2012版高三数学一轮精品复习学案第八章平面解析几何
【知识特点】
1、本章内容主要包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线，是解析几何最基本，也是很重要的内容，是高中数学的重点内容，也是高考重点考查的内容之一；
2、本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法，概念、公式多，内容多，具有较强的综合性；
3、研究圆锥曲线的方法很类似，因此可利用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，掌握解决解析几何问题的最基本的方法。
【重点关注】
1、关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，几种距离公式，两直线的位置关系，圆锥曲线的定义与性质等知识的试题，都属于基本题目，多以选择题、填空题形式出现，一般涉及两个以上的知识点，这些将是今后高考考查的热点；
2、关于直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题目出现次数较多，既有选择题、填空题，也有解答题。既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力；
3、直线与圆锥曲线联系在一起的综合题多以高档题出现，要求学生分析问题的能力，计算能力较高；
4、注重数学思想方法的应用
解析法、数形结合思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论思想及待定系数法在各种题型中均有体现，应引起重视。
【地位和作用】
解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
从新课改近两年来的高考信息统计可以看出，命题呈现出以下特点：
1、各种题型均有所体现，分值大约在19-24分之间，比重较高，以低档题、中档题为主；
2、主要考查直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及综合应用，符合考纲要求，这些知识属于本章的重点内容，是高考的必考内容，有时还注重在知识交汇点处命题；
3、预计本章在今后的高考中仍将以直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及直线与圆锥曲线的位置关系为主命题，且难度有所降低；更加注重与其他知识交汇，充分体现以能力立意的命题方向。
第一节直线与方程
【高考目标导航】
一、基本公式、直线的倾斜角与斜率及直线方程
（一）考纲点击
1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素；
2、掌握两点间的距离公式；
3、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点及一般式），了
解斜截式与一次函数的关系。 （二）热点提示
1、基本公式、直线的斜率、方程以及两直线的位置关系是高考的重点；
2、常和圆锥曲线综合命题，重点考查函数与方程、数学形结合思想；
3、多以选择、填空题的形式出现，属于中低档题目。 二、两条直线的位置关系、点到直线的距离 （一）考纲点击
1、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；
2、能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
3、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 （二）热点提示
1、两条直线的平行与垂直是非常重要的位置关系，因此高考中对直线的考查多以此为载体；
2、两点间距离公式、点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式是高考考查的重点；
3、常在与圆、椭圆、双曲线、抛物线的交汇处命题。 【考纲知识梳理】
一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
①关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向;
ⅲ.直线向上方向.
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0
0. ③倾斜角α的范围0
0180α≤<. （2）直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0
90的直线斜率不存在。 ②经过两点
的直线的斜率公式是
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12
,l l ，其斜率分别为
12
,k k ，则有
1212
//l l k k ?=。特别地，当直线
12
,l l 的斜率都不存在时，12
l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为
12
,k k ，则
12121
l l k k ⊥?=-
注：两条直线
12
,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为
-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12
,l l
中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12
l l
与
互相垂直。
二、直线的方程
1、直线方程的几种形式
名称方程的形式已知条件局限性
点斜式
为直线上一定点，k为
斜率
不包括垂直于x轴
的直线
斜截式k为斜率，b是直线在y轴上的截
距
不包括垂直于x轴
的直线
两点式
且
是直线上两
定点
不包括垂直于x轴
和y轴的直线
截距式a是直线在x轴上的非零截距，b
是直线在y轴上的非零截距
不包括垂直于x轴
和y轴或过原点的
直线
一般式A，B，C为系数无限制，可表示任
何位置的直线
x1= x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方程为；（2）若，直线垂直于y轴，方程为；（3）若，直线方程可用两点式表示）2、线段的中点坐标公式
若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为（x,y），
则此公式为线段的中点坐标公式。
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是，两条直
线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
2.几种距离
（1）两点间的距离
平面上的两点间的距离公式
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离
（2）点到直线的距离
点到直线的距离；
（3）两条平行线间的距离
两条平行线间的距离
注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。
四、两条直线的位置关系
【要点名师透析】
一、直线的倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角
※相关链接※
2．已知斜率k 的范围，求倾斜角α的范围时，若k 为正数，则α的范围为
(0,)
2π
的子集，且k=tan α为增函数；若k 为负数，则α的范围为(,)
2π
π的子集，且k=tan α为增函数。若k
的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。 ※例题解析※
〖例〗已知直线的斜率k=-cos α(α∈R).求直线的倾斜角β的取值范围。
思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。 解答：
1cos 1,1cos 1.11,1tan 1,
30,
44
3[0,],.
44k ααβππ
ββπππβπ-≤≤∴-≤-≤-≤≤∴-≤≤∴≤≤≤≤??
∴????即或倾斜角的范围为
（二）直线的斜率及应用 ※相关链接※
1、斜率公式：
21
21y y k x x -=
-与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；
2、求斜率的一般方法：
（1）已知直线上两点，根据斜率公式
21
2121
()y y k x x x x -=
≠-求斜率；
（2）已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； 3、利用斜率证明三点共线的方法： 已知
112233(,),(,),(,),
A x y
B x y
C x y 若
123AB AC
x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
注：斜率变化分成两段，0
90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 ※例题解析※
〖例〗设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果
333
(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++=
思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。
解答：
332233
222222,,,
.
,()()0.,0.
AB AC AB AC a b c A a b a ab b a b a c a ac c a c
A B C a ac c a ac c b c a b c b c a b c ∴-==++--==++-∴=++=++-++=≠∴++=互不相等，过、B 、C 任两点的直线的斜率均存在。又k k 、、三点共线，k k ，
即而
（三）两条直线的平行与垂直 〖例〗已知点M （2，2），N （5，-2），点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。 （1）∠MOP=∠OPN （O 是坐标原点）； （2）∠MPN 是直角。
思路解析：∠MOP=∠OPN ?OM//PN ，∠MPN 是直角?MP ⊥NP ，故而可利用两直线平行和垂直的条件求得。 解答：
0(,0),(1),//.200(2)2
1,(5),2055
2
1,7,(7,0).5
(2)
90,, 1.
2222(2),(5),1,2525
16,(1,0)(6,0).
OM NP
OM NP MP NP MP NP P x MOP OPN OM NP k k k k x x x x P x MPN MP NP k k k x k x x x x x x x P ∠=∠∴∴=---====≠---∴=∴=-∠=∴⊥∴=-=≠=≠∴?=-----==设又即又解得或即或
注：（1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线1l 和2l
，
。若有一条直线
的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意。 （2）注意转化与化归思想的应用。
（3）利用斜率的几何意义可以证明不等式，利用两斜率之间的关系可以判断两直线的平行或垂直，数形结合的思想方法可帮助我们很直观地分析问题，抓住问题的实质。 二、直线的方程
（一）直线方程的求法 ※相关链接※
1、求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件。基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量。 用待定系数法求直线方程的步骤： （1）设所求直线方程的某种形式； （2）由条件建立所求参数的方程（组）； （3）解这个方程（组）求参数；
（4）把所求的参数值代入所设直线方程。
2、求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程。要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论。在用截距式时，应先判断截距是否为0。若不确定，则需分类讨论。 ※例题解析※
〖例〗求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 思路解析：对截距是否为0分类讨论→设出直线方程→代入已知条件求解→得直线方程。
解答：当a=3,b ≠0时，设所求直线方程为1x y a b +=，即 1.(2,1),3x y P b b +=-又直线过点
2
1
1
1,.310.
33
30(0).
1
(2,1),12,.
2
1
.
2
1
310.
2
b x y
b b
a b y kx k
P k k
y x
x y y x
-
+==-++=
===≠
--==-
=-
++==-
解得所求直线方程为
当时，则所求直线过原点，可设方程为
又直线过点则
所求直线方程为
综上所述，所求直线方程为或
（二）用一般式方程判定直线的位置关系
※相关链接※
两条直线位置关系的判定
已知直线1111
:0
l A x B y C
++=
，2222
:0
l A x B y C
++=
，则
（1）
12122112211221
111
222
222
//00(0)
(0).
l l A B A B AC A C B C B C
A B C
A B C
A B C
?-=-≠-≠
=≠
且或
或记为：、、不为
（2）121212
//0.
l l A A B B
?+=
（3）
（4）
※例题解析※
〖例〗已知直线1
:260
l ax y
++=
和直线
2
2
:(1)10
l x a y a
+-+-=
，（1）试判断1
l
与2
l
是否平行；（2）1
l
⊥2
l
时，求a的值。
思路解析：可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按2
l
的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论。
解答：（1）方法一：
2
122112212
12221220,(1)120,0,(1)160,(1)12020
//1,
(1)160(1)61//.
A B A B a a AC A C a a a a a a l l a a a a a a l l l l -=--?=-≠--?≠--?=?--=??∴???=-??--?≠-≠???
=-由得由得故当时，，否则与不平行
方法二：
12121212121212121:260,:0,0:3,:10,101:3,:(1),211//,1,
213(1)1//a l x y l x l l a l y l x y l l a a a l y x l y x a a
a
l l a a a a l l l l =++====---=≠≠=-
-=-+-?-=
??=--??-≠-+?=-当时,不平行于；当时，不平行于；当且时，两直线可化为解得综上可知，时，，否则与不平行.
（2）方法一：
由
1212202(1)0.
3A A B B a a a +=+-=?=得 方法二：
1212121:260,:0,11
1:3,:(1),
211()1.
213
a l x y l x l l a a a l y x l y x a a
a a a a =++===≠=--=-+--=-?=-当时，与不垂直，故不成立.当时，由
（三）直线方程的应用 ※相关链接※
利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。 另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。 注：（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。 （2）“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0。 ※例题解析※
〖例〗如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半
轴于A 、B 两点。
（1）当⊿AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； （2）当｜PA ｜·｜PB ｜取最小值时，求直线l 的方程。
思路解析：求直线方程时，要善于根据已知条件，选取适当的形式。由于本题中给出了一点，且直线与x 、y 轴在正方向上分别相交，故有如下常见思路： ①点斜式：设l 的方程为
，分别求出A 、B 的坐标，根据题目要求建立
目标函数，求出最小值并确立最值成立的条件； ②截距式：设l 的方程为
，将点（2，1）代入得出a 与b 的关系，建立目标函
数，求最小值及最值成立的条件；
③根据题意，设出一个角，建立目标函数，利用三角函数的有关知识解决。
解答：（1）方法一：设l 的方程为1(2)(0)y k x k -=-<，则1
(2,0),(,12),
A B o k k --
11111
(2)(12)22(4)22(4)()4,
2211
4211
<0,,1(2),240.
22S AOB k k k k k k k k k k k y x x y ∴=--÷=+--≥+--=-=-=±∴=--=--+-=当且仅当，即时取等号.
故所求直线的方程为即
方法二：设所求直线方程为1(0,0)x y a b a b +=>>，由已知得21
1
a b +=，于是
221
211
()24a b a b +
≤=
。当且仅当2112a b ==，即
时，
取最大值1
4，
此时
12AOB S ab ?=
取最小值4。故所求的直线l 的方程为1
42x y +=，即240x y +-=。
方法三：设所求直线方程为1(0,0)x y a b a b +=>>，由已知得211a b +=(2)2a
b a a ∴=>-
221(2)4(2)4
22(2)2(2)
12(2)222422AOB a a a S ab a a a a ?-+-+∴===
--=-++≥+=-
12(2),4, 2.22
1,240
42a a b a x y
l x y -===-∴+=+-=当即时取等号此时所求直线的方程为即
（2）方法一：
221
:1(2)(0),0,0(2,0),(0,12).
1
||||(4 4.,
1,||||.0,1,30.
l y k x k y x A B k k
PA PB k k
k PA PB k k l x y ---<==--==≥==±<∴=-+-=设直线分别令得由当且令当即时取得最小值又这时的方程是
方法二：
(0),,.
2
||||
sin ,cos .||||
11
||1||2,||,||.sin cos 24
||||.
sin cos sin 2(0,),0sin 21,sin 21,,.
2
4
1.30.
BAO P PE x E PF y F PE FP AP BP PE FP AP BP AP BP k l x y π
θθθθθθ
θθθππ
θθθθ∠=<<⊥⊥∴
====∴==∴==∈∴<≤==∴=-∴+-=设过作轴于作轴于又当即时原式取得最小值的方程是
注：解析法解决实际问题，就是在实际问题中建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而把问题转化为代数问题，利用代数的方法使问题得到解决。 三、直线的交点坐标与距离公式 （一）有关距离问题 ※相关链接※
1、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握。
2、点到几种特殊直线的距离 （1）点00(,)P x y 到x 轴的距离0||
d y =。 （2）点00(,)P x y 到y 轴的距离
0||
d x =.
（3）点
00(,)
P x y 到与x 轴平行的直线y=a 的距离
0||
d y a =-。
（4）点
00(,)
P x y 到与y 轴平行的直线x=b 的距离
0||
d x a =-.
注：点到直线的距离公式当A=0或B=0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离。 ※例题解析※
〖例〗已知点P （2，-1）。 （1）求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；
（2）求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。 思路解析：设出直线方程→由点到直线距离求参数→判断何时取得最大值并求之。 解答：（1）过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，-1），可见，过P （2，-1）且垂直于x 轴的直线满足条件。此时l 的斜率不存在，其方程为x=2。若斜率存在，设l 的方程
为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知，得，解得
3
4k =
。此时l 的方程为
3x-4y-10=0.
综上，可得直线l 的方程为x=2或3x-4y-10=0.
（2）作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得
1,
l OP k k =-所以
1
2,l OP
k k =-
=由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线
2x-y-5=0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为55=。
（3）由（2）可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线。
（二）有关对称问题 ※相关链接※ 常见的对称问题： （1）中心对称
①若点及关于对称，则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，
由点斜式得到所求直线方程。
（2）轴对称
①点关于直线的对称 若两点
关于直线l ：Ax+By+C=0对称，则线段
的中点
在对称轴l 上，而且连接
的直线垂直于对称轴l 上，由方程组
可得到点
关于l 对称的点
的坐标
（其中
）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。 ※例题解析※ 〖例〗求直线
1:23
l y x =+关于直线:1l y x =+对称的直线2l
的方程。
思路解析：转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解。
解答：方法一：由231y x y x =+??
=+?知直线1l 与l 的交点坐标为（-2，-1）
，设直线2l 的方程为
y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线1l
、2
l 的距离相等，由点到直线的距离公式得
2
2
2
2
(1)2(1)k
=
-++-，解得1
(2)2k k ==舍去，
∴直线2l
的方程为x-2y=0.
方法二：设所求直线上一点为P （x,y ）,则在直线1l
上必存在一点100(,)
P x y 与点P 关于直线
对称。
由题设：直线
1
PP 与直线l 垂直，且线段
1
PP 的中点
00
2(
,)22x x y y P ++在直线上。
∴000000111,,11
22y y
x y x x
y x y y x x -?=-?=-?-???
=+++??=+??变形得代入直线1:23l y x =+得x+1=2(y-1)+3,
整理得x-2y=0.
所以所求直线方程为x-2y=0. （三）解析法（坐标法）应用
〖例〗（12）如图，已知P 是等腰三角形ABC 的底边BC 上一点，PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，用解析法证明|PM|+|PN|为定值。
思路解析： 建立直角坐标系利用点到直线的距离公式求出|PM|和|PN|的长度。
解答：过点A 作AO ⊥BC ，垂足为O ，以O 为原点，建立如图所示的直角坐标，……………1分
设B （-a,0），C （a,0）(a>0),A （0，b ）,P(
1
x ,0),a,b 为定值，
1
x 为参数，-a ≤1
x ≤a,
∴AB 的方程是bx-ay+ab=0,AC 的
方
程是bx+ay-ab=0,……………………………………………………4分 由点到直线的距离
公式
得
………………7分
∵a>0,b>0,∴ab>0,-ab<0,把原点坐标代入AB ，AC 方程左端分别得ab,-ab,且点P 在直线AB ，AC 的下方，∴b
1
x +ab>0,b
1
x - ab<0,………………………………………………10分
∴……………………12分
注：解析法（坐标法）即通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化成代数问题，用处理代数问题的方法解决，这种方法是联系平面解析几何的纽带。求定值问题，应先表示出要证明为定值的式子，最后出现定值。 【感悟高考真题】
1．（2011·北京高考文科·T8）已知点(0,2)A ，(2,0)B .若点C 在函数2
y x =的图象上，则
使得ABC ?的面积为2的点C 的个数为（ ）
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
【思路点拨】设出点C 的坐标，求出AB 方程，利用点到直线距离公式求出AB 边上的高，再利用面积为2可出点C 的个数.
【精讲精析】选A.设
(,)
C x y，则AB：20
x y
+-=，
|AB|=,点C到直线AB的距离为
d=.又因为点C在
2
y x
=上，所
以
2
d=
.
令
2
1
2
2
ABC
S
?
=?=
，解得
0,
x=-
.所以满足条件的点有4个.
2．（2011·安徽高考理科·Ｔ15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(,)
x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k与b都是无理数，则直线y kx b
=+不经过任何整点
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点
④直线
y kx b
=+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
【思路点拨】考查数形结合，空间想象能力，特例的取得与一般性的检验.根据命题的特点选择合适的情形.
【精讲精析】①例如
2
3+
=x
y，②如2
2-
=x
y过整点（1,0），③设y kx
=(0
k≠)是过原点的直线，若此直线过两个整点1122
(,),(,)
x y x y
，则有11
y kx
=
，22
y kx
=
，两式相减得1212
()
y y k x x
-=-
，则点1212
(,)
x x y y
--
也在直线
y kx
=上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上下平移y kx
=得对于y kx b
=+也成立，所以③正确；④如2
1
3
1
+
=x
y
不经过无穷多个整点, ⑤如直线
x
y3
=,只经过（0,0）.故答案：①③⑤3．（2011·安徽高考理科·Ｔ17）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，1,2,
OA OD
==△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线BC∥EF；
（Ⅱ）求棱锥F—OBED的体积.
【思路点拨】（Ⅰ）可以采用综合法与向量法两种方法，综合法关键是作出辅助线，延长EB 与DA 相交.向量法关键是建系写坐标.（Ⅱ）利用锥体体积公式，算出底面积与高. 【精讲精析】（Ⅰ）(综合法) 证明：设G 是线段DA 与线段EB 的延长线的交点，由于OAB ?与ODE ?都是正三角形，所以
.
2,21//===OD OG DE OB
同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合.
在GED ?和GFD ?中，由DE 21//OB =和,2
1//DF OC =可知B,C 分别是GE 和GF 的中点，所
以BC 是GEF ?的中位线，故BC//EF. (向量法)
过点F 作AD FQ ⊥，交AD 于点Q ，连接QE,由平面ABED ⊥平面ADFC,知FQ ⊥平面ABED,以Q 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
由条件知
).23
,23,0(),0,23,23(
),3,0,0(),0,0,3(--C B F E
则有
).3,0,3(),23
,0,23(-=-
=
所以,2BC EF =即得BC//EF.
（II ）解：由OB=1,OE=2,,60
=∠EOB 知
23
=
EOB S ，而OED ?是边长为2的正三角形，
故
3OED S .23
3=
+=OED EOB OBED S S S
过点F 作FQ ⊥AD,交AD 于点Q,由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F-OBED 的高，且
3=FQ ，所以
.
23
31=?=-OBED OBED F S FQ V
4
．（
2011
·
安
徽
高
考
文
科
·
Ｔ17
）
设
直
线
11221212:x+1:y=k x 1k ,k k k +20l y k l =-=，，其中实数满足，
（I ）证明1l 与2l
相交；
（II ）证明1l 与2l 的交点在椭圆
22
2x +y =1上. 【思路点拨】（Ⅰ）反证法；先假设1l 与2l
不相交,之后推出矛盾.（Ⅱ）求出交点，代入方程.
【精讲精析】（Ⅰ）反证法.假设1l 与2l 不相交，则1l 与2l 平行，有21k k =代入0221=+k k ，
得022
1=+k .
此与1k 为实数的事实相矛盾.从而,21k k ≠即1l 与2l 相交.
（Ⅱ）由方程组
???-=+=1
121x k y x k y
解得交点P 的坐标（x,y ）为
???????-+=-=1212122k k k k y k k x
而.144
)()2(222
2212
221212122122
2
=++++=-++-=+k k k k k k k k k k y x
即P(x,y)在椭圆
222x +y =1上..
【考点模拟演练】 一、选择题
1．倾斜角为45?，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ） A ．1y x =+ B ．1y x =-- C ．1y x =-+ D ．1y x =-
答案：D
2．倾斜角为45?，在
y轴上的截距为1-的直线方程是（）
A ．
1=
+
-y
x B．0
1=
-
-y
x C．0
1=
-
+y
x D．0
1=
+
+y
x
答案：B
3．过原点和在复平面内对应点的直线的倾斜角为（） A． B．
C． D．答案：D
4．已知过点
(2,)
A m
-和(,4)
B m的直线与直线0
1
2=
-
+y
x平行，则m的值为（）
A. 0
B. 8
- C. 2 D. 10
解析：
4
2,8
2
m
k m
m
-
==-=-
+
5．在平面直角坐标系中，点A(1，2)、点B(3，1)到直线l的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为 ( )
A．3 B．2 C．4
D．1
答案：B
6．设分别是中所对边的边长,则直线
与的位置关系是( )
A．平行B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直
答案：B
7．点P(2,3)到直线：ax+(a－1)y+3=0的距离d为最大时，d与a的值依次为（）
A．3,-3 B．5,1 C．5,2 D．7,1
答案：B
8．已知
0,0
ab bc
<<，则直线ax by c
+=通过（）
A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限
解析：,0,0
a c a c y x k
b b b b =-+=-><
9．若方程
014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ）
A. 0≠m
B.
23
-
≠m
C. 1≠m
D. 1≠m ，
23
-
≠m ，0≠m
解析：
2223,m m m m +--不能同时为0
10．若点到直线的距离为4，且点在不等式表示的平
面区域内，则实数的值为（ ）
A.7
B.－7
C.3
D.－3 答案： 11．已知点
到直线
的距离相等，则实数的值等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：C 12．过点
()
2,1M 的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于P 、Q 两点，且
2MQ MP
=，则
直线l 的方程为（ ）
A.x+2y-4=0
B.x-2y=0
C.x-y-1=0
D.x+y-3=0 答案：D 二、填空题
13．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(0,-2)、(0,0)、(3,1),若点M 满足2=,点N 满足NB AN 3-=，点P 满足PN PM ⊥，则P 点的轨迹方程是 . 答案：x2+y2-2x-y=0 14．若直线1:10
l mx y +-=与
2:250
l x y -+=垂直，则m 的值是 ．
答案：2
15．函数x
e y 2=图像上的点到直线042=--y x 距离的最小值是 _
答案：5
16．直线为参数）上与点的距离等于的点的坐标是
答案：（-3，4）或（-1，2） 三、解答题
17．已知直线Ax By C ++=0，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x 轴相交； （4）系数满足什么条件时是x 轴； （5）设
()
P x y 00，为直线Ax By C ++=0上一点，
证明：这条直线的方程可以写成
()()A x x B y y -+-=000
.
解答：（1）把原点(0,0)代入Ax By C ++=0，得0C =；（2）此时斜率存在且不为零 即0A ≠且0B ≠；（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即0B =且0C ≠； （4）0,A C ==且0B ≠ （5）证明：()
00P x y ，在直线Ax By C ++=0上
0000
0,Ax By C C Ax By ∴++==--
()()000
A x x
B y y ∴-+-=.
18．（本小题满分14分）
已知函数
x a
x x f +
=)(的定义域为),0(∞+，且
222)2(+
=f . 设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、
． （1）求a 的值；（2分）
（2）问：||||PN PM ?是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（5分） （3）设O 为原点，求四边形OMPN 面积最小值（7分）
第三章《直线与方程》单元检测试题 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．已知点A (1，3)，B (－1，33)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° [答案] C 2．直线l 过点P (－1,2)，倾斜角为45°，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x －y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0 [答案] D 3．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－6 C ．32 D ．23 [答案] B 4．直线x a 2－y b 2＝1在y 轴上的截距为( ) A ．|b | B ．－b 2 C ．b 2 D ．±b [答案] B 5．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a 的值是( ) A ．0 B ．－4 C ．－8 D ．4 [答案] C 6．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] D 7．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( ) A ．－2 B ．－7 C ．3 D ．1
[答案] C 8．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0 D ．19x －3y ＝0 [答案] C 9．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(17，27) C ．(27，17) D ．(17，114) [答案] C 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 [答案] D 11．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．0 D ．2 [答案] B 12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点 B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6) D ．(0,2) [答案] A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为_________. [答案] －2 3 [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2 2 ＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又 x 1＋x 2 2＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝ －3－1 4－－2
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
高考总复习第12 讲：直线与方程 § 3.1直线的倾斜角与斜率 1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率； 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3．能用公式和概念解决问题 . 学习过程 一、课前准备 复习 1：在直角坐标系中 ,只知道直线上的一点 ,能不能确定一条直线呢 ? 复习 2：在日常生活中 ,我们常说这个山坡很陡峭 ,有时也说坡度 ,这里的陡峭和 坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢 ? 二、新课导学※ 学习探究新知 1：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基 准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角( angle of inclination ) . 关键：①直线向上方向；② x 轴的正方向；③小于平角的正角 . 注意 :当直线与 x轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为 0度.. 试试：请描出下列各直线的倾斜角 反思：直线倾斜角的范围？ 探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示 “坡度” 公式是怎样的？ 新知 2：一条直线的倾斜角 ( )的正切值叫做这条直线的斜率 (slope).记为k tan 2 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 ，则坡度的
⑴当0o时，则k ； ⑵当0o90o时，则k ； ⑶当90o时，则k ； ⑷当900180o时，则k . 新知 3：已知直线上两点 P1(x1, y1), P2( x2 , y2) (x1 x2 )的直线的斜率公式： k 2 1. x2 x1 探究任务三： 1.已知直线上两点 A(a1,a2),B(b1,b2),运用上述公式计算直线的斜率时，与A,B 两点坐标的顺序有关吗？ 2．当直线平行于y 轴时，或与y 轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？ ※ 典型例题 例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率： ⑴30 ； ⑵135 ； ⑶60 ； ⑷90 变已知直线的斜率，求其倾 ⑴k 0； ⑵k 1； ⑶k 3； ⑷ k 不存在 例 2 求经过两点 A(2,3), B(4,7) 的直线的斜率和倾斜角 ,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角 . ※ 动手试试 练 1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角 ⑴ A(2,3), B( 1,4) ； ⑵ A(5,0), B(4, 2) . 练 2．画出斜率为 0,1, 1且经过点 (1,0)的直线 .
直线与方程练习题 一、填空题(5分×18=90分) 1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为 ； 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是 ； 3.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是 ； 4.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 ； 5. 经过点(－2,－3) , 在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 ； 6．已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行，则它们之间的距离是: 7、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是: 8.三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是: 9．已知点)2,1(-A ，)2,2(-B ，)3,0(C ，若点),(b a M )0(≠a 是线段AB 上的一点，则直线CM 的斜率的取值范围是: 10．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为: 11.与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线有______条. 12．直线l 过原点，且平分□ABCD 的面积，若B (1, 4)、D (5, 0)，则直线l 的方程是 ． 13．当1 0k 2 << 时，两条直线1-=-k y kx 、k x ky 2=-的交点在 象限． 14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ； 15.直线y= 2 1 x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 ; 16.已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________． 17.光线从点()3,2A 射出在直线01:=++y x l 上，反射光线经过点()1,1B , 则反射光线所在直线的方程 18．点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为: 二.解答题(10分×4+15分×2=70分)
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题： 1.在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于（ B ） A ．60o B ．60o 或 120o C ．30o D ．30o 或150o 2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若c =2,b =6,B =120o ，则a 等于（ D ） A ．6 B ．2 C ．3 D ．2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ，A=45°，2=b 则sinB=（ A ） A ． 1 2 B ．22 C ． 3 2 D ．1 4．ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5 ,22 a b A B ==，则cos B =（ B ） A ． 53 B ．54 C ．55 D ．5 6 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A ．0 90 B ．0 60 C ．0 120 D ．0 150 6．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（D ） A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中， b a B A =--cos 1cos 1，则△AB C 一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1， ABC S b ?=则,3等于（ C ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3则角C 大小为（ B ） A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为（ D ）。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于（ C ） A ． 21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1 2 -(a ＋b ) 13．若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ=则λ等于（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14．已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ C ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ C ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16．(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A ．31-或 B.13-或 C ．3 D ． -1 17. 若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是 （ B ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π （D ）π12 5 183 =b ， a 在 b 方向上的投影是2 3 ，则 b a ?是（ B ） A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为( C ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°
必修二直线与方程专题讲义 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ① 关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0. ③ 倾斜角α的围00 0180α≤<. ④ 090,tan 0k αα?≤
注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定） （1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =； （2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 3、两条直线平行与垂直的判定 （1） 两条直线平行 斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则有 121212//,l l k k b b ?=≠ 注：当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行. 一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则 1212211221//,l l A B A B AC A C ?=≠ 注：1212211221=,l l A B A B AC A C ?=与重合 1l 与2l 相交01221≠-?B A B A （2）两条直线垂直 斜截式：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.
第三章 直线与方程章未复习 学习目标 1． 掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式； 2． 掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及直线方程知识的灵活运用； 3． 掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离公式及其公式的运用. 学习过程 一、课前准备 （阅读教材P 113，找出疑惑之处） 复习知识点： （一） 直线的倾斜角与斜率 1．倾斜角的定义 ， 倾斜角α的范围 ， 斜率公式k = ，或 . （二） 直线的方程 1． 点斜式：00()y y k x x -=- 2． 斜截式：y kx b =+ 3． 两点式：112121 y y x x y y x x --=-- 4． 截距式：1x y a b += 5． 一般式：0Ax By C ++= （三） 两直线的位置关系 1． 两直线平行 2． 两直线相交.⑴两直线垂直，⑵两直线相交 3． 两直线重合 （四） 距离 1． 两点之间的距离公式 ， 2． 点线之间的距离公式 ， 3． 两平行直线之间的距离公式 . 二、新课导学 ※ 典例分析 例1 如图菱形ABCD 的60O BAD ∠=，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
例2 已知在第一象限的ABC ?中，(1,1),(5,1)A B ，60,45O O A B ∠=∠=.求 ⑴AB 边的方程； ⑵AC 和BC 所在直线的方程. 例3 求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 例4 已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值. ⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直； ⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等. 例5 过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ?面积最小时，求直线l 的方程.
（数学2必修）第三章 直线与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．0 45,1 B ．0 135,1- C ．090，不存在 D ．0 180，不存在 6．若方程014)()32(2 2 =+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．2 3 - ≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3 - ≠m ，0≠m 二、填空题 1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;
高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例 一、教学目标：1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式； 2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=，解决三角形中的 计算和证明问题． 二、教学重点：掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形 中的三角函数问题． 三、教学过程： （一）主要知识： 掌握三角形有关的定理： 正余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccos θ, bc a c b 2cos 222-+=θ；R C c B b A a 2sin sin sin === 内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2 C =cos 2B A + 面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) 射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A （二）例题分析： 例1．在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ． 解：由正弦定理得：sinA=23 2 45sin 3sin = ?= b B a ,因为B=45°<90°且b 直线与方程知识点 一、基础知识回顾 1.倾斜角与斜率 知识点1：当直线l 与x 轴相交时， x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角. 注意: 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度. 知识点2：直线的倾斜角(90)αα≠?的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=. 注意: 当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的王新敞 知识点3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：21 21 y y k x x -= -. 知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ?1k =2k 王新敞 ． 知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直. 即12l l ⊥?12 1 k k =-?121k k =- 王新敞 注意： 1．1212//l l k k ?=或12,l l 的斜率都不存在且不重合. 2．12121l l k k ⊥?=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在. 2.直 线 的 方 程 知识点6：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意： ⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 . 知识点7：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程. 注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标. 知识点8：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程 为11 12122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程. 知识点9：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠， 则直线l 的方程为 1=+b y a x ，叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0, b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 知识点10：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程. 注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线 （2）点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上?00Ax By +0C += 王新敞 3、直线的交点坐标与距离 知识点11： 两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组111222 0A x B y C A x B y C ++=?? ++=?，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行. 高中数学第三章直线与方程3-2直线的方程知识导航学案新 人教A版必修2 3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程 3.2.3 直线的一般式方程 知识梳理 1.由直线上一定点及其斜率确定的方程叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.它的方程是y-y0=k(x-x0),应用时应注意斜率k存在. 2.由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的方程叫做斜截式方程,简称斜截式.它的方程是y=kx+b,应用时应注意斜率k存在. 3.经过两定点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程叫做两点式方程,简称两点式.它的方程是,使用时应注意x1≠x2且y1≠y2.若x1=x2,或y1=y2,此时过这两点的直线方程是x=x1或y=y1. 4.经过两定点(a,0),(0,b)的直线方程叫做截距式方程,简称截距式,它的方程是=1.应注意a≠0且b≠0. 5.把关于x、y的二元一次方程Ax+By+c=0叫做一般式方程,简称一般式.应用时应注意A,B不同时为零.若一般式化为点斜式、两点式,由于取点不同,得到的方程也不相同. 知识导学 要学好本节内容,首先要明确确定一条直线的几何要素,即直线上一点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线,两点也可以确定一条直线. 根据所给的几何要素,明确各种形式的适用范围,确定直线的方程是本节的重点,也是难点,切记不要漏掉直线的特殊情况.直线方程的各种形式之间可相互转化,如给定两点,除了直接用两点式求直线方程外,还可用点斜式求直线的方程,若两点是直线与坐标轴的交点,还可用截距式写直线的方程. 一般地,点斜式常用于求过定点的问题;斜截式常用于判定直线的位置关系;截距式常用于画方程的直线等.在直线的斜截式和截距式中的截距不是距离,而是一个数量,它可正、可负、也可为零. 疑难突破 1.直线的点斜式方程. 剖析:若直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,求直线l的方程.设点P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,根据经过两点的直线的斜率公式,得k=,可化为y-y0=k(x-x0). 注意:(1)如果直线l过点P0(x0,y0)且与y轴垂直,这时倾斜角为0°,即k=0,由点斜式得y=y0. (2)如果直线过点P0(x0,y0)且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程表示为x=x0. (3)经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类: 解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b < 必修2第三章《直线与方程》单元测试题 （时间：90 满分：120分） 班别 座号 姓名 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０° 2．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A.21 3, B.-- 213, C.--1 2 3, D.－2，－3 3. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、2 3- D 、3 2 4.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） （A ）2 （B ）2 1 （C ）1 （D ）2 7 5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0 6.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ） Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2） 8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定 9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3， 则必有 A. k 1 § 3.2.1直线的点斜式方程 【学习目标】 理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；能正确求直线方程； 【学习过程】 一、课前导学：（不看书，自己回忆上节课学的内容，并填空，写完后和本组同学讨论） 1．经过两点)),(),,(21222111x x y x P y x P ≠其中（ 斜率公式为=k . 2．已知直线12,l l 都有斜率，如果12//l l ，则 ；如果12l l ⊥，则 . 3．若三点(3,1),(2,),(8,11)A B k C -在同一直线上，则k 的值为 . 4．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，则第四个顶点D 的坐标 5．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率? 二、新课导学： 探究一：设点),(000y x P 为直线上的一定点,那么直线上不同于0P 的任意一点),(y x P 与直线的斜率k 有什么关系？ （请和你的小组交流你写的结果，并把下面的内容补充完整.） 1、直线的点斜式方程：已知直线l 上一点000(,)p x y 与这条直线的斜率k ，设(,)p x y 为直线上的任意一点，则根据斜率公式，可以得到，当0x x ≠时，00 y y k x x -=- 即： ⑴ . 点斜式方程是由直线上 及其 确定。 （自学课本P92－P93，小组讨论：） （1）是否在直线上的任意一点的坐标都适合方程（1） （2）适合方程（1）的任意一组解),(y x 为坐标的点是否都在直线l 上？ （3）方程⑴能不能表示过点000(,)p x y ，斜率为k 的直线l 的方程？ 思考： ①x 轴所在直线的方程是______ ____; y 轴所在直线的方程是____________ __； ②经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是______________； ③经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是______________； 一选择题（共５5分,每题5分) 1． 已知直线经过点A （0,4）和点B(1，2）,则直线AB 的斜率为（ ） A.3 Ｂ.-2 C ． 2 D ． 不存在 2.过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为( ) A.072=+-y x Ｂ.012=-+y x C.250x y --= D ．052=-+y x ３． 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ) x y O x y O x y O x y O A B C D 4.若直线x +a y+2＝0和2ｘ＋3y+1=0互相垂直,则a ＝( ） A ．32- B ．32 C.2 3- D ．23 5.过(x 1,y 1)和（ｘ２，y 2)两点的直线的方程是( ) 11 212111 2112 211211211211.. .()()()()0.()()()()0 y y x x A y y x x y y x x B y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y --= ----= -------=-----= 6、若图中的直线L 1、Ｌ２、L 3的斜率分别为 A 、K 1﹤Ｋ2﹤K 3 Ｂ、Ｋ２﹤Ｋ1﹤K 3 C 、K ３﹤K 2﹤Ｋ１ D 、K 1﹤K 3﹤K 2 7、直线2x ＋３y －5=0关于直线y=x Ａ、3x+2ｙ-5＝０ Ｂ、2ｘ-３y －5=0 C 、3ｘ＋2y ＋5＝0 Ｄ、3x-2y-5=0 8、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-１)对称的直线是（ ) Ａ．３ｘ-2y-6=0 Ｂ．2x+3ｙ+7=0 Ｃ. 3x －２y －12=0 Ｄ. 2x+3y+8＝0 9、直线5x －2ｙ-1０=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ) x 解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ?中，已知a、b、A （1）若A为钝角或直角，则当b a>时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b< < sin时，三角形有两解； 当b a≥时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在ABC ?中，角C B A、 、的对边分别为c b a、 、，则有 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，其变式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? （ a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高）； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? （3）= ?ABC S C B A R sin sin sin 22（R为外接圆半径） （4） R abc S ABC4 = ? ； （5）) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = （6）l r S ABC ? = ?2 1 （r是内切圆的半径，l是三角形的周长）必修2初中数学第三章直线与方程知识点
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