立体几何大题题型二：翻折问题
1.已知四边形ABCD 满足AD BC P ，12
BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将△BAE 沿着AE 翻折成△1B AE ，使面1B AE ⊥面AECD ，,F G 分别为1,B D AE 的中点．
（1）求三棱锥1E ACB -的体积；
（2）证明：1B E P 平面ACF ；
（3）证明：平面1B GD ⊥平面1B DC ．
思路分析：对于翻折问题要注意翻折后的图形与翻折前的图形中的变与不变量．（1）求棱锥的体积一般找棱锥高易求的进行转换．由题意知，AD EC P 且AD EC =，∴四边形ADCE 为平行四边形，∴AE DC a ==，即E AB 1?为等边三角形．由面1B AE ⊥面AECD 的性质定理，连结1B G ，则1B G AE ⊥，可知1B G ⊥平面AECD ．所以11E ACB B AEC V V --=即可；（2）本题利用线面平行的判定定理去做．因为F 为1B D 的中点，注意利用中位线；（3）本题利用面面垂直的判定定理证明．因为AE ∥CD ,只需证明AE ⊥平面1B GD 即可。连结GD ，则DG AE ⊥．又△ABE 为等边三角形，则1B G AE ⊥，得证．本题注意体现了转化的思想．
（2）连接ED 交AC 于O ，连接OF ，∵AEDC 为菱形，且F 为1B D 的中点，∴1FO B E P ．又1B E ?面ACF ，FO ?平面ACF ，∴1B E P 平面ACF
（3）连结GD ，则DG AE ⊥．又1B G AE ⊥，1B G GD G =I ，∴AE ⊥平面1B GD ．又AE DC P ，∴DC ⊥平面1B GD ．又DC ?平面1B DC ，∴平面1B GD ⊥平面1B DC ．
点评：本题考查了直线与平面平行、平面与平面垂直的判定和几何体的体积，以折叠问题为载体，折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体。如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面垂直的判定方法及相互转化，还要正确识别出△BAE 沿AE 折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题．这正是折叠问题的价值之所在．
2．(2015·山东聊城二模)如图(1)所示，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B .(如图(2))
(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角E -DF -C 的余弦值；
(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BP BC
的值；如果不存在，请说明理由．
【解】 (1)平行．在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF ∥AB ，又AB ?平面DEF ，EF ?平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .
(2)以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，
则A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，DF →＝(1，3，0)，DE
→＝(0，3，1)，DA →＝(0，0，2)．
平面CDF 的法向量为DA →＝(0，0，2)，设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则?????DF →·n ＝0，DE →·
n ＝0，即???x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0， 取n ＝(3，－3，3)，
cos 〈DA →，n 〉＝DA →·n |DA →||n |
＝217， 所以二面角E -DF -C 的余弦值为217
. (3)存在．设P (s ，t ，0)，有AP →＝(s ，t ，－2)，
则AP →·DE →＝3t －2＝0，∴t ＝233
， 又BP →＝(s －2，t ，0)，PC →＝(－s ，23－t ，0)， ∵BP →∥PC →，∴(s －2)(23－t )＝－st ，
∴3s ＋t ＝2 3.
把t ＝233代入上式得s ＝43，∴BP →＝13
·BC →， ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE .此时，BP BC ＝13
. 3．(2015·陕西高考)如图1，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12
AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .
(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；
(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值．
【解】 (1)证明：在图1中，
因为AB ＝BC ＝12
AD ＝a ，E 是AD 的中点． ∠BAD ＝π2
，所以BE ⊥AC . 即在图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC .
从而BE ⊥平面A 1OC ，
又CD ∥BE ，
所以CD ⊥平面A 1OC .
(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，
且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，
又由(1)，A 1O ⊥BE ，
所以A 1O ⊥平面BCDE ，
即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高．
由图1知，A 1O ＝22AB ＝22
a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1BCDE 的体积为
V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26
a 3， 由26
a 3＝362，得a ＝6. 4．(2015·宁夏银川一中二模)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AD ＝CD ＝12
AB ＝2，点E 为AC 中点．将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体
D —ABC ，如图2所示．
(1)在CD 上找一点F ，使AD ∥平面EFB ；
(2)求点C 到平面ABD 的距离．
【解】 (1)取CD 的中点F ，连结EF ，BF ，
在△ACD 中，∵E ，F 分别为AC ，DC 的中点，
∴EF 为△ACD 的中位线，
∴AD ∥EF ，∵EF ?平面EFB ，AD ?平面EFB ，
∴AD ∥平面EFB .
(2)设点C 到平面ABD 的距离为h ，
在Rt △ADC 中，AD ＝CD ＝2，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝22，易求得BC ＝22， ∵AB ＝4，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .
∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，且BC ?平面ABC ， ∴BC ⊥平面ADC ，
∴BC 是三棱锥B —ADC 的高，BC ⊥AD ，
又AD ⊥DC ，DC ∩BC ＝C ，
∴AD ⊥平面BCD ，
∴AD ⊥BD .
∴S △ABD ＝12AD ·BD ＝12
×2×23＝23， 由V C －ABD ＝V B －ACD ，
得13·S △ABD ·h ＝13·S △ACD ·BC ，即13·23·h ＝13·12
×2×2·22， 解得h ＝263
. ∴点C 到平面ABD 的距离为263
.
… 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线 与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A ．15 B 。13 C 。12 D 。 3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、 F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ． 5 10 B ．32 C ． 5 5 D ． 5 15
6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 33 D ．3 ： 7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） o B. 90o o D. 75o 8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对 角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则 〈CM ，1D N 〉的值为. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面的距离是 . 11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ． 12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . ： 13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面， 且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离 A B | D C
立 体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（ ） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块
立体几何中“折叠问题”的解题策略[例题]如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥BC，BD∥DC，点E是BC边的中点，将∥ABD沿BD折起，使平面ABD∥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体． (1)求证：AB∥平面ADC； (2)若AD＝1，二面角C-AB-D的平面角的正切值为6，求二面角B-AD-E的余弦值. [解](1)证明：因为平面ABD∥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，BD∥DC，DC∥平面BCD， 所以DC∥平面ABD. 因为AB∥平面ABD，所以DC∥AB. 又因为折叠前后均有AD∥AB，DC∩AD＝D， 所以AB∥平面ADC. (2)由(1)知AB∥平面ADC， 所以二面角C-AB-D的平面角为∥CAD. 又DC∥平面ABD，AD∥平面ABD， 所以DC∥AD.
依题意tan∥CAD ＝CD AD ＝ 6. 因为AD ＝1，所以CD ＝ 6. 设AB ＝x (x ＞0)，则BD ＝x 2＋ 1. 依题意∥ABD ∥∥DCB ，所以AB AD ＝CD BD ， 即x 1＝6x 2＋1 ，解得x ＝2， 故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝BD 2＋CD 2＝3. 以D 为坐标原点，射线DB ，DC 分别为x 轴，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ， 则D (0,0,0), B (3,0,0), C (0,6，0), E (23,2 6 ,0）, A ( 33,0,3 6）， 所以DE ―→＝(2 3,2 6,0），DA ―→＝(3 3,0,3 6 ）. 由(1)知平面BAD 的一个法向量n ＝(0,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由?? ? m·DE ―→＝0，m·DA ―→＝0， 得??? 32x ＋6 2y ＝0， 33x ＋6 3z ＝0. 令x ＝6，得y ＝－3，z ＝－3，
立体几何复习测试题及答案
高一数学立体几何复习题 必修2立体几何知识点 第一章：空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫 做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线 照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、 空间几何体的表面积与体积 ⑴ 圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面；圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑵ 圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 （3）体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体；()h S S S S V 下下上上台体+?+=31 （4）球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂 直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑶定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 第一部分：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图
立体几何中的折叠问题 1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题. 2.折叠问题分析求解原则： (1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系； (2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。 （最值问题）1、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为_______. （两点间距离，全品83页）2、把长宽分别为2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60o 的二面角，求顶点B 和D 的距离。 3、（全品70页）给出一边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，并用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积。 4、（2005江西文）矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B — AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ） A ． π12 125 B ． π9 125 C ． π6 125 D ． π3 125
A B C E M N 解决折叠问题的关键是弄清折叠前后哪些量没有变化，折叠后位置关系怎样变化，通过空间想象折叠成的几何体的形状来分析已知和待求，是培养空间想象能力的很好的题型。 高考题中的折叠问题 1、在正方形SG 1G 2G 3中E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点,D 是EF 的中点,现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使G 1、G 2、G 3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S —EFG 中必有 (A)SG ⊥△EFG 所在平面 (B)SD ⊥△EFG 所在平面 (C)GF ⊥△SEF 所在平面 (D)GD ⊥△SEF 所在平面 2、如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ， EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0° 3、（2005浙江理科）12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如下图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_____． 4、（2006山东）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为 (A) 2734π (B)26π (C)86π (D)24 6π 5、（2009浙江）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ?沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．
高一2011-2012学年度单元测试题 数 学 立体几何部分 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分），考生作答时请将答案答在答题纸上，答在试卷或草纸上无效，考试时间120分钟，满分150分。 参考公式：柱体体积V Sh =，其中S 为柱体底面积，h 为柱体的高。 球体体积34 3V R π= ，其中π为圆周率，R 为球体半径。 椎体体积1 3 V Sh =，其中S 为锥体底面积，h 为锥体的高。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列说法正确的是 A.两两相交的三条直线共面 B.两条异面直线在同一平面上的射影可以是一条直线 C.一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线和该平面平行 D.不共面的四点中，任何三点不共线 2.设平面α∥平面β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A ，B 分别在α，β内运动时，那么所有的动点C A.不共面 B.当且仅当A ，B 在两条相交直线上移动时才共面 C.当且仅当A ，B 在两条给定的平行直线上移动时才共面 D.不论A ，B 如何移动都共面 3.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.2 B.1 C. 23 D. 1 3 第3题图 第4题图 4.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 中点。将△ADE 与△BEC 分别沿ED ， EC 向上折起，使A ，B 重合于点P ，则三棱锥P －DCE 的外接球的体积为 A. 43π B. 6π C. 6π D. 6π5.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A.若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α B.若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C.若l ∥α，m ?α，则l ∥m D.若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 第6题图 6.如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在 A.直线AB 上 B.直线BC 上 C.直线AC 上 D.△ABC 内部 7.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ， 且EF= 1 2 ，则下列结论中错误的是 A. AC ⊥BE B.EF ∥平面ABCD C.三棱锥A-BEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 第7题图
立体几何的动态问题之二 ———翻折问题 立体几何动态问题的基本类型： 点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等 一、面动问题（翻折问题）： （一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论 .DF AE ⊥一线：垂直于折痕的线即 五结论： 1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变； 折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2--D HF D H F ''∠）是二面角的平面角； 3D DF '）在底面上的投影一定射线上； 二、翻折问题题目呈现： （一）翻折过程中的范围与最值问题 1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD 中， ， CD=CB= 且AD AB ⊥， 现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A BD ?，则在'A BD ?折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为_______ . 解：由题意知点A 运动的轨迹是以E 为圆心,EA 为半径的圆，当点A 运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以tan 'A CB ∠= 【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误 1 2 进行分析，找出错误的原因。 2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是 D A B E C D A B C 4) ''D H DH 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；5AD'E AE .）面绕 翻折形成两个同底的圆锥C
A.( ,)63 ππ B. (,]62 ππ C. ( ,]32 ππ D. 2( ,)3 3 ππ 分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。 方法一：特殊值法（可过F 作FH 平行BE,找两个极端情形） 方法二：定义法：利用余弦定理： 222254cos 243 FH FC CH FHC CH FH FC +-∠==- ，有344CH ≤≤ 11cos ,22CFH ?? ∴∠∈-???? 异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(,] 32ππ 方法三：向量基底法： 111 ()()222BE FC BA BD FC BA FC BF FA FC =+==+ 111cos ,cos ,,222BE FC FC FA ?? <>= <>∈-???? 方法四：建系： 3、（2015年浙江·理8）如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ?折成 A CD '?，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则 （ B ） A. A DB α'∠≤ B. A DB α'∠≥ C. A CB α'∠≥ D. A CB α'∠≤ 方法一：特殊值 方法二：定义法作出二面角，在进行比较。 方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。 4、 （14 年1月浙江省学业学考试题）如图在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程 B
专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问 题 1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图 2. (1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC; (2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值. 2. (2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点. (1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由; (2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.
3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1. (1)求证:A1D∥平面BCC1B1; (2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由. 4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2.
(1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG; (2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM与平面AHB 所成角的正弦值. 5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD为菱形,且∠A=60°,取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG,使得∠AEG=90°,如图2. (1)求证:AE⊥平面EBHG; (2)求二面角A-GH-B的余弦值; (3)若点F满足=λ,当EF∥平面AGH时,求λ的值.
数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ） A ． 12 B C D 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A ． 15 B 。13 C 。 12 D 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．510 B ．3 2 C ．55 D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则 sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
图形的折叠与旋转 1．如图所示，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E CD ==是的中点，F 为BC 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使D 到P 点位置，且PC PB =． （1）求证：;PO ABCE ⊥面 （2）求二面角E-AP-B 的余弦值． 2．如图，平行四边形ABCD ，2,4AB AD ==将CBD ?沿BD 折起到 EBD ?的位置，使平面EDB ⊥平面ABD （I ）求证：AB DE ⊥； （Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积.
3、如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的 点 ,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥 A BCDE '-, 其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ； (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦 值. 4．如图，沿等腰直角三角形ABC 的中位线DE ，将平面ADE 折起，平面ADE ⊥平面 BCDE ，得到四棱锥A BCDE -，4AC =，设AE 、CD 的中点分别为P 、Q ， （1）求证：平面ABC ⊥平面ACD （2）求证：ABC PQ 平面// （3）求平面ABC 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值。 . C O B D E A C D O B E 'A 图1 图2 A D E C B
5．已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，，E 是BC 的中点，将BAE ?沿着AE 翻折成1B AE ?，使面1B AE ⊥面AECD ，F 为1B D 的中点. （Ⅰ）求四棱锥1B AECD -的体积；（Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ； （Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面角的余弦值.
立体几何单元测试题 一．填空题： 1、若一个球的体积为π34，则它的表面积为________________． 2、若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 。 3、若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 4、设,αβ为两个不重合的平面，,m n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,m n m n αα⊥⊥?则n ∥α；②若,,,,m n n m αβαβα⊥?=?⊥则n β⊥； ③若,m n ⊥m ∥α，n ∥β，则αβ⊥；④若,,n m αβα??与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直.，其中，所有真命题的序号是 ___________ 5、设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m β?，αβ⊥，则m α⊥；②若m//α，m β⊥，则αβ⊥； ③若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥；④若m αγ=I ，n βγ=I ，m//n ，则//αβ． 上面命题中，真命题的序号是 ________ （写出所有真命题的序号）． 6、设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则下列4组条件中所有能推得b a ⊥的条件是 ________ 。（填序号） ①,α?a b ∥β，βα⊥；②βαβα⊥⊥⊥,,b a ； ③,α?a β⊥b ，α∥β；④α⊥a ，b ∥β，α∥β。 7、如图，已知正三棱柱 111 ABC A B C -的底面边长为2cm ， 高位5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周 到达 1 A 点的最短路线的长为 ________ cm ． 8、已知平面,,αβγ,直线,l m 满足：,,,αγγαγβ⊥==⊥I I m l l m ,那么 ①m β⊥； ②l α⊥； ③βγ⊥； ④αβ⊥.可由上述条件可推出的结论有________ (请将你认为正确的结论的序号都填上). 9、在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱111,AA D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心，则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 ． 1 C A B C 1 A 1 B (第7题图)
人教A必修2第一章《空间几何体》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分） 班别座号姓名成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（） A B C D 2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（） A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D1：3：9 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（） A. 3 B. 23 C. 33 D. 43 4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2= A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为： A.24πcm2，12πcm3 B.15πcm2，12πcm3 C.24πcm2，36πcm3 D.以上都不正确 7、一个球的外切正方体的全面积等于6 cm2，则此球的体积为（） A.3 3 4 cm π B. 3 8 6 cm π C. 3 6 1 cm π D. 3 6 6 cm π 8、一个体积为3 8cm的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A．2 8cm π B．2 12cm π C．2 16cm π D．2 20cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（） A. 3 π B. 4 π C. 2 π D. 10、如右图为一个几何体的 三视图，其中府视图为 正三角形，A1B1=2， AA1=4，则该几何体的表面积为 (A)6+3 (B)24+3 (C)24+23 (D)32 选择题答题表 A B 1 正视图侧视图府视图
立体几何练习题 1.设a 、3、丫为两两不重合的平面，I 、m 、n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: 若 a 丄 Y 3-L Y,贝V a // ②若 m? a , n? a, m // n // 3 ,贝a// B; ③若 a// 3, I? a,贝U I // 3；④若 aAB , =3 门丫 =n YHa , =h// 丫，则 其中真命题的个数是() A . 1 B. 2 2.正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1 中, 返 B .逅 3 3 C. 3 D. 4 BDi 与平面ABCD 所成角的余弦值为（） A. D. 3.三棱柱 ABC- A 1B 1C 1 中，AA i =2 且 AA i 丄平面 ABC, △ ABC 是 边长为二的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上, // n . 则这个球 A. 8 n B. 8兀 3 C. D.引 2 n 4.三个平面两两垂直, 它们的三条交线交于点 O , 空间一点 P 到三个平面的距离分别为 3、4、5 ,贝U OP 长为（） A. 5^3 B. 2后 C. 3后 D 5岳 的体积为（） SD 丄底面ABCD,则下列结论中不正确的是（） 5.如图，四棱锥S- ABCD 的底面为正方形, A. ACL SB B . AB//平面 SCD C. SA 与平面SBD 所成的角等于 SC 与平面SBD 所成的角 D. AB 与SC 所成的角等于DC 与 SA 所成的角 6.如图，四棱锥 P- ABCD 的底面为正方形，PD 丄底面ABCD, PD=AD=1, 设点CG 到平面PAB 的距离为 d i ,点B 到平面PAC 的距离为d 2,则有（ A. 1 < d 1 < d 2 B . d 1 v d 2< 1 C. d i < 1 < d 2 D. d 2< d i < 1 7.在锐角的二面角 EF EF , AG , GAE 45 , 若AG 与所成角为 30，则二面角 EF 为 8?给出下列四个命题: (1) 若平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等，贝U // ; 两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线; 两条异面直线中的一条平行于平面 ，则另一条必定不平行于平面 a,b 为异面直线，则过 a 且与b 平行的平面有且仅有一个.
立体几何折叠问题大题精选 1．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝8，BC＝6，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．（Ⅰ）当，是否在折叠后的AD上存在一点，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥A CDF的体积有最大值？并求出这个最大值． 2．如图1，A，D分别是矩形A1BCD1上的点，AB＝2AA1＝2AD＝2，DC＝2DD1，把四边形A1ADD1沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接A1B，D1C得几何体ABA1DCD1. (1)当点E在棱AB上移动时，证明：D1E⊥A1D； (2)在棱AB上是否存在点E，使二面角D1ECD的平面角为？若存在，求出AE的长； 若不存在，请说明理由． 3．如图，已知四棱锥S－A BCD是由直角梯形沿着CD折叠而成,其中SD≥DA≥AB≥BC≥l，AS∥BC，A⊥AD，且二面角S－CD－A的大小为120o． （Ⅰ）求证：平面ASD⊥平面ABCD； （Ⅱ）设侧棱SC和底面ABCD所成角为，求的正弦值． 4．如图1所示，在边长为24的正方形中，点在边上，且，，
作分别交于点，作分别交于点， 将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱 . （1）求证：平面； （2）求多面体的体积. 5．如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，， 作//，分别交，于点，，作//，分别交，于点， ，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱 ． （1）求证：平面； （2）若点E为四边形BCQP内一动点,且二面角E-AP-Q的余弦值为,求|BE|的最小值. 6．已知平面五边形关于直线对称（如图（1）），， ，将此图形沿折叠成直二面角，连接、得到几何体（如图（2））
立体几何测试题 一、选择题共（共50分） 1．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是（ ） 2．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．17848+ B ．17832+ C ．48 D ．80 3.下列命题正确的是（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 4.下列命题中，n m 、表示两条不同的直线，γβα、、表示三个不同的平面． ①若αα//,n m ⊥，则n m ⊥；②若γββα⊥⊥,，则γα//； ③若αα//,//n m ，则n m //；④若αγββα⊥m ,//,//，则γ⊥m . 正确的命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 5一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为( ) 6. 如下图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( ) A. 3 2π B ．2π C ．3π D ．4π 7. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A ．2 B ．1 C.23 D.1 3 8. 如图所示，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1 ＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是
DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 9.已知：正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 、N 分别是棱A ′D ′、DD ′的中点．则MN 与BC ′( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面但不垂直 D ．异面且垂直 10. 如右图所示，O 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1对角线A 1C 与AC 1的交点，E 为棱BB 1的中点，则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能是( ) 二．填空题（共20分） 11.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)， 则该几何体的体积为________ m 3. 12. 一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2、3 、6，这个长方体对角线的长是__________． 13设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中正确命题的序号是________(将所有正确命题的序号都填上)． 14.已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝8，则该四棱锥的体积是____________． 三.解答题（共80分） 15 (12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD.底面ABCD 为 梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC.PA=AB=BC,点E 在棱PB 上，且PE=2EB. (1)求证：平面PAB ⊥平面PCB ； (2)求证：PD ∥平面EAC.
高三文科数学立体几何翻折问题学案含答案 1.已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB(如图1).现将△ADE沿DE折起,使得AE⊥EB(如图2),连结AC,AB,设M是AB的中点. (1)求证:BC⊥平面AEC; (2)判断直线EM是否平行于平面ACD,并说明理由.
2.如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将AEF ?沿EF 折起到1A EF ?的位置，使平面1A EF ⊥平面EFB ，连结1A B ，1A P .（如图2） （1）若Q 为1A B 中点，求证：PQ ∥平面1A EF ； （2）求证：1A E ⊥EP . 图1 A B C E F P 图2 E F B P C Q A 1
3．已知菱形ABCD 中，4AB =， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，1DC ，1BC 的中点． （1）证明：BD //平面EMF ； （2）证明：1AC BD ⊥； （3）当EF AB ⊥时，求线段1AC 的长． 图1 C 1B D E F M 图2
4．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （1）求证：NC ∥平面MFD ； （2）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （3）求四面体NFCE 体积的最大值． A B E F C D E C D N M F B A
立体几何练习题 1.设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ?α，n ?α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ?α，则l ∥β；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n ． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面ABCD 所成角的余弦值为（） A ． B ． C D ． 3.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=2且AA 1⊥平面ABC ，△ABC 是 边长为 的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个 球的体积为（） A ． 8π B ． C ． D ． 8 π 4.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O ，空间一点P 到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP 长为（） A ． 5 B ． 2 C ． 3 D ． 5 5.如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（） A ． AC⊥SB B ． AB∥平面SCD C ． SA 与平面SB D 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ． AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角 6.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（ ） A ． 1＜d 1＜d 2 B ． d 1＜d 2＜1 C ． d 1＜1＜d 2 D ． d 2＜d 1＜1 7.在锐角的二面角βα--EF ，A EF ∈，AG α?， 45=∠GAE ，若AG 与β所成角为 30，则二面角βα--EF 为__________. 8.给出下列四个命题： (1)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//； (2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线； (3)两条异面直线中的一条平行于平面α，则另一条必定不平行于平面α； E F A G α β
立体几何中的翻折问题 教学目标：◆知识与技能目标： 1.使学生掌握翻折问题的解题方法，并会初步应用。 2.通过立体几何中翻折问题的学习，进一步掌握立体几何中求距离与求角的求法。 ◆能力与方法目标： 1.培养学生的动手实践能力。 2.在实践过程中，使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解“转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。 ◆情感态度与价值观目标： 通过平面图形与翻折后的立体图形的对比，向学生渗透事物间的变化与联系观点。 教学重点：了解平面图形与翻折后的立体图形之间的关系，找到变化过程中的不变量。 教学难点：转化思想的运用及发散思维的培养。 关键：层层设计铺垫，给学生充分的探讨、研究的时间。 学法指导：渗透指导、点拨指导、示范指导 教学方法：探究法，演示法、 例1（2012广州调研试题）已知正方形ABCD 的边长为2，AC BD O =．将正方形 ABCD 沿对角线BD 折起，使AC a =，得到三棱锥A BCD -，如图所示． （1）当2a =时，求证：AO BCD ⊥平面； （2）当二面角A BD C --的大小为120时，求二面角A BC D --的正切值．
2（2013年广东高考）、如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是 ,AC AB 上的点 ,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所 示的四棱锥A BCDE '-, 其中A O '=. (Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值. . C O B D E A C D O B E 'A 图1 图2