图形的折叠与旋转
1．如图所示，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E CD ==是的中点，F 为BC 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使D 到P 点位置，且PC PB =．
（1）求证：;PO ABCE ⊥面 （2）求二面角E-AP-B 的余弦值．
2．如图，平行四边形ABCD ，2,4AB AD ==将CBD ?沿BD 折起到
EBD ?的位置，使平面EDB ⊥平面ABD
（I ）求证：AB DE ⊥； （Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积.
3、如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的
点
,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥
A BCDE '-,
其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ； (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦
值.
4．如图，沿等腰直角三角形ABC 的中位线DE ，将平面ADE 折起，平面ADE ⊥平面
BCDE ，得到四棱锥A BCDE -，4AC =，设AE 、CD 的中点分别为P 、Q ，
（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD （2）求证：ABC PQ 平面// （3）求平面ABC 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值。
.
C
O B
D
E
A C
D
O
B
E
'A
图1
图2
A
D E
C B
5．已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，，E 是BC 的中点，将BAE ?沿着AE 翻折成1B AE ?，使面1B AE ⊥面AECD ，F 为1B D 的中点.
（Ⅰ）求四棱锥1B AECD -的体积；（Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ； （Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面角的余弦值.
图形的折叠与旋转（答案）
1．试题分析：（1）,PA PE OA OE PO AE ==∴⊥， ……2分 BC 的中点为F ，连OF ，PF ，∴OF ∥AB ，∴OF ⊥BC 因为PB=PC ，∴BC ⊥PF ，所以
BC ⊥POF ， ……3分 从而BC ⊥PO ， ……4分 又BC 与AE 相交，可得PO ⊥ABCE. ……5分
（2）作OG ∥BC 交AB 于G ，∴OG ⊥OF 如图，建立直角坐标系[;,,
],O OG OF OP
A （1，-1，0），
B （1，3，0），
C （-1，3，0），P （
0，0
(2,4,0),(1,1,2),(0,4,0)AC AP AB =-=-= ……6分 设平面PAB 的法向量为
(,,n x y z =4n AP x n AB y ??=-+???==??1(2,0,1)n ?= ……8分
同理平面PAE 的法向量为
2(1,1,0),n = ……9分
……11分 ……12分
2．（I ）证明：在ABD ?中，由2
22AB AD BD =+，所以 DE AB ⊥
又
平面EBD ⊥平面ABD
平面EBD
平面,ABD BD AB =?平面ABD
AB ∴⊥平面EBD
DF ?平面,EBD AB DE ∴⊥
（Ⅱ）解：由（I ）知,//,,AB BD CD AB CD BD ⊥∴⊥从而DB DE ⊥
在Rt DBE ?中，2DB =23DE ?=又
AB ⊥平面,EBD BE ?平面,EBD AB BE ∴⊥
BE BC =,DE BD ⊥平面EBD ⊥平面ABD ED ∴⊥，平面ABD
而AD ?平面综上，三棱锥E ABD -的侧面积，
3、
(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===
连结,OD OE ,
在OCD ?中,由余弦定理可得
OD
==来源:Z,xx,https://www.doczj.com/doc/4613790736.html,]
由翻折不变性可知A D '=,
所以2
2
2
A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又OD
OE O =,所以A O '⊥平面BCDE .
(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '-
-的平面角.
结合图1可知,H 为AC 中点,
故
2
OH =
,从而
2A H '=
所以cos 5OH A HO A H '∠
=
=',所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为.
向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示则(A ',()0,
3,0C
-,()1,2,0D -
所以(CA '=,(1,DA '=-
C D O
B
E
'A
H
普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲指出，通过考试，让学生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力．要在立体几何学习中形成．纵观近几年全国及各省高考试题，对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题的考查逐年加重，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答．从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼．分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨． 1 立体几何中的折叠问题 折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的 集中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系。折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。 例１ 【广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二】如图5，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =， 将矩形沿对角线BD 把ABD ?折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上. （1）求证：1BC A D ⊥； （2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （3）求二面角1A BD C --的余弦值
立体几何中的折叠问题 考纲目标： 1.掌握展开问题与折叠问题中有关线面的位置关系的证明方法，会用平面展开图解决立体几何中有关最值问题。 2.通过折叠问题训练使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解“转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。 考点一几何体展开问题 反思归纳：求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离. 考点二.平面图形的折叠问题 答题模板:第一步:确定折叠前后的各量之间的关系,搞清折叠前后的变化量和不变量. 第二步:在折叠后的图形中确定线和面的位置关系,明确需要用到的线面. 第三步:利用判定定理或性质定理进行证明. 第四步:利用所给数据求边长和面积等,进而求表面积、体积. (2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论; (3)证明:直线DF⊥平面BEG. 2.(2015洛阳三模)等边三角形ABC的边长为2,CD是AB边上的高, E,F分别是AC和BC的中点(如图(1)).现将△ABC沿CD翻成直二面角A-ＣＤ－Ｂ． (1)求证:AB∥平面DEF; (2)求多面体D－ＡＢＦＥ的体积。 3.如图所示,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°.点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,D不重合,EF⊥AC于点O.沿EF将△CEF 翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFED. (1)求证:BD⊥平面POA; (2)当PB取得最小值时,求四棱锥P-BFED的体积. 【要点总结】折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题
立体几何中“折叠问题”的解题策略[例题]如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥BC，BD∥DC，点E是BC边的中点，将∥ABD沿BD折起，使平面ABD∥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体． (1)求证：AB∥平面ADC； (2)若AD＝1，二面角C-AB-D的平面角的正切值为6，求二面角B-AD-E的余弦值. [解](1)证明：因为平面ABD∥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，BD∥DC，DC∥平面BCD， 所以DC∥平面ABD. 因为AB∥平面ABD，所以DC∥AB. 又因为折叠前后均有AD∥AB，DC∩AD＝D， 所以AB∥平面ADC. (2)由(1)知AB∥平面ADC， 所以二面角C-AB-D的平面角为∥CAD. 又DC∥平面ABD，AD∥平面ABD， 所以DC∥AD.
依题意tan∥CAD ＝CD AD ＝ 6. 因为AD ＝1，所以CD ＝ 6. 设AB ＝x (x ＞0)，则BD ＝x 2＋ 1. 依题意∥ABD ∥∥DCB ，所以AB AD ＝CD BD ， 即x 1＝6x 2＋1 ，解得x ＝2， 故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝BD 2＋CD 2＝3. 以D 为坐标原点，射线DB ，DC 分别为x 轴，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ， 则D (0,0,0), B (3,0,0), C (0,6，0), E (23,2 6 ,0）, A ( 33,0,3 6）， 所以DE ―→＝(2 3,2 6,0），DA ―→＝(3 3,0,3 6 ）. 由(1)知平面BAD 的一个法向量n ＝(0,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由?? ? m·DE ―→＝0，m·DA ―→＝0， 得??? 32x ＋6 2y ＝0， 33x ＋6 3z ＝0. 令x ＝6，得y ＝－3，z ＝－3，
立体几何中的折叠问题 1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题. 2.折叠问题分析求解原则： (1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系； (2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。 （最值问题）1、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为_______. （两点间距离，全品83页）2、把长宽分别为2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60o 的二面角，求顶点B 和D 的距离。 3、（全品70页）给出一边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，并用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积。 4、（2005江西文）矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B — AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ） A ． π12 125 B ． π9 125 C ． π6 125 D ． π3 125
A B C E M N 解决折叠问题的关键是弄清折叠前后哪些量没有变化，折叠后位置关系怎样变化，通过空间想象折叠成的几何体的形状来分析已知和待求，是培养空间想象能力的很好的题型。 高考题中的折叠问题 1、在正方形SG 1G 2G 3中E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点,D 是EF 的中点,现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使G 1、G 2、G 3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S —EFG 中必有 (A)SG ⊥△EFG 所在平面 (B)SD ⊥△EFG 所在平面 (C)GF ⊥△SEF 所在平面 (D)GD ⊥△SEF 所在平面 2、如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ， EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0° 3、（2005浙江理科）12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如下图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_____． 4、（2006山东）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为 (A) 2734π (B)26π (C)86π (D)24 6π 5、（2009浙江）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ?沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．
立体几何的动态问题之二 ———翻折问题 立体几何动态问题的基本类型： 点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等 一、面动问题（翻折问题）： （一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论 .DF AE ⊥一线：垂直于折痕的线即 五结论： 1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变； 折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2--D HF D H F ''∠）是二面角的平面角； 3D DF '）在底面上的投影一定射线上； 二、翻折问题题目呈现： （一）翻折过程中的范围与最值问题 1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD 中， ， CD=CB= 且AD AB ⊥， 现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A BD ?，则在'A BD ?折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为_______ . 解：由题意知点A 运动的轨迹是以E 为圆心,EA 为半径的圆，当点A 运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以tan 'A CB ∠= 【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误 1 2 进行分析，找出错误的原因。 2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是 D A B E C D A B C 4) ''D H DH 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；5AD'E AE .）面绕 翻折形成两个同底的圆锥C
A.( ,)63 ππ B. (,]62 ππ C. ( ,]32 ππ D. 2( ,)3 3 ππ 分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。 方法一：特殊值法（可过F 作FH 平行BE,找两个极端情形） 方法二：定义法：利用余弦定理： 222254cos 243 FH FC CH FHC CH FH FC +-∠==- ，有344CH ≤≤ 11cos ,22CFH ?? ∴∠∈-???? 异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(,] 32ππ 方法三：向量基底法： 111 ()()222BE FC BA BD FC BA FC BF FA FC =+==+ 111cos ,cos ,,222BE FC FC FA ?? <>= <>∈-???? 方法四：建系： 3、（2015年浙江·理8）如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ?折成 A CD '?，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则 （ B ） A. A DB α'∠≤ B. A DB α'∠≥ C. A CB α'∠≥ D. A CB α'∠≤ 方法一：特殊值 方法二：定义法作出二面角，在进行比较。 方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。 4、 （14 年1月浙江省学业学考试题）如图在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程 B
专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问 题 1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图 2. (1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC; (2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值. 2. (2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点. (1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由; (2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.
3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1. (1)求证:A1D∥平面BCC1B1; (2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由. 4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2.
(1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG; (2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM与平面AHB 所成角的正弦值. 5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD为菱形,且∠A=60°,取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG,使得∠AEG=90°,如图2. (1)求证:AE⊥平面EBHG; (2)求二面角A-GH-B的余弦值; (3)若点F满足=λ,当EF∥平面AGH时,求λ的值.
立体几何中折叠与展开问题（2） 【知识与方法】 折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系。折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。 【认知训练】 1.△ABC 的BC 边上的高线为AD ，BD=a ，CD=b ，将△ABC 沿AD 折成大小为θ的二面角 B-AD-C ，若b a = θcos ，则三棱锥A-BCD 的侧面三角形ABC 是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、形状与a 、b 的值有关的三角形 2.如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题： ①点M 到AB 的距离为 2 2 ②三棱锥C －DNE 的体积是6 1 ③AB 与EF 所成角是 2 π 其中正确命题的序号是 3．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线MN 与PQ 是异面直线的是 ……………………………………………（ ） ① ② ③ ④ A ．①② B ．②④ C ．①④ D ．①③ 4.正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，N 为AB 中点，沿CM 、CN 分别将三角形CDM 和△CBN 折起，使CB 与CD 重合，设B 点与D 点重合于P ，设T 为PM 的中点，则异面直线CT 与PN 所 M N P Q M P Q N M N P Q M N P Q
立体几何中的折叠专题 一、解答题（本大题共20小题，共240.0分） 1. 如图，在矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，E 为BC 的中点， F 为线段AD 上的一点，且AF =3 2.现将四边形ABEF 沿直线EF 翻折，使翻折后的二面角 的余弦值为2 3． (1)求证：； (2)求直线与平面ECDF 所成角的大小． 【答案】(1)证明：连接AC 交EF 于M 点， 由平面几何知识可得AC = ，EF = 5 2 ， 以及AM MC =FM ME =3 2，则有AM =3 5 5，MC = 2 55 ，MF = 3 510 ， 故有AM 2+MF 2=AF 2，则AC ⊥EF ， 于是，， 而，故EF ⊥平面， 而平面，故． (2)解：由(1)知，二面角的 平面角就是， 即cos ∠A′MC =2 3， 根据余弦定理，可求得， 因为，所以 ， 而 ，可知平面ECDF ， 因此，就是直线与平面ECDF 所成的角． 由于， 故直线 与平面ECDF 所成的角为π 4． 【解析】(1)连接AC 交EF 于M 点，由平面几何知识可得AC = ，EF = 5 2 ，以及AM MC =FM ME =3 2，经过计算可得： AM 2+MF 2=AF 2，则AC ⊥EF ，再利用线面垂直的判定与性质即可证明． (2)由(1)知，二面角 的平面角就是 ，即cos ∠A′MC =2 3，根据余弦定理，可求得 ，利用
，可得，可知平面ECDF，即可得出就是直线与平面ECDF所成 的角． 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、空间角、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2.如图△ABC为正三角形，且BC=CD=2，CD⊥BC，将△ABC沿BC翻折 (1)若点A的射影在BD，求AD的长； (2)若点A的射影在△BCD内，且AB与面ACD所成的角的正弦值为222 11 ，求AD的长． 【答案】解：(1)过A作AE⊥BD交BD于E，则AE⊥平面BCD． 取BC中点O，连接AO，OE， ∵AE⊥平面BCD，BC?平面BCD， ∴AE⊥BC， △ABC是正三角形，∴BC⊥AO， 又AE∩AO=A，AE，AO?平面AOE， ∴BC⊥平面AOE，∴BC⊥OE． 又BC⊥CD，O为BC的中点，∴E为BD的中点． ∵BC=CD=2，∴OE=1 2 CD=1，AO=3，BD=22， ∴DE=2，AE= AO2?OE2=2． ∴AD= AE2+DE2=2． (2)以O为原点，以BC为x轴，以BE为y轴， 以平面BCD的过O的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设二面角D?BC?A为θ，则A(0，3cosθ，3sinθ)，B(?1，0，0)，C(1，0，0)，D(1，2，0)． ∴BA=(1，3cosθ，3sinθ)，CD=(0，2，0)，CA=(?1，3cosθ，3sinθ)， 设平面ACD的法向量为n=(x，y，z)，则n?CD=0 n?CA=0 ． ∴2y=0 ?x+3cosθy+3sinθz=0，令 z=1得n=(3sinθ，0，1)． ∴cos
图形的折叠与旋转 1．如图所示，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E CD ==是的中点，F 为BC 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使D 到P 点位置，且PC PB =． （1）求证：;PO ABCE ⊥面 （2）求二面角E-AP-B 的余弦值． 2．如图，平行四边形ABCD ，2,4AB AD ==将CBD ?沿BD 折起到 EBD ?的位置，使平面EDB ⊥平面ABD （I ）求证：AB DE ⊥； （Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积.
3、如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的 点 ,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥 A BCDE '-, 其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ； (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦 值. 4．如图，沿等腰直角三角形ABC 的中位线DE ，将平面ADE 折起，平面ADE ⊥平面 BCDE ，得到四棱锥A BCDE -，4AC =，设AE 、CD 的中点分别为P 、Q ， （1）求证：平面ABC ⊥平面ACD （2）求证：ABC PQ 平面// （3）求平面ABC 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值。 . C O B D E A C D O B E 'A 图1 图2 A D E C B
5．已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，，E 是BC 的中点，将BAE ?沿着AE 翻折成1B AE ?，使面1B AE ⊥面AECD ，F 为1B D 的中点. （Ⅰ）求四棱锥1B AECD -的体积；（Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ； （Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面角的余弦值.
立体几何 【学习内容及预期目标】掌握长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积和表面积计算公式；学会计算由基本立体图形通过切割、拼接而构成的复杂立体图形的体积和表面积；掌握平面图形通过折叠、旋转所得立体图形的计算。 ★长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积和表面积计算公式： 长方体的表面积S=2ab+2ac+2bc；长方体的体积V=abc. 正方体的表面积S=6a2；正方体的体积V=a3. 圆柱的表面积S=2πr2+2πrh；圆柱的体积V=πr2h. 圆锥的表面积S=πr2+πrl；圆锥的体积V= 3 1 πr2h. 附：扇形的面积S=lr r n 2 1 360 2 = π ★例题解析： 1、一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体和正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？ 解析：长方体的棱包含4条长、4条宽、4条高，所以棱长总和=(3+2+1)×4=24厘米，由此可求出正方体的棱长=24÷12=2厘米. 所以长方体的表面积=(3×2+3×1+2×1)×2=22平方厘米；正方体的表面积=2×2×6=24平方厘米.因此长方体和正方体的表面积之比是22:24=11:12. 而长方体的体积=长×宽×高=3×2×1=6立方厘米；正方体的体积=棱长3 =23=8立方厘米.因此长方体的体积比正方体的体积少2立方厘米. 2、将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢？ 解析：(1)将长方体的长、宽、高标在展开图中，不难发现，折叠成的长方体容器的长是13-2-2=9厘米，宽是9-2-2=5厘米，高2厘米，因此容器的体积就是9×5×2=90立方厘米.(2)同理，折叠成的长方体容器的长是13-3-3=7厘米，宽是9-3-3=3 厘米，高3厘米，因此容器的体积就是7×3×3=63立方厘米. 2 、用棱长是1厘米的小立方体拼成 如图所示的立体图形，这个图形的 表面积是多少平方厘米？ h r l n
立体几何折叠问题大题精选 1．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝8，BC＝6，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．（Ⅰ）当，是否在折叠后的AD上存在一点，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥A CDF的体积有最大值？并求出这个最大值． 2．如图1，A，D分别是矩形A1BCD1上的点，AB＝2AA1＝2AD＝2，DC＝2DD1，把四边形A1ADD1沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接A1B，D1C得几何体ABA1DCD1. (1)当点E在棱AB上移动时，证明：D1E⊥A1D； (2)在棱AB上是否存在点E，使二面角D1ECD的平面角为？若存在，求出AE的长； 若不存在，请说明理由． 3．如图，已知四棱锥S－A BCD是由直角梯形沿着CD折叠而成,其中SD≥DA≥AB≥BC≥l，AS∥BC，A⊥AD，且二面角S－CD－A的大小为120o． （Ⅰ）求证：平面ASD⊥平面ABCD； （Ⅱ）设侧棱SC和底面ABCD所成角为，求的正弦值． 4．如图1所示，在边长为24的正方形中，点在边上，且，，
作分别交于点，作分别交于点， 将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱 . （1）求证：平面； （2）求多面体的体积. 5．如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，， 作//，分别交，于点，，作//，分别交，于点， ，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱 ． （1）求证：平面； （2）若点E为四边形BCQP内一动点,且二面角E-AP-Q的余弦值为,求|BE|的最小值. 6．已知平面五边形关于直线对称（如图（1）），， ，将此图形沿折叠成直二面角，连接、得到几何体（如图（2））
立体几何中的折叠问题 题目 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
A C D 图2 B A C D 折叠问题 解决折叠问题的时候，特别要注意哪些角度和长度在折叠前后是不变的！ 1、如图（1），ABC ?是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ?沿EF 折起， 使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （1）求证：EF A C '⊥； （2）求三棱锥BC A F '-的体积． ? ? ? ? ? 2. 如图，在等腰梯形PDCB 中，3,1,2,PB DC PD BC ==== A 为PB 边上一点，且1,PA =将PAD ?沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面PAD ； (Ⅱ)若M 是侧棱PB 中点，求截面AMC 把几何体分成的两部分的体积之比. 3. 如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=?,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将 ADE ?沿AC 折起,使平面ADE ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. (Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ； (Ⅱ) 求几何体D ABC -的体积. C P B A A C P M
4.如图1，在直角梯形ABEF 中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形 DCEF 沿CD 折起，使平面DCEF ⊥平面ABCD ，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2． （Ⅰ）求证：//BE 平面ADF ； （Ⅱ）求三棱锥F BCE -的体积． 图 图 2 1 11A B C D E F 1 F E D C B A
高三文科数学立体几何翻折问题学案含答案 1.已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB(如图1).现将△ADE沿DE折起,使得AE⊥EB(如图2),连结AC,AB,设M是AB的中点. (1)求证:BC⊥平面AEC; (2)判断直线EM是否平行于平面ACD,并说明理由.
2.如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将AEF ?沿EF 折起到1A EF ?的位置，使平面1A EF ⊥平面EFB ，连结1A B ，1A P .（如图2） （1）若Q 为1A B 中点，求证：PQ ∥平面1A EF ； （2）求证：1A E ⊥EP . 图1 A B C E F P 图2 E F B P C Q A 1
3．已知菱形ABCD 中，4AB =， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，1DC ，1BC 的中点． （1）证明：BD //平面EMF ； （2）证明：1AC BD ⊥； （3）当EF AB ⊥时，求线段1AC 的长． 图1 C 1B D E F M 图2
4．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （1）求证：NC ∥平面MFD ； （2）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （3）求四面体NFCE 体积的最大值． A B E F C D E C D N M F B A
高考热点问题：立体几何中折叠问题 一、考情分析 立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等. 二、经验分享 (1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点. (2) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键． (3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法. 三、题型分析 (一) 平面图形的折叠 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据. 1. 折叠后的形状判断 【例1】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上) ①②③
立体几何中的翻折问题 教学目标：◆知识与技能目标： 1.使学生掌握翻折问题的解题方法，并会初步应用。 2.通过立体几何中翻折问题的学习，进一步掌握立体几何中求距离与求角的求法。 ◆能力与方法目标： 1.培养学生的动手实践能力。 2.在实践过程中，使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解“转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。 ◆情感态度与价值观目标： 通过平面图形与翻折后的立体图形的对比，向学生渗透事物间的变化与联系观点。 教学重点：了解平面图形与翻折后的立体图形之间的关系，找到变化过程中的不变量。 教学难点：转化思想的运用及发散思维的培养。 关键：层层设计铺垫，给学生充分的探讨、研究的时间。 学法指导：渗透指导、点拨指导、示范指导 教学方法：探究法，演示法、 例1（2012广州调研试题）已知正方形ABCD 的边长为2，AC BD O =．将正方形 ABCD 沿对角线BD 折起，使AC a =，得到三棱锥A BCD -，如图所示． （1）当2a =时，求证：AO BCD ⊥平面； （2）当二面角A BD C --的大小为120时，求二面角A BC D --的正切值．
2（2013年广东高考）、如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是 ,AC AB 上的点 ,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所 示的四棱锥A BCDE '-, 其中A O '=. (Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值. . C O B D E A C D O B E 'A 图1 图2
立体几何中的最值、翻折、探索性问题 考点一立体几何中的最值问题 解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手： 一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决； 二是利用空间几何体的侧面展开图； 三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法(如三角函数等)及高阶函数的拐点导数法等． [典例1](1)如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，面对角线B1D1上存在一点P使得A1P＋PB最短，则A1P＋PB的最小值为() A．5B．2＋6 2 C．2＋ 2 D．2 (2)如图所示，P A⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2. 若点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长． (1)A[如图，把△A1B1D1折起至与平面BDD1B1
共面，连接A 1B 交B 1D 1于P ，则此时的A 1P ＋PB 最短，即为A 1B 的长，在△A 1B 1B 中，由余弦定理求得A 1B ＝ 5，故选A ．] (2)[解] 因为P A ⊥平面ADE ，AD ?平面ADE ，AB ?平面ADE ，所以P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，又因为AE ⊥AD ，B 为AE 中点，所以P A ，AD ，AB 两两垂直． 以{AB →，AD →，AP → }为正交基底建立空间直角坐标系A -xyz ，则各点的坐标为A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)． BP →＝(－1,0,2)，故可设BQ →＝λBP → ＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)． 又CB →＝(0，－1,0)，所以CQ →＝CB →＋BQ → ＝(－λ，－1,2λ)． 又DP → ＝(0，－2,2)， 所以cos 〈CQ →，DP → 〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2 ＋2. 设1＋2λ＝t ，t ∈[1,3]， 则 cos 2〈CQ →，DP → 〉＝ 2t 2 5t 2－10t ＋9 ＝ 2 9????1t －592 ＋20 9 ≤910， 当且仅当t ＝9 5， 即λ＝2 5 时，
立体几何中的折叠问题 【知识与技能目标】 1.使学生掌握翻折问题的解题方法，并会应用。 2.通过立体几何中翻折问题的学习，进一步掌握立体几何中角的求法。 【能力与方法目标】 1.培养学生的动手实践能力。 2.在实践过程中，使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解“转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。 【情感态度与价值观目标】 通过平面图形与翻折后的立体图形的对比，向学生渗透事物间的变化与联系观点。 【教学重点】 了解平面图形与翻折后的立体图形之间的关系，找到变化过程中的不变量。 【教学难点】 转化思想的运用及发散思维的培养。 【课堂导学】 二．例题分析 例1、在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，沿AE将△AED折起，使二面角D－AE－B为90°．求二面角D－EC－B的正切值大小． 变式1：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，沿AE将△AED折起，使二面角D－AE－B为60°,求二面角D－EC－B大小的正切值． 变式2：在△AED绕着AE转动过程中，是否存在某个位置，使得BD⊥AE;是否存在某个位置，使得面ABD ⊥面ABCE 结论： （1）AE⊥面DPF （2）面ADE⊥面DPF 面ABCE⊥面DPF （3）A,P,E三点共线 （4）∠DPF为D-AE-B的二面角 练习：如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将⊿AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC,在平面ABD内，过点D作
DK ⊥AB,K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是_______ 例2、如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，AE=EB=AF=2/3FD=4.沿直线EF将⊿AEF翻折成⊿A’EF,使平面A’EF⊥平面BEF. (1)求二面角A’-FD-C的余弦值； （2）点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A’重合，求线段FM的长。 课后小结：要解决好立体几何中的折叠问题，你有什么办法？或者说在本节课上你学到了什么？ 【课后巩固】 1.（2010浙江文数）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC， ∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。 （Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE； （Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。 2.在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使平 面ABD⊥平面ABC. AD⊥BC； （1）求证：' 60,求二面角AD’与面ABC所成角的大小（2）若二面角D’－AE－B为?
For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 立体几何中的折叠问题 考纲目标： 1.掌握展开问题与折叠问题中有关线面的位置关系的证明方法，会用平面展开图解决立体几何中有关最值问题。 2.通过折叠问题训练使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解“转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。 考点一几何体展开问题 【例1】如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,底面ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1 =.P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值为.
反思归纳： 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当 的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离. 考点二.平面图形的折叠问题 答题模板:第一步:确定折叠前后的各量之间的关系,搞清折叠前后的变 化量和不变量. 第二步:在折叠后的图形中确定线和面的位置关系, 明确需要用到的线【例2】(2013高考广东卷)如图(1),在边长为1的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是AB,AC 边上的点,AD=AE,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G,将△ABF 沿AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥 A BCF,其中 . (1)证明:DE ∥平面BCF; (2)证明:CF ⊥平面ABF; (3)当AD=23时,求三棱锥F DEG 的 体积F DEG V .
1．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝8，BC＝6，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．（Ⅰ）当，是否在折叠后的AD上存在一点，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥A CDF的体积有最大值？并求出这个最大值． 2．如图1，A，D分别是矩形A1BCD1上的点，AB＝2AA1＝2AD＝2，DC＝2DD1，把四边形A1ADD1沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接A1B，D1C得几何体ABA1DCD1. (1)当点E在棱AB上移动时，证明：D1E⊥A1D； (2)在棱AB上是否存在点E，使二面角D1ECD的平面角为？若存在，求出AE的长； 若不存在，请说明理由． 3．如图，已知四棱锥S－A BCD是由直角梯形沿着CD折叠而成,其中SD≥DA≥AB≥BC≥l，AS∥BC，A⊥AD，且二面角S－CD－A的大小为120o． （Ⅰ）求证：平面ASD⊥平面ABCD； （Ⅱ）设侧棱SC和底面ABCD所成角为，求的正弦值． 4．如图1所示，在边长为24的正方形中，点在边上，且，，作分别交于点，作分别交于点，
将该正方形沿 折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱 . （1）求证：平面 ； （2）求多面体的体积. 5．如图所示，在边长为 的正方形中，点在线段上，且，，作 // ，分别交 ，于点 ，，作 // ，分别交 ， 于点 ， ，将该正方形沿 ， 折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱 ． （1）求证： 平面 ； （2）若点E 为四边形BCQP 内一动点,且二面角E-AP-Q 的余弦值为,求|BE|的最小 值. 6．已知平面五边形 关于直线 对称（如图（1）），， ，将此图形沿 折叠成直二面角，连接 、 得到几何体（如 图（2））
近6年高考中的立体几何题----翻折问题 1．在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 2.下列命题中错误的是 A ．如果平面α⊥平面β，那么平面内α一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l,那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 3.已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ?ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在这过程中 A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直 B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直 C ．存在某个位置，使得直线A D 与直线BC 垂直 D ．对任意位置，三直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 4. 如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ?折成A CD '?， 所成二面角A CD B '--的平面角为α，则 ( ) A. A DB α'∠≤ B. A DB α'∠≥ C. A CB α'∠≤ D. A CB a '∠≥ 5．如图，在长方形ABCD 中，2AB =， 1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ?沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面 ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ． 6．在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点 P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则 （ ） A ．平面α与平面β垂直 B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045 C ．平面α与平面β平行 D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060 7.已知→→21e e ,是空间单位向量，2121=?→→e e 。若空间向量b 满足21=?→→b e ，2 52=?→→b e ，且对于任意的x,y ∈ R ,1201021=+-≥+-→→ )()(e y e x b e y e x b ,则=0x , =0y , = 8.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄 准目标点，需计算由点观察点 的仰角的大小.若 则的最大值