《立体几何》综合测试题
选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1 .已知直线 m 、n 和平面a ，贝U m//n 的一个必要不充分的条件是(
)
(A ) m//a 、n// a ,
(B ) m ± a 、n 丄a (C) m// a 、n ：_ a (D)m 、n 与 a 成等角。
2. a 、b 是异面直线，以下命题正确的是(
)
(A) 过不在a 、b 上的一点P , —定可以作一条直线和 a 、b 都相交; (B) 过不在a 、b 上的一点P , —定可以作一个平面和 a 、b 都平行; (C) 过a 一定可以作一个平面与 b 平行； (D )过a 一定可以作一个平面与 b 垂直。
3.如图1，正方体ABCD — A i B i C i D i 中，EF 为异面直线 A Q
和AC 的公垂线，则直线 EF 与BD i 位置关系是(
)
(A )异面直线
(B )平行
4 .如图2 ,三棱柱ABC —A i B i C i 中，侧棱BB i 在下底面上射影平行于 AC 。如果侧棱BB i 与
(C )丄;
4
6 .已知P 为矩形ABCD 平面外一点，PA 丄平面ABCD , P 点到B 、C 、D 三点的距离分别为
5、 i7、 J3，贝U P 点到BD 的距离是(
)
(A ) 2
( B ) 3
(C ) 4
( D ) 5
7 ?圆柱的轴截面的对角线长为定值，为了使圆柱的侧面积最大，轴截面对角线与底面所成
(C )相交且垂直 (D) 相交且不垂直 D i E D
B 1
D
I F
底面所成的角为 30°,/ B i BC=60°,则/ ACB 的余弦应为(
(A)仝
3
(B ) -3
(C )空
2
3
(D)
6
5.在直截面是直角三角形的圆锥内，有一个内接圆柱,
图2
它的全面积等于圆锥的侧面积，此圆锥的顶点到圆柱上底的距离等于圆锥母线长的(
(A
)-；
(D)-
3
A i
C i C
图i
B i
B
的角为( )
(A) (C) 6 (D) 12
8 ?如果四面体的四个顶点到平面的距离都相等，则这样的平面一共有( )
(A) 1 个 (B)3 个(C)4 个 (D)7 个
9 ?若a、b是异面直线, P是空间一点，过P点与a、b成60°角的直线有且只有3条，则异
面直线a、b所成的角是( )
(A) 30°( B) 45°(C) 60°( D) 75°
10.如图3,正方体ABCD —A i B i C i D i中上，点P在侧面BCC I B I及
其边界上运动，并且总是保持API BD i，则动点P的轨迹是( )
(A)线段B i C (B)线段BC i
(C) BB i中点和CC i中点连成的线段(D) BC中点和B i C i中点连成的线段
11.一张长方形纸片ABCD沿一条折痕EF对折，使A、C两点重合，再把它展成70°的二面
角A—EF —C,则AC与EF所成的角为( )
(A) 60°( B) 70°( C) 80°(D) 90°
AE CF 门12.正四面体ABCD中，E、F分别在AB、CD上，且，记f - .
EB FD 扎扎(其中、匕表示EF和AC所成的角，化:表示EF和BD所成的角)，则( )
(A) f ()在(° , + a)上单调递增；
(B) f ()在(° , + a)上单调递减；
(C) f ()在(°, i)上单调递增，f(')在(i , + a)上单调递
减;
(D ) f ( ■)在(° , + a )上为常数；
填空题：(本大题共4小题，每题4分，共16分)
i3 .如图4, P是平面a外一动点，A、B是平面a内两定点,
C是平面a内一动点，且PA丄a , PC丄BC,则动点C的轨
迹是__________________________________________ ；
i4.如图5,三棱台ABC —A i B i C i 中，已知S^ABC=S I, S'A
高为h,则四面体ACB i C i的体积为_____________________
i5.北纬30°圈上的甲、乙两城市分别位于东经i20°和西经i20°线上，设地球的半径为R
千米，沿地球表面铺设石油管道，最少需要管道设深度）。
______________ （千米）（不考虑地形和埋
16 .在三棱锥P—ABC中，作平行于AC与BP的截面EFGH，给出下列五个条件：
①点P在平面ABC上的射影是ABC的垂心；②PC丄AB, PA丄BC :③ABC是正三角形；④ 侧面ABP 与侧面BCP是全等三角形；⑤BA = BC，且/ PBA=Z PBC。上述条件中能使截面EFGH
是矩形的某一条件是 _______________________ （把你认为符合条件的序号都填上）
三. 解答题：（本大题共6小题，共74分）
17.在二面角a —MN —B中，等腰Rt △ ABC的斜边BC a，一直角边AC 3 , BC与B
所成的角的正弦为一，求AB与平面3所成的角。（12分）
4
18.如图6,已知正方体ABCD —A i B i C i D i的棱长为a。
（1 ）判断平面A1C1B与对角面BB1D1D是否垂直，并加以证明。
（2）求点D到平面A1C1B的距离。（12分）
19.如图7, △ SAB是圆锥SO的轴截面，C是底面圆周上一点，/ ASC=90° , CD丄AB于D , （1）求证：平面SAC丄平面SCD;
（2）若圆锥的底面半径为3,高为,3，求二面角B—AS—C的大小。（12分）
B 图7 C