抽象函数常见题型及解法
没有明确给出解析式的函数统称为抽象函数。常见题型及其解法如下:
一、函数性质法
1.利用奇偶性整体思考;
2.利用单调性等价转化;
3.利用周期性回归已知;
4.利用对称性数形结合;
5.借助特殊点.
二、特殊模型和抽象函数
三、常用变换技巧
)()
()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-?=+
()()()()[()]()()()()()f y f x y f x y f x f x y y f x y f x f y f x f y +-=?=+-=?+=
()()()()()[()]()()()()f x f x y f x f y f x f x y y f x y f y f x y f y +=?=-+=-?-=
)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f +=??-=
()()()()()()()()()()x x x f x y f x f y f x f y f f y f f x f y y y y ?=+?=?=+?=-
四、经典例题及易混易错题型
(一)定义域问题
这类问题只要紧紧抓住:将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体,相当于f x ()中的x 这一特性,问题就会迎刃而解.
例1. 函数y f x =()的定义域为(]-∞,1,则函数
y f x =-[log ()]222的定义域是___. 分析:因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ,所以
log ()2221x -≤,解得22<≤x 或-≤<-22x . 例2. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域.
分析:已知函数()()x f ?的定义域是A ,求函数f(x)的定义域,相当于求内函数()x ?的值域.
)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以
)(2x f 中的2x 满足412≤≤x ,从而函数f (x )的定义域是[1,4]
例3.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-,求函数)21(+=x f y 的定义域.
解析:由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-,知1+x 中的)3,2[-∈x ,从而411<+≤-x ,对函数
)21(+=x f y 而言,有1124x -≤+<,解之得:),21(]31,(+∞--∞∈ x . 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞
例4.已知f x ()的定义域为(0),1,则
y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的定义域是______. 分析:因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ,所以 010111<+<<-??
?-<<-<<+???x a x a a x a a x a (1)当-≤≤120
a 时,则x a a ∈-+(),1
(2)当012<≤
a 时,则x a a ∈-(),1
f x ()的定义域为(0),1,意思是凡被f 作用的对象都在(0),1中.
评析:已知f(x)的定义域是A ,求()()x f ?的定义域问题,相当于解内函数()x ?的不等式问题.
例5.定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-,若它的反函数为f-1(x),则y=f-1(2-3x)的定义域为______,
值域为______. 答案:(]8,3,34,0??????
(二)函数值问题
1. 赋特殊值法求值
例1.已知f x ()的定义域为R +,且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ,y 都成立,若f ()84=,则
f (2)=_______.
分析:在条件f x y f x f y ()()()+=+中,令x y ==4,得
f f f f ()()()()844244=+==,∴=f ()42
又令x y ==2,得f f f (4)(2)(2)=+=2,∴=f (2)1
例2.设函数)(x f 的定义域为()+∞,0,且对于任意正实数y x ,都有)(xy f =)(x f )(y f +恒成立。若已知
1)2(=f ,试求:(1))21(f 的值;(2)
)2(n f -的值,其中n 为正整数. 分析:合理赋值,化抽象为具体,发现递推规律.
(1)令1==y x ,则)1()1()1(f f f +=,∴0)1(=f .
再令x =2, y =21, 则)21()2()1(f f f +=, ∴.1)2()21(-=-=f f
(2)由于2)21()21()2(2-=+=-f f f ,,3)21()21()21()2(3-=++=-f f f f
依此类推就有
,)2(n f n -=- 其中n 为正整数. 例3.已知定义域为+R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①
51)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。
解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ,,所以54)3(-=f
又取3==y x 得58)3()3()9(-=+=f f f
抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决.
2.利用周期函数求值
例4. 已知f x ()是定义在R 上的函数,且满足:f x f x f x ()[()]()+-=+211,
f ()11997=,求f (2001)的值.
分析:紧扣已知条件,并多次使用,发现f x ()是周期函数,显然f x ()≠1,于是
f x f x f x ()()()+=+-211,f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()()()()()()+=++-+=++
--+-=-412121111111 所以f x f x f x ()()()+=-
+=814故f x ()是以8为周期的周期函数,从而
f f f (2001)()()=?+==8250111997
例5.对任意实数x,y ,均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.
分析:这种求较大自变量对应的函数值,一般从找周期或递推式着手:
,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得:f(0)=0,∴f(1)=21,.22001)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即
3.利用约分化简求值
的值是则且如果)2001(f )2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+ .2000
2(1)(2)(1)f f f ++222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)
f f f f f f f f f +++++= .( ()2n f n =,原式=16)
(三)值域问题 例1. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。
解:令x=y=0,有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0,则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故 f(0)≠0,必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立,因此,0)2()(2≥??? ??=x f x f ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 3.
例2.若函数h(x),g(x)均为奇函数,f(x)=ah(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,求f(x)在(-∞,0)上的最小值。
解析:由于h(x),g(x)均为奇函数,故ah(x)+bg(x)也是奇函数,令F(x)=ah(x)+bg(x),则f(x)=F(x)+2。由f(x)在(0,+∞)上有最大值5知,F(x)在(0,+∞)上有最大值为3。又因F(x)是奇函数,故F(x)在(-∞,0)上有最小值为-3.从而f(x)在(-∞,0)上有最小值为-1.
(四)奇偶性问题
根据已知条件,通过恰当的赋值代换,寻求f x ()与f x ()-的关系.
f(x)是偶函数与f(x+a)是偶函数的区别:f(x+a)为偶函数 ,则f(x+a)=f(-x+a);f(x)是偶函数,则f(x+a)=f(-x-a). f(x)是奇函数与f(x+a)是奇函数的区别:f(x)是奇函数,则f(-x-a)=-f(x+a);f(x+a)为奇函数,f(-x+a)=-f(x+a). 如f(2x+1)是奇函数: f(-2x+1)=-f(2x+1). 原因如下:令g(x)=f(2x+1),即g(x)是奇函数问题,即g(-x)=-g(x),即f(-2x+1)=-f(2x+1).
例1.已知f x ()的定义域为R ,且对任意实数x ,y 满足f xy f x f y ()()()=+,求证:f x ()是偶函数。 分析:在f xy f x f y ()()()=+中,令x y ==1,
得f f f f ()()()()11110=+?=
令x y ==-1,得f f f f ()()()()11110=-+-?-=
于是f x f x f f x f x ()()()()()-=-?=-+=11故f x ()是偶函数。
例2.若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称,求证:函数y f x =()是偶函数。 证明:设y f x =()图象上任意一点为P (x y 00,), y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称, ∴P x y ()00,关于原点的对称点()--x y 00,在y f x =-()的图象上,
0000()()y f x y f x ∴-=--∴=-, 又y f x 00=(),∴-=f x f x ()()00
即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=,所以y f x =()是偶函数。
例3.已知)(x f y =是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的R b a ∈,,都满足:
)()()(a bf b af b a f +=?。判断)(x f y =的奇偶性,并证明你的结论。
解析:令1==b a ,则)1(1)1(1)11(f f f ?+?=?,得0)1(=f ;
令1-==b a ,则)1()1()1()1()]1()1[(-?-+-?-=-?-f f f ,得0)1(=-f ;
令1-=a ,x b =得)1()()1(])1[(-?+?-=?-f x x f x f ,得)()(x f x f -=-
因此函数)(x f y =为奇函数。总结:赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。
例4.已知y=f(2x+1)是偶函数,则函数y=f(2x)的图象的对称轴是( D )
A.x=1
B.x=2
C.x=-21
D.x=21
解析:f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.
注:若由奇偶性的定义看复合函数,一般用一个简单函数来表示复合函数,化繁为简。F (x )=f(2x+1)为 偶函数,则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。已知y=f(x)是偶函数,则f(-2x-1) =f(2x+1).
例5.已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足
())()(1)()()(1x f y f y f x f y x f -+=
-,(2)存在正常数a ,使f(a)=1.
求证:f(x)是奇函数. 证明:设t=x-y,则
)()()(1)()()()(1)()()()(t f x f y f x f y f y f x f x f y f x y f t f -=-+-=-+=
-=-,所以f(x)为奇函数.
(五)单调性问题
抽象函数的单调性多用定义法解决 例1.如果奇函数f x ()在区间[]37,上是增函数且有最小值为5,那么f x ()在区间[]--73,上是
A. 增函数且最小值为-5
B. 增函数且最大值为-5
C. 减函数且最小值为-5
D. 减函数且最大值为-5
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质,画出函数的示意图,以形助数,问题迅速获解.
例2.设函数()y f x =的定义域为R ,且对任意实数m ,n ,总有()()()f m n f m f n +=,且当0x >时,
0()1f x <<.
(1)证明:(0)1f =,且当0x <时,()1f x >;
(2)证明:()f x 在R 上单调递减.
分析:解决抽象函数问题,可借助具体的“模型函数”帮助同学们思考.本题的“模型函数”为指数函数,同学们还没有学到它,不过没有关系,利用现有的知识同学们也同样能够解答.
证明:(1)在()()() f m n f m f n +=,m ,n ∈R 中,令1m =,0n =,得(1)(1)(0)f f f =,即(1)[(0)1]0f f -=,但(1)f ≠0,故必有(0)f =1.设0x <,则0x ->,令m x =,n x =-,代入条件式有(0)()()1f f x f x =-=,1()()f x f x =-,由0x >时,0<()f x <1知x ->0时,0<()f x -<1,∴1
()f x ->1,即当0x <时,()f x >1.
(2)设任意12x x ,∈R 且12x x <, 则210x x ->,∴210()1f x x <-<,
又∵2211211()[()]()()f x f x x x f x x f x =-+=-,故2211()()(01)()f x f x x f x =-∈,.
∴21()()f x f x <,从而证得()f x 在R 上单调递减.
例3.设f (x )定义于实数集上,当0>x 时,1)(>x f ,且对于任意实数x 、y ,有)()()(y f x f y x f ?=+,求证:)(x f 在R 上为增函数。
证明:在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ,得2)]0([)0(f f =
若0)0(=f ,令00=>y x ,,则0)(=x f ,与1)(>x f 矛盾
所以0)0(≠f ,即有1)0(=f 当0>x 时,01)(>>x f ;当0
所以对任意R x ∈,恒有0)(>x f
设+∞<<<∞-21x x ,则1)(01212>->-x x f x x ,
所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f >-=-+=所以)(x f y =在R 上为增函数。
评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及数值的分解与
组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
例4. 已知函数()f x 的定义域为R ,且对m n ∈R ,,恒有()()()1f m n f m f n +=+-,且10
2f ??-= ???,当12x >-
时,()0f x >.(1)求证:()f x 是单调递增函数;(2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证.
分析:在学过的函数中一次函数满足上述条件,而一次函数具有单调性,从而根据题设条件运用函数单调性定义加以证明.在证明的过程中为了扣紧题设条件,要有一定的变形技巧.
(1)证明:设任意12x x ∈R ,,且12x x <,则211122x x -->-,由题意,得
21102f x x ??--> ???, ∵2121112111()()[()]()()()1()
f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=-+-- 21212111()1()1()022f x x f x x f f x x ??????=--=-+--=-+-> ? ?????????,∴()f x 是单调递增函数.
(2)解析:()21f x x =+.验证过程同学们可以自己试做一下.
例5.设函数f(x)对任意实数x,y ,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
解析:由单调性的定义步骤设x1
令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.
例6.设f(x)定义于实数集上,当x>0时,f(x)>1,且对于任意实数x 、y ,有f(x+y)=f(x)f(y),求证:f(x)在R 上为增函数。
证明:设R 上x1
f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1),因为f(x1)的正负还没确定) 。
取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f (0)=0,令x>0,y=0,则f(x)=0与x>0时,f(x)>1矛盾,所以f(0)=1,x>0时,f(x)>1>0,x<0时,-x>0,f(-x)>1,∴由0)(1)(1)()()0(>-==-=x f x f x f x f f 得,故f(x)>0,从而f(x2)>f(x1).即f(x)在R 上是增函数。(注意与例3的解答相比较,体会解答的灵活性)
例7.已知函数f(x)的定义域为R ,且对m 、n ∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且f(-21)=0,当x>-21
时,f(x)>0.求证:f(x)是单调递增函数;
证明:设x1<x2,则x2-x1-21>-21,由题意f(x2-x1-21
)>0,∵f(x2)-f(x1)=f [(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2
-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(-21)-1=f [(x2-x1)-21
]>0,∴f(x)是单调递增函数. 例8. 定义在R+上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1。(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R+上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围.
解:(1)令x=2m,y=2n,其中m,n 为实数,则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n ,又
f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)
,2x ,2x n m ,x x 0:)2(n 2m 121==<<<且使可令设证明0n m )2(f )n m ()2(f )x x (f )x (f )x (f )1(n m 2121<-=-===--得由,故
f(x1) (六)单调性与奇偶性综合 例1.已知偶函数f(x)的定义域是x ≠0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有 1212()()() f x x f x f x ?=+,且当1x >时()0,(2)1f x f >=, (1)f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)解 不等式2(21)2f x -< (1)设210x x >>,则221111()()()()x f x f x f x f x x -=?-221111()()()()x x f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>,∴211x x >,∴ 21()x f x 0>,即21()()0f x f x ->,∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数 (2)(2)1f =,∴(4)(2)(2)2f f f =+=,∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为 2(|21|)(4)f x f -<,又∵函数在(0,)+∞上是增函数,∴0≠2|21|4x -<,解得:{|x x x <≠ 例2.设)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,又)123()12(22+-<++a a f a a f ,求实数a 的取值范围. 解析:又偶函数的性质知道:)(x f 在),0(+∞上减,而0122>++a a ,01232>+-a a ,所以由