高考抽象函数技巧总结
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学
生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：
一、求表达式：
1. 换元法：即用中间变量匚!表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此
法解培养学生的灵活性及变形能力。
x
例 1 ：已知f ( ) =2x ? 1,求f (x).
x 1
解：设—u,贝V x — f (u) = 2 —■ 1 = --------------- 二f (x)= --------
x+1 1-^ 1-u 1-u 1-x
2. 凑合法：在已知f(g(x)) =h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求
f (x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。
1 3 1
例2:已知f (x ) = x 3 ,求f (x)
x x
1 1 1 11 1 1
解：??? f (x ) =(x )(x2-1 2)= (x )((x )2-3)又??? |x —|=|x| —- 1
x x x x x x | x|
2 3
f(x) =x(x -3) =x -3x, (| x | > 1)
3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3.已知f (x)二次实函数，且f(x ?1) ? f(x-1) =X2+2X+4,求f(x).
解：设f (x) = ax2 bx c，则f (x 1) f (x「1) = a(x 1)2 b(x 1) c a(x「1)2 b(x「1) c l2(a c) =4
2 2 1 3
= 2ax 2bx 2(a c) =x 2x 4 比较系数得2a =1 =a ,b=1,c
2 2 2b =2
1 2 丄3
f (x) = 一X x -
2 2
4. 利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式?
例4.已知y = f (x)为奇函数，当x>0时，f (x) = lg(x ? 1),求f (x)
解：??? f (x)为奇函数，??? f (x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。??? - x>0, ???
f (-x) =lg( -X 1) =lg(1 _x),
f (x)为奇函数，??? lg(1 一 x) = f (_x) - - f (x) ???当 x <0 时 f (x) - _ lg(1 - x) /.
pg(1+x),xzO f (x)二
I —lg(1—x),X￡O
1
例5.—已知f (x)为偶函数,g(x)为奇函数，且有f (x) + g(x)
,求f(x),g(x).
X —1 解：T f (x)为偶函数，g(x)为奇函
数，? f (_x) = f (x), g(_x) - -g(x),
1
不妨用-x 代换f(x) + g(x)= ------------
x —1 1
二 f (-x) g(-x) 即 f (x) - g(x) 口
_x _1
x
再代入①求出g(x)二再二 -1 x -1
例6 :设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件 f(x T)二f (x) ? f (y) xy ,及f (1)=1,求f(x)
解：??? f (x)的定义域为N,取y =1,则有f (x T) = f (x) x 1 ?/ f(1)=1, ? f (2) = f(1)+2, f (3) = f(2)
3 ……f(n) = f (n —1) n 以上各式相加，有 f(n)=1+2+3+……+ n =凹 耳??? f(x)=[x(x 1),x N 2 2
二、禾U 用函数性质，解 f(x)的有关问题 1. 判断函数的奇偶性：
例7已知f(x y) f (^y^2f (x)f (y),对一切实数x 、y 都成立，且f(0) = 0,求证f(x)为偶 函数。
证明：令x =0,则已知等式变为f (y)
f (-y) =2f (0) f (y)............. ①
在①中令 y =0 则 2 f (0) =2 f (0) ?/ f (0)丰 0「. f (0) =1 ? f(y) f ( - y) = 2f (y) /. f ^yH f (y) ? f (x)为偶函数。 2. 确定参数的取值范围
例&奇函数f (x)在定义域(-1，1)内递减，求满足f (1 - m) ? f (1 - m 2) ：：： 0的实数m 的取值范围。
2 2 2
解：由 f (1 - m) f (1 - m ) ：： 0 得 f (1 - m) ：： - f (1 - m )，T f (x)为函数，? f (1 - m) ：： f (m -
1)
一1 v 1 - m ￡ 1
又T f (x)在(-1，1)内递减，?
-1 ：： m 2 -1 1- 0 ：： m 1 2
1 - m m -1
3. 解不定式的有关题目
①中的x , 显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)二
5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出
f (x)的表达式
例9 :如果f(x) = ax2 bx c对任意的t有f (2 ? t)二f2 -t),比较f (1、f (2)、f⑷的大小
解：对任意t有f (2 ? t) = f 2 —t) ??? x =2为抛物线y =ax2? bx ? c的对称轴
又???其开口向上???f (2)最小，f (1)= f(3) T在］2,+^ )上，f (x)为增函数
? f (3)< f (4), ? f (2)< f (1)< f (4)
五类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f (x)对任意实数x, y,均有f (x+ y)= f (x) + f (y),且当x> 0时，f (x)> 0, f (- 1)=- 2,求f (x)在区间［—2, 1］上的值域。
分析：由题设可知，函数f (x)是'■■■■ ■■ 1:的抽象函数，因此求函数f (X)的值域，关键在于研
究它的单调性。
解：设孟I <比.则心-石> 0 .?当孟>0时"/(兀)》0 心-孟］)> 0 ,
? ?
― 一；，即>「("：，??? f(X)为增函数。
在条件中，令y=—X,则「宀；?"」?：?，再令x= y = 0,则f (0)= 2 f (0 ),? f (0)= 0, 故f (—x)= f (x), f (x)为奇函数，
? f (1)=—f (—1)= 2,又f (—2)= 2 f (—1 )=—4,
?- f (x)的值域为［—4, 2］o
例2、已知函数f (x)对任意……匸二，满足条件f (x)+ f ( y)= 2 + f (x + y)，且当x> 0时，f
(x)> 2, f (3)= 5，求不等式?- ’ 的解。
分析：由题设条件可猜测：f (x)是y = x+ 2的抽象函数，且f (x)为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去
不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设*.：；,?.?当
孟>0时』㈤>2,.. /(比-和》2,则
jg - /［(^a -XjJ + xJ - -盂J +-2 > 2 + 3閒-2-/(帀)
即*八'I , ? f (X)为单调增函数。?
/?- /(2 + 1)-/?+ /(I) - 2 = ［/(I) + /Q)- 2］ + /(I) - 2 = 3/(1)-4
又? f (3)= 5,. f (1) = 3。. ；- f - ■- - J
即「丄 -■- ，解得不等式的解为一1 < a < 3。
即- -
■ ■■ , ? f (幻是(0,+8) 上的增函数，故
2、指数函数型抽象函数
例3、设函数f (x )的定义域是(— 8,+^)，满足条件：存在 匚二J ,使得1 ?匸-二:，对任
何x 和y ， J 门■ ；=「工：成立。求： (1)
f (0)； (2)对任意值x ，判断f (x )值的正负。
分析：由题设可猜测 f (x )是指数函数； ，的抽象函数，从而猜想 f ( 0)= 1且f (x )> 0。 解：( i )令 y =0 代入，则"mu
■■■'' - - ''o 若f (x )= o ,则对任意■'=±:，有rm 」，这与题设矛盾，? f ( x )
工 0,.?.f (0)= 1 o (2)
令 y = X M 0 ,^「5’ ： I 「： I .?；-； 1
"，又由(1)知 f
(x )工 0,.?.f (2x )> 0,即
f (x )> 0,故对任意x , f (x ) > 0恒成立。
例4、是否存在函数f (x )，使下列三个条件：①f ( x ) > 0, x € N;②?「7 -!
- -■
③f ( 2)= 4。同时成立？若存在，求出 f (x )的解析式，如不存在，说明理由。
分析：由题设可猜想存在 「，又由f (2 )= 4可得a = 2 ?故猜测存在函数：：，
'，用数学归
纳法证明如下：
(1) x = 1 时，门一，又??? x € N 时，f(x )> 0, 一 ：
\
结论正确。
(2) 假设工乩二丄时有:，则x = k + 1时,—「一…’ ? x = k + 1时，结论正确。
综上所述，x 为一切自然数时」’’^ '。 3、对数函数型抽象函数
对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。
例5、设f (x )是定义在(0,+8)上的单调增函数，满足 ''-'J
1 ,求：
(1) f (1)；
(2) 若f ( x ) + f (x — 8) < 2,求x 的取值范围。
分析：由题设可猜测 f (x )是对数函数的抽象函数，f (1)= 0, f (9)= 2o
解:
? ,
(2)
/⑵= /(3x3) = / (3) + /(3) = 2
，从而有 f (x )+ f ( x — 8)w f (9),
[x(z-85 < 9 x > 0
严一结> ° ，解之得：8v x w 9。
例 6、设函数 y = f (x )的反函数是 y = g (x )。如果 f (ab ) = f (a ) + f (b ),那么 g (a + b )= g (a ) - g (b )是否正确，试说明理由。
分析：由题设条件可猜测 y = f (x )是对数函数的抽象函数，又??? y = f (x )的反函数是y = g (x ),.?? y =g (x )必为指数函数的抽象函数，于是猜想
g (a + b )= g (a )?g ( b )正确。
解：设 f (a )= m f (b )= n ,由于 g (x )是 f (x )的反函数，二 g (m = a , g (n )= b ,从而 —J'：'八「一「'3
「_】，??? g (m ? g (n )= g ( m^ n ),以 a 、b 分别代替上
式中的m n 即得g (a + b )= g ( a )?g (b )。 4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f (x )的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
② f ( a )=- 1 (a >0, a 是定义域中的一个数)； ③ 当 0 v x v 2a 时，f (x )v 0。
试问：(1) f (x )的奇偶性如何？说明理由。
(2)在(0, 4a ) 上 , f (x )的单调性如何？说明理由。
分析：由题设知f (x )是''=
■■■■■■■■的抽象函数，从而由；二一 及题设条件猜想：f (x )是奇函数且
在(0, 4a )上是增函数(这里把 a 看成」进行猜想)。 解：(1 )??? f (x )的定义域关于原点对称，且
二…：是定义域中的数时有
八；J _ J
在定义域中。???
? f (x )是奇函数。
(2)设 0v X 1< X 2< 2a ,贝U 0v X 2— X 1< 2a,‘.?在
西)十 1 f (x i ) , f ( X 2), f ( X 2— x i )均小于零，
进而知 「宀」工中的
v f (X 2),「.在(0, 2a ) 上 f (x )是增函数。
f (m) = f(2a ~a) = --------------------------- - 1 又 ‘「」，??? f (a ) — 1 ,.??— ：,??? f (2a )= 0,
设 2a v x v 4a ,贝U 0v x — 2a v 2a ,
①当是定义域中的数时，有
了 (和』(可)+1 /帆)-/(可)
(0, 2a )上 f (x )v 0,
是 f (x i )
/(2a)-/?-/M ，于是f (x)> 0，即在(2a, 4a)上f (x)> 0。设2a<
x i g-畑)，.?.了(咼)-/E)<0，即 f (x i)< f (X2), 即卩f (乂)在(2a, 4a)上也是增函数。综上所述， f (乂)在(0, 4a)上是增函数。 5、幕函数型抽象函数 幕函数型抽象函数，即由幕函数抽象而得到的函数。 例8、已知函数f (x)对任意实数x、y都有f (xy)= f (x)?f (y),且f (—1)= 1, f (27)= 9, 当I < 1 时，.「J —W (1)判断f (x)的奇偶性； (2)判断f (x)在］0,+m)上的单调性，并给出证明； (3)若：：-…4 !「--，求a的取值范围。 2 分析：由题设可知f (x)是幕函数' “的抽象函数，从而可猜想f (x)是偶函数，且在［0,+^) 上是增函数。 解：(1 )令y = - 1,则f ( —x)= f (x)?f (—1 ),??? f (—1 )= 1 ,??? f (- x)= f (X) , f (x)为偶函数。 冲70^—<1 /⑹=/(乞巧) ，I ' , (2)设 _ _」，二? ? 用)<1 —时，…-丨…I ? f (X1)< f (X2)，故f (x)在0,+s)上是增函数。 (3)v f (27)= 9,又'、m「' ?9?［/(3)F ?了◎邛 ../仅+1)《活? /匕亠1)￡/0) ?? ■ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???，：「'「 i .?「，..「］_ m _］,又.二二口，故，.紆三打 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数 表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题 例1.已知函数■'的定义域是］1, 2］，求f(x)的定义域。 解：?「'的定义域是】1 , 2］，是指1- ■ 二，所以? J '中的八满足I " L'-' 从而函数f(x)的定义域是］1, 4:
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