORMA TION);
}
hRC=NULL;
}
if (hDC && !ReleaseDC(hWnd,hDC))
{
MessageBox(NULL,"Release Device Context Failed.","SHUTDOWN ERROR",MB_OK | MB_ICONINFORMA TION);
hDC=NULL;
}
if (hWnd && !DestroyWindow(hWnd))
{
MessageBox(NULL,"Could Not Release hWnd.","SHUTDOWN ERROR",MB_OK | MB_ICONINFORMA TION);
hWnd=NULL;
}
if (!UnregisterClass("OpenGL",hInstance))
{
MessageBox(NULL,"Could Not Unregister Class.","SHUTDOWN ERROR",MB_OK | MB_ICONINFORMA TION);
hInstance=NULL;
}
}
BOOL CreateGLWindow(char* title, int width, int height, int bits, bool fullscreenflag)
//创建绘图窗口
{
GLuint PixelFormat;
WNDCLASS wc;
DWORD dwExStyle;
DWORD dwStyle;
RECT WindowRect;
WindowRect.left=(long)0;
WindowRect.right=(long)width;
WindowRect.top=(long)0;
WindowRect.bottom=(long)height;
fullscreen=fullscreenflag;
hInstance = GetModuleHandle(NULL);
wc.style = CS_HREDRA W | CS_VREDRA W | CS_OWNDC;
wc.lpfnWndProc = (WNDPROC) WndProc;
wc.cbClsExtra = 0;
wc.cbWndExtra = 0;
wc.hInstance = hInstance;
wc.hIcon = LoadIcon(NULL, IDI_WINLOGO);
wc.hCursor = LoadCursor(NULL, IDC_ARROW);
wc.hbrBackground = NULL;
wc.lpszMenuName = NULL;
wc.lpszClassName = "OpenGL";
if (!RegisterClass(&wc))
MessageBox(NULL,"Failed To Register The Window Class.","ERROR",MB_OK|MB_ICONEXCLAMA TION);
return FALSE;
}
if (fullscreen)
{
DEVMODE dmScreenSettings;
memset(&dmScreenSettings,0,sizeof(dmScreenSettings));
dmScreenSettings.dmSize=sizeof(dmScreenSettings);
dmScreenSettings.dmPelsWidth = width;
dmScreenSettings.dmPelsHeight = height;
dmScreenSettings.dmBitsPerPel = bits;
dmScreenSettings.dmFields=DM_BITSPERPEL|DM_PELSWIDTH|DM_PELSHEIGHT;
if
(ChangeDisplaySettings(&dmScreenSettings,CDS_FULLSCREEN)!=DISP_CHANGE_SUCCES SFUL)
{
if (MessageBox(NULL,"The Requested Fullscreen Mode Is Not Supported By\nY our V ideo Card. Use Windowed Mode Instead?","NeHe GL",MB_YESNO|MB_ICONEXCLAMA TION)==IDYES)
{
fullscreen=FALSE;
}
else
{
MessageBox(NULL,"Program Will Now Close.","ERROR",MB_OK|MB_ICONSTOP);
return FALSE;
}
}
}
if (fullscreen)
{
dwExStyle=WS_EX_APPWINDOW;
dwStyle=WS_POPUP;
ShowCursor(FALSE);
}
else
dwExStyle=WS_EX_APPWINDOW | WS_EX_WINDOWEDGE;
dwStyle=WS_OVERLAPPEDWINDOW;
}
AdjustWindowRectEx(&WindowRect, dwStyle, FALSE, dwExStyle);
//调整窗口大小来创建合适的窗口
if (!(hWnd=CreateWindowEx( dwExStyle,
"OpenGL",
title,
dwStyle |
WS_CLIPSIBLINGS |
WS_CLIPCHILDREN,
0, 0,
WindowRect.right-WindowRect.left,
WindowRect.bottom-WindowRect.top,
NULL,
NULL,
hInstance,
NULL)))
{
KillGLWindow();
MessageBox(NULL,"Window Creation Error.","ERROR",MB_OK|MB_ICONEXCLAMA TION);
return FALSE;
}
static PIXELFORMA TDESCRIPTOR pfd=
{
sizeof(PIXELFORMA TDESCRIPTOR),
1,
PFD_DRA W_TO_WINDOW |
PFD_SUPPORT_OPENGL |
PFD_DOUBLEBUFFER,
PFD_TYPE_RGBA,
bits,
0, 0, 0, 0, 0, 0,
0,
0,
0,
0, 0, 0, 0,
16,
0,
0,
PFD_MAIN_PLANE,
0,
0, 0, 0
};
if (!(hDC=GetDC(hWnd)))
{
KillGLWindow();
MessageBox(NULL,"Can't Create A GL Device Context.","ERROR",MB_OK|MB_ICONEXCLAMA TION);
return FALSE;
}
if (!(PixelFormat=ChoosePixelFormat(hDC,&pfd)))
{
KillGLWindow();
MessageBox(NULL,"Can't Find A Suitable PixelFormat.","ERROR",MB_OK|MB_ICONEXCLAMA TION);
return FALSE;
}
if(!SetPixelFormat(hDC,PixelFormat,&pfd))
{
KillGLWindow();
MessageBox(NULL,"Can't Set The PixelFormat.","ERROR",MB_OK|MB_ICONEXCLAMA TION);
return FALSE;
}
if (!(hRC=wglCreateContext(hDC)))
{
KillGLWindow();
MessageBox(NULL,"Can't Create A GL Rendering Context.","ERROR",MB_OK|MB_ICONEXCLAMA TION);
return FALSE;
}
if(!wglMakeCurrent(hDC,hRC))
{
KillGLWindow();
MessageBox(NULL,"Can't Activate The GL Rendering Context.","ERROR",MB_OK|MB_ICONEXCLAMA TION);
return FALSE;
}
ShowWindow(hWnd,SW_SHOW);
SetForegroundWindow(hWnd);
SetFocus(hWnd);
ReSizeGLScene(width, height);
if (!InitGL())
{
KillGLWindow();
MessageBox(NULL,"Initialization
Failed.","ERROR",MB_OK|MB_ICONEXCLAMA TION);
return FALSE;
}
return TRUE;
}
LRESULT CALLBACK WndProc( HWND hWnd,
UINT uMsg,
WPARAM wParam,
LPARAM lParam)
{
switch (uMsg)
{
case WM_ACTIV A TE: //监视窗口激活消息
{
if ((LOWORD(wParam) != W A_INACTIVE) && !((BOOL)HIWORD(wParam))) active=TRUE;
else
active=FALSE;
return 0;
}
case WM_SYSCOMMAND:
{
switch (wParam)
{
case SC_SCREENSA VE:
case SC_MONITORPOWER:
return 0;
}
break;
}
case WM_CLOSE:
{
PostQuitMessage(0);
return 0;
}
case WM_KEYDOWN:
{
keys[wParam] = TRUE;
return 0;
}
case WM_KEYUP:
{
keys[wParam] = FALSE;
return 0;
}
case WM_SIZE:
{
ReSizeGLScene(LOWORD(lParam),HIWORD(lParam));
return 0;
}
}
return DefWindowProc(hWnd,uMsg,wParam,lParam);
}
int WINAPI WinMain( HINSTANCE hInstance,
HINSTANCE hPrevInstance,
LPSTR lpCmdLine,
int nCmdShow)
{
MSG msg;
BOOL done=FALSE;
if (MessageBox(NULL,"Would Y ou Like To Run In Fullscreen Mode?", "Start FullScreen?",MB_YESNO|MB_ICONQUESTION)==IDNO)//选择窗口大小—全屏或者否{
fullscreen=FALSE;
}
if (!CreateGLWindow("NeHe's Solid Object Tutorial",640,480,16,fullscreen))
//创建opengl窗口
{
return 0;
}
while(!done)
{
if (PeekMessage(&msg,NULL,0,0,PM_REMOVE))
{
if (msg.message==WM_QUIT)
{
done=TRUE;
}
else
{
TranslateMessage(&msg);
DispatchMessage(&msg);
}
}
else
{
if ((active && !DrawGLScene()) || keys[VK_ESCAPE])
{
done=TRUE;
}
else
{
SwapBuffers(hDC);
}
if (keys[VK_F1])
{
keys[VK_F1]=FALSE;
KillGLWindow();
fullscreen=!fullscreen;
if (!CreateGLWindow("NeHe's Solid Object Tutorial",640,480,16,fullscreen))
{
return 0;
}
}
}
}
KillGLWindow(); //关闭窗口
return (msg.wParam); //退出程序
}
四、运行结果
五、总结
为了做这个课程设计，借阅了一些资料并不断完善最终实现实验目标。此实验运用多个glV ertex3f函数赋予颜色，以及运用多个选择语句，实现消息转变。通过此实验，我加深了对课程的理解，增强了我的实践能力，受益匪浅。
正四面体 常用性质： 1、正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。 它有4个面，6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。 2、正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形就可以，不需要四个面全等且都是等边三角形。因此，正四面体是特殊的正三棱锥。 3、基本性质：正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶。 正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。 正四面体的对边相互垂直。正四面体的对棱相等。 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 3 。 4、相关数据当正四面体的棱长为a时，一些数据如下： （中心把高分为1:3两部分} 2体积： 3 12 对棱中点的连线段的长： 2，两邻面夹角满足 1 cos 3 α=。 若将正四面体放进一个正方体内，则该正方体棱长为 2，其实，正四面体的棱切球 即为次正方体的内切球。 5、建系方法1.设有一正四面体D-ABC棱长为a 以AB边为y轴A为顶点ABC所属平面为xOy面建系四个顶点的坐标依次为 其他性质： 正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处。 正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。 正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。 正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。 内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。 两条高夹角：2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度. 侧棱与底面的夹角：ArcCos(√3/3) 正四面体的对棱相等。具有该性质的四面体符合以下条件： 1．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱的中点的连线垂直于这两条棱。 2．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱中点的三条连线相互垂直。 3．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四条中线相等。 化学中CH4,CCl4,SiH4等物质也是正四面体结构。正四面体键角是109度28分，约为109.47°。
必背经典结论---提高数学做题速度！ 立体几何（必背经典结论） 之 正四面体性质（李炳璋提供） 【***】由于时间仓促，难免有误，若有错误，请及时指正！谢谢！！！ 设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 （1）对棱间的距离为a 2 2 （正方体的边长）/ 对棱中点连线段 的长 d= 2 a ；(此线段为对棱的距离， 若一个球与正四面体的6条 棱都相切，则此线段就是该球的直径。) （2） 正四面体的高 a 3 6 （正方体体对角线l 32=） （3） 正四面体的体积为3 12 2a （正方体小三棱锥 正方体V V V 314=-） （4） 正四面体的全面积 S 全= 2a ； （5） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1 （正方体体对角线正方体体对角线：l l 2 1 61=）
（6）外接球的半径为 a 4 6 （是正方体的外接球，则半径正方体体对角线l 2 1 =） （7）内切球的半径为 a 12 6 （是正四面体中心到四个面的距离，则半径正方体体对角线l 6 1 =） （8）相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3 （9）侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 （10）对棱互相垂直。 （11）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体。 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°， OA=a ,OB=b ,OC=c .则 A B C D O H
（1）不含直角的底面ABC 是锐角三角形； （2）直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； （3）体积 V= 16a b c ； （4）底面面积S △ABC （5）S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； （6）S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2 △ABC （7） 22221111 OH a b c =++; （8）外接球半径 （9）内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++
正四面体的结构与稳定性 江苏省如皋市丁堰中学冒春建 226521 物质的组成、结构决定物质的性质。如果某物质具有稳定的空间构型，就有稳定的性质。那么怎么样的空间构型才是稳定的呢？按照价键理论，只要化学键的键角方向与其成键原子的价电子云在空间的伸展方向一致，则成键原子间的作用力最强烈，而成键电子与成键电子之间的排斥力最小（即通常所说的“键角张力”），非成键原子或原子团之间的空间距离最大，达到最大程度的舒展，使非成键原子或原子团间的空间位阻最小，具有这样的结构其内能最小，结构稳定。 正四面体结构是中学生所遇化学物质中最常见的空间构型之。例如，原子晶体中的金刚石、晶体硅、水晶等，它们的熔沸点高、硬度大，通常情况下很难跟一般的化学试剂反应，表现出较强的稳定性；分子晶体中的甲烷、四氯化碳等，它们在通常情况下与大多数化学试剂如强酸、强碱、强氧化剂、强还原剂等都不起反应，也表现出较强的稳定性。这是什么原因呢？因为在这些物质中，碳原子、硅原子都是以四个sp3杂化轨道与其相邻的四个原子形成典型的共价键基团“CC4”、“SiSi4”、“SiO4”或小分子“CH4”、“CCl4”，它们的键角方向与其中心原子的四个sp3杂化轨道的空间伸展方向一致，均为109°28′，不存在“键角张力”。并且它们的成键原子的电子云之间达到最大程度的重叠，键能大，内能低，结构稳定，所以它们的性质也稳定。 我们知道，浓硫酸中+6价的硫具有强氧化性，而稀硫酸中同样为+6价的硫却没有氧化性，这是为什么呢？在浓硫酸中，+6价的硫绝大多数是以H2SO4分子形式存在，而H2SO4分子的空间构型是不规则的四面体，在H2SO4分子中O—S—O键的键角与硫原子的四个sp3杂化轨道的空间伸展方向（夹角为109°28′）不一致，化学键之间存在较强的“键角张力”，内能较大。并且四个S—O键的键长不等，使位于中间的+6价硫原子的周围空间相对来说有一定的空隙，易受到具有还原性微粒的攻击，夺得电子，从而表现出氧化性。 在稀硫酸中，+6价的硫原子是以自由移动的SO42-离子形式存在，而SO42-离子的空间构型是正四面体，所有的S—O键都是沿着硫原子的四个sp3杂化轨道在空间的伸展方向成键，不存在化学键之间的“键角张力”，四个S—O键的键长、键能完全相同，四个氧原子均匀地、等距离地分布在硫原子周围，使位于正四面体中心的+6价硫原子难以被其它原子或原子团攻击，也就没有得电子的可能性，故稀硫酸中+6价的硫没有氧化性。 又如，氨气和硝酸中的氮元素分别处于最低价态-3价和最高价态+5价，按理说，前者具有较强的还原性，后者具有很强的氧化性，两者相遇应发生强烈的氧化还有反应，而事实上，它们之间发生的是非氧化还原反应（简单的化合反应），这又是什么原因呢？这是由于N H3分子中的氮原子在成键时的四个sp3杂化轨道有一个被自身的孤对电子占领，当它遇到H+后很快形成N→H配位键，变成N H4+离子。而N H4+离子的空间构型又是正四面体，四个N—H键的键长、键能均完全一样，键角均为109°28′，与N原子的四个sp3杂化轨道的夹角完全吻合，不存在“键角张力”；四个氢原子也均匀地分布在氮原子周围，使位于中心的-3价氮原子难以被其它原子或原子团进攻。故氨气在遇到硝酸、浓硫酸等酸性强氧化剂时，表现不出还原性。但是，当N H3在一定条件下，遇到CuO、Cl2等氧化剂时又表现出一定的氧化性。这是因为N H3分子中，N原子的四个sp3杂化轨道中有一个被孤对电子占用，根据价电子对互斥原理，N—H键间的夹角受孤对电子的排斥挤压，键角不再是109°28′，而是107°，故N H3分子中氮原子的周围空间不是被氢原子均匀包围，氮原子的价电子云有了一定程度的“裸露”，较易受到其它氧化性微粒的进攻，从而表现出一定的还原性。
正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶。 正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。 正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处。 正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。 正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。 化学中CH4,CCl4等分子也呈正四面体状。 相关数据 当正四面体的棱长为a时，一些数据如下： 高：√6a/3。中心把高分为1:3两部分。 表面积：√3a^2 体积：√2a^3/12 对棱中点的连线段的长：√2a/2 外接球半径：√6a/4，正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。 内切球半径：√6a/12，内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。 棱切球半径：√2a/4. 两条高夹角：2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度. 两邻面夹角：2ArcSin(√3/3)=ArcCos(1/3)≈1.23095 94173 4077(弧度)或70°31′43″60571 58335 111，与两条高夹角在数值上互补。 侧棱与底面的夹角：ArcCos(√3/3) 正四面体的对棱相等。具有该性质的四面体符合以下条件： 1．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱的中点的连线垂直于这两条棱。 2．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱中点的三条连线相互垂直。 3．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四条中线相等。
典型的晶体结构 1.铁 铁原子可形成两种体心立方晶胞晶体：910℃以下为α－Fe，高于1400℃时为δ－Fe。在这两种温度之间可形成γ－面心立方晶。这三种晶体相中，只有γ－Fe能溶解少许C。问：1．体心立方晶胞中的面的中心上的空隙是什么对称？如果外来粒子占用这个空隙，则外来粒子与宿主离子最大可能的半径比是多少？ 2．在体心立方晶胞中，如果某空隙的坐标为（0，a/2，a/4），它的对称性如何？占据该空隙的外来粒子与宿主离子的最大半径比为多少？ 3．假设在转化温度之下，这α－Fe和γ－F两种晶型的最相邻原子的距离是相等的，求γ铁与α铁在转化温度下的密度比。 4．为什么只有γ－Fe才能溶解少许的C？ 在体心立方晶胞中，处于中心的原子与处于角上的原子是相接触的，角上的原子相互之间不接触。a＝(4/3)r。 ①②③ 1．两个立方晶胞中心相距为a，也等于2r＋2r h［如图①］，这里r h是空隙“X”的半径，a ＝2r＋2r h＝(4/3)r r h/r＝0.115（2分） 面对角线（2a）比体心之间的距离要长，因此该空隙形状是一个缩短的八面体，称扭曲八面体。（1分） 2．已知体心上的两个原子（A和B）以及连接两个晶体底面的两个角上原子［图②中C和D］。连接顶部原子的线的中心到连接底部原子的线的中心的距离为a/2；在顶部原子下面的底部原子构成晶胞的一半。空隙“h”位于连线的一半处，这也是由对称性所要求的。所以我们要考虑的直角三角形一个边长为a/2，另一边长为a/4［图③］，所以斜边为16 /5a。（1分）r＋r h＝16 /5a＝3/5r r h/r＝0.291（2分） 3．密度比＝42︰33＝1.09（2分） 4．C原子体积较大，不能填充在体心立方的任何空隙中，但可能填充在面心立方结构的八面体空隙中（r h/r＝0.414）。（2分） 2.四氧化三铁 科学研究表明，Fe3O4是由Fe2＋、Fe3＋、O2－通过离子键而组成的复杂离子晶体。O2－的重复排列方式如图b所示，该排列方式中存在着两种类型的由O2－围成的空隙，如1、3、6、7的O2－围成的空隙和3、6、7、8、9、12的O2－围成的空隙，前者为正四面体空隙，后者为正八面体空隙，Fe3O4中有一半的Fe3＋填充在正四面体空隙中，另一半Fe3＋和Fe2＋填充在正八面体空隙中，则Fe3O4晶体中正四面体空隙数与O2－数之比为2：1，其中有12.5%正四面体空隙填有Fe3＋，有50%正八面体空隙没有被填充。 Fe3O4中三价铁离子：亚铁离子：O原子=2：1：4 晶胞拥有8个正四面体空隙，4个O2－离子；所以2：1 一半三价铁离子放入正四面体空隙，即一个三价铁离子，所以为1/8=12.5%晶胞实际拥有4个正八面体空隙，其中已经有一个放Fe3+，另外一个Fe2+占据一个正八面体空隙，所以50%的正八面体空隙没有被填充。
近年来，无论是高考，还是全国竞赛，涉及空间结构的试题日趋增多，成为目前的热点之一。本文将从最简单的五种空间正多面体开始，与大家一同探讨中学化学竞赛中与空间结构有关的内容。 第一节 正方体与正四面体 在小学里，我们就已经系统地学习了正方体，正方体（立方体或正六面体）有六个完全相同的正方形面，八个顶点和十二条棱，每八个完全相同的正方体可构成一个大正方体。正四面体是我们在高中立体几何中学习的，它有四个完全相同的正三角形面，四个顶点和六条棱。那么正方体和正四面体间是否有内在的联系呢？请先让我们看下面一个例题吧： 【例题1】常见有机分子甲烷的结构是正四面体型的，请计算分子中碳氢键的键角（用反三角函数表示） 【分析】在化学中不少分子是正四面体型的，如CH 4、CCl 4、NH 4＋、 SO 42－…… 它们的键角都是109o28’，那么这个值是否能计算出来呢？ 如果从数学的角度来看，这是一个并不太难的立体几何题，首先我们把它抽象成一个立体几何图形（如图1-1所示），取CD 中点E ，截取面ABE （如图1-2所示），过A 、B 做AF ⊥BE ，BG ⊥AE ，AF 交 BG 于O ，那么 ∠AOB 就是所求的键角。我们只要找 出AO （=BO ）与AB 的关系，再用余弦定理，就能圆满地解决例题1。当然找出AO 和AB 的关系还是有一定难度的。先把该题放下，来看一题初中化学竞赛题： 【例题 2】CH 4分子在空间呈四面体形状，1个C 原子与4 个H 原子各共用一对电子对形成4条共价键，如图 1-3所示为一 个正方体，已画出1个C 原子(在正方体中心)、1个H 原子(在正 方体顶点)和1条共价键(实线表示)，请画出另3个H 原子的合适 位置和3条共价键，任意两条共价键夹角的余弦值为 ① 【分析】由于碳原子在正方体中心，一个氢原子在顶点，因 为碳氢键是等长的，那么另三个氢原子也应在正方体的顶点上， 正方体余下的七个顶点可分成三类，三个为棱的对侧，三个为面 对角线的对侧，一个为体对角线的对侧。显然三个在面对角线对 侧上的顶点为另三个氢原子的位置。 【解答】答案如图1-4所示。 【小结】从例题2中我们发现：在正四面体中八个顶点中不 相邻的四个顶点（不共棱）可构成一个正四面体，正四面体的棱 长即为正方体的棱长的2倍，它们的中心是互相重合的。 【分析】回到例题1，将正四面体ABCD 放入正方体中考虑，设正方体的边长为1，则AB 为面对角线长，即2，AO 为体对角线长的一半，即3/2， 图1-1 图1-2 图1-3 图1-4
密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙 晶体结构的密堆积原理密堆积结构是指在由无方向性的金属键,离子键和范德华力结合的晶体中,原子、分子或离子等微粒总是趋向于相互配位数高，能充分利用空间的堆积密度大的那些结构。密堆积方式由于充分利用了空间，从而可使体系的势能尽可能降低。结构稳定。最常见的密堆积型式有：面心立方最密堆积（A1），六方最密堆积（A3）和体心立方密堆积（A2）。 我们主要介绍面心立方密堆积和六方密堆积。 等径圆球紧密排列形成密置层， 如图所示。 在密置层内，每个圆球周围有六 个球与它相切。相切的每三个球又围 出一个三角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙，一排尖向上，接着下面一 排尖向下，交替排列。而每个圆球与 它周围的六个球围出的六个三角形空 隙中，有三个尖向上，另外三个尖向下。如图所示，我们在这里将尖向上的三角形空隙记为 B，尖向下的三角形空隙记为C。 第二密置层的球放在B之上，第三 密置层的球投影在C中，三层完 成一个周期。这样的最密堆积方式 叫做立方最密堆积（ccp，记为 A1型），形成面心立方晶胞。
若第三密置层的球投影 与第一密置层的球重合，两 层完成一个周期。这样的最 密堆积方式叫做六方最密堆 积（hcp，记为A3型），形 成六方晶胞，如图所示。 在这两种堆积方式中， 任何四个相切的球围成一个 正四面体空隙；另外，相切 的三个球如果与另一密置层 相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说，围成正八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角 形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层，参 看下图，黑色代表的不是球而是正八面体的中 心。 在这两种最密堆积方式中，每个球与同一密置层 的六个球相切，同时与上一层的三个球和下一层 的三个球相切，即每个球与周围十二个球相切 （配位数为12）。中心这个球与周围的球围出八个正四面体空隙，平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙，它平均分摊到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样，每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之一，即一个。总之，这两种最密堆积中，球数: 正八面体空隙数: 正四面体空隙数= 1:1:2 。等径球的两种最密堆积具有相同的堆积密度，都为%.
第 1 页 共 4 页 高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学 近年来，无论是高考，还是全国竞赛，涉及空间结构的试题日趋增多，成为目前的热点之一。本文将从最简单的五种空间正多面体开始，与大家一同探讨中学化学竞赛中与空间结构有关的内容。 第一节 正方体与正四面体 在小学里，我们就已经系统地学习了正方体，正方体（立方体或正六面体）有六个完全相同的正方形面，八个顶点和十二条棱，每八个完全相同的正方体可构成一个大正方体。正四面体是我们在高中立体几何中学习的，它有四个完全相同的正三角形面，四个顶点和六条棱。那么正方体和正四面体间是否有内在的联系呢？请先让我们看下面一个例题吧： 【例题1】常见有机分子甲烷的结构是正四面体型的，请计算分子中碳氢键的键角（用反三角函数表示） 【分析】在化学中不少分子是正四面体型的，如CH 4、CCl 4、NH 4＋、 SO 42－……它们的键角都是109o28’，那么这个值是否能计算出来呢？ 如果从数学的角度来看，这是一个并不太难的立体几何题，首先我们把它抽象成一个立体几何图形（如图1-1所示），取 CD 中点E ，截取面ABE （如图1-2所示），过A 、 B 做AF ⊥BE ，BG ⊥AE ，AF 交BG 于O ，那么 ∠AOB 就是所求的键角。我们只要找出AO （=BO ）与AB 的关系，再用余弦定理，就能圆满地解决例题1。当然找出AO 和AB 的关系还是有一定难度 的。先把该题放下，来看一题初中化学竞赛题： 【例题2 】CH 4分子在空间呈四面体形状，1个C 原 子与4个H 原子各共用一对电子对形成4条共价键，如 图1-3所示为一个正方体，已画出1个C 原子(在正方体 中心)、1个H 原子(在正方体顶点)和1条共价键(实线表 示)，请画出另3个H 原子的合适位置和3条共价键，任 意两条共价键夹角的余弦值为 ① 【分析】由于碳原子在正方体中心，一个氢原子在顶点，因为碳氢键是等长的，那么另三个氢原子也应在正方 体的顶点上，正方体余下的七个顶点可分成三类，三个为 棱的对侧，三个为面对角线的对侧，一个为体对角线的对 侧。显然三个在面对角线对侧上的顶点为另三个氢原子的 位置。 【解答】答案如图1-4所示。 【小结】从例题2中我们发现：在正四面体中八个顶点中不相邻的四个顶点（不共棱）可构成一个正四面体， 图1-1 图1-2 图1-3 图1-4
典型得晶体结构 1、铁 铁原子可形成两种体心立方晶胞晶体:910℃以下为α－Fe,高于1400℃时为δ－Fe。在这两种温度之间可形成γ－面心立方晶。这三种晶体相中,只有γ－Fe能溶解少许C。问: 1.体心立方晶胞中得面得中心上得空隙就是什么对称？如果外来粒子占用这个空隙,则外来粒子与宿主离子最大可能得半径比就是多少？ 2.在体心立方晶胞中,如果某空隙得坐标为(0,a/2,a/4),它得对称性如何？占据该空隙得外来粒子与宿主离子得最大半径比为多少？ 3.假设在转化温度之下,这α－Fe与γ－F两种晶型得最相邻原子得距离就是相等得,求γ铁与α铁在转化温度下得密度比。 4.为什么只有γ－Fe才能溶解少许得C？ 在体心立方晶胞中,处于中心得原子与处于角上得原子就是相接触得,角上得原子相互之间不接触。a＝(4/3)r。 ①②③ 1.两个立方晶胞中心相距为a,也等于2r＋2r h［如图①］,这里r h就是空隙“X”得半径,a ＝2r＋2r h＝(4/3)r r h/r＝0、115(2分) 面对角线(2a)比体心之间得距离要长,因此该空隙形状就是一个缩短得八面体,称扭曲八面体。(1分) 2.已知体心上得两个原子(A与B)以及连接两个晶体底面得两个角上原子［图②中C与D］。连接顶部原子得线得中心到连接底部原子得线得中心得距离为a/2;在顶部原子下面得底部原子构成晶胞得一半。空隙“h”位于连线得一半处,这也就是由对称性所要求得。所以我们要考虑得直角三角形一个边长为a/2,另一边长为a/4［图③］,所以斜边为16 /5a。(1分) r＋r h＝16 /5a＝3/5r r h/r＝0、291(2分) 3.密度比＝42︰33＝1、09(2分) 4.C原子体积较大,不能填充在体心立方得任何空隙中,但可能填充在面心立方结构得八面体空隙中(r h/r＝0、414)。(2分) 2、四氧化三铁 科学研究表明,Fe3O4就是由Fe2＋、Fe3＋、O2－通过离子键而组成得复杂离子晶体。O2－得重复排列方式如图b所示,该排列方式中存在着两种类型得由O2－围成得空隙,如1、3、6、7得O2－围成得空隙与3、6、7、8、9、12得O2－围成得空隙,前者为正四面体空隙,后者为正八面体空隙,Fe3 O4中有一半得Fe3＋填充在正四面体空隙中,另一半Fe3＋与Fe2＋填充在正八面体空隙中,则Fe3O4晶体中正四面体空隙数与O2－数之比为 2:1,其中有12、5%正四面体空隙填有Fe3＋,有 50%正八面体空隙没有被填充。ClMXxzK。zNa2qb4。 Fe3O4中三价铁离子:亚铁离子:O原子=2:1:4 晶胞拥有8个正四面体空隙,4个O2－离子;所以2:1 一半三价铁离子放入正四面体空隙,即一个三价铁离子,所以为1/8=12、5% 晶胞实际拥有4个正八面体空隙,其中已经有一个放Fe3+,另外一个Fe2+占据一个正八面体空隙,所以50%得正八面体空隙没有被填充。USLphY1。N1iF2Vt。
正四面体蕴藏正方体中 我们在立体几何的学习中，探讨得最多的空间图形是正方体。例如，我们考虑两直线之间的相交（垂直）、平行、异面关系；两平面之间的相交（垂直）、平行关系；两异面直线之间的距离；两平行平面之间的距离；两相交平面之间的二面角等等，都可以借助正方体形象、直观、简洁地引入、刻画、研究。而正方体本身所具有的简洁美、对称美、和谐美也留给我们深刻的印象。因而，我们最熟悉的空间图形是正方体，我们最容易把握的空间图形也是正方体。正四面体是另一个我们探讨得很多的空间图形，正四面体同样体现了数学的简洁美、对称美、和谐美。但相比较而言，正四面体中的直线之间的平行关系；平面之间的垂直、平行关系；两平行平面之间的距离等等，都不很直观、典型。正四面体中几何元素之间尽管和谐，但有时候也不容易把握。 我们说我们对正方体比对正四面体更熟悉、更容易把握的一个更重要的理由是，正方体中蕴藏着正四面体。例如，如图3的正方体EBFA-CGDH 中，蕴藏着两个典型的正四面体，正四面体D-ABC 和正四面体H-EFG 。从而就为我们利用较熟悉的正方体认识较不熟悉的正四面体带来了可能。一般而言，单纯地利用正四面体本身的点、线、面、体这些几何量之间的某些关系进行研究，技巧性更强，推导更繁杂，更容易出错。而借助正方体来研究正四面体，计算量更少，几何量之间的关系更加简明、直观，做完后我们的把握更大。下面我们举一些例子进行说明。 例1 (2003年高考理科数学新课程卷选择题最后一题）：一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 （ ） A.3π B.4π C.33π D.6π B A B Q E C 图1 图2 图3 分析1：如图1所示,正四面体D-ABC 的棱长为a ,中心为O 点,D 在底面ABC 上的射影为P 点,连接OA 、OB 、OC,显然，O 到平面ABC 、BCD 、ABD 、ACD 的距离 都等于OP ，且ABC D V -=4ABC O V -，即3 1 ?ABC S ??DP=4?ABC S ??OP ，即DP=4 OP 。
六方最密堆积中正八面体空隙 和正四面体空隙中心的分数坐标 等径圆球紧密排列形成 密置层，如图所示。 在密置层内，每个圆球 周围有六个球与它相切。相 切的每三个球又围出一个三 角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙，一排尖向上，接 着下面一排尖向下，交替排 列。而每个圆球与它周围的六个球围出的六个三角形空隙中，有三个 尖向上，另外三个 尖向下。如图所 示，我们在这里将 尖向上的三角形空 隙记为B，尖向下 的三角形空隙记为 C。第二密置层的 球放在B之上，第 三密置层的球投影 在C中，三层完成 一个周期。这样的
最密堆积方式叫做立方最密堆积（ccp ，记为 A1型），形成面心立方晶胞。 若第三密置层的球投影与第一密置层的球重合，两层完成一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积（hcp ，记为A3型），形成六方晶胞，如图所示。 在这两种堆积方式中，任何四个相切的球围成一个正四面体空隙；另外，相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应，它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说，围成正八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层，每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的密置层，参看下图，黑色代表的不是球而是正八面体的中心。 在这两种最密堆积方式中，每个球与同一密置层的六个球相切，同时与上一层的三个球和下一层的三个球相切，即每个球与周围十二个球相切（配位数为12 ）。中心这个球与周围
的球围出八个正四面体空隙，平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样，每个正四面体空隙分摊到的球数是四个八分之一，即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙，它平均分摊到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样，每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之一，即一个。总之，这两种最密堆积中，球数: 正八面体空隙数: 正四面体空隙数= 1:1:2 。 立方最密堆积（ccp，A1型）中正八面体空隙和正四面体空隙的问题比较简单、直观。下面我们集中讨论六方最密堆积（hcp，A3型）中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数坐标。 在六方最密堆积中画出一个六方晶胞，如下面两幅图所示。 平均每个六方晶胞中有两个正八面体空隙，如下面两幅图所示。空隙中心的分数坐标分别为：（2/3,1/3,1/4），（2/3,1/3,3/4）。
六方最密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙中心的分数 坐标 密堆积中正八面体空隙和正四面体空隙 晶体结构的密堆积原理密堆积结构是指在由无方向性的金属键,离子键和范德华力结合的晶体中,原子、分子或离子等微粒总是趋向于相互配位数高～能充分利用空间的堆积密度大的那些结构。密堆积方式由于充分利用了空间～从而可使体系的势能尽可能降低。结构稳定。最常见的密堆积型式有:面心立方最密堆积,A,～六方最密堆积,A,和体心立方密堆积13 ,A,。 2 我们主要介绍面心立方密堆积和六方密堆积。 等径圆球紧密排列形成密置层～ 如图所示。 在密置层内～每个圆球周围有六 个球与它相切。相切的每三个球又围 出一个三角形空隙。仔细观察这些三 角形空隙～一排尖向上～接着下面一
排尖向下～交替排列。而每个圆球与 它周围的六个球围出的六个三角形空 隙中～有三个尖向上～另外三个尖向 下。如图所示～我们在这里将尖向上 的三角形空隙记为B～尖向下的三角形空隙记为C。第二密置层的球放在B之上～第三密置层 的球投影在C中～三层完成一个周 期。这样的最密堆积方式叫做立方 最密堆积,ccp～记为 A1型,～ 形成面心立方晶胞。
若第三密置层的球投影 与第一密置层的球重合～两层完成一个周期。这样的最密堆积方式叫做六方最密堆积,hcp～记为A3型,～形成六方晶胞～如图所示。在这两种堆积方式中～ 任何四个相切的球围成一个正四面体空隙,另外～相切的三个球如果与另一密置层相切的三个球空隙对应～它们六个球将围成一个正八面体空隙。也就是说～围成正
八面体空隙的这六个球可以分为相邻的两层～每层的正三角形中心的连线垂直于正三角形所在的 密置层～参看下图～黑色代表的不是球而是正八 面体的中心。 在这两种最密堆积方式中～每个球与同一密置层 的六个球相切～同时与上一层的三个球和下一层 的三个球相切～即每个球与周围十二个球相切 ,配位数为12,。中心这个球与周围的球围出八 个正四面体空隙～平均分摊到每个正四面体空隙的是八分之一个球。这样～每个正四面体空隙 分摊到的球数是四个八分之一～即半个。中心这个球周围还围出六个八面体空隙～它平均分摊 到每个正八面体空隙的是六分之一个球。这样～每个正八面体空隙分摊到的球数是六个六分之 : 正八面体空隙数 : 正四面体空隙数 = 一～即一个。总之～这两种最密堆积中～球数 1:1:2 。等径球的两种最密堆积具有相同的堆积密度～都为74.05%. .下面计算四面体空隙和八面体空隙中所能容纳的球的半径的大小。
4 ?为什么只有丫― Fe 才能溶解少许的 C ？ 在体心立方晶胞中，处于中心的原子与处于角上的原子是相接触的，角上的原子相互之间不接触。1.铁 铁原子可形成两种体心立方晶胞晶体： 间可形成Y-面心立方晶。这三种晶体相中，只有 1 ?体心立方晶胞中的面的中心上的空隙是什么对称？如果外来粒子占用这个空隙，则外来粒子与宿主 离子最大可能的半径比是多少？ 2 ?在体心立方晶胞中，如果某空隙的坐标为（ 子与宿主离子的最大半径比为多少？ 3 ?假设在转化温度之下，这a 化温度下的密度比。 910 C 以下为a — Fe ,高于1400 C 时为S — Fe 。在这两种温度之 丫― Fe 能溶解少许C 。问： 0, a/2, a/4），它的对称性如何？占据该空隙的外来粒 Fe 和丫- F 两种晶型的最相邻原子的距离是相等的，求丫 铁 与a 铁在转 a = 1 XI A 丿 i 0 \J 1 ?两个立方晶胞中心相距为 （4/ , 3）r r h /r = 0.115 （ 2 分） 面对角线（J 2 a ）比体心之间的距离要长，因此该空隙形状是一个缩短的八面体，称扭曲八面体。（ 分） 2?已知体心上的两个原子（ A 和B ）以及连接两个晶体底面的两个角上原子［图②中 C 和D ］。连接 顶部原子的线的中心到连接底部原子的线的中心的距离为 a/2;在顶部原子下面的底部原子构成晶胞的一半。 空隙“ h ”位于连线的一半处，这也是由对称性所要求的。所以我们要考虑的直角三角形一个边长为 a/2，另 一边长为a/4 ［图③］，所以斜边为 5/16 a o （ 1分） r + r h = ,5/16 a =、5/3 r r h /r = 0.291 （2 分） 3 .密度比=4 .2 : 3、3 = 1.09 （2 分） 4. C 原子体积较大，不能填充在体心立方的任何空隙中，但可能填充在面心立方结构的八面体空隙中 （r h /r = 0.414）。（ 2 分） 2.四氧化三铁 a ,也等于2r + 2r h ［如图①］，这里 r h 是空隙“ X ”的半径, a = 2r + 2r h 科学研究表明，Fe 3O 4是由Fe 2+、Fe 3+、O 2—通过离子键而组成的复杂离子晶体。 O 2— 的重复排列方式如图b 所示，该排列方式中存在着两种类型的由 O 2— 围成的空隙，如1、3、 6 7的O 2—围成的空隙和3、6、7、& 9、12的O 2—围成的空隙，前者为正四面体空隙， 后者为正八 面体空隙，Fe 3O 4中有一半的卩63+填充在正四面体空隙中，另一半 Fe 3+和Fe 2+ 填充在正八面体空隙中，则 Fe 3O 4晶体中正四面体空隙数与 O 2—数之比为2: 1，其中有1 2.5%正四面体空隙填有Fe 3+ ,有50%正八面体空隙没有被填充。 Fe 3O 4中三价铁离子：亚铁离子： O 原子=2: 1: 4 晶胞拥有8个正四面体空隙，4个O 2— 离子；所以2： 一半三价铁离子放入正四面体空隙，即一个三价铁离子， 晶胞实际拥有4个正八面体空隙，其中已经有一个放 面体空隙，所以50%的正 八面体空隙没有被填充。 ?铁的原子核是最稳定的原子核组态，所以在可以孕育生命的大红星中，累积很多，这导致铁在宇宙的 含量很多， 地球也含有很多铁。 1 ?在制作青灰瓷中，Fe 2O 3被部分还原，产生 这些不同氧化铁化合物的存在，造成了青灰瓷的特殊色彩。 1 所以为 1/8=12.5% Fe 3+,另外一个Fe 2+ 占据一个正八 ① （4/ .. 3）r 。 小障中心 的混合物, （Fe 3O 4 ）
正四面体与正方体 在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来. 我们认定了正方体是多面体的“根基”. 我们在思考： （1）正方体如何演变出正四面体？ （2）正方体如何演变出正八面体？ （3）正方体如何演变出正三棱锥？ （4）正方体如何演变出斜三棱锥？ 【考题1】 （正四面体化作正方体解） 四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A.3π B.4π C.3π3 D.6π 【说明】 本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题. 此时的解法也就沦为拙解. 【拙解】 正四面体棱长为?2底面ABC 是边长为2的正三角形△ABC 的 高线BD =2 3·2=26 （斜高VD =26）?△ABC 的边心距HD =31·26=?6 6正四面体V —ABC 的高 .332)66()26( 2222=-=-=HD VD VH 正四面体外接球的半径为高的43 ，即R =43·.2 3332= 故其外接球的表面积为3π. 答案是A. 【联想】 1、2、3的关系 正四面体的棱长为 2，这个正四面体岂不是由棱长为1的 正方体的6条“面对角线”围成？ 为此，在棱长为1的正方体B —D 1中， （1）过同一顶点B 作3条面对角线BA 1、BC 1、BD ； （2）将顶点A 1，C 1，D 依次首尾连结.
则三棱锥B —A 1C 1D 是棱长为2的正四面体.于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决. 【妙解】 从正方体中变出正四面体 以2长为面对角线，可得边长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，这个正方体的体对角线长为3，则其外接球的半径为23，则其外接球的表面积为S =4πR 2=4π (2 3)2＝3π 以 2为棱长的正四方体B —A 1C 1D 以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为 S =3π. 【寻根】 正方体割出三棱锥 在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥. 每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3 . 这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”. 事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有 12C 48 =58个. 至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根.
二面角求法 例题1：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1是上下底面正方形的中心，求二面角O 1-BC-O 的大小。 解：取BC 中点E ，连接OE 、O 1E ， 易证⊿BOC 、⊿BO 1C 是等腰三角形。 ∴OE ⊥BC ，O 1E ⊥BC ， ∴∠OEO 1是二面角O 1-BC-O 的平面角， 连OO 1，OO 1⊥平面ABCD ， ∴OO 1⊥OE 在RT ⊿OEO 1中，OO 1=1，DE=2 1 ∴tan ∠OEO 1=22 1 1 1==OE OO ∴所求二面角θ=arctan2。 例题2：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为A 1D 1、C 1D 1的中点，求平面EFCA 与底面ABCD 所成的二面角。 解：连B 1D 1交EF 于G ，连BD 交AC 于O ，作GH ⊥BD ，H 是垂足，连GO ，易证GO ⊥AC ，又BD ⊥AC ∴∠GOH 是所求二面角的平面角， GH=1，OH=42 ∴tan ∠GOH=224 2 1 ==OH GH ∴所求二面角θ=arctan 22。 利用平面角定义法求二面角大小，在棱上取一点常常是取特殊点。例1中E 点，例2中O 点都是特殊位置的点，所作两垂线也是题中特殊位置的线段。 例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。 解：连接BD 交于AC 为O 点，连OB 1， ∵BB 1⊥平面ABCD ，BO ⊥AC ∴B 1O ⊥AC ， ∠BOB 1是二面角B-AC-B 1的平面角， tan ∠BOB 1= 22 2 1 1==BO BB ∴所求二面角θ=arctan 2. 例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。 解：设AC 与BD 交于E ，CD 1与C 1D 交于F ，连EF 是所求二面角B-EF-C 的棱，连A 1C ，易证A 1C ⊥平面BDC 1，垂足为H ，取AD 1中点O ，连OC 交EF 于G ∵EF ∥AD 1，OC ⊥AD 1 ∴OC ⊥EF 即CG ⊥EF 。 根据三垂线定理逆定理得GH ⊥EF ∴∠CGH 是所求二面角的平面角。 先求得: CG=2 1OC=46)22()2(2122=-
正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积 S 全 2a ； (2)体积 3 a ； (3)对棱中点连线段的长 d= 2 a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3 (7)外接球半径 a ； (8)内切球半径 r= 12 a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V= 1 6 a b c ； ④底面面积S △ABC ⑤S 2 △BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2 △BOC +S 2 △AOB +S 2 △AOC =S 2 △ABC ⑦ 2222 1111 OH a b c =++; ⑧外接球半径 ⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ 四面体的性质探究 如果从面的数目上来说，四面体是最简单的多面体。 一．四面体性质 A B C D O H
A B D C O S 1 S 2 S 3 S 4 1．四面体的射影定理：如果设四面体ABCD 的顶点A 在平面BCD 上的射影为O ，△ABC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，△BCD 的面积为S 3，△ABD 的面积为S 4，二面角A-BC-D 为θ1-3 ，二面角A-DC-B 为θ 2-3 ，二面 角A-BD-C 为θ3-4 ，二面角C-AB-D 为θ1-4 ，二面角C-AD-B 为θ2-4 ，二面角B-AC-D 为θ 1-2 ，则 S 1 = S 2cos θ1-2 + S 3cos θ1-3 + S 4cos θ1-4 S 2 = S 1cos θ1-2 + S 3cos θ2-3 + S 4cos θ2-4 S 3 = S 1cos θ1-3 + S 2cos θ2-3 + S 4cos θ3-4 S 4 = S 1cos θ 1-4 + S 2cos θ 2-4 + S 3cos θ 3-4 2．性质2(类似余弦定理) S 12 = S 22 + S 32 +S 42 - 2S 2S 3 cos θ2-3 - 2S 2S 4 cos θ2-4 - 2S 3S 4 cos θ3-4 S 22 = S 12 + S 32 +S 42 - 2S 1S 3 cos θ1-3 - 2S 1S 4 cos θ1-4 - 2S 3S 4 cos θ3-4 S 32 = S 12 + S 2 2 +S 42 - 2S 1S 2 cos θ1-2 - 2S 1S 4 cos θ1-4 - 2S 2S 4 cos θ2-4 S 42 = S 12 + S 22 +S 32 - 2S 1S 2 cos θ1-2 - 2S 1S 3 cos θ 1-3 - 2S 2S 3 cos θ 2-3 特别地，当cos θ1-2 = cos θ 1-4 = cos θ 2-4 = 0，即二面角C-AB-D 、 C-AD-B 、B-AC-D 均为直二面角（也 就是AB 、AC 、BC 两两垂直）时，有S 32 = S 12 + S 22 +S 42 ， 证明：S 32 = S 3S 1cos θ1-3 + S 3S 2cos θ 2-3 + S 3S 4cos θ 3-4 = S 1 S 3cos θ 1-3 + S 2 S 3cos θ 2-3 + S 3 S 4cos θ 3-4 = S 1（S 1 - S 2cos θ 1-2 + S 4cos θ 1-4 ）+S 2（S 2 - S 1cos θ 1-2 + S 4cos θ 2-4 ）+ S 4（S 4 - S 1cos θ1-4 + S 2cos θ 2-4 ） = S 12 + S 22 +S 42 - 2S 1S 2 cos θ 1-2 - 2S 1S 4 cos θ1-4 - 2S 2S 4 cos θ 2-4 二．正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a ，则这个正四面体的 (1)全面积 S 全 2a ； (2)体积 V= 3 12 a ； (3)对棱中点连线段的长a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 (7)外接球半径 a ； (8)内切球半径 r= 12 a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).