复变函数习题四解答

复变函数习题答案第4章习题详解

第四章习题详解 1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) mi ni a n -+= 11； 2) n n i a -?? ? ? ?+=21； 3) ()11++ -=n i a n n ； 4) 2i n n e a π-=； 5) 21i n n e n a π-= 。 2． 证明：??? ????≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在， 3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1) ∑∞ =1n n n i ； 2) ∑∞ =2n n n i ln ； 3) ()∑∞=+0856n n n i ； 4) ∑∞=0 2n n in cos 。 4． 下列说法是否正确？为什么？ 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；

2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。 5． 幂级数()∑∞ =-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？ 6． 求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞ =1n p n n z （p 为正整数）； 2) ()∑∞=12n n n z n n !； 3) ()∑∞=+01n n n z i ； 4) ∑∞=1n n n i z e π； 5) ()∑∞=-??? ??1 1n n z n i ch ； 6) ∑∞=??? ? ?1n n in z ln 。 7． 如果 ∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=--（3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=--

2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2 ）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+--

复变函数论第四版答案钟玉泉

复变函数论第四版答案钟玉泉 （1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 （2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 （3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 （4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极 点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和

零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 （6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。 （7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 （8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的 微分方程，以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。

复变函数练习题及答案

复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =?。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件 ()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。 （8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有

复变函数习题答案第4章习题详解

第四章习题详解 1．下列数列a是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： n 1)a n 1 1 ni mi ； 2) a n n i 1； 2 3)a i n n1； n1 4) ni 2 a n e； 1ni a n e。 n 5)2 0,a1 2．证明：lim n a n 1 , , a a1 1 不存在，a1,a1 3．判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：n i 1) ；n n1 n i 2) ；ln n n2 3) 65i n 08 n；

4) n cos 02 n in 。 4．下列说法是否正确？为什么？ 1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 1

2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3)每一个在z连续的函数一定可以在z 0的邻域内展开成泰勒级数。 5．幂级数 n c能否在z0收敛而在z3发散？ n z2 n0 6．求下列幂级数的收敛半径： 1) n1 n z p n （p为正整数）； 2 n! n 2)z ； n nn1 3) 1 n n iz； n0 4) i n ez； n n1 5) n1 i n chz1； n nz 6) 。ln in n1 7．如果 n c n z的收敛半径为R，证明 n Re的收敛半径R。[提示： c n z n n Re c n zcz] n n0n0 8．证明：如果 c n1 lim存在，下列三个幂级数有相同的收敛半径 nc n n c n z； c n1z n1 n1 ； n1 nc n z。

2

9．设级数c收敛，而 n c发散，证明 n n c n z的收敛半径为1。 n0n0n0 10．如果级数 n c n z在它的收敛圆的圆周上一点z0处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收n0 敛。 11．把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径： 1) 11 3 z ； 2) 11 z 22 ； 3) 2 cos z； 4)shz； 5)chz； 6)e 2 z sin； 2 z z 7) z1 e； 8) 1 sin。 1z 12．求下列各函数在指定点z处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半 径： 1) z z 1 1 ，z1； 2) z z 1z2 ，z2； 3

复变函数(第四版)课后习题答案

习题一解答 1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 （3）(3+ 4i )(2 5i ) ； （4）i 8 4i 21 + i 1 3+ 2i 1 3i 1 i （1） ； （2） ； i 2i 3+ 2i = (3+ 2i )(3 2i ) = 1 (3 2i ) 1 3 2i 13 解 （1） 所以 ? 1 ?3+ 2i ↑ 13 ? = ← 3， Im ?? ←= 2 1 ? Re ? , 13 ?3+ 2i ↑ 2 2 1 3+ 2i = 1 1 3+ 2i = ?? 3 ? +?? 3 ? 13 (3+ 2i )， ， 13 13 ? 13 ? = 13 Arg ? 1 3+ 2i ? ? = arg ? 1 3+ 2i ? ? + 2k π 2 = arctan + 2k ,k = 0,±1,±2," 3 1 3i i 3i (1+ i ) = i 1 ( 3+ 3i )= 3 5 （2） 1 i = i ( i ) (1 i )(1+ i) i, i 2 2 2 所以 ?1 3i ? 3 , Re ? ?i 1 i ↑←= 2 ?1 3i ? ←= 5 Im ? ?i 1 i ↑ 2 2 2 1 3i = + i 5， 3 1 3i 1 i = ? ? +? ? = 34， 3 5 i 1 i ? 1 3i 2 2 i 2 2 2 1 3i ? + 2k π Arg = arg i 1 i ? i 1 i ? = arctan 5 + 2k π, k = 0,±1,±2,". 3 （3） (3+ 4i )(2 5i ) = (3+ 4i )(2 5i )( 2i ) = (26 7i )( 2i ) 2i (2i )( 2i ) 4 = 7 26i = 7 13i 2 2 所以 ?(3+ 4i )(2 5i )? Re ? ←= 7 ， ? 2i ↑ 2 ?(3+ 4i )(2 5i )? Im ? ←↑= 13， ? 2i

复变函数综合练习题及答案

1 复变函数综合练习题及答案 第一部分 习题 一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否?.(共20题) 1. 在复数范围内31有唯一值1. ( ) 2. 设z=x+iy , 则 = z z 22y x +. ( ) 3. 设,2 3 21i z -=则.32arg π=z ( ) 4. z cos =ω是有界函数. ( ) 5. 方程1=z e 有唯一解z=0. ( ) 6. 设函数z g z f (),()在0z 处可导,则) () (z g z f 在点0z 处必可导. ( ) 7. 设函数 ) ,(),()(y x iv y x u z f +=在 000iy x z +=处可导,则 )(00,0)( )(y x y u i y v z f ??-??='. ( ) 8. 设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( ) 9. 设函数)(z f 在0z 处可导, 则)(z f 在0z 处必解析. ( ) 10. 设函数)(z f 在区域D 内可导, 则)(z f 在D 内必解析. ( ) 11. 设),(),,(y x v y x u 都是区域D 内的调和函数,则),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数. ( ) 12. 设n 为自然数,r 为正实数,则 0) (00=-?=-r z z n z z dz . ( ) 13. 设)(z f 为连续函数,则?? '=1 )()]([)(t t c dt t z t z f dz z f ,其中10,),(t t t z z =分别为曲 线c 的起点,终点对应的t 值. ( )

《复变函数论》第四章-22页文档资料

第四章 解析函数的幂级数表示方法 第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是： 111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数， ,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。按照|}{|n z 是有界或无界序列， 我们也称}{n z 为有界或无界序列。 设0z 是一个复常数。如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当 n>N 时 ε<-||0z z n , 那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作 0lim z z n n =+∞ →。 如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。 令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。由不等式 0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及 容易看出，0lim z z n n =+∞ →等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞ → 因此，有下面的注解： 注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。 注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于 0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个

邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z 在这个邻域内。 注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 定义4.1复数项级数就是 12......n z z z ++++ 或记为1 n n z +∞ =∑，或n z ∑，其中n z 是复数。定义其部分和序列为： 12...n n z z z σ=+++ 如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是 σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作 1 n n z σ+∞ ==∑， 如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。 注1、对于一个复数序列{}n z ，我们可以作一个复数项级数如下 121321()()...()...n n z z z z z z z -+-+-++-+ 则序列{}n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。 注2级数 n z ∑收敛于σ的N ε-定义可以叙述为： 0,0,,N n N ε?>?>>使得当时有 1 ||n k k z σε=-<∑， 注3如果级数n z ∑收敛，那么

复变函数课后部分习题解答

（1）(3-i) 5 解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°] (3-i)5 =25[cos(30°?5)-isin(30°?5)] =25(-3/2-i/2) =-163-16i

（2）（1+i ）6 解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2 tan θ=x y =1 x>0,y>0 ∴θ属于第一象限角 ∴θ= 4 π ∴1+i=2（cos 4π+isin 4 π ） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 4 6π ） =8（0-i ） =-8i 1.2求下式的值 (3)61-

因为 -1=（cos π+sin π） 所以 6 1-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6). 习题一 1.2（4）求(1-i)3 1的值。

解：(1-i)3 1 =[2(cos-4∏+isin-4 ∏ )]31 =62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12 ) 18(-k ∏)] (k=0,1,2) 1.3求方程3z +8=0的所有根。 解：所求方程的根就是w=38- 因为-8=8（cos π+isin π） 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2

其中ρ=3r=38=2 即 w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i 1 w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-2 2 w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i 3 习题二 1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。 (1) Im(z)>0 解：设z=x+iy 因为Im(z)>0，即，y>0

《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数.

第一章 复变函数习题及解答

第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2, 3 k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 35π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2）()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到

22 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 2 2 22 44444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππ ππππ+=+=+-=-=-

复变函数习题答案第4章习题详解

复变函数习题答案第4章习题详解

第四章习题详解 1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) mi ni a n -+=11 ； 2) n n i a -??? ??+=21； 3) ()11++-=n i a n n ； 4) 2i n n e a π-=； 5) 21i n n e n a π-=。 2． 证明：??????? ≠==>∞<=∞→1 11 111 0a a a a a a n n ,,,,lim 不存在， 3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1) ∑∞=1n n n i ；

2) ∑∞=2n n n i ln ； 3) ()∑∞=+0856n n n i ； 4) ∑∞ =02n n in cos 。 4． 下列说法是否正确？为什么？ 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0 z 的邻域内展开成泰勒级数。 5． 幂级数()∑∞=-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？ 6． 求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞=1n p n n z （p 为正整数）； 2) ()∑∞=12n n n z n n !；

3) () ∑∞=+01n n n z i ； 4) ∑∞=1n n n i z e π； 5) ()∑∞=-?? ? ??11n n z n i ch ； 6) ∑∞=??? ??1n n in z ln 。 7． 如果∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c

复变函数练习题习题(4)

习题4.1 6．判断下列复数列的收敛性，且当收敛时求出其极限，其中n →∞. （2）cos sin (1) n n n i n z i +=+ 解：因为当n →∞时， cos sin cos sin 10,(1)1n n n n i n n i n z i i ++===→++ 所以由4.1节定理1知，复数列{}n z 收敛， 且 lim 0.n n z →∞ = 注：数列没有绝对收敛！级数才有绝对收敛！ （3）cos()n ni z n = 解：因为当n →∞时， () () cos()2,2i ni i ni n n n e e ni e e z n n n --++== = →∞

所以复数列{}n z 发散. 7.判别下列级数的绝对收敛和收敛性. （1）10 1n i n n ∞ =+?? ?? ?∑ 解：因为当n →∞时，此级数通项的模 10 10 10 1i n n n ???+??==→ ? ? ??? ??? 不趋向于零，所以由4.1节定理4的推论知此级数 发散. （2）0 (1)2n n n i ∞=-+∑ 解：因为通项取模后的级数 0(1)22 n n n n n i ∞ ∞ ==-+==∑ ∑ 所以该级数绝对收敛，从而也收敛. 注：①通项的模趋向于零不能得到绝对收敛！

②该级数的虚部级数为0 1 2n n ∞ =∑，而不是02 n n i ∞ =∑，虚部级数不包括虚数单位i . （3）011 n i n ∞ =++∑ 解：因为 000111 ,111 n n n i i n n n ∞∞∞ ===+=++++∑∑∑ 其实部级数和虚部级数均为发散调和级数 01 1 n n ∞ =+∑，所以该级数发散，当然也不绝对收敛. 注：①通项趋向于零不能得到级数收敛！例 如：1 0()1n n →→∞+但调和级数011 n n ∞ =+∑发散. 8.求下列幂级数的收敛圆的中心和收敛半径.

复变函数习题4

习题四 1. 复级数 1 n n a ∞ =∑与 1 n n b ∞ =∑都发散,则级数 1 ()n n n a b ∞ =±∑和1 n n n a b ∞ =∑发散.这个命题是否成立?为 什么? 2. 下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛? (1)21 1 1i n n n +∞=+∑ (2)1 15i ()2n n ∞ =+∑ (3) π1e i n n n ∞ =∑ (4) 1i ln n n n ∞ =∑ (5) cosi 2n n n ∞ =∑ 3.证明:若Re()0n a ≥,且1 n n a ∞ =∑和 2 1 n n a ∞ =∑收敛,则级数 2 1 n n a ∞ =∑绝对收敛. 4.讨论级数1 ()n n n z z ∞ +=-∑的敛散性 5.幂级数 (2) n n n C z ∞ =-∑能否在z=0处收敛而在z=3处发散. 6.下列说法是否正确?为什么? (1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛. (2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点. 7.若0n n n C z ∞ =∑的收敛半径为R,求0 n n n n C z b ∞ =∑ 的收敛半径。 8.证明：若幂级数 n n n a z ∞ =∑的 系数满足n ρ=，则 (1)当0ρ<<+∞时, 1 R ρ= (2) 当0ρ=时, R =+∞ (3) 当ρ=+∞时, 0R =

9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。 (1) 0(i)n p n z n ∞ =-∑ (2) p n n n z ∞ =?∑ (3) 1 21 021(i)2n n n n z n ∞ --=--? ?∑ (4) (1) 0i ()(1)n n n n z n ∞ +=?-∑ 10.求下列级数的和函数. (1) 1 1 (1) n n n nz ∞ -=-?∑ (2) 20 (1)(2)!n n n z n ∞ =-? ∑ 11.设级数 0n n C ∞ =∑收敛，而 n n C ∞ =∑发散，证明 n n n C z ∞ =∑的收敛半径为1 12.若0 n n n C z ∞ =∑在0z 点处发散，证明级数对于所有满足0z z >点z 都发散. 13.用直接法将函数ln(1e )z -+在0z =点处展开为泰勒级数,(到4z 项),并指出其收敛半径. 14.用直接法将函数211z + 在1z -<点处展开为泰勒级数,(到4(1)z -项) 15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性. (1) 123z -分别在0z =和1z =处 (2) 3 sin z 在0z =处 (3) arctan z 在0z =处 (4) (1)(2)z z z ++在 2z =处 (5) ln(1)z +在 0z =处

《复变函数论》第四章

第四章 解析函数的幂级数表示方法 第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是： 111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数， ,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。按照|}{|n z 是有界或无界序列， 我们也称}{n z 为有界或无界序列。 设0z 是一个复常数。如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当 n>N 时 ε<-||0z z n , 那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作 0lim z z n n =+∞ →。 如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。 令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。由不等式 0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及 容易看出，0lim z z n n =+∞ →等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞ → 因此，有下面的注解： 注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。 注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于

0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个 邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z 在这个邻域内。 注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 定义4.1复数项级数就是 12......n z z z ++++ 或记为1 n n z +∞ =∑，或n z ∑，其中n z 是复数。定义其部分和序列为： 12...n n z z z σ=+++ 如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是 σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作 1 n n z σ+∞ ==∑， 如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。 注1、对于一个复数序列{}n z ，我们可以作一个复数项级数如下 121321()()...()...n n z z z z z z z -+-+-++-+ 则序列{}n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。 注2级数 n z ∑收敛于σ的N ε-定义可以叙述为： 0,0,,N n N ε?>?>>使得当时有 1||n k k z σε=-<∑， 注3如果级数n z ∑收敛，那么

复变函数练习题习题1.4

习题1.4 5.求下列函数的极限，其中0z →. （1）1()Re()/||f z z z z = 解：因为 1000Re() lim |()|lim ||lim |Re()|0 || z z z z z f z z z →→→=== 所以由教材1.4节的定理1知 10 lim ()0z f z →=. 另解：设(,R)z x iy x y =+∈，则 2 1Re()()()||z z x iy x x xy f z i z +=== + 因为 2 ||0||, 0||, x xy x x xy ≤ ≤≤≤-≤ ≤ 所以由夹边法则得

2 0000 ||lim 0, lim 0,lim x x x y y y x xy xy →→→→→→===所以 2 10 000 lim ()lim lim 000 z x x y y x xy f z i →→→→→=+=+= 注1：极限存在是对趋向于极限点的任意路径极限都存在，不能仅对特殊路径证明，所以不能设 0y kx =→来证明极限存在！ 注2：设(cos sin )z r i θθ=+，则 1000cos lim ()lim lim cos 0? z z z zr f z z r θ θ→→→=== 此处θ与z 有关，不能直接得到极限，需要进一步 将(cos sin )z r i θθ=+带入再求极限.

（2）2()Re()/||f z z z = 解：设(,R)z x iy x y =+∈，当z 沿任意射线 (0)y kx x =>趋向零时有0z x ikx =+→，这时有 2Re()11()|| z x f z z == = → 极限与k 有关，即与路径有关，所以当0z →时， 2()Re()/||f z z z =的极限不存在. 另解：设(cos sin )(,R)z r i r θθθ=+∈，当z 沿任意射线0θθ=趋向零时有00(cos sin )z r i θθ=+0→即0r →，这时有 200 cos Re()()cos cos ||r z f z z r θθθ===→ 极限与0θ有关，即与路径有关，所以当0z →时， 2()Re()/||f z z z =的极限不存在.

复变函数第四章学习指导

复变函数第四章学习指导 一、 知识结构 ?????? ??? ?? ???? ???? ? ?????? ????????? ?????????? ????? ?? ?? 收敛 复数项级数绝对收敛一般的级数概念内闭一致收敛复变函数项级数一致收敛级数的性质收敛圆一般概念收敛半径的求法 幂级数和函数 泰勒定理零点定义及充分必要条件 零点的孤立性解析函数的性质零点的性质 解析函数的唯一性 二、 学习要求 ⒈了解复级数的基本概念； ⒉理解解析函数的幂级数表示； ⒊理解收敛圆及收敛半径的概念； ⒋熟练掌握收敛圆及收敛半径的求法； ⒌了解解析函数的零点并掌握其判别方法； ⒍熟练掌握将函数在一点展成幂级数的方法； ⒎了解解析函数的唯一性定理，掌握其证明方法。 三、 内容提要 幂级数 定义 称形如 +++++=∑∞ =n n n n n z c z c z c c z c 22100 （4.3） 或 +-++-+-+=-∑∞ =n n n n n z z c z z c z z c c z z c )()()()(02020100 0 （4.3） 的级数为幂级数，其中 ,,,,,,2100n c c c c z 均为复常数。 收敛圆 收敛半径 对于级数（4.3），总存在圆周R z c R =:，使得级数（4.3）在R c 的内部绝对收敛，在R c

的外部发散．我们称圆R z R N <:),0(为级数（4.3）的收敛圆，称R 为级数（4.3）的收敛半径。 求收敛半径的方法与数学分析中的方法一样。 定理4.12 对于级数（4.3），若极限 n n n c c 1lim +∞ → 存在（有限或无限），则极限 n n n c ∞ →lim 存在，并且有 n n n n n n c c c 1lim lim +∞ →∞ →= = R 1= 其中的R 为级数（4.3）的收敛半径．当0= 时，规定+∞=R ，当+∞= 时，规定0=R 。 解析函数的幂级数表示 定理4.13 设G 为区域，点G a ∈，圆R a z K <-:含于G ，若函数)(z f 在G 内解析，则在K 内有 ∑∞ =-=0 )()(n n n a z c z f （4.5） 其中 ,2,1,0,! ) 0() (==n n f c n n （4.7） 且上述展式是唯一的。 解析函数的零点 定义4.7 设函数)(z f 在点a 解析，若0)(=a f ，则称点a 为)(z f 的零点，若)(z f 的零点a 满足 0)()()() 1(==='=-a f a f a f m ，但0)() (≠a f m 则称点a 为函数)(z f 的m 级（阶）零点。 计算)(z f 的零点的级别的方法 定理4.17 点a 是不恒为零的解析函数)(z f 的m 级零点的充分必要条件是 )() ()(z a z z f m ??-=

复变函数习题三

第三章 复变函数的积分 一、 判断题 （1） 微积分中的求导公式、洛必达法则、中值定理等均可推广到复变函数。（ ） （2） 有界整函数必为常数。（ ） （3） 积分 ? =--r a z dz a z 1 的值与半径)0(>r r 的大小无关。（ ） （4） 若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析。（ ） （5） 若)(z f 在10<

复变函数第四章学习方法导学

第四章级数 复级数也是研究解析函数的一种重要的工具，实际上，解析函数的许多重要性质，还需要借助适当的级数才能得到比较好的解决。例如，解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性、解析函数在其孤立奇点去心邻域内的取值特点等等。 根据所研究的解析函数所涉及的问题的需要，在本章中，我们重点介绍两类特殊的复函数项级数，一类是幂级数，通常考虑函数在其解析的区域内的整体性质或函数在其解析点邻域内的性质时，用这类级数；另一类是洛朗级数，通常考虑函数在其孤立奇点附近的有关性质时，用这类级数． 本章，我们主要介绍以下内容： 首先，平行介绍复数项级数和复函数项级数一般理论． 其次，作为函数项级数的特例，我们平行介绍形式简单且在实际中的应用广泛的幂级数，并建立如何将圆形区域内解析的函数表示成幂级数的方法，以及如何利用这种方法来研究解析函数的有关良好的性质（比如：解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性以及作为解析函数基本理论之一的最大模原理等）．第三，进一步介绍由正、负整数次幂项构成的形式幂级数(也称为洛朗级数或双 <-<（0r≤，边幂级数）的概念及其性质，并建立(挖去奇点a的)圆环形区域r z a R R≤+∞）内解析函数的级数表示（即解析函数在圆环形区域内的洛朗展式），然后再用洛朗展式作为工具研究解析函数在其孤立奇点附近的性质．作为解析函数孤立奇点性质的应用，再简要介绍复变函数的进一步研究中经常涉及到的两类重要的函数，即整函数与亚纯函数及其简单分类． 一、学习的基本要求 1．能正确理解复级数收敛和发散以及绝对收敛等概念．掌握复级数收敛的必要条件

和充要条件，特别是复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系，并能熟练地运用这种关系来讨论复级数的有关问题以及利用复级数来讨论实级数的有关问题（比如：利用复级数的和求实级数的和的问题等）． 2．了解复级数绝对收敛与条件收敛，掌握收敛以及绝对收敛级数的若干性质（比如收敛级数的线性性、添项减项性和添加括号性；绝对收敛级数的项的重排性、乘积性等；二次求和的可交换性，即在 ,11()n m n m A ∞∞==∑∑，,11()n m m n A ∞∞==∑∑以及,,1n m n m A ∞=∑ 都收敛的条件下，有 成立）． 3．了解复函数项级数收敛、一致收敛和内闭（紧）一致收敛的含义，掌握一致收敛的柯西准则和魏尔斯特拉斯判别法，并能熟练运用此判别法判断复函数项级数的一致或内闭一致收敛，掌握一致或内闭一致收敛的函数项级数和函数的连续性、逐项积分性以及解析函数项级数和函数的解析性、逐项求任意阶导数性． 4．熟练掌握幂级数收敛半径的两种计算方法： 记00()()n n n f z a z z ∞==-∑，l =1z 是()f z 的不解析点中距0z 最近的点， 利用系数计算的公式：1 R l =． 利用和函数的计算公式：10R z z =-． 熟练掌握同类幂级数的运算性质．比如：设有两个同类幂级数 00()()n n n f z a z z ∞==-∑，00()()n n n g z b z z ∞ ==-∑ 其收敛半径分别为1R ，2R ，不妨设12R R ≤，则在它们收敛的公共范围01z z R -<内