浙江工商大学2010/2011学年第一学期期中考试试卷
课程名称： 微积分(A 层) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟
一、填空题(每小题3分,共15分) 1.??
? ??-+++∞→2221231lim n n n n n =. 2.设2010)1(lim =--∞→b
b a
n n n n ,则a =,b =. 3.曲线2x y =与曲线x a y ln =(0≠a )相切,则a =.
4.已知一个长方形的长x 以s m /2.0的速率增加,宽y 以s m /3.0的速率增加,当m x 12=,m y 5=时,其面积增加的速率为.
5.设x x f 2cos )(=,则)0()2(n f =.
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.当],0[π∈x 时,0)(≠x f ,且x x f x f sin )()(+=+π,则在),(∞+-∞内)(x f 是().
(A )以π为周期的函数 (B )以π2为周期的函数 (C )以π3为周期的函数 (D )不是周期函数
2.数列}{n x 收敛于实数a 等价于(D ).
(A )对任给0>ε,在),(εε+-a a 内有数列的无穷多项 (B )对任给0>ε,在),(εε+-a a 内有数列的有穷多项 (C )对任给0>ε,在),(εε+-a a 外有数列的无穷多项 (D )对任给0>ε,在),(εε+-a a 外有数列的有穷多项
3.若0lim =∞
→n n n y x ,则(D ). (A )0lim =∞→n n x 且0lim =∞
→n n y (B )0lim =∞→n n x 或0lim =∞→n n y (C )当0lim =∞→n n x 时,}{n y 有界
(D )当∞=∞→n n x lim 时,0lim =∞→n n y 4.若1sin )
(lim 0=→x
x x ?,则当0→x 时,函数)(x ?与()是等价无穷小. (A ))1ln(x - (B )||sin x (C )||cos 1x - (D )121-+x
5.设函数e)
)(3(e e )(3
---=x x x f x ,则(). (A )3=x 及e =x 都是)(x f 的第一类间断点
(B )3=x 及e =x 都是)(x f 的第二类间断点
(C )3=x 是)(x f 的第一类间断点,e =x 是)(x f 的第二类间断点 (D )3=x 是)(x f 的第二类间断点,e =x 是)(x f 的第一类间断点
三、计算题(1)(每小题6分,共30分)
1.若()023lim
2
=+++++∞→b ax x x x ,求常数a ,b . 2.当a ,b 取何值时,函数1
lim )(2212+++=+∞→n n n x bx ax x x f 在),(∞+-∞内连续. 3.已知)(x f 在点a x =处可导,且0)(≠a f ,求n
n a f n a f ????
??????+∞→)()1(lim . 4.试求)(cos d d lim 0x f x
x +→,其中)(x f 在1=x 处具有连续的一阶导数,且2)1(-='f .
5.求由方程x x y xy =-+)ln()sin(所确定的隐函数)(x y 在0=x 的导数)0(y '.
四、计算题(2)(每小题8分,共16分)
1.设??
???>-≤≤--<-=2 ,161221 ,1 ,21)(32x x x x x x x f .(1)写出)(x f 的反函数)(x g 的表达
式;(2)问)(x g 是否有不可导点,若有指出这些点.
2.设函数x x x f x 2cos e 2tan ln )(-+=,求??
? ??''2πf . 五、应用题(本题满分8分)
设某商品的需求函数为P Q 5100-=,其中价格)20,0(∈P ,Q 为需求
量,(1)求需求量对价格的弹性||d E =η;(2)推导)1(d d η-=Q P
R (其中R 为收益),并用弹性η说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加.
六、证明题(每小题8分,共16分)
1.证明数列}{n x 收敛,其中11=x ,???
? ??+=+n n n x x x 3211, ,2,1=n ,并求n n x ∞
→lim . 2.设函数)(x f 在],[b a 上连续,b d c a <<<,且)()(d f c f k +=,证明:
),(b a ∈?ξ,使得)(2ξf k =.
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.
2015年6月微积分2期末复习提纲 1、 本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接 展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：9122≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。 （依题得：010<
浙江工商大学2014/2015学年第一学期期末考试卷A 课程名称:微积分(上)A 层 考试方式: 闭 卷 完成时限: 120分钟 班级名称: 学 号: 姓 名:___________ 一、填空题（每小题3分,共15分） 1.函数()1,1f x x =+则()()f f x 的定义域是 . 2.点0=x 为函数e ,0,()ln(1),10 x x f x x x -?>=?+-<≤?的第 类间断点. 3.若函数x y sin =,则=)2015(y . 4.()sin 2d 3x = . 二、选择题（每小题3分,共15分） 1.当0→x 时,与x 等价的无穷小是( ). A.x x +3 1-
C.)1e sin(-x D.x cos 1- 2.下列函数中,在点0=x 处可导的是( ). A.||)(x x x f = B.|sin |)(x x f = C.?????=≠=0,0,0,1sin )(x x x x x f D.???>≤+=0, ,0,1)(2x x x x x f 3. 设()x f x x =，则其导数为( ). A. x x x f =')( B. x x x f x ln )(=' C. )1(ln )(+='x x x f x D. 1)(-='x x x f 4.设)(x f 的导数在a x =处连续,又1)(lim -=-'→a x x f a x ,则( ). A.a x =是)(x f 的极小值点 B.a x =是)(x f 的极大值点 C.))(,(a f a 是曲线)(x f 的拐点 D.a x =不是)(x f 的极值点,))(,(a f a 也不是曲线)(x f 的拐点 5.下列等式中,正确的是( ). A.)(d )(x f x x f ?=' B.)()(d x f x f ?= C.)(d )(d d x f x x f x ?= D.)(d )(d x f x x f ?= 三、计算题（写出必要的解题步骤,每小题6分,共48分） 1.求极限()()1sin 0lim 12x x f x →-，其中()()00,02f f '==，当0x ≠时()0f x ≠.
一、填空题 1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3) (lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞ →))(arcsin(lim 2 x x x x 6 π x x x 3262 3++↑ 3．=?? ? ??-∞ →3 21lim x x x 32 -e 4．设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x x x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2 6．=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7．函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8．为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1 9．设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2 二、单项选择题 1．设0>n x ，且n n x ∞→lim 存在，则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→- →x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ； ②1e -； ③1e +； ④1 1e -+ 4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2 x x + ③x ④x 2sin
微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限
微积分(上)期末考试试题（B）
对外经济贸易大学 2003-2004学年第一学期 《微积分》（上）期末考试试卷(B) 课程课序号CMP101??（1~14） 学号：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 成绩：___________ 题号 一 二 三 四 五 六 总分 成 绩 一、 选择题 (选出每小题的正确答案，每小题２分，共计８分) 1． 下列极限正确的是 _________。 （A ）1 0lim 20x x + →= （B ） 10lim 20 x x - →= （C ）1lim(1) x x e x →∞ -=- （D ） 01lim (1)1x x x +→+= 2．若()(),f x x a x x φφφ=-≠其中（）为连续函数，且（a ）0，() f x 在 x a =点_________。 （A ） 不连续 （B ） 连续 （C ）可导 （D ） 不可导
３． 设f （x ）有二阶连续导数，且 2 () (0)0,lim 1,_______x f x f x →'''==则。 () 0()A x f x =是的极大值点 ()0(0)B f （，）是f(x)的拐点 ()0()C x f x =是的极小值点 ())0D f x x =（在处是否取极值不确定 ４．下列函数中满足罗尔定理条件的是 。 ()ln(2) [0,1] A f x x x =-（） 2 01()0 1 x x B f x x ?≤<=? =?（） ()sin sin [0,] C f x x x x π=+（） 2 1 ()1[1,1] D f x x =- -（） 5．若()(),f x x φ''=则下列各式 成立。 () ()()0A f x x φ-= () ()()B f x x C φ-= () ()()C d f x d x φ=?? () ()()d d D f x dx x dx dx dx φ=?? 二、 填空题（每小题3分，共18分） 1. 设0 (2) ()0(0)0,lim 1sin x f x f x x f x →-===-在处可导，且，那么曲线() y f x =在原点处的切线方程是__________。 ２．设函数f （x ）可导，则2 (4)(2)lim 2 x f x f x →--=-_________。 3．设ln ,()x xf x dx x '=?为f(x)的一个原函数那么 。 4 ． 设 2121,2ln 3x x y a x bx x a b ===++均是的极值点，则、的值为 。 5． 设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数
微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+
中南民族大学06、07微积分（下）试 卷及参考答案 06年A 卷 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=' )0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,
则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 222y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若 2211 x y I +≤= ?? , 22212 x y I ≤+≤= ?? , 22324 x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分)
微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.
中南民族大学06、07微积分（下）试卷 及参考答案 06年A 卷 评分 阅卷人 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 0 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则= ')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 评分 阅卷人 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与?-e p x x dx 1 1 ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >
7 数???? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若 2 2223 11 1x y I x y dxdy +≤= --?? ,22223212 1x y I x y dxdy ≤+≤=--??, 2 2223 324 1x y I x y dxdy ≤+≤=--?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分) 评分 评分 评阅人 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.
一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君 解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌 解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋 解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x
4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋 解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好 解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋
精品文档 精品文档 ---○---○--- ---○---○--- ………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封 线………… 中南大学考试试卷 2009 ~2010学年 一 学期 微积分A 课程 （时间：10年1月21日，星期四，15：20—15：00，共计：100分钟） 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分） 1.])2(sin 11sin [lim x x x x x x x x +++∞ →= . 2. 函数32 y ax bx cx d =+++满足条件 时, 这函数没有极值. 3. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 4.幂级数 n n n x n 30 212∑∞ =-的收敛半径=R ，收敛区间为 ． 5．曲线?? ???==++11 222z z y x 的参数方程为 .
精品文档 二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分） 1．当0→x 时，下列变量是无穷小量的是（ ）． （A ）x 1sin ； （B ）x e 1 ； （C ）)1ln(2x +； （D ）x e ． 2．设x e x f -=)(，则 ='? dx x x f ) (ln （ ） ． （A ）C x +- 1； （B ）C x x +ln 1； （C ） C x +1； （ D ）C e x x +1． 3. 若)(x f 是奇函数且)0(f '存在，则0=x 点是函数x x f x F ) ()(= 的（ ）． （A ）无穷间断点； （B ）可去间断点； （C ）连续点； （D ）振荡间断点． 4.如果b a ,是方程0)(=x f 的两个根，)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，那么方程 0)(='x f 在),(b a 内（ ） ． (A)只有一个根； (B)至少有一个根； (C)没有根； (D)以上结论都不对． 5．无穷级数 ∑ ∞ =--1 1)1(n p n n ，(0>p )敛散性是（ ）． (A)一定绝对收敛； (B)一定条件收敛； (C)一定收敛； (D)以上结论都不对．
一元微积分期中考试答案 一． 填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。21 3. 31 4。3 4 5. 1 6．第一类间断点 7。()dx x x x ln 1+ 8。 22sin(1)2cos(1)x x x e ++ 9。 0 10。11?????? ?+x e x 11．x x ne xe + 12。13 13。0 14。)1(223 +? =x y 15． 13y x =+ 二． 计算题 1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+?→→故0=b 。 …………………3分 a x f x f f x =?=′? →?)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=?=′+→+x f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞?∞内可导。 …………………1分 2. 解：=?+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2?+∞→π = x x x x /1arctan ) 1/(1lim 22?+?+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x x x x arctan )1/(lim 2+?++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++?+∞→ = 2211lim x x x +?+∞→ = 1? ………………………4分 所以，原极限=1?e ………………………………………………………………………2分 3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1) ('11)('1)(''?+?=+?+=y x f y x f y x f y ；……4分 3 2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +?+=+?++= …………………………………………6分 4.解：
微积分期末试卷 选择题（ 6×２） 1.设 f ( x) 2cosx , g (x) ( 1 )sin x 在区间（ 0， ）内（ ）。 2 2 Ａ f ( x)是增函数， g ( x)是减函数 Bf ( x)是减函数， g( x)是增函数 C 二者都是增函数 D 二者都是减函数 、 x 时， 2x 与 相比是（ ） 2 e cosx sin x Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 1 ３、ｘ =０是函数ｙ =（１ -sinx) x 的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点 ４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） A X n ( 1) n 1 B X n sin n n 2 C X n 1n (a 1) D X n cos 1 a n 5、若 f "( x)在 X 0处取得最大值，则必有（ ） Ａ f ＇ o f ＇ o (X 0) B (X 0) C f ＇ 且f ''( X 0 )<0 f ''(X 0 ) 不存在或 f '(X 0) 0 (X 0 ) 0 D ( 1 ) 、曲线 y xe x 2（ ） 6 Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1 １、（d ）＝ dx ｘ +1 2、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 1 相切。这条直线方程为： ｘ ｘ ３、函数ｙ＝ ２ 的反函数及其定义域与值域分别是： ｘ ２＋１ ４、ｙ＝ ３ ｘ的拐点为： ２ ax b ５、若 lim ｘ 则 a, b 的值分别为： ２ 2, x １ ｘ＋ 2x-3
1．设()=+z f ax by ，其中f 可微，则( )． （A ） ??=??z z x y （B ）??=-??z z x y （C ）??=??z z a b x y （D ）??=??z z b a x y 2．定积分?--1 1 2d 1x x 的值是（ ）． （A ） 4π （B ）2 π （C ）1 （D ）π 3．函数()33ln y x z +=在）（1,1处的全微分=z d （ ）． （A ）y x d d + （B ）()y x d d 2+（C ） ()y x d d 2 3 + （D ）()y x d d 3+ 4．下列方程是微分方程的是（ ）． （A ）x y x y y d )(d ln -= （B ）02tan 3sin =+x x y （C ）0232=+-y y （D ）533-+=x x y 5．下列广义积分发散的是（ ）． （A ）? ∞ + 1 d x x x （B ）? ∞ + 1 2d x x （C ）?∞+ 1 2d x x x （D ） 1d x x +∞? 6．设2 22)ln(y x x x y z --+ -=的定义域D 的图形是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ）
7．（答题区域：1-10行内）求3 2 e x y x z y +=，求 x z ??，y z ??， y x z ???2． 8．（答题区域：11-20行内）设()y x f z xy cos ,e =，其中f 有一阶连续偏导数，求x z ??，y z ??． 9．（答题区域：21-30行内）设v u z =，y x u 2+=，y x v -=，求x z ??，y z ??． 三、计算下列各题（本大题共3个小题，每小题7分，共21分） 10．求极限2 1 cos 0 d e lim 2 x t x t x ?→． 11．求定积分 e 2 1 ln d x x x ?． 12.（答题区域：51-60行内） 求定积分 8 ? ． 添加1． 2 2 0|1|d -? x x 添加2 设2 0 ()12 0x x f x x x ?≤=?+>? ,,，求 2 (1)d f x x -? ． 四、解答下列各题（本大题共3个小题，第13小题6分，14、15小题各8分，共22分） 13．（答题区域：61-75行内）求微分方程0d )1(d )1(=+--x y y x 的通解．
《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a πθπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1 010d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ??1 01 0d ),(d x y x f y
一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分) 1．1 lim 2x x - →=_________。 （A ） - （B ） + （C ） 0 （D ） 不存在 2．当0x →时，()x x f x x += 的极限为 _________。 （A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ） 不存在 ３． 下列极限存在，则成立的是_________。 0()()() lim ()x f a x f a A f a x - ?→+?-'=?0()(0) ()lim (0) x f tx f B tf x →-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()() ()lim ()x f x f a D f a a x →-'=- ４． 设f （x ）有二阶连续导数，且()0 () (0)0,lim 1,0()_______x f x f f f x x →'''==则是的。 （A ） 极小值 （B ）极大值（ C ）拐点 （D ） 不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。 ()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-= () ()() C d f x d x φ= ?? () ()()d d D f x dx x dx dx dx φ=?? 二、 填空题（每小题3分，共18分） 1. 设0 (2) ()0(0)0,lim 1sin x f x f x x f x →===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。 ２．函数()f x =[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的= 。 3．设1 (),()ln f x f x dx x '=?的一个原函数是 那么 。 4．设(),x f x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。 5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数5Q =-，那么在Ｐ＝４的水平上，若价格 下降1％，需求量将 。 6．若,1 1),(+-= =x x u u f y 且,1)('u u f =dy dx = 。 三、计算题（每小题6分，共42分）： 1、 求 11ln (ln ) lim x x e x -→
第一学期期末考试试卷 一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. =→x x x 1 sin lim 0___0_____. 2. 设1 )1(lim )(2+-=∞→nx x n x f n ，则)(x f 的间断点是___x=0_____. 3. 已知(1)2f =，4 1 )1('-=f ,则 12 ()x df x dx -== _______. 4. ()a x x '=_______. 5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________. 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代 码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________. A.)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ C. )100,10( D.)2,1(. 2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤?，使lim[()()]0x g x x ?→∞ -=，则 lim ()x f x →∞ ______. A.存在且一定等于零 B. 存在但不一定等于零 C.不一定存在 D. 一定存在. 3. 极限=-→x x x x e 21lim 0________. A. 2e B. 2-e C. e D.不存在. 4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→x x f x f x tan ) 2()3(lim 0________. A.0 B. 1 C. 2 D. 5. 5. 曲线2 21x y x =-渐近线的条数为________. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3. 三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求2 0sin 1lim sin x x e x x →--.
2010—2011真题答案 一、 1.答案：14 21sin 2sin 2 x x x x --，易。 学霸解析：()2 1 2 2 4 421(sin )()sin ()sin sin 2sin 2 x x f x t dt x x x x x x x x -''''==-=-? 知识点：原函数求导，易。 2． 答案：1y x =- 学霸解析：22()0y y y xy ''-+= 代入)1,2(，1y '=- 知识点：等式两边同时求导，中。 3. 答案：11(1)(1)1 n n n x n ∞ +=--+∑ 学霸解析：11 (1)ln(1)n n n x x n -∞ =-+=∑ 知识点：对ln(1+x)的应用，中。 4． 答案： 120 (,)y y dy f x y dx -? ? 学霸解析：01, 0x y x ≤≤?? ≤≤?12, 02x y x ≤≤?? ≤≤-? 知识点：x,y 定义域的转换，中。 5．答案：(1cos1)π-
学霸解析：21 22 2 sin()sin (1cos1)D x y dxdy d r rdr πθπ+= =-???? 知识点：二重积分，中。 6．答案：11(ln )21x y c x +=- +- 学霸解析：111 ln 21x c x y +=-+- 11(ln )21x y c x +=-+- 知识点：微分方程求通解，难。 二、 1. 答案：C 学霸解析：绝对收敛：对于级数1n n u ∞=∑,如果级数1n n u ∞=∑收敛的话，则称1 n n u ∞ =∑为绝对收敛。 条件收敛：如果 1 n n u ∞ =∑发散，但 1 n n u ∞ =∑却是收敛的，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛。 知识点：幂级数收敛性，易。 2． 答案：D 学霸解析：对于A ，2D dxdy =?? 对于B ， 4D dxdy =?? 知识点：二重积分，中。 3．