习题四
4.1判别下列复数列的收敛性，若收敛求其极限。
（1）11n ni z n +=+；（2）()
cos +sin 1n n n i n z i =+；（3）cos n in z n =；（4）ni n z e = 解：（1）1lim lim 1n n n ni z i n
→∞→∞+==+ 所以复数列11ni n
++收敛。 （2）()()cos +sin 111n
ni i n n n n i n e e z i i i ??=== ?+++??， 11i e i <+，所以复数列()
cos +sin 1n n i n i +收敛，且lim 0n n z →∞=。 （3）cos =2n n n in e e z n n -+=，复数列cos in n
不收敛。 （4）cos +sin ni n z e n i n ==，
cos n ，sin n 都不收敛，所以复数列ni e 不收敛。
4.4判别下列级数的收敛性
（1）1n n i n ∞
=∑；（2）()1658n n n i ∞=+∑；（3）()012n
n n i ∞=-+∑；（4）011n i n ∞=++∑ 解：（1）由于1n i n n =，所以1n
n i n ∞=∑发散，但是1n n i n ∞=∑收敛，所以原级数条件收敛； （2）6518i +<，所以()1
658n
n n i ∞=+∑绝对收敛； （3）()012n n n ∞=-∑和012n n ∞=∑均绝对收敛，所以()012n
n n i ∞=-+∑绝对收敛； （4）一般项的实部，虚部为11n +，都发散，所以011
n i n ∞=++∑发散。 4.5判断下列命题是否正确。
（1）每个幂级数在它的收敛圆上处处收敛。
（2）每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。
（3）每个在0z 连续的函数必能在0z 的邻域能展开成泰勒级数。 解：（1）错，幂级数在它的收敛圆上可能收敛，也可能发散。
（2）错，每个幂级数的和函数在收敛圆内不可能有奇点。
（3）错，因为在0z 的邻域内解析不解析还不知道，如果不解析将不能展开成泰勒级数。
4.7求下列幂级数的收敛半径
（1）1!n n n n z n ∞
=∑；（2）()11ln n n n z in ∞=∑；（3）()12n n n n z i ∞=-∑；（4）()()2012n n n n z ∞=++∑； （5）023n n n n z i ∞
=+∑；（6）()11n n n i z ∞=-∑。 解：（1）11lim lim 1n n n n n
a n a n e +→∞→∞??== ?+??，收敛半径为e ； （2）
1lim 0ln n n n
→∞==，收敛半径为∞； （3）11121lim lim 22n n n n n n
a n a n ++→∞→∞+=?=，收敛半径为2； （4）()()()()()212
1223lim lim 12n n n
n n n n n z z z z n n z ++→∞→∞++==++，收敛半径为1； （5
）11123lim lim 323n n n n n n n n n
a i a i +++→∞→∞+===+，收敛半径为13；
（6）
n =。 4.9把下列函数展开成z 的幂级数，指出收敛半径
（1）()2sin 1z +；（2）()221
1z +；（3）sinh z ；（4）2
2sin z e z 。 解：（1）()222sin 1sin1cos cos1sin z z z +=?+? z <+∞； （2）()()22
220111111221n n n z z z z z ∞=''????=-?=--? ???+????+∑ 21z <，即收敛半径为1；