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大学考试
《复变函数-A 》试卷
1. 考前请将密封线内填写清楚；
所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；
. 填空题（每空4分，共20分） 1. 设复数21=z , 则.___________=z
2. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，C 是D 内任意一条简单正向闭曲线，则积分()__________.C
f z dz =?
3. 设C 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段, 则2______________.C
zdz =?
4. 幂级数∑∞
=+012)2(n n n z i 的收敛半径为__________.R =
5．函数z
z f 1cos
1)(=在孤立奇点2
211π
π+
=
z 处的留数Res 1[(),]_______.f z z =
二. 选择题（每题4分，共20分）
1. 设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有,12||||21=+z z 则动点),(y x 的轨迹是 ( ).
(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线
2．若曲线20082007:=Z C ，则积分34(1)(1)C dz
z z -+? 的值是( )．
(A) 2007 (B) 2008 (C) 0 (D) 1
3. 设),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析,下列函数为D 内解析函数的是
( )．
(A) ),(),(y x iu y x v + (B) ),(),(y x iu y x v -
(C) ),(),(y x iv y x u - (D) x
v i x u ??-??
4. 设函数)
4)(1(1
)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的罗朗展开式有m 个,
那么 )(
=m ．
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5．设)(z f w =在0z 解析，且0)(0≠'z f ，则映射)(z f w =具有( )． (A) 只把0z 的一个邻域内某一小三角形映成含)(00z f w =的一个三角形； (B) 把0z 的一个邻域内任一小三角形映成含)(00z f w =的一个曲边三角形,
二者近似相似；
(C) 把充分小的圆周r z z =-0映成三角形；
(D) 把含0z 的充分小的三角形映成圆周．
三. (10分) 求解方程083=+z .
四. (10分) 计算复数 Ln (34)i -+．
五.(10分) 计算积分221
(1)(4)
C
dz
z z ++?
， 3:2C z =，C 为正向曲线．
六.(10分) 将函数)
1()
2ln(--z z z 在110<- 七. (10分) 计算积分?+π θ θ 20 cos 35d ． 八. (5分) 计算2()1 z e f z z =-在∞处的留数． 九. (5分) 计算积分15 2243(1)(2)C z dz z z ++? ，:3C z =，C 为正向曲线． 复习指导： 考试范围：第一章到第六章第一节，即$1.1-$6.1,有星号内容不考。 参考答案： 一．（20分） （1）1 （2）0 （3）2 （4 （5） 2 214 125(2) 2 πππ= + 二．（10分） （1）B （2）C （3）B （4）C （5）B 三（10分） 解：因为388(cos sin ),z i ππ=-=+所以， 222(cos sin ),0,1,2.3 3 k k z i k ππ ππ ++=+=（6分） 即方程有三个解：1 1z =，22z =- ，31z =-10分） 四．（10分） 解：根据对函数的定义有 (34)ln 34(34)Ln i i iArg i -+=-++-+ （6分） 4 l n 5 (a r c t a n 2) 3 i k ππ=+-+ 0,1,2k =±± （10分） 五．（10分） 解：令2 2 1 ()(1)(4) f z z z =++ ， 则()f z 在Ｃ内有两个 一阶极点,i i -，由留数定理得 ()2(Re [(),]Re [(),])c f z dz i s f z i s f z i π==-? （6分） 2(()()()()) lim lim z i z i i z i f z z i f z π→→-=-++ ＝０ （10分） 六．（10分） 解： 七.（10分） 解： 令 1211,,cos 0.5(),21 053cos [5 1.5()] 231032(31)(3)i i i i z z z z e dz e id e e d dz iz z z i dz z z i dz z z θθθθθθπ θθ-======+=+++-=++-++???? 则从而有 2 3 232221 ln(2)ln[1(1)][(1)0.5(1)(1)...]3 111(1)(1)(1)...1(1)(2)ln(2)1 . (1)11 [10.5(1)(1)...][1(1)(1)...] 35 10.5(1)(1)... 6 z z z z z z z z z z ln z z z z z z z z z z z z -=--=--+-+-+==--+---++---=--=-+-+-+--+--=-+---+所以 在1z =内被积函数只有一个奇点13-，且为一阶级点，所以 13 221 2Re [,] 053cos (31)(3)3223(3) 2 z d i i s z z i i z π θπθππ =- -=-+++-=+= ? 八．（10）分 解：()f z 在复平面内有两个奇点1,-1,根据留数定理有 11 Re [(),](Re [(),1]Re [(),1]22122z z z z s f z s f z s f z e e z z e e ==-∞=-+-=-- =-+ 九．（10分） 解：设15 2 2 4 3 ()(1)(2)z f z z z =++，则()f z 得所有有限奇点 均在3z =内部，由留数定理得： 1()2Re [(),]2Re [(),] n k k f z i s f z z i s f z ππ===-∞∑? 另一方面： 215 22324 2243 0224311 Re [(),]Re [ (),0]2 1()1Re [.,0] 11(1)(2)1 Re [,0] (1)(12)1 (1)(12)1 z s f z s f z z s z z z s z z z z z =-∞==++=++=++= 所以所求积分为：2i
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