二次根式基本运算、分母有理化
；「 kl-中考要求
内容
基本要求 略咼要求
较咼要求
二次根式的 化简和运算
理解二次根式的加、减、乘、除运算法则 会进行二次根式的化简，会进行二次根 式
的混合运算(不要求分母有理化)
例题精讲
板块一二次根式的乘除
最简二次根式：
二次根式..a ( a_0 )中的a 称为被开方数?满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式: ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式(被开方数不能存在小数、分数形式)
⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
⑶分母中不含二次根式 二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.
二次根式的乘法法则 :.a ...b =』ab ( a_0, b_0)
二次根式的除法法则??孚=初(a 工0 , b>0 )
利用这两个法则时注意 a 、b 的取值范围，对于 ab = ?、a , a 、b 都非负，否则不成立， 简二次根式有
A ? 2个
B ? 3个
C . 4个
【例4】把下列各式化成最简二次根式
(1) 24 (2) 75a 3 (3) 25x 3 50x 2 x > 0
如.(-7) ( -5) = , ( -7) (-5)
一、最简二次根式
【例1】 下列二次根式中，最简二次根式的个数是(
#6x°，寸 a 2 +b 2 , J2ab 2 , Jo.5ab , ￡ ,
A.1个
B.2个
C.3个
)? .x 2 —4x 4 ? D.4个
【例2】
在下列二次根式? 10 , , 275m ，寸3x 2 , ,a 2 -b 2 寸，莎，-三，3「2，2， a 中，最 2
【例3】
F 列根式2 ?.两,.8，乎，仝型 5 ,乍x? ，J*中式最简二次根式的有(
【例6】化简：；；.；2 y
x 0
；【例7】总
【例8】计算：.27a29a2b2a > 0
【例9】计算：J9x3y2(x +y 3 (x > 0,y > 0)
【例10】计算：2a3-20a250a a > 5
二、二次根式的乘除
分母有理化：
把分母中的根号化去叫做分母有理化.
互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式.
.a ? -、b与a - b互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0.
18 24 60 ;
【例18】10mn2一：. 6m2n
【例11】
【例12】
把下列各式分母有理化：
2
⑴ ⑵—xy -y
2a 4 x y
把下列各式分母有理化：
⑴2_
3 一；3
⑵ 32：2 5
⑶(2 3 3.2) -：-(3 2 -2 3)
1 1 1
⑶2-1
3、5 -2；3
3.5 2、
【例13】
⑷「—「—二，—
3 -、5 .5 、7 .7-3
化简：
a _b
a rb
c 3 一6 10
C .
D .不同于AL C的答案
【例14】计算:
【例15】计算:
6 -43^142.
3
3 8
【例计算:
【例 a 0, b 0 ,c 0
【例20】计
【例22】计算：乞
8
如 【例 23】_4 J 18+（2 j S x 1
J 54） 3 3 三、二次根式的加减
1?同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 合并同类二次根式： ax ?b'、x =（a b^, x .同类二次根式才可加减合并.
【例24】若最简二次根式J 3a _5与J a +3是可以合并的二次根式，则 a= __________ 。
【例25】下列二次根式中，与.a 是可以合并的是（
）
A . 2 a
B . 3a 2
C .，孑
如果最简根式a 卡勺4a+11b 与+4b +1是同类二次根式，求（a+b ）100的值. 2?二次根式的加减
计算：48 -. 27 一2 8
75 (3 0.5 4.1.5) -(1 , 0.24 -
2
V 2
【例37】计算：9 .3 7 12 -5 48
【例26】 下列各组二次根式中，属于可以合并的是（
A . 12 与 72
B . 63 与.28
C . 4?与 2 2x
D .帀与-3
【例27】 【例28】 判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：
⑵洛化
⑷」4 a 3b 2
和再 哪些是同类二次根式？（字母均为正数）
y ; y
⑴? 2x 3y 和2x 3yz 【例29】
1
历；V48 ； 5 若最简二次根式 J 20 ； 1^125 ； 一 2 M x
p 2a +b 与J a +2b 是同类根式，求 -a 2b 的值. 【例30】 【例31】
化简： a 2 6a 9 a 2 —10a 25 【例32】 【例33】 【例36】
计算：5.2 .8 -7 18
⑶ 下列二次根式中,
【例【例
【例39】先化简后求值。当x =4 , y 二1时，求? x -令一，x 一 1 ..亍
9 卞 \ 4 y v
四、二次根式的混合运算
【例40】计算2.a_3.b —6 a
【例41】计算：2 3 72 -2.50
【例42】计算：.6 (.12 ? .18)
【例 43】(.42 — .30)"、. 6
【例45】计算： 3 1 3 2
【例 46】计算：(3 2 .48)( .18 _4、3)
【例47】
【例44】计
算:
二次根式的运算法则（讲义） ? 课前预习 1. 已知a ，b 均为非负数，请根据幂的运算法则与算术平方根的定义，解决下 列问题： （1）①根据算术平方根的定义可知，ab 的算术平方根是____． ②2 =22? =_________ 是_________的算术平方根． 对比①②的结果，你能得到的结论是___________________． （2）类似（1 0b =≠）： ①根据算术平方根的定义可知，a b 的算术平方根是_______． ②2 ? =________ _________的算术平方根． 对比①②的结果，你能得到的结论是___________________． ? 知识点睛 1. ________________________________叫做二次根式，它具有 _________________________，即_______________________． 2. 最简二次根式（①②同时具备）： ①_________________________________________________； ②_________________________________________________． 3. 二次根式的乘除法则： ①_________________________________________________； ②_________________________________________________． 4. 同类二次根式：_____________________________________． 5. 二次根式的加减法则： ①______________________；②_______________________． ? 精讲精练
二次根式的运算（提高）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.
专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升 【基础巩固】 1．（2019·x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B ．1≥x C ．1x > D ．1x ≤ 2．（2020·山西月考）计算：(2 1-=_____． 3．（2020· =______． 4．（2020·官成镇月考）使式子 x 有意义的实数x 的取值范围是__________． 5．（青岛月考）若2,,4m =__________． 6．（2020·=___________． 7．（2020·浙江杭州市模拟）一个长方形的面积为，其中一边长为边为_________． 8．（2019·威远县月考）当a ＜01a -=_______． 9．（2020·成都月考）若实数x ，y 满足3y =， 则x y +的立方根为_______． 10．（2020·四川月考）若24 y x = -，则x 的取值范围是__________． 11．当a=__________和可以合并． 12．（2020·辽宁锦州市期中）数轴上，点A 1，点B 表示3，则AB 间的距离___________ 13．（2020·平远县期中）(1 1224-?? ???
14．（2020·甘肃兰州市期中）计算 （1） （2） ﹣1） ）﹣（1﹣ 2． 15．（2019·广东月考）如图A ，B ，C 三点表示的数分别为a ，b ，c ．利用图形化简： a b - 16 ()() 2 2 3 3 +== =+ - 互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． （1 的有理化因式是________2的有理化因式是________． （2）将下列式子进行分母有理化：
二次根式的混合运算（1） 教学目的：会进行二次根式的加减、乘混合运算。 重点：二次根式的加减乘混合运算。 难点：运算法则的综合运用。 关键：掌握混合运算顺序和步骤。 教学过程： 复习提问： 1．叙述二次根式加减法的两个步骤。 2．填空：当a ≥0，b ≥0时，________=?b a ； 3．叙述单项式乘以多项式运算顺序； 4．叙述多项式乘以多项式的运算法则。 二次根式的乘法：ab b a = ?（a ≥0，b ≥0） 二次根式的除法：b a b a = （a ≥0，b>0） 新课： 形如a 的式子，a 表示什么？a 需要满足什么条件？根据平方根的定义，当a ≥0时， a 表示a 的算术平方根，是一个非负数，它的平方等于a ；当a<0时，a 无意义。 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。 有如下性质： （1）) 0(0≥≥a a a 表示非负数且被开方数a 必须大于等于零 （2） )0()(2 ≥=a a a ； （3） |a |a 2=； 2a 表示2a 的算术平方根，若0x ,a x 2 2≥=， 则2a x = 如当a=2，-3，-0.1时，
22,22222==； 3)3(,)3(3222=--=； 1.0)1.0(,)1.0(1.0222=--=。 所以x=|a|，即 |a |a 2= 例1计算： （1）6)3527 8 (?- 解：6)3569 2 ( -= 2153 4 -= 。 （2）)3225)(65(-+ 解：26310310225-+-= 219=。 例2计算： （1）)2332)(2332(-+； （2）2 )534(+； （3）2 )336(-。 解：（1）原式2 2)23()32(-= =12-18 =-6； （2）原式2 2)53(53424+?-+=
二次根式的运算（基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.
16.2.3二次根式的运算 1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则； 2．掌握二次根式的加减运算．(重点、难点) 一、情境导入 计算： (1)2x －5x ； (2)3a 2－a 2＋2a 2. 上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x 换成3，a 2换成5，这时上述两小题就成为如下题目： 计算： (1)23－53； (2)35－5＋2 5. 这时怎样计算呢？ 二、合作探究 探究点一：同类二次根式 下列二次根式中与2是同类二次根式的是( ) A.12 B. 32 C.23 D.18 解析：选项A 中，12＝23与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项B 中， 32＝62与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项C 中，23＝63与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项D 中，18＝32与2被开方数相同，故与2是同类二次根式．故选D. 方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 探究点二：二次根式的加减 【类型一】 二次根式的加法或减法 (1)8＋32； (2)12 23＋1332； (3)448－375； (4)1816－32 96. 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62； (2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63 ； (3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3；
新人教版数学八年级下册《二次根式》基础专项练习 一、二次根式的意义 1．下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 2．下列式子是二次根式的有（） ①；②（a≥0）；③（m，n同号且n≠0）；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列根式中，属于最简二次根式的是（） A． B．C．D． 二、二次根式有意义的条件 4．若代数式﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≠﹣2 B．x≤5 C．x≥5 D．x≤5且x≠﹣2 5．已知y=，则的值为（） A．B．﹣ C．D．﹣ 6．若式子﹣+1有意义，则x的取值范围是（） A．x≥B．x≤C．x= D．以上都不对 三、二次根式的性质与化简 7．下列运算正确的是（） A．B． C．D． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（）A．1 B．b+1 C．2a D．1﹣2a 9．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 四、最简二次根式
10．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B．C． D． 11．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④ 12．下列根式中是最简二次根式的是（） A．B．C．（a＞0）D． 五、二次根式的乘除法 13．计算2×÷的结果是（） A．B．C．D．2 14．下列运算正确的是（） A．a+a=a2B．a2?2a3=2a6C．÷=3 D．（﹣ab3）2=a2b6 15．下列计算正确的是（） ①=?=6；②=?=6 ③=?=3；④=?=1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 六、分母有理化 16．﹣1的倒数为（） A．﹣1 B．1﹣C．+1 D．﹣﹣1 17．a=，b=，则a+b﹣ab的值是（） A．3 B．4 C．5 D． 七、同类二次根式 18．下列根式中，与为同类二次根式的是（） A．B．C．D． 19．下列二次根式中，能与合并的是（） A． B． C．D． 20．在根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二次根式运算的技巧 二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。下面举例说明二次根式的运算技巧： 一、巧移因式法 例1、计算) 3418)(4823(分析：将3423、根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先把1848、化简，然后利用平方差公式计算 解：原式=)3418 )(4823(22=)4818)(4818 (=18-48 =-30 二、巧提公因数法 例2、计算)3225)(65 (分析：∵2=2) 2(∴3225中有公因数2，提出公因数2后，可用平方差公式计算 解：原式=]3)2(25)[65 (2 = )]65(2)[65( = )65)(65(2 = 2（25-6） =19 2三、公式法 例3、计算) 632)(632(分析：整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便解：原式=]3)62][(3)62 [( = 22)3()62( = 366 222
=3 45四、因式分解法 例4、计算) ()2(y x y xy x 分析：本题若直接按乘除法则计算， 显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算很简便 解：原式=) (])(2)[(22y x y xy x =) ()(2y x y x =y x 五、拆项法 例5、化简) 23)(36(2 3346分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便解：原式=) 23)(36() 23(3)36( =3 63 231 =3 623 =2 6六、配方法 例6、计算3 819625223分析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方式，使问题便于计算 解：原式=2 22)34()23()21( =) 34()23()12( =-5
二次根式计算专题训练 解答题（共30小题） 1．计算： （1）+；（2）（+）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2． 3．计算化简： （1）++（2）2﹣6+3． 4．计算 （1）+﹣（2）÷×．
（1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）× （3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （1）?（a≥0）（2）÷ （3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）
（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?．
①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣+2 （3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （5）÷﹣×+（6）． 14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．
15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a． 17．计算： （1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．
20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|． 22．观察下列等式： ①==； ②==； ③== …回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算：+++…+． 23．观察下面的变形规律： =，=，=，=，… 解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想= ； （2）计算： （++…+）×（）
二次根式的基本运算（六） 班级 姓名 1.数轴上表示实数a 的点的位置如图所示，化简（a －5）2 ＋|a －2|的结果为___． 2. 若x≤0，则化简|1﹣x|﹣的结果是 A ．1﹣2x B ．2x ﹣1 C ．﹣1 D ．1 3．下列计算：（1）=2，（2） =2，（3）（﹣2）2 =12，（4）（ +）（ ﹣ ）=﹣1，其中结果正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 19．计算 （1）48212734+- （2）)23)(23()23(2 -++- 1. 函数2 y x = -中字母x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2 B ．x ≥1 C．13x ≤≤ D ．13x ≤≤且x ≠2 19．计算：（1）（+）（﹣）﹣（+3）2 ． （2）； 2 2x =-，那么x 的取值范围是（ ） A.x ≤2 B.x ﹤2 C.x ≥2 D.x ﹥2 13．计算：20152014 )23() 23(+?-= . 11 ．在函数y = x 的取值范围是 11、若式子12+a 有意义，则a 的取值范围为 ； 16、计算：( )( ) 232 33 16 48-++- 22、阅读下面的材料，并解答问题： ( ) ( )( )()121 21 21 21 21 2112122 -=--= -+-? = +； ()()()()() 23232323232 31 23 1 2 2 -=--= -+-?=+ ；
( ) ( )( )()() 34343 43 4343 413 412 2 -=--= -+-? = +；…… （1）填空： =+4 51 ， =+2016 20171 ； =++n n 11 （n 为正整数） ； （2）化简：1 22- 1x 的取值范围为（ ） A ．x ≥2 B ．x ≠3 C ．x ≥2或x ≠3 D ．x ≥2且x ≠3 17．（6分）计算：+ （﹣1）﹣30 ﹣| ﹣2|． 19．计算：﹣|﹣2 |﹣ （2﹣π）0+（﹣1）2017 ． （1） （2） ． （1）计算：108965475-+- （2）计算：2)6235(+ 19．（2015春?铜仁市期末）计算：（）﹣1 +|2﹣|+（）0﹣（﹣1） 2016 ． 1．若代数式x ＋1（x －3） 2有意义，则实数x 的取值范围是() A ．x ≥－1 B ．x ≥－1且x ≠3 C ．x ＞－1 D ．x ＞－1且x ≠3 11． （2015 春 ?黔南州期末）若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ≥0 且x ≠2 ．
第一讲 二次根式相关计算 一．二次根式的概念与性质 1.比较大小：- 22=，则()a b a b -+的值为 ． 3．方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是 ． 4．若化简1x -25x -，则x 的取值范围是 ． 二．二次根式的运算 1．=-，则（ ） A.0x ≤ B.3x ≤- C.3x ≥- D.30x -≤≤ 2．若0x y <<=（ ） A.2x B.2y C.2x - D.2y - 3．若01x <<=（ ） A.2x B.2 x - C.2x - D.2x 4．化简0)a a <得（ ） B. C. 5．当0,0a b <<时，a b -+可变形为（ ） A.2 B.2- C.2 D.2 6．若2015a a -=，则22015a -=_____________．
7．计算： （1）201220130(2(22(-+-- （24 三．分母有理化 1.（10(2 + （2 （3）计算 ???+. 四．二次根式化简求值 1．化简（1 （2 （3 +???+.
2．已知521 +=a ，求代数式a a a a a a a -+-+-+-22212369的值． 3．已知1x == . 4．先化简，再求值，其中3x =，求 35(2)242x x x x -÷----的值. 5．已知22x y =+=-的值. 6.已知x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值.
7.已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a +-+?-+++的值为 . 8.若0,0a b >>=的值为 . 9.(1)已知实数,,a b c 满足211024 a b c c --+=，则()a b c += . (2)已知1 52a b c +-=-，求a b c ++的值为 . 五．降次 1．设12a -=，则5432322a a a a a a a +---+-的值为_________．
二次根式计算专题——30题(教师版含答案) https://www.doczj.com/doc/d28961655.html,work Information Technology Company.2020YEAR
二次根式计算专题 1．计算：⑴ ()() 24632463+- ⑵ 20(3)(3)2732π++-+- 【答案】(1)22; (2) 643- 【解析】 试题分析：(1)根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案. (2)分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案. 试题解析：(1) ()() 24632463+- 22(36)(42)=- =54－32 =22. （2）20(3)(3)2732π++-+- 313323=+-+- 643=- 考点: 实数的混合运算. 2．计算（1） ﹣ × （2）（6 ﹣2x ）÷3 ． 【答案】（1）1；（2）1 3 【解析】 试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案. 试题解析：2051 1235 +2553 235 += 32=- 1=； （2）1(6 2)34x x x ÷62)3x x x x =÷
=÷ = 1 3 =. 考点: 二次根式的混合运算. 3 ．计算：? ÷ ? 【答案】14 3 ． 【解析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再算括号里面的,最后算除法． 试题解析： ? ÷ ? ÷= 14 3 =．考点：二次根式运算． 4．计算：3 2 2 6 6 3- + - ? 【答案】2 2. 【解析】 试题分析：先算乘除、去绝对值符号,再算加减. 试题解析：原式=2 3 3 2 3- + - =2 2 考点：二次根式运算. 5．计算：)2 3 (3 18 2+ - ? 【答案】- 【解析】
一、最简二次根式 【例1】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（）． ． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16 6x x -=是分式， 0.5中的1 3 是分数，它们都不满足条件1中有能开得尽方的因式2b， 2 2()22 x-，它们都 不满足条件2满足最简二次根式的两个条件．答：Ｂ． 点评：要牢记最简二次根式的两个条件，判断时只须看被开方数，注意当被开方数是多项式时要先 分解因式，找一找有没有能开得尽方得因式和因数，中虽有2a和2b，但2a和2b 不是2a＋2b的因式． 【答案】B 【例2】 中，最简二次根式有____________________. ． 【例3】下列根式） A．2个B．3个C．4个D．5个 【答案】C． 【例4】化简下列各式（字母均取正数）： 2) x≥． 【解析】 =5 14 9 ．== =3 == 【答案】（1）（2）5（3）14 9 ；（4（5）3 二、二次根式的乘除 【例5】把下列各式分母有理化： 2
【解析】 ===；
2 = =- 1= = =； = = 注：本题帮助学生练习最简单的“分母有理化”及性质．当分母中有根号时，要在分子和分母上同时乘以一个 式子，使相乘后的分母不再含根式．⑶、⑷主要运用“22()()a b a b a b +-=-”，进行分母有理化． 【答案】（1 ；（2）-（31；（4 【例6】 把下列各式分母有理化： ⑴⑵ ⑶÷ 【解析】= ⑵ = =- ⑶5÷=+ = - = 【答案】（1 （2）-（3）5+（4 【例7】 【解析】原式 【例8】 【解析】原式1 3=? 【例9】 =； 【答案】. 【例10】
二次根式的四则运算 同学们，我们已经学习了实数、整式、分式的混合运算，掌握了它们的运算顺序及运算法则。本节课我们将一起来学习二次根式的四则运算。（PPT1） 二次根式的四则运算顺序与实数、整式、分式的混合运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，但对于二次根式运算的最后结果一定要化成最简二次根式。 下面我们来看几个具体的例子 例1计算下列各式： （1；（2） 最后把它化成最简二次根式得. 通过本小题的运算，我们要注意乘法分配律在二次根式的运算中都是适用的。 ，然后把它化成最简二次根 式得5． 通过例1的学习，我们在做二次根式的四则运算的时首先要注意运算的顺序，其次是要注意运算律的应用，最后的结果若有二次根式的话一定要化成最简二次根式。 我们一起来看例2 例2 计算： 我们要做这个运算，方法1可以利用多项式的乘法法则进行展开， -所以最后结得1848 果为－30 多项式的乘法法则在二次根式的运算中仍然适用 方法2： 所以可利用整式乘法公式进行计算得22 -＝18－48＝－30 所以特别对具有整式乘法公式形式的二次根式的四则运算可灵活运用乘法公式，这样能达到简便运算的效果。 拓展提高
（1） 通过本题的运算我们发现在做二次根式的运算时，有时要合理巧妙的使用乘法公式。 总结： 通过本节课的学习我们可以发现： （1）以前学过的运算法则在二次根式的四则运算中依然成立； （2）二次根式的四则运算与整式的运算非常类似，即运算性质和运算律是一致的，体现了 数式通性的特点； （3）计算结果最后一定要化成最简二次根式。 知识点1 利用运算律进行二次根式的四则运算 几种常见的类型： （1000)a b c ，，≥≥≥型，可类比单项式乘多项式运算法则进行运算； 20152016 22)(3)-
二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（， ） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析． 1．公式法 【例1】计算①；② 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．2．观察特征法 【例2】计算： 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下： 【解】原式．
【例3】把下列各式的分母有理化． （1）；（2）（） 【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下： 【解】②原式 3．运用配方法 【例4】化简 【解】原式 【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4．平方法 【例5】化简 【解】∵
二次根式的加减法 一、知识概述 1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似． 2、二次根式的加减法法则 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并； (2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变． 3、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”； (2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式． 二、重难点知识 1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．
2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律． 三、典型例题讲解 例1、计算： ． 分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并． 解： ． 例2、计算： 分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．
分式和二次根式知识总结
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分式与二次根式—知识讲解 【知识网络】 知识点一、分式的有关概念及性质?1．分式?设Ａ、Ｂ表示两个整式.如果B中含有字母，式子就叫做分式.注意分母Ｂ的值不能为零，否则分式没有意义.?2.分式的基本性质?
(M为不等于零的整式).?3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释: 分式的概念需注意的问题：? (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号,还含有括号的作用； （2）分式中，A和Ｂ均为整式,A可含字母,也可不含字母，但B中必须含有字母且不为０;?(３） 判断一个代数式是否是分式,不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断.?（4）分式有无意 义的条件:在分式中, ①当B≠0时,分式有意义;当分式有意义时,B≠0.?②当B=０时，分式无意义；当分式无意义时,B=0．?③当B≠0且A = ０时，分式的值为零. 知识点二、分式的运算?1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1)加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． ； 异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. (2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母． (3)除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. (４)乘方运算（分式乘方) 分式的乘方,把分子分母分别乘方．?２．零指数．?3.负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的.
二次根式小结与复习 【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（ 1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等；（ 2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等． 【要点归纳】 1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时， 才有意义． 2.二次根式的性质： ① ② ③ ④ 3.二次根式的运算 二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加 减．（ 1）二次根式的加减： 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方 数不变。 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次 根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． （2）二次根式的乘法： （3）二次根式的除法： 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． （4）二次根式的混合运算： 先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运 算的，可适当改变运算顺序进行简便运算． 注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运 算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成 带分数．例如不能写成．
【难点指导】 1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有； 2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式； 3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数； 4、区别和的不同： 中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （ 1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：． （ 2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （ 1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． 二次根式强化训练与复习巩固自测试题 1．化简：______；_________． 2 ．当______时，． 3 ．等式成立的条件是 ______． 4 ．当，化简_______． 5．比较与的大小： _______． 6．分母有理化： （ 1）__________；（ 2）__________；（ 3）__________． 7．已知，，，那么________． 8．计算_________．
二次根式运算和化简(超级经典)
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二次根式的运算 【知识梳理】 1、 当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。 2、 二次根式具有如下性质： （1）() ()02≥=a a a ； （2）?? ?<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a （3）()00≥≥?=b a b a ab ，； （4）()00>≥=b a b a b a ，。 3、二次根式的运算法则如下： （1）()()0≥±=±c c b a c b c a ； （2）()()0≥=a a a n n 。 4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时， m d c m b a +=+。 5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。 6、最简二次根式与同类二次根式 （1）一个根式经过化简后满足： 被开方数的指数与根指数互质； 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； 被开方数不含分母。 适合上述这些条件的根式叫做最简根式。 （2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。
【例题精讲】 【例1】已知254245222+-----=x x x x y ，则=+22y x ___________________。 【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。 【巩固二】已知200911+-+ -=x x y ，则=+y x _______________________。 【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --?+-= -++--+19919932253， 求m 的值。 【例2】当b a 2<时，化简二次根式a b ab a b a a 2 2442+--。 【巩固】 1、化简()2 232144--+-x x x 的结果是__________________。
1.3二次根式的运算（1） 【教学目标】 1．了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的． 2．会进行简单的二次根式的乘除运算． 【教学重点、难点】 重点：本节教学的重点是二次根式的运算法则． 难点：例1第（3）题和例2的计算过程中涉及多种运算和运算法则， 【教学过程】 一、 复习引入 1、二次根式有哪些性质？ () ） ，（），（） ，（0,00,0| |022 ≥≥=?≥≥?==≥=b a ab b a b a b a ab a a a a a 2、化简下列二次根式： 12，3 1 3 ，311，48 3、计算：109.0?， 3 03 .0 4、引导、启发把二次根式的乘除性质公式左右交换一下。概括二次根式的乘除运算法则。 )0,0();0,0(>≥= ≥≥=?b a b a b a b a ab b a 39109.0109.0==?=? 1.001.03 03 .03 03.0=== 二、 复习引入 1、例题教学 例 1 计算62)1(? 1027321)2(? 97 103.1102.5)3(?? （2）中被开方数是带分数要先化成假分，运算结果。 或不能写成25.122 1 1223 解：（3） 51 10210 4103.1102.52 97===??=原式 2、学生完成解题后出示答案 课本12页课内练习第1、2题 3、乘除运算的一般步骤。 （1）运用法则，化归为根号内的实数运算； （2）完成根号内相乘、相除（约分）等运算； （3）化简二次根式 4、屏幕显示例2，帮助学生审题。 （1）AD 作⊥BC ，则
2222 1 21=?== =BC CD BD （2）由勾股定理算出AD 6 28)2()22(2 2 2 2 =-=-=-=CD AC AD （3）路标的面积 32126222 1 21==??=??= AD BC S （平方单位） 说明计算结果能化简的，则应化简。没有精确度要求，结果用化简的二次根式表示。 三、 巩固练习 课本12页，课内练习3，学生完成后，出示答案。 四、 课堂小结 问：这一节课学习了什么 ① 二次根式的乘除运算法则。 )0,0();0,0(>≥= ≥≥=?b a b a b a b a ab b a ② 被开方数是带分数要先化成假分。 ③ 规范书写。如 。 或不能写成25.122 1 1223 ④ 二次根式的简单应用——三角形面积算法。 五、 布置作业 1.课后作业题 2.作业本 1.3二次根式的运算（2） 【教学目标】 1．会进行简单的二次根式的四则混合运算． 2．通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用，体验迁移、化归等数学思想． 【教学重点、难点】 重点：本节教学的重点是二次根式的四则混合运算． 难点：例3的计算思路的形成比较困难是本节的难点． 【教学过程】 六、 课题引入 a a a 3 2 312-- 计算 并回答问题： ⑤ 你是应用什么知识解决上面的计算？（学生回答后，教师板书解题过程） a a a a a =--=--)3 2 312(32312 ⑥ 上题中的a 若用2替代，即： 22)32 312(23223122=--=-- 你认为 运算是否正确？（答案是肯定的）
二次根式基础测试题 一、选择题 1．当2a -有意义时，a 的取值范围是（ ） A ．a ≥2 B ．a ＞2 C ．a ≠2 D ．a ≠－2 【答案】B 【解析】 解：根据二次根式的意义，被开方数a ﹣2≥0，解得：a ≥2，根据分式有意义的条件：a ﹣2≠0，解得：a ≠2，∴a ＞2．故选B ． 2．当3x =-时，二次根2257m x x ++式的值为5，则m 等于（ ） A ．2 B ．22 C ．5 D ．5 【答案】B 【解析】 解：把x =﹣3代入二次根式得，原式=10m ，依题意得：10m =5，故 m=52210 =．故选B ． 3．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ） A ．2a+b B ．-2a+b C ．b D ．2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】 解：由数轴可知：0a <，0b >， ∴0a b -<， ∴()()2 2a a b a b a a b -=-+-=-+， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键．
4．12a =-，则a的取值范围是（） A． 1 2 a≥B． 1 2 a>C． 1 2 a≤D．无解 【答案】C 【解析】 【分析】 =|2a-1|，则|2a-1|=1-2a，根据绝对值的意义得到2a-1≤0，然后解不等式即可． 【详解】 =|2a-1|， ∴|2a-1|=1-2a， ∴2a-1≤0， ∴ 1 2 a≤． 故选：C． 【点睛】 此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质. 5．下列计算结果正确的是() A3 B±6 C D．3＋＝ 【答案】A 【解析】 【分析】 原式各项计算得到结果，即可做出判断． 【详解】 A、原式=|-3|=3，正确； B、原式=6，错误； C、原式不能合并，错误； D、原式不能合并，错误． 故选A． 【点睛】 考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．