第二章回归分析概述
回归分析是寻求隐藏在随机现象中的统计规律的理论和方法，是经济计量学的最基本的方法论基础。讨论回归模型在经典假设条件下的参数估计、假设检验和估计量的统计性质，以及经典假设不完全满足条件下，有关问题的处理是理论经济计量学的任务。为了对回归分析理论和方法有一个全面深入的理解，本章先对回归分析的基本概念和性质予以介绍，在以后各章顺次展开以上问题的讨论。
第一节回归分析的性质
一、“回归”一词的现代含义
回归一词最早是生物统计学家高尔顿（Francis Galton）引入的。高尔顿在对人类身高之类的遗传特性的研究中，发现了他称之为“向平均回归”的现象。虽然客观上存在一种趋势，即父母高，子女也高；父母矮，子女也矮，但是给定父母的身高，子女的平均身高却有“回归”到全体人口的平均身高的倾向。也就是说，尽管父母双亲都异常高或异常矮，而子女的身高却有趋向人口总体平均身高的趋势。高尔顿的普通回归定律也被另一位统计学家皮尔逊（Karl Pearson）证实。高尔顿的兴趣在于发现人口的身高为什么有一种稳定性。这是“回归”一词的初始含义。
然而，对“回归”一词的现代解释却与初始含义有很大不同，其现代含义是回归分析研究一个被解释变量对另一个或多个解释变量的变量依存关系，其用意在于通过后者（在重复抽样中）的已知或设定值，去估计或预测前者的（总体）均值。
比如，对于父母身高与子女身高的关系研究，人们会发现，对于设定的每一个父辈的身高，都有一个儿辈的假想人口总体的身高分布与之对应，随着父辈身高的增加，儿辈的平均身高也增加。若把这种父辈身高与儿辈平均身高的一一对应关系绘制在平面坐标图上，可以得到一条直线，这条直线就叫做回归线，它表明儿辈的平均身高如何随父辈的身高变化。从现代回归的观点出发，人们关心的是给定父辈的身高情况下，如何发现儿辈平均身高的变化。也就是说，人们关心的是一旦知道了父辈的身高，如何估计预测儿辈的平均身高。
经济学家可以利用回归分析研究个人消费支出对其实际可支配收入的依从关系。通过回归分析可估计边际消费倾向（MPC），而边际消费倾向说明人们每增加一个单位的实际可支配收入而引起的消费支出的平均变化。
农业经济学家可利用回归分析研究农作物收成对施肥量，降雨量，气温等的依赖关系。这种分析能使他用给定的解释变量的信息预测或预报农作物的平均收成。
劳动经济学家利用回归分析研究货币工资变化率对失业率的依存关系，著名的菲利普斯曲线就是研究这一依存关系的成果，劳动经济学家经常利用这一曲线预测在给定的某个失业率下货币工资的平均变化。由于工资的增长会引起物价的上涨，因此通过这一曲线还可以研究通货膨胀、关于经济扩张过程方面的问题。
由货币银行学的知识可知，若其它条件不变，通货膨胀率愈高，人们愿意以货币形式保存的收入比例越低。对这种关系作回归分析，使金融学家能够预测在各种通货膨胀率下人们愿意以货币形式保存的平均收入比例。
公司的经理想了解人们对公司产品的需求与广告费开支的关系。对其进行回归分析在很大程度上有助于计算相对于广告费支出的需求弹性，这有助于公司经理制定“最优”的广告费预算。
我们能提供关于一个变量依赖于另一个或多个变量的大量事例。现代回归分析的主要任务，就是用来研究这种变量之间的依从关系的。
二、统计关系与确定关系
在经典物理学中研究的变量之间的关系是函数关系或确定性依赖关系。从上述例子可以看出，回归分析中研究的变量之间的关系都不是函数关系或确定性依赖关系，而是一种所谓的统计依从关系。在变量之间的统计关系中，人们主要处理的是随机变量，也就是具有概率分布的变量。但是在函数或确定性依赖关系中，人们处理的变量是非随机的。统计关系虽然没有函数关系准确，但是它的存在比后者更为广泛，而且非常有用。因为客观社会经济现象中存在的大量统计关系可表示成确定性部分和随机性部分之和，这种统计关系的表示是回归分析的基础。例如农作物收成对施肥量、降雨量、气温的依赖关系是统计性质的。其意义在于：这些解释变量固然重要，但并不能使农业经济学家准确预测作物的收成。一方面，除了上述解释变量外，还有其他影响收成的因素（变量）存在，由于种种原因难于一一识别和测量；另一方面，对这些已考虑的解释变量的测量存在误差。因此，无论我们考虑多少个解释变量，都无法完全解释农作物收成这个应变量。它的一些“内生的”或随机的变异是注定存在的。
但是在确定性现象中，人们利用函数的形式研究表示这样一类变量的依赖关系。比如，
牛顿的引力定律可表示为212(/)F k m m r ，其中F 为引力，1m 和2m 为两个粒子的质量，
r 为距离，而k 为比例常数。其物理意义说明：宇宙间的每个粒子吸引着另一个粒子，其引力与它们的质量乘积成正比，而与它们之间的距离的平方成反比。在物理学中，这类确定性现象的例子很多。如欧姆定律、波依耳的气体定律、克奇霍夫的电流定律和牛顿的运动定律等等。
统计关系与确定性关系有区别，但也有联系。比方说，在牛顿的引力定律中，若k 的测量有误差，则原来的确定性关系就变成了一个统计关系。这时，引力只能按给定的k （还有1m 、2m 和r ）近似地加以预测，于是变量之间的关系由函数关系变为统计关系，变量F 变成了一个随机变量。
三、回归与因果关系
回归分析研究大量的一个变量对一个或一些变量的依赖关系，但是它本身并不揭示和说明这些变量之间是否存在因果关系。对于这些变量代表的事物之间是否存在因果关系，要由研究这些事物的实质性科学来揭示，因果关系的理念，必须来自统计学之外。回归分析可对实质性科学揭示的因果关系给予实证。
比如父辈身高与儿辈身高一例中，我们没有任何统计上的理由可以认为父辈身高不依赖于儿辈身高，人们之所以把儿辈身高作为依赖于父辈身高的被解释变量，是出于非统计上的考虑，常识告诉我们不能把这种关系颠倒过来。若从统计的角度，把儿辈身高作为解释变量而把父辈身高作为被解释变量进行回归，可能得到一个很强的统计关系式，但不能由此得到一个合乎逻辑的解释，更不能得出儿辈的高矮是父辈高矮的原因的荒谬结论。也就是说，从
逻辑上看，统计关系式本身不说明任何因果关系。事物之间的因果关系，必须依赖先验的或理论上的思考或揭示。
四、回归分析与相关分析
以测度两个变量之间的线性关联程度为其主要目的的相关分析，虽然与回归分析具有密切的关联，然而在概念上却迥然不同。第3章中我们将要讨论的相关系数就是用来测度变量（线性）相关程度的指标。在现实中，也许我们对家庭的消费支出与家庭的可支配收入，农作物的收获率与降雨量，产品的产出量与劳动和资本的投入量，人的身高与体重，学生的统计学成绩与数学成绩，吸烟的时间与肺癌的发病率等等之间的相关性感兴趣，计算它们的相关系数，进行相关分析。但在回归分析中，我们对这种度量并无太大的兴趣，感兴趣的是根据其它变量的设定值来估计或预测某一变量的平均值。比如，也许人们想知道是否能依据一个家庭的可支配收入去预测具有相同可支配收入家庭的平均消费支出。
回归分析和相关分析之间存在一些基本的区别。在回归分析中，被解释变量与解释变量的处理方法上存在不对称性。被解释变量是随机变量，具有概率分布，而解释变量则是非随机的，在重复抽样中取固定值。但在相关分析中，我们对称地对待任何（两个）变量；两个变量都被看作是随机的，没有被解释变量与解释变量的区分，大部分相关理论都建立在变量的随机性假定上。而回归理论大部分都以下述假定为条件：即被解释变量是随机的，而解释变量是非随机的。所以，同样两个变量，根据理论分析，可以拟合两个意义不同的回归方程，但只能计算一个相关系数。比如我们可以拟合以人的身高为被解释变量，以人的体重为解释变量的回归模型；也可以反过来以人的体重作为被解释变量，而以人的身高作为解释变量的回归模型，但人的身高和体重之间只可计算一个相关系数。
相关分析与回归分析之间也存在一些基本的联系。一般在回归分析之前，要对涉及的变量进行相关分析（定性的、定量的分析），确定有相关关系时，才进一步作回归分析。因此可以说相关分析是回归分析的前提，回归分析是相关分析的深化。
第二节回归分析的基本概念
一、总体回归线
上一节指出，回归分析就是要根据解释变量的已知或给定值，去估计或预测被解释变量的（总体）均值。为了弄清楚其实质含义，考虑下面的例子。
例2.2.1 假想一个人口总体由100户家庭组成。若我们要研究家庭人均月消费支出Y与人均月可支配收入X之间的关系，也就是说，知道了家庭的人均月可支配收入，预测其人均月消费支出的（总体）平均水平。表2.1给出了人为的数据，将100户家庭按照其人均可支配收入大小从小到大划分为10个组，每组只给出人均可支配收入的组中值。
表2.1 假想总体月家庭人均可支配收入和消费支出 单位：元
表2.1应做如下的解释：对应于每个纵列的给定组中值收入水平X ，都有一个消费支出Y 的总体分布，也就是说，它给出了以X 的给定值为条件的Y 的总体条件分布。比如，对应于每月1000元的人均可支配收入，具有9户家庭的月人均消费支出（590元，657元，
，989元）构成的总体条件分布。同时我们也容易算出给定X 的Y 的条件概率(|)P Y X 。例如，当X ＝1000，得到这些消费支出中任一个的条件概率均为1/9。用符号表示为(590|1000)1/9P Y X ===等等。同理，(1564|3000)1/12P Y X ===，等等。
对于Y 的每一条件概率分布，我们都能算出它们的条件均值或条件期望值（conditional expected values ） ，记做(|)i E Y X X =。例如(|2000)E Y X =1468,=(|3000)E Y X = 2128=，等等。
实际上我们根据表2.1的数据可绘制图2.1的散点图，观察此散点图可以发现，虽然每个个别家庭的人均消费支出都有变异，但图2.1依然清楚地表明随着收入的增加，消费支出平均说来也在增加，也就是说Y 的条件均值随X 的增加而增加。若将图中粗圆点代表的Y 的各个条件均值连起来，可以看出，这些条件均值落在一条有正斜率的直线上。这条直线称为总体回归曲线（population regression curve ），简称为总体回归线（population regression line, PRL ）。它表示Y 对X 的回归。
图2.1 不同收入水平下消费支出的条件分布及其总体回归线
在几何意义上，总体回归曲线就是当解释变量取给定值时被解释变量的条件均值或期望值的轨迹。它表明对每一i X 值都有Y 值的一个总体（假定服从正态分布）和一个相应的条件均值。而总体回归曲线（或直线）就是通过这些条件均值的连线。
二、总体回归函数
由图2.1可以清楚地看出，每一条件均值(|)i E Y X X =都是i X 的一个函数，即有： (|)(|)()i i i E Y X X E Y X f X === (2.2.1) 其中()i f X 表示解释变量i X 的某个函数（在我们的人为例子中，(|)i E Y X 是i X 的一个线性函数）。式(2.2.1)被称为总体回归函数（population regression function, PRF ）或简称为总体回归（PR ）。它仅仅表明在给定i X 下Y 的（总体）分布均值与i X 有函数关系。换句话说，它表明Y 的均值或平均响应是怎样随X 而变化的。
函数()i f X 采取什么形式是一个十分重要的问题。因为在实际情况中我们一般无法得到全部总体的观测值来做分析研究。因此，PRF 的形式设定是一个经验方面的问题。或许经济理论会有所提示，但理论的提出需经过实证检验。例如，根据经济理论分析，可以认为人们的消费支出与可支配收入有线性关系，作为一个初次逼近或一个暂行的假设，可以设定PRF (|)i E Y X 是i X 的线性函数，其形式为
12(|)i i E Y X X ββ=+ (2.2.2)
其中1β和2β未知，然而是固定的参数，称为回归系数（regressive coefficients ），1β称为截距(intercept)，2β称为斜率系数(slope coefficient)。式(2.2.2)称为线性总体回归函数或简称线性总体回归，有时也称为线性总体回归模型。
但是，如果我们把人均食品消费支出与人均可支配收入的关系也设定为线性回归函数，可能就不符合恩格尔定律的描述，还需要经验的帮助和实证的检验。
在回归分析中，我们的兴趣在于估计像式(2.2.2)那样的PRF ，也就是说，根据Y 和X 的样本观测值估计未知的参数1β和2β。该问题将在第3章展开讨论。
三、“线性”一词的含义
描述统计关系的回归模型在数学形式上有线性和非线性之分。但是，在回归分析中，“线性”一词的含义可作两种解释。
对线性的第一种解释也许是更“自然”的解释是，Y 的条件期望(|)i E Y X 是i X 的线性函数。比如说，如同式(2.2.2)那样的形式。从几何意义上说，这时回归曲线是一条直线。
按照这种解释，诸如212(|)i i E Y X X ββ=+，112(|)i i E Y X X ββ-=+等，就不是线性
函数。
对于线性的第2种解释是，Y 的条件期望(|)i E Y X 是诸参数12,ββ的线性函数；它可
以是也可以不是变量X 的线性函数。对于这种解释，212(|)i i E Y X X ββ=+和
112(|)i i E Y X X ββ-=+都是线性回归模型，而1(|)i i E Y X β=则不是，后者（对参数而言）是非线性回归模型的一个例子。
在两种线性的解释中，对于我们即将展开讨论的回归理论来说，主要考虑的是对参数为线性的情形，也就是说，从现在起，“线性”回归一词总是指对参数为线性的一种回归，即参数总是以它的一次方出现。对解释变量X 则可以是也可以不是线性的。划分的标准是回归模型的条件期望(|)i E Y X 关于参数的导数是否与参数有关，即期望函数关于参数的一阶导函数是否仍然是参数的函数。若不是，则称该回归模型是线性回归函数，若是，则称为非线性回归函数。
四、总体回归函数的随机设定
1、PRF 的随机设定
由表2.1和图2.1清楚地看出，随着人均可支配收入的增加，家庭人均消费支出平均地说也增加。然而对于每一个家庭来说却并非如此，某些个别家庭的人均消费支出却没有随人均可支配收入的增加而增加。例如，从表2.1可以观察出，对应于每月2500元的收入水平，有一户家庭的消费支出是1357元，不仅少于每月收入仅为2000元家庭的平均消费支出1468元，而且比该收入水平的大部分家庭的消费支出都少。但是我们必须看出，每月人均可支配收入2500元的家庭的平均消费支出比每月人均可支配收入2000元的家庭的平均消费支出多
330元。那么，个别家庭的消费支出与给定收入水平之间有什么关系呢？
由图2.1可以看出，给定收入水平i X 的个别家庭的消费支出聚集在收入为i X 的所有家庭的平均消费支出（条件期望值）的周围。因此，我们可以把个别的i Y 表示成它的条件期望值加上它与条件期望值的离差的和，即有：
(|)i i i Y E Y X u =+ (2.2.3)
其中离差i u 是一个不可观测的可正可负的随机变量，因此我们又把它称为随机干扰（stochastic disturbance ）或随机误差（stochastic error ）项。
式(2.2.3)中右边第一项(|)i E Y X 代表相同收入水平的所有家庭的平均消费支出，这部分称为确定性或系统性成分；第二项i u 称为随机或非系统成分，假定它是所有可能影响Y 的但又未能包含到回归模型中的被忽略变量的替代（surrogate ）或代理（proxy ）变量。 假定(|)i E Y X 是i X 的线性函数，如式(2.2.2)，方程(2.2.3)可写为：
(|)i i i
Y E Y X u =+ 12i i X u ββ=++ (2.2.4)
方程式(2.2.4)表示，一个家庭的消费支出，线性地依赖于它的收入另加随机干扰项。如果对式(2.2.3)的两边取条件期望，就得出：
(|)[(|)](|)i i i i i E Y X E E Y X E u X =+
(|)(|)i i i E Y X E u X =+ (2.2.5)
因为(|)i i E Y X 就是(|)i E Y X ，所以由式(2.2.5)推出：
(|)0i i E u X = (2.2.6)
由此可见，如果(|)0i i E u X =，则式(2.2.2)与式(2.2.4)等价。但式(2.2.4)有其优点，即它清楚地表示，除收入外，还有影响消费支出的其他变量。我们不能单凭回归模型中含有的（一个或多个）变量就能完全解释个别家庭的消费支出。
2、随机干扰项的意义
我们为什么要把回归模型构造成式（2.2.4）那样的形式，不把所有的解释变量引进模型中，构造一个含有尽可能多的解释变量的回归模型，而把从模型中省略下来而又集体地影响着Y 的全部变量用随机干扰项作为代替？随机干扰项的意义何在？可能的解释是多方面的。
（1）理论的不完备性。在构造回归模型时，即便有决定Y 的行为理论的指导，但由于人们认识的局限性，理论常常是不完备的。对于有些影响因素或者没有认识到或者有所认识但不确定。因此不妨用i u 作为模型所排除或忽略的全部变量的代替变量。
（2）数据的缺失。在构造回归模型时，有些重要的变量被认识到了但由于不可观测或其他原因不得不被省略掉。在经验研究中，得不到想要的数据是司空见惯的事。比如，从经济原理来讲，除收入外，家庭财富也是影响家庭消费支出的重要变量，但是家庭财富的数据往往难以获得。因此，我们不得不把家庭财富这个变量用随机误差项来代替。
（3）周边变量的联合效应的随机化处理。比如在我们的消费——收入例子中，除了核心变量收入外，影响家庭消费支出的还有诸如家庭人口数，户主的性别，宗教信仰，受教育程度等也影响消费支出。但相对于核心变量收入，它们对消费支出的影响是微小的，所以称为周边变量。这些周边变量的全部合起来的影响是如此之小，充其量是一种非系统的或随机的影响。从实际以及成本上考虑，把它们引入模型是不划算的。所以把它们的联合效应当作一个随机变量归入随机干扰项中来处理。
（4）人类行为的内在随机性。即使模型中包含了所有的有关变量，在个别的Y中仍难免有一些“内在”的随机性，比如家庭主妇在购物时经常要受到情绪和购物环境的影响，随机干扰项也许能很好地反映这种随机性。
（5）变量的测量误差。在搜集和整理变量数据过程中会存在测量误差，这种真实值与观测值之间的误差是客观存在的。这时干扰项又可用来代表测量误差。
（6）节省性原则。如果我们能用尽可能少的重要解释变量就基本解释了被解释变量Y的行为，那么我们为什么要舍简单而求复杂呢？把大量不重要的解释变量归入随机误差项就体现了这种节省性原则。
（7）模型关系式设定不正确。即使我们能在理论的指导下正确地选择变量，并且能够获得这些变量的数据，但是我们常常不知道被解释变量与解释变量之间的真实函数关系式。在双变量模型中，人们或许能从样本的散点图来判断总体的函数形式，而在多变量回归模型中，这种多维空间的散点图的形式是难以描述和想象的，要决定适当的函数形式也是不容易的。
五、系统误差与随机误差
在回归分析中区分系统性误差和随机性误差是十分重要的。因为在回归模型及其估计中若只存在随机误差，则在大量重复观测或试验时其平均趋势会稳定在回归模型的期望函数上，从而说明该模型的设定是正确的；若在回归模型及其估计中含有系统误差，则在大量重复的观测或试验中其平均趋势不会稳定在回归模型的期望函数上，说明模型设定有错误。
系统性误差是由系统因素产生的误差。所谓系统因素是指哪些对被解释变量作用较显著，作用方向稳定，重复观测或试验也不可能相互抵消的因素。一般来说，应把系统因素尽可能作为解释变量引入模型，而不应将其归入随机误差项。
随机误差则是指由随机因素形成的误差。所谓随机因素，是指哪些对被解释变量的作用不明显，其作用方向不稳定（时正时负），在重复观测或试验中，正负作用可以互相抵消的因素。随机因素应尽可能归入随机误差项。
六、样本回归函数
直到现在，我们讨论的问题一直局限在与固定X值相对应的Y值的总体上，但在大多数的实际问题中，我们并不掌握总体的信息，我们仅有对应于某些固定X的Y值的一个样本，我们必须面对抽样的问题。现实的任务就是要用样本的信息估计PRF。
如果我们并不知道表2.1中的总体数据，我们仅有的信息是从表2.1总体数据中抽出的
一个随机样本。表2.2列出从表2.1总体中抽出的两个随机样本资料。
现在的问题是我们能用表2.2中的一个随机样本提供的信息估计PRF 吗？由于抽样误差的存在，我们未必能“准确”估计PRF 。为说明这一点，我们利用表2.2的样本数据可以得出图 2.2表示的两个散点图。在散点图中分别画两条线以尽可能好地拟合这些散点，由1SRF 和2SRF 分别表示的这两条直线就称作样本回归线（sample regressive line ）。那么这两条回归线中的哪一条代表“真实”的总体回归线呢？在“真实”总体并不知晓的情况下，我们不可能有绝对的把握说两条样本回归线的哪一条可以更好地代表真实的总体回归线。由于抽样的原因，它们最多也不过是真实PRL 的一个逼近。一般来说，从N 个不同的样本，会得到N 个不同的样本回归线。
图2.2 两个不同样本的回归线
类似于总体回归线有一个总体回归函数PRF 相对应，每一个样本回归线也有一个相对应的样本回归函数(sample regressive function, SRF)。类似于(2.2.2)式，样本回归函数关系式可表示为：
?i Y 1?β=2?i X β+ (2.2.7)
其中?i Y 为(|)i E Y X 的估计量，1
?β和2?β分别为1β和2β的估计量。 估计量（estimator ）又称（样本）统计量（statistic ），指的是一个规则或公式或方法，它告诉人们如何利用得到的样本信息去估计总体参数。根据样本信息估计计算的估计量的具体数值称作估计值（estimate ）。
如同PRF 可以表示成式(2.2.2)和式(2.2.4)两种等价的形式一样，我们也可以把SRF 式(2.2.7)表示成它的随机形式：
i Y 1?β=2?i X β+?i u + (2.2.8)
其中?i u
表示（样本）残差或剩余（residual ）项。我们可以把?i u 当作i u 的估计量，把它引入SRF 中和把i u 引入PRF 中是一样的理由。
在现实中，我们不可能把所研究总体的所有可能样本都得到，往往得到的是总体的某一个样本。我们的目的是如何依据该样本的信息，用SRF
i Y 1?β=2?i X β+?i u + (2.2.8)
来估计PRF
12i i i Y X u ββ=++ (2.2.4) 然而由于抽样，抽样误差必然存在，根据SRF 估计出来的PRF 充其量是一个近似结果。图
2.3（扫描）对此作了解释。
对于i X X =，我们有一个观测值i Y Y =。利用SRF 可以将其表示为：
??i i
i Y Y u =+ (2.2.9) 而通过PRF ，又可将其表示为
(|)i i i Y E Y X u =+ (2.2.10)
根据图2.3中示意的?,i i
X Y 明显过高估计了真实的(|)i E Y X ；进一步看出，对A 点以左的任何i X ，SRF 过低估计了真实的PRF ；然而对于A 点以右的任何i X ，却有相反的结果。不仅如此，我们还可以看到1β被低估和2β被高估的情形。只要是用抽取的样本对总体函数进行估计，存在这种高估和低估的情形就不可避免。然而我们想知道能否设计一种规则或方法，虽然在每次的样本估计中这种高估和低估不可避免？但是从反复抽样的角度，这种
高估和低估平均说来越小越好。也就是说，怎样构造SRF 才能使1
?β和2?β尽可能地“接近”
真实的1β和2β，尽管真实的1β和2β永远不得而知。显然这是一项极具挑战性的工作。我们在第三章回答这些问题。
本章要点与结论
1、回归分析的主要用途是分析应变量对一个或多个解释变量的统计依赖性，分析的目的是在解释变量已知或固定值的基础上估计或预测应变量的均值。
2、变量之间的因果关系要由实质性科学确定，回归分析只能证实这种因果关系的存在，而不能确立这种因果关系。
3、回归分析与相关分析既有联系又有区别。相关分析是回归分析的前提，回归分析是相关分析的深化。
3、作为回归分析基础的主要概念是总体回归函数。回归分析的目的就是要揭示因变量的均值如何随给定解释变量的变化而变化。
4、本书研究的线性总体回归函数PRF ，是对未知参数为线性的回归。这些回归函数对应变量和自变量来说，可以是也可以不是线性的。
5、在总体回归函数PRF 的估计中，随机干扰项起着关键的作用。
6、PRF 是一个理想化的概念。现实中，很少能知道所研究的总体的真实情况，通常只拥有对这个总体的观测值的一个随机样本，因此要用样本回归函数SRF 去估计PRF ，然而由于抽样的原因，用样本回归函数SRF 估计PRF 客观上存在抽样误差，问题关键是如何在反复的抽样中，能使他们的抽样误差平均说来最小。
测试题 1．下列说法中错误的是（） A．如果变量x与y之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点（i=1，2，3，…， n）将散布在一条直线附近B．如果两个变量x与y之间不存在线性相关关系，那么根据试验数据不能写出一个线性方程。 C．设x，y是具有线性相关关系的两个变量，且回归直线方程是，则叫回归系数 D．为使求出的回归直线方程有意义，可用线性相关性检验的方法判断变量x与y之间是否存在线性相关关系 2．在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别是（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y与 x之间的回归直线方程是（） A．B． C．D． 3．回归直线必过点（） A．（0，0）B． C． D． 4．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是（） A．预报变量在轴上，解释变量在轴上 B．解释变量在轴上，预报变量在轴上 C．可以选择两个变量中任意一个变量在轴上 D．可以选择两个变量中任意一个变量在轴上 5．两个变量相关性越强，相关系数r（） A．越接近于0 B．越接近于1 C．越接近于－1 D．绝
对值越接近1 6．若散点图中所有样本点都在一条直线上，解释变量与预报变量的相关系数为（） A．0 B．1 C．－1 D．－1或1 7．一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，数据如下表： 年龄（岁）3456789 身高（94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.0由此她建立了身高与年龄的回归模型，她用这个模型预测儿子10岁时的身高， 则下面的叙述正确的是（） A．她儿子10岁时的身高一定是145.83 B．她儿子10岁时的身高在145.83以上 C．她儿子10岁时的身高在145.83左右 D．她儿子10岁时的身高在145.83以下 8．两个变量有线性相关关系且正相关，则回归直线方程中， 的系数（） A．B．C．D． 能力提升： 9．一个工厂在某年每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下数据：
定量分析概论部分习题 一、下列情况引起的误差属于哪种误差，如果是系统误差，如何减免？ 1.天平盘被腐蚀 2.天平零点有微小波动 3.读数时，发现标尺有些漂移 4.试剂中含有微量杂质干扰主反应 5.试剂中还有微量待测组分 6.待测液未充分混均 7.滴定管读数最后一位估读不准 8.滴定管刻度不均匀 9.测量过程中，电压温度的波动 10.滴定过程中，滴定剂不慎滴在台面上 二、根据有效数字修约规则，将下列数据修约到小数点后第三位。 3.1415926；0.51749；15.454546；0.378502；7.6915； 2.3625 三、根据有效数字运算计算下式。 1.50.2＋ 2.51－0.6581＝？（52.1） 2.0.0121×25.66×2.7156＝？（0.114） 3. 20.0014.39162.206 0.0982 100.03 100%? 1.4182 - ?? ?? ? ???= （21.0％） 4. 1.187×0.85＋9.6×10－3－0.0326×0.00824÷2.1×10－3＝？（0.9） 四、滴定结果的计算 1.以间接法配制0.1mol·L-1的盐酸溶液，现用基准物质Na2CO3标定。准确称取基准试剂 Na2CO30.1256g，置于250mL锥形瓶中，加入20～30mL蒸馏水完全溶解后，加入甲基橙指示剂，用待测HCl标准溶液滴定，到达终点时消耗的体积为21.30mL，计算该HCl 标准溶液的浓度。（0.1113 mol·L-1） 2.测某试样中铝的含量，称取0.1996g试样，溶解后加入c(EDTA)=0.02010 mo l·L-1的标准 溶液30.00mL，调节酸度并加热使Al3＋完全反应，过量的EDTA标准溶液用c(Zn2＋)=0.02045 mo l·L-1标准溶液回滴至终点，消耗Zn2＋标准溶液6.00mL。计算试样中Al 2 O3的质量分数。（12.27％） 3.称取基准物质K2Cr2O70.1236g用来标定Na2S2O3溶液。首先用稀HCl完全溶解基准物质 K2Cr2O7后，加入过量KI，置于暗处5min，待反应完毕后，加入80mL水，用待标定的Na2S2O3溶液滴定，终点时消耗Na2S2O3溶液21.20mL，计算c(Na2S2O3)。（0.1189 mo l·L-1）4.称取1.0000g过磷酸钙试样，溶解并定容于250ml容量瓶中，移取25.00mL该溶解，将 其中的磷完全沉淀为钼磷酸喹啉，沉淀经洗涤后溶解在35.00mL0.2000 mo l·L-1NaOH中，反应如下： (C9H7N3)3·H3[P(Mo3O10)4]＋26OH－＝12MoO42－＋HPO42－＋3C9H7N3＋14H2O 然后用0.1000 mo l·L-1HCl溶液滴定剩余的NaOH，用去20.00mL，试计算（1）试样中水溶性磷（也称有效磷）的百分含量；（2）有效磷含量若以w(P2O5)表示则为多少？（5.96％； 13.65％）
定量分析方法重点 整理 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1、公共管理：是一门研究公共组织尤其是政府组织的管理活动及其规律的学科。公共管理研究的内容：①公共组织的结构、功能、环境和运行机制； ②行政管理体制改革、中央与地方的关系；③市场经济条件下政府的职能与作用、政府与市场、政府与企业、政府与社会的关系；④公共人力资源的开发与利用；⑤公共管理中的规划、计划与决策、监督与控制，公共项目评估，行政立法、司法和执法；⑥公共信息管理和咨询服务；⑦财政管理、教育管理、科技管理和文化管理。 2、定量分析方法的主要内容 系统模型与系统分析、线性回归预测分析、社会调查程序与方法、统计分析方法、线性回归预测分析、马尔可夫预测方法、投入产出分析方法、最优化方法（线性规划、运输问题、动态规划、资源分配问题）、评价分析方法、层次分析法、对策论、风险型决策与多目标决策、管理系统模拟、排队论、系统动力学方法、网络计划方法 3、为什么在系统分析中广泛使用系统模型而不是真实系统进行分析？人类认识和改造客观世界的研究方法，一般有实验法和模型法。实验法是通过对客观事物本身直接进行科学实验来进行研究的，因此局限性比较大。公共管理问题大多是难以通过实验法直接进行研究，广泛使用系统模型还基于以下五个方面的考虑：①系统开发的需要只能通过建造模型来对系统或体制的性能进行预测；②经济上的考虑对复杂的社会经济系统直接进行实验，成本十分昂贵；③安全性、稳定性上的考虑对有些问题通过直接实验进行分析，往往缺乏安全性和稳定性，甚至根本不允许；④时间上的考虑使用系统模型很快就可得到分析结果；⑤系统模型容易操作，分析结果易于理解 4、系统分析的要点和步骤 要点(1)任务的对象是什么即要干什么(what)； (2)这个任务何以需要即为什么这样干(why)； (3)它在什么时候和什么样的情况下使用即何时干(when)； (4)使用的场所在哪里即在何处干(where)； (5)是以谁为对象的系统即谁来干(who)； (6)怎样才能解决问题即如何干(how)。步骤 (1)明确问题与确定目标。当一个有待研究分析的问题确定以后，首先要对问题进行系统的合乎逻辑的阐述，其目的在于确定目标，说明问题的重点与范围，以便进行分析研究。 (2)搜集资料，探索可行方案。在问题明确以后，就要拟定解决问题的大纲和决定分析方法，然后依据已搜集的有关资料找出其中的相互关系，寻求解决问题的各种可行方案。 (3)建立模型。为便于对各种可行方案进行分析，应建立各种模型，借助模型预测每一方案可能产生的结果，并根据其结果定性或定量分析各方案的优劣与价值。(4)综合评价。利用模型和其他资料所获得的结果，对各种方案进行定性与定量相结合的综合分析，显示出每一种方案的利弊得失和效益成本，同时考虑到各种有关因素，如政治、经济、军事、科技、环境等，以获得对所有可行方案的综合评价和结论。（5）检验与核实。 5、简述霍尔三维结构与切克兰德“调查学习”模式之间的区别。 1）霍尔三维结构将系统的整个管理过程分为前后紧密相连的六个阶段和七个步骤，并同时考虑到为完成这些阶段和步骤的工作所需的各种专业管理知识。三维结构由时间维、逻辑维、知识维组成。霍尔三维结构适用于良结构系统，即偏重工程、机理明显的物理型的硬系统。2）切克兰德“调查学习”模式的核心不是寻求“最优化”，而是“调查、比较”或者说是“学习”，从模型和现状比较中，学习改善现存系统的途径，其目的是求得可行的满意解。适用于不良结构系统，偏重社会、机理尚不清楚的生物型的软系统。3）处理对象不同：前者为技术系统、人造系统，后者为有人参与的系统；4）处理的问题不同：前者为明确、良结构，后者为不明确，不良结构；5）处理的方法不同：前者为定量模型，定量方法，后者采用概念模型，定性方法；6）价值观不同：前者为一元的，要求优化，有明确的好结果（系统）出现，后者为多元的，满意解，系统有好的变化或者从中学到了某些东西。
第二章回归分析概述 回归分析是寻求隐藏在随机现象中的统计规律的理论和方法，是经济计量学的最基本的方法论基础。讨论回归模型在经典假设条件下的参数估计、假设检验和估计量的统计性质，以及经典假设不完全满足条件下，有关问题的处理是理论经济计量学的任务。为了对回归分析理论和方法有一个全面深入的理解，本章先对回归分析的基本概念和性质予以介绍，在以后各章顺次展开以上问题的讨论。 第一节回归分析的性质 一、“回归”一词的现代含义 回归一词最早是生物统计学家高尔顿（Francis Galton）引入的。高尔顿在对人类身高之类的遗传特性的研究中，发现了他称之为“向平均回归”的现象。虽然客观上存在一种趋势，即父母高，子女也高；父母矮，子女也矮，但是给定父母的身高，子女的平均身高却有“回归”到全体人口的平均身高的倾向。也就是说，尽管父母双亲都异常高或异常矮，而子女的身高却有趋向人口总体平均身高的趋势。高尔顿的普通回归定律也被另一位统计学家皮尔逊（Karl Pearson）证实。高尔顿的兴趣在于发现人口的身高为什么有一种稳定性。这是“回归”一词的初始含义。 然而，对“回归”一词的现代解释却与初始含义有很大不同，其现代含义是回归分析研究一个被解释变量对另一个或多个解释变量的变量依存关系，其用意在于通过后者（在重复抽样中）的已知或设定值，去估计或预测前者的（总体）均值。 比如，对于父母身高与子女身高的关系研究，人们会发现，对于设定的每一个父辈的身高，都有一个儿辈的假想人口总体的身高分布与之对应，随着父辈身高的增加，儿辈的平均身高也增加。若把这种父辈身高与儿辈平均身高的一一对应关系绘制在平面坐标图上，可以得到一条直线，这条直线就叫做回归线，它表明儿辈的平均身高如何随父辈的身高变化。从现代回归的观点出发，人们关心的是给定父辈的身高情况下，如何发现儿辈平均身高的变化。也就是说，人们关心的是一旦知道了父辈的身高，如何估计预测儿辈的平均身高。 经济学家可以利用回归分析研究个人消费支出对其实际可支配收入的依从关系。通过回归分析可估计边际消费倾向（MPC），而边际消费倾向说明人们每增加一个单位的实际可支配收入而引起的消费支出的平均变化。 农业经济学家可利用回归分析研究农作物收成对施肥量，降雨量，气温等的依赖关系。这种分析能使他用给定的解释变量的信息预测或预报农作物的平均收成。 劳动经济学家利用回归分析研究货币工资变化率对失业率的依存关系，著名的菲利普斯曲线就是研究这一依存关系的成果，劳动经济学家经常利用这一曲线预测在给定的某个失业率下货币工资的平均变化。由于工资的增长会引起物价的上涨，因此通过这一曲线还可以研究通货膨胀、关于经济扩张过程方面的问题。 由货币银行学的知识可知，若其它条件不变，通货膨胀率愈高，人们愿意以货币形式保存的收入比例越低。对这种关系作回归分析，使金融学家能够预测在各种通货膨胀率下人们愿意以货币形式保存的平均收入比例。
第一章定量分析概论 习题一 1.将下列数据修约为两位有效数字 =3.664 3.667；3.651；3.650；3.550；3.649；pK a 解：3.7；3.7；3.6；3.6；3.6；3.66 2.根据有效数字运算规则计算下列结果： （1）2.776+36.5789－0.2397+6.34 （2）（3.675×0.0045）－(6.7×10-2)+(0.036×0.27) （3）50.00×（27.80－24.39）×0.1167 1.3245 解：（1）45.46；（2）－0.040；（3）15.1 3. 测定镍合金的含量，6次平行测定的结果是3 4.25%、34.35%、34.22%、34.18%、34.29%、34.40%，计算 （1）平均值；中位值；平均偏差；相对平均偏差；标准偏差；平均值的标准偏差。 （2）若已知镍的标准含量为34.33%，计算以上结果的绝对误差和相对误差。解：（1）34.28%；34.27%；0.065%；0.19%；0.082%；0.034% （2）－0.05%；；－0.15%
4. 分析某试样中某一主要成分的含量，重复测定6次，其结果为49.69%、50.90%、 48.49%、51.75%、51.47%、48.80%，求平均值在90%、95%和99%置信度的置 信区间。 解：置信度为90%的置信区间μ=（50.18±1.15）% 置信度为95%的置信区间μ=（50.18±1.46）% 置信度为99%的置信区间μ=（50.18±2.29）% 14.用某法分析汽车尾气中SO 含量（%），得到下列结果：4.88，4.92，4.90， 2 4.87，4.86，4.84，4.71，4.86，4.89，4.99。 （1）用Q检验法判断有无异常值需舍弃？ （2）用格鲁布斯法判断有无异常值需舍弃？ 解：（1）无 （2）4.71、4.99应舍去 第二章滴定分析 习题二 1.市售盐酸的密度为1.19g/mL,HCl含量为37%，欲用此盐酸配制 500mL0.1mol/L的HCl溶液，应量取市售盐酸多少毫升？（4.15mL） 2.已知海水的平均密度为1.02g/mL,若其中Mg2+的含量为0.115%，求每升海 水中所含Mg2+的物质的量n(Mg2+)及其浓度c（Mg2+）。取海水2.50mL，以蒸馏水稀释至250.0mL，计算该溶液中Mg2+的质量浓度。（0.04888mol、 0.04888mol/L、0.01173 g/L） 3.有一氢氧化钠溶液，其浓度为0.5450mol/L，取该溶液100.0mL，需加水多 少毫升方能配成0.5000mol/L的溶液？（9.0mL）
第五章。定量分析概论 一、选择题：（在题后所附答案中选择正确答案代号填入括号中） 1、定量分析的任务是（） a:测定物质的含量； b: 测定物质中的组成； c: 测定物质的组成及含量； d: 测定物质的有关组分的含量； 2、下列论述中错误的是：（） a:方法误差属于系统误差； b: 系统误差不包括操作误差； c: 系统误差呈正态分布 d: 系统误差又称为可测定误差； ３、滴定分析中出现下列情况，导致产生系统误差的是：（） a:滴定时有溶液溅出； b:所有试剂含有干扰离子； c:试样未经充分混匀； d:砝码读错了。 ４、下列措施中，能减少偶然误差的是（） a:增加平行测定次数； b:进行空白实验； c:进行对照实验； d:进行仪器校准。 ５、下列有关偶然误差的论述不正确的是（） a:偶然误差具有单向性。 b:偶然误差具有随机性； c: 偶然误差的数值大小、正负出现的机率是相等的； d: 偶然误差是由一些不确定的偶然因素造成的。 ６、下列有关偶然误差正态分布曲线特点的论述中不正确的是（） a:曲线与横坐标间所夹的面积的总和，代表所有测定值出现的机率； b:横坐标x值等于总体平均值u时，曲线有极大值； c:曲线呈对称钟形，两头小中间大，说明小误差出现机率大，大误差出现机率小； d:曲线以u值的横坐标为中心呈镜面对称，说明正、负误差出现的几率相等。 ７、下列论述中，正确的是（） a:进行分析时，过失误差是不可避免的； b:精密度高，准确度一定高； c: 准确度高，一定需要准确度高； d: 准确度高，系统误差一定小。 ８、定量分析要求测定结果的误差（） a:愈小愈好；b:等于零； c:略大于允许误差；d: 在允许误差范围内。 ９下列各项定义中不正确的是（） a:绝对误差是测定值与真实值之差； b:相对误差是绝对误差在真实结果中所占百分率 c:偏差是指测定结果与平均结果之差；
实用回归分析第四版 第一章回归分析概述 1.3回归模型中随机误差项ε的意义是什么？ 答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。 1.4 线性回归模型的基本假设是什么？ 答：线性回归模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^2 3.正态分布的假定条件为相互独立。 4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p. 第二章一元线性回归分析 思考与练习参考答案 2.1一元线性回归有哪些基本假定? 答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量； 假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi)=0 i=1,2, …,n
Var (εi)=σ2i=1,2, …,n Cov(εi,εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关： Cov(X i, εi)=0 i=1,2, …,n 假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i=0 。 证明： 其中： 即：∑e i =0 ，∑e i X i=0 2.5 证明 ?β是β0的无偏估计。 证明：) 1 [ ) ? ( ) ?( 1 1 1 0∑ ∑ = = - - = - = n i i xx i n i i Y L X X X Y n E X Y E Eβ β )] )( 1 ( [ ] ) 1 ( [ 1 1 1 i i xx i n i i xx i n i X L X X X n E Y L X X X n Eε β β+ + - - = - - =∑ ∑ = = 1 1 ) ( ) 1 ( ] ) 1 ( [β ε β ε β= - - + = - - + =∑ ∑ = = i xx i n i i xx i n i E L X X X n L X X X n E 2.6证明 证明： ∑ ∑+ - = - = n i i i n i X Y Y Y Q 1 2 1 2 1 )) ? ?( ( )? (β β 01 ?? ?? i i i i i Y X e Y Y ββ =+=- () ) 1 ( ) 1 ( ) ?(2 2 2 1 2 2 xx n i i L X n X X X n Var+ = - + = ∑ = σ σ β 01 00 ?? Q Q ββ ?? == ??
第1章定量分析概述 思考题答案 1.正确进行试样的采取、制备和分解对分析工作有何意义？ 答：正确的采样，能使分析结果代表被分析对象的平均组成，不会给出错误结论，使定量分析失去意义；正确的制备和分解方法，不仅使试样中各种形态存在的被测组分都转入溶液呈可测定的状态，而且能使被测组分的测定和杂质的分离都易进行。 2. 在进行农业试验时，需要了解微量元素对农作物栽培的影响。某人从试验田中挖一小铲泥土试样，送化验室测定。试问由此试样所得的分析结果有无意义。如何采样才正确？ 答：取样的关键是保证所取试样具有高度的代表性，即用作分析的试样应能代表被分析对象的平均组成。从试验田挖一小铲泥土，取样不具备代表性，分析结果会导致错误结论。应于不同地段采集足够量的原始平均试样，经研磨、过筛、缩分后，送化验室测定。 3. 为了探讨某江河地段底泥中工业污染物的聚集情况,某单位于不同地段采集足够量原始试样，混匀后取部分试样送分析室。分析人员用不同方法测定其中有害化学组分的含量.这样做对不对?为什么？ 答：采集的原始平均试样混匀后，取部分试样送交分析部门，样品不具代表性。采集的原始平均试样混匀后，还须研磨、过筛、缩分，才能使送交分析部门试样代表所采集样品的平均化学成分。 4. 怎样溶解下列试样：锡青铜（Cu：80%，Sn：15%，Zn：5%）、高钨钢、纯铝、银币、玻璃（不测硅）、方解石。 答：锡青铜：用热H2SO4溶解；高钨钢：用HNO3+HF溶解；纯铝：用HCl溶解；银币：用HNO3溶解；玻璃（不测硅）：用HF溶解 5. 欲测石灰石（CaCO3）和白云石[CaMg(CO3)2]中钙、镁的含量，怎样测定才能得到较准确的结果？答：①根据原料的堆放情况，从不同的部位和深度选取多个取样点，采取一定量矿石样品；将试样进行破碎、过筛、混匀和缩分。②采用适当的溶剂（如HCl），将试样溶解后制成溶液。③对常量组分的测定，选择准确度高的方法（如配位滴定法）进行测定。 6．半熔融法分解试样有何优点？ 答：半熔法又称烧结法。该法是在低于熔点的温度下，将试样与熔剂混合加热至熔结。由于温度比较低，不易损坏坩埚而引入杂质，但加热所需时间较长。 7．选择分析方法应注意哪些方面的问题？ 答：选择分析法应从测定的具体要求、被测组分含量、被测组分的性质、实验室设备和技术条件 及干扰物质的影响等方面综合考虑，选择准确、灵敏、迅速、简便、选择性好、自动化程度高的、合适的分析方法。 8．什么叫滴定分析？它的主要分析方法有哪些？ 答：滴定分析是将已知准确浓度的试剂溶液，滴加到被测物质的溶液中，直到所加的试剂溶液与被测物按滴定反应式中的化学计量关系定量反应为止，然后根据所用试剂溶液的浓度和体积，计算被测物质的含量。主要有酸碱滴定法、沉淀滴定法、配位滴定法、氧化还原滴定法。 9．能用于滴定分析的化学反应必须符合哪些条件？
学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上 【解析】 结合线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 可知，解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上，故选B. 【答案】 B 2．(2016· 泰 安 高 二 检 测)在回归分析中，相关指数R 2的值越大，说明残差平方和( ) A ．越大 B ．越小 C ．可能大也可能小 D ．以上均错 【解析】 ∵R 2＝1－错误!，∴当R 2越大时， ∑i ＝1n (y i －y ^i )2越小，即残差平方和越小，故选B. 【答案】 B 3．(2016·西安高二检测)已知x 和y 之间的一组数据 则y 与x 的线性回归方程y ^ ＝b x ＋a ^必过点( ) A ．(2,2) B.? ????32，0 C ．(1,2) D.? ?? ??32，4
【解析】 ∵x ＝14(0＋1＋2＋3)＝32，y ＝1 4(1＋3＋5＋7)＝4， ∴回归方程y ^ ＝b ^x ＋a ^必过点? ????32，4. 【答案】 D 4．已知人的年龄x 与人体脂肪含量的百分数y 的回归方程为y ^＝0.577x －0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( ) 【导学号：19220003】 A ．一定是20.3% B ．在20.3%附近的可能性比较大 C ．无任何参考数据 D ．以上解释都无道理 【解析】 将x ＝36代入回归方程得y ^＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B. 【答案】 B 5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 根据上表可得回归方程 y ^ ＝ b x ＋ a ^中的 b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元 【解析】 样本点的中心是(3.5,42)，则a ^ ＝y －b ^x ＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^＝65.5. 【答案】 B 二、填空题 6．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝ 1 2
第四章 滴定分析概论 §4.1概述 定量分析的任务是测定物质中组分的含量。定量分析的分析方法有滴定分析法、重量分析法和仪器分析法等。 一、定量分析的一般要求 根据定量分析的任务和特点，定量分析的一般要求是： 1、测定结果的准确度 准确度高是定量分析的最基本要求。 对于常量组分（≥10%）一般要求测定误差不超过0.2% 对于半微量组分（1%~10%） 对于微量组分（0.01%~1%） 2、测定结果应具有代表性 测定所用试样只是待测物质中的很小部分，这些少量物质称为分析试样或样品。 3、分析方法应可靠和可行 4、分析结果应正确计算和合理报告 （1）、被测组分的化学表示形式 a 以被测组分实际存在形式表示。如测得食盐试样中Cl 含量后，以NaCl%表示分析结果。 b 以氧化物或元素形式表示（实际存在形式不清楚）如硅酸盐水泥Fe Al Ca Mg 、、、含量常以2323Fe O Al O CaO MgO 、、、的含量表示。分析铁矿石以23%%Fe Fe O 或表示。 c 金属材料和有机分析中，常以元素形式（如Fe 、Zn 、N 、P ）的含量表示。 d 电解质溶液的分析，以所存在的离子形式表示含量。 （2）、被测组分含量的表示方法 a 固体试样 常量组分常以质量分数表示B B s m W m = 微量组分以1g g μ-?或6(10)-，1ng g -?9(10)-，1pg g -?12(10)-表示。 b 液体试样 ①物质的量浓度： B n V ?-1单位mol L ②质量摩尔浓度：?-1单位mol kg (kg 溶剂的质量)
③质量分数：待测组分的质量除以试样的质量，即B m m 试样。 ④体积分数：B V V 试液表示。 ⑤摩尔分数：待测组分的物质的量除以试液的物质的量，量钢为1即B n n 试液 ⑥质量浓度：常以11111mg L g L g mL ng mL pg mL μμ-----?????、或、、等表示。对于极稀的水溶液，视其密度为1，此时1mg L -?（或1g mL μ-?），与11()mg kg g g μ--??在数值上相等，但概念不同。 （3）、分析结果的数据表示 a 应符合有效数字规则，分析结果的有效数字，其位数要与测定方法和仪器的准确度一致。 b 不仅要表明数值的大小，还应该反映出测定的准确度、精密度以及测定次数。通过一组测定数据来反映该样本所代表的总体时采用置信区间是表示分析结果的方式之一。 如碱灰中的总碱量，分析结果报告为： 22(40.150.02)%0.40150.0002 Na o Na o W W =±=±或22(40.150.02)% 0.40150.0002 Na o Na o W W =±=±或 二、滴定分析法概述 1、滴定分析对化学反应的要求 （1）反应定量的完成，这是定量计算的基础.反应按反应方程进行，反应定量，无副反应。 （2）反应速度快。 （3）能用简便方法确定终点。 若反应不能完全符合上述要求，可以采用间接滴定法 2、滴定方式 （1）直接滴定 （2）返滴定法 当被测组分与滴定剂反应较慢或被测组分为固体时，加入滴定剂后不能立即完成，可先准确地加入过量标准溶液（滴定剂），待反应完成后，再用另一标液或滴定剂滴定剩余的标液。 有时无合适的指示剂也可用返滴定法。 例1 称取0.3800g 3CaCO 试样，溶解于25.001mol L -?的Hcl 溶液中，待反应完全后， 用10.2000mol L NaOH -?返滴定过量的HCL 溶液，用去25.00ml ，问3caco W 多少？ 解：有关反应式： 3222CaCO HCl CaCl H O CO +=++↑
回归分析自学整理 一、回归分析的数学模型与假设 (1) 二、回归分析的步骤 (3) 三、回归分析的SPSS 操作与数据解释 (12) 一、回归分析的数学模型与假设 总体回归模型（理论模型） β0为常数项，也叫截距。 β1,β2,…,βj 为总体偏回归系数。 βj （j=1,2,…,m ）表示当方程中其它自变量保持常量时，自变量Xj 每增 加（或减少）一个计量单位时，反应变量Y 平均变化βj 个单位。 ε表示去除m 个自变量对Y 影响后的随机误差，也称作残差。 样本回归模型（估计模型） j j x b x b x b b y ++++=Λ22110?就是回归方程。 总体回归与样本回归的区别 假设
古典线性回归模型总是假设 1.误差项ε是一个服从均值为零（零均值）、方差是常数（同方差）正态分布的随机变量，即ε~N(0,2 )，E(ε)=0,且相互独立（残差无自相关）； 2.解释变量x1，x2，…，xk是可以精确观察的普通变量（非随机变量）。 3.解释变量X与随机误差项ε是各自独立对解释变量Y产生影响（残差与自变量无相关）。 多元回归增加的假定：各自变量之间不存在线性关系。在此条件下，自变量观测值矩阵X列满秩
二、回归分析的步骤 （一）画散点图。选择合适的回归方法。初步判定自变量与因变量的关系。 （二）建立回归方程。求出b 0和b j 。 （三）回归方程检验。方程精度检验（R2）、回归系数检验（F检验和T检验） （四）预测。求出总体回归系数β 0和β j. 并求出预测区间。 （一）画散点图 散点图的重要作用 回归分析时，有时R比较明显，达到0.8以上，但是并不表示Y与X之间的关系是线性的，因此进行回归分析时，不能进行简单判断。图示分析方法是最基本、最直观的方法，有助于对数据的内在性质进行准确判断。 例如：下面四图中的数据，计算相关系数差不多都为0.8，但实际却差别巨大。第一图虽然数据比较散，但线性趋势比较模型。第二图模型是曲线趋势。第三图有一个异常点，该点导致直线的斜率发生较大改变。第四图本来没什么趋势，也只是一个异常点的影响使其线性相关系数较大。 后面三图直接进行回归分析都会得出错误的回归模型，不能反映事实。（二）建立回归方程 建立多元线性回归方程同样要根据最佳拟合原则，采用最小二乘法，使所求直线在y轴 上与实际观测值y间的误差平方和Q最小。根据微积分求极值的原理，只需分别对a、求偏导数,令它们等于零,整理后可得标准（正规）方程组。达到最小，其充分必要条件
案例 3-1 美国联合食品公司（Cosolidated Foods）在新墨西哥州、亚利桑那州和加利福尼亚州经营连锁超市。一项促销活动通知连锁店提供一项新的信用卡政策，使联合食品的顾客除了通常的支付现金或个人支票选择外，还有用信用卡（如Visa、MasterCard卡）进行购买支付的选择权。新的政策正基于试验基础而执行，希望信用卡选择权将会鼓励顾客加大采购量。 在第一月经营之后，在一周期间内选择了有100名顾客的随机样本。100名顾客中的每一个的支付方式和消费多少的数据被收集上来。样本数据列示在下表中。在新的信用卡政策出现之前，大约50％的联合食品顾客用现金支付，约50％用个人支票支付。
管理报告: 使用描述性统计的表格法和图形法来汇总表中的样本数据。你的报告应该包括诸如下列的摘要： 1. 支付方式的频数分布和频率分布； 2. 支付方式的柱形图或饼形图； 3. 每一支付方式下花费金额的频数和频率分布； 4. 每一支付方式下花费金额的直方图和茎叶点。 你对联合食品的消费金额和支付方式有了什么样的初步了解？ 1. 支付方式的频数分布和频率分布 2．支付方式的柱形图或饼形图 （1）柱形图
（2）饼形图 3．每一支付方式下花费金额的频数和频率分布 4．每一支付方式下花费金额的直方图和茎叶图（1）直方图
（2）茎叶图 现金支付方式茎叶图： 茎叶 1 1 3 9 2 4 9 3 0 3 7 4 3 8 5 1 2 9 6 0 9 7 0 2 2 4 4 9 8 8 9 9 0 11 2 5 8 12 1 13 1 14 3 15 1 1 6 16 3 4 7 18 1 20 5
定量分析概论 一.选择题1,下列贮存试剂的方法中哪些是错误的？A A，硝酸银密封于塑料瓶中B，五氧化二磷存放于干燥器中 C，二氯化锡密封于棕色玻璃瓶中D，氢氧化钾密封于塑料瓶中2，用25 毫升移液管移出的溶液体积应该标注为（C）A，25 毫升B，25.0 毫升C，25.00 毫升D，25.000 毫升E，25.0000 毫升3,容量瓶的用处有（D）A，量取一定体积溶液B，储存溶液C，转移溶液D，将准确容积的浓溶液稀释成准确容积的稀溶液4,定量分析工作要求测定结果的误差（E）A，越小越好B，等于零C，没有要求D，略大于允许误差E，在允许误差范围之内5，选出下列错误的叙述：D A，误差是以真值为标准的，偏差是以平均值为标准的。实际工作中获得的所谓误差，实质上仍然是偏差B，对于某项测定工作来说，它的系统误差大小是可以测量的C，对于偶然误差来说，大小相近的正误差和负误差出现的机会是均等的D，某个测定工作的精密度越好，则该测定工作的准确度越好6, 汽油等有机溶剂着火的时候，不能使用以下那种灭火剂：D A，沙子B，二氧化碳C，四氯化碳D，泡沫灭火器7,下列做法中正确的是： B A，将乙炔钢瓶放在操作的时候有电弧和火花发生的实验室里B，在使用玻璃电极前，将其在纯水中浸泡过夜C，在电烘箱中蒸发盐酸D，当汽油等有机溶剂着火的时候，用水来扑灭E，将耗电在两千瓦以上的设备接在照明用电线上8, 下列何种物质不能在烘箱中烘干？C A，碳酸钠B，重铬酸钾C，苯甲酸D，邻苯二甲酸氢钾9, 实验室中常用的铬酸洗液是用哪两种物质配制而成的？C A，铬酸钾和浓盐酸B，重铬酸钾和浓盐酸C，重铬酸钾和浓硫酸D，重铬酸钾和浓硝酸10,现在需要配制0.2 摩尔每升的盐酸溶液，请从下列仪器种选择一种最合适的仪器量取浓酸：C A，容量瓶B，移液管C，量筒D，酸式滴定管E，碱式滴定管11,定量分析之中，常常用作准确测量流出液体体积的量器有：B A，容量瓶B，移液管C，量筒D，烧杯12,准确度，精密度，系统误差，偶然误差之间的关系,下列说法中正确的是：B A，准确度高，精密度一定高B，精密度高，不一定能保证准确度高C，系统误差小，准确度一般偏高D，偶然误差小，准确度一定高2 E，准确度高，系统误差，偶然误差一定小13, 用挥发法测定某试样的吸湿水，结果偏高，可能是由于：A A，加热温度过高B，加热温度过低C，加热后冷却时间过长D，加热时间不足14,在滴定分析中出现以下情况，导致系统误差出现的是：D A，试样未经过充分混匀B，滴定管的读数读错C，滴定时有液滴溅出D，所用试剂中含有干扰离子二，判断题1,可以通过增加平行试验的次数减小测定过程中的偶然误差。T 2,汽油着火的时候，可以用水来扑灭。F 3，容量瓶的用处是将准确容积的浓溶液稀释成准确容积的稀溶液，或是将经过称量得一定物质配成一定容积的已知准确浓度的溶液。T 4,某测定的精密度越好，则该测定的准确度越好。F 5,对于某项测定结果来说，系统误差的大小是可以测量的。T 6,定量分析工作要求测定结果的误差越小越好。F 7,系统误差在同一条件下重复测定中，正负误差出现的机会相等。F 三，填空
第二章定量分析概述（110题） （一）A型题在以下选项中选出一个最符合题意的答案。 1．一般测定无机物质样品首先选择的溶剂是（C ）。 A．酸 B．碱 C．水 D．混合酸 E．有机溶剂 2．固体样品的采取可按（ D ）分法多次缩分。 A．一 B. 二 C. 三 D．四 E. 五 3. 装在大型储槽里的液体样品在取样时，应取（ D ）溶液为样品。 A. 底部 B. 上部 C. 中部 D. 不同深度 E. 任意部位 4. 用万分之一分析天平进行称量时，若以克为单位，其结果应记录到小数点后（ D ）位。 A．一 B. 二 C. 三 D．四 E. 五 5. 用减重称量法精密称取样品X克系指：用万分之一分析天平进行减重称量法称量，称出的样品质量应在X±（ D ）%克范围内。 A．1 B. 2 C. 5 D．10 E. 20 6. 下列哪种情况可引起系统误差（ B ）。 A．天平零点突然有变动 B. 天平砝码被腐蚀 C. 操作人员看错滴定管读数 D．滴定时从三角烧瓶瓶中溅失少许试液 E. 以上均不属系统误差 7. 由于天平不等臂造成的误差属于（ C ）。 A．方法误差 B. 试剂误差 C. 仪器误差 D．偶然误差 E. 操作误差 8. 减小分析测定中偶然误差的方法是（ E ） A．对照试验 B. 空白试验 C. 校准仪器 D．严格操作 E. 增加平行测定次数取平均值 9. 下列（ E ）数据中的“0”不是有效数字。 A．8.06 B. 3.40 C. 6.00 D．9.80 E. 0.81 10. 分析过程中，若加入的试剂含有少量被测物质，所引入的误差属于（ C ）。A．偶然误差 B. 方法误差 C. 试剂误差 D．操作误差 E. 仪器误差 11. 标定NaOH时，平行三次实验，浓度分别为0.1010、0.1012、0.1011mol/L，其相对平均偏差为（ C ）。 A．0.0007% B. 0.007% C. 0.07% D．0.7% E. 7% 12. 常用的25或50ml滴定管，其最小刻度为（ B ）ml。 A．0.01 B. 0.1 C. 0.02 D．0.2 E. 0.003 13. 在25ml滴定管上读取消耗标准溶液的体积，下列记录正确的是（ C ）ml。
第六章 SPSS相关分析与回归分析 6.1 相关分析和回归分析概述 客观事物之间的关系大致可归纳为两大类，即 ●函数关系：指两事物之间的一种一一对应的关系，如商品的销售额和销售量之间的 关系。 ●相关关系（统计关系）：指两事物之间的一种非一一对应的关系，例如家庭收入和 支出、子女身高和父母身高之间的关系等。相关关系又分为线性相关和非线性相关。 相关分析和回归分析都是分析客观事物之间相关关系的数量分析方法。 6.2 相关分析 相关分析通过图形和数值两种方式，有效地揭示事物之间相关关系的强弱程度和形式。 6.2.1 散点图 它将数据以点的的形式画在直角坐标系上，通过观察散点图能够直观的发现变量间的相关关系及他们的强弱程度和方向。 6.2.2 相关系数 利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需要完成以下两个步骤： 第一，计算样本相关系数r； ●相关系数r的取值在-1～+1之间 ●R>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表示两变量存在负的线性相关关 系 ●R＝1表示两变量存在完全正相关；r＝-1表示两变量存在完全负相关；r＝0表 示两变量不相关 ●|r|>0.8表示两变量有较强的线性关系；|r|<0.3表示两变量之间的线性关系较 弱 第二，对样本来自的两总体是否存在显著的线性关系进行推断。 对不同类型的变量应采用不同的相关系数来度量，常用的相关系数主要有Pearson简单相关系数、Spearman等级相关系数和Kendall τ相关系数等。 6.2.2.1 Pearson简单相关系数（适用于两个变量都是数值型的数据） Pearson简单相关系数的检验统计量为： 6.2.2.2 Spearman等级相关系数 Spearman等级相关系数用来度量定序变量间的线性相关关系，设计思想与Pearson简 x y，而是利单相关系数相同，只是数据为非定距的，故计算时并不直接采用原始数据(,) i i
第1章 回归分析概述 [教学内容] 变量间的关系；回归方程与回归名称的由来；回归分析的主要内容及其一般模型；建立实际问题回归模型的过程；回归分析应用与发展述评。 [目的和要求]（1）深刻理解和掌握变量间相关关系的定义； （2）何谓回归方程； （3）了解回归分析的主要内容及其一般模型； （4）了解回归分析的应用与发展。 [教学方法] 讲授式、启发式 [教学方式] 板书结合PPT 讲授 [教学过程] 一.变量间的关系 函数关系 1. 是一一对应的确定关系 2. 设有两个变量x 和y ，变量y 随变量x 一起变化，并完全 依赖于x ，当变量x 取某个数值时，y 依确定的关系取相 应的值，则称y 是x 的函数，记为)(x f y =，其中x 称为 自变量，y 称为因变量 3. 各观测点落在一条线上 函数关系(几个例子) ? 函数关系的例子 ? 某种商品的销售额y 与销售量x 之间的关系可表示为px y = (p 为单价) ? 圆的面积S 与半径之间的关系可表示为2 R S π= ? 企业的原材料消耗额Y 与产量1x 、单位产量消耗2x 、原材料价格3x 之间的关系可表示为 321x x x y = 相关关系(correlation) 1. 变量间关系不能用函数关系精确表达 2. 一个变量的取值不能由另一个(或某一些)变量唯一确定 3. 当变量x 取某个值时，变量y 的取值可能有几个 4. 各观测点分布在直线周围
相关关系 (几个例子) 父亲身高x 与子女身高y 之间的关系；收入水平y 与受教育程度x 之间的关系；粮食亩产量y 与施肥量1x 、降雨量2x 、温度3x 之间的关系；商品的消费量y 与居民收入x 之间的关系；商品销售额y 与广告费支出x 之间的关系。 在推断统计中，我们把上述变量间具有密切关联而又不能由某一个或某一些变量唯一确定另外一个变量的关系，称为变量间的统计关系或相关关系。 统计关系的研究 相关分析 回归分析 回归分析与相关分析的区别 1. 相关分析中，变量x 和变量y 处于平等的地位；回归分析中，变量y 称为因变量， 处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 2. 相关分析中所涉及的变量x 和y 都是随机变量；回归分析中，因变量y 是随机变量，自变量x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 3. 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变 量x 对变量y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制 相关关系 (类型) 二.回归方程与回归名称的由来 回归函数：称给定x 时y 的条件数学期望 )|()(x y E x f = （1.1） 为随机变量y 对x 的回归函数。(1.1)式从平均意义上刻画了变量x 与y 之间的统计规律。 样本观测值：),(),,(),,(2211n n y x y x y x (1.2) 建立一个公式 回归方程(regression equation) 1. 描述因变量y 的平均值或期望值如何依赖于自变量x 的方程 2.一元线性回归方程的形式如下 x y E 10)(ββ+= （1.3） ? 方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程 ? 0β是回归直线在y 轴上的截距，是当0=x 时y 的期望值，称为回归常数 {