§8.2 偏导数及其经济应用
教学目的：理解并掌握偏导数概念，能正确求出所给函数的
偏导数和高阶偏导数．了解偏导数的几何意义．了解偏导数在经济分析中的应用．
重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数．
难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求函数
的偏导数．
教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：
一、偏导数的定义及其计算方法
1.二元函数(,)z f x y =的全增量（全改变量） (,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-. 二元函数对x 的偏增量（偏改变量） (,)(,)x z f x x y f x y ?=+?-.
二元函数对y 的偏增量 (,)(,)y z f x y y f x y ?=+?-.
2.二元函数偏导数的定义
【定义8.4】设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)f x y 在0x x =处存在导数
00(,)x f x y ',则称00(,)x f x y '为(,)f x y 在点00(,)x y 处对
x 的偏导数，并记作
00
x x y y z x ==??，
00
x x y y f
x
==??，00
x x x
y y z ==或00(,)x f x y '.
其中 00(,)x f x y '=
000000(,)(,)lim
lim x x x f x x y f x y z
x
x ?→?→+?-?=??.
(2) 类似可定义函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数:
00
x x y y z y
==??=00(,)y f x y '=
000000(,)(,)
lim lim y y y z f x y y f x y y
y ?→?→?+?-=?? 结论(1)当(,)f x y 在点00(,)x y 处同时存在对x ，y 的偏导数时，简称(,)f x y 在点00(,)x y 可偏导.(2)当(,)f x y 在平面某一区域D 内每一点(,)x y 处都存在对x ，y 的偏导数
时，则称函数在该区域D 内有偏导函数，记作
,,,z z f x y x
?????? (,),(,),,x y x y f x y f x y z z ''''也简称偏导数．
3.多元函数偏导数的定义
设0()()U P D f ?,若一元函数
000001211(,,,,,,)k k k n f x x x x x x -+L L 在0k k x x =处存在极
0000000000
1111110(,,,,,)(,,,,,)lim k k k k k n k k k n x k
f x x x x x x f x x x x x x -+-+?→+?-?L L L L ,
则称此极限为()u f P =在点000
012(,,,)n P x x x L 处对k x 的偏导数，并记作
k
P P u x =??，
k
P P f x =??，0
k
x P P u =或0()k
x f P .
提问：用定义表示三元函数(,,)f x y z 在点000(,,)x y z 处的
三个偏导数.
0000000000(,,)(,,)
(,,)lim
x x f x x y z f x y z f x y z x
?→+?-'=?；
0000000000(,,)(,,)
(,,)lim y y f x y y z f x y z f x y z y
?→+?-'=?；
0000000000(,,)(,,)
(,,)lim z z f x y z z f x y z f x y z z ?→+?-'=?.
结论：多元函数求偏导数时，只将一个变量看作未知量，而
其余变量均看作常量，按照一元函数求导数的法则求导数即是.即将12(,,,)n f x x x L 中所有()j x j k ≠看作常量而对
k x 求导可得
k
f
x ??. 4.偏导数函数
设区域)(f D D ?,若(,)z f x y =在D 内每一点P 对
(x y 或的偏导数(,)x f x y 或(,)y f x y 都存在,那么(,)
x f x y 或(,)y f x y 就称为(,)z f x y =对(x y 或的偏导函数，（它
仍是,x y 的函数）.记作
u
x
??，（或u y ??）f x ??（或f y ??），x
u （或y u ）或()x f P （或()y f P ）.
可见,函数()x f P 在0P P =处的值为偏导数0()x f P .以后在不混淆的情况下,将偏导函数()x f P 也称为偏导数. 例1(1) 求 2
2
3z x xy y =++在点(1,2)处的偏导数．
分析：二元函数的偏导数
① 将),(y x f 中的y 看作常量而对x 求导可得
x f ??. ② 将),(y x f 中的x 看作常量而对y 求导可得y
f
??.
解
23z
x y x
?=+?, 32z x y y ?=+?．
∴
12
21328x y z
x ==?=?+?=?,
1231227x y z y
==?=?+?=?．
(2)2
sin z x y =，则
(2,)6|z x π?=? ，(2,)
6|z
y π?=? . (2,)(2,)
66|2,|23z z
x y ππ??==??. (3) （09.3.4）设()y x
z x e =+，则
(1,0)|z
x
?=?
ln()()[ln()]y x x e y x y y z x e x e x e x x x e +??==+++??+ ln2(1,0)1
|(ln 2)2ln 212
z e x ?=+=+?. 例2求下列函数的偏导数
（注意 复合函数求导法则:层层求导，导数相乘的含义） (1) 求 2
sin(2)z x y =．
解
)2sin(2y x x
z =?? , )2cos(22y x y z
=??．
（2）2
(,)xy f x y e = 解 2
2
2(,),(,)2xy xy x y f x y y e
f x y xye ==．
（3）设2
()2y z xy x φ=+，其中()u φ可微，求,x y z z 解 22(),()2x y y y
z y xy z x xy x x
φφ''=-+=+
（4）222u x y z =++（考虑两层复合的函数）
解 222
2
2
2
,x y x y u u x y z x y z
=
=
++++,
2
2
2
z z
u x y z
=
++.
（5）ln tan
y
z x
= （考虑三层复合的函数ln ,tan ,y z u u v v x
===
） 解 22221sec ()t sec tan x y y y y y
z co y x x x x x x =??-=-??
21t sec y y y z co x x x
=??．
（6）()z
x u y
= 解 ()z z
z x u y
x y
-==?，
1()z z z x x z
u zy x y x
--=?=?
()z y x z
u y y =-?，
()ln z z x x u y y
=?．
（7）2
1
(,)()xy x y
F x y f s ds e dx =
+?
?
解 (,)(),(,)()()x y F x y yf xy F x y xf xy f y ==-． 提问（2012-2-4-11）设1
(ln )z f x y
=+，其中()f u 可微，则2z z x
y x y ??+=?? . 提示：
21111(ln );(ln )z z f x f x x x y y y y ??''=+=-+??， 20z z x y x y
??+=??. 练习：
（1）(1)x
z xy =+ 提示：ln(1)
(1)x
x xy z xy e +=+=．
（2）设函数2
2
1(.)1xy
x
y x
f x y dt e dy t -=++?
?，
求偏导数
,f f
x y
????.
提示：
2333331,111x f y f x
e x y x y x x y
-??=-+=
??+++. （3）(95.3) 设)(x
y
xyf z =,)(u f 可导,则
='+'y x z y z x .
提示 2()x y y
xz yz xyf x
''+=.
提问:二元函数(,)z f x y =的两个偏导数存在,且
0z
x
?>?,0z y ?
(A ) (,)f x y 关于x 是减函数，关于y 是增函数； (B ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是增函数； (C ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是增函数； (D ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是减函数.
答(D ).因为0>??x z
表示当y 保持不变时,),(y x f 是x 的单
调增加函数0
表示当x 保持不变时,),(y x f 是y 的单调减少函数.
例3 设y
z x =(0,1)x x >≠，求证 12ln x z z
z y x x y
??+=??. 证明 因
1-=??y yx x
z
, x x y z y ln =??, 所
以
x x x
yx y x y z x x z y x y
y ln ln 1ln 11+=??+??- y y x x +=z 2=
例4 已知理想气体的状态方程pV RT =(R 为常数), 求证:
1p V T
V T p
?????=-???.
证明 因 RT p V =
?2p RT
V V ?=-?, ?=p RT V p R T V =??,
?=R
pV T
R V
p T =??. 所以
21p V T RT R V RT V T p V p R pV
?????=-??=-=-???. 二、偏导数存在与函数连续的关系
函数(,)z f x y =在一点00(,)x y 的偏导数存在时并不一定在该点连续，但在点00(,)x y 对x 的偏导数存在，(,)z f x y =一定关于x 是连续函数，同样函数(,)z f x y =在一点00(,)x y 对y 的偏导数存在，(,)z f x y =一定关于y
是连续函数.并且有关于一元函数的增减性. 偏导数与连续的关系
（1）一元函数在某点可导====>连续，
（2）多元函数中在某点偏导数存在 ==≠=>连续. 例如:设 1 0,0,
(,),0.
xy f x y xy ≠?=?=?
由于
00
x y f
x
==?=?0
0(0,0)(0,0)11
lim
lim 0x x f x f x x ?→?→+?--==??, 00
x y f y
==?=?0
0(0,0)(0,0)11lim
lim 0y y f y f y y
?→?→+?--==??. 即(,)f x y 在(0,0)点两个偏导数都存在,但(,)f x y 在(0,0)点显然间断． 因为
(,)(0,0)
lim (,)0(0,0)1x y f x y f →=≠=.
引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 2、经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间内，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸
多自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在 一一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期内在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成
第一讲 导数、偏导数及其应用(第二次作业) 二、求多元函数的偏导数 1．具体函数的偏导数 30．（1）设 z =，则 z z x y x y ??+??= ． （2）设1(,)sin ln 1x y x f x y e x y -+=++，则(1,0)x f '= ． （3）设(,)arctan 1x xy f x y xy +=-，则(1,2)x f '= ． （4 ）设u =2222 22u u u x y z ???++???= ． （5）设2 23d x y t x z e t --= ? ，则 2z x y ???= ． 31．设22 2,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).x y x y f x y x y x y ?+≠? =+??=? 则(0,0)y f '= ( ). (A)4 (B) 2 (C)1 (D) 0 【答】B 2．抽象函数的偏导数 32．设 x z xy f y ??=+ ??? ，其中()f u 为可导函数，求 z z x y x y ??+??． 33．设 2 2 (23,)z f x y x y =-+，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求 2z x y ???． 34．设 (,)y z f x xy x g x ?? =+ ???，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶导数，求 2z x y ???． 35．设函数()f u 具有二阶连续导数，(sin )x z f e y =满足方程 22222 x z z e z x y ??+=??，求()f u ． 36．设变换2u x y v x ay =-??=+?可将方程2222260z z z x x y y ???+ -=????简化为20z u v ?=??,求常数a . 3．一个方程确定的隐函数的（偏）导数 37．设 x y z z ??? = ??? ，其中()u ?为可导函数，求 z z x y x y ??+??． 38．设(),0f cx az cy bz --=，求 z z a b x y ??+??． 39．设()y y x =由方程1y y xe -=确定，求 20 2 d d x y x =的值．[92-3] 【答】2 2e ．
导数与微分在经济中的简单应用 一、边际和弹性 （一）边际与边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。 1、总成本、平均成本、边际成本 总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用c(x)表示，其中x表示产品的产量，c(x)表示当产量为x时的总成本。 不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。 平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x0变化到，则： 称为c(x)在内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在内的平均变化率。 而称为平均成本函数，表示在产量为x时平均每单位产品的成本。 例1，设有某种商品的成本函数为： 其中x表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为： 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加=50吨时，相应地总成本增加量为：这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。 类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即=1时，总成本的变化为： 表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。 产量由400吨减少1吨，即=-1时，总成本的变化为： 表示产量在400吨时，减少1吨产量所减少的成本。
在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义： 定义1：设总成本函数c=c(x)，且其它条件不变，产量为x0时，增加（减少）1个单位产量所增加（减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本。即： 其中=1或=-1。 由例1的计算可知，在产量x0=400吨时，增加1吨的产量时，边际成本为13.7495；减少1吨的产量时，边际成本为13.7505。由此可见，按照上述边际成本的定义，在产量x0=400吨时的边际成本不是一个确定的数值。这在理论和应用上都是一个缺点，需要进一步的完善。 注意到总成本函数中自变量x的取值，按经济意义产品的产量通常是取正整数。如汽车的产量单位“辆”，机器的产量单位“台”，服装的产量单件“件”等，都是正整数。因此，产量x是一个离散的变量，若在经济学中，假定产量的单位是无限可分的，就可以把产量x 看作一个连续变量，从而可以引人极限的方法，用导数表示边际成本。 事实上，如果总成本函数c(x)是可导函数，则有： 由极限存在与无穷小量的关系可知： （1） 其中，当很小时有： （2） 产品的增加=1时，相对于产品的总产量而言，已经是很小的变化了，故当=1时（2）成立，其误差也满足实际问题的需要。这表明可以用总成本函数在x0处的导数近似地代替产量为x0时的边际成本。如在例1中，产量x0=400时的边际成本近似地为，即：误差为0.05，这在经济上是一个很小的数，完全可以忽略不计。而且函数在一点的导
偏微分方程在生物学上的应用 刘富冲pb06007143 1偏微分方程的发展 偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，物理学中的许多基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。 在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。 2偏微分方程的应用 在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。 在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出比较准确的预计。 随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计算机，必须具备如下先决条件： 针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。 对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。 根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。 编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计算机对实际问题进行模拟。 因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解决起到事半功倍的效果。 到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了重大的贡献。 下面主要讲一下大家比较熟悉的人口问题及传染病动力学问题，详细阐述偏微分方程在解决实际问题中的应用。
导数在微观经济学中边际问题的应用 云南农业大学 关键词：导数；变化率；边际；边际分析。 前言：导数在现代经济领域中的应用非常广泛，特别是在微观经济学中有着很多具体的例子。掌握和应用导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要。把经济学中很多现象进行分析和归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答对很多经营决策者起了非常重要的作用。 高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分，而导数又是微分学中的基本概念之一，所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要。导数的应用范围非常广泛，比如在物理学中的应用，在工程技术上的应用，在经济学中的应用等等，今天我就导数在经济中边际问题的应用略做讨论。 一、导数的概念 从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率（瞬时变化率）。从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题。 二、经济学中常用的函数 导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。 （一）价格函数 一般说来，价格是销售量的函数。生活中随处可见。例如：当购买的东西越多，消费者的消费额度就可以小些。 （二）成本函数 成本包括固定成本和变动成本两类. 固定成本是指厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等，记为X。变动成本是指原材料的费用、工人的工资等，记为Y。这两类成本的总和称为总成本，记为Z，即 Z=X+Y 假设固定成本不变（X为常数），变动成本Y是产量Q的函数（Y=C(Q)），则成本函数为Z=X+C(Q)。 （三）需求函数 作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等. 为了便于讨论，我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量Q仅受市场价格x的影响。即
第七节 导数在经济学中的应用 本节讨论导数概念在经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 边际函数 ★ 边际成本 ★ 例1 ★ 边际收入与边际利润 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 函数的弹性 ★ 需求弹性 ★ 例5 ★ 用需求弹性分析总收益的变化 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-7 ★ 返回 内容要点： 一、边际分析 在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y 对于另一个经济变量x 的变化. 平均概念表示在x 在某一范围内取值y 的变化. 边际概念表示当x 的改变量x ?趋于0时，y 的相应改变量y ?与x ?的比值的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化. 边际函数： 根据导数的定义, 导数)(0x f '表示)(x f 在点0x x =处的变化率, 在经济学中, 称其为)(x f 在点0x x =处的边际函数值. 边际成本：成本函数)(x C C =(x 是产量)的导数)(x C '称为边际成本函数. 边际收入与边际利润：在估计产品销售量x 时, 给产品所定的价格)(x P 称为价格函数, 可以期望)(x P 应是x 的递减函数. 于是， 收入函数 )()(x xP x R = 利润函数 )()()(x C x R x L -=()(x C 是成本函数) 收入函数的导数)(x R '称为边际收入函数; 利润函数的导数)(x L '称为边际利润函数. 二、 函数弹性 函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义. 定义1 设函数)(x f y =可导, 函数的相对改变量
偏微分方程概述 如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或是说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数， 则这类方程称为偏微分方程，该类方程反映有关的未知变量关于时 间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式.偏微分方程这 门学科开创于 1946 年，19 世纪随着数学物理问题研究的繁荣，偏 微分方程得到了迅速发展，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程已经成为应用数学的一个核心内容很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程，而其他很多学科领域中在建立数学模型时都可以用偏微分方程来描述，或者用偏微分方法来研究.在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要 求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。 在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方 面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出 比较准确的预计。随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子 计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计 算机，必须具备如下先决条件： 针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。对相应的偏微分方程 模型进行定性的研究。根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的 求解方法。编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计 算机对实际问题进行模拟。 因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用 的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得 结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解 决起到事半功倍的效果。 到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动 力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了 重大的贡献。 、管路敷设技术通过管线不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行 高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况 ，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
微分方程在实际中的应用——以学习物理化学为例物理化学（ physical chemistry）,它是从物质的物理现象和化学变化的联系来探讨化学反应的基本规律的学科。物理化学是在物理和化学两大基础上发展起来的。主要由化学热力学、化学动力学和结构化学三大部分组成。它以丰富的化学现象和体系为对象，大量采纳物理学的理论成就与实验技术，探索、归纳和研究化学的基本规律和理论，构成化学学科学的理论基础。物理化学的水平在相当大程度上反应了化学发展的深度。 物理化学是以物理的原理和实验技术为基础，研究哈学体系的性质和行为，发现并建立化学体系中特殊规律的学科。它的主要理论支柱是热力学、统计力学和量子力学三大部分。热力学和量子力学分别适用于宏观和微观系统，统计力学则为二者的桥梁。原则上用统计力学方法能通过个别分子、原子的微观数据来推断或计算物质的宏观现象。 随着科学的迅速发展和各门学科之间的相互渗透，物理化学与物理学、无机化学、有机化学在内容上存在着难以准确划分的界限，从而不断地产生新的分支学科，例如物理有机化学、生物物理化学、化学物理等。物理化学还与许多非化学的学科有着密切的联系，例如冶金学中的物理冶金实际上就是金属物理化学。 一般认为，物理化学作为一门学科的正是形成，是从1877年德国化学家奥斯特瓦尔德和荷兰化学家范托夫创刊的《物理化学杂志》开始的。从这一时期到20世纪初，物理化学以化学热力学的蓬勃发
展为其特征。热力学第一定律和热力学第二定律被广泛应用于各种化学体系，特别是溶液体系的研究。吉布斯对多相平衡体系的研究好范托夫对化学平衡的研究，阿伦尼乌斯提出电离学说，能斯特发现热定理都是对化学热力学的重要贡献。 当1906年路易斯提出处理非理想体系的逸度和活度概念，以及它们的测定方法之后，化学热力学的全部寄出已经具备。劳厄和布喇格对X射线晶体结构分析的创造性研究，为经典的晶体学向近代结晶化学的发展奠定了基础。阿伦尼乌斯关于化学反应活化能的概念，以及博登斯坦和能斯特关于链反应的概念，对后来化学动力学的发展也都做出了重要贡献。 20世纪20-40年代是结构化学领先发展的时期，这时的物理化学研究已深入到微观的原子和分子世界，改变了对分子内部结构的复杂性茫然无知的状况。 1926年，量子力学研究的兴起，不但在物理学中掀起了高潮，对物理化学研究也给以很大的冲击。尤其是在1927年，海特勒和伦敦对氢分子问题的量子力学处理，为1916年路易斯提出的共享电子对的共价键概念提供了理论基础。1931年鲍林和斯莱特把这种处理方法推广到其他双原子分子和多原子分子，形成了化学键的价键方法。1932年，马利肯和洪德在处理氢分子的问题时根据不同的物理模型，采用不同的试探波函数，从而发展了分子轨道方法。 价键法和分子轨道法已成为近代化学键理论的基础。鲍林等提出
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/718621670.html, 导数在经济学中的应用 作者：刘君泽 来源：《文理导航》2017年第23期 【摘要】作为高等数学的基础，在经济学中也有广泛重要的作用。本文借用典型例子以导数为基础，初步介绍其在边际分析、弹性分析方面的应用，详细讨论了导数在经济分析问题中的最优化应用。 【关键词】导数；经济学；边际分析 1.导数的概念 导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x 上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a 如果存在，a即为在x 处的导数，记作f′（x ）或df（x ）。 2.导数概念的经济学解释 f′（x ）实际上刻画了函数y=f（x）在x0的变化率，当自变量在x 处有一个单位的变化，则函数y=f（x）在f（x ）处有f′（x ）个单位的变化。 假设市场上某种商品的需求函数为d=d（P），其中P为商品的价格，d为市场上该商品的需求量。d′（P ）表示当价格在P 处有一个单位的变化，则该商品的需求量将会有d′（P ）个单位的变化。同样对于供给函数、总成本函数总收入函数、总利润函数等函数导数意义的理解，都可以仿照，这里就不一一展开说明了。下面以一例具体解释其意义。 3.分析 边际成本的定义是产量增加一个单位时所增加的总成本。现假设产品数量是连续变化的，于是单位产品可以无限细分。如果产量已经是x在此水平上若产量从x增至x+x，那么总成本c（x）相应的增量是△c=c（x+x）-c（x），它与△x的比为 = 。这表示在x和x+x之间总成本的平均变化率。若令，取极限就可以得到边际成 本c′（x）= 。显然，它近似地表示若已经生产了x个单位产品，再增加一个单位产品总 成本的增加量。同样道理我们可以利用导数定义边际收入、边际利润、边际需求等。 4.导数在最值问题上的应用 4.1最小平均成本问题
§8.2 偏导数及其经济应用 教学目的：理解并掌握偏导数概念，能正确求出所给函数的 偏导数和高阶偏导数．了解偏导数的几何意义．了解偏导数在经济分析中的应用． 重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数． 难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求函数 的偏导数． 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： 一、偏导数的定义及其计算方法 1.二元函数(,)z f x y =的全增量（全改变量） (,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-. 二元函数对x 的偏增量（偏改变量） (,)(,)x z f x x y f x y ?=+?-. 二元函数对y 的偏增量 (,)(,)y z f x y y f x y ?=+?-. 2.二元函数偏导数的定义 【定义8.4】设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)f x y 在0x x =处存在导数 00(,)x f x y ',则称00(,)x f x y '为(,)f x y 在点00(,)x y 处对 x 的偏导数，并记作 00 x x y y z x ==??， 00 x x y y f x ==??，00 x x x y y z ==或00(,)x f x y '. 其中 00(,)x f x y '= 000000(,)(,)lim lim x x x f x x y f x y z x x ?→?→+?-?=??. (2) 类似可定义函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数: 00 x x y y z y ==??=00(,)y f x y '=
1 引言 对经济学家来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，而将数学作为分析工具，不仅可以给企业经营者提供客观、精确的数据，而且在分析的演绎和归纳过程中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是数学应用性的具体体现[1]。因此，在当今国内外，越来越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。 导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经济剖析、经济抉择妄想、经济打点中,有着普遍的应用意义[2]。其作为数学剖析课程中最主要的根基概念之一,反映了一个变量对另一个变量的转变率。在经济学中，也存在转变率问题，如：边际问题和弹性问题。运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。导数在经济领域中的应用非常之泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重要概念，是经济分析的重要工具。把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用数学知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用。 数学在现代经济学中的作用越来越重要，导数作为高等数学中的一个重要概念，是经济学应用的一个重要工具[3]。导数在经济学中有许多应用，其中边际分析、弹性分析是导数在经济学中的两个重要应用。如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利弊时，仅仅依据它的全部成本。而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本的比较。在讨论经济问题时绝对数分析问题常常被作为首要因素考虑。我认为应当进一步研究相对变化率。 总而言之，当代研究文学中分别研究了弹性和边际函数对经济的影响，缺乏从总体上深入研究经济过程中每个环节中导数的应用情况。在商品经济活动中进行编辑分析和弹性分析是非常重要的，导数作为边际分析与弹性分析的工具，可以为企业决策者做出合理的决策。 在此我想用导数作为分析工具，对每个经济环节进行定量分析。通过研究成本所引起的边际收益与边际成本的的比较，分析绝对数相对变化率的经济问题，特别具体分析因缺乏弹性的商品和富有弹性的商品的价格变动所产生的影响。同时将弹性分析与边际分析有机结合，衡量出如何确定最优的价格，获得最大的利润。从而帮助企业做出更精明的决策，为其提供精确的数值和创新思路。 导数的概念：设函数y=f （x ）在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在点0x 处取得增量x ?（点0x +x ?仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量y ?=f （0x +x ?）-f （0x ）；如果y ?与x ?之比当x ?→0时的极限存在，则称函数y=f （x ）在点0x 处可
一、偏导数的几何应用 1.空间曲线的切线和法平面 设空间曲线L 的参数方程为 ()()()x x t y y t z z t =?? =??=? 假定(),(),()x t y t z t 均可导,'''000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+?的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +?+?+?.割线0M M 的方程为 000 x x y y z z x y z ---==??? 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线. 上式分母同除以t ?得 000 x x y y z z x y z t t t ---== ?????? 当0t ?→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程 000 '''000()()() x x y y z z x t y t z t ---== 向量'''000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦. 通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为 '''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-= 【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程. 解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为'''()sin ,()cos ,()1x t t y t t z t =-==,所以切线向量'''{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为 100 011 x y z ---== 在点(1,0,0)处的法平面方程为 0(1)1(0)1(0)0x y z ?-+?-+?-= 即 0y z += 【例2】 求曲线sin ,,2x y x z ==上点0,2π?? ??? 处的切线和法平面方程. 解 把x 看作参数,此时曲线方程为
导数在经济学中的一些简单的应用 摘要：数学的理论知识在各个领域都有很多的应用，在经济学中的应用也非常广泛，本文主要介绍导数在经济学中的一些简单的应用。首先，介绍了导数在弹性方面的应用;其次，介绍了导数在边际量方面的应用；最后，介绍了导数在生产领域中的应用。本文还列举了一些具体的例子，通过这些例子使我们更深刻的理解导数在经济学中的应用，同时还总结了一些常用的计算公式和解决经济问题时所需要的具体步骤。 关键词:导数极大值拉格朗日乘数偏导数 Derivative in Economics of Some Simple Application Abstract:Mathematical theory knowledge in various fields has lots of applications.The application in economics is very extensive.This paper mainly introduces some of the economics derivative simple application.Firstly,Introduces the application in the elastic derivative.Secondly,Introduced the derivative application in marginal quantity.Finally,Introduces the application in production field derivative.Through these examples make us more profound understanding of derivative, and the application in economics also summarized some common calculation formula and solve an economic problem need concrete steps. Key words:Derivative Maximum value Lagrange's multiplier Partial derivative 1.导数在弹性方面的应用 在物理学中，如果我们知道两个变量路程和时间的函数关系，运用导数的概念就可以求出速度和时间的关系。同理，在经济学中如果知道两个经济变量之间的函数关系，我们就可以通过导数这一数学工具来推导出弹性在这方面的应用。 1.1 弹性的定义 如果给了我们两个经济变量之间的函数关系为) T ，则点弹性公式为： f (I
第四讲导数及偏导数计算 实验目的 １．进一步理解导数概念及其几何意义. ２．学习matlab的求导命令与求导法. 实验内容 １．学习matlab命令. 建立符号变量命令sym和syms调用格式: x=sym('x')，建立符号变量x； syms x y z ，建立多个符号变量x，y，z； matlab求导命令diff调用格式: diff(函数) ，求的一阶导数； diff(函数， n) ，求的n阶导数(n是具体整数)； diff(函数，变量名)，求对的偏导数； diff(函数，变量名，n) ，求对的n阶偏导数； matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式: jacobian([函数；函数；函数]， [])给出矩阵:
２．导数概念.
导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率. （１）点导数是一个极限值. 例3.1.设，用定义计算. 解:在某一点的导数定义为极限: 我们记，输入命令: syms h；limit((exp(0+h)-exp(0))/h，h，0) 得结果:ans=１．可知 （２）导数的几何意义是曲线的切线斜率. 例 3.2.画出在处()的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势. 解:在曲线上另取一点，则的方程是: .即 取，分别作出几条割线. h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3; plot(x,exp(x), 'r.');hold on for i=1:5;
plot(h(i),exp(h(i)),'r.') plot(x,a(i)*x+1) end
广东商学院数学与计算科学学院导数在经济学中的应用 1引言 对经济学家来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，而将数学作为分析 工具，不仅可以给企业经营者提供客观、精确的数据，而且在分析的演绎和归纳过程 中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是数学应用性的具体体现[1] 。因此，在 当今国内外，越来越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。 导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经济剖析、经济抉择妄想、 经济打点中 ,有着普遍的应用意义[2]。其作为数学剖析课程中最主要的根基概念之一,反 映了一个变量对另一个变量的转变率。在经济学中，也存在转变率问题，如：边际问 题和弹性问题。运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析 和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。导数在经济领域中的应用非 常之泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念。随着市场经济 的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重 要概念，是经济分析的重要工具。把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用数学 知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用。 数学在现代经济学中的作用越来越重要，导数作为高等数学中的一个重要概念， 是经济学应用的一个重要工具[3]。导数在经济学中有许多应用，其中边际分析、弹性分 析是导数在经济学中的两个重要应用。如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利 弊时，仅仅依据它的全部成本。而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本 的比较。在讨论经济问题时绝对数分析问题常常被作为首要因素考虑。我认为应当进 一步研究相对变化率。 总而言之，当代研究文学中分别研究了弹性和边际函数对经济的影响，缺乏从总 体上深入研究经济过程中每个环节中导数的应用情况。在商品经济活动中进行编辑分 析和弹性分析是非常重要的，导数作为边际分析与弹性分析的工具，可以为企业决策 者做出合理的决策。 在此我想用导数作为分析工具，对每个经济环节进行定量分析。通过研究成本所 引起的边际收益与边际成本的的比较，分析绝对数相对变化率的经济问题，特别具体 分析因缺乏弹性的商品和富有弹性的商品的价格变动所产生的影响。同时将弹性分析 与边际分析有机结合，衡量出如何确定最优的价格，获得最大的利润。从而帮助企业 做出更精明的决策，为其提供精确的数值和创新思路。 导数的概念：设函数 y=f （x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量 x 在点x 0处 取得增量 x （点x0 + x 仍在该邻域内）时，相应地函数 y 取得增量y =f（ x 0+x ）
偏导数及其经济应用
§8.2偏导数及其经济应用 教学目的：理解并掌握偏导数概 念，能正确求出所给 函数的偏导数和高 阶偏导数．了解偏导 数的几何意义．了解 偏导数在经济分析 中的应用． 重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数． 难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求 函数的偏导数． 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： 一、偏导数的定义及其计算方法 1.二元函数(,) 的全增量（全 z f x y 改变量） 2
3 (,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-. 二元函数对x 的偏增量（偏改变量） (,)(,)x z f x x y f x y ?=+?-. 二元函数对y 的偏增量 (,)(,)y z f x y y f x y ?=+?-. 2.二元函数偏导数的定义 【定义8.4】设函数(,)z f x y =在点00 (,)x y 的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)f x y 在0 x x =处存在导数00(,)x f x y ',则称00 (,)x f x y '为(,)f x y 在点00 (,)x y 处对x 的偏导数，并记作 0x x y y z x ==??，00 x x y y f x ==??，0 x x x y y z ==或00 (,)x f x y '. 其中 0 (,)x f x y '= 00000 0(,)(,)lim lim x x x f x x y f x y z x x ?→?→+?-?=??. (2) 类似可定义函数(,)z f x y =在 点0 (,)x y 处对y 的偏导数:
第五节 偏导数的应用 Application of Partial Derivative 教学目的: 会利用偏导数求空间曲线在某点的切线方程和法平面方程,会利用偏导数求曲面 在某点的切平面方程和法线方程;理解二元函数极值的概念,熟练掌握二元函数极值与最大值、最小值的求法,会利用拉格朗日乘数法求条件极值. 课 题: 偏导数的几何应用;多元函数极值;条件极值. 教学重点: 二元函数的极值与多元函数的条件极值 教学难点: 二元函数的极值 教学方法: 精讲:多元函数极值及拉格朗日乘数法;多练:二元函数求极值 教学内容: 一、偏导数的几何应用 1.空间曲线的切线和法平面 设空间曲线L 的参数方程为 () ()()x x t y y t z z t =?? =??=? 假定(),(),()x t y t z t 均可导,' ' ' 000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+?的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +?+?+?.割线0M M 的方程为 000 x x y y z z x y z ---==??? 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线.上式分母同除以t ?得 000 x x y y z z x y z t t t ---== ?????? 当0t ?→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程 000 '''000()()() x x y y z z x t y t z t ---== 向量' ' ' 000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向 余弦即为切线的方向余弦. 通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为 '''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-= 【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程. 解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为' ' ' ()sin ,()cos ,()1x t t y t t z t =-==,所以切线向量 '''{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为 100 011 x y z ---== 在点(1,0,0)处的法平面方程为
定积分在经济学中的应用 摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。 关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言 积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。 1 利用定积分求原经济函数问题
在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。 解 总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(1000002+-+? =x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题 如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为 dt t Q Q ?'=0 5)( 650)150200()600400(|)640()1220(105210 5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 用定积分求经济函数的最大值和最小值 例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为 1000 0=c 元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,