立体几何综合检测题
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A .3 B .4 C .5 D .6
2.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,异面直线AB ,A 1D 1所成的角等于( ) A .30° B .45° C .60° D .90°
3.对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面α,使得( ) A .a ?α,b ?α B .a ?α,b ∥α C .a ⊥α,b ⊥α D .a ?α,b ⊥α 4.下面四个命题:
①若直线a ,b 异面,b ,c 异面,则a ,c 异面; ②若直线a ,b 相交,b ,c 相交,则a ,c 相交; ③若a ∥b ,则a ,b 与c 所成的角相等; ④若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ∥c . 其中真命题的个数为( )
A .4
B .3
C .2
D .1
5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是线段A 1B 1,B 1C 1上的不与端点重合的动点,如果A 1E =B 1F ,有下面四个结论:
①EF ⊥AA 1;②EF ∥AC ;③EF 与AC 异面;④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )
A .①②
B .②③
C .②④
D .①④
6.已知平面α⊥平面β,α∩β=l ,点A ∈α,A ?l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,n ∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )
A .A
B ∥m B .A
C ⊥m C .AB ∥β
D .AC ⊥β
7.已知三棱锥D -ABC 的三个侧面与底面全等,且AB =AC =3,BC =2,则以BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为( )
A.33
B.13 C .0 D .-12
8.如图所示,点P 在正方形ABCD 所在平面外,PA ⊥平面ABCD ,PA =AB , 则PB 与AC 所成的角是( )
A .90°
B .60°
C .45°
D .30°
9.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( )
A .7
B .6
C .5
D .3
10.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.我们来重温这个伟大发现.圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )
A.32,1
B.23,1
C.32,32
D.23,32
11.(2011-2012·广东惠州一模)某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.则该几何体的体积为( )
A.24 B.80
C.64 D.240
12.如果用表示1个立方体,用表示两个立方体叠加,用表示3个立方体叠加,那么图中由7个立方体摆成的几何体,从正前方观察,可画出平面图形是( )
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.(2011-2012·北京东城区高三第一学期期末检测)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为___________________ __________________________________________________.
14.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为________.
15.设平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=________.
16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:
①AC⊥BD;
②△ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD成60°的角;
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________.
三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)如图所示,设计一个四棱锥形冷水塔塔顶,四棱锥的底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形,已知底面边长为2m,高为7m,制造这个塔顶需要多少铁板?
的表面积和体积.
的中点.
求证:(1)平面AB1F1∥平面C1BF;
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理,寻找使结论成立的充分条件.
20.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC
=90°,E是CD的中点.
(1)证明:CD⊥平面PAE;
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.
21.(12分)如图所示,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=22,M为BC的中点.
(1)证明:AM⊥PM;
(2)求二面角P-AM-D的大小.
22.(本小题满分12分)(2010·辽宁文,19)如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.
(1)证明:平面AB1C⊥平面A1BC1;
(2)设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,求A1D DC1的值.
详解答案
1.[答案] C
[解析] AB与CC1为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行的直线,因此只有两类:
第一类与AB平行与CC1相交的有:CD、C1D1
与CC1平行且与AB相交的有:BB1、AA1,
第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.
2[答案] D
[解析] 由于AD∥A1D1,则∠BAD是异面直线AB,A1D1所成的角,很明显∠BAD=90°.
3[答案] B
[解析] 对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a?α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,C错误;对于选项D,a?α,b⊥α,一定有a⊥b,D错误.
4[答案] D
[解析] 异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定理,可知③正确;对于④,在平面内,a∥c,而在空间中,a与c可以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.
5[答案] D
[解析] 如图所示.由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF?平面A1B1C1D1,则EF⊥AA1,所以①正确;当E,F分别是线段A1B1,B1C1的中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以③不正确;当E,F分别不是线段A1B1,B1C1的中点时,EF与AC 异面,所以②不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF?平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正确.
6[答案] C
[解析] 如图所示:
AB ∥l ∥m ;AC ⊥l ,m ∥l ?AC ⊥m ;AB ∥l ?AB ∥β.
7[答案] C
[解析] 取BC 中点E ,连AE 、DE ,可证BC ⊥AE ,BC ⊥DE ,∴∠AED 为二面角A -BC -D 的平面角 又AE =ED =2,AD =2,∴∠AED =90°,故选C. 8[答案] B
[解析] 将其还原成正方体ABCD -PQRS ,显见PB ∥SC ,△ACS 为正三角形,∴∠ACS =60°.
9[答案] A
[解析] 设圆台较小底面圆的半径为r ,由题意,另一底面圆的半径R =3r . ∴S 侧=π(r +R )l =π(r +3r )×3=84π,解得r =7. 10[答案] C
[解析] 设球的半径为R ,
则圆柱的底面半径为R ,高为2R ,
∴V 圆柱=πR 2×2R =2πR 3
,V 球=43
πR 3.
∴V 圆柱V 球=2πR 3
43
πR 3=32
, S 圆柱=2πR ×2R +2×πR 2=6πR 2,S 球=4πR 2. ∴S 圆柱S 球=6πR 24πR 2=32. 11[答案] B
[解析] 该几何体的四棱锥,高等于5,底面是长、宽分别为8、6的矩形,则底面积S =6×8=48,则该几何体
的体积V =13Sh =1
3×48×5=80.
12[答案] B
[解析] 画出该几何体的正视图为,其上层有两个立方体,下层中间有三个立方体,两侧各一个立方体,故B 项满足条件.
13[答案] 36
[解析] 该几何体是底面是直角梯形的直四棱柱,如图所示,底面是梯形ABCD ,高h =6,
则其体积V =Sh =??
??
??12
+
×6=36. [答案] 24π2
+8π或24π2
+18π
14[解析] 圆柱的侧面积S 侧=6π×4π=24π2
.
(1)以边长为6π的边为轴时,4π为圆柱底面圆周长,所以2πr =4π,即r =2.
所以S 底=4π,所以S 表=24π2
+8π.
(2)以4π所在边为轴时,6π为圆柱底面圆周长,所以2πr =6,即r =3.所以S 底=9π,所以S 表=24π2
+18π. 15[答案] 9
[解析] 如下图所示,连接AC ,BD ,
则直线AB ,CD 确定一个平面ACBD . ∵α∥β,∴AC ∥BD , 则AS SB =CS SD ,∴86=12
SD ,解得SD =9. 16[答案] ①②④
[解析] 如图所示,①取BD 中点,E 连接AE ,CE ,则BD ⊥AE ,BD ⊥CE ,而AE ∩CE =E ,∴BD ⊥平面AEC ,AC ?平面AEC ,故AC ⊥BD ,故①正确.
②设正方形的边长为a ,则AE =CE =
22
a . 由①知∠AEC =90°是直二面角A -BD -C 的平面角,且∠AEC =90°,∴AC =a , ∴△ACD 是等边三角形,故②正确.
③由题意及①知,AE ⊥平面BCD ,故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角,而∠ABE =45°,所以③不正确. ④分别取BC ,AC 的中点为M ,N , 连接ME ,NE ,MN .
则MN ∥AB ,且MN =12AB =1
2a ,
ME ∥CD ,且ME =12CD =1
2
a ,
∴∠EMN 是异面直线AB ,CD 所成的角.
在Rt △AEC 中,AE =CE =2
2
a ,AC =a ,
∴NE =12AC =1
2
a .∴△MEN 是正三角形,∴∠EMN =60°,故④正确.
17[解析]如图所示,连接AC 和BD 交于O ,连接SO .作SP ⊥AB ,连接OP .
在Rt △SOP 中,SO =7(m),OP =1
2BC =1(m),
所以SP =22(m),
则△SAB 的面积是12
×2×22=22(m 2
).
所以四棱锥的侧面积是4×22=82(m 2
),
即制造这个塔顶需要82m 2
铁板.
18[解析] 由题意,知所成几何体的表面积等于圆台下底面积+圆台的侧面积+半球面面积.
又S 半球面=12
×4π×22=8π(cm 2
),
S 圆台侧=π(2+5)-2+42=35π(cm 2
), S 圆台下底=π×52=25π(cm 2),
即该几何全的表面积为
8π+35π+25π=68π(cm 2
).
又V 圆台=π3×(22+2×5+52)×4=52π(cm 3
),
V 半球=12×4π3×23=16π3
(cm 3
).
所以该几何体的体积为V 圆台-V 半球=52π-16π3=140π3
(cm 3
).
19[证明] (1)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点, ∴B 1F 1∥BF ,AF 1∥C 1F .
又∵B 1F 1∩AF 1=F 1,C 1F ∩BF =F , ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .
(2)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1,∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1,A 1C 1∩AA 1=A 1,
∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1,而B 1F 1?平面AB 1F 1, ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1. 20[解析]
(1)如图所示,连接AC ,由AB =4,BC =3,∠ABC =90°,得AC =5. 又AD =5,E 是CD 的中点,所以CD ⊥AE .
∵PA ⊥平面ABCD ,CD ?平面ABCD ,所以PA ⊥CD .
而PA ,AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以CD ⊥平面PAE . (2)过点B 作BG ∥CD ,分别与AE ,AD 相交于F ,G ,连接PF .
由(1)CD ⊥平面PAE 知,BG ⊥平面PAE .于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角,且BG ⊥AE . 由PA ⊥平面ABCD 知,∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角. AB =4,AG =2,BG ⊥AF ,由题意,知∠PBA =∠BPF ,
因为sin ∠PBA =PA PB
,sin ∠BPF =BF PB
,所以PA =BF .
由∠DAB =∠ABC =90°知,AD ∥BC ,又BG ∥CD ,所以四边形BCDG 是平行四边形,故GD =BC =3.于是AG =2. 在Rt △BAG 中,AB =4,AG =2,BG ⊥AF ,所以
BG =AB 2+AG 2
=25,BF =AB 2BG =1625=855.于是PA =BF =855
.
又梯形ABCD 的面积为S =1
2×(5+3)×4=16,所以四棱锥P -ABCD 的体积为
V =13×S ×PA =13×16×
855=1285
15
.
21[解析] (1)证明:如图所示,取CD 的中点E ,连接PE ,EM ,EA ,
∵△PCD 为正三角形,
∴PE ⊥CD ,PE =PD sin ∠PDE =2sin60°= 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ,
∴PE ⊥平面ABCD ,而AM ?平面ABCD ,∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形,
∴△ADE ,△ECM ,△ABM 均为直角三角形,由勾股定理可求得EM =3,AM =6,AE =3,
∴EM 2+AM 2=AE 2
.∴AM ⊥EM .
又PE ∩EM =E ,∴AM ⊥平面PEM ,∴AM ⊥PM . (2)解:由(1)可知EM ⊥AM ,PM ⊥AM , ∴∠PME 是二面角P -AM -D 的平面角.
∴tan ∠PME =PE EM =3
3
=1,∴∠PME =45°.
∴二面角P -AM -D 的大小为45°. 22[解析]
(1)因为侧面BCC 1B 1是菱形,所以B 1C ⊥BC 1, 又已知B 1C ⊥A 1B ,且A 1B ∩BC 1=B ,
所以B 1C ⊥平面A 1BC 1,又B 1C ?平面AB 1C 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 .
(2)设BC 1交B 1C 于点E ,连接DE ,则DE 是平面A 1BC 1与平面 B 1CD 的交线.
因为A 1B ∥平面B 1CD ,A 1B ?平面A 1BC 1,平面A 1BC 1∩平面B 1CD =DE ,所以A 1B ∥DE . 又E 是BC 1的中点,所以D 为A 1C 1的中点.
即A1D DC1=1.
高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )
立 体几何试题 一.选择题(每题4分,共40分) 1.已知AB 0300300150空间,下列命题正确的个数为( ) (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形 (3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是( ) A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点,作与α平行的平面,则这样的平面可作( ) A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( ) A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二.填空题(每题4分,共16分) 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ,设直线AB 与平面α交于点O ,则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个,过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块