二次根式的运算基础知识
讲解
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二次根式的运算（基础）知识讲解
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次
根式加减运算；
2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的
乘除运算；
3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.
【要点梳理】
要点一、二次根式的加减
二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
要点诠释：
（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.
（2）二次根式加减运算的步骤：
1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
≥0，≥0，…..≥0）.
(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.
2.积的算术平方根:
（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方
根的积.
要点诠释：
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，
等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.
要点三、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。
要点诠释：
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质:
（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 要点四、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.
【典型例题】
类型一、二次根式的加减运算
1.计算： (1).+ (2). 311932a a a a a +- 【答案与解析】(1)+=2232(23)252+=+=
31111(2)933232
1117(3)326
a a a a a a a a a +-=+-=+-= 【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.
举一反三：
【变式】计算:011(1)()527232
π--++-- 【答案】011(1)()527232
π--++-- 125332333352332=++--=+--=-
类型二、二次根式的乘除法
2．(1)×； (2)×； (3)； (4)；
【答案与解析】(1)×=；
(2)×==；
(3)===2； (4)==×2=2.
【总结升华】直接利用
计算即
可． 举一反三
【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正： (1).； (2).×=4××=4×=4=8.
【答案】(1).不正确． 改正：=＝×=2×3=6；
(2).不正确． 改正：×=×===＝4.
3.算：（1）)4323(4819-÷- （2）2
1521)74181(2133÷-?
【答案与解析】（1）214=(9)()3483-?-?原式=6136
=1; （2）原式=171123282711???-???? ???=34-. 【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.
类型三、二次根式的混合运算
4.下列各式计算正确的是（ ） A.+= B. 4﹣3=1 C. 2×3=6 D.÷=3
【答案】D.
【解析】解：A.，无法计算，故此选项错误，
﹣3=，故此选项错误，
×3
=6×3=18，故此选项错误， D.=，此选项正确，
故选D ．
【总结升华】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键．
5、计算： 已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________.
【答案】1；10.
【解析】22
，
==-∴=-=
a b ab
5+26526,5(26)1
+=
10
a b
【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确.
举一反三：
【变式】已知x=1﹣，y=1+，则x2+y2﹣xy﹣2x﹣2y的值为．
【答案与解析】
解：∵x=1﹣，y=1+，
∴x2+y2﹣xy﹣2x﹣2y
=（x+y）2﹣2（x+y）+1﹣3xy﹣1
=（x+y﹣1）2﹣3xy﹣1
=1﹣3×（1﹣）（1+）﹣1
=1+3﹣1
=3．
《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例１】下列各式 其中是二次根式的是＿_＿_＿＿_＿_（填序号). 举一反三: １、下列各式中,一定是二次根式的是( ） A B C D 2__＿＿__个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .［来源:学*科＊网Z*X*X*K ］ 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ) A 、x ＞3 ??B 、ｘ≥３ C 、 x>4 ??Ｄ 、x ≥３且x ≠４ 有意义的ｘ的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 Ｃ、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y ＝5-x +x -5+2009，则x+y ＝ 举一反三： 2 ()x y =+,则x -ｙ的值为( )
A ．-1 B ．1 Ｃ.2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且ｙ＝4x 233x 2+-+-,求x ｙ的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是ａ,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y,求y x 1 2+ 的值． 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 ２、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A ．３ ? B ．– ３? C.1? Ｄ．– 1 ３、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜ｘ2－4｜+652+-y y =０，则第三边长为＿__＿＿＿. ４、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 （公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、０ Ｃ、2a —4 D 、4
专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升 【基础巩固】 1．（2019·x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B ．1≥x C ．1x > D ．1x ≤ 【答案】B. 【解析】解：x -1≥0，解得：x ≥1 故答案为：B. 2．（2020·山西月考）计算：(2 1-=_____． 【答案】13- 【解析】解：原式=(2 2 12113-??=- 故答案为：13- 3．（2020· =______． 【解析】原式= = 2 3- - -． 4．（2020·有意义的实数x 的取值范围是__________． 【答案】x ≤3且x ≠0. 【解析】解：由题意得，3-x ≥0，x ≠0， 解得x ≤3且x ≠0， 故答案为x ≤3且x ≠0．
m=__________．5．（青岛月考）若2,,4 【答案】4. 【解析】解：∵2，m，4为三角形三边， ∴2＜m＜6， 原式=|m-2|+|m-6| =m-2-（m-6） =m-2-m+6 =4． 故答案为4． 6．（2020·=___________． 【答案】 = 2 . 故答案为： 2 7．（2020·浙江杭州市模拟）一个长方形的面积为，其中一边长为 边为_________． 【答案】3+ 【解析】解：由题意可得，另一边为 ( ÷ =3 故答案为：3．
8．（2019·威远县月考）当a ＜01a -=_______． 【答案】1. 【解析】解：∵a ＜0， 1a - 1a - =｜a -2｜-｜1-a ｜ =2-a -1+a =1． 故答案为：1． 9．（2020·成都月考）若实数x ，y 满足3y =， 则x y +的立方根为_______． 【答案】2. 【解析】解：由题意得5-x=0，即x=5，y=3， ∴x+y=8， 故x+y 的立方根为2． 10．（2020·四川月考）若24 y x =-，则x 的取值范围是__________． 【答案】x ≥1且x ≠2. 【解析】解：x -1≥0，2x -4≠0， ∴x ≥1且x ≠2. 故答案为：x ≥1且x ≠2. 11．当a=__________和可以合并． 【答案】3. 和 和 ∴3a-2=a+4，
一、学习内容：二次根式的性质及运算. 1.二次根式的概念： 一般的，我们把形如式子叫做二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a 时，a有意义. 3. 当a≥0 4. 2= a（a≥0）反之:a= 2（a≥0）． ︳a︳=?? ? ? ? 6.二次根式的乘法： a≥0，b≥0 a≥0，b≥0） 7.二次根式的除法： a≥0，b>0 a≥0，b>0） 8.满足（1）（2） 上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 9.分母有理化：化去分母中的根号 二、例题讲解： 1、化简：()25＝；()25-＝；()22.0 -＝； －()2л-＝；2 10-＝； 3 1 4= 2．计算：（1）14 2×7；（2）- 5 1 a3×10 3 b ； (3) (12+58)3 ?； (4) 2 224 40-； (5) ()22 3-（6）27 12 1 3 2 1 ? ÷； （7） 5 2 1 3 1 2 3 1 1? ÷； (8)； （9 ）（ （10 ）（ （11）50 5 1 12 2 1 8 3 2+ + -（12）12 ) 3 2 3 24 27 3 1 (? - - 例2. 已知，求的值。 413270 22 a b ab -+-= 例3. 已知，求的值。 x x x x =+ +- 31 12 2 2 例4. 化简： a a b a a b b a a b - -+ < 2 44 2 22 ()
三、练习： 1．等式2)1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________． 2．当x ____________时，二次根式32-x 有意义． 3．比较大小：3－2______2－3． 4．计算：22)2 1 ()213(-等于__________． 5．当x>2 ______________. 6．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示： a o b 则 3a －2)43(b a -＝______________． 7．若8-x ＋2-y ＝0，则x ＝___________，y ＝_____________ 8．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，则a ＝_____________， b ＝______________． 9．下列变形中，正确的是……………………………………………………………（ ） （A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2)5 2 (-＝－52 （C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-?-＝49? 10．下列各式中，一定成立的是……………………………………………………（ ） （A ）2)(b a +＝a ＋b （B ）22)1(+a ＝a 2＋1 （C ）12-a ＝1+a ·1-a （D ） b a ＝b 1ab 11．若式子12-x －x 21-＋1有意义，则x 的取值范围是……………………（ ） （A ）x ≥ 21 （B ）x ≤21 （C ）x ＝2 1 （D ）以上都不对 12．当a ＜0，b ＜0时，把 b a 化为最简二次根式，得………………………………（ ） （A ） ab b 1 （B ）－ab b 1 （C ）－ab b -1 （D ）ab b 13．当a ＜0时，化简|2a －2a |的结果是………………………………………（ ） （A ）a （B ）－a （C ）3a （D ）－3a 14．如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） (A) a (B) 1a 2 (C) 3 －a (D)－a 2 15．下列二次根式中，是最简二次根式的是………………………………………（ ） (A)8x (B)_x 2－3 (C) x －y x (D)3a 2b 16 二次根式的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 17 ）． A ．0 B ． 23 C ．42 3 D ．以上都不对 18．当a ≥0 正确的是（ ）． A C ．19.在实数范围内因式分解： （1）2x 2－4 （2）x 4 -9 20．计算：（1）1 3 (212 －75 )
二次根式50道典型计算题 6. ))((36163--?- ； 7. 633 1 2?? ； 8. )(102 132531 -??； 9. z y x 10010101??-． 12. 5 2 1312321 ?÷； 13. )(b a b b a 1 223÷?． 16. 已知：24 20-= x ，求2 21x x +的值．
18. 化简： ()2 ()3a - 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x - 20. (231 ?++ ?
22.. (()2 771+-- 23. ((((2 2 2 2 1111++- 24. 2 2 - 27. a b a b ??+--
28. 已知：x y ==3243223 2x xy x y x y x y -++的值。 29. 已知：1 1a a +=221 a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简： 3y - 31. 已知 ()1 1 039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。
32（1）－645×（－448）；（2）（－64）×（－81）； （3）1452－242；（4）3c 2ab 5c2 ÷ 3 2 5b 2a 33. 化简： （1）2700；（2）；（3）16 81 ；（4） 8a2b c2 ． 34.一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。 35. 若最简二次根式是同类二次根式，则______ a=。 36. 已知x y ==33_________ x y xy +=。
初二数学二次根式基础练习和常考题与简单题(含解析) 一．选择题（共7小题） 1．若式子有意义，则x的取值范围为（） A．x≥2 B．x≠3 C．x≥2或x≠3 D．x≥2且x≠3 2．下列二次根式中属于最简二次根式的是（） A． B． C．D． 3．如果，那么x取值范围是（） A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2 4．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 5．下列各式计算正确的是（） A．+=B．4﹣3=1 C．2×3=6D．÷=3 6．若是正整数，最小的整数n是（） A．6 B．3 C．48 D．2 7．下列根式中，不能与合并的是（） A．B．C．D． 二．填空题（共7小题） 8．计算的结果是． 9．三角形的三边长分别为3、m、5，化简﹣=． 10．若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，则化简=． 11．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=． 12．计算：（+1）（﹣1）=． 13．已知x、y都是实数，且y=+4，则y x=．
14．如果+=0，那么=． 三．解答题（共26小题） 15．计算：． 16．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．17．先化简，再求值：，其中a=+1． 18．计算：+（﹣）+． 19．当x=时，求代数式x2+5x﹣6的值． 20．化简求值：，求的值． 21．已知a，b，c在数轴上如图所示，化简：． 22．计算 （1）3﹣9+3 （2）（+）+（﹣） 23．计算： （1）+（﹣2013）0﹣（）﹣1+|﹣3| （2）÷﹣×+． 24．先化简，再求值：（+）÷，其中a=+1． 25．已知a=（）﹣1，b=，c=（2014﹣π）0，d=|1﹣|， （1）化简这四个数； （2）把这四个数，通过适当运算后使得结果为2．请列式并写出运算过程．26．先化简：（2x+1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x+1），再求值，其中．27．先化简，再求值：，其中．
二次根式基础测试题含答案 一、选择题 1．9≤，则x 取值范围为（ ） A ．26x ≤≤ B ．37x ≤≤ C ．36x ≤≤ D ．17x ≤≤ 【答案】A 【解析】 【分析】 先化成绝对值，再分区间讨论，即可求解． 【详解】 9， 即：23579x x x x -+-+-+-≤， 当2x <时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，矛盾； 当23x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，符合； 当35x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得79≤，符合； 当57x ≤≤时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得6x ≤，符合； 当7x >时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得 6.5x ≤，矛盾； 综上，x 取值范围为：26x ≤≤， 故选：A ． 【点睛】 本题考查二次根式的性质和应用，一元一次不等式的解法，解题的关键是分区间讨论，熟练运用二次根式的运算法则． 2．a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a ， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 3．下列各式计算正确的是（ ）
A 1082 ==-= B ． ()() 236= =-?-= C 115236==+= D ．54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断． 【详解】 解：A 、原式，所以A 选项错误； B 、原式，所以B 选项错误； C 、原式C 选项错误； D 、原式54==-，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．已知n 是整数，则n 的最小值是（ ）． A ．3 B ．5 C ．15 D ．25 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：=Q 也是整数， ∴n 的最小正整数值是15，故选C ． 5．在下列算式中：= ②=； ③42 ==；=，其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①④ 【答案】B
二次根式的运算（基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.
二次根式计算练习题 1. 2484554+-+ 2. 2332326-- 3. 214181 22 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 6. ))((36163--?-； 7. 63312??； 8. )(102132531- ??； 9. z y x 10010101??-．
10. 20245-； 11. 144 25081010??..； 12. 521312321 ?÷； 13. )(b a b b a 1223÷?． 14. 2712135272 2-； 15. b a c abc 4322-． 16. 已知：2420-= x ，求221x x +的值． 17. ()1()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b f f
()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 20. 21.. ( 231 ?+ ? 22.(()2771+-- 23.((((2222 1111+-
24. 22 - 28. 已知： x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。
29. 已知：11a a +=+221 a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且3y p ，化简： 3y -- 31. 已知11 039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）；
二次根式基础练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．若m -3为二次根式，则m 的取值为 （ ） A ．m≤3 B ．m ＜3 C ．m≥3 D ．m ＞3 2．下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸231)(-；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3．当22 -+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ） A ．a≥2 B ．a ＞2 C ．a≠2 D ．a≠－2 4．下列计算正确的是 （ ） ①69494=-?-=--))((；②69494=?=--))((； ③145454522=-?+=-；④145452222=-=-； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．化简二次根式352?-)(得 （ ） A ．35- B ．35 C ．35± D ．30 6．对于二次根式92+x ，以下说法不正确的是 （ ） A ．它是一个正数 B ．是一个无理数 C ．是最简二次根式 D ．它的最小值是3 7．把ab a 123分母有理化后得 （ ） A ．b 4 B ．b 2 C ．b 2 1 D ． b b 2 8．y b x a +的有理化因式是 （ ）
A ．y x + B ．y x - C ．y b x a - D ．y b x a + 9．下列二次根式中，最简二次根式是 （ ） A ．23a B ．31 C ．153 D ．143 10．计算：ab ab b a 1 ?÷等于 （ ） A ．ab ab 21 B ．ab ab 1 C ．ab b 1 D ．ab b 二、填空题（每小题3分，共分） 11．当x___________时，x 31-是二次根式． 12．当x___________时，x 43-在实数范围内有意义． 13．比较大小：23-______32-． 14．=?b a a b 182____________；=-222425__________． 15．计算：=?b a 10253___________． 16．计算：22 16a c b =_________________． 17．当a=3时，则=+215a ___________． 18．若x x x x --=--32 32成立，则x 满足_____________________． 三、解答题（46分） 19．(8分)把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：
新人教版数学八年级下册《二次根式》基础专项练习 一、二次根式的意义 1．下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 2．下列式子是二次根式的有（） ①；②（a≥0）；③（m，n同号且n≠0）；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列根式中，属于最简二次根式的是（） A． B．C．D． 二、二次根式有意义的条件 4．若代数式﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≠﹣2 B．x≤5 C．x≥5 D．x≤5且x≠﹣2 5．已知y=，则的值为（） A．B．﹣ C．D．﹣ 6．若式子﹣+1有意义，则x的取值范围是（） A．x≥B．x≤C．x= D．以上都不对 三、二次根式的性质与化简 7．下列运算正确的是（） A．B． C．D． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（）A．1 B．b+1 C．2a D．1﹣2a 9．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 四、最简二次根式
10．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B．C． D． 11．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④ 12．下列根式中是最简二次根式的是（） A．B．C．（a＞0）D． 五、二次根式的乘除法 13．计算2×÷的结果是（） A．B．C．D．2 14．下列运算正确的是（） A．a+a=a2B．a2?2a3=2a6C．÷=3 D．（﹣ab3）2=a2b6 15．下列计算正确的是（） ①=?=6；②=?=6 ③=?=3；④=?=1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 六、分母有理化 16．﹣1的倒数为（） A．﹣1 B．1﹣C．+1 D．﹣﹣1 17．a=，b=，则a+b﹣ab的值是（） A．3 B．4 C．5 D． 七、同类二次根式 18．下列根式中，与为同类二次根式的是（） A．B．C．D． 19．下列二次根式中，能与合并的是（） A． B． C．D． 20．在根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意 义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等 于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没 有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即 0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或 0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平 方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，， 而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无 意义，而.
二次根式 【知识要点】 必杀技:要注意二次根式中字母的取值范围： 被开方数必须是非负数． 1． 二次根式的主要性质： ①???<-≥==002a a a a a a ; ②()a a =2(),0≥a ; ③()0,0≥≥?=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab b a b a ； ⑤()()b a b a b a b a b a b a --=-+-=+1 ; ⑥b a b a b a -+=-1. A 、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式,像这样的二次根式成为最简二次根式 最简二次根式的条件： ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 B 、同类二次根式:被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式 C 、乘法公式:)0,0______(≥≥=?b a b a ；反之:)0,0_______(≥≥=b a ab D 、除法公式：)0,0______(>≥=b a b a ;反之：)0,0______(>≥= b a b a E 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m 【典型例题】 例1.x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ （1）1+x ； （2)23-x ； (３） 123+x ; (4)x 231-. 例２．若a a ---33有意义,则a 的值为＿______＿__＿_＿＿． 例3．若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是＿＿_＿＿_＿___＿＿_＿_＿.
例４.已知2<ｘ<3，化简:3)2(2 -+-x x ． 例5.数ａ、b 在数轴上的位置如图所示，化简222)()1()1(b a b a ---++. 例1、乘法运算 (1）)169()25(-?- (2）1527? （3）2 28n m (4）a a 122532?- 例2:除法运算 （1）354- (2）531513÷ (3）921.150 04.0?? （ 4)2294a b 例３：加减混合运算 （1）4832 31531 1312--+
第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3)
例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54
二次根式的基本运算（六） 班级 姓名 1.数轴上表示实数a 的点的位置如图所示，化简（a －5）2 ＋|a －2|的结果为___． 2. 若x≤0，则化简|1﹣x|﹣的结果是 A ．1﹣2x B ．2x ﹣1 C ．﹣1 D ．1 3．下列计算：（1）=2，（2） =2，（3）（﹣2）2 =12，（4）（ +）（ ﹣ ）=﹣1，其中结果正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 19．计算 （1）48212734+- （2）)23)(23()23(2 -++- 1. 函数2 y x = -中字母x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2 B ．x ≥1 C．13x ≤≤ D ．13x ≤≤且x ≠2 19．计算：（1）（+）（﹣）﹣（+3）2 ． （2）； 2 2x =-，那么x 的取值范围是（ ） A.x ≤2 B.x ﹤2 C.x ≥2 D.x ﹥2 13．计算：20152014 )23() 23(+?-= . 11 ．在函数y = x 的取值范围是 11、若式子12+a 有意义，则a 的取值范围为 ； 16、计算：( )( ) 232 33 16 48-++- 22、阅读下面的材料，并解答问题： ( ) ( )( )()121 21 21 21 21 2112122 -=--= -+-? = +； ()()()()() 23232323232 31 23 1 2 2 -=--= -+-?=+ ；
( ) ( )( )()() 34343 43 4343 413 412 2 -=--= -+-? = +；…… （1）填空： =+4 51 ， =+2016 20171 ； =++n n 11 （n 为正整数） ； （2）化简：1 22- 1x 的取值范围为（ ） A ．x ≥2 B ．x ≠3 C ．x ≥2或x ≠3 D ．x ≥2且x ≠3 17．（6分）计算：+ （﹣1）﹣30 ﹣| ﹣2|． 19．计算：﹣|﹣2 |﹣ （2﹣π）0+（﹣1）2017 ． （1） （2） ． （1）计算：108965475-+- （2）计算：2)6235(+ 19．（2015春?铜仁市期末）计算：（）﹣1 +|2﹣|+（）0﹣（﹣1） 2016 ． 1．若代数式x ＋1（x －3） 2有意义，则实数x 的取值范围是() A ．x ≥－1 B ．x ≥－1且x ≠3 C ．x ＞－1 D ．x ＞－1且x ≠3 11． （2015 春 ?黔南州期末）若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ≥0 且x ≠2 ．
二次根式的概念及运算 二次根式 形如()0a a ≥的式子． 二次根式有意义 被开方数大于等于零（即若a 有意义，则0a ≥） 【例1】 1当x 取何值时，下列式子有意义？ ⑴2x - ⑵2x - ⑶2 x - ⑷213x x ++- ⑸1x - ⑹x 模块一 二次根式的概念 知识导航 知识互联网 夯实基础
2 若x ，y 为实数，且14411y x x =-+-+．求xy 的值． 3 设3 1221 x x y x -+-=+，求使y 有意义的x 的取值范围. ①0(0)a a ≥≥ ②2 ()(0)a a a =≥ ③（必考）2a a a a ?==?-?() ( )00a a <≥ 【例2】 化简下列各式 ⑴ ( ) 2 25 - ⑵ () 2 3a - 能力提升 夯实基础 知识导航 题型二 二次根式的性质
【例3】 ⑴已知数a b c 、、在数轴上的位置如图所示： 化简：() 2 2a a c c b b -++---的结果为________ ⑵已知01a <<，化简2 2 1144a a a a ??? ?-+++- ? ????? ⑶化简( ) 2 2 412912x x x -+- -得( ) A. 2 B.44x -- C.2- D.44x - ⑷若()2 2340a b c -+-+-=，则a b c -+= ． ⑸已知实数x 、y 满足480x y -+-=，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A ． 20或16 B ． 20 C ． 16 D ． 以上答案均不对 ⑹若a 、b 为实数，且|1|20a ab -+-=， 求1111(1)(1)(2)(2)(2012)(2012)ab a b a b a b +++++++++的值. 乘法 与积的算术平方根可互相转化：(0,0)a b ab a b ?=≥≥ 除法 与商的算术平方根可互相转化： (0,0)a a a b b b =>≥ 最简二次根式 ①被开方数不含分母 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 知识导航 模块三 二次根式的运算 c a
二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若 1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< 2017 年《二次根式》基础测试 卷 班别 姓名 得分 一．选择题（共 14 小题） 1．使二次根式 有意义的 x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1 B ．x >1 C ． x ≤ 1 D ．x ≥1 2．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） 5．下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．下列计算正确的是（ ） A ． B ． C ． 7．下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．计算 的结果是（ ） A ．3 B ． C ． 2 D ． 9．下列计算正确的是（ ） C ．± 3 D ． D ． D ． ÷ =3 A ． ﹣ 3 B ． 3 A．+ = B．﹣=﹣1 C．× =6 15． = ，（﹣ ） 2= ， = 1 1 2 3 ； 2 ； 2 = 16 ．代数式 有意义时，实数 x 的取值范围是 ． 17．化简： ﹣ = ． 18 ．若实数 a 满足 =2，则 a 的值为 ． 19．使 有意义的 x 的取值范围是 ． 20 ．计算： ÷ = ． 21．计算 ﹣ = ． 22 ．使代数式 有意义的 x 的取值范围是 ． 10．化简二次根式 B ．5 得（ C ．± ) 5 D ．30 A ．﹣ 5 11． 等于（ ） A ．﹣ 4 B ． 4 C ． 2 D ． ﹣2 12． 下列各结论中， 正确的是（ ） A ． B ． C ． 13． 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ． 14 ． 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ． ．填空题（共 8 小题） 一、最简二次根式 【例1】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（）． ． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16 6x x -=是分式， 0.5中的1 3 是分数，它们都不满足条件1中有能开得尽方的因式2b， 2 2()22 x-，它们都 不满足条件2满足最简二次根式的两个条件．答：Ｂ． 点评：要牢记最简二次根式的两个条件，判断时只须看被开方数，注意当被开方数是多项式时要先 分解因式，找一找有没有能开得尽方得因式和因数，中虽有2a和2b，但2a和2b 不是2a＋2b的因式． 【答案】B 【例2】 中，最简二次根式有____________________. ． 【例3】下列根式） A．2个B．3个C．4个D．5个 【答案】C． 【例4】化简下列各式（字母均取正数）： 2) x≥． 【解析】 =5 14 9 ．== =3 == 【答案】（1）（2）5（3）14 9 ；（4（5）3 二、二次根式的乘除 【例5】把下列各式分母有理化： 2 【解析】 ===； 2 = =- 1= = =； = = 注：本题帮助学生练习最简单的“分母有理化”及性质．当分母中有根号时，要在分子和分母上同时乘以一个 式子，使相乘后的分母不再含根式．⑶、⑷主要运用“22()()a b a b a b +-=-”，进行分母有理化． 【答案】（1 ；（2）-（31；（4 【例6】 把下列各式分母有理化： ⑴⑵ ⑶÷ 【解析】= ⑵ = =- ⑶5÷=+ = - = 【答案】（1 （2）-（3）5+（4 【例7】 【解析】原式 【例8】 【解析】原式1 3=? 【例9】 =； 【答案】. 【例10】 二次根式基础测试题及答案解析 一、选择题 1．-中，是最简二次根式的有 ( ) A．2个B．3个C．4个D．5个 【答案】A 【解析】 ，不是最简二次根式； -，不是最简二次根式； 是最简二次根式. 共有2个最简二次根式.故选A. 点睛：最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2．下列各式中计算正确的是（） = A+=B．2+=C=D．2 2 【答案】C 【解析】 【分析】 结合选项，分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算，选出正确答案． 【详解】 解：不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B.2 = D. =1，原式计算错误，故本选项错误． 2 故选：C. 【点睛】 本题考查二次根式的加减法和乘除法，在进行此类运算时，掌握运算法则是解题的关键． 3．下列各式计算正确的是（ ） A 1082 ==-= B ． ()() 236= =-?-= C 115236==+= D ．54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断． 【详解】 解：A 、原式，所以A 选项错误； B 、原式，所以B 选项错误； C 、原式C 选项错误； D 、原式54 ==-，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4 ．已知n 是整数，则n 的最小值是（ ）． A ．3 B ．5 C ．15 D ．25 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：=Q 也是整数， ∴n 的最小正整数值是15，故选C ． 5．下列各式计算正确的是( ) A ．2＋b ＝2b B = C ．(2a 2)3＝8a 5 D ．a 6÷ a 4＝a 2 二次根式的加减法 一、知识概述 1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似． 2、二次根式的加减法法则 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并； (2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变． 3、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”； (2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式． 二、重难点知识 1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似． 2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律． 三、典型例题讲解 例1、计算： ． 分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并． 解： ． 例2、计算： 分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．(完整版)《二次根式》基础测试卷
二次根式基本运算
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