第九章欧氏空间 ［教学目标］ 1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质，重点掌握施密特正交化方法。 3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。 4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换的几个等价条件。 5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一性。 6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。 ［教学重难点］ 欧氏空间的定义，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。 ［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。 ［教学时间］18学时。 ［教学内容］
欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。 [教学过程] §1 定义、性质 定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，如果它具有以下性质： （1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+ （4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。 这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间） 例1、例2。 练习：394P 1（1）。 定义2：非负实数),(αα称为α的长度，记为α 性质：ααk k = 单位向量：长度为1的向量。 α单位化： α α -Cauchy Буняковский不等式：βα,?，有 βαβα≤),( 等号成立当且仅当βα,线性相关。 在不同内积中，-Cauchy Буняковский不等式的具体例子： 例1中，2 2221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ
第九章 欧几里得空间习题解答 P394.1.1 (,)'0(""0)'(')'''(,)A A A αααααβαβαβααβαβ∴=≥=?====正定非负性证得 由矩阵失去,线性性成立,再由(,)=A A 对称性成立，是一个内积 ( )111 11 61P394.1.2,(006);19,,P394.1.2 |(,)|||||(,)|i i j ij i j n n n ij i j i j n n ij i j i j A a x y c s B a x y εεαεεεαβαβαβ====?? ? ? == ? ? ??? ∴≤=∴--≤∑∑∑∑L L L Q 的度量矩阵即为A 不等式为|() 393.2P ①, α=(2,1,3,2), β =(1,2,-2,1) |||,)0,,2 αβαβαβπ αβ∴====∴⊥∴= 〈〉 393.2P ②, α=(1,2,2,3), β =(3,1,5,1) |||6,(,)18 (,)(,)arc cos cos ||||24arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴==== 393.2P ③, α=(1,1,1,2), β =(3,1,-1,0) ||||(,)3 ,arc 700'30''38 αβαβαβ===∴==?〈〉 P393. 3 ||||||αβαβ+≤+Q
(,)|||()()||||| (,)(,) d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ = P393.4在4 R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交 解设所求 2123412341234123 44123(,,,)1,00230 1 1111111 111111102000 1003,211301310 0314,0,1 4i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα==+-+=??? ?--+=????+++=? ???-????-- ? ? ? ? ? ?--→-→= ? ? ? ? ? ?+ ? ?????? ===-= -∑则且与各向量的内积为0得令得 ,0,1,3),() -单位化 393.5P ①证:因为12(,)0, 1.2,,i n i n γαααα==L L 而是一个基 1 1 (,)(,)(,)0. 0. n n i i i i i i k k γγγαγαγ==∴====∑∑因此,必有 393.5P ②证，Q 12(,)(,), 1.2,i i i n γαγα==L 12(,)0, 1.2i i n γγα∴-==L 由第①小题：12120,γγγγ-==故 P393.6 1231232211(,,)(,,)2123122αααεεε?? ? =-- ? ?--?? Q 而1232211212,,3122ααα?? ?-- ? ?--?? 是正交矩阵,所以是标准正交基
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
线性空间与欧几里得空间 自测题 一、填空题 1、对欧几里得空间V 中的任意向量βα，，有()βαβα≤ ，，而且等号成立当且仅当 。 2、设1W 与2W 是V 的两个线性子空间，如果1W +2W 中的每个向量α都可唯一的被表示成21ααα+=，2211W W ∈∈αα，，则称1W +1W 为这两个子空间的 。 3、两个同构的线性空间的维数 。 4、第二类正交变换的行列式的值等于 。 5、如果A 是正交矩阵。若k 为实数，使kA 为正交矩阵，则k 等于 。 二、选择题 6、下列n R 的子集是n R 的子空间的为（ ） A ：(){}n i Z a a a a a i n ...,3,2,1,.....,,,321=∈ B ：(){}0.....,,,21321=a a a a a a n C ：(){}R a a a a n ∈211,,0,...,0, C ：{} 1..)...,,(2222121≤+++n n a a a a a a 7、全体正实数的集合+R 对于下面定义的加法与标量乘法：k a a k a b b a ==⊕ ,构成R 上的线性空间，则+R 的零元素为（ ） A ：0 B: 1 C: 2 D: 3 8、若A 是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k 是1±≠的整数） A:kA B:k A C:交换A 的任两行所得的矩阵 D ：把A 的某行k 倍加到另一行所得的矩阵 9、设A 是欧几里得空间V 关于基n ααα，，，...21的度量矩阵，则A 满足以下哪个条件时，n ααα，，，...21是规范正交基？ （ ） A: A 是正交矩阵 B ：A 为对称矩阵 C ：1-A 为正交矩阵 D ：A 为单位矩阵 10、以下哪个结论不是两个线性子空间1W 与2W 的和21W W +为直和的等价命题：（ ） A ：dim ()()()()221121dim dim dim dim W W W W W W >+>+且
§4.4 线性空间的同构 下面讨论同构的概念在线性空间中的应用，以便将两个线性空间进行比较。设V 与V '都 是数域P 上的线性空间，在V 与V '上各有加法和数量乘法运算，并且都用普通的加法和乘法符号表示。 定义4.4.1 设V 与V '都是数域P 上的线性空间，如果存在V 到V '上的双映射σ满足 （1） )()()(βσασβασ+=+； （2） )()(ασασk k =， 其中βα,是V 中任意向量，k 是数域P 中任意数，则称σ为V 到V '的同构映射，并且称V 与V '是同构的。 同构的线性空间具有如下性质。 定理4.4.1 设V 与V '是数域P 上的同构线性空间，σ为V 到V '的同构映射，则 （1） )0(σ=0； （2） 对任意V ∈α，)()(ασασ-=-； （3） 如果m αα,,1 是V 的一个向量组，∈m k k ,,1 P ，则 )()()(1111m m m m k k k k ασασαασ++=++ ； （4） V 中向量组m αα,,1 线性相关当且仅当它们的像)(1ασ,)(,m ασ 是V '中线性相关的向量组； （5） 如果V 是n 维的，n εε,,1 是V 的一组基，则V '也是n 维的，并且 )(,),(1n εσεσ 是V '的一组基。 证明 （1）－(3) 由定义4.4.1即得。 （4） 如果向量组m αα,,1 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P 使得 011=++m m k k αα 由（1）和（3）得 0)()(11'=++m m k k ασασ 所以)(1ασ,)(,m ασ 线性相关。 反过来，如果)(1ασ,)(,m ασ 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P ，使得 0)()(11=++m m k k ασασ 即
第九章欧氏空间习题 一、填空题 1.设就是一个欧氏空间,,若对任意,都有,则。 2.在维欧氏空间中,向量在标准正交基下得坐标就是,那么,。 3.若就是一个正交矩阵,则方程组得解为。 4、已知三维欧式空间中有一组基,其度量矩阵为,则向量得长度为。 5、设中得内积为,则在此内积之下得度量矩阵为。 6.设,,,若与正交,则。 7.若欧氏空间在某组基下得度量矩阵为,某向量在此组基下得坐标为,则它得长度为,在此基下向量与向量得夹角为。 8.在欧氏空间中,若线性相关,且,则。 9.就是度量阵,则必须满足条件______________。 10.线性空间在不同基下得过渡阵、线性变换在某组基下得矩阵、欧氏空间得度量阵这三类矩阵中,可以为退化阵得就是。 11、在欧氏空间中,向量,,那么=___________, =___________。 12、两个有限维欧氏空间同构得充要条件就是__________________。 13、已知就是一个正交矩阵,那么=__________,＝__________。 14、已知为阶正交阵,且,则= 。 15、实对称矩阵得属于不同特征根得特征向量就是彼此得。 16、设,则与得夹角。 17、在维欧氏空间中,级矩阵就是某个基得度量矩阵得充要条件就是。 二、判断题 1.在实线性空间中,对向量,,定义,那么构成欧氏空间( ) 2.在实线性空间中,对于向量,,定义,则构成欧氏空间。( ) 3.就是欧氏空间得一组基,对于中任意向量,均有,(,分别就是在此基下得坐标)),则此基必为标准正交基。( ) 4.欧氏空间中得线性变换可以将椭圆映射成圆。( ) 5.V与W均欧氏空间且同构,则它们作为线性空间也必同构。( ) 6.设就是一个欧氏空间,,,则与正交。() 7.设就是一个欧氏空间,,并且,则线性无关。( ) 8.若都就是欧氏空间得对称变换,则也就是对称变换。( ) 9.欧氏空间中,为对称变换。( )
第9章欧几里得空间 9.1复习笔记 一、定义与基本性质 1．欧几里得空间定义 设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质： （1）（α，β）＝（β，α）； （2）（kα，β）＝k（α，β）； （3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）； （4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0. 这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间． 2．长度 （1）定义 非负实数称为向量α的长度，记为|α|． （2）关于长度的性质 ①零向量的长度是零， ②|kα|＝|k||α|， ③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1 α α 就是一个单位向量，通常称此为
把α单位化． 3．向量的夹角 （1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有 |（α，β）|≤|α||β| 当且仅当α，β线性相关时，等号才成立． （2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为 （3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β． 零向量才与自己正交． （4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2． 4．有限维空间的讨论 （1）度量矩阵 设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得 a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n）， 显然a ij＝a ji，于是
利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY， 其中 分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵． （2）性质 ①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的． ②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的． 二、标准正交基 1．正交向量组 欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组． 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组． 2．标准正交基
第九章欧氏空间习题 答案
第九章欧氏空间习题答案 一、填空题 1. 0； 2. i x ；3. 123'b A b b ?? ? ? ??? ； 5. A ； 6. (2,2,1)-； 7. 2 π；8. 6±；9. 2 k >；10. 线性变换在某基下的矩阵；11. 0；12. 它们的维数相同；13. A ，1；14. 1-；15. 正交；16. 3π；17. 正定的。 二、判断题 1-5 ××√√√ 6-10 √×√√√ 11-15 √√√×√ 16-20 √√×√× 三、选择题 1-5 CDBCC 6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB 四、计算题 1. 由2 20 212(2)(1)(4)002E A λλλλλλλ ---=--=+--=，故特征值为2,1,4-。 当2λ=-时，有121232 34202320230x x x x x x x --=??--+=??-=?，则基础解系为11(,1,1)'2ξ=-，单位化为1122(,,)'333 η=-； 当1λ=时，有1213232022020x x x x x x --=??-+=??+=?，则基础解系为21(1,,1)'2ξ=-，单位化为2212(,,)'333 η=-； 当4λ=时，有12123232202320240x x x x x x x -=??-++=??+=?，则基础解系为31(1,1,)'2ξ=-，单位化为322 1(,,)'333 η=-。
则令1223332123332213 33T ??- ? ? ?=- ? ? ?- ???，为正交阵，有1214T AT --?? ?= ? ???。 2. （1）111111t A t t ?? ?=- ? ?-??，由于二次型正定，则2300320t t t t >??>??-->? ，即2t >。 （2）当1t =时，则111111111A ?? ?=- ? ?-?? 。 由21 12111(2)(1)01 11E A λλλλλλ----=---=-+=--，特征值为2,2,1-。故标准形为22212322f y y y =+-。 3. 二次型矩阵为202023b A b a ?? ?= ? ??? 。由于正交变换得到的标准形为 22212325f y y y =++，则A 的特征值为1,2,5，故23125a ++=++， 12510A =??=可得3,0a b ==。 当1λ=时，有123230220230x x x x x -=??--=??--=? ，则基础解系为1(0,1,1)'ξ=-，单位化 为 1(0,,22 η=-； 当2λ=时，有23232020x x x x --=??--=? ，则基础解系为2(1,0,0)'ξ=，单位化为2(1,0,0)'η=； 当5λ=时，有1232330220220x x x x x =??-=??-+=? ，则基础解系为3(0,1,1)'ξ=，单位化为
第一专题 线性空间和线性变换 矩阵是研究线性模型最基本的工具之一。根据本书的性质，我们假定读者已具备了这方面的基础知识。本书的目的是对本科《线性代数》教材中没有论及或讨论不够充分，而在线性模型讨论中经常用到的一些矩阵知识，给予系统而扼要地叙述。 §1 线性空间 一、线性空间的概念与性质 线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提炼出来的一个数学概念。粗略地说，在一个非空集合上定义了线性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集合就成为一个线性空间。因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构(由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统)，以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。 例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。 例 2 为了解线性方程组，我们讨论过以n 元有序数组)(21n ,a ,,a a 作为元素的n 维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是： ),()()(22112121n n n n b ,a ,b ,a b a ,b ,,b b ,a ,,a a +++=+ ).()(2121n n ,ka ,,ka ka ,a ,,a a k = 从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。抽取它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们可以引入线性空间的概念。
在第一个例子中，我们用实数和向量相乘。在第二个例子中用什么数和向量相乘，就要看具体情况。例如，在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。可见，不同的对象与不同的数域相联系。当我们引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。 定义1 设F 是一个数集，其中包含0和1。如果F 中任意两个数（它们可以相同）的和、差、积、商（除数不是0）仍是F 中的数，那么称F 为数域。 显然，全体实数集R 、全体复数集C 、全体有理数集Q 等都是数域。而全体正实数集+R ，全体整数集Z 等都不是数域。 定义2 设V 是一非空集合,F 是数域（本书特指实数域）,对V 中任意两个元βα,,定义一个加法运算,记为“+”:V ∈+βα（元βα+称为α与β的和）；定义一个数乘运算:F k V k ∈∈ ,α（元αk 称为k 与α的数积）。这两种运算（也称为V 的线性运算）,满足下列规则,则称V 为数域F 上的线性空间（或向量空间）。 加法满足下面四条规则： (1) αββα+=+； (2) )()(γβαγβα++=++； (3) 在V 中存在零元素0；对任何V ∈α，都有αα=+0； (4) 对任何V ∈α，都有α的负元素V ∈β，使0=+βα，记αβ-=； 数量乘法满足下面两条规则： (5) αα=1； (6) αα)()(λμμλ=； 数量乘法与加法满足下面两条规则； (7) μαλααμλ+=+)(；
向量空间的基与维数 结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基. (i)零向量可由唯一地线性表示； (ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示； (iii). 结论 2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则 ，且. 例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间. 域F是F上向量空间，基是{1}，. C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，. R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里. 令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间. 1)1,线性无关： 设，. 则(否则，,矛盾)，因此. 2) 1,,线性无关： 设，，i=1,2,3 . ( 1 ) , 两端平方得 , 由于1,线性无关，故
假如，则，且，即. 矛盾. 因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而 将代入(1)，便得这说明1,,线性无关. 3) 1,,,线性无关： 设，，i=1,2,3,4 . 则有 . ( 2 ) 假如不全为零，则 得到“1,,线性相关”的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得 又由1,线性无关得. 这样，我们证得了1,,,线性无关. 故{1,,,}是F的一个基.. 例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间. 对任意的正整数n，可证得线性无关： 设，使( 3 ) 取n+1个实数，使 a b. 由(3)知 . 即 其中
而 . 用左乘(4)两端，得 这说明线性无关. 故C[a,b]是R上无限维向量空间. 引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,…,s. 试证明 证对s作数学归纳. 当s=1 时，结论显然成立. 设，且对个V的不等于V的子空间结论成立. 下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在 1) 当时，，故； 2) 当时，由于，因此显然,,…,.且存在， 使（否则，如果,,…,，, , ,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样 ，故 例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V 的一个基. 证取V的一个基，令. 对任意从中删 去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则 由引理知, 故存在 令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基. 设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基. 对任意，有 .
第八章 欧氏空间练习题 1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立: (1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||4 1 ||41,22ηξηξηξ--+= 在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1( =α与每一向量 )0,,0,1,0,,0() ( i i =ε,n i ,,2,1 = 的夹角. 3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量 ) 4,5,2,3()2,2,1,1() 0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交. 4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形． 5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明: 222||||||ηξηξ+=+(勾股定理) 6．设βααα,,,,21n 都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21 的线性组合.证明：如果β与i α正交,n i ,,2,1 =,那么0=β. 7．设n ααα,,,21 是欧氏空间的n 个向量. 行列式 > <><><> <><><> <><> <= n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121 叫做n ααα,,,21 的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G ααα =0,必要且只要
n ααα,,,21 线性相关. 8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件: ><><ααβα,,2和> <> <βββα,,2都是0≤的整数. 证明: βα,的夹角只可能是 6 54 3,32,2π π ππ或 . 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21 , 2 3322211 (||n n i i a a a a n a ++++≤∑= ). 10．已知 )0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α, )1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α 是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基． 11．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组． 12．令},,,{21n ααα 是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即 ><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121 13．令n γγγ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令 },2,1,10,|{1n i x x V K n i i i i =≤≤=∈=∑=γξξ K 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少? 14．设},,,{21m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:
第一讲线性空间 一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1．线性空间的定义： 设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类] ∈时，有唯一的和（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 x y V （1）结合律()() ++=++； x y z x y z （2）交换律x y y x +=+； （3）零元律存在零元素o，使x+o x =；
（4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o
第九章欧氏空间习题答案 、填空题 ............ Fbj 1.0; 2. X i, Jx； +x ；+ 二+x：； 3. A b2 ； 4. √13 ； 5. ';8. _6 ; 9. k .2 ; 10.线性变换在某基下的矩阵；11.0, 、2 ; 12.它们的维数相2 同；13. A，1; 14. -1 ; 15.正交；16. - ; 17.正定的。 3 、判断题 1-5 ××√√√6-10 √×√√√11-15 √√√×√16-20 √√×√× 三、选择题 A ;6. (2, -2,1); 7. 2、2 , 1-5 CDBCC 四、计算题 6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB 1. λ-2-2 由^E-A= —2 丸一1 0 2 2 =（人+2）（人一1）（几一4） = 0 ,故特征值为一2,1,4。 当彊=「2时，有 ~4 X1 - 2 x^ — 0 -2 X1 — 3x2 + 2 X =0 ,则基础解系为 12 2 十3,3,3 当’=1时， ?2x2— 3x3 = 0 - x1- 2x2 = 0 有t -2x1 +2x3 = 0， 2x2 +x3 =0 1=（-丄,1,1）',单位化 为 M 1 则基础解系为2 = （1,-一 2 ,1）,'单位化为 2x1 - 2x2 = 0 当人=4时，有」-2x1 +3x2 +2x3 = 0 ,则基础解系为 2x2 +4x3 = 0 3 = （1,1厂丄）',单位化 为 2 2 2 _1_ 3,3, 3 2 3
3 'l l l (2)当 t=l 时，则 A= l l —l 订 —l l l =(丸—2)2(人+l) = O ,特征值为2,2,—l 。故标 λ-l 准形为 f = 2y l 2 2y ； - y f 。 z 2 b O A 3.二次型矩阵为 A = 'b a 2。由于正交变换得到的标准形为 f = y 2 +2y ； +5y ；, e 2 3」 则 A 的特征值为 l,2,5，故 2?a ?3=l2? 5 ，A =l 2 5=l0 可得 a = 3,b=O 。 -x ∣ = O I 当λ =l 时，有＜ —2X 2—2X 3=0，则基础解系为气=（0,l,—1）'，单位化为 -2x 2 ^ 3x^ — 0 …X …2 X — 0 当慣-2时，有 2 3 ,则基础解系为；=(l,0,0)',单位化为2 =(l,0,0)'； -2x 2 -x^ 0 3x l = 0 当怎-5时，有2X 2 -2X 3 =0 ,则基础解系为 ^(0,1,1)',单位化为 - 2x 2 ■ 2X 3 = 0 l l λ (1) A = l t -l ,由于二次型正定，则 -l t 丿 3 3 3 2 . \>0
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、(){}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若{ }n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n i i i x 1 αβ，那么∑==n i i x 1 2 β。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()()()()()n n n x g x f x g x f ,,=； ②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=?=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=； ④若()()()()()()()()1,1,=-+?=x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零； ③A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； ④A 中肯定有不为零的r 阶子式。 4、设()n x x x f ,,,21 为n 元实二次型，则()n x x x f ,,,21 负定的充要条件为（ ）
§3 维数·基与坐标 一、向量的线性相关与线性无关 定义 2 设V 是数域P 上的一个线性空间，r ααα,,,.21 )1(≥r 是V 一组向量,r k k k ,,,21 是数域P 中的数，那么向量 r r k k k αααα+++= 2211. 称为向量组r ααα,,,.21 的一个线性组合，有时也说向量α可以用向量组r ααα,,,.21 线性表出. 定义3 设 r ααα,,,.21 ; (1) s βββ.,,21 (2) 是V 中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的. 定义4 线性空间V 中向量r ααα,,,.21 )1(≥r 称为线性相关，如果在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ，使 0.2211=+++r r k k k ααα . (3) 如果向量r ααα,,,.21 不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组r ααα,,,.21 称为线性无关，如果等式（3）只有在021===r k k k 时才成立. 几个常用的结论： 1. 单个向量α线性相关的充要条件是0=α.两个以上的向量r ααα,,,.21 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合. 2. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，而且可以被s βββ.,,21 线性表出，那么s r ≤. 由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量.
3. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，但βααα,,,,.21r 线性相关，那么β可以由被r ααα,,,.21 线性表出，而且表示法是唯一的. 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性. 定义5 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V 就称为n 维的；如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就称为无限维的. 定义6 在n 维线性空间V 中，n 个线性无关的向量n εεε,,,21 称为V 的一组基.设α是V 中任一向量，于是αεεε,,,,21n 线性相关，因此α可以被基n εεε,,,21 线性表出： n n a a a εεεα+++= 2211. 其中系数n a a a ,,,21 是被向量α和基n εεε,,,21 唯一确定的，这组数就称为α在基n εεε,,,21 下的坐标，记为),,,(21n a a a . 由以上定义看来，在给出空间V 的一组基之前，必须先确定V 的维数. 定理1 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,.21 ，且V 中任一向量都可以用它们线性表出，那么V 是n 维的，而n ααα,,,.21 就是V 的一组基. 例1 在线性空间n x P ][中， 12,,,,1-n x x x 是n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于n 的数域P 上的多项式都可以被它们线性表出，所以n x P ][是n 维的，而12,,,,1-n x x x 就是它的一组基. 例2 在n 维的空间n P 中，显然
第九章 欧氏空间 一. 内容概述 1. 欧氏空间的定义 设V 是实数域R 上的一个线性空间.如果V ∈?βα.,定义了一个二元实函数.记作 ()()R ∈βαβα,,,称为内积,且满足 1) ()()2;,,αββα=)()()()()()(), 0,)4;,,,)3;,,≥+=+=ααγβγαγβαβαβαk k 当且仅当 0=α时,().0,=αα其中γβα,,是V 中任意向量,k 为任意实数,则称V 为欧几里空间,简称欧氏空 间. 常见的欧氏空间有: (1) 在 (){}R x x x x R i n n ∈=|,,2 1 里定义内积为()()1,2 2 1 1 y x y x y x n n +++= βα其 中()().,,,,,1 1 y y x x n n ==βα则称R n 为R 上的欧氏空间. (2) 设[]b a C ,为定义在[]b a ,上所有连续实函数所成的线性空间.内积定义为 ()()()()2,dx x g x f g f b a ?= (3) 设 R m n ?为一切m n ?矩阵所成的线性空间.内积定义为()()3,B A B A t r '= 则称R m n ?为R 上的欧氏空间, 2. 欧氏空间的内积的主要性质: 1) ()()()()()()())4;0,00,)3;,,,)2;,,==+=+=βαγαβαγβαβαβαk k 设εεεn ,,,21 为V 的一组基,,,2 2 1 1 2 2 1 1 ε ε εεε εβαn n n n y y y x x x + ++=+++= 则()Ay x '=βα,其 中()()()()??? ? ? ??=?????? ? ??=? ? ????? ??=εεεεεεεεn n n n n n A y x y y y x x x 11 112121,. 3. 向量的长度,角,柯西-不涅柯夫斯基不等式().,βαβα≤ 4. 标准正交基 施密特正交化的方法 正交向量组是线性无关的.正交基.标准正交基. 格拉姆矩阵()()( )()??? ?? ??=∈αααααααααααn n n n m G V V 11 1 121.,,,.
第九章 欧几里得空间 §1定义与基本性质 一、向量的内积 定义1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质: 1) ),(),(αββα=; 2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+; 4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间. 例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ΛΛ==βα, 定义内积 .),(2211n n b a b a b a +++=Λβα (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间. 在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式. 例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ΛΛ==βα, 定义内积 .2),(2211n n b na b a b a +++=Λβα 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.,
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间. 例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数 )(),(x g x f 定义内积 ?=b a dx x g x f x g x f )()())(),((. (2) 对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例4 令H 是一切平方和收敛的实数列 +∞<=∑∞ =12 21),,,,(n n n x x x x Λξ 所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间. 二、欧几里得空间的基本性质 1）定义中条件1）表明内积是对称的. ),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='. ),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+' 定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α. 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： αα||k k = (3) 这里V R k ∈∈α,. 长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量 αα 1 就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化. 柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有 βαβα≤),( (5)