三角函数值域与最值的求法
大家知道,求三角函数值域与最值问题主要包括:①给定自变量x 的取值范围,求三角函数的值域或最值;②自变量x 为任意实数,求三角函数的值域或最值两种类型。那么到底如何解答求三角函数值域与最值问题呢?下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题:
1、已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1(x ∈R)。 (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在区间〔
8π,34
π〕上的最大值和最小值; 【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用;②三角函数最小正周期的定义与求法;③辅助角公式及运用;④正弦函数的图像与性质。 【解题思路】(1)运用二倍角公式和辅助角公式把函数f(x)化成f(x)= Asin(?x+?)的形式,根据三角函数最小正周期的公式求出函数f(x)的最小正周期;(2)由x ∈〔8π,34
π
〕求出 2x+
4
π
的取值范围,根据正弦函数的图像与性质求出函数f(x)的最大值和最小值。
【详细解答】(1)Q f(x)=2 sinx cosx-2cos 2
sin(2x+ 4
π),∴
T= 22π=π;(2)Q x ∈〔8π,34π〕,∴2x+4π∈〔2π,74π〕,? -1≤sin (2x+ 4
π)≤1,
∴max ()f x ?,min ()f x ?(-1)2、已知函数y=Asin(?x+?)(A >0, ?>| ?|≤π)的一段图像如右图所示。 (1)求函数f(x)的解析式; (2)求这个函数的单调递增区间; (3)求函数在区间〔
3π,2
π
【解析】
【知识点】①三角函数的图像与性质;②三角函数最小正周期的公式及运用;③根据三角函数图像上的点确定?的基本方法;④正弦函数的图像与性质。 【解题思路】(1)根据三角函数的图像确定A 和T 的值,运用公式T=
2||
π?求出?的值,
由点(-8
π
,2)在函数f(x)的图像上,求出?的值,从而得到函数f(x)的解析式=;(2)运用正弦函数的性质得到不等式2k π- 2π ≤ 2x+ 4π≤ 2k π+ 2
π
,解这个不等式就可得出
结果;(3)由x ∈〔3π,2π〕求出2x+ 4
π
的取值范围,根据正弦函数的图像与性质求出函
数f(x)的最大值和最小值。
【详细解答】(1)由图知,A=2,
2T =38π-(-8π)=2
π
,?T=π,??=2ππ=2,? f(x)
=2sin (2x+ ?),Q 点(-8π,2)在函数f(x)的图像上,∴2=2sin [2?(-8π)+ ?]= 2sin (-4
π+
?)
,? sin (-4π+ ?)=1,?-4π+ ?= 2k π+ 2
π
,??= 2k π+34π(k ∈Z ),Q | ?|≤π,∴?= 34π,? f(x)=2sin (2x+ 34π);(2)Q 由2k π- 2π ≤ 2x+ 34π≤ 2k π+ 2π,
解得k π- 58π ≤ x ≤ k π-8π(k ∈Z ),∴函数f(x)的单调递增区间是[k π- 58π,k π-8
π
]
(k ∈Z );(3)
Q x ∈〔3π,2
π
〕,∴2x+34π∈〔1712π,74π〕,? -1≤sin (2x+ 34π)≤-2,
∴max ()f x =2?(-
2
),min ()f x =2?(-1)=-2。 『思考问题1』 (1)【典例1】是运用正弦函数(或正弦型函数)与余弦函数(或余弦型函数)的有界性来求三角函数的值域或最值的问题,解答这类问题需要理解并掌握正弦函数与余弦函数的图像和性质,尤其是正弦函数与余弦函数的值域都是[-1,1]这一特殊性质;
(2)对于正弦型函数与余弦型函数只需把(?x+?)看成整体未知数,进而将问题转化为正弦函数与余弦函数的问题来解决。 〔练习1〕解答下列问题: 1、求函数y=sinx 〔sinx-sin(x+3
π
)〕的最大值和最小值; 2、求函数y=
2sin 2cos x
x
--的最大值和最小值;
3、已知函数f(x)= 2
cos x-2sinxcosx-2
sin x 。
(1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)的最大值和最小值。 【典例2】按要求解答下列各题: 1、求函数f(x)=cos2x-6cosx 的值域; 【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用;②换元法的定义与基本方法;③一元二次函数的定义,图像与性质。
【解题思路】运用二倍角公式把函数f(x)化成f(x)= 2 cos
2
x -6 cos x -1的形式,设t= cos x ,
t ∈〔-1,1〕,得到函数f(t)=22
t -6t-1,根据一元二次函数在闭区间上最值的求法就可得出结果。
【详细解答】Q f(x)= 2 cos
2
x -6 cos x -1,设t= cos x ,t ∈〔-1,1〕,∴f(t)=22
t -6t-1,
Q 函数f(t)在〔-1,1〕上单调递减,∴max ()f x = f(-1)=2? 2(1-)-6?(-1)-1=7,min ()f x =
f(1)= 2? 1-6?1-1=-5。
2、是否存在实数a ,使得函数y=2
sin x+acosx+
58a-32在闭区间〔0, 2
π
〕上的最大值是1?若存在,求出对应的a 值,若不存在,说明理由;
【解析】
【知识点】①换元法的定义与基本方法;②一元二次函数的定义,图像与性质。
【解题思路】设存在实数a ,使得函数y=2
sin x+acosx+
58a-32在闭区间〔0, 2π
〕上的最大值是1,令t= cos x ,t ∈〔-1,1〕,得到函数f(t)=-2
t +at+58a -12
,根据一元二次函数的图
像与性质分别对2a <0,0≤2a <1,1≤2
a
三种情况进行考虑,从而综合得出结果。
【详细解答】Q y=1- cos 2x +acosx+58a-32=- cos 2x +acosx+58a-1
2 ,设t= cos x ,由x ∈〔0,
2
π
〕, ?t ∈〔0,1〕,∴ y=-2t +at+58a -12,①当2a <0,即a <0时,
Q 函数y=-2t +at+58a -12 在区间〔0,1〕单调递减,∴max y =-0+0+58a -12=58a -12=1,?a=4
5
>0与假设不符;②当
0≤2a <1,即0≤a <2时,Q (58a -12)-(138a-32
)=-a+1,若-a+1>0,即0≤a <1时,
∴max y =-0+0+58a -12=58a -12=1,?a=45满足;若-a+1<0,即1 8 a -12=138a -32=1,?a=2013满足;③当1≤2a ,即2≤a 时,Q 函数y=-2t +at+58a -12 在区间〔0,1〕单调递增,∴max y =-1+a+58a -12=138a -32=1,?a=20 13 <2与假设不符,∴ 综上所述,存在实数a=45或a=2013,使得函数y=2 sin x+acosx+58a-32在闭区间〔0, 2 π〕 上的最大值是1。 3、求函数f(x)= cos 2sin 2 x x sinx+cos sin x x sin2x 的最大值和最小值; 【解析】 【知识点】①二倍角公式及运用;②换元法的定义与基本方法;③一元二次函数的定义,图像与性质。 【解题思路】运用二倍角公式把函数f(x)化成f(x)= 2 cos 2 x + cos x +1的形式,设t= cos x , t ∈〔-1,1〕,得到函数f(t)=22 t +t+1,根据一元二次函数在闭区间上最值的求法就可得出结果。 【详细解答】Q f(x)= 2 cos 2 2 x +2 cos 2x =2 cos 2 x+ cos x +1,设t= cos x ,t ∈〔-1,1〕, ∴f(t)=22t +t+1,Q -1≤- 1 4 ≤1,∴max ()f x = f(1)=2? 1+1?1+1=4,min ()f x = f(-14)= 2?21(4-) +1?(-14)+1=78 。 4、求函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)(0<a ) 的值域。 【解析】 【知识点】①辅助角公式及运用;②换元法的定义与基本方法;③一元二次函数的定义,图像与性质。 【解题思路】设t=sinx+cosx ,t ∈〔〕,? sinx.cosx= 21 2 t -从而得到函数f(t)= 122t +at+2a -1 2 ,根据一元二次函数在闭区间上最值的求法就可得出结果。 【详细解答】Q f(x)= sinx.cosx+a (sinx+cosx )+2 a ,设t=sinx+cosx ,t ∈〔〕,∴ f(t)= 122t +at+2a -12,Q 0<a ,∴≤-a<0,?max ()f x = 12?2 + a+2a -12=2a a+12,min ()f x =f(-a )= 12?2(a -)-2a +2a -12=122a -12 ,∴函数 f(x)的值域是[122a -12,2 a a+12 ]。 『思考问题2』 (1)【典例2】是把三角函数问题转化为一元二次函数来求值域与最值的问题,解答这类问题首先需要掌握数学问题中的常用方法—换元法,其次是要掌握二次函数的相关知识; (2)运用换元法的关键是将问题中的某一部分换成新元并确定新元的取值范围,【典例2】中的(1)、(2)、(3)都是把问题的cosx 换成新元t ,由余弦函数的性质容易知道t ∈[-1,1];【典例2】中的(4)问题涉及到sinx+cosx 与sinxcosx 两个部分,对这种问题,一般设 t=sinx+cosx ,因为sin(x+4 π ),所以t ∈[。 〔练习2〕解答下列问题: 1、求函数f(x)=1+4cosx-42 sin x 的最大值和最小值; 2、求函数f(x)=sin2x+cosx-sinx 的值域; 3、求函数f(x)= 426cos 5cos 1 cos 2x x x -+的值域。 【典例3】解答下列问题: 1、设α∈(0, 2 π ),求函数f(α)=4tan α+1tan α+2的值域; 【解析】 【知识点】①正切函数的图像与性质;②基本不等式及运用。 【解题思路】运用正切函数的图像与性质可知4tan α+ 1 tan α 满足基本不等式的条件,根据 基本不等式就可得出结果。 【详细解答】Q α∈(0,2π ), ∴4tan α>0,1tan α>0,?4tan α+1 tan α ≥≥4,∴ f(α)=4tan α+ 1tan α+2≥4+2=6,?函数f(α)=4tan α+1 tan α +2的值域是[6, +∞)。 2、已知tan α=3tan β,0<β≤α< 2 π ,求y=α-β的最大值。 【解析】 【知识点】①正切函数的图像与性质;②差角公式及运用;③基本不等式及运用。 【解题思路】运用差角公式和条件得到tan(α-β)= 22tan 1tan β β += 21 tan tan ββ +,由 1 tan tan ββ +满足基本不等式的条件,根据基本不等式得出tan(α-β)的取值范围,从而求出α-β的最大值。 【详细解答】 Q tan(α-β)=tan tan 1tan tan αβαβ-+=2 2tan 13tan β β +=21 3tan tan ββ +,0<β≤α< 2π,∴13tan tan ββ+≥≥,?0< tan(α-β)=21 3tan tan ββ +≤ 3,?(α-β)∈(0,6π],∴y=α-β的最大值为6 π。 『思考问题3』 (1)【典例3】是与均值不等式相关的问题,解答这类问题需要理解并掌握均值不等式,尤其是要注意均值不等式应该满足的三个条件:①一正是指涉及的两项必须是 数,②二定是指两项的和或积是 值,③三相等是指两项相等具有 性; (2)运用均值不等式求三角函数的值域与最值时,首先要注意问题符不符合均值不等式的三个条件,其次还要把相关的三角函数的知识联系起来综合解答问题。 〔练习3〕解答下列问题: 1、设α∈(0, 2 π ),求函数f(α)=9tan α+1tan α+1的值域; 2、已知tan α=3tan β,0<β≤α<4 π ,求y=α+β的最大值。 【典例4】解答下列问题: 1、求函数f(x)= 2 sin x+ 29 4sin x 的值域; 【解析】 【知识点】①正弦函数的图像与性质;②换元法的定义与基本方法;③函数单调性的定义与性质。 【解题思路】设t=2 sin x ,t ∈(0,1〕,从而得到f(t)=t+9 t ,由函数f(t)在(0,1〕上单调递减,根据函数单调性的性质就可得出函数f(x)的值域。 【详细解答】设t=2 sin x ,t ∈〔0,1〕,?f(t)=t+ 9 t ,Q 函数f(t)在(0,1 ]上单调递减,∴min ()f x = f(1)= 1+9=10,?函数f(x)的值域为[10,+ ∞)。 2、求函数f(x)=sin2x+22 cos x 在区间〔0,8 π〕上的最大值和最小值。 【解析】 【知识点】①二倍角公式及运用;②辅助角公式及运用;③正弦函数的定义,图像与性质。 【解题思路】运用二倍角公式和辅助角公式把函数f(x)化成f(x)= Asin(?x+?)的形式,由x ∈〔0, 8π〕求出2x+ 4 π 的取值范围,根据正弦函数的图像与性质求出函数f(x)的最大值和最小值。 【详细解答】Q sin(2x+ 4π)+1,x ∈〔0,8π〕,∴2x+ 4π∈〔4 π , 2π〕,? sin(2x+ 4 π )∈〔2,1〕,∴max ()f x = ? ,min ()f x ?2 +1=2。 『思考问题4』 (1)【典例4】是运用函数的单调性求三角函数的值域与最值的问题,解答这类问题需要理解函数单调性的意义,掌握函数单调性的判断方法; (2)判断与三角函数相关的函数的单调性需要与涉及的三角函数的图像和性质联系起来,理解并掌握该三角函数的图像和性质是解决问题的关键。 〔练习4〕解答下列问题: 1、求函数f(x)= 2 cos x+ 2 9 4cos x 的值域; 2、求函数f(x)=sin2x-22 sin x 在区间〔0,8 π〕上的最大值和最小值。 三 角 函 数 考点1:三角函数的有关概念; 考点2:三角恒等变换;(两角和、差公式,倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式) 考点3:正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质;(定义域、值域、最值;单调区间、最小正周 期、对称轴对称中心) 考点4:函数y =Asin()0,0)(>>+???A x 的图象与性质;(定义域、值域、最值;单调区间、最小 正周期、对称轴对称中心、图像的变换) 一、三角函数求值问题 1. 三角函数的有关概念 例1. 若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠,则sin θ= . 练习1.已知角α的终边上一点的坐标为(3 2cos ,32sin π π),则角α的最小正值为( ) A 、65π B 、32π C 、35π D 、6 11π 2、公式法: 例2.设(0,)2πα∈,若3 sin 5α=)4 πα+=( ) A. 75 B. 15 C. 75- D. 15 - 练习1.若πtan 34α??-= ??? ,则cot α等于( ) A.2- B.12 - C.12 D.2 2.α是第四象限角,5 tan 12 α=-,则sin α=( ) A .15 B .15- C .513 D .513 - 3. cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 。 4.已知1sin cos 5θθ+=,且324 θππ ≤≤,则cos2θ的值是 . 3.化简求值 例3.已知α为第二象限角,且sin α,求sin(/4)sin 2cos21 απαα+++的值 练习:1。已知sin α=,则44sin cos αα-的值为( ) A .15 - B .35 - C .15 D .35 求三角函数的值域(或最值)的方法 三角函数y=sinx及y=cosx是有界函数,即当自变量x在R内取一定的值时,因变量y有最大值y max=1和最小值y min=-1,这是三角函数y=sinx及y=cosx的基本性质之一,利用三角函数的这一基本性质,我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化.虽然这部分内容在教材中出现不多,但是,在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现,学生也往往对这样的问题颇感棘手.笔者根据日常的教学积累,对三角函数求值域或最值的方法,加以归纳总结如下. 1 配方分析法 如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式,可采用此方法. 例1求函数y=2cos2x+5sinx-4的值域. 解原函数可化为 当sinx=1时,y max=1; 当sinx=-1时,y min=-9, ∴原函数的值域是y∈[-9,1]. 注:此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见.但在最后讨论值域时,往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意. “cosx”,再求已知函数的最值 例2求下列函数的最值,并求出相应的x值. y=asinx+bcosx或可转化为此种形式的函数,其最大值和最小值分别为y max= 3 求反函数法 如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名,我们可考虑此种方法,用因变量y表示出该函数,再利用该函数的值域求对应的原函数的值域. ∴原函数的值域是 4 应用函数的有界性 上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值,在此只不过是为了更加突出一下. 解由原式可得 (3y-1)sinx+(2y-2)cosx=3-y, 则上式即为 利用函数的有界性有 ∴原函数的值域是 三角函数的定义域、值 域和最值 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1高三三角函数专题复习(题型全面)
求三角函数的值域(或最值)的方法
三角函数的定义域、值域和最值