郑州大学研究生课程
数值分析 Numerical Analysis
第二章 代 数 插 值
第二章 代 数 插 值
§2.1 代数插值问题 [问题提出] §2.2 代数插值多项式的存在唯一性 [可解性] §2.3 拉格朗日插值方法 [解决方法和理论分析] §2.4 牛顿(Newton)插值 §2.5 后验误差估计[算法实现] §2.6 分段线性插值 计算机数值算法 §2.7 Hermite插值 设计思路 §2.8 样条插值
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§2.1 代数插值问题 例2.1.1 设计某工件的外形，要求其轮廓线是光 滑的，且必须过n+1个互异的点(xi,yi)(i=0,1,…,n). 轮廓线应如何设计呢？
y=p (x) y= f (x)
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拉格朗日插值
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§2.1 代数插值问题 解： 满足要求的轮廓线不妨取为n次多项式Pn(x).设
Pn ( x) = an x n + an ?1 x n ?1 + + a1 x + a0 (2.1)
这里Pn(x)是光滑的，并设它满足
Pn ( xi ) = yi (i = 0,1, n) (2.2)
将(2.1)带入(2.2)可得下面线性代数方程组
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§2.1 代数插值问题
?an x0 n + an ?1 x0 n ?1 +……+ a1 x0 + a0 = y0 ? n n ?1 ?an x1 + an ?1 x1 +……+ a1 x1 + a0 = y1 ? ?…… ?a x n + a x n ?1 +……+ a x + a = y n ?1 n 1 n 0 n ? n n
则(2.3)的系数行列式为范德蒙德行列式
1 V= 1 x0 x1
2 n x0 … x0
(2.3)
x12 … x1n
2 xn
… 1 xn
… n … xn
= ∏∏ ( xi ? x j ) ≠ 0
i =1 j = 0
n
i ?1
(2.4)
因xi≠xj（i≠j），故V≠0. 从而方程组(2.3)的解存在唯一. 求出未知量a0,…,an代入(2.1)即得所求轮廓线. ■
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§2.1 代数插值问题 代数插值问题： 设函数 y=f (x)定义在区间[a, b]上，而
x0,x1,…,xn是在[a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点 互异 处的函数值为 yi=f (xi),i=0,1,…n. 求一个次数不超过n次的多项式Pn(x)，使它满足
Pn ( xi ) = yi (i = 0,1,
n)
(2.5)
则称Pn(x)为f (x)的n次代数插值多项式. 求满足以上条件多项 式Pn(x)的问题叫做代数插值问题. 称x0,x1,…,xn为插值节点， [a, b]为插值区间，（2.5）为插值条件.
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§2.2 代数插值多项式的存在唯一性 代数插值 问题是否 可解？
0.3 0.2 0.1
-0.1 -0.2
J0 H x2 L
0.3 0.2 0.1 5 -0.1 -0.2 10 15 20
5
10
15
20
x
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§2.2 代数插值多项式的存在唯一性 多项式 局部近似 以直代曲 以简代繁
多项式 整体近似 以直代曲
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§2.2 代数插值多项式的存在唯一性 定理1： n次代数插值问题的解是存在且惟一的. 证： 因为x0,x1,…,xn是在[a, b]上取定的n+1个互异节点, 互异
由例2.1.1中分析过程可知，代数方程组的解存在唯一，从 而满足插值条件(2.5)的n次代数插值多项式Pn(x)也是存
在唯一的.
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§2.3 代数插值多项式的存在唯一性 目标： 设计计算量小、实现简单的计算 机算法，根据输入的n+1个点生 产n次代数插值多项式. 评价： 采用例2.1.1中的待定系数法求n次代 数插值多项式不符合目标. 拉格朗日提出直接构造多项式的方法.
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约瑟夫.路易斯.拉格朗日 （1735~1813）
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§2.3 拉格朗日插值方法
线性插值（n=1)
给定两个互异点(x0，y0)，(x1，y1），确定一 次插值多项式P1(x)的问题，称为线性插值问题.
x ? x0 x ? x1 P1 ( x) = y0 + y1 (2.6) x0 ? x1 x1 ? x0
称(2.6)为一次拉格朗日插值多 项式或线性插值多项式.
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§2.3 拉格朗日插值方法
引入记号
线性插值（n=1)
x ? x0 x ? x1 l 0 ( x) = , l1 ( x) = , (2.7) x0 ? x1 x1 ? x0
1
x0
l0 ( x ) =
则它们满足
x ? x1 x 0 ? x1
x1
li ( x j ) = δ ij , i, j = 0,1. (2.8)
则 l0 ( x), l1 ( x) 分别称为节点x0 ,x1上的插值基函数. 线性插值多 项式可表示为函数值y0, y1与插值基函数的线性组合 1 x ? xj , P ( x) = l0 ( x) y0 + l1 ( x) y1 , lk ( x) = ∏ k = 0,1 (2.9) 1 j = 0 xk ? x j
j ≠k
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§2.3 拉格朗日插值方法
抛物插值（n=2)
给定3个互异点(xi，yi)(0=0,1,2)，确定一个不超过2 次的插值多项式P2(x)的问题，称为二次插值问题. 受线性插值多项式的 启发，猜想可通过如 下方式构造P2(x)
①构造2次插值基函数li(x)(i=0,1,2),满足li(xj)=δij(i,j=0,1,2). ②构造2次插值多项式P2(x)=y0l0(x)+y0l0(x)+y0l0(x).
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§2.3 拉格朗日插值方法 因为x1 , x2是 l 0 ( x)的两个零点，于是
抛物插值（n=2)
l 0 ( x) = c( x ? x1 )( x ? x 2 )
1 再由另一条件 l 0 ( x0 ) = 1 确定系数 c = (x0 ? x1)(x0 ? x2 )
从而导出 类似可得
( x ? x1 )(x ? x2 ) l0 ( x) = ( x0 ? x1 )(x0 ? x2 )
( x ? x 0 )( x ? x 2 ) ( x ? x0 )( x ? x1 ) l1 ( x ) = l 2 ( x) = ( x1 ? x 0 )( x1 ? x 2 ) ( x 2 ? x0 )( x 2 ? x1 )
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§2.3 拉格朗日插值方法
抛物插值（n=2)
则 l 0 ( x), l1 ( x), l 2 ( x) 称为二次插值基函数. 取 y 0 , y1 , y 2 为线性组合系数,将基函数 l 0 ( x), l1 ( x), l 2 ( x) 线性组合可得
P (x) = y0l0 (x) + y1l1(x) + y2l2 (x) （ ） 2.10 2
容易看出,P2(x)满足条件
P2 ( xi ) = y i ( i = 0,1, 2)
因其图形为抛物线，二次插值 又称为抛物插值.
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§2.3 拉格朗日插值方法
l1 ( x ) = ( x ? x0 )( x ? x 2 ) ( x1 ? x0 )( x1 ? x 2 ) l2 ( x ) = ( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x 2 ? x0 )( x 2 ? x1 )
l1 ( x )
x0
l2 ( x )
x1
l0 ( x )
x2
l0 ( x ) = ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ( x0 ? x1 )( x0 ? x 2 )
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§2.3 拉格朗日插值方法 n次插值基函数
n次插值
由抛物插值中构造性方法启发，解决一般的n次代数插值问题. 分别构造x0 , x1, …, xn 上的 n 次插值基函数 l0(x), l1(x), …, ln(x),满足 x0 1 0 0 … 0 x1 0 1 0 … 0 x2 0 0 1 … 0 … xn 0 0 0 … 1
i= ? 1, j = 0,1, 2, li ( x j ) = δ ij = ? ?0， i ≠ j
, n
节点 基函数
l0(x) l1(x) l2(x) … ln(x)
… … … … …
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§2.3 拉格朗日插值方法
由上表， x1 , x2, …, xn 为 l0(x) 的零点，设 l 0 ( x) = a 0 ( x ? x1 )( x ? x 2 ) 由l0(x0)=1，得 ( x ? xn ),
N次插值
1 = a0 , ( x0 ? x1 )( x0 ? x 2 ) ( x0 ? x n ) ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ( x ? x n ) ? l 0 ( x) = . ( x0 ? x1 )( x0 ? x 2 ) ( x0 ? x n )
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§2.3 拉格朗日插值方法
类似可得节点 xi 对应的n次插值基函数
N次插值
( x ? x0 ) ( x ? xi ?1 )( x ? xi +1 ) ( x ? x n ) li ( x) = ( xi ? x0 ) ( xi ? xi ?1 )( x ? xi +1 ) ( xi ? x n ) n x?x j = ∏ , i = 0,1, , n (2.11) x ? xj j =0 i
j ≠i
从而可得n次代数插值多项式 Pn ( x) = l 0 ( x) y 0 + y1l1 ( x) +
n i =0
+ y n l n ( x)
∑ yi li ( x) = (2.12)
显然Pn(x)是次数不超过n的多项式，且Pn(xi)=yi(i=0,1,…,n)
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§2.3 拉格朗日插值方法
N次插值
拉格朗日(Lagrange)插值方法总结
★根据问题特征，构造对应每个节点的插值 基函数，是解决问题的关键. ★其数学思想是以直代曲，以简代繁，是高 等数学思想方法的延伸. ★直接构造n次插值多项式的方法过程简单， 容易在计算机上实现.
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数值分析参考答案(第 二章)
第二章 插值法 1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表 用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 解：由表格知， 01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144 x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=- 若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<
2 112 1 221 11122()10(0.6)()10(0.5)()()()()() x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----= =---=+ 6.93147(0.6) 5.10826(0.5)x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈- 若采用二次插值法计算ln0.54时， 1200102021101201220212001122()() ()50(0.5)(0.6) ()() ()() ()100(0.4)(0.6) ()()()() ()50(0.4)(0.5) ()() ()()()()()()() x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------= =----=++ 500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5) x x x x x x =-?--+---?--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈- 3．给全cos ,090x x ≤≤的函数表，步长1(1/60),h '==若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。 解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当090x ≤≤时， 令()cos f x x = 取0110,( )606018010800 x h ππ ===?=
Matlab实现数值分析插值及积分 摘要： 数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。在实际生产实践中，常常将实际问题转化为数学模型来解决，这个过程就是数学建模。学习数值分析这门课程可以让我们学到很多的数学建模方法。 分别运用matlab数学软件编程来解决插值问题和数值积分问题。题目中的要求是计算差值和积分，对于问题一，可以分别利用朗格朗日插值公式，牛顿插值公式，埃特金逐次线性插值公式来进行编程求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为：=+。 其中Aitken插值计算的结果图如下： 对于问题二，可以分别利用复化梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式编写程序来进行求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为： 0.6932 其中复化梯形公式计算的结果图如下：
问题重述 问题一：已知列表函数 表格 1 分别用拉格朗日，牛顿，埃特金插值方法计算。 问题二：用复化的梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式计算积分，使精度小于5。 问题解决 问题一：插值方法 对于问题一，用三种差值方法：拉格朗日，牛顿，埃特金差值方法来解决。 一、拉格朗日插值法： 拉格朗日插值多项式如下： 首先构造1+n 个插值节点n x x x ,,,10 上的n 插值基函数，对任一点i x 所对应的插值基函数 )(x l i ，由于在所有),,1,1,,1,0(n i i j x j +-=取零值，因此)(x l i 有因子 )())(()(110n i i x x x x x x x x ----+- 。又因)(x l i 是一个次数不超过n 的多项式，所以只 可能相差一个常数因子，固)(x l i 可表示成： )())(()()(110n i i i x x x x x x x x A x l ----=+- 利用1)(=i i x l 得：
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
数值分析报告 班级： 专业： 流水号： 学号： 姓名：
常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……x n处的值是f（x0），……f（x n），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0， C1，……C n的函数类Φ(C0，C1，……C n)中求出满足条件P（x i）＝f（x i）（i＝0，1，……n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……C n)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……C n）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝f（x）－P（x）称为插值余项。
求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。 一．拉格朗日插值 1.问题提出： 已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x L 上的函数值01,,,n y y y L ，求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法： 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =++++L ，构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a L 。 3.构造()n P x 的依据： 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组： 20102000 20112111 2012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?++++=?++++=?? ? ?++++=?L L L L L 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式： ()20 0021110 2111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏L L M M M M L
数值分析 报告 班级： 专业： 流水号： 学号： 姓名：
常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上 n＋1 个互不相同点x 0，x 1 (x) n 处的值是f（x ），……f（x n ），要求估算f（x）在[a，b〕 中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C ， C 1，……C n 的函数类Φ(C ，C 1 ，……C n )中求出满足条件P（x i ）＝f（x i ）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x 0，x 1 ，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C 0，C 1 ，……C n )称为插值函数类，上面等式称为插值条件， Φ（C 0，……C n ）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为 插值余项。
求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。 一．拉格朗日插值 1.问题提出： 已知函数()y f x =在n+1个点01,, ,n x x x 上的函数值01,, ,n y y y ，求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法： 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =+++ +，构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a 。 3.构造()n P x 的依据： 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组： 20102000 201121112012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?+++ +=?++++=??? ?+++ +=? 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式： () 200021110 2 111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏
《数值分析》课程实验一：插值与拟合 一、实验目的 1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性； 2. 编写MA TLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象； 3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理； 4. 编写MA TLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。 二、实验内容 1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。 2. 设 ]5,5[,11 )(2 -∈+= x x x f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。 (2) 编写MA TLAB 程序绘制出曲线拟合图。 三、实验步骤 1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件： ?? ?≠===j i j i x l ij j i , 0, , 1)(δ 的一组基函数{}n i i x l 0)(=，l i (x )的表达式为 ∏ ≠==--= n i j j j i j i n i x x x x x l ,0),,1,0()( 有了基函数{}n i i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为 ∑==n i i i n x l y x L 0 )()( (2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为
第一章绪论（1-4） 一、误差来源及分类 二、误差的基本概念 1.绝对误差及绝对误差限 2.相对误差及相对误差限 3.有效数字 三、数值计算的误差估计 1.函数值的误差估计 2.四则运算的误差估计 四、数值计算的误差分析原则 第二章插值（1.2.4-8） 一、插值问题的提法（定义）、插值条件、插值多项式的存在唯一性 二、拉格朗日插值 1.拉格朗日插值基函数的定义、性质 2.用拉格朗日基函数求拉格朗日多项式 3.拉格朗日插值余项（误差估计） 三、牛顿插值 1.插商的定义、性质 2.插商表的计算 3.学会用插商求牛顿插值多项式 四、等距节点的牛顿插值 1.差分定义、性质及计算（向前、向后和中心） 2.学会用差分求等距节点下的牛顿插值公式 五、学会求低次的hermite插值多项式 六、分段插值 1.分段线性插值 2.分段三次hermite插值 3.样条插值 第三章函数逼近与计算（1-6） 一、函数逼近与计算的提法（定义）、常用两种度量标准（一范数、二范数\平方逼近） 二、基本概念 连续函数空间、最佳一次逼近、最佳平方逼近、内积、内积空间、偏差与最小偏差、偏差点、交错点值、平方误差 三、学会用chebyshev定理求一次最佳一致逼近多项式，并估计误差（最大偏差） 四、学会在给定子空间上通过解方程组求最佳平方逼近，并估计误差（平方误差） 五、正交多项式（两种）定义、性质，并学会用chebyshev多项式性质求特殊函数的（降阶）最佳一次逼近多项式 六、函数按正交多项式展开求最佳平方逼近多项式，并估计误差 七、一般最小二乘法（多项式拟合）求线性拟合问题 第四章数值分析（1-4） 一、数值求积的基本思想及其机械求积公式
第二章插值法 2.在区间[-1,1]上分别取n=10,20用两组等距节点对龙哥函数f(x)=1/(1+25*x^2)做多项式插值及三次样条插值，对每个n值，分别画出插值函数及f（x）的图形。 （1）多项式插值 ①先建立一个多项式插值的M-file； 输入如下的命令（如牛顿插值公式）： function [C,D]=newpoly(X,Y) n=length(X); D=zeros(n,n) D(:,1)=Y' for j=2:n for k=j:n D(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1)); end end C=D(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))) m=length(C); C(m)= C(m)+D(k,k); end ②当n=10时，我们在命令窗口中输入以下的命令： clear,clf,hold on; X=-1:0.2:1; Y=1./(1+25*X.^2); [C,D]=newpoly(X,Y); x=-1:0.01:1; y=polyval(C,x); plot(x,y,X,Y,'.'); grid on; xp=-1:0.2:1; z=1./(1+25*xp.^2); plot(xp,z,'r') 得到插值函数和f（x）图形：
③当n=20时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clf,hold on; X=-1:0.1:1; Y=1./(1+25*X.^2); [C,D]=newpoly(X,Y); x=-1:0.01:1; y=polyval(C,x); plot(x,y,X,Y,'.'); grid on; xp=-1:0.1:1; z=1./(1+25*xp.^2); plot(xp,z,'r') 得到插值函数和f（x）图形：
第二章复习与思考题 1.什么是拉格朗日插值基函数它们是如何构造的有何重要性质 答：若n 次多项式()),,1,0(n j x l j Λ=在1+n 个节点n x x x <<<Λ10上满足条件 (),,,1,0,, ,0, ,1n k j j k j k x l k j Λ=?? ?≠== 则称这1+n 个n 次多项式()()()x l x l x l n ,,,10Λ为节点n x x x ,,,10Λ上的n 次拉格朗日插值基函数. 以()x l k 为例，由()x l k 所满足的条件以及()x l k 为n 次多项式，可设 ()()()()()n k k k x x x x x x x x A x l ----=+-ΛΛ110， 其中A 为常数，利用()1=k k x l 得 ()()()()n k k k k k k x x x x x x x x A ----=+-ΛΛ1101， 故 ()()()() n k k k k k k x x x x x x x x A ----= +-ΛΛ1101 ， 即 ()()()()()()()()∏ ≠=+-+---=--------=n k j j j k j n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l 0110110)(ΛΛΛΛ. 对于()),,1,0(n i x l i Λ=，有 ()n k x x l x n i k i k i ,,1,00 Λ==∑=，特别当0=k 时，有 ()∑==n i i x l 0 1. 2.什么是牛顿基函数它与单项式基{ }n x x ,,,1Λ有何不同 答：称()()()(){ }10100,,,,1------n x x x x x x x x x x ΛΛ为节点n x x x ,,,10Λ上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点n x x x ,,,10Λ上的n 次牛顿插值多项式()x P n 可以表示为 ()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P ΛΛ 其中[]n k x x x f a k k ,,1,0,,,,10ΛΛ==.与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如 ()()()()k k k k x x x x a x P x P --+=++Λ011,
第二章 习 题 1. 已知函数()f x 在3,1,4x =的值分别为4，2，5，求Lagrange 插值多项式的表达式. 2. 已知函数 ()f x 在3x =和 4的值分别为0.5和0.64，用线性插值求此函数在 3.8x =的函数值. 3. 证明：对于 ()f x 的以01x x <为节点的一次插值多项式1()p x ，有 2 101()()()8 x x f x p x M ??≤，01x x x ≤≤， 其中01 max ()x x x M f x ≤≤′′= . 4. 已知函数 ()f x 的函数值表： x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ()f x 0.70010 0.40160 0.10810 -0.17440 -0.43750 试利用这个函数表求函数()f x 在0.3和0.4之间的零点. 5. 设 01,,,n x x x ???为1n +个互异的节点，()k l x 为n 阶 Lagrange 插值基函数， 0()()n k k x x x ω==?∏.证明： （1） 0()1n k k l x =≡∑； （2） 0(),0,1,2,,k n j j k k x l x x j n =≡=???∑； （3） ()()0,0,1,2,,n j k k k x x l x j n =?≡=???∑； （4）() ()()() k k k x l x x x x ωω= ′?.
6. 若73()1f x x x =?+，求0172,2,,2f ???????和018 2,2,,2f ???????. 7. 设 53()1f x x x =++，求以1x =?，-0.8，0，0.5，1为插值节点的Newton 插值多 项式和插值余项. 8. 已知函数值表： x 0 1 4 3 6 ()f x -7 8 5 14 求Newton 插值多项式的表达式. 9. 分别在下列情况下计算 1n ?次多项式()p t 在指定点t 的的值，各需要多少次乘 法运 算？ （a）多项式()p t 按照单项式基函数展开； （b）多项式()p t 按照Lagrange 基函数展开； （c）多项式()p t 按照Newton 基函数展开. 10. 在区间[]0,/2π上使用5个等距节点对函数sin t 进行插值，试计算最大误差. 在 []0,/2π上选取若干点，比较函数值和插值多项式的值，验证误差界. 如果希望最大误 差为10 10 ?，需要多少个插值节点？ 11. 一直平面曲线()y f x =过点（0,1） ，（1,3），（2,4），试求一个三次多项式3()p x ，使其经过这3个点，并且满足3(1)1p ′=；然后给出余项3()()()R x f x p x =?的表达式. 12. 试求一个四次多项式4()p x ，使其满足44 44(0)(0)0(1)(1)1p p p p ′′====，，4(2)1p =. 13. 能否通过使用分段二次多项式进行插值，使插值函数是二次连续可微的？为什么？ 14. 设[]4 (),f x C a b ∈. 求三次多项式()p x ，使之满足插值条件 11 ()(),0,1,2, ()(),i i p x f x i p x f x ==?? ′′=?
《数值分析》课程实验一：插值与拟合 一、实验目的 1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性； 2. 编写MATLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象； 3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理； 4. 编写MATLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。 二、实验内容 1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。 2. 设 ]5,5[,11 )(2 -∈+= x x x f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。 3. 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系如下表，试求含碳量与时间t 的拟合曲线。
(1) 用最小二乘法进行曲线拟合； (2) 编写MATLAB 程序绘制出曲线拟合图。 三、实验步骤 1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件： ?? ?≠===j i j i x l ij j i , 0,, 1)(δ 的一组基函数{}n i i x l 0)(=，l i (x )的表达式为 ∏ ≠==--= n i j j j i j i n i x x x x x l ,0),,1,0()( 有了基函数{}n i i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为 ∑==n i i i n x l y x L 0)()( (2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为 1102110] ,,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --= - 则n 次多项式 ) ())(](,,[) )(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N 差商表的构造过程：
数值分析作业 第二章 1、用Gauss消元法求解下列方程组： 2x 1-x 2 +3x 3 =1, (1) 4x 1+2x 2 +5x 3 =4, x 1+2x 2 =7; (2) 解： A=[2 -1 3 1;4 2 5 4;1 2 0 7] n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1; % 消元过程 for k=1:n-1 for i=k+1:n if abs(A(k,k))>eps A(i,k+1:n+1)= A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); else flag=0; return end end end % 回代过程 if abs(A(n,n))>eps x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); else flag=0; return end for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end return x A = 2 -1 3 1 4 2 5 4 1 2 0 7
x = 9 -1 -6 11x1-3x2-2x3=3, (2)-23x 1+11x 2 +1x 3 =0, x 1+2x 2 +2x 3 =-1; (2) 解： A=[11 -3 -2 3;-23 11 1 0;1 2 2 -1] n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1; % 消元过程 for k=1:n-1 for i=k+1:n if abs(A(k,k))>eps A(i,k+1:n+1)= A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); else flag=0; return end end end % 回代过程 if abs(A(n,n))>eps x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); else flag=0; return end for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end return x A = 11 -3 -2 3 -23 11 1 0 1 2 2 -1 x = 0.2124 0.5492 -1.1554 4、用Cholesky分解法解方程组 3 2 3 x1 5 2 2 0 x2 3 3 0 12 x3 7
数值分析--第2章插值法
第2章 插值法 在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。 解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数)(x f 的一些样点，选定一个便于计算的函数)(x ?形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数)(x ?作为)(x f 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法。 设已知函数f 在区间],[b a 上的1+n 个相异点i x 处的函数值(),0,,i i f f x i n ==，要求构造一个简单函数()x ?作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ?≈，使得 ()(),0,1,,i i i x f x f i n ?=== (2-1) 这类问题称为插值问题。称f 为被插值函数；()x ?为插值函数；n x x ,,0 为插值节点；(2-1)为插值条件。 若插值函数类{()}x ?是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。若{()}x ?是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。若{()}x ?是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值 1.1 Lagrange 插值多项式 设函数f 在1+n 个相异点0 1 ,,,n x x x 上的值n i x f f i i ,,1,0),( ==是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()n L x 使得 (),0,1,,n i i L x f n n == (2-2) 定理2.1 存在惟一的多项式n n P L ∈满足插值条件(2-2)。 证明 我们采用构造性的证明方法。假如我们能够构造出n 次多项式()i l x ，使得 1,(),0,1,,0,i j ij i j l x i j n i j δ=?===?≠? ， (2-3) 那么 ∑==n i i i n x l f x L 0) ()( (2-4) 是满足插值条件(2-2)的插值多项式。 余下的问题就是如何构造出满足式(2-3)的n 次多项式(),0,1,,i l x i n =。由于当j i ≠时，()0,0,1,,i j l x i j n ==，，即111,,,,,i i n x x x x -+是()i l x 的零点，因此()i l x 必然具有形式 ∏≠=+--=----=n i j j j i n i i i i x x c x x x x x x x x c x l 0110)()())(()()( 又因1)(=i i x l ，故∏≠=-=n i j j j i i x x c 0)(，因此 ∏ ∏∏≠=≠=≠=--=--= n i j j j i j n i j j j i n i j j j i x x x x x x x x x l 000) () () () ()( (2-5)
数值分析 报告 班级: 专业: 流水号: 学号: 姓名:
常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、 拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是：假定区间［a, b〕上的实值函数f (x)在该区间上n + 1个互不相同点X o，X1 X n处的值是f ( X o)，........... f ( X n)，要求估算f (x)在［a，b〕中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n + 1个参数C o， C i,……C n的函数类0(C o, C i，……C n)中求出满足条件P(X i) = f (X i) (i = 0，1,…… n)的函数P(x),并以P(x)(乍为f(x)的估值。此处f (X)称为被插值函数，X O，X1，……Xn 称为插值结(节)点，①(C O, C1,……C n)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，①(C o,……C n)中满足上式的函数称为插值函数，R (x)= f (x)- P ( X)称为插值余项。
求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日 (Lagra nge)插值和牛顿 (Newt on)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有 Hermit 插值，分段插 值和样条插值。 一.拉格朗日插值 1?问题提出： 已知函数y f x 在n+1个点X o*丄x 上的函数值y °,y i 丄，y *，求任意一点 X 的函数值f X 。 说明：函数y f x 可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计 算其函数值f X 2. 解决方法: 构造一个n 次代数多项式函数F n x 来替代未知(或复杂)函数y 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式: 1 X o X o 2 L 1 x 1 x 12 L M M M 1 X n X n 2 L X 。根据这个条件， 可以写出非齐次线性方程组: a o ax 2 a 2X o L n a n X o y o a o a 1x 1 2 a 2x L n a n X 1 y 1 L L a o ax 2 a ?X n L n a n X n y n R x 逼近于原来的函数 f X ，则 用P, X 作为函数值f X 的近似值。 设 F n X a 0 a 1X a 2x 2 L a n x n ，构造F n x 即是确定n+1个多项式的系数 a o , a i , a 2 ,L , a n 。 3. 构造P n X 的依据: 当多项式函数P n X 也同时过已知的 n+1 个点时，我们可以认为多项式函数 n X o n X 1 M n X n X i X j
实验报告：函数逼近&插值多项式补充 问题1：对于给函数2 1()1+25f x x = ，取点21 cos 22k k x n π+=+，k 取0，1，…，n 。n 取10或20。试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。 问题2：对于给函数2 1 ()1+25f x x = 在区间[-1，1]上取x i =-1+0.2i （i=0,1,2,…,10），试求3 次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。 实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和函数逼近，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。 实验要求： 1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。 实验原理： 详见《数值分析 第5版》第二章、第三章相关内容。 实验内容： （1）问题1： 这里我们可以沿用实验报告一的代码，对其进行少量修改即可。 当n=10时，代码为： clear all clc k=0:10; n=length(k); x1=cos((2*k+1)/2/n*pi); y1=1./(1+25.*x1.^2); f=y1(:); for j=2:n for i=n:-1:j f(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms F x p ; F(1)=1;p(1)=y1(1); for i=2:n F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1)); p(i)=f(i)*F(i);
第二章 习题 1． 当x=1，-1，2时，f(3)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 解：利用二次Lagrange 插值多项式公式， 这里403311210210==-=-==-=y y y x x x ，，，，，，得 ()()()() ()()()()()() ()() ()() 3 723651 34 23211212114021112132222211002-+=-++--=-+-+?++------? -=++=x x x x x x x x x x l y x l y x l y x L 2． 给出()()x x f ln =的数值表，（见表2.1），用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 表2.1 解：选取54.06.05.010===x x x ，，代入Lagrange 线性插值多项式，得 ()()()620219 .0510826.05 .06.05.054.0693147 .060.050.060 .054.054.054.0ln 1-≈-?--+-?--= ≈L 又选取54.06.05.04.0210====x x x x ，，，代入Lagrange 二次插值多项式，得 ()()()615320 .0)510826.0() 5.06.0)(4.06.0() 5.054.0)(4.054.0(693147 .0)6.05.0)(4.05.0() 6.054.0)(4.054.0(916291 .0)6.04.0)(5.04.0() 6.054.0)(5.054.0(54.054.0ln 2-≈-?----+-?----+-?----= ≈L 3． 设()x l k kh x x x x x k 203 0max 10≤≤=+=，求， ，,2,3。 解：由题意知 ()()()() ()()() 3212023102x x x x x x x x x x x x x l ------= 令()0'2=x l ，得 ()0383632 02 002 =++++-h h x x x h x x ，