岳阳市一中2007年上期立体几何测试卷
时量：90分钟 满分：100分
班级 学号 姓名
一、选择题（4’×10=40’）
1．一条直线与一个平面所成的角等于3
π，另一直线与这个平面所成的角是6
π. 则这两条直
线的位置关系
（ ） A ．必定相交 B ．平行 C ．必定异面 D ．不可能平行
2．下列说法正确的是 。
A ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线
B ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线
C ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线
D ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M
3．设P 是平面α外一点，且P 到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是 。
A ．梯形
B ．圆外切四边形
C ．圆内接四边形
D ．任意四边形
4．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA 1、BB 1、CC 1、DD 1分别交于E 、F 、G 、H.若AE=3，BF=4，CG=5，则DH 等于 。
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
5．二面角α—EF —β是直二面角，C ∈EF ，AC ?α，BC ?β,∠ACF=30°,∠ACB=60°，则cos ∠BCF 等于 。
A ．3
32
B ． 3
6
C ．2
2
D ．3
3
6．把∠A =60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）
4
3
4
3
2
3
4
6
7．|→
a |＝|→
b |＝4，〈→
a ，→
b 〉＝60°，则|→
a －→
b |＝ 。 A. 4 B. 8 C. 37 D. 13
8．三棱柱111C B A ABC -中，M 、N 分别是1BB 、AC 的中点，设=，=，=1，则等于 。
（A ）)(2
1++ （B ）)(21-+ （C ）)(2
1+ （D ）)(2
1
-+
9．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的
边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各 面）是 。 A ．258 B ．234 C ．222 D ．210
10．在半径为R 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好
都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，
则经过的最短路程是:
A ．2R π
B ．73
R π C ．83
R π D ．76
R π
将选择题答案填入下表（3’×12=36’）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题（4’×5=20’）
11．边长为2的正方形ABCD 在平面α内的射影是EFCD ，如果AB 与平面α的距离为2，则AC 与平面α所成角的大小是 。
12．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 。
13．已知AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，AB=2，且a 与b 成30°角，在直线a 上取AP=4，则点P 到直线b 的距离为 。
14．一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形内角总和为 。
15．已知a 、b 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：
①若α∥β，a ?α，则a ∥β ②若a 、b 与α所成角相等，则a ∥b ③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ ④若a ⊥α, a ⊥β，则α∥β 其中正确的命题的序号是________________。
三、解答题（40分）
16．（8分）在△ABC 所在平面外有点S ，斜线SA⊥AC，SB⊥BC，且斜线SA 、SB 与平面ABC
所成角相等.（I ）求证：AC=BC ；
（II ）又设点S 到平面ABC 的距离为4c m ，AC⊥BC 且AB=6c m ，求S 与AB 的距离.
17．（10分）平面E F GH 分别平行空间四边形ABCD 中的CD 与AB 且交BD 、AD 、AC 、BC 于E 、
F 、
G 、=a ，AB=b ，CD⊥AB．
（I ）求证E F GH 为矩形；
（II ）点E 在什么位置，S E F GH 最大
A
B
C
O
S
18．(12分）如图：直三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 中，1==CB CA ，
?=∠90BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别为A 1B 1、AB 的中点
①求证：平面A 1NC ∥平面BMC 1； ②求异面直线A 1C 与C 1N 所成角的大小； ③求直线A 1N 与平面ACC 1A 1所成角的大小。
19．（10分）如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，其中AB=3，PA=4，若在线段PD
上存在点E 使得BE ⊥CE ，求线段AD 的取值范围，并求当线段PD 上有且只有一个点E 使得BE ⊥CE 时，二面角E —BC —A 正切值的大小.
A B 1
岳阳市一中2007年上期立体几何测试卷答案
一、将选择题答案（3’×12=36’）
11．?30 ； 12．π32 ；13．22 14．?1620 ； 15．（1）（4）
三、解答题（10’×4=40’）
16．（1）证明：过S 作SO⊥面ABC 于O
17．解：
又∵AB⊥CD ?E F ⊥F G ?E F GH 为矩形. （2）AG=x ，AC=m ，
m
x
a GH =，GH=m a x
m
x
m m x m b GF -=
-= G F =m b （m －x ） S E F GH =GH·G F =m a x ·m
b
（m －x ）
=2m ab （mx －x 2）= 2m ab （－x 2
+mx －42m +42m ）=2m
ab ［－（x －2m ）2+42m ］
当x =2
m
时，S E F GH 最大=.4422ab m m ab =?
18、建系：A （1,0，0），B （0,1，0），C （0，0,0）
)2,0,1(1A ，)2,1,0(1B ，)2,0,0(1C ，)2,21
,21(M ，)0,2
1
,
21(N （1）)0,21,
21(=，)0,21
,21(1=C ，M C CN 1=，M C CN 1//∴ )2,21,21(1--=A ，)2,2
1
,21(--=，A =1，MB N A //1∴
M MB M C N CN N A == 11,，∴平面A 1NC ∥平面BMC 1
（2）)2,0,1(1--=A ，)2,2
1
,
21(1-=N C 301074
4
1
4154
21cos =++?+-
=θ
异面直线A 1C 与C 1N 所成角的大小为30
10
7arccos
（3）平面ACC 1A 1的法向量为)0,1,0(=，)2,2
1
,21(1--
=A 62144
1
4121
|
|||sin 11=?++=
?=
n N A θ 直线A 1N 与平面ACC 1A 1所成角的大小为6
2arcsin
19．若以BC 为直径的球面与线段PD 有交点E ，由于点E 与BC 确定的平面与球的截面是一
个大圆，则必有BE ⊥CE ，因此问题转化为以BC 为直径的球与线段PD 有交点。 设BC 的中点为O （即球心），再取AD 的中点M ，易知O M ⊥平面PAD ，作M E ⊥PD 交PD
于点E ，连结OE ，则OE ⊥PD ，所以OE 即为点O 到直线PD 的距离，又因为OD ＞OC ，OP ＞OA ＞OB ，点P ，D 在球O 外，所以要使以BC 为直径的球与线段PD 有交点，只要使OE ≤OC （设OC=OB=R ）即可。
由于△DE M ∽△DAP ，可求得M
， 所以OE 2
=9+ 2
244R R +令OE 2≤R 2
，
即9+ 2
244R
R +≤R 2
，解之得R ≥23；所以AD=2R ≥43，所以AD 的取值范围[ 43，+∞)，
当且仅当AD= 43时，点E 在线段PD 上惟一存在，此时易求得二面角E —BC —A 的平
面角正切值为2
1。