偏导数及其经济应用
§8.2偏导数及其经济应用
教学目的：理解并掌握偏导数概
念，能正确求出所给
函数的偏导数和高
阶偏导数．了解偏导
数的几何意义．了解
偏导数在经济分析
中的应用．
重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数．
难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求
函数的偏导数．
教学方法：启发式讲授与指导练习相结合
教学过程：
一、偏导数的定义及其计算方法
1.二元函数(,)
的全增量（全
z f x y
改变量）
2
3
(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-.
二元函数对x 的偏增量（偏改变量）
(,)(,)x z f x x y f x y ?=+?-.
二元函数对y 的偏增量 (,)(,)y
z f x y y f x y ?=+?-.
2.二元函数偏导数的定义
【定义8.4】设函数(,)z f x y =在点00
(,)x y 的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)f x y 在0
x x =处存在导数00(,)x f x y ',则称00
(,)x f x y '为(,)f x y 在点00
(,)x y 处对x 的偏导数，并记作
0x x y y z x ==??，00
x x y y f
x
==??，0
x x x y y z ==或00
(,)x f x y '. 其中 0
(,)x
f x y '=
00000
0(,)(,)lim
lim x x x f x x y f x y z
x
x ?→?→+?-?=??.
(2) 类似可定义函数(,)z f x y =在
点0
(,)x y 处对y 的偏导数:
4
00
x x y y z y
==??=00(,)y f x y '=
000000(,)(,)
lim lim y y y z f x y y f x y y
y ?→?→?+?-=??
结论(1)当(,)f x y 在点0
(,)x y 处同时存在对x ，y 的偏导数时，简称(,)f x y 在点0
(,)x y 可偏导.(2)当(,)f x y 在平面某一区域D 内每一点(,)x y 处都存在对x ，y 的偏导数时，则称函数在该区域D 内有偏导函
数，记作,,,z z f x y x
????
?? (,),(,),,x y x y
f x y f x y z z ''''也简称偏导数．
3.多元函数偏导数的定义 设0()()U P D f ?,若一元函数
00001
2
1
1
(,,,,,,)k k
k n
f x x x x x x -+L L 在0k
k
x x =处存在极
00000000001111110(,,,,,)(,,,,,)lim k k k k k n k k k n x k
f x x x x x x f x x x x x x -+-+?→+?-?L L L L ,
则称此极限为
()
u f P =在点
5
000
012(,,,)
n P x x x L 处对k
x 的偏导数，并记
作
k
P P u
x =??，0
k P P
f
x =??，0
k
x P P u
=或0()
k
x f
P .
提问：用定义表示三元函数(,,)f x y z 在点0
(,,)x y z 处的 三个偏导数.
000000
000
(,,)(,,)
(,,)lim x x f x x y z f x y z f x y z x
?→+?-'=?； 0000000000(,,)(,,)
(,,)lim
y y f x y y z f x y z f x y z y
?→+?-'=?； 0000000000(,,)(,,)
(,,)lim
z z f x y z z f x y z f x y z z ?→+?-'=?.
结论：多元函数求偏导数时，只
将一个变量看作未知量，而其余变量均看作常量，按照一元函数求导数的法则求导数即是.即将1
2
(,,,)n
f x x x L 中所有()j
x j k ≠看作常量而对k
x 求导可得k
f x ??.
4.偏导数函数
设区域)(f D D ?,若(,)z f x y =在D
6
内每一点P 对(x y 或的偏导数(,)x
f x y 或(,)y
f x y 都存在,那么(,)x
f x y 或(,)y
f x y 就称为(,)z f x y =对(x y 或的偏导函数，（它仍是,x y 的函数）.记
作 u x ??，（或u y ??）f
x
??（或f y ??），x
u （或y
u ）或()x
f P （或()y
f P ）.
可见,函数()x f P 在0
P P =处的值为偏导数0
()x f P .以后在不混淆的情况下,将偏导函数()x
f P 也称为偏导数.
例1(1) 求 22
3z x xy y =++在点(1,2)处的偏导数．
分析：二元函数的偏导数
① 将),(y x f 中的y 看作常量而对x
求导可得x
f
??. ② 将),(y x f 中的x 看作常量而对y
求导可得y
f
??.
7
解
23z
x y x
?=+?,
32z
x y y
?=+?．
∴
12
21328
x y z x
==?=?+?=?,
1231227x y z y
==?=?+?=?．
(2)2
sin z x
y
=，则(2,)6
|
z
x
π
?=
? ，
(2,)6
|z y π?=?
.
(2,)(2,)
66|2,|z z
x y ππ??==??
(3) （09.3.4）设()y x
z x e =+，则(1,0)
|z
x
?=
?
ln()()[ln()]y x x e y x y y z x e x e x e x x x e +??==+++??+
ln2(1,0)1
|(ln 2)2ln 212
z e x ?=+=+?.
例2求下列函数的偏导数 （注意 复合函数求导法则:层层求导，导数相乘的含义） (1) 求 2
sin(2)z x y =．
解 )2sin(2y x x
z
=?
? , )2cos(22
y x y z =??． （2）2
(,)xy f x y e =
8
解 2
2
2(,),(,)2xy xy x y
f x y y e f x y xye ==．
（3）设2
()2y z xy x φ=+，其中()u φ可微，
求,x
y
z z 解 22
(),()2x
y y y
z y xy z x xy x
x
φφ''=-+=
+
（4
）u =的函数）
解
,x
y u u =
=
,
z u =
（5）ln tan y
z x =
（考虑三层复合的函数
ln ,tan ,y
z u u v v x ===） 解 2
2221sec ()t sec tan
x
y y y y y z
co y
x x x x x
x
=
??-=-??
21t sec y y y
z co x x x
=
??．
（6）()z
x u y =
解
()z z z
x
u y x y
-==?，
9
1()z z z x x z
u zy x y x
--=?=?
()z y x z
u y y =-?
，
()ln
z z x x u y y
=?．
（7）2
1
(,)()xy x y
F x y f s ds e dx
=+?
?
解 (,)(),(,)()()x
y
F x y yf xy F x y xf xy f y ==-．
提问（2012-2-4-11）设
1
(ln )z f x y
=+，其中()f u 可微，则2z z
x
y x y
??+=?? .
提示
：
21111(ln );(ln )z z f x f x x x y y y y
??''=+=-+??，
20z z x y x y
??+=??.
练习：
（1）(1)x
z xy =+ 提示：ln(1)
(1)x
x xy z xy e +=+=． （2
）设函数2
(.)xy x
y x
f x y e dy
-=+??
，
求偏导数 ,f f
x y
?
???.
10
提示
：
2,x f f e x y -??==??（3）(95.3) 设)(x y xyf z =,)(u f 可导,
则
=
'+'y x z y z x .
提示
2()x y
y
xz yz xyf x
''+=.
提问:二元函数(,)z f x y =的两个偏导数存在,且
0z
x
?>?,0z y ?
(B ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是增函数；
(C ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是增函数；
(D ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是减函数.
11
答(D ).因为0>??x
z
表示当y 保持不变时,),(y x f 是x 的单调增加函数0
z
表示当x 保持不变时,),(y x f 是y
的单调减少函数.
例3 设y
z x =(0,1)x x >≠，求证 12ln x z z
z y x x y
??+=??. 证明 因
1-=??y yx x
z
,
x x y
z
y ln =??,
所以 x x x
yx y x y z x x z y x
y
y ln ln 1ln 11
+=??+??- y
y
x x +=z 2=
例 4 已知理想气体的状态方程pV RT =(R 为常数),
求证:1p V T V T p
?????=-?
??. 证明 因
RT p V =
?2p RT
V V
?=-?,
?=
p RT V p R T V =
??,
?
=
R
pV T
R
V p T =??.
12
所
以 21p V T RT R V RT V T p V p R pV ?????=-??=-=-???.
二、偏导数存在与函数连续的关系
函数(,)z f x y =在一点0
(,)x y 的偏导数存在时并不一定在该点连续，但在点0
(,)x y 对x 的偏导数存在，(,)z f x y =一定关于x 是连续函数，同样函数(,)z f x y =在一点0
(,)x y 对y 的偏导数存在，(,)z f x y =一定关于y 是连续函数.并且有关于一元函数的增减性. 偏导数与连续的关系
（1）一元函数在某点可导====>连续，
（2）多元函数中在某点偏导数存在 ==≠=>连续.
例如:设 1 0,0,
(,),0.
xy f x y xy ≠?=?
=?
由
于
13
00
x y f x
==?=?0
0(0,0)(0,0)11
lim
lim 0x x f x f x
x ?→?→+?--==??,
00
x y f
y
==?=
?0
0(0,0)(0,0)11
lim
lim 0y y f y f y
y ?→?→+?--==??.
即(,)f x y 在(0,0)点两个偏导数都存
在,但(,)f x y 在(0,0)点显然间断． 因为(,)(0,0)
lim (,)0(0,0)1x y f x y f →=≠=.
又如，
( (220,,)(0,0)(,),,)(0,0)x y f x y xy
x y x y =??
=?≠?+?
在点
(0,0)
处两个偏导数均存在且为0，（用下列方法可求）
00
x y f x
==?=
?22000
0(0,0)(0,0)0lim lim 0
x x x f x f x x x
?→?→?-+?-+==??,
但是(,)f x y 在(0,0)点不连续，因为
222222(,)(0,0)
00lim
(,)lim lim (1)1x y x x y kx
xy kx k
f x y x y x k k →→→====+++
极限不存在.
14
结论：多元函数偏导数存在与连续没有必然关系.
三、二元函数偏导数的几何意义
偏导数),(0
y x f x
就是曲面被平面0
y y =所截得的曲线在点0
M 处的切线x
T M 0对x 轴的斜率.偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0
x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y
T M 0对y 轴的斜率.
),(0
y x f z =O x z 0
M y
T x
T y )
,(0
y x f z =
15
提问：是否存在一个函数(,)f x y ，使得
4x
f x y '=+，3y
f x y '=-？ （分析：2
1(,)4()2
x
f x y f dx x xy y φ==++? 4()3y f x y x y
φ'?=+≠-，所以这样的
(,)
f x y 不存在.）
四、高阶偏导数
1.高阶偏导数: (,)z f x y =偏导函数(,)x
f x y '，(,)y
f x y '还是,x y 的函数，若(,)x f x y '，(,)y
f x y '在区域D 内对,x y 存在有偏导数,则称此偏导数为),(y x f z =的二阶偏导数,并记作 2
2(,)xx
z z f x y x x x
?
?????
== ?????
?
,2(,)xy z z f x y x y y x ??????
== ???????
, 22(,)yy z z f x y y y y ??????''== ??????
，
16
2(,)yx z z f x y y x x y ??????''== ?
??????
, 同理有
3232z z x x x ??????= ??????
,
3222z z x y y x ???
???= ???????
等等.
2.【定理】如果函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导
(,)xy
f x y ，(,)yx
f x y 在区域D 内连续，则在该区域内必
(,)xy
f x y =(,)yx
f x y .二阶混合偏导数在连续情况下与求
导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数. 例5 设323
31z x y xy xy =--+,于是
22333z
x y y y x
?=--? ， 32
29z x y xy x y ?=--?； 2226z
xy x ?=? ，
232218z
x xy y
?=-?； 222691z
x y y x y
?=--?? ,
222691z
x y y y x
?=--??.
17
例 6 求函数arctan x z y =的二阶偏导数. 解 22
2111()
x
y
z x y x y y
=
?=++，22
y
x
z
x y =-
+
22222
2()()xx y xy z x x y x y ?==-
?++， 22
22222
()()xy yx
y x y z z y x y x y ?-===?++，
22222
2()()yy x xy z y x y x y ?-==
?++．
练习:求函数2
y
z x ye =的二阶偏导数.
解 22,(1)y
y
x
y
z xye z x e y ''==+;
22,2(1),(2)y
y
y
xx
xy
yx
yy
z ye z xe y z z x e y ''''''''==+==+. 例7(05.8) 设()f u 具有二阶连续
导数，且(,)()()y x
g x y f yf x
y
=+,求22
2
222g g x y x y ??-??.
解 由条件知)()(2
y
x
f x y f x y
x g '+'-=??,
)
(1)()(242322y
x
f y x y f x y x y f x y x
g ''+''+'=??,
18
)()()(1y
x f y x y x f x y f x y g '-+'=??
22222231()()()()
g y x x x x x x
f f f f y x x y y y y y y
?''''''=-++?
2231()()y x x
f f x x y y
''''=+
故
2
2
2222
y g y x g x ??-??
)()()()()(2222222y x f y x x y f x y y x f y x x y f x y x y f x y ''-''-''+''+'=)(2x
y f x y '=.
练习 求下列函数的二阶偏导数 2
2
(1)()z f x y =-，ln (2)x
z y =，(3)xyz
u e = 例8 证明函数1u r
=满足方程2222
220,u u u
x y z
???++=???
其中r =
. 证明: 22
3
11
u r x x
x r x r r r
??=-=-=-??, 22
234351313u r x x r r x r r ??=-+=-+??； 同理
2223513u y y r r
?=-+?,
22
235
13u z z r r ?=-+?.
22222222235
33()
u u u x y z x y z r r ???++++=-+???
19
33330r r
=-
+=.
（自学内容）#*、偏导数在经济分析中的应用——交叉弹性(一元函数弹性)
我们知道一元函数边际与弹性分别表示经济函数在一点的变化率与相对变化率.将边际与弹性概念推广到多元函数微积分学中并被赋予经济含义,如某商品销售A
Q 是它的价格A
P 及其它商品价格B P 的函数(,)A A B
Q f P P =,称A B
B A
Q P
P Q
???为A Q 对B
P 的交叉弹性.交叉弹性反映了两种商品间的相关性．当交叉弹性大于零时,两商品为互为替代品； 当交叉弹性小于零时,两商品为为互补品；当交叉弹性等于零时,两商品为相互独立商品.
20
【偏弹性定义】设函数(,)z f x y =在点(,)x y 处偏导数存在，函数对x 的
相对改变量(,)(,)
(,)
x
z f x x y f x y z f x y ?+?-=与自变量x 的相对改变量x x ?之比
x z z x x
??称为函数(,)f x y 对从x 到x x +?两
点间的弹性．当0x ?→时，x z z x x
??的
极限值称为函数(,)f x y 在点(,)x y 处
对x 的弹性，记作x
Ez
Ex η或，即
0lim x x x z Ez x z x
Ex z x x z
η?→??=
=?=???.类似可以定
义函数(,)f x y 在(,)x y 处对y 的弹性
为0
lim y
y
y z Ez y z y
Ey z y y z
η?→??==?=???. 特别地，如果(,)z f x y =中z 表示需求量，x 表示价格，y 表示消费者收入，则x
η表示需求对价格的弹性，y
η表示需求对收入的弹
第一讲 导数、偏导数及其应用(第二次作业) 二、求多元函数的偏导数 1．具体函数的偏导数 30．（1）设 z =，则 z z x y x y ??+??= ． （2）设1(,)sin ln 1x y x f x y e x y -+=++，则(1,0)x f '= ． （3）设(,)arctan 1x xy f x y xy +=-，则(1,2)x f '= ． （4 ）设u =2222 22u u u x y z ???++???= ． （5）设2 23d x y t x z e t --= ? ，则 2z x y ???= ． 31．设22 2,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).x y x y f x y x y x y ?+≠? =+??=? 则(0,0)y f '= ( ). (A)4 (B) 2 (C)1 (D) 0 【答】B 2．抽象函数的偏导数 32．设 x z xy f y ??=+ ??? ，其中()f u 为可导函数，求 z z x y x y ??+??． 33．设 2 2 (23,)z f x y x y =-+，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求 2z x y ???． 34．设 (,)y z f x xy x g x ?? =+ ???，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶导数，求 2z x y ???． 35．设函数()f u 具有二阶连续导数，(sin )x z f e y =满足方程 22222 x z z e z x y ??+=??，求()f u ． 36．设变换2u x y v x ay =-??=+?可将方程2222260z z z x x y y ???+ -=????简化为20z u v ?=??,求常数a . 3．一个方程确定的隐函数的（偏）导数 37．设 x y z z ??? = ??? ，其中()u ?为可导函数，求 z z x y x y ??+??． 38．设(),0f cx az cy bz --=，求 z z a b x y ??+??． 39．设()y y x =由方程1y y xe -=确定，求 20 2 d d x y x =的值．[92-3] 【答】2 2e ．
偏微分方程在生物学上的应用 刘富冲pb06007143 1偏微分方程的发展 偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，物理学中的许多基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。 在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。 2偏微分方程的应用 在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。 在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出比较准确的预计。 随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计算机，必须具备如下先决条件： 针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。 对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。 根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。 编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计算机对实际问题进行模拟。 因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解决起到事半功倍的效果。 到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了重大的贡献。 下面主要讲一下大家比较熟悉的人口问题及传染病动力学问题，详细阐述偏微分方程在解决实际问题中的应用。
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分
全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数
偏微分方程概述 如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或是说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数， 则这类方程称为偏微分方程，该类方程反映有关的未知变量关于时 间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式.偏微分方程这 门学科开创于 1946 年，19 世纪随着数学物理问题研究的繁荣，偏 微分方程得到了迅速发展，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程已经成为应用数学的一个核心内容很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程，而其他很多学科领域中在建立数学模型时都可以用偏微分方程来描述，或者用偏微分方法来研究.在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要 求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。 在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方 面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出 比较准确的预计。随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子 计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计 算机，必须具备如下先决条件： 针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。对相应的偏微分方程 模型进行定性的研究。根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的 求解方法。编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计 算机对实际问题进行模拟。 因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用 的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得 结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解 决起到事半功倍的效果。 到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动 力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了 重大的贡献。 、管路敷设技术通过管线不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行 高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况 ，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
§8.2 偏导数及其经济应用 教学目的：理解并掌握偏导数概念，能正确求出所给函数的 偏导数和高阶偏导数．了解偏导数的几何意义．了解偏导数在经济分析中的应用． 重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数． 难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求函数 的偏导数． 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： 一、偏导数的定义及其计算方法 1.二元函数(,)z f x y =的全增量（全改变量） (,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-. 二元函数对x 的偏增量（偏改变量） (,)(,)x z f x x y f x y ?=+?-. 二元函数对y 的偏增量 (,)(,)y z f x y y f x y ?=+?-. 2.二元函数偏导数的定义 【定义8.4】设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)f x y 在0x x =处存在导数 00(,)x f x y ',则称00(,)x f x y '为(,)f x y 在点00(,)x y 处对 x 的偏导数，并记作 00 x x y y z x ==??， 00 x x y y f x ==??，00 x x x y y z ==或00(,)x f x y '. 其中 00(,)x f x y '= 000000(,)(,)lim lim x x x f x x y f x y z x x ?→?→+?-?=??. (2) 类似可定义函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数: 00 x x y y z y ==??=00(,)y f x y '=
1。偏导数 代数意义 偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数 对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率 对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义 对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分 偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分 detaz=fx（x,y）detax+o(detax) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分 这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分 全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量 全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分 同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系 dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也
指明了求微分的方法。 3.全导数 全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。 u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数 如果z=f(x^2,2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数！ 偏导数就是 在一个范围里导数，如在（x0,y0)处导数。 全导数就是定义域为R的导数，如在实数内都是可导的 在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。 函数f关于变量x的偏导数写为或。偏导数符号是圆体字母，区别于全导数符号的正体d。这个符号是阿德里安-马里·勒让德介入的并在雅可比的重新介入后
微分方程在实际中的应用——以学习物理化学为例物理化学（ physical chemistry）,它是从物质的物理现象和化学变化的联系来探讨化学反应的基本规律的学科。物理化学是在物理和化学两大基础上发展起来的。主要由化学热力学、化学动力学和结构化学三大部分组成。它以丰富的化学现象和体系为对象，大量采纳物理学的理论成就与实验技术，探索、归纳和研究化学的基本规律和理论，构成化学学科学的理论基础。物理化学的水平在相当大程度上反应了化学发展的深度。 物理化学是以物理的原理和实验技术为基础，研究哈学体系的性质和行为，发现并建立化学体系中特殊规律的学科。它的主要理论支柱是热力学、统计力学和量子力学三大部分。热力学和量子力学分别适用于宏观和微观系统，统计力学则为二者的桥梁。原则上用统计力学方法能通过个别分子、原子的微观数据来推断或计算物质的宏观现象。 随着科学的迅速发展和各门学科之间的相互渗透，物理化学与物理学、无机化学、有机化学在内容上存在着难以准确划分的界限，从而不断地产生新的分支学科，例如物理有机化学、生物物理化学、化学物理等。物理化学还与许多非化学的学科有着密切的联系，例如冶金学中的物理冶金实际上就是金属物理化学。 一般认为，物理化学作为一门学科的正是形成，是从1877年德国化学家奥斯特瓦尔德和荷兰化学家范托夫创刊的《物理化学杂志》开始的。从这一时期到20世纪初，物理化学以化学热力学的蓬勃发
展为其特征。热力学第一定律和热力学第二定律被广泛应用于各种化学体系，特别是溶液体系的研究。吉布斯对多相平衡体系的研究好范托夫对化学平衡的研究，阿伦尼乌斯提出电离学说，能斯特发现热定理都是对化学热力学的重要贡献。 当1906年路易斯提出处理非理想体系的逸度和活度概念，以及它们的测定方法之后，化学热力学的全部寄出已经具备。劳厄和布喇格对X射线晶体结构分析的创造性研究，为经典的晶体学向近代结晶化学的发展奠定了基础。阿伦尼乌斯关于化学反应活化能的概念，以及博登斯坦和能斯特关于链反应的概念，对后来化学动力学的发展也都做出了重要贡献。 20世纪20-40年代是结构化学领先发展的时期，这时的物理化学研究已深入到微观的原子和分子世界，改变了对分子内部结构的复杂性茫然无知的状况。 1926年，量子力学研究的兴起，不但在物理学中掀起了高潮，对物理化学研究也给以很大的冲击。尤其是在1927年，海特勒和伦敦对氢分子问题的量子力学处理，为1916年路易斯提出的共享电子对的共价键概念提供了理论基础。1931年鲍林和斯莱特把这种处理方法推广到其他双原子分子和多原子分子，形成了化学键的价键方法。1932年，马利肯和洪德在处理氢分子的问题时根据不同的物理模型，采用不同的试探波函数，从而发展了分子轨道方法。 价键法和分子轨道法已成为近代化学键理论的基础。鲍林等提出
§8-5 多元函数微分学的几何应用 A 级同步训练题： 一、客观题： 1、 曲面z=F(x,y,z)的一个法向量为（ ） （A ）{1,,-'''z y x F F F } ; （B ）{1,1,1-'-'-'z y z F F F }; （C ）{,,,z y x F F F '''} ; （D ）{1,,y z F F '-'-}. 2、 旋转抛物面z=x 2+2y 2-4在点（1，-1，-1）处的法线方程为（ ） （A ） 114121-+=+=-z y x ; （B ）11 4121-+= -+=-z y x ; （C ）114121-+=+=--z y x ; （D ）1 14121--= -=-+z y x . 3、曲线2 ,ln ),1sin(t z t y t x ==-=在对应于1=t 点处的切线方程是（ ） (A) 11 11-= =z y x ; (B) 21 111-= -=z y x ; (C) 2 111-= =z y x ; (D) 2 11z y x ==. 4、曲线x=t 3,y=t 2 ,z=t 在点（1，1，1）的切向量s = 。 5、x 2－y 2+z 2=3在点（1，1，1）的切平面方程为 二、求曲面πππ =-+z x y y x 在点处的切平面和法线方程 。 三、求曲线3 2 ,,t z t y t x ===上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面16=-z y 。 四、求曲线19,1,123 2 --=+=--=t t z t y t t x 上的点，使曲线在该点处的切线垂直于 平面0432=+--z y x 。 五、求曲面z=x 2+y 2在（1，2，2）处的切平面与法线方程。 B 级同步训练题： 一、客观题： 1、 设曲面xy z =上点的切平面平行于平面， 则点到已知平面的距离等于（ ） （A ） ;（B ） ;（C ） 21 24 ; （D ）. 2、曲面)cos(y x x e z yz ++=在点?? ? ??1,0,2π处的法线方程为（ ）
一、偏导数的几何应用 1.空间曲线的切线和法平面 设空间曲线L 的参数方程为 ()()()x x t y y t z z t =?? =??=? 假定(),(),()x t y t z t 均可导,'''000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+?的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +?+?+?.割线0M M 的方程为 000 x x y y z z x y z ---==??? 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线. 上式分母同除以t ?得 000 x x y y z z x y z t t t ---== ?????? 当0t ?→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程 000 '''000()()() x x y y z z x t y t z t ---== 向量'''000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦. 通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为 '''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-= 【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程. 解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为'''()sin ,()cos ,()1x t t y t t z t =-==,所以切线向量'''{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为 100 011 x y z ---== 在点(1,0,0)处的法平面方程为 0(1)1(0)1(0)0x y z ?-+?-+?-= 即 0y z += 【例2】 求曲线sin ,,2x y x z ==上点0,2π?? ??? 处的切线和法平面方程. 解 把x 看作参数,此时曲线方程为
第四讲导数及偏导数计算 实验目的 １．进一步理解导数概念及其几何意义. ２．学习matlab的求导命令与求导法. 实验内容 １．学习matlab命令. 建立符号变量命令sym和syms调用格式: x=sym('x')，建立符号变量x； syms x y z ，建立多个符号变量x，y，z； matlab求导命令diff调用格式: diff(函数) ，求的一阶导数； diff(函数， n) ，求的n阶导数(n是具体整数)； diff(函数，变量名)，求对的偏导数； diff(函数，变量名，n) ，求对的n阶偏导数； matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式: jacobian([函数；函数；函数]， [])给出矩阵:
２．导数概念.
导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率. （１）点导数是一个极限值. 例3.1.设，用定义计算. 解:在某一点的导数定义为极限: 我们记，输入命令: syms h；limit((exp(0+h)-exp(0))/h，h，0) 得结果:ans=１．可知 （２）导数的几何意义是曲线的切线斜率. 例 3.2.画出在处()的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势. 解:在曲线上另取一点，则的方程是: .即 取，分别作出几条割线. h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3; plot(x,exp(x), 'r.');hold on for i=1:5;
plot(h(i),exp(h(i)),'r.') plot(x,a(i)*x+1) end
偏导数的几何意义 实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件 背景知识： 一偏导数的定义 在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多. 所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例, 如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在 处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做 , , ,或 例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为
记做, , 或 如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导 数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导 函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外 一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看 作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处 对的偏导数定义为
高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室 第二节偏导数 教学目的： (1) 理解多元函数偏导数的概念； (2)掌握偏导数和高阶偏导数的求法的四则运算法则和复合函 数的求导法则 ; (3)了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件。 教学重点：偏导数和高阶偏导数的求法 教学难点：偏导数存在性的讨论 教学方法：讲练结合 教学时数： 2 课时 一、偏导数的定义及其计算 在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论它的变化率。由于多元函数不止一个自变量，研究起来要复杂得多。但是，我们可考虑多 元函数关于其中一个自变量的变化率，例如: 理想气体的体积：V k T , p 因此，我们引入下面的偏导数概念。 1、偏导数的定义 定义 2.1 设函数 z f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有定义，当y固定在 y0，而 x 在 x0处有增量x 时，相应地函数有增量： f ( x0x, y0) f ( x0 , y0 ) ， 如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x , y ) 存在，则称此极限为函数z f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 0 x x的偏导数，记为 z， f x ( x0, y0)x ， z x (x0 , y0 ) 或f x( x0, y0). ( x0 , y0 ) 即 f x ( x0 f ( x0 x, y0 ) f (x0 , y0 ) d f ( x, y0 ) x x。 , y0 ) lim x dx x 0 0 同理可定义函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处对y的偏导数，为 lim f (x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) y 0 y
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分
全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。
全微分方向导数偏导数与连续四者之间的关系 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系 朱丽娜 郑州工业安全职业学院 451192 摘要 本文结合具体实例分三种情况分别讨论了二元函数的全微分、偏导数和连续之间的关系，全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系，任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系，从而得出他们四者之间的所有关系。 关键词 全微分，任意方向上的方向导数，偏导数，连续 对于多元函数的偏导数、方向导数、偏导数和连续等基本概念及其内在联系，既是多元函数微分学中的重难点知识，也是我们教学过程中容易出现的误解和错误盲点．本文就该问题分三种情况、以二元函数为例来加以阐述，以做到加强理解和灵活掌握的目的． 一、 全微分、偏导数和连续三者之间的关系 定理１：（必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分，则该函数在点(,)x y 连续且一阶偏导数存在． 定理２：（充分条件）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对,x y 的一阶偏导数存在且连续，则在该点处必可微分． 读者还可以从可微的定义看到函数在可微点处必连续，但是在函数的连续点处不 一定存在偏导数，当然更不能保证函数在该点可微．如z =在原点连续，但是在该点处偏导数不存在，也不可微． 偏导数存在，函数却不一定可微，也不一定连续． 二、 全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系
定理3：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分，则在该点处任意方向上的方向导数存在，反之不成立． 例1 ：函数z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在． 证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x ?→??-=?? 故z =在点(0,0)处对x 的偏导数不存在， 同理z =在点(0,0)处对y 的偏导数不存在， 由定理1 z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在． 但z =在点(0,0)处沿任意方向的方向导数为 即任意方向上的方向导数存在． 三、任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系 咱们下面介绍一个更易出错的概念，大多数人以为“若函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，则函数在该点处必连续”．这是一个完全错误的概念，如： 例2： 2 222422,0,0,0,xy x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 它在任意方向上的方向导数为： 这一结果表明2 222422,00,0xy x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在． 但是222001lim (0,0)2 y x x x z z x x ++ →→==≠+，即函数在该点不连续． 定理4：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 沿任意方向上的方向导数存在，则在该点处偏导数必存在． 证明：函数在点00(,)x y 的任意方向的方向导数为：
偏导数及其经济应用
§8.2偏导数及其经济应用 教学目的：理解并掌握偏导数概 念，能正确求出所给 函数的偏导数和高 阶偏导数．了解偏导 数的几何意义．了解 偏导数在经济分析 中的应用． 重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数． 难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求 函数的偏导数． 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： 一、偏导数的定义及其计算方法 1.二元函数(,) 的全增量（全 z f x y 改变量） 2
3 (,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-. 二元函数对x 的偏增量（偏改变量） (,)(,)x z f x x y f x y ?=+?-. 二元函数对y 的偏增量 (,)(,)y z f x y y f x y ?=+?-. 2.二元函数偏导数的定义 【定义8.4】设函数(,)z f x y =在点00 (,)x y 的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)f x y 在0 x x =处存在导数00(,)x f x y ',则称00 (,)x f x y '为(,)f x y 在点00 (,)x y 处对x 的偏导数，并记作 0x x y y z x ==??，00 x x y y f x ==??，0 x x x y y z ==或00 (,)x f x y '. 其中 0 (,)x f x y '= 00000 0(,)(,)lim lim x x x f x x y f x y z x x ?→?→+?-?=??. (2) 类似可定义函数(,)z f x y =在 点0 (,)x y 处对y 的偏导数:
第二节 偏导数 教学目的：(1) 理解多元函数偏导数的概念； (2) 掌握偏导数和高阶偏导数的求法的四则运算法则和复合函 数的求导法则; (3) 了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件。 教学重点：偏导数和高阶偏导数的求法 教学难点：偏导数存在性的讨论 教学方法：讲练结合 教学时数：2课时 一、偏导数的定义及其计算 在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论它的变化率。由于多元函数不止一个自变量，研究起来要复杂得多。但是，我们可考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，例如: 理想气体的体积：,T V k p = 因此，我们引入下面的偏导数概念。 1、偏导数的定义 定义2.1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ?时，相应地函数有增量：),(),(0000y x f y x x f -?+， 如果x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000 存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对 x 的偏导数，记为 00(,)x y z x ??，00(,) x y f x ??，00(,)x z x y 或),(00y x f x . 即0000000 (,)(,)(,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?0 0d (,)d x x f x y x ==。 同理可定义函数),(y x f z =在点),(00y x 处对 y 的偏导数，为 y y x f y y x f y ?-?+→?) ,(),(lim 00000 记为 00(,) x y z y ??， 00(,) x y f y ??，00(,)y z x y 或00(,)y f x y . 即00(,)y f x y 00000 (,)(,)lim y f x y y f x y y ?→+?-=?0 0d (,) d y y f x y y ==。
第二节偏导数 教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握一阶及二阶偏导数 的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。 教学重点：一阶及二阶偏导数的计算 教学过程： 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z =f (x ,y ),如果只有自变量x 变化,而自变量y 固定,这时它就是x 的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z =f (x ,y )对于x 的偏导数. 定义设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)的某一邻域内有定义,当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时,相应地函数有增量 f (x 0+?x ,y 0)-f (x 0,y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000 存在,则称此极限为函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对x 的偏导数,记作 00y y x x x z ==??,00y y x x x f ==??,00y y x x x z ==,或),(00y x f x . 例如 x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0000000. 类似地,函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对y 的偏导数定义为 y y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 00000 , 记作00y y x x y z ==??,0 0y y x x y f ==??,00y y x x y z ==,或f y (x 0,y 0). 偏导函数:如果函数z =f (x ,y )在区域D 内每一点(x ,y )处对x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x 、y 的函数,它就称为函数z =f (x ,y )对自变量x 的偏导函数,记作 x z ??,x f ??,x z ,或),(y x f x . 偏导函数的定义式:x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0 .
第五节 偏导数的应用 Application of Partial Derivative 教学目的: 会利用偏导数求空间曲线在某点的切线方程和法平面方程,会利用偏导数求曲面 在某点的切平面方程和法线方程;理解二元函数极值的概念,熟练掌握二元函数极值与最大值、最小值的求法,会利用拉格朗日乘数法求条件极值. 课 题: 偏导数的几何应用;多元函数极值;条件极值. 教学重点: 二元函数的极值与多元函数的条件极值 教学难点: 二元函数的极值 教学方法: 精讲:多元函数极值及拉格朗日乘数法;多练:二元函数求极值 教学内容: 一、偏导数的几何应用 1.空间曲线的切线和法平面 设空间曲线L 的参数方程为 () ()()x x t y y t z z t =?? =??=? 假定(),(),()x t y t z t 均可导,' ' ' 000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+?的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +?+?+?.割线0M M 的方程为 000 x x y y z z x y z ---==??? 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线.上式分母同除以t ?得 000 x x y y z z x y z t t t ---== ?????? 当0t ?→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程 000 '''000()()() x x y y z z x t y t z t ---== 向量' ' ' 000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向 余弦即为切线的方向余弦. 通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为 '''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-= 【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程. 解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为' ' ' ()sin ,()cos ,()1x t t y t t z t =-==,所以切线向量 '''{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为 100 011 x y z ---== 在点(1,0,0)处的法平面方程为
For personal use only in study and research; not for commercial use 一阶连续偏导数和一阶偏导数连续是不一样的。 一阶连续偏导数是指某个特定的偏导数存在并连续，并且描述的对象是这个偏导数；一阶偏导数连续是指每个偏导数都存在并且连续，描述的对象是偏导数的性质。 可微分->偏导数存在 可微分->连续 偏导数存在(比如x、y方向可偏导）->x、y方向函数连续，其他方向不一定一阶偏导数连续不能说明其存在二阶偏导数，正如函数连续不能说明一阶偏导数存在 曲线积分条件：分段光滑。 光滑：有切线 请参考两类曲线积分的计算过程，思考为什么是光滑，而不是可导。 分段：（有限多段） 请比教一元积分（含广义积分）条件：有限个间断点，且分段可积，请思考为什么是有限个。
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kom merziellen Zwecken verwendet werden. Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales. толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях. 以下无正文