高等概率论（讲义）
一般人们对概率论这门学科的理解可以划分为三个层次：
一、古典型--未受过任何相关训练的人都属于此类，他们只能够理解一些离散的（古典的）概率模型；
二、近代型，通常指学过概率论基础的非数学专业理科生，他们从微积分的角度理解各种连续分布，概率模型的数字特征；
三、现代型，这类人能够抽象地从测度论和实分析高度理解这门学科。建立在测度基础上的概率论通常所谓的高等概率论。
参考书
[1] 严士健，王隽骧，刘秀芳；概率论基础，科学出版社，1982
[2] 霍尔姆斯，测度论，世界图书出版公司，2007
[3] 朱成熹，测度论基础，科学出版社，1991
[4] SerflingRJ，Approximation Theorems of Mathematical Statistics，John Wiley & Sons, 1980
基本内容
[1] 测度与概率
[2] 随机变量的刻画：分布函数
[3] 随机变量的刻画：特征函数
[4] 随机变量的收敛性
[5] 渐近分布理论
第1章 Lebesgue 测度与概率
1.1 集和类 ● 基本概念
所谓“集合”就是指具有某种性质，并可以相互区分的元素所汇集成的总体。不含任何元素的集合称为空集，常用“φ”表示。
[1] 我们所讨论的集合是指某一给定的集合Ω的子集，Ω本身和空集φ也看作Ω的子集。 [2] Ω称为空间，它的子集合称为集，常用大写字母A ，B ，C 等表示；Ω的元素称为点，用ω表示；
[3] 由集所构成的集合称为集类，以F C B A ,,,等草写字母表示；
如果点ω在集A 中，称ω属于A ，以A ∈ω表示；反之，以A ?ω表示点ω不在集A 中。如果对于任意点A ∈ω，均有B ∈ω，则称集A 包含在集B 中，记为B A ?；如果B A ?，同时A B ?，则称A 与B 相等，记为B A =。 [4] 集的基本运算
（1）交。集合A 与B 的交集：
A B A ∈=ωω:{ ，同时}B ∈ω （1.1.1）
简记为AB 。一般地，对于任意非空参数集T ，定义交集为
},:{T t A A
t T
t t
∈?∈=∈ωω （1.1.2）
（2）和与直和。集A 和B 的和定义为
A B A ∈=ωω:{ ，或者}B ∈ω （1.1.3）
如果φ= B A ，则称 B A 为A 与B 的直和，记为A+B 。
ωω:{=∈ T
t t
A
至少属于一个},T t A t ∈ （1.1.4）
并且，如果对任意T t s ∈,，φ= t s A A ，此时将 T
t t A ∈记为∑∈T
t t A 。
（3）差与余。集A 与B 的差定义为
},:{B A B A ?∈=-ωωω
（1.1.5）
特别地，当Ω=A 时，B -Ω称为集B 的余集，记为c B 。
（4）上极限。集合列}1:{≥n A n 的上极限定义为
ω
ω:{lim =∞
→n n A 属于无穷多个)}1(≥n A n （1.1.5）
可以验证：
∞
=∞
=→∞
=
1lim n n
k k
n n A A （1.1.6）
（5）下极限。集合列}1:{≥n A n 的下极限定义为
ω
ω:{lim =∞
→n n A 至多不属于有限多个)}1(≥n A n （1.1.7）
可以验证：
∞
=∞
=→∞
=
1lim n n
k k
n n A A （1.1.8）
并且
n n n n A A →∞
→∞
?lim lim （1.1.9）
（6）极限。如果
n n n n A A →∞
→∞
=lim lim （1.1.10）
则称集合列}1:{≥n A n 的极限存在，记为n n A ∞
→lim 。
定义1.1.1 如果集合列}1:{≥n A n 具有性质：对每个)1(≥n n ，1+?n n A A （或n n A A ?+1），则称}1:{≥n A n 是单调不减的（或者，单调不增的），简记为↑n A （或者↓n A ）。不减或者不增的集合列，称为单调集合列。 定理1.1.1 单调集合列的集合列存在，并且
（ⅰ）如果↑n A ，则 ∞
=∞
→=1lim n n n n A A ；
（ⅱ）如果↓n A ，则 ∞
=→∞
=
1
lim n n
n n A A 。
证明：（ⅰ）如果↑n A ，则
????n A A A 21 （1.1.11）
因此，n n
k k A A =∞
= ，从而
n n n n
k k
n n
n n
k k
n n A A
A
A
A ∞
→∞
=∞
=∞
=∞
=∞
=∞
→=?
=
=
lim lim 11
1
（1.1.12）
也就是n n n n A A ∞
→∞
→?lim lim ，但是n n n n A A →∞
→∞
?lim lim ，所以n n A ∞
→lim 存在，并且等于
∞
=∞
→=
1
lim n n
n n A A （1.1.13）
类似地，可以证明（ⅱ）成立。
定义1.1.2（环、域） 假设F 是非空集类，满足条件
（1）对“差”运算封闭：若F ∈B A ,，则F ∈-B A ； （2）对“和”运算封闭：若F ∈B A ,，则F ∈ B A ； 则称F 是环。进一步，如果F 是环，并且∈ΩF ，则称F 是域。 定义1.1.3（σ域）假设F 是非空集类，满足条件 （1）F ∈Ω；
（2）对“余”运算封闭：若F ∈A ，则F ∈c A ； （3）对“可数和”运算封闭：若F ?≥}1:{n A n ，则
F
∈∞
= 1
n n
A
（1.1.14）
则称F 是σ域（或者σ代数）。
例1.1.1 },{Ω?=A A F （Ω的一切子集的全体）是σ域，它是Ω为空间的最大的σ域。 例1.1.2 },{φΩ=F 是σ域，它是Ω为空间的最小的σ域。
定义1.1.4（可测空间、可测集、波莱尔可测空间）对于给定的空间Ω及其σ域A 所构成的),(A Ω称为可测空间，A 中的元素称为可测集。
特别地，如果),(∞-∞==ΩR ，B A =是以R 为空间、开集类所构成的σ域，则称
),(),(B A R =Ω为波莱尔可测空间
1.2 测度
定义1.2.1（测度）假设m 是定义在环C 上的集函数，如果满足条件： （1）0)(=φP ；
（2）非负性：∞≤≤)(0A P ，对任意∈A C ；
（3）σ可加性（或可数可加性）。对于任意的C ?≥}1:{n A n ，)(j i A A j i ≠=φ ，
C
∈∑
∞
=1
n n A ，均有
)()(1
1
∑∑∞
=∞
==
n n
n n A P A P （1.2.1）
则称P 是C 上的一个测度。
备注：如果P 是C 上的一个测度，C ∈B A ,，φ= B A ，则
)()()(B P A P B A P +=+
（1.2.2）
从而
)()(1
1
∑∑===
n
k k
n
k k A P A P （1.2.3）
例1.2.1 假设),(∞-∞==ΩR ，
∑=∞
<≤<-∞=n
i i i i i b a b a 1
:],({C 且),,2,1](,(n i b a i i =互不相交，1≥n } （1.2.4）
在C 上定义集函数
∑∑==-=n
i i i n
i i i a b b a P 1
1
)(]),((
（1.2.5）
容易验证：P 是C 上的测度。 例1.2.1 假设},,,,{21 n ωωω=Ω，
)(Ω=S C 是Ω
的一切子集类 （1.2.6）
在C 上定义集函数
i i p P =})({ω，∑
∑=
i
i i i
p P A P ωωω})({)(，0)(=φP （1.2.7）
此处)1(≥i p i 是非负实数。容易验证：P 是C 上的测度。特别地，如果
A A P =)(中点的个数
（1.2.8）
则0)(,1})({==φωm m i 。
性质1.2.1（单调性）如果C ∈B A ,，并且B A ?，则)()(B P A P ≤
证明：因为B A ?可得)(A B A B -+=；因为C 是环，以及C ∈B A ,，因此C ∈-A B ；根据测度的可加性，有
)()()(A B P A P B P -+=
（1.2.9）
由于测度的非负性，知0)(≥-A B P ，因此
)()(B P A P ≤
（1.2.10）
性质1.2.2（减性）如果C ∈B A ,，B A ?，并且∞<)(A P ，则
)()()(A P B P A B P -=-
（1.2.11）
证明：在性质1.2.1的证明过程中，有
)()()(A B P A P B P -+=
由于∞<)(A P ，在上式两边同时减去)(A P ，即可获得所需结论。
性质1.2.3（半σ可加性）如果C ?≥}1,{n A n ，C ∈A ，并且 ∞
=?
1
n n
A A ，则
)()(1
∑∞
=≤
n n
A P A P （1.2.12）
特别地，如果C ∈∞
= 1
n n A ，则
)()(1
1
∑∞
=∞
=≤
n n
n n A P A P （1.2.13）
性质1.2.4（下连续性）假设C ?≥}1,{n A n ，C ∈A ，如果)(∞→↑n A A n ，则)()(A P A P n ↑，
也就是
)()lim ()(lim A P A P A P n n n n ==∞
→∞
→
（1.2.14）
证明：由于C ?≥}1,{n A n 是单调不减列，因此
φ
=-==
-∞
=∞
=∑011
1
),(A A A A
A n n n n n
（1.2.15）
根据测度的σ可加性，可得
))
((lim )
(lim
)
()()(11
11
11
1
-=∞
→-=∞
→-∞
=∞
=-=-=-==∑∑∑k n k k n k n
k k
n n n n n n A A P A A
P A A P A P A P
))
(lim n n A P →∞
= （1.2.16）
即)()lim ()(lim A P A P A P n n n n ==∞
→∞
→。■
性质1.2.5（上连续性）假设C ?≥}1,{n A n ，C ∈A ，如果)(∞→↓n A A n ，并且存在一个0
n A ，使得∞<)(0
n A P ，则)()(A P A P n ↓，也就是
)()lim ()(lim A P A P A P n n n n ==∞
→∞
→
（1.2.17）
证明：因为)(∞→↓n A A n ，故)(00
n n A A A A n n n ≥-↑-，根据性质1.2.4和1.2.2可知：
当0n n >时，
)()()()()()(0000A P A P A A P A A P A P A P n n n n n n -=-↑-=- （1.2.18）
由于∞<)(0
n A P ，因此)()(A P A P n ↓，结论成立。■
备注：如果性质1.2.5中条件“∞<)(0
n A P ”去掉，则结论不一定成立。
例1.2.2 假设},3,2,1{ =Ω，)(Ω=S C （Ω的一切子集构成的集合），
A A P =)(中点的个数
已知P 是测度，取
1},,2,1,{≥++=n n n n A n
（1.2.19）
显然，φ↓n A ，且∞=)(n A P ，因此
)
(0)(lim φP A P n n =≠∞=∞
→ （1.2.20）
● Lebesgue 测度
若I 是一个有界区间，则I 的长度定义为它的两个端点之间的距离，记为)(I l ；若I 是一个无界区间，则定义I 的长度为∞，也记成)(I l ，例如
1])1,0([=l ，∞=-∞))0,((l
（1.2.1）
我们希望将上述仅对区间有定义的长度概念推广到更一般的实数集合上去，例如，我们把它推广一个由实数子集构成的集类A ，并且对A 中的每一个元A ，我们用)(A m 表示
A
的长度。
定义1.2.2（Lebesgue 外测度）对于每一个实数子集E ，定义
1}{:)(inf{)(*≥∑=n n n
n I I E P l 是一列开区间并且 n
n
I
E ?
} （1.2.2）
此时)(*E P 称为E 的Lebesgue 外测度。 备注：空集的Lebesgue 外测度=0
例题 假设},2,1,{ ==n x E n 是R 中的一个可数子集，此书对任意0>ε，令
1),2
,2
(1
1
≥+
-
=++n x x I n n n n n ε
ε
（1.2.3）
则n I 是一个开区间并且
n
n I E ?
；现在2
)(ε
=
n I l ，所以ε=∑n
n I )(l ；从而ε≤)(*E P ，
但是ε可以是任意的，所以0)(*=E P 。
定理1.2.1（单增性）如果21E E ?，则)(*)(*21E P E P ≤。 定理1.2.2 如果I 是一个区间，则)()(*I I P l =。
定理1.2.3（次可加性）如果1}{≥n n E 是任意一列实数子集，则∑≤
n
n
n
n E
P E P )(*)(* 。
定义1.2.3（Lebesgue 可测集）假设E 是一个实数子集，若对任何实数子集A 有
)(*)(*)(*c
E A P E A P A P +≥ （1.2.4）
则称E 为Lebesgue 可测集，或可测集。
定义1.2.4（Lebesgue 测度）假设E 是一个实数子集，若对任何实数子集A 有
)(*)(*)(*c
E A P E A P A P += （1.2.4）
则称)(*E P 为E 的Lebesgue 测度，记作)(E P ，即)(*)(E P E P =。
1.3 可测函数
假设函数f 的定义域是可测集D ，如果对于任意的实数a ，集合
},)(:{D x a x f x ∈>
（1.3.1）
是可测集，则称f 是D 上的可测函数。 对于可测集D ，其示性函数记为)(x I D ；显然
??
?
??<<≤≥=>0 ,10,1 ,})(:{a R a D a a x I x D φ （1.3.2）
由于φ（空集），D 和R 都是可测集，因此，可测集D 的示性函数是可测函数。 定理1.3.1 设函数f 是定义在D 上的可测函数，则下面事件等价： （ⅰ）f 在D 上可测；
（ⅱ）对任何实数a ，},)(:{D x a x f x ∈≥是可测集； （ⅲ）对任何实数a ，},)(:{D x a x f x ∈<是可测集； （ⅳ）对任何实数a ，},)(:{D x a x f x ∈<是可测集。 证明：本定理可从下面四个集合等式得到：
（ⅰ） ∞
=∈-
>=
∈≥1
},1)(:{},)(:{n D x n
a x f x D x a x f x ；
（ⅱ）},)(:{},)(:{D x a x f x D D x a x f x ∈≥-=∈<；
（ⅲ） ∞
=∈+
<=
∈≤1
},1)(:{},)(:{n D x n
a x f x D x a x f x ；
（ⅳ）},)(:{},)(:{D x a x f x D D x a x f x ∈≤-=∈>。 因此，定理结论成立。
定理1.3.2 设函数f 和g 是定义在D 上的可测函数，∞≤<≤∞-b a ，λ是实数，则： （ⅰ）},)(:{D x x f x ∈=λ是可测集； （ⅱ）},)(:{D x b x f a x ∈<<是可测集； （ⅲ）},)(:{D x b x f a x ∈≤≤是可测集；
（ⅳ）},)(:{D x b x f a x ∈≤<是可测集； 证明：（ⅰ）当λ是实数时，
},)(:{},)(:{},)(:{D x x f x D x x f x D x x f x ∈>-∈≥=∈=λλλ
（1.3.3）
由于},)(:{D x x f x ∈≥λ和},)(:{D x x f x ∈>λ都是可测集，因此，},)(:{D x x f x ∈=λ是可测集。 （ⅱ）很明显，
},)(:{},)(:{},)(:{D x a x f x D x b x f x D x b x f a x ∈≤-∈<=∈<<
（1.3.4）
由于},)(:{D x b x f x ∈<和},)(:{D x a x f x ∈≤都是可测集，因此，},)(:{D x b x f a x ∈<<是可测集。 （ⅲ）很明显，
},)(:{},)(:{},)(:{D x a x f x D x b x f x D x b x f a x ∈<-∈≤==∈≤≤
（1.3.5）
由于},)(:{D x b x f x ∈≤和},)(:{D x a x f x ∈<都是可测集，因此，},)(:{D x b x f a x ∈≤≤是可测集。 （ⅳ）很明显，
},)(:{},)(:{},)(:{D x a x f x D x b x f x D x b x f a x ∈≤-∈≤==∈≤<
（1.3.6）
由于},)(:{D x b x f x ∈≤和},)(:{D x a x f x ∈≤都是可测集，因此，},)(:{D x b x f a x ∈≤<是可测集。■
定理1.3.3 设函数1)}({≥n n x f 是可测集D 上的一列可测函数，则
)(lim ),(lim ),(inf ),(sup 1
1
x f x f x f x f n n n n n n n n ∞
→∞
→≥≥
都是可测函数。 证明：对任何实数a ，有
},)(:
{},)(sup :{1
1
D x a x f x D x a x f x n n n n ∈>=
∈>∞
=≥
（1.3.7）
由于},)(:{D x a x f x n ∈>是可测集，因此},)(sup :{1
D x a x f x n n ∈>≥是可测集，从而)
(sup 1
x f n n ≥是可测函数。 另一方面，
},)(:
{},)(inf :{1
1
D x a x f x D x a x f x n n n n ∈<=
∈<∞
=≥
（1.3.8）
由于},)(:{D x a x f x n ∈<是可测集，因此},)(sup :{1
D x a x f x n n ∈<≥是可测集，从而)
(inf 1
x f n n ≥是可测函数。 同时，由于
)(sup inf )(lim 1
x f x f k n
k n n n ≥≥→∞
= （1.3.9）
和
)
(inf sup )(lim 1
x f x f k n
k n n n ≥≥∞
→= （1.3.10）
因此，)(lim x f n n →∞
和)(lim x f n n ∞
→是可测函数。■
定理1.3.4 假设)(x f 是可测集D 上的可测函数，c 是一个常数，则c x f +)(，|)(|x f ，
)(2x f 和)(/1x f 都是可测函数。
证明：利用可测函数的定义直接验证。
定理1.3.5 假设)(x f 、)(x g 是可测集D 上的可测函数，则)()(x g x f +，)()(x g x f 和
)0)()((/)(≠x g x g x f 都是可测函数。
证明：因为对任意R a ∈，有
r
D x x g a r x f x D x x g a x f x D x a x g x f x }),()(:{ }),()(:{},)()(:{∈-<<=∈-<=∈<+
r
D r a x g x D x r x f x }),(:{},)(:{ ∈-<∈<= （1.3.11）
此处r 是有理数；很明显，},)()(:{D x a x g x f x ∈<+是可测集，因此)()(x g x f +是可测函数。
由于)(x g 是可测函数，因此，)(x g -是可测函数，从而)()(x g x f -是可测函数。 并且
})]()([)]()({[4
1)()(2
2
x g x f x g x f x g x f +-+=
（1.3.12）
和
)
(1)()
()(x g x f x g x f ?
= （1.3.13）
所以，)()(x g x f 和)0)()((/)(≠x g x g x f 是可测函数。■ 定义1.3.1（简单函数）假设函数)(x f 可以表示为
∑==
n
i E i
x I
a x f i
1
)()( （1.3.14）
其中n a a a ,,,21 是常数，n E E E ,,,21 是互不相交的可测集，并且D E E E n =+++ 21，则称)(x f 是D 上的简单函数。
定理1.3.6 （可测函数的构造定理）假设)(x f 是可测集D 上可测函数，则存在D 上的简单函数列1}{≥n n f ，使得对每一个D x ∈，1)}({≥n n x f 收敛于)(x f ；并且 （ⅰ）当f 非负时，对每一个D x ∈，1)}({≥n n x f 单增收敛于)(x f ； （ⅱ）当f 有界时，1)}({≥n n x f 在D 上一致收敛于)(x f 。
定义1.3.2 （几乎处处成立）假设D 是可测集，)(x P 是一个与D 中每一个点有关的命题；如果除了一个测度为0的子集E 外，对于每一个E D x -∈，命题)(x U 成立，则我们说
)(x U 在D
上几乎处处成立，或者说“)(x U 对几乎所有的D x ∈成立。”
定义1.3.3 （测度收敛）假设f 和)1(≥n f n 都是D 上几乎处处有限的可测函数，若对任何0>δ有
0})|)()(:|({lim =>-→∞
δx f x f x P n n
（1.3.14）
则称n f 在D 上测度收敛于f 。 1.4 Lebesgue 积分
在数学分析中，Riemann 积分是通过球一个平面图形的面积而引进的；具体地说，为了求曲线0,,,0)(===≥=y b x a x x f y 所围曲边梯形的面积S ，先把该曲边梯形分成若干小曲边梯形k k x x x x f y ≤≤≤≤-1),(0，其中
b x x x x x a n n =<<<<<=-1210
（1.4.1）
然后，每一小曲边梯形的面积用底1--=?k k k x x x ，高为],[),(1k k k k x x f -∈ξξ的长方形面积
k k x f ?)(ξ来近似，最后S
可由分法愈来愈细时该近似值的极限来求得。
在上述过程中，最基本的事实是：立于],[1k k x x -上高为)(k f ξ的长方形面积是k k x f ?)(ξ。从几何上说，Riemann 积分可以看成是一些长方形面积和的极限。从几何上说，Lebesgue 积分可以看成是一些拓广的长方形面积之和。 ● 非负简单函数的Lebesgue 积分
设D 是可测集，}{k E 是D 的有限个或可数个两两不相交的可测子集，使得
k
E
D =
（1.4.1）
则称}{k E 是D 的一个分划。
设f 是可测集D 上的非负简单函数，于是有D 的一个分划S i i E ≤≤1}{及非负实数组S i i a ≤≤1}{使得
D
x x I
a x f S
i E i
i
∈=
∑=,)()(1
（1.4.2）
此时，我们定义f 在D 上的Lebesgue 积分为
∑?
==
S
i i
i
D
E P a dP x f 1
)()( （1.4.2）
并且，当∞
dP x f )(时，称f 在D 可积。
下面的定理说明：f 的积分值不会因为f 的表达式不同而不同。
定理1.4.1 设f 和g 都是可测集D 上的非负简单函数，而且它们在D 上几乎处处相等，则它们在D 上有相同的积分值。 证明：设
∑==
S
i E i x I
a x f i
1
)()(，D x x I b
x g T
j F j
j ∈=
∑=,)()(1
（1.4.3）
其中S i i E ≤≤1}{、T j j F ≤≤1}{是D 的一个分划，S i i a ≤≤1}{、T j j b ≤≤1}{是非负实数组。由于f 和g 在
D
上几乎处处相等，因此，只要 j i F E 不是测度为零的集合，就有j i b a =，所以，不
管 j i F E 是否是零测度集，均有)()( j i j j i i F E m b F E m a =，于是
∑∑∑∑∑∑=======
=
=T
j j
j
T
j S
i j
i
j
S
i T
j j
i
i
S
i i
i
F
m b F
E m b F
E m a E m a 1
11
11
1
)()()()( （1.4.4）
即
?
?
=
D
D
dP x g dP x f )()( （1.4.5）
定理结论成立。■
定理1.4.2 设f 和g 都是可测集D 上的非负简单函数。 （ⅰ）若在D 上)()(x g x f ≤几乎处处成立，则?
?≤
D
D
dP x g dP x f )()(；
（ⅱ）)()(max )(D m x f dx x f D
?≤?；特别地，当0)(=D m 时，0)(=?D
dP x f ；
（ⅲ）若λ和μ是两个非负实数，则
???
+=+D
D
D
dP x g dP x f dP x g x f )()())()((μλμλ （1.4.6）
（ⅳ）若A 和B 是D 的两个不相交的可测子集，则
?
?
?+
=
B
A
B
A
dP x f dP x f dP x f )()()(
（1.4.7）
证明（ⅲ）和（ⅳ）。 （ⅲ）假设
∑==
S
i E i x I
a x f i
1
)()(，D x x I b
x g T
j F j
j ∈=
∑=,)()(1
其中S i i E ≤≤1}{、T j j F ≤≤1}{是D 的一个分划，S i i a ≤≤1}{、T j j b ≤≤1}{是非负实数组。由于
T j S i j i F E ≤≤≤≤1,1}{ 是D 的一个分划，并且
)()()()(11
x I b a
x g x f j
i
F E
i S
i T
j i
∑∑==+=
+μλμλ （1.4.8）
从而
∑∑∑∑∑∑∑∑?
========+=+
=
+=
+S
i j j S i i i j i j
S
i T
j j i
S
i T
j i
j i j S
i T
j i
D
F P b E P a F E P b
F E
P a F E P b a
dP x g x f 1
1
1
1
1
1
11)
()( )()( )
()())()((μλμλμλμλ
??+=D
D
dP x g dP x f )()(μλ （1.4.9）
（ⅳ）根据Lebesgue 积分的定义，有
∑∑∑∑?====+=
==
S
i i
i
S
i i
i
S
i i
i
i
S
i i
i
B
A
A E P a A E P a
B E A E P a B A E P a dP x f 1
1
11)
()( ))
()( ))
(()(
?
?
+
=
B
A
dP x f dP x f )()( （1.4.10）
定理1.4.3 假设}{n f 和}{n g 都是可测集D 上的非负简单函数，而且对几乎所有的D x ∈，
)}({x f n 和)}({x g n 都单增收敛于相同的极限，则
??
→∞
→∞
=D
n
n D
n n dP x g
dP x f )(lim
)(lim
（1.4.11）
● 非负可测函数的Lebesgue 积分
现在我们来定义非负可测函数的Lebesgue 积分。假设f 是可测集D 上的非负可测函数，则可以取D 上非负简单函数列}{n f ，使得对每一个D x ∈，)}({x f n 单增收敛于)(x f ；此时，)(x f 在D 上的Lebesgue 积分定义为
?
?
→∞
=D
n n D
dP x f dP x f )(lim
)( （1.4.12）
并称f 的积分由}{n f 来定义；并且，如果∞
dP x f )(，称f 在D 上L 可积。
根据非负可测函数Lebesgue 积分的定义，以及定理1.4.2，可以得到如下结论： 定理1.4.4 设f 和g 都是可测集D 上的非负可测函数。 （ⅰ）若λ和μ是两个非负实数，则
???
+=+D
D
D
dP x g dP x f dP x g x f )()())()((μλμλ （1.4.13）
（ⅱ）若A 和B 是D 的两个不相交的可测子集，则
?
?
?+
=
B
A
B
A
dP x f dP x f dP x f )()()(
（1.4.14）
（ⅲ）若在D 上)()(x g x f =几乎处处成立，则
?
?
=
D
D
dP x g dP x f )()( （1.4.15）
定理1.4.5（单调性收敛定理）设f 和)1(≥n f n 都是可测集D 上的非负可测函数，而且对所有的D x ∈，)}({x f n 单调收敛于)(x f ，则
?
?
→∞
=D
n n D
dP x f dP x f )(lim
)( （1.4.16）
也就是
?
?∞
→∞
→=D
n n D
n n dP x f dP x f )(lim
)(lim
（1.4.17）
备注：积分号与极限号次序的交换。
证明：对于每一个n ，假设n f 的Lebesgue 积分由非负简单列1)(}{≥k n k ?定义，于是，对每一个D x ∈，1)()}({≥k n k x ?单增收敛于)(x f n 。 对于每一个1≥k ，令
D x x x x x k k k k k ∈=)},(,),(),(max{)()
()
2()
1(???ψ （1.4.18）
则k ψ是非负简单函数，并且
D x x x x k ∈≤≤≤≤,)()()(21 ψψψ （1.4.19） D x k n x f x x k k n k ∈≤≤≤≤,1),()()()
(ψ? （1.4.20）
从而
k n dP x f dP x dP x D
k D
k D
n k
≤≤≤
≤?
??1,)()()()(ψ?
（1.4.21）
在（1.4.20）和（1.4.21）中固定n ，而令∞→k ，则分别得到
D
x n x f x x f k k n ∈≥≤≤∞
→,1),()(lim )(ψ （1.4.22）
以及
1,)(lim
)(lim
)(≥≤≤?
??
∞
→∞
→n dP x f dP x dP x f D
k k D
k
k D
n ψ
（1.4.23）
然后，再（1.4.22）和（1.4.23）中令∞→n ，得
D x x f x k k ∈=→∞
),()(lim ψ
（1.4.24）
以及
dP x dP x f D
k
k D
n n ??
∞
→∞
→=)(lim
)(lim
ψ
（1.4.25）
因此
dP x f dP x dP x dP x f D
D k
k D
k
k D
n n ?
???
=
=
=→∞
→∞
→∞
)()(lim )(lim
)(lim
ψ
ψ
（1.4.26）
即
?
?
→∞
=D
n n D
dP x f dP x f )(lim
)( （1.4.27）
定理结论成立。■
推论1.4.1（逐项积分）假设1}{≥k k u 是可测集D 上的一列非负可测函数，则
∑??∑∞
=∞
→∞
==11
)(lim
)(k D
k
n D k k
dP x u
dP x u
（1.4.28）
证明：对每一个1≥n ，由定理1.4.5（单调性定理）
∑??∑===
n
k D
k
D n
k k
dP x u
dP x u
11
)()( （1.4.29）
现在∑∞==
1
)()(k k
x u
x f 和∑==
n
k k
n x u
x f 1
)()(满足定理条件，因此
?∑?∑=∞
→∞==D n
k k
n D k k
dP x u
dP x u
1
1
)(lim
)( （1.4.30）
在（1.4.29）两边令∞→n ，就可以得到（1.4.28）。■
定理1.4.6（Fatou 定理）假设)1(≥n f n 都是可测集D 上的非负可测函数，则
?
?∞
→∞
→≤D
n n D
n n dP x f dP x f )(lim
)(lim
（1.4.31）
证明：对于每一个1≥n ，令
D
x x f x g k n
k n ∈=≥),(inf )( （1.4.32）
则对每一个D x ∈，1)}({≥n n x g 单增收敛于)(lim x f n n ∞
→；根据定理1.4.5（单调性收敛定理），有
??→∞
→∞
=D
n
n D
n n dP x g
dP x f )(lim
)(lim
（1.4.33）
但是，D x x f x g n n ∈≤),()(，因此
?
?→∞
→∞
≤D
n n D
n
n dP x f dP x g
)(lim
)(lim
（1.4.34）
于是，综合（1.4.33）和（1.4.34），可得
?
?∞
→∞
→≤D
n n D
n n dP x f dP x f )(lim
)(lim
定理结论成立。■
备注：Fatou 定理中的不等式不能改为等号。 例如，假设 )()(]/1,0[x nI x f n n =，则
?
?
→∞
→∞
=<=10
1
0)(lim
10)(lim dP
x f dP x f n n n n （1.4.35）
● 一般可测函数的Lebesgue 积分
假设f 是可测集D 上的可测函数，对于每一个D x ∈，令
}0),(max{)(x f x f =+，)}(,0max{)(x f x f -=- （1.4.36）
则+f 和-f 分别称为f 的正部和负部，它们都是非负可测函数，并且
)()()(x f x f x f -+-=，)()(|)(|x f x f x f -++= （1.4.37）
如果?+D
dP x f )(和?-D
dP x f )(不同时为∞，则称f 在D 上的Lebesgue 积分定义为
?
?
?
-+-
=
D
D
D
dP x f dP x f dP x f )()()( （1.4.38）
此外，当?D
dP x f )(有限时，称f 在D 上L 可积，记作)(D L f ∈。
定理1.4.7 设f ，)(D L g ∈，则 （ⅰ）)(D L g f ∈+，并且
?
?
?
+
=
+D
D
D
dP x g dP x f dP x g x f )()())()(( （1.4.39）
（ⅱ）如果λ是实数，则)(D L f ∈λ，并且??=D
D
dP x f dP x f )()(λλ；
（ⅲ）若A 和B 是D 的两个不相交的可测子集，则
?
?
?+
=
B
A
B
A
dP x f dP x f dP x f )()()(
（1.4.40）
证明：（ⅰ）由于||||||g f g f +≤+，故)(D L g f ∈+； 其次
-+-+-++-+=+=-+-)()( )()(g f g f g f g g f f （1.4.41）
从而
--+-+++++=+++g f g f g f g f )()( （1.4.42）
根据非负可测函数的定理1.4.4，有
??
????
-
-+-+
++
+
+=
+++
D
D
D
D
D
D
dP g
dP f dP g f
dP g f dP g
dP f )()( （1.4.43）
由此可得
?
?
?
+
=
+D
D
D
dP x g dP x f dP x g x f )()())()((
（ⅱ）如果0>λ，则
++=f f λλ)(，--=f f λλ)( （1.4.44）
从而
)
( )()(?
????
?
?
-+-+-++
=+=+
=
D
D D
D
D
D
D
dP f dP f dP
f dP f dP
f dP f fdP λλλλλλ
?=D
dP x f )(λ （1.4.44）
（ⅲ）利用一般可测函数的Lebesgue 积分的定义，以及非负可测函数的定理1.4.4即可证明。
定理1.4.8（控制收敛定理）假设f 和n f 都是可测集D 上的可测函数，若满足以下两个条件：
（ⅰ）在D 上)(x f n 几乎处处收敛于)(x f
（ⅱ）存在)()(D L x g ∈，并且在D 上几乎处处有)(|)(|x g x f n ≤； 则f 和n f 都在D 上可积，并且
?
?
=
→∞
D
D
n n dP x f dP x f )()(lim
（1.4.45）
定理1.4.9（积分的可数可加性）假设)(D L f ∈，1}{≥k k E 是D 的分划，则
∑?
?
∞
==
1)()(k E
D
k
dP x f dP x f （1.4.46）
定理1.4.10（积分的绝对连续性）假设)(D L f ∈，则对任何0>ε，存在0>δ，使得对任何可测子集A ，只要δ<)(A P ，则
ε
|)(|
A
dP x f （1.4.46）
1.5 绝对连续测度与概率密度函数
定义 1.5.1（测度的绝对连续性）假设υ和μ都是可测空间),(F Ω上的测度，对于任意的F ∈A ，如果0)(=A μ，则0)(=A υ，则称υ对μ是绝对连续的，记为μυ<<。 例1.5.1 假设f 是测度空间),,(P F Ω上的非负可积函数，令
F ∈=
?
A dP x f A A
,)()(υ （1.5.1）
则υ是),,(P F Ω的测度，并且υ对测度P 绝对连续，即P <<υ。
定义 1.5.2（关于测度的导数） 假设P 是测度空间),(F Ω上的测度，如果对于任意的
F
∈A ，?
=
A
dP x f A )()(υ成立，则称)(A υ为)(x f 关于测度空间),(F Ω的不定积分，而
)(x f 称为υ对P 的导数，记为
dP
d υ （1.5.2）
特别地，如果υ为概率测度，则)(x f 称为υ对P 的概率密度函数即1)(=Ωυ，则)(x f 称为υ对P 的概率密度函数；如果P 为Lebesgue 测度，则)(x f 称为υ关于Lebesgue 测度的密度函数；进一步，如果υ为分布函数，P 为Lebesgue 测度，则)(x f 称为分布函数关于Lebesgue 测度的密度函数。
实变函数与泛函分析概要 第一章集合基本要求： 1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。 2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、会求已知集合的并、交、差、余集。 4、了解对等的概念及性质。 5、掌握可数集合的概念和性质。 6、会判断己知集合是否是可数集。 7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。 第二章点集基本要求： 1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。 2、掌握点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、会求己知集合的开集和导集。 5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、了解Peano曲线概念。 主要知识点：一、基本结论： 1、聚点性质§2 中T1聚点原则： P0是E的聚点? P0的任一邻域，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞） 2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3
T2：设A?B，则A?B，· Ａ? · Ｂ， － Ａ? － Ｂ。 T3：（A∪B）′=A′∪B′. 3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、 4、5） T1：对任何E?R?，?是开集，E′和―Ｅ都是闭集。（?称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此） T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。 T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。 T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，?是一开集族{Ui}i?I 它覆盖了F（即Fс∪ ｉ?ＩUi），则?中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F（即F?ｍ∪ Ui）（i?I） 4、开（闭）集类、完备集类。 开集类：R?，Φ，开区间，邻域、?、Pо 闭集类：R?，Φ，闭区间，有限集，E?、E、P 完备集类：R?，Φ，闭区间、P 二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。 第三章测度论基本要求： 1、理解外测度的概念及其有关性质。 2、掌握要测集的概念及其有关性质。 3、掌握零测度集的概念及性质。 4、熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。
测度论的思想与起源 在一维情况下，我们常常研究一个线段的长度，在二维情形下我们还要研究面积，三维还要研究体积，四维还要研究什么？19世纪下半叶，不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索，逐渐形成了测度论。所谓测度，通俗的讲就是测量几何区域的尺度。就是需要找到一种方法，使得随便拿来直线上的一个子集，我们都能够最终得到一个数字作为其“长度”。 然而这，种方法总要满足一些必要的约束。第一，空集（注意是说空集而不是说单点集）本身也是直线的子集，也应该有个测度，空集的测度是零。第二，两个线段如果不相交，那么他们的总长度应该等于两者长度之和。两个二维图形如果不相交，那么总面积应当等于各自面积之和，诸如此类。既然每个子集都有一个测度，那么把两个彼此本身不相交的子集并在一起得到的新的子集也应该有个测度，并且这个测度应该等于两者之和。更进一步，可数无穷个不相交子集的测度之和也应该等于把它们并起来得到的集合的测度。为什么是可数无穷个呢？假设任意无穷个彼此不相交的子集的并集的测度等于这些子集各自测度之和，那么，既然线段是由无穷个点构成的而点又没有长度，那线段也应该没有长度才对，这与事实矛盾，故强调是可数无穷个。 保证空集的测度是零，并且测度满足可数无穷个集合的可加性，这两个约束条件看似宽松，实则很是苛刻。于是数学家门另辟蹊径，不是放松这两条限制，而是放松它们的适用范围：不去强求测度能对每个子集都有定义，也就是说，只挑出一些子集来定义测度，便产生了可测集。 在可测集上定义满足上述两个约束条件的测度，那么这样的测度存在并且唯一，数学上称为勒贝格测度。 其次，纵观勒贝格积分和勒贝格－斯蒂尔杰斯积分理论，不难发现它们都有三个基本要素。第一，一个基本空间（即n维欧几里得空间R）以及这个空间的某些子集构成的集类（勒贝格）可测集或某L－S（勒贝格-斯蒂尔杰斯）可测集全体，这个集类对集的代数运算和极限运算封闭。第二，一个与这个集类有关的函数（即L可测函数或某L-S可测函数全体）。第三，一个与上述集类有关的测度（即L测度或某L-S测度）。在三个要素的基础上，它们都是运用完全类似的定义和推理过程获得完全类似的一整套测度、可测函数、积分的定理（见勒贝格积分、贝尔函数）。因此测度论正是基于这些基本共同点所形成一般理论。
烘焙理论知识 第一部分原辅料基本知识 一、制作面包、糕点、蛋糕应选择什么技术指标的小麦面粉？ 答： 1．面包：应选择面包专用粉，即蛋白质含量在11.5~13.5%，湿面筋≥33%，灰分≤0.6%，粉质曲线稳定时间≥10.0min的高筋粉。 2．糕点、蛋糕：应选择糕点、蛋糕专用粉，即蛋白质含量在7~9%，湿面筋≤24%，灰分≤0.55%，粉质曲线稳定时间≤2.0min的低筋粉。 二、面粉、酵母、水、盐、糖、蛋、乳粉和乳化剂在面包、中点、西点产品中各起什么作用？答： 1．面粉：构成产品的“骨架”或“框架”，是保持产品形状结构的基本原料。 2．油脂： （1）增加营养、增进风味 （2）增强面坯可塑性，有利成型 （3）调节面筋胀润度，降低筋力 （4）保持产品柔软，延长保存期 （5）使产品酥松、酥脆。 （6）可充气发泡，使产品体积膨大。 3.糖： （1）增加营养，提供热量，也是面包和发酵类糕点中酵母生长的营养素。 （2）改善面包和烘烤类、油炸类糕点的色泽和外观。 （3）改善口味，增加产品的甜度。 （4）是产品的风味剂。 （5）是产品的保鲜剂、防腐剂。 （6）是糕点面团降筋剂。 （7）是糕点的定形剂。 4．蛋： （1）是蛋糕起泡剂。 （2）是面团增筋剂。 （3）是产品的保鲜剂。 （4）改善制品的色泽。 （5）增加制品的香气。 （6）增加制品的营养价值。 5．乳粉： （1）增加制品的营养价值。 （2）改善制品的色泽。 （3）是面团增筋剂。 （4）是产品保鲜剂。 （5）是产品质量改善剂。 （6）调控面团发酵速度。
（7）提高面团吸水率。 6．水： （1）使面粉蛋白质吸水形成面筋“骨架”，使淀粉吸水糊化，溶解各种原辅料，形成均质的面团。 （2）调控面团软硬度。 （3）调控面团温度。 （4）延长面包产品保鲜期。 7．乳化剂： （1）使各种物料乳化、混合、均质。 （2）提高面团筋力，增大面包体积。 （3）是产品的保鲜剂。 （4）是蛋糕的起泡剂。 8．酵母：是面包体积膨大，组织疏松柔软的生物膨松剂或发酵剂。 9．盐： （1）调控面团发酵速度。 （2）改善产品风味。 （3）增强面团筋力。 （4）改善面包内部色泽，提高白度。 三、化学膨松剂主要用于哪几类烘烤食品？起什么作用？有哪几种产品？最常用的产品有哪些？这些膨松剂各有什么优缺点，各适用于哪些烘烤食品？ 1．化学膨松剂主要用于糕点、蛋糕、饼干类产品。 2．化学膨松剂主要起到使糕点、蛋糕、饼干体积膨胀、组织疏松、改善口感等作用3．化学膨松剂有复合膨松剂（泡打粉）、碳酸氢钠（小苏打）、碳酸氢铵（大起子、臭碱、臭起子）。 4．最常用的化学膨松剂是复合膨松剂（泡打粉）。 5．化学膨松剂的优缺点： （1）复合膨松剂：膨胀能力较小，膨胀速度较慢，使产品水平膨胀（即横胀），使产品内部组织均匀、细腻，适用于各种饼类糕点、蛋糕、饼干等。 缺点：使用量过多，会使产品表面产生过多黑色斑点。 （2）小苏打：基本上与复合膨松剂相同。 缺点：但不适用于重油类糕点，会产生皂化反应，使产品产生令人讨厌的“皂味”。 （3）碳酸氢铵：膨胀能力大，膨胀速度快，使产品纵向膨胀（即竖胀、拔高），使产品体积大，内部组织更加疏松。 缺点：不适宜单独使用，产品内部组织不均匀、粗糙、大气孔多；不适用于含水量高的产品，会使产品产生强烈刺激的“氨味”，象“尿素”味一样。 四、影响酵母生长活性的因素有哪些？ 答： 1．面团温度：适宜温度在27~32℃之间，最适温度27~29℃。温度太低，酵母活性不旺盛，甚至活性停止，面团不能正常发酵；温度太高，酵母活性过旺，面团发酵速度过快，面团提前完成发酵，造成发酵不足；同时，酵母衰老也过快，易产生杂菌。 2．面团酸碱度（pH值）：酵母适宜在酸性条件下生长，最适pH值为5~6之间；不适宜在碱性条件下生长；pH＜4或pH＞8，酵母活性均大大降低。
第一章概论 1、“统计”一词有统计工作、统计资料、统计学三种涵义。统计资料是统计工作的成果，统计工作和统计资料是过程与成果的关系。 2、统计学的研究对象是客观现象（包括社会现象和自然现象）总体的数量方面。它具有数量性、总体性、变异性、具体性、社会性的特点。 3、统计学的性质是属于方法论学科，统计学是一门研究客观现象总体数量方面的独立的方法论科学。 4、统计学的基本研究方法：大量观察法、统计分组法、综合指标法、统计模型法、归纳推断法。 5、统计学的基本职能有：信息职能、咨询职能、监督职能。 6、统计的基本任务：一方面是以国民经济和社会发展为统计调查的对象，在对其数量方面进行科学的统计分析的基础上，为党和国家制定政策、各部门编制计划，指导经济和社会发展及进行科学管理提供信息和咨询服务；另一方面则是对国民经济和社会的运行状态、国家政策，计划的执行情况等进行统计监督。 7、统计工作的过程包括：统计设计、统计调查、统计整理和统计分析。 8、统计总体是指客观存在的，在同一性质的基础上结合起来的许多个别事物构成的整体，简称总体。总体单位是指构成总体的个别事物，简称个体。总体和总体单位是整体与部分、集合与元素的关系，它们互为存在条件。总体是界定总体单位的前提条件，总体单位是构成总体的基本元素。 9、标志按性质不同可分为品质标志和数量标志，按变异情况可分为不变标志和可变标志。 10、统计指标的特点：数量性、综合性、具体性。统计指标按其说明总体特征的性质不同，可分为数量指标和质量指标；按表现形式不同，可分为总量指标、相对指标，平均指标；按计量单位的不同，可分为实物量指标、价值指标和劳动量指标；按指标功能的不同，可分为描述指标、评价指标和预警指标。 11、（简）指标与标志的联系，具有对应关系、汇总关系、转换关系；指标与标志的区别，说明对象范围的不同，具体表现形式不同。（详）指标与标志有哪些区别及联系？ 区别： ①指标和标志的概念明显不同，标志是说明个体特征的，一般不具有综合的特征：指标是说明总体特征的，具有综合的性质。 ②统计指标分为数量指标和质量指标，它们都是可以用数量来表示的；标志分为数量标志和品质标志，它们不是都可以用数量来表示，品质标志只能用文字表示。 联系： ③统计指标是建立在标志值的基础之上的，它是各个总体单位的数量标志值的汇总，没有总体单位的标志值 也就不可能有总体的指标值。 ④随研究目的不同，指标与标志之间可以互相转化。两者体现这样的关系，指标在标志的基础上形成，指标又是确定标志的依据。 12、变量的分类：按变量值是否连续，可分为连续型变量和离散型变量；按照其性质不同，可分为确定性变量和随机变量。13、统计指标体系分为基本统计指标体系和 专题统计指标体系两大类。 第二章统计调查 1、统计调查是根据统计研究的目的、要求和 任务，采用科学的调查方法，有计划、有组 织地搜集统计资料的工作过程。统计调查在 统计工作的整个过程中，担负着提供基础资 料的任务，所有的统计计算和统计研究都是 在原始资料搜集的基础上建立起来的。 2、统计调查的基本要求： （1）准确性。即统计调查得到的资料应 该是真实可靠的、符合客观实际，不受人的 主观偏见和错误意识的影响。 （2）及时性。即统计调查要按时完成资 料的搜集和上报任务，以及充分发挥统计资 料的时间价值。 （3）完整性。统计调查搜集的资料，一 是要调查单位的完整、做到调查单位不重复、 不遗漏，以保证反映被研究对象整体的面貌； 二是要做到搜集的项目齐全，调查项目不仅 具有层次性，而且是紧密链接、赋予逻辑联 系，齐全的调查项目才能实现调查研究的目 的和任务。 3、一份完整的统计调查方案，应包括： （1）确定调查目的； （2）确定调查对象、调查单位和报告单位； （3）拟定调查项目、制定调查表； （4）规定调查时间和调查期限、调查地点 和方法； （5）制定调查工作的组织实施计划。 4、调查表的内容有：表头、表体和表脚。 调查表分无记名调查反馈表和记名调查 反馈表。 5、统计调查的组织形式有统计报表、普查、 重点调查、典型调查和抽样调查。 6、重点调查与典型调查有何异同？ 相同点： 都是非全面调查；调查单位少，可节省 人力、物力、时间；灵活性强；属于有部分 到全面的调查方式。 区别： （1）定义不同 重点调查是一门专门组织的非全面调 查，它是在调查对象的全部单位中只选择一 小部分重点单位进行调查，以了解总体的基 本情况。 典型调查是一种十分重要的，行之有效 的非全面调查方法。它是根据调查目的和要 求，在对被研究对象做全面分析的基础上， 有意识地从中选择少数具有代表性的典型单 位进行深入细致地调查研究，以便认识事物 的本质及其规律性的一种非全面调查。 （2）特点不同 重点调查的主要特点是：投入少、调查 速度快、所反映的主要情况或基本趋势比较 准确。 典型调查的主要特点是：调查单位少、 机动灵活、典型单位的选择带有一定的主观 性、典型单位可以注重于现象数量方面的分 析。 （3）组织形式不同 重点调查既可以是一次性调查性调查， 也可以用于经常性调查。其组织形式可以是 组织专门调查，也可以颁发统计报表，由选 中重点单位填报。 典型调查一般有两种方式：“解剖麻雀” 式和“化类选典”式。 （4）调查方式的优缺点不同 重点调查：优点：调查单位少，可调查 较多的项目和指标，了解较详细的效果，能 使党政领导尽快的掌握基本情况，发现问题， 采取措施，以指导工作。 缺点：因为重点调查单位与一般单位的 差别较大，通常不能用重点调查结果来推算 调查总体的指标 典型调查：优点：是补充全面调查资料 的缺口，利用典型调查资料，可以分析全面 调查不能认识清楚地一些具体问题，还可以 深入研究新生事物，找出事物变化发展的规 律，用来推断总体的指标数值。 缺点：主要是针对问题的普遍性研究， 不够深入 根本区别在于选取调查单位的方法不同。 典型调查单位的选择取决于调查者的主 观判断，因此具有主观性。重点调查单位的 选择取决于某一标志总量在总体所占比重， 因此具有客观性。 典型调查虽然在一定条件下，能根据典 型单位估计推断总体。但由于无法合理估计 其误差，因此不能根据典型单位的数量特征， 推断总体单位的数量特征。不过，可以利用 典型调查得到的具体、详细事例，补充分析 抽样调查无法获得具体、详细事例的不足。 7、统计调查的方法有：观察法、询问法、报 告法、网络调查法和问卷调查法。 观察法：优点是取得的资料比较准确； 缺点是花费的人力、物力、财力和时间都较 多，而且具有局限性。 询问法：优点是调查者能按统计口径逐 项询问，对统计项目有统一的理解，可保证 调查资料的准确性；缺点是花费大量的人力 和时间。 报告法：优点是准确性不亚于观察法； 缺点是花费较多的人力和物力。 网络调查法：优点是速度快、费用低、 易获得联系性数据、调研内容设置灵活、调 研群体大和可视性强；缺点是代表性问题、 安全性问题和无限制样本问题。 问卷调查法：优点是节省时间、经费和 人力；调查结果容易量化、便于统计处理与 分析；现在的电子问卷克服了纸质问卷的一 些缺点，方便实施与调整；可以进行大规模 的调查。 缺点是面向设计的问题问卷调查比较 难；调查结果广而不深；问卷调查经常采用 由用户自己填答问卷的方式，所以其调查结 果的质量常常得不到保证。；问卷调查的回 收率难以保证。 8、调查问卷的结构由卷首语（开场白）、正 文和结尾组成。 问卷的设计形式有开放式和封闭式。 第三章统计数据的整理与显示 1、统计数据整理的主要内容（步骤）是：（1） 统计资料整理方案的设计；（2）对调查资料 的审核；（3）对调查资料进行科学的分组、 汇总；（4）数据资料的显示——编制和绘制 统计表（图）；（5）统计资料的保管与积累。 2、统计分组就是根据统计研究的目的和被研 究现象总体的内在特征，将统计整体按照一 定的标志划分为若干性质不同的部分或组的 一种统计方法。统计分组的关键在于确定分 组标志和组距。
《测度论》教学大纲 课程编号：120502B 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 □专业必修课□√专业选修课 □学科基础课 总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0 学分：2 适用对象：经济统计学、统计学 先修课程：数学分析、概率论 毕业要求： 1.应用专业知识，解决数据分析问题； 2.可以建立统计模型，获得有效结论； 3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用； 4.关注国际统计应用的新进展； 5.基于数据结论，提出决策咨询建议； 6.具有不断学习的意识； 7.扎实的数学基础和完整的统计知识体系； 8.计算机编程技能与经济学基本常识。 一、教学目标 测度论是现代数学的一个重要分支，同时也是现代概率理论的数学基础。其在抽象空间上建立的包括积分和微分的一整套分析系统，已成为数学各分支的有力工具，在遍历论、随机过程、微分方程、微分几何、统计与金融数学等领域有着广泛而深刻的应用。本课程旨在介绍测度论的基本概念和基本理论。通过本课
程的学习，使学生能初步掌握抽象空间上的测度与积分理论以及概率论的公理化体系，同时领会抽象概念和定理的直观涵义，为进一步的学习和研究提供必要的数学基础。 二、教学内容及其与毕业要求的对应关系 （一）教学内容 可测空间与单调类定理，测度空间与扩张定理，可测函数的积分与积分收敛定理，符号测度、不定积分、Radon-Nikodym导数与Lebesgue分解定理，乘积空间与Fubini定理。 （二）教学方法和手段 教师课上讲授理论知识内容及相关基本例题，学生课下练习及教师答疑、辅导相结合。 （三）考核方式 开卷，平时成绩占30%，期末成绩占70%。 （四）学习要求 课上听讲，并独立完成课后作业。 三、各教学环节学时分配 教学课时分配 四、教学内容
测度的意思是什么 本文是关于测度的意思是什么，仅供参考，希望对您有所帮助，感谢阅读。 测度的意思 [释义] (动)推测。 [构成] 并列式：测+度 [例句] 根据风向测度;今天不会下雨。(作谓语) 揣测、推测、估计、推断、揣摸 测度详细解释 ◎测度 cèduó [conjecture;estimate;infer] 猜测揣度 测度他今日不来 猜测，料想。南朝宋谢灵运《入华子冈是麻源第三谷》诗：“险逕无测度，天路非术阡。”宋王禹偁《答张扶书》：“天地毕矣，何难测度哉!”冰心《寄小读者》六：“大人的思想，竟是极高深奥妙的，不是我们所能测度的。” 测度造句 (1) 嗟乎!凡夫例登补处，奇倡极谈，不可测度。华严所禀，却在此经。而天下古今，信少疑多，辞繁义蚀，余唯有剖心沥血而已! (2) 从政处理实际事务的时候，揣摩测度，刻意的让事情的处理归复于大道，然而这其中有很多事情没有得到妥善的处理，在仓促匆忙、造次颠沛的时候也是这样的。 (3) 而运用标准差和平均差极大化方法构造一种综合评价测度指标，并吸取述上述五个指标的长处，可对基金绩效作出唯一和合理的评价。 (4) 作者在对方向信息测度研究的基础上，认为从方向信息测度中可以得到更多的信息，因此对其定义进行了改进。
(5) 根据所建立的测度模型,用回归、德尔菲法等数学统计方法对综合信息竞争力进行了权重计算. (6) 在局部紧空间上的测度论中，正则性是一个比较重要的概念。 (7) 同时，利用对称性测度法对定位的车辆进行确认。 (8) 利用比较定理、矩阵范数和矩阵测度的有关性质，提出了简单不确定时滞系统及对称组合不确定时滞系统的稳定条件。 (9) 摘要本文测度各省四部门乘数及其差异. (10) 讨论一类可数离散半群上概率测度卷积幂的弱收敛性，主要结果是利用局部群化的观点给出了概率测度卷积幂弱收敛的一个充分条件。 (11) 本文提出了一种基于置信测度的自适应模型适配算法用于音乐分割。 (12) 以未确知测度为隶属函数抽象出论域上的未确知集合概念，定义未确知集合的运算。 (13) 另一方面，文中还给出了广义模糊积分平均收敛蕴涵依测度收敛的几个简洁的充分性条件，以及使两者等价的条件。 (14) 利用上海市土地交易价格资料，尝试测度了土地要素投入对上海市经济增长的贡献。 (15) 实验结果表明，标识字段比特流随机测度值随着比特流长度的增加整体上呈递减趋势。 (16) 应用测度论的知识，给出了非独立随机变量可测函数的期望积分的转换定理的一个证明。 (17) 卡尔维诺先生在谈到自己的作品时显得神秘难以测度。 (18) 利用条件期望的概念，采用测度的网微分法并运用纯分析运算得出了结论。 (19) 本文在简述了农业生产潜力定量测度方法的基础上，计算和分析了德阳市主要作物生产潜力。 (20) 还进一步建立了当扰动趋于零时，关于这族不变测度的大偏差原理。 (21) 在去掉可加性的条件下，将经典测度论中的某些概念加以推广，得到相应的结果。
焙烤工艺学知识点总结2015版 名词解释: 1、面筋: 面粉加入适量的水揉成面团，泡在水中30～60min，将淀粉及可溶性成分洗去， 剩下的有弹性像橡皮似的物质，即为湿面筋，烘干后即得干面筋，其主要成分是麦胶蛋白和麦谷蛋白。 2、损伤淀粉：在小麦制粉时，由于磨的挤压、研磨作用，有少量淀粉的外被膜被破坏，即 为损伤淀粉。 3、吸水率是指面粉加水到粉质曲线到达500 Bu时所需的加水量，以面粉含水14％为基 础计算加水量。 4、面团形成时间:是指从零点(开始加水)直至粉质曲线达到峰值时所需搅拌的时间（PT） 5、稳定时间是指面团粉质曲线中心线首次到达500Bu和离开500Bu的时间之差（Stab）， 主要反映面团的稳定性，既耐搅拌性能 6、弱化度指面团承受500Bu的阻力，与出现峰值12min后面团所承受阻力之差，用Bu 表示（wk）。弱化度表明面团在搅拌过程中的破坏速率，也就是对机械搅拌的承受能力，也代表面筋的强度。 7、降落数值:是反映小麦中α-淀粉酶活性的指标,以一定质量的搅拌器在面粉糊化液中下 降一段特定高度所需的时间来表示α-淀粉酶活性的。 8、反水化作用:糖含量超过20%，会形成高渗透压，不仅会夺走自由水，还会吸附淀粉与 面筋之间的结合水，使面筋不宜形成，使面团变软。 9、淀粉糊化：淀粉不溶于冷水，当淀粉微粒与水一起加热时，则淀粉吸水膨胀，其体积可 增大近百倍，淀粉微粒由于过于膨胀而破裂，在热水中形成糊状物，这种现象称为糊化作用，在65℃时开始糊化。 10、 填空题： 1、硬质红春小麦（hard red spring）、软质白冬小麦（soft white winter） 2、小麦粉蛋白含量：含量在8%~14% 3、面筋蛋白：麦胶蛋白、麦谷蛋白 4、搅拌好的面团应有以下特性：胶粘的流动性（Fluidity）塑性（Plasticity）弹性（Elasicity0 5、面粉的品质评价:粉质曲线、拉伸曲线、降落数值、面筋含量、烘焙品质与蒸煮品质 6、小麦粉品质的改善：溴酸钾、L-抗坏血酸（Vc）、偶氮甲酰胺（氧化剂） 谷朊粉（提高蛋白含量） 大豆磷脂、单甘脂、（乳化剂） 麦芽粉（0.2～0.4%)或α-淀粉酶(0.03～0.035%)（酶制剂） 焦亚硫酸钠（还原剂） 7、高筋面粉：蛋白含量11％～13％，中筋面粉：蛋白含量9％～11％，低筋面粉：蛋白含 量7％～9％， 8、奶油、黄油需18-21℃时加工 9、白砂糖精制的蔗糖晶体，纯度最高;饴糖:糕点中做抗晶剂淀粉糖浆:防止蔗糖结晶 返砂转化糖浆:主要利用其吸湿性 10、蛋白起泡性:30℃时
测度论基础知识总结 1.集合论 1.1 集合与基本运算 ·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。中间含有的对象叫元素。 全集：要研究的问题涉及到的最大集合。 空集：没有任何元素的集合。 表达方法：{x（集合元素x）|x应该有的性质} ·元素与集合的关系：x A，x?A ·集合之间的关系 只有包含或者不包含 若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法），A是B的子集（A B 则为B的真子集） 包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A 真子集：A包含于B但A B ·集合的运算 ①单个元素的幂集 对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。这种以集合为元素的集合，也叫集合族。 ②两个集合的运算 交：A B={x| x A且x B} 并：A B={x| x A或x B} 差：A\B（或写成A-B）={x| x A且x?B} 补：=U\A（U是问题要研究的全集） 于是有等式A\B=A 积：（直积）A×B={(x,y)| x A且y B }（把A、B中元素构成有序对） ③多个元素的运算 多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，I称为指标集。 类似有多个并 注：可以是无穷个 【例】={x| x>}，A={x| x>0}，则A= ·集合的分析相关性质 ①上限集：一列集合{}，定义上限集为。类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{}，定义下限集为。类似于数列的下极限。 ③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。 ④单调集合列：若始终有包含于，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之， 若始终有，则为递减列。 若为递增列，则有极限=；若为递减列，则有=。 1.2映射 ·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f(x)Y与之对应，则对应法则f 为X到Y的一个映射，记为f:X→Y。 像集：对于X的一个子集A，像集{f(x)| x A}记为f(A)，显然包含于Y 原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x| x记为 ·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像 单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像 双射：既是单射又是满射。双射是一一对应的映射。 ·逆映射：对于双射，建立一种Y到X的双射，将像映射到原像上。记为:Y→X ·复合映射：f:X→Y，g:Y→Z，它们的复合g o f:X→Z，写成g(f(X)) ·函数，一个（n维实数向量）到R（实数）上的映射 ·性质（映射与交并运算顺序可交换性） 对于f:X→Y，X若干个子集，Y若干个子集 f(U)=Uf() = f()包含于（只有这一个不一定等于！！！） 不等于的例子：A={1} ，B={-1}，f(x)=|x|，则f(A B)f(A)f(B) = 用集合相等定义可证明。 1.3集合的势 ·对等：如果集合A和B之间可以建立双射，则A对等于B。记为A~B 性质：①A到B有单射→A与B子集对等 A到B有满射→B与A子集对等 ②A~B，B~C，则A~C（传递性） ③A~C，B~D，则A×B~C×D
统计学基础(练习题一) 一、单项选择题 1.调查某大学5000名学生学习成绩，则总体单位是（） A、5000名学生 B、5000名学生的学习成绩 C、每一名学生 D、每一名学生的学习成绩2．下列属于品质标志的是（） A、工人年龄 B、工人性别 C、工人体重 D、工人工资等级 3．要了解我国农村经济的具体状况，最适合的调查方式是（） A、普查 B、典型调查 C、重点调查 D、抽样调查 4．按连续型变量分组，其末组为开口组，下限为2000，已知相邻组的组中值为1750，则末组的组中值为（） A、2500 B、2250 C、 2100 D、2200 5．某商场2007年空调销售量为6500台，库存年末比年初减少100台，这两个总量指标是（） A、时期指标 B、时点指标 C、前者是时期指标，后者是时点指标 D、前者是时点指标，后者是时期指标 6．下列标志中属于品质标志的是（） A、年龄 B、工龄 C、职业 D、工资 7．在编制组距数列时，影响组数多少的主要因素是（） A、组距 B、全距 C、组中值 D、组距和全距 8．下述各项调查属于全面调查的是（） A、对某种连续生产的产品质量进行抽样检验 B、对全国钢铁生产中的重点单位进行调查 C、对某地区工业企业设备进行普查 D、抽选部分地块进行农产量调查 9．下列分组中属于按品质标志分组的是（） A、学生按考试分数分组 B、产品按品种分组 C、企业按计划完成程度分组 D、家庭按年收入分组 10．某连续变量数列，其末组为开口组，下限为200，又知其邻组的组中值为170，则末组组中值为（） A、230 B、260 C、185 D、215 11．某城市进行工业企业未安装设备普查，个体是（） A、工业企业全部未安装设备 B、工业企业每一台未安装设备 C、每个工业企业的未安装设备 D、每一个工业企业 12．几位学生的某门课成绩分别是67分、78分、88分、96分，则“成绩”是（） A、品质标志 B、数量标志 C、标志值 D、数量指标
烘焙基本知识培训 第一部分：面粉基本知识 一、面粉的组成： 1、面粉由碳水化合物．蛋白质．脂肪．矿物质和水等组成． （1）、碳水化合物：碳水化合物即糖类，是面粉中含量最高的化学成分，约占面粉重的75%，其中绝大部分以淀粉的形式存在的。 （2）、蛋白质：面粉中的蛋白质主要由麦胶蛋白、麦谷蛋白、麦清蛋白和麦球蛋白等组成，麦胶蛋白和麦谷蛋白是形成面筋的主要成分。 2、面粉根据蛋白质（含量）不同可分为低筋、中筋、高筋面粉。 二．面粉的工艺性能 （一）、面筋的工艺性能 1、面粉的筋力和面筋的工艺性能 面粉的筋力好坏．强弱决定于面粉面筋质的数量和质量．面筋质主要是由麦胶蛋白和麦谷 蛋白两种蛋白质组成． 2、面筋的工艺性能 评定面筋质量和工艺性能的指标有延伸性．可塑性．弹性．韧性和比延伸性．不同烘焙食品对面筋的工艺性能的要求也不同：制作面包要求弹性和延伸性都好的面粉，制作糕 点．饼干则要求弹性．韧性．延伸性都不高，但可塑性良好的面粉． （二）面粉蛋白质数量和质量 面粉的烘焙品质是由蛋白质的数量和质量两个方面来决定的． （三）面粉的吸水率 面粉吸水率是检验面粉烘焙品质的重要指标．面粉吸水率高，可以提高面包的出品率，而且面包中水份增加，面包心就比较柔软，保存时间也相应延长．因此，面包厂不但要选择吸水率较高的面粉，而且要求面粉的吸水率最好保持在恒定的水平，以利于正常生产． （四）面包面粉的选择 1、面粉的筋力 面粉中的面筋形成网状结构，构成面包的＂骨架＂．面粉筋力不足，影响面包的组织和形状．因此，面粉要有足够数量的蛋白质和优质的面筋．
2、面粉白度 面粉颜色影响面包的颜色．愈靠近麦粒中心部位磨制的面粉颜色愈白，品质愈好。 3、发酵耐力 即面团超过预定的发酵时间还能生产良好质量的面包。面粉发酵耐力强，对生产中各种特殊情况适应性就强，有利于保持面包质量。 4、吸水率 面粉吸水率高低不仅影响到面包质量，而且直接关系到经济效益。吸水率高，出品率亦高。能降低产品成本，有利于产品贮存和保鲜。 （五）面粉的熟化（亦称后熟。陈化） 新磨制面粉的特点：新面粉搅拌成面团后，面团非常粘，不宜操作，而且筋力很弱，生产出来的面包体积小，弹性，疏松性差，内部组织粗糙，表皮色泽暗，无光泽。特别是面包在烘焙期间和出炉后，极容易塌陷和收缩变形而变成废品。面粉熟化后即可改善这种现象。 面粉自然熟化时间一般在1个月左右。 通常采用化学方法加速新粉熟化，在面粉中添加面团改良剂溴酸钾。维C等，在一周内即可使用。 三、面团流变学特性 （一）、粉质曲线 1、吸水率 2、面团形成时间 3、稳定时间 面团的稳定时间越长，韧性越好，面筋的强度越大，面团加工性质好。 4.弱化度 弱化度表明面团在搅拌过程中的破坏速率，也就是对机械搅拌的承受能力，也代表面筋的强度。指标数值越大，面筋越弱，面团越易流变。塌陷变形，面团不易加工，面团烘焙品质不良。 第二部分：面包的生产工艺及配方 一、原辅料及其作用、添加量： 1、面粉——主要由碳水化合物、蛋白质、水、无机盐等组成，面粉的量永远为100%。 2、糖——在面包中主要作为甜味剂和酵母食物，增加面包柔软度和保鲜期，同时糖的焦糖化作用产 生面包金黄的色泽，甜面包中用量一般为15-20%，咸面包中为5%左右。 3、油脂——面包应用固体奶油，因固体油脂不易被氧化而酸败，油脂的作用主要为润滑面筋，使面 包组织均匀细腻，增强保气能力和增加面包体积，在面包中用量一般为6-10%。 4、奶粉——奶粉具有增强面筋，增大面包体积作用，同时具有增加吸水率的作用，在面包中用量一 般为3-5%。 5、盐——增加风味，调节发酵速度，抑制细菌生长的作用，甜面包中用量一般为1-1.2%，咸面包 中一般为1.5-2%。 6、酵母——用量一般在0.8-1.2%，应视气候的变化而变化。 7、添加剂——具有调节水的软硬度，增强面筋，改善面包组织结构的作用。 二.面包配方及工艺流程（快速法） （一）面包配方实例：
外测度的性质与计算 The properties and calculation of the outer measure 姓名： 学号： 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 指导老师： 完成时间： 外测度的性质与计算 【摘要】Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础,本论文主要论述了它的一些性质及相关的计算.首先,给出了Lebesgue外测度的定义；接着,指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；同时给出了外测度的介值定理和一些其他的性质,并讨论了在一般情况下,外测度不具备可数可加性；然后讨论了可数集的外测度的性质,着重写出可数
江西师范大学11届学士学位毕业论文 集的外测度具有可数可加性；最后是与外测度计算相关的一些例题.【关键词】Lebesgue外测度，次可数可加性，距离可加性。
The properties and calculation of the outside measure 【abstract 】Lebesgue outer measure is the base of lebesgue integral, this thesis mainly discusses some properties and its related calculation. At first, give the definition of Lebesgue outer measure; then pointed out and proved the outer measure has nonnegative, monotonicity and second countable additive property , distance additive property,translation invariant property ,the five main properties; It also gives the outer measure mean value theorem and some other properties, and discusses the properties under the meaning of general point sets, the outer measure does not have countable additive property. Then discussed the property of outer measure of countable set, and emphatically write that outer measure of countable set has count additive property. And the last is some examples about outer measure computation. 【keywords 】Lebesgue outer measure, Second countable additive property , Distance additive property
第一章 1统计数据可分为哪几种类型不同类型的数据各有什么特点 按照所采用的计量尺度不同，分为分类数据、顺序数据和数值型数据；按照统计数据的收集方法，分为观测的数据和实验的数据；按照被描述的对象与时间的关系，分为截面数据和时间序列数据。 按计量尺度分时：分数数据中各类别之间是平等的并列关系，各类别之间的顺序是可以任意改变的；顺序数据的类别之间是可以比较顺序的；数值型数据其结果表现为具体的数值。按收集方法分时：观测数据是在没有对事物进行人为控制的条件下等到的；实验数据的在实验中控制实验对象而收集到的数据。按被描述的对象与时间关系分时：截面数据所描述的是现象在某一时刻的变化情况；时间序列数据所描述的是现象随时间而变化的情况。 2变量分为那几类：分类变量、顺序变量和数值型变量。 3举例说明离散型变量和连续型变量： 离散变量是指其数值只能用自然数或整数单位计算的则为离散变量.例如,企业个数,职工人数,设备台数等,只能按计量单位数计数,这种变量的数值一般用计数方法取得. 在一定区间内可以任意取值的变量叫连续变量,其数值是连续不断的,相邻两个数值可作无限分割,即可取无限个数值.例如,生产零件的规格尺寸,人体测量的身高,体重,胸围等为连续变量,其数值只能用测量或计量的方法取得.
练习书上有答案：需注意：用数值表示的属于数值变量。分类选择的属于分类变量。投票选举的属于顺序变量。 第二章： 简述普查和抽样调查的特点： 抽样调查是从调查对象的总体中随机抽取一部分单位作为样本进行调查，并根据样本调查结果来推断总体数量特征的一种数据收集方法。特点：经济性，时效性强，适应面广，准确性高。普查是为某一特定目的而专门组织一次性全面调查。 特点：第一普查通常是一次性的或周期性的。第二普查一般需要规定统一的调查时间。第三普查的数据一般笔记哦啊准确，规范化程度也较高，因此它可以为抽样调查或其他调查提供基本的依据。第四普查使用范围比较狭窄，只能调查一些最基本的、特定的现象。 调查方案包括哪几方面的内容：调查目的、调查对象和调查单位、调查项目和调查表。 什么是调查问卷：它由哪几部分组成 调查问卷是用来收集调查数据的一种工具，是调查者根据调查目的和要求所涉及的，有一系列问题、备选答案、说明以及码表组成的一种调查形式。结构：开头部分、甄别部分、主体部分和背景部分组成。
第三章 测 度 论（总授课时数 14学时） 教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集 本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集 诸如面积体积等概念进行比较. §1、外测度 教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质. 2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法. 本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时 —————————————————————————————— 一、引言 (1) Riemann 积分回顾（分割定义域） ||||0 1 ()()lim ()n b i i a T i R f x dx f x ξ→==?∑?，1i i i x x x -?=-，1i i i x x ξ-≤≤ 积分与分割、介点集的取法无关。 几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。 （2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手） 记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则 [,] 1 ()()lim n i i a b i L f x dx mE δξ→==∑? 问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和 上积分（外包）（达布上和的极限） ||||0 1 ()lim n b i i a T i f x dx M x →==?∑? 下积分（内填）达布下和的极限 ||||0 1 ()lim n b i i a T i f x dx m x →==?∑? 二、Lebesgue 外测度(外包) 1．定义：设 n E R ?，称非负广义实数*({})R R ?±∞=
开心品味屋- 烘培原料、工具、模具，DIY 套餐，餐饮调料、香料、辅料 烘焙基础知识大全 好像我们这里还没有特别全的有关烘焙基础知识的帖子,刚好自己也在摸索阶段,那我就逐渐完善这 个帖子吧~ （一）烘焙工具的基本知识 烤箱 建议采用可以上下管加热，且有温度和时间刻度，容积至少在13L 以上的家用电烤箱。 PS：如果烤箱为华氏计量温度，可以运用此公式换算摄氏温度：摄氏＝（华氏－32℃）×5÷9 家用烤箱的品牌和规格有很多，选择时要注意一下几点： 1）最高温度可以达到250 度，因为很多需要烘烤的食品一般都不会超过250 度。 2）可以定时60 分钟或更长时间，因为有些点心或肉类需要烤很久，能定时60 分钟或120 分钟的 烤箱在烤制时更方便。 3）内容积在20L 以上为宜，并且内部有至少两层放臵烤盘的位臵。足够的空间才可以放臵比较常 用的蛋糕模具，相对来说容积大的烤箱空间内部温度更均匀。另外，不同的产品在烘烤时需要调整
放臵的上下不同位臵。 4）要买有顶部和底部两层加热管的烤箱。这样，就可以分开控制开关，有些产品需要单独用上火 或下火时烘烤。 备注：烤箱在使用时需要提前预热，也就是设定好温度，提前打开空烧5 分钟左右，使内部达到需 要的烘烤温度。另外，烤箱买回后，在首次使用前，应用纸巾将加热管上的油擦去（某些厂家给加 热管涂油的目的，是为了避免在未销售时加热管受潮生锈），否则在使用时会有黑烟冒出。 40 摄氏度，可以用来发酵面团和酸奶，以代替温水和棉被。 50 摄氏度，可以将食物脱水，制成各种水果干、蔬菜干、肉干，以便于保存，烘干的时候要稍微 打开烤箱门，以利于水分散发。 60 摄氏度，可以用来制作香肠、腊肉。 开心品味屋- 烘培原料、工具、模具，DIY 套餐，餐饮调料、香料、辅料 烤盘和烤网 一般随烤箱会附带烤盘和烤网。烤盘用来盛放需要烘烤的食物，如肉类、饼干类和面包等等。烤网 可以用来放臵带有模具的食品，如蛋糕、各种派等等，烤网还有一个重要的作用，就是将烤好的食
第二章 测度论的知识要点与复习自测 一、Lebesgue 外测度的知识要点： ◇ 熟练掌握Lebesgue 外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue 外测度的特有性质：距离分离性）； ◇ 会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：n R 中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）； ◇ 特别注意零测集的含义和性质【如n R 中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。 自测题： 1、叙述n R 中Lebesgue 外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题： （1）设n n Q R ?为有理点集，计算*n m Q 0=； （2）设n R E ?为至多可数集，计算* m 0E =； （3）设n ,R E F ?，* m 0E =，则()()***m m m \F E F F E ?==。 2、据理说明下面的结论是否成立：设n R E ?， （1）若E 为有界集，则* m E <+∞； （2）若* m E <+∞，则E 为有界集； （3）若*m E =+∞，则E 为无界集； （4）若E 为无界集，则* m E =+∞。 3、设n R I ?为区间，证明：*m I I =，其中I 表示I 的体积（注意I 分有界和无界 两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题： （1）设1[0,1]R P ??为三分Cantor 集，则* m 0P =；（注意三分Cantor 集的构造） （2）设()f x 为定义在1[,]R a b ?上的黎曼可积函数， {}2()(,)(),[,]R p G f x y y f x x a b ==∈?， ()f x 在[,]a b 的图像，则*m ()0p G f =；（注意黎曼可积的充要条件的使用） （3）设n R E ?有内点，则* m 0E >； （4）（外侧度的介值性）设1 R E ?为有界集，*m 0E >，则对任意* 0m c E ≤≤，存在1E E ?，使得，*1m E c =；（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性） （5）（外侧度的介值性的一般形式）设1 R E ?，*m 0E >，则对任意* 0m c E ≤≤，存在1E E ?，使得，*1m E c =。（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测集列的测度性质） 二、Lebesgue 可测集的知识要点： ◇ 熟练掌握Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory 定义）及等价 条件（如：余集的可测性；对任意的A E ?和c B E ?，总有()*** m A B m A m B ?=+），会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等）； ◇ 熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断集合的可测性；