八年级数学二次根式的运算专题练习
1．下列式子中，属于最简二次根式的是( )A. B. C. D.97201
3
2．下列根式中，不能与合并的是( )
3A. B. C. D.1333
23123．下列计算中，正确的是( )
A ．3×4＝12222
B ．－3＝＝23（－3）2×23
6C.＝×＝(－3)×(－5)＝15
（－9）×（－25）－9－25D.＝＝＝5
132－122（13＋12）（13－12）254．化简(a －2)的结果为( )12－a
A ．－1
B ．1
C. D ．－2－a 2－a
5．已知x ＝2－，则代数式(7＋4)x 2＋(2＋)x ＋的值是( )
3333A ．0 B.3
C ．2＋
D ．2－33
6．已知a ＋＝，则a －＝( )1a 71a
A. B ．－33C ．± D ．±311
7．计算(＋)(－)的结果为 ．23238．计算：－＝________．
829．计算－2
等于________．181210．已知x ＝，则x 2＋x ＋1＝ 5－1
2_______________________________________________________________________.
11．已知a ＝3＋2，b ＝3－2，则a 2b －ab 2＝
22________________________________________________________________________.
12．计算：2 0150＋＋2×(－)．1212
13．计算：(2 016－)0＋|3－|－.
3126
3
14．计算：(＋－1)(－＋1)．
323215．解方程组并求的值．{3x ＋6y ＝10，①6x ＋3y ＝8，②)
xy 16．先化简，再求值：÷(2x －)．其中，x ＝＋1.x 2＋2x ＋1x 2＋x 1＋x 2x 217．一个三角形的三边长分别为3、、x .x 31212x 3443x
(1)求它的周长(要求结果化简)；
(2)请你给一个适当的x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
18．化简：(－)÷，并解答：2x 2＋2x x 2－1x 2－x x 2－2x ＋1x x ＋1
(1)当x ＝1＋时，求原代数式的值；
2
(2)原代数式的值能等于－1吗？为什么？
19．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2，善于思考22的小明进行了以下探索：
设a ＋b ＝(m ＋n )2(其中a 、b 、m 、n 均为正整数)，则有a ＋b ＝m 2＋2n 2＋2mn ，
2222∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn.这样小明就找到了一种把a ＋b 的式子化为平方式的方法．
2请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a ＋b ＝(m ＋n )2，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a ＝33____________，b ＝____________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空：____＋____＝(____＋____)2；
(3)若a ＋4＝(m ＋n )2，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值．33参考答案
1．B 2.C 3.D 4.D 5.C 6.C 7.－1 8. 9.222
10．2 11.4 12.2. 13.－2. 14.2.
23215.②×2－①，得9x ＝6.解得x ＝.将x ＝代入①，得2＋6y ＝10.解得y ＝.∴方程组的解为∴＝232343{x ＝23，y ＝43.)
xy 23×43＝. 23
216.原式＝÷＝·＝.当x ＝＋1时，原式＝＝＝. 17.(1)C Δx 2＋2x ＋1x 2＋x x 2－1x （x ＋1）2x （x ＋1）x （x ＋1）（x －1）1x －1212＋1－11222
＝3＋＋x ＝＋＋＝.(2)当x ＝时，C Δ＝＝5. x 31212x 3443x 3x 3x 3x 253x 24353×43218.(1)原式＝·＝(－)·＝·＝.当x ＝1＋时，原式＝[2x （x ＋1）（x －1）（x ＋1）－x （x －1）（x －1）2]
x ＋1x 2x x －1x x －1x ＋1x x x －1x ＋1x x ＋1x －12＝＝＋1.(2)若原代数式的值能等于－1，即＝－1.解得x ＝0.经检验当x ＝0时，原分式无意1＋2＋11＋2－1
2＋222x ＋1x －1义．故原代数式的值不能等于－1. 19.(1)m 2＋3n 2 2mn (2)4 2 1 1(答案不唯一) (3)根据题意得，33∵2mn ＝4，且m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2.∴a ＝13或7.{a ＝m 2＋3n 2，4＝2mn.)
二次根式计算专题训练 解答题（共30小题） 1．计算： （1）+；（2）（+）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2． 3．计算化简： （1）++（2）2﹣6+3． 4．计算 （1）+﹣（2）÷×．
（1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）× （3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （1）?（a≥0）（2）÷ （3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）
（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?．
①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣+2 （3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （5）÷﹣×+（6）． 14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值． 15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．
16．化简：﹣a． 17．计算： （1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值． 20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．
21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|． 22．观察下列等式： ①==； ②==； ③== …回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算：+++…+． 23．观察下面的变形规律： =，=，=，=，…解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想=； （2）计算： （++…+）×（） 24．阅读下面的材料，并解答后面的问题： ==﹣1
二次根式计算专题 1．计算：⑴36 4236 42⑵(3)2 (3)0 2732 【答案】 (1)22; (2) 6 4 3 【解析】 试题分析： (1)根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案 . (2) 分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案 . 试题解析： (1) 3 6 4 2 3 6 4 2 (3 6) 2 (4 2) 2 =54－ 32 =22. （2）( 3)2 ( 3) 0 27 3 2 3 1 3 3 2 3 6 4 3 考点 : 实数的混合运算 . 2．计算（ 1） ﹣ × （2）（ 6﹣ 2x ）÷3． 【答案】（ 1） 1；（ 2） 1 3 【解析】 试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案 . 试题解析： (1) 20 5 1 5 12 3 2 5 5 3 3 5 2 3 3 2 1； （2）(6 x 2x 1 ) 3 x 4 x ( 6 x 2x x ) 3 x 2 x (3 x 2 x ) 3 x x 3 x
1 . 3 考点 : 二次根式的混合运算 . 3．计算： 3 12 2 1 48 2 3 ． 3 【答案】 14 ． 3 【解析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次根式 ,再算括号里面的 ,最后算除法． 试 题 解 析 ： 3 12 2 1 48 2 3 =(6 3 2 3 4 3) 2 3 28 3 2 3 14 ． 3 3 3 3 考点：二次根式运算． 6 4．计算： 3 6 2 3 2 【答案】 2 2. 【解析】 试题分析：先算乘除、去绝对值符号 ,再算加减 . 试题解析：原式 =3 2 3 3 2 = 2 2 考点：二次根式运算 . 5．计算： 2 18 3( 3 2) 【答案】 3 3 ． 【解析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次根式 ,再化简． 试题解析： 2 18 3( 3 2)= 2 32 33 6 33． 考点：二次根式化简． 6．计算： 323 1 4 ． 2 2 【答案】 2 ． 2 【解析】 试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可 . 试题解析： 32 1 4 4 3 2 2 2 2 3 2 2 2 ． 2 2 考点：二次根式的计算 .
最新八年级下册数学--二次根式知识点整理 1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做 a的算术平方根. 2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变.如： -2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2.不等式组的解集是两个不等式解集的公共 部分.如｛3、 分母≠0 4、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0） 一、二次根式的概念 一般地，我们把形如，a （a≥0）的式子叫做二次根式，“，”称为二次根号. ★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“，”，“，”的根指数为2，即“2，”，我们一般省略根指数2，写作“，”.如2，5 可以写作，5 . （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. （3）式子，a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，，a ≥0.其中a≥0是，a 有意义的前提条件. （4）在具体问题中，如果已知二次根式，a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件. （5）形如b，a （a≥0）的式子也是二次根式，b与，a 是相乘的关系.要注意当b 是分数时不能写成带分数，例如错误!错误!可写成错误!，但不能写成2 错误!错误!. 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1），6 ；（2），-18 ；（3），x2+1 ；（4）3，-8 ；（5），x2+2x+1 ；（6）3，｜x｜；（7），1+2x （x＜-
错误!） 二、当x取什么实数时，下列各式有意义？（1），2-5x ；（2），4x2+4x+1 二、二次根式的性质：
专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升 【基础巩固】 1．（2019·x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B ．1≥x C ．1x > D ．1x ≤ 2．（2020·山西月考）计算：(2 1-=_____． 3．（2020· =______． 4．（2020·官成镇月考）使式子 x 有意义的实数x 的取值范围是__________． 5．（青岛月考）若2,,4m =__________． 6．（2020·=___________． 7．（2020·浙江杭州市模拟）一个长方形的面积为，其中一边长为边为_________． 8．（2019·威远县月考）当a ＜01a -=_______． 9．（2020·成都月考）若实数x ，y 满足3y =， 则x y +的立方根为_______． 10．（2020·四川月考）若24 y x = -，则x 的取值范围是__________． 11．当a=__________和可以合并． 12．（2020·辽宁锦州市期中）数轴上，点A 1，点B 表示3，则AB 间的距离___________ 13．（2020·平远县期中）(1 1224-?? ???
14．（2020·甘肃兰州市期中）计算 （1） （2） ﹣1） ）﹣（1﹣ 2． 15．（2019·广东月考）如图A ，B ，C 三点表示的数分别为a ，b ，c ．利用图形化简： a b - 16 ()() 2 2 3 3 +== =+ - 互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． （1 的有理化因式是________2的有理化因式是________． （2）将下列式子进行分母有理化：
完美 WORD 格式 二次根式计算专题 1．计算： ⑴ 3 6 4 2 3 6 4 2 ⑵ ( 3) 2 (3) 0 273 2 【答案】 (1)22; (2) 6 4 3 【解析】 试题分析： (1) 根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答 案. (2) 分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案 . 试题解析： (1) 3 6 4 2 3 6 4 2 (3 6) 2 (4 2) 2 =54－ 32 =22. （ 2） ( 3) 2 ( 3) 0 27 3 2 3 1 3 3 2 3 6 4 3 考点 : 实数的混合运算 . 2．计算（ 1） ﹣ × （ 2）（ 6 ﹣ 2x ）÷3 ． 【答案】（ 1） 1；（ 2） 1 3 【解析】 试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案 . 试题解析： (1) 20 5 1 5 1 2 3 2 5 5 3 3 5 2 3 3 2 1 ； （ 2） (6 x 2x 1 ) 3 x 4 x (6 x 2x x ) 3 x 2 x ( 3 x 2 x ) 3 x x 3 x
专业知识分享
1 . 3 考点 : 二次根式的混合运算. 3．计 算： 3 12 2 1 48 2 3 ． 3 【答案】14． 3 【解 析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次 根式, 再算括号里面的 , 最后算 除法． 试题解析： 3 12 2 1 48 2 3 =(6 3 2 3 4 3) 2 3 28 3 2 3 14 ． 3 3 3 3 考点：二次根式运算． 4．计算： 3 6 6 23 2 【答案】 2 2 . 【解析】 试题分析：先算乘除、去绝对值符号, 再算加减 . 试题解析：原式= 3 2 3 3 2 =2 2 考点：二次根式运算. 5．计算： 2 18 3( 3 2) 【答案】 3 3 ． 【解析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次根式, 再化简． 试题解析： 2 18 3( 3 2)= 2 3 2 3 3 6 3 3 ．考点：二次根式化简． 6．计 算：32 3 1 4 ． 2 2 【答案】 2 ． 2 【解析】 试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可. 试题解 析：32 1 4 4 3 2 2 2 2 3 2 2 2 ． 2 2
二次根式的运算（基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.
二次根式知识点 一、二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 二、最简二次根式：必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 三、同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 四、二次根式性质： 五、二次根式运算: 二次根式练习 一、选择题 １.22 x x x x =--成立的x 的取值范围是( ) A ． 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D ． 2x ≥ 2. 下列根式中,是最简二次根式的是( ) A ． 0.2b 1212a b -Ｃ22x y - 25ab
3.已知10182 22=++x x x x ,则ｘ等于（ ） Ａ.4 Ｂ．±２ C ．２ D.±4 4．下列说法正确的是( ). (A)被开方数相同的二次根式可以合并 （B)8与80可以合并 (C)只有根指数为2的根式才能合并?(D)2与50不能合并 5. 下列各组中的两个根式是同类二次根式的是( ) Ａ、x 25和x 3 Ｂ、2 375 b a 和a 12 C 、y x 2和2xy D 、a 和21 a 6. 已知ａ>b ＞0,a+b ＝6ab ，则 a b a b -+的值为（ ) A.22 Ｂ.2 C.2 D ．12 ７. 下列根式中,不能与 合并的是( ） ? ? ? A. B ． Ｃ. Ｄ. 8．下列运算正确的是( ) ? ?? ? A ． 5a ２+3a 2=8a ４? Ｂ. a 3?a 4＝a 1２ ?C ．(ａ＋2ｂ）２=a 2+4b ２ D.﹣ =﹣4 二、填空题 1. 在27,8,3 1 , 12,中，与3是同类二次根式的有 个。 ２. 已知三角形底边的边长是6cm,面积是12c ｍ2 , 则此边的高线长 。 3． 若()2 2340a b c -+-+-=，则=+-c b a 。 4. 若 =3﹣x ,则ｘ的取值范围是 ． 5． 1 1 m m -+有意义，则m 的取值范围是 6．已知411+=-+-y x x ,则x ｙ 的平方根为______。 7.已知ａ,b,c 为三角形的三边,则2 2 2 )()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 。 ８.若菱形的两条对角线长分别为)2352(+和)2352(-则此菱形的面积为______.
新人教版数学八年级下册《二次根式》基础专项练习 一、二次根式的意义 1．下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 2．下列式子是二次根式的有（） ①；②（a≥0）；③（m，n同号且n≠0）；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列根式中，属于最简二次根式的是（） A． B．C．D． 二、二次根式有意义的条件 4．若代数式﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≠﹣2 B．x≤5 C．x≥5 D．x≤5且x≠﹣2 5．已知y=，则的值为（） A．B．﹣ C．D．﹣ 6．若式子﹣+1有意义，则x的取值范围是（） A．x≥B．x≤C．x= D．以上都不对 三、二次根式的性质与化简 7．下列运算正确的是（） A．B． C．D． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（）A．1 B．b+1 C．2a D．1﹣2a 9．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 四、最简二次根式
10．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B．C． D． 11．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④ 12．下列根式中是最简二次根式的是（） A．B．C．（a＞0）D． 五、二次根式的乘除法 13．计算2×÷的结果是（） A．B．C．D．2 14．下列运算正确的是（） A．a+a=a2B．a2?2a3=2a6C．÷=3 D．（﹣ab3）2=a2b6 15．下列计算正确的是（） ①=?=6；②=?=6 ③=?=3；④=?=1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 六、分母有理化 16．﹣1的倒数为（） A．﹣1 B．1﹣C．+1 D．﹣﹣1 17．a=，b=，则a+b﹣ab的值是（） A．3 B．4 C．5 D． 七、同类二次根式 18．下列根式中，与为同类二次根式的是（） A．B．C．D． 19．下列二次根式中，能与合并的是（） A． B． C．D． 20．在根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
一、选择题 1．下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴ 3 1；⑵ 3 -；⑶ 1 2+-x ；⑷ 3 8 ；⑸ 2 3 1)(-； ⑹ )(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．当2 2 -+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ） A ．a≥2 B．a ＞2 C ．a≠2 D ．a≠－2 3、已知 2 33x x +＝－x 3+x ，则………………（ ） （A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－ 3 （D ）－3≤x ≤0 4．对于二次根式9 2+x ，以下说法不正确的是 （ ） A ．它是一个正数 B ．是一个无理数 C ．是最简二次根式 D ．它的最小值 是3
5．把 ab a 123分母有理化后得 （ ） A ．b 4 B ．b 2 C ． b 2 1 D ． b b 2 6．若b a 是二次根式，则a ， b 应满足的条件是 （ ） A ．a ，b 均为非负数 B ．a ，b 同号 C ．a ≥0，b>0 D ．0 ≥b a 7．下列二次根式中，最简二次根式是 （ ） A ．2 3a B ．3 1 C ．153 D ．143 8． 计 算 ： ab ab b a 1?÷等于 （ ） A ．ab ab 2 1 B ．ab ab 1 C ．ab b 1 D ．ab b 9、若x ＜y ＜0，则2 22y xy x +-＋ 2 22y xy x ++＝………………………（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y
10、若0＜x ＜1，则 4 )1 (2+-x x － 4 )1 (2-+x x 等 于………………………（ ） （A ）x 2 （B ）－ x 2 （C ）－2x （D ）2x 11． 化 简 a a 3-( a ＜0 ) 得 ……………………………………………………………… （ ） （A ）a - （B ）－ a （C ）－a - （D ） a 12．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ） （A ）2 )(b a + （B ）－ 2 )(b a - （C ） 2)(b a -+- （D ）2 )(b a --- 二、填空题 11．当x___________时，x 43-在实数范围内有意 义． 12．比较大小：23-______32 -． 13、把y x x 823 化为最简二次根式得______________。 14、若 2 a =－a,则实数a_________ 15、已知最简二次根式2 -+b a 和b a -2能够合并， 则a-b=
分式和二次根式专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式有意义。 ２、当＿＿＿＿时，有意义。 ３、计算：－a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2 －xy)÷＝＿＿＿＿。 ５、分式 ，，的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：2＿＿＿＿3。 ７、已知 ＝，则的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式和是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照2＝·＝＝的做法，化简3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，－＝＿＿＿＿。 11、若的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝＋＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、 B 、 C 、x ＋ D 、 ２、对于分式 总有（ ） A 、＝ B 、＝ C 、＝ D 、＝ ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ４、可以与合并的二次根式是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 x 2x －3 a －2a 2 a －1 x －y xy b 2a 24a 3b c a 5c 2 32x ＋2y 2y 5 2x ＋y y x ＋1y 30.5220.54×0.521 3 (2－x)2(x －3)2 31－x x －1x －y 22x ＋y 12x 2 1 x －1 1x －1x －1(x －1)21x －1x ＋1x 2－11x －112 (x －1)21x －11 1－x 27x 2＋11 2 a 2 b 182761 3 8y y
５、如果分式 中的 x 和 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜－x ｜等于（ ） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、()3÷()0×(－)－2 ２、(＋)÷ ３、－＋ ４、(3－2)2 四、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、－＋ ２、÷(x ＋ 1)· ３、－· ４、4b ＋－3ab (＋) 五、解答题：（每题 8 分，共 32 分） １、某人在环形跑道上跑步，共跑两圈，第一圈的速度是 x 米/分钟，第二圈的速度是 米/分钟（x ＞），则他平均一分钟跑的路程是多少？ 2x x ＋y x 2b 2a 22b 23a b a x 2x －242－x x ＋2 2x 84 2 1223x x ＋y y y －x 2xy x 2－y 2x 2－1x 2＋4x ＋4x 2＋3x ＋2 x －1 20＋55 1312a b 2a a 5b 31 ab 4ab y y y
二次根式计算专题训练 一、解答题（共30 小题） 1．计算： （1）+ ；（2）（+ ）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣3.14）0+| ﹣2| ﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2）2． 3．计算化简： （1）++ （2）2﹣6 +3． 4．计算 （1）+ ﹣（2）÷×． 5．计算： （1）×+3 ×2 （2）2 ﹣6 +3 ． 6．计算： （1）（）2﹣20+| ﹣| （2）（﹣）×
（3）2 ﹣3 + ；（4）（7+4 ）（2﹣）2+（2+ ）（2﹣） 7．计算 （1）? （ a≥ 0）（2）÷ （3）+ ﹣﹣（4）（3+ ）（﹣） 8．计算：： （1）+ ﹣（2）3 + （﹣）+ ÷． 9．计算 （1）﹣4 + ÷（2）（1﹣）（1+ ）+（1+ ）2． 10．计算： （1）﹣4 + （2）+2 ﹣（﹣）
（3）（ 2 + ）（2 ﹣）；（4）+ ﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3 + ﹣4 ）÷（ 2）+9 ﹣2x2? ． 12．计算： ①4+﹣+4；②（ 7+4 ）（ 7﹣ 4 ）﹣（ 3 ﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣ +2 （3）（﹣ 1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （5）÷﹣×+ （6）．
．已知： a=， b=，求2+3ab+b2的值． 14 a 15．已知 x， y 都是有理数，并且满足，求的值． 16．化简：﹣a ． 17．计算： （1）9 +5 ﹣3 ；（2）2 ； （3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知 y= + ﹣4，计算 x﹣y2的值． 20．已知： a、 b、 c 是△ ABC的三边长，化简．21．已知 1＜ x＜5，化简：﹣| x﹣5| ．
二次根式的基本运算（六） 班级 姓名 1.数轴上表示实数a 的点的位置如图所示，化简（a －5）2 ＋|a －2|的结果为___． 2. 若x≤0，则化简|1﹣x|﹣的结果是 A ．1﹣2x B ．2x ﹣1 C ．﹣1 D ．1 3．下列计算：（1）=2，（2） =2，（3）（﹣2）2 =12，（4）（ +）（ ﹣ ）=﹣1，其中结果正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 19．计算 （1）48212734+- （2）)23)(23()23(2 -++- 1. 函数2 y x = -中字母x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2 B ．x ≥1 C．13x ≤≤ D ．13x ≤≤且x ≠2 19．计算：（1）（+）（﹣）﹣（+3）2 ． （2）； 2 2x =-，那么x 的取值范围是（ ） A.x ≤2 B.x ﹤2 C.x ≥2 D.x ﹥2 13．计算：20152014 )23() 23(+?-= . 11 ．在函数y = x 的取值范围是 11、若式子12+a 有意义，则a 的取值范围为 ； 16、计算：( )( ) 232 33 16 48-++- 22、阅读下面的材料，并解答问题： ( ) ( )( )()121 21 21 21 21 2112122 -=--= -+-? = +； ()()()()() 23232323232 31 23 1 2 2 -=--= -+-?=+ ；
( ) ( )( )()() 34343 43 4343 413 412 2 -=--= -+-? = +；…… （1）填空： =+4 51 ， =+2016 20171 ； =++n n 11 （n 为正整数） ； （2）化简：1 22- 1x 的取值范围为（ ） A ．x ≥2 B ．x ≠3 C ．x ≥2或x ≠3 D ．x ≥2且x ≠3 17．（6分）计算：+ （﹣1）﹣30 ﹣| ﹣2|． 19．计算：﹣|﹣2 |﹣ （2﹣π）0+（﹣1）2017 ． （1） （2） ． （1）计算：108965475-+- （2）计算：2)6235(+ 19．（2015春?铜仁市期末）计算：（）﹣1 +|2﹣|+（）0﹣（﹣1） 2016 ． 1．若代数式x ＋1（x －3） 2有意义，则实数x 的取值范围是() A ．x ≥－1 B ．x ≥－1且x ≠3 C ．x ＞－1 D ．x ＞－1且x ≠3 11． （2015 春 ?黔南州期末）若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ≥0 且x ≠2 ．
二次根式计算专题训练 解答题（共 30 小题） 1．计算： （ 1）+；（2）（+）+（﹣）．2．计算： ﹣ 2| ﹣+（）﹣2 ．（2）﹣4 ﹣（﹣）． （ 1）（π﹣3.14） +| （ 3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2）2． 3．计算化简： （ 1） ++ （ 2）2﹣6 +3． 4．计算 （ 1）+﹣（2）÷×．
（ 1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （ 1）（）2﹣20+|﹣|（2）（﹣）× （ 3） 2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （ 1）?（a≥0）（2）÷ （ 3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）
（ 1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （ 1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （ 1）﹣4+（2）+2﹣（﹣） （ 3）（ 2 +）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （ 1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?．
① 4 +﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （ 1）××（2）﹣+2 （ 3）（﹣ 1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （ 5）÷﹣×+（6）． 14．已知： a=，b=，求a2+3ab+b2的值．
15．已知 x， y 都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a． 17．计算： （ 1） 9 +5﹣3；（2）2；（ 3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知 y=+﹣4，计算x﹣y2的值．
20．已知：a、b、c 是△ ABC的三，化．21．已知 1＜x＜ 5，化：| x 5| ． 22．察下列等式： ①==； ②==； ③== ?回答下列： （ 1）利用你察到的律，化： （ 2）算：+++?+． 23．察下面的形律： =，=，=，=，? 解答下面的： （ 1）若 n 正整数，你猜想=； （ 2）算： （++?+）×（）
人教版初中数学八年级下册二次根式 二次根式(A 卷) 一、选择题（每题3分，共18分） 1．下列各式中，是二次根式的为（ ） A ．π B ．12 C D 2．下列判断正确的是（ ） A ．带根号的式子一定是二次根式; B 一定是二次根式 C ; D ．二次根式的值必定是无理数 3 ） A ．x 是非负数 B ．x 是实数 C ．x 是正实数 D ．x 是不等于零的实数 4．当x=5时，在实数范围内没有意义的式子是（ ） A B 52=a-1成立的条件是（ ） A ．a<1 B ．a ≠1 C ．a ≥1 D ．a ≤1 6有意义的实数x 的值有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 二、填空题（每题3分，共12分） 7．________． 8．当______时，代数式 2x -有意义． 9．计算：（）2=______，（）2=________． 10．把919 写成一个正数的平方形式是________． 三、计算题（8分） 11．（）2）2-）0． 四、解答题（每题11分，共22分） 12．若0 13．已知，求（xy-64）2的算术平方根． 参考答案 一、 1．C 2．B 3．C 4．C 5．C 6．B 二、7．a≤3 2 8．x≥1且x≠2 9．175；4x 10．2 三、11．解：原式=32）2+8-1=9×2-9+8-1=16． 四、12．解：原式=│x│+（1-x）-│x-1│-1， 13．解：依题意，得 70, 70. x x -≥ ? ? -≥ ? 解得7≤x≤7， 所以x=7．代入解得x=9． ． 专题训练(一) 二次根式化简求值有技巧(含答案) ? 类型之一 利用二次根式的性质a 2＝|a|化简 对于a 2的化简，不要盲目地写成a ，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据a 的符号进行化简．即a 2＝|a|＝?????a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）. 1．已知a ＝2－3，则a 2－2a ＋1＝( ) A ．1－3 B .3－1 C ．3－3 D .3－3 2．当a ＜12且a ≠0时，化简：4a 2－4a ＋12a 2－a ＝________． 3．当a ＜－8时，化简：|（a ＋4）2－4|. 4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c ，化简：c 2－4c ＋4－ 14c 2－4c ＋16. ? 类型之二 逆用二次根式乘除法法则化简 5．当ab ＜0时，化简a 2b 的结果是( ) A ．－a b B ．a －b C ．－a －b D ．a b 6．化简：(1)（－5）2×（－3）2； (2)（－16）×（－49）； (3) 2.25a 2b ； (4) －25－9； (5)9a 34 . ? 类型之三 利用隐含条件求值 7．已知实数a 满足（2016－a ）2＋a －2017＝a ，求a －12016 的值． 8．已知x ＋y ＝－10，xy ＝8，求x y ＋y x 的值． ? 类型之四 巧用乘法公式化简 9．计算：(1)(－4－15)(4－15)； (2)(26＋32)(32－26)； (3)(23＋6)(2－2)； (4)(15＋4)2016(15－4)2017. ? 类型之五 巧用整体思想进行计算 10．已知x ＝5－26，则x 2－10x ＋1的值为( ) A ．－30 6 B ．－186－2 C ．0 D ．10 6 11．已知x ＝12(11＋7)，y ＝12(11－7)，求x 2－xy ＋y 2的值． 12．已知x ＞y 且x ＋y ＝6，xy ＝4，求x ＋y x －y 的值． ? 类型之六 巧用倒数法比较大小 13．设a ＝3－2，b ＝2－3，c ＝5－2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞c ＞a _ 一、最简二次根式 【例1】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（）． ． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16 6x x -=是分式， 0.5中的1 3 是分数，它们都不满足条件1中有能开得尽方的因式2b， 2 2()22 x-，它们都 不满足条件2满足最简二次根式的两个条件．答：Ｂ． 点评：要牢记最简二次根式的两个条件，判断时只须看被开方数，注意当被开方数是多项式时要先 分解因式，找一找有没有能开得尽方得因式和因数，中虽有2a和2b，但2a和2b 不是2a＋2b的因式． 【答案】B 【例2】 中，最简二次根式有____________________. ． 【例3】下列根式） A．2个B．3个C．4个D．5个 【答案】C． 【例4】化简下列各式（字母均取正数）： 2) x≥． 【解析】 =5 14 9 ．== =3 == 【答案】（1）（2）5（3）14 9 ；（4（5）3 二、二次根式的乘除 【例5】把下列各式分母有理化： 2 【解析】 ===； 2 = =- 1= = =； = = 注：本题帮助学生练习最简单的“分母有理化”及性质．当分母中有根号时，要在分子和分母上同时乘以一个 式子，使相乘后的分母不再含根式．⑶、⑷主要运用“22()()a b a b a b +-=-”，进行分母有理化． 【答案】（1 ；（2）-（31；（4 【例6】 把下列各式分母有理化： ⑴⑵ ⑶÷ 【解析】= ⑵ = =- ⑶5÷=+ = - = 【答案】（1 （2）-（3）5+（4 【例7】 【解析】原式 【例8】 【解析】原式1 3=? 【例9】 =； 【答案】. 【例10】 二次根式计算专题训练 一、解答题（共30小题） 1．计算： （1）+；（2）（+）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣）0+|﹣2|﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2． 3．计算化简： （1）++（2）2﹣6+3． 4．计算 （1）+﹣（2）÷×． 5．计算： （1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）× （3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （1）?（a≥0）（2）÷ （3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣） 8．计算：： （1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （1）﹣4+（2）+2﹣（﹣） （3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?． 12．计算： ①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣+2 （3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣）（5）÷﹣×+（6）．14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值． 15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a． 17．计算： （1）9+5﹣3；（2）2； （3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值． 20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|． 22．观察下列等式： ①==；②==； ③==………回答下列问题： 二次根式专项训练答案 一、选择题 1．1 =-，那么x的取值范围是（） x A．x≥1B．x>1 C．x≤1D．x<16 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等式的左边为算术平方根，结果为非负数，即x-1≥0求解即可. 【详解】 由于二次根式的结果为非负数可知：x-1≥0， 解得，x≥1， 故选A. 【点睛】 本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围. 2．在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 在实数范围内有意义， ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．a的值为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 4．若x、y 4 y=，则xy的值为() A．0 B．1 2 C．2 D．不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得，2x?1?0且1?2x?0， 解得x?1 2 且x? 1 2 ， ∴x=1 2 ， y=4， ∴xy=1 2 ×4=2. 故答案为C. 5．下列运算正确的是（） A． B ）2=2 C D ==3﹣2=1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可.【详解】 根据二次根式的加减，可知 A选项错误； 根据二次根式的性质2=a（a≥0 2=2，所以B选项正确； (0) =0(=0) (0) a a a a a a ? ? =? ?- ? ＞ ＜ ﹣11|=11，所以C选项错误； D D选项错误． 故选B． 二次根式 1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做 a的算术平方根。 2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。 如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的 公共部分。如 3、分母≠0 4、绝对值：｜a｜（a≥0）；｜a｜= - a （a＜0） 一、二次根式的概念 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“) ”称为二次根号。 ★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“) ”，“) ”的根指数为2， 即“) ”，我们一般省略根指数2，写作“) ”。如) 可以写作) 。 （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3）式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。 （4）在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。 （5）形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是相乘的关系。要注意当b是分数时不 能写成带分数，例如可写成,3) ，但不能写成2 。 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）3；（7）（x＜- ） 二、当x取什么实数时，下列各式有意义？ （1）；（2） 二、二次根式的性质： 练习：计算（1）（) ）2 (2) （4）2 (3) （4）- ）2) （6）+ （1≤x≤3） ★（）2（a≥0）与的区别与联系： 三、代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。例：3，x，，（x≥0），，（t≠0，x3都是代数式 注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。如23＞35是关系式。 练习：下列式子：①0；②π2③24；④＞1；⑤23b；⑥(x≤2)，其中是代数式的有（）列代数式的常用方法： （1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。 （2）公式法：根据公式列出代数式。 （3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。 练习：列代数式 （1）把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为（）（2）若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为（） 典型例题剖析 题型一：二次根式有意义的条件 当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）；（2）)；（3） 题型二：利用二次根式的非负性化简求值 二次根式小结与复习 【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（ 1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等；（ 2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等． 【要点归纳】 1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时， 才有意义． 2.二次根式的性质： ① ② ③ ④ 3.二次根式的运算 二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加 减．（ 1）二次根式的加减： 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方 数不变。 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次 根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． （2）二次根式的乘法： （3）二次根式的除法： 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． （4）二次根式的混合运算： 先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运 算的，可适当改变运算顺序进行简便运算． 注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运 算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成 带分数．例如不能写成． 【难点指导】 1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有； 2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式； 3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数； 4、区别和的不同： 中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （ 1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：． （ 2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （ 1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． 二次根式强化训练与复习巩固自测试题 1．化简：______；_________． 2 ．当______时，． 3 ．等式成立的条件是 ______． 4 ．当，化简_______． 5．比较与的大小： _______． 6．分母有理化： （ 1）__________；（ 2）__________；（ 3）__________． 7．已知，，，那么________． 8．计算_________．专题训练 二次根式化简求值有技巧(含答案)
二次根式基本运算
【精华版】二次根式计算专题训练(附答案)
二次根式专项训练答案
八年级下册数学二次根式知识点整理
(完整版)二次根式复习.doc
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