测试题 1．下列说法中错误的是（） A．如果变量x与y之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点（i=1，2，3，…， n）将散布在一条直线附近B．如果两个变量x与y之间不存在线性相关关系，那么根据试验数据不能写出一个线性方程。 C．设x，y是具有线性相关关系的两个变量，且回归直线方程是，则叫回归系数 D．为使求出的回归直线方程有意义，可用线性相关性检验的方法判断变量x与y之间是否存在线性相关关系 2．在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别是（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y与 x之间的回归直线方程是（） A．B． C．D． 3．回归直线必过点（） A．（0，0）B． C． D． 4．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是（） A．预报变量在轴上，解释变量在轴上 B．解释变量在轴上，预报变量在轴上 C．可以选择两个变量中任意一个变量在轴上 D．可以选择两个变量中任意一个变量在轴上 5．两个变量相关性越强，相关系数r（） A．越接近于0 B．越接近于1 C．越接近于－1 D．绝
对值越接近1 6．若散点图中所有样本点都在一条直线上，解释变量与预报变量的相关系数为（） A．0 B．1 C．－1 D．－1或1 7．一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，数据如下表： 年龄（岁）3456789 身高（94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.0由此她建立了身高与年龄的回归模型，她用这个模型预测儿子10岁时的身高， 则下面的叙述正确的是（） A．她儿子10岁时的身高一定是145.83 B．她儿子10岁时的身高在145.83以上 C．她儿子10岁时的身高在145.83左右 D．她儿子10岁时的身高在145.83以下 8．两个变量有线性相关关系且正相关，则回归直线方程中， 的系数（） A．B．C．D． 能力提升： 9．一个工厂在某年每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下数据：
第二章回归分析概述 回归分析是寻求隐藏在随机现象中的统计规律的理论和方法，是经济计量学的最基本的方法论基础。讨论回归模型在经典假设条件下的参数估计、假设检验和估计量的统计性质，以及经典假设不完全满足条件下，有关问题的处理是理论经济计量学的任务。为了对回归分析理论和方法有一个全面深入的理解，本章先对回归分析的基本概念和性质予以介绍，在以后各章顺次展开以上问题的讨论。 第一节回归分析的性质 一、“回归”一词的现代含义 回归一词最早是生物统计学家高尔顿（Francis Galton）引入的。高尔顿在对人类身高之类的遗传特性的研究中，发现了他称之为“向平均回归”的现象。虽然客观上存在一种趋势，即父母高，子女也高；父母矮，子女也矮，但是给定父母的身高，子女的平均身高却有“回归”到全体人口的平均身高的倾向。也就是说，尽管父母双亲都异常高或异常矮，而子女的身高却有趋向人口总体平均身高的趋势。高尔顿的普通回归定律也被另一位统计学家皮尔逊（Karl Pearson）证实。高尔顿的兴趣在于发现人口的身高为什么有一种稳定性。这是“回归”一词的初始含义。 然而，对“回归”一词的现代解释却与初始含义有很大不同，其现代含义是回归分析研究一个被解释变量对另一个或多个解释变量的变量依存关系，其用意在于通过后者（在重复抽样中）的已知或设定值，去估计或预测前者的（总体）均值。 比如，对于父母身高与子女身高的关系研究，人们会发现，对于设定的每一个父辈的身高，都有一个儿辈的假想人口总体的身高分布与之对应，随着父辈身高的增加，儿辈的平均身高也增加。若把这种父辈身高与儿辈平均身高的一一对应关系绘制在平面坐标图上，可以得到一条直线，这条直线就叫做回归线，它表明儿辈的平均身高如何随父辈的身高变化。从现代回归的观点出发，人们关心的是给定父辈的身高情况下，如何发现儿辈平均身高的变化。也就是说，人们关心的是一旦知道了父辈的身高，如何估计预测儿辈的平均身高。 经济学家可以利用回归分析研究个人消费支出对其实际可支配收入的依从关系。通过回归分析可估计边际消费倾向（MPC），而边际消费倾向说明人们每增加一个单位的实际可支配收入而引起的消费支出的平均变化。 农业经济学家可利用回归分析研究农作物收成对施肥量，降雨量，气温等的依赖关系。这种分析能使他用给定的解释变量的信息预测或预报农作物的平均收成。 劳动经济学家利用回归分析研究货币工资变化率对失业率的依存关系，著名的菲利普斯曲线就是研究这一依存关系的成果，劳动经济学家经常利用这一曲线预测在给定的某个失业率下货币工资的平均变化。由于工资的增长会引起物价的上涨，因此通过这一曲线还可以研究通货膨胀、关于经济扩张过程方面的问题。 由货币银行学的知识可知，若其它条件不变，通货膨胀率愈高，人们愿意以货币形式保存的收入比例越低。对这种关系作回归分析，使金融学家能够预测在各种通货膨胀率下人们愿意以货币形式保存的平均收入比例。
实用回归分析第四版 第一章回归分析概述 1.3回归模型中随机误差项ε的意义是什么？ 答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。 1.4 线性回归模型的基本假设是什么？ 答：线性回归模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^2 3.正态分布的假定条件为相互独立。 4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p. 第二章一元线性回归分析 思考与练习参考答案 2.1一元线性回归有哪些基本假定? 答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量； 假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi)=0 i=1,2, …,n
Var (εi)=σ2i=1,2, …,n Cov(εi,εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关： Cov(X i, εi)=0 i=1,2, …,n 假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i=0 。 证明： 其中： 即：∑e i =0 ，∑e i X i=0 2.5 证明 ?β是β0的无偏估计。 证明：) 1 [ ) ? ( ) ?( 1 1 1 0∑ ∑ = = - - = - = n i i xx i n i i Y L X X X Y n E X Y E Eβ β )] )( 1 ( [ ] ) 1 ( [ 1 1 1 i i xx i n i i xx i n i X L X X X n E Y L X X X n Eε β β+ + - - = - - =∑ ∑ = = 1 1 ) ( ) 1 ( ] ) 1 ( [β ε β ε β= - - + = - - + =∑ ∑ = = i xx i n i i xx i n i E L X X X n L X X X n E 2.6证明 证明： ∑ ∑+ - = - = n i i i n i X Y Y Y Q 1 2 1 2 1 )) ? ?( ( )? (β β 01 ?? ?? i i i i i Y X e Y Y ββ =+=- () ) 1 ( ) 1 ( ) ?(2 2 2 1 2 2 xx n i i L X n X X X n Var+ = - + = ∑ = σ σ β 01 00 ?? Q Q ββ ?? == ??
学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上 【解析】 结合线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 可知，解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上，故选B. 【答案】 B 2．(2016· 泰 安 高 二 检 测)在回归分析中，相关指数R 2的值越大，说明残差平方和( ) A ．越大 B ．越小 C ．可能大也可能小 D ．以上均错 【解析】 ∵R 2＝1－错误!，∴当R 2越大时， ∑i ＝1n (y i －y ^i )2越小，即残差平方和越小，故选B. 【答案】 B 3．(2016·西安高二检测)已知x 和y 之间的一组数据 则y 与x 的线性回归方程y ^ ＝b x ＋a ^必过点( ) A ．(2,2) B.? ????32，0 C ．(1,2) D.? ?? ??32，4
【解析】 ∵x ＝14(0＋1＋2＋3)＝32，y ＝1 4(1＋3＋5＋7)＝4， ∴回归方程y ^ ＝b ^x ＋a ^必过点? ????32，4. 【答案】 D 4．已知人的年龄x 与人体脂肪含量的百分数y 的回归方程为y ^＝0.577x －0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( ) 【导学号：19220003】 A ．一定是20.3% B ．在20.3%附近的可能性比较大 C ．无任何参考数据 D ．以上解释都无道理 【解析】 将x ＝36代入回归方程得y ^＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B. 【答案】 B 5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 根据上表可得回归方程 y ^ ＝ b x ＋ a ^中的 b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元 【解析】 样本点的中心是(3.5,42)，则a ^ ＝y －b ^x ＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^＝65.5. 【答案】 B 二、填空题 6．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝ 1 2
回归分析自学整理 一、回归分析的数学模型与假设 (1) 二、回归分析的步骤 (3) 三、回归分析的SPSS 操作与数据解释 (12) 一、回归分析的数学模型与假设 总体回归模型（理论模型） β0为常数项，也叫截距。 β1,β2,…,βj 为总体偏回归系数。 βj （j=1,2,…,m ）表示当方程中其它自变量保持常量时，自变量Xj 每增 加（或减少）一个计量单位时，反应变量Y 平均变化βj 个单位。 ε表示去除m 个自变量对Y 影响后的随机误差，也称作残差。 样本回归模型（估计模型） j j x b x b x b b y ++++=Λ22110?就是回归方程。 总体回归与样本回归的区别 假设
古典线性回归模型总是假设 1.误差项ε是一个服从均值为零（零均值）、方差是常数（同方差）正态分布的随机变量，即ε~N(0,2 )，E(ε)=0,且相互独立（残差无自相关）； 2.解释变量x1，x2，…，xk是可以精确观察的普通变量（非随机变量）。 3.解释变量X与随机误差项ε是各自独立对解释变量Y产生影响（残差与自变量无相关）。 多元回归增加的假定：各自变量之间不存在线性关系。在此条件下，自变量观测值矩阵X列满秩
二、回归分析的步骤 （一）画散点图。选择合适的回归方法。初步判定自变量与因变量的关系。 （二）建立回归方程。求出b 0和b j 。 （三）回归方程检验。方程精度检验（R2）、回归系数检验（F检验和T检验） （四）预测。求出总体回归系数β 0和β j. 并求出预测区间。 （一）画散点图 散点图的重要作用 回归分析时，有时R比较明显，达到0.8以上，但是并不表示Y与X之间的关系是线性的，因此进行回归分析时，不能进行简单判断。图示分析方法是最基本、最直观的方法，有助于对数据的内在性质进行准确判断。 例如：下面四图中的数据，计算相关系数差不多都为0.8，但实际却差别巨大。第一图虽然数据比较散，但线性趋势比较模型。第二图模型是曲线趋势。第三图有一个异常点，该点导致直线的斜率发生较大改变。第四图本来没什么趋势，也只是一个异常点的影响使其线性相关系数较大。 后面三图直接进行回归分析都会得出错误的回归模型，不能反映事实。（二）建立回归方程 建立多元线性回归方程同样要根据最佳拟合原则，采用最小二乘法，使所求直线在y轴 上与实际观测值y间的误差平方和Q最小。根据微积分求极值的原理，只需分别对a、求偏导数,令它们等于零,整理后可得标准（正规）方程组。达到最小，其充分必要条件
第六章 SPSS相关分析与回归分析 6.1 相关分析和回归分析概述 客观事物之间的关系大致可归纳为两大类，即 ●函数关系：指两事物之间的一种一一对应的关系，如商品的销售额和销售量之间的 关系。 ●相关关系（统计关系）：指两事物之间的一种非一一对应的关系，例如家庭收入和 支出、子女身高和父母身高之间的关系等。相关关系又分为线性相关和非线性相关。 相关分析和回归分析都是分析客观事物之间相关关系的数量分析方法。 6.2 相关分析 相关分析通过图形和数值两种方式，有效地揭示事物之间相关关系的强弱程度和形式。 6.2.1 散点图 它将数据以点的的形式画在直角坐标系上，通过观察散点图能够直观的发现变量间的相关关系及他们的强弱程度和方向。 6.2.2 相关系数 利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需要完成以下两个步骤： 第一，计算样本相关系数r； ●相关系数r的取值在-1～+1之间 ●R>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表示两变量存在负的线性相关关 系 ●R＝1表示两变量存在完全正相关；r＝-1表示两变量存在完全负相关；r＝0表 示两变量不相关 ●|r|>0.8表示两变量有较强的线性关系；|r|<0.3表示两变量之间的线性关系较 弱 第二，对样本来自的两总体是否存在显著的线性关系进行推断。 对不同类型的变量应采用不同的相关系数来度量，常用的相关系数主要有Pearson简单相关系数、Spearman等级相关系数和Kendall τ相关系数等。 6.2.2.1 Pearson简单相关系数（适用于两个变量都是数值型的数据） Pearson简单相关系数的检验统计量为： 6.2.2.2 Spearman等级相关系数 Spearman等级相关系数用来度量定序变量间的线性相关关系，设计思想与Pearson简 x y，而是利单相关系数相同，只是数据为非定距的，故计算时并不直接采用原始数据(,) i i
第1章 回归分析概述 [教学内容] 变量间的关系；回归方程与回归名称的由来；回归分析的主要内容及其一般模型；建立实际问题回归模型的过程；回归分析应用与发展述评。 [目的和要求]（1）深刻理解和掌握变量间相关关系的定义； （2）何谓回归方程； （3）了解回归分析的主要内容及其一般模型； （4）了解回归分析的应用与发展。 [教学方法] 讲授式、启发式 [教学方式] 板书结合PPT 讲授 [教学过程] 一.变量间的关系 函数关系 1. 是一一对应的确定关系 2. 设有两个变量x 和y ，变量y 随变量x 一起变化，并完全 依赖于x ，当变量x 取某个数值时，y 依确定的关系取相 应的值，则称y 是x 的函数，记为)(x f y =，其中x 称为 自变量，y 称为因变量 3. 各观测点落在一条线上 函数关系(几个例子) ? 函数关系的例子 ? 某种商品的销售额y 与销售量x 之间的关系可表示为px y = (p 为单价) ? 圆的面积S 与半径之间的关系可表示为2 R S π= ? 企业的原材料消耗额Y 与产量1x 、单位产量消耗2x 、原材料价格3x 之间的关系可表示为 321x x x y = 相关关系(correlation) 1. 变量间关系不能用函数关系精确表达 2. 一个变量的取值不能由另一个(或某一些)变量唯一确定 3. 当变量x 取某个值时，变量y 的取值可能有几个 4. 各观测点分布在直线周围
相关关系 (几个例子) 父亲身高x 与子女身高y 之间的关系；收入水平y 与受教育程度x 之间的关系；粮食亩产量y 与施肥量1x 、降雨量2x 、温度3x 之间的关系；商品的消费量y 与居民收入x 之间的关系；商品销售额y 与广告费支出x 之间的关系。 在推断统计中，我们把上述变量间具有密切关联而又不能由某一个或某一些变量唯一确定另外一个变量的关系，称为变量间的统计关系或相关关系。 统计关系的研究 相关分析 回归分析 回归分析与相关分析的区别 1. 相关分析中，变量x 和变量y 处于平等的地位；回归分析中，变量y 称为因变量， 处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 2. 相关分析中所涉及的变量x 和y 都是随机变量；回归分析中，因变量y 是随机变量，自变量x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 3. 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变 量x 对变量y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制 相关关系 (类型) 二.回归方程与回归名称的由来 回归函数：称给定x 时y 的条件数学期望 )|()(x y E x f = （1.1） 为随机变量y 对x 的回归函数。(1.1)式从平均意义上刻画了变量x 与y 之间的统计规律。 样本观测值：),(),,(),,(2211n n y x y x y x (1.2) 建立一个公式 回归方程(regression equation) 1. 描述因变量y 的平均值或期望值如何依赖于自变量x 的方程 2.一元线性回归方程的形式如下 x y E 10)(ββ+= （1.3） ? 方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程 ? 0β是回归直线在y 轴上的截距，是当0=x 时y 的期望值，称为回归常数 {
第6节逐步回归分析 逐步回归分析实质上就是建立最优的多元线性回归方程，显然既实用而应用又最广泛。 逐步回归分析概述 1 概念 逐步回归模型是以已知地理数据序列为基础，根据多元回归分析法和求解求逆紧凑变换法及双检验法而建立的能够反映地理要素之间变化关系的最优回归模型。 逐步回归分析是指在多元线性回归分析中，利用求解求逆紧奏变换法和双检验法，来研究和建立最优回归方程的并用于地理分析和地理决策的多元线性回归分析。它实质上就是多元线性回归分析的基础上派生出一种研究和建立最优多元线性回归方程的算法技巧。主要含义如下： 1）逐步回归分析的理论基础是多元线性回归分析法； 2）逐步回归分析的算法技巧是求解求逆紧奏变换法； 3）逐步回归分析的方法技巧是双检验法，即引进和剔除检验法； 4）逐步回归分析的核心任务是建立最优回归方程； 5）逐步回归分析的主要作用是降维。
主要用途：主要用于因果关系分析、聚类分析、区域规划、综合评价等等。 2 最优回归模型 1）概念 最优回归模型是指仅包含对因变量有显著影响的自变量的回归方程。逐步回归分析就是解决如何建立最优回归方程的问题。 2）最优回归模型的含义 最优回归模型的含义有两点： （1）自变量个数 自变量个数要尽可能多，因为通过筛选自变量的办法，选取自变量的个数越多，回归平方和越大，剩余平方和越小，则回归分析效果就越好，这也是提高回归模型分析效果的重要条件。 （2）自变量显著性 自变量对因变量y 有显著影响，建立最优回归模型的目的主要是用于预测和分析，自然要求自变量个数尽可能少，且对因变量y 有显著影响。若自变量个数越多，一方面预测计算量大，另一方面因n 固定，所以 Q S k n Q →--1 增大，即造成剩余标准差增大，故要求自变量个数要适 中。且引入和剔除自变量时都要进行显著性检验，使之达到最优化状态，
10 相关与回归分析 研究两个或多个变量之间的关系时，常常用到相关分析和回归分析。本章介绍在SPSS 中进行相关分析和回归分析的计算方法。 10.1 双变量相关分析 若两变量是计量资料且均服从正态分布，其相关密切程度可用Pearson积差相关系数（简单相关系数）描述，而等级资料或不满足正态性的计量资料相关性研究是使用Spearman 和Kendall相关系数。在SPSS中，先对两变量作正态性检验，再选择菜单Analyze→Correlate （相关）→Bivariate（两两相关），进行相关分析。 例10-1某研究所研究某种代乳粉的营养价值时，用10只大白鼠作试验，得到大白鼠进食量（g）和增加体重（g）的数据如表10-1，试研究进食量与增加体重的相关关系。 表10-1 大白鼠进食量与增加体重 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 进食量820 780 720 867 690 787 934 679 639 820 增重165 158 130 180 134 167 186 145 120 158 解：首先建立配对格式数据文件如图10-1。 经检验两变量均服从正态分布；选择菜单Analyze→Correlate→Bivariate，弹出Bivariate Correlations对话框，见图10-2；将左边框中的变量x、y送入Variables框中；单击OK。 图10-1 例10-1数据文件图10-2 Bivariate Correlations对话框 图10-2对话框中，Correlation Coefficients（相关系数）框中，Pearson：皮尔逊积差相关系数，系统默认；Kendall’s tau-b：肯德尔等级相关系数；Spearman：斯皮尔曼等级相关系数。若选择Flag significance Correlations（标记显著性），则用“**”、“*”分别表示P≤0.01、0.01＜P≤0.05。 主要结果见图10-3，Pearson相关系数r=0.940、P=0.000＜0.001，可以认为大白鼠进
