第二章插值法
2.在区间[-1,1]上分别取n=10,20用两组等距节点对龙哥函数f(x)=1/(1+25*x^2)做多项式插值及三次样条插值,对每个n值,分别画出插值函数及f(x)的图形。
(1)多项式插值
①先建立一个多项式插值的M-file;
输入如下的命令(如牛顿插值公式):
function [C,D]=newpoly(X,Y)
n=length(X);
D=zeros(n,n)
D(:,1)=Y'
for j=2:n
for k=j:n
D(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));
end
end
C=D(n,n);
for k=(n-1):-1:1
C=conv(C,poly(X(k)))
m=length(C);
C(m)= C(m)+D(k,k);
end
②当n=10时,我们在命令窗口中输入以下的命令:
clear,clf,hold on;
X=-1:0.2:1;
Y=1./(1+25*X.^2);
[C,D]=newpoly(X,Y);
x=-1:0.01:1;
y=polyval(C,x);
plot(x,y,X,Y,'.');
grid on;
xp=-1:0.2:1;
z=1./(1+25*xp.^2);
plot(xp,z,'r')
得到插值函数和f(x)图形:
③当n=20时,我们在命令窗口中输入以下的命令:clear,clf,hold on;
X=-1:0.1:1;
Y=1./(1+25*X.^2);
[C,D]=newpoly(X,Y);
x=-1:0.01:1;
y=polyval(C,x);
plot(x,y,X,Y,'.');
grid on;
xp=-1:0.1:1;
z=1./(1+25*xp.^2);
plot(xp,z,'r')
得到插值函数和f(x)图形:
(2)三次样条插值
①先建立一个多项式插值的M-file;
输入如下的命令:
function S=csfit(X,Y,dx0,dxn)
N=length(X)-1;
H=diff(X);
D=diff(Y)./H;
A=H(2:N-1);
B=2*(H(1:N-1)+H(2:N));
C=H(2:N);
U=6*diff(D);
B(1)=B(1)-H(1)/2;
U(1)=U(1)-3*(D(1));
B(N-1)=B(N-1)-H(N)/2;
U(N-1)=U(N-1)-3*(-D(N));
for k=2:N-1
temp=A(k-1)/B(k-1);
B(k)=B(k)-temp*C(k-1);
U(k)=U(k)-temp*U(k-1);
end
M(N)=U(N-1)/B(N-1);
for k=N-2:-1:1
M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2))/B(k);
end
M(1)=3*(D(1)-dx0)/H(1)-M(2)/2;
M(N+1)=3*(dxn-D(N))/H(N)-M(N)/2;
for k=0:N-1
S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1))/(6*H(k+1));
S(k+1,2)=M(k+1)/2;
S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2))/6;
S(k+1,4)=Y(k+1);
end
②当n=10时,我们在命令窗口中输入以下的命令:clear,clc
X=-1:0.2:1;
Y=1./(25*X.^2+1);
dx0= 0.0739644970414201;dxn= -0.0739644970414201; S=csfit(X,Y,dx0,dxn)
x1=-1:0.01:-0.5;y1=polyval(S(1,:),x1-X(1));
x2=-0.5:0.01:0;y2=polyval(S(2,:),x2-X(2));
x3=0:0.01:0.5; y3=polyval(S(3,:),x3-X(3));
x4=0.5:0.01:1;y4=polyval(S(4,:),x4-X(4));
plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, X,Y,'.')
结果如图:
②当n=20时,我们在命令窗口中输入以下的命令:clear,clc
X=-1:0.1:1;
Y=1./(25*X.^2+1);
dx0= 0.0739644970414201;dxn= -0.0739644970414201; S=csfit(X,Y,dx0,dxn)
x1=-1:0.01:-0.5;y1=polyval(S(1,:),x1-X(1));
x2=-0.5:0.01:0;y2=polyval(S(2,:),x2-X(2));
x3=0:0.01:0.5; y3=polyval(S(3,:),x3-X(3));
x4=0.5:0.01:1;y4=polyval(S(4,:),x4-X(4));
plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, X,Y,'.')
结果如图:
第三章函数逼近与快速傅里叶变换
2.
试求3次、4次多项式的曲线拟合,再根据数据曲线形状,求一个另外函数的拟合曲线,用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。
(1)、三次拟合曲线:
命令如下:
x=[0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0];
y=[1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46];
cc=polyfit(x,y,3);
xx=x(1):0.1:x(length(x));
yy=polyval(cc,xx);
plot(xx,yy,'--');
hold on;
plot(x,y,'x');
xlabel('x');
ylabel('y');
结果如图:
(2)、4次拟合曲线
输入命令:
x=[0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0];
y=[1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46];
cc=polyfit(x,y,4);
xx=x(1):0.1:x(length(x));
yy=polyval(cc,xx);
plot(xx,yy,'r');
hold on;
plot(x,y,'x');
xlabel('x');
ylabel('y');
结果如图:
(3)、另一个拟合曲线:
新建一个M-file:
输入如下命令:
function [C,L]=lagran(x,y)
w=length(x);
n=w-1;
L=zeros(w,w);
for k=1:n+1
V=1;
for j=1:n+1
if k~=j
V=conv(V,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));
end
end
L(k,:)=V;
end
C=y*L
在命令窗口中输入以下的命令:
x=[0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0];
y=[1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46];
cc=polyfit(x,y,4);
xx=x(1):0.1:x(length(x));
yy=polyval(cc,xx);
plot(xx,yy,'r');
hold on;
plot(x,y,'x');
xlabel('x');
ylabel('y');
x=[0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0];
y=[0.94 0.58 0.47 0.52 1.00 2.00 2.46]; %y中的值是根据上面两种拟合曲线而得到的估计数据,不是真实数据
[C,L]=lagran(x,y);
xx=0:0.01:1.0;
yy=polyval(C,xx);
hold on
plot(xx,yy,'b',x,y,'.');
第五章 解线性方程组的直接方法
1.用LU 分解及列主元消去法解线性方程组
12341070183 2.09999962 5.9000015151521031x x x x -??????
??????-??????=??????--??????
??????
输出Ax=b 中系数A=LU 分解的矩阵L 及U ,解向量x 及detA ;列主元法的行交换次序,解
向量x 及detA ;比较两种方法所得的结果。 解:程序如下:
clear;
A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2]; B=[8;5.900001;5;1]; [L,U]=lu(A); X=U\(L\B) 输出的结果如下:
求det (A ):
输入:det(A);
输出:
列主元素消去法:程序如下:
function X =Gauss(A, b)
[n, m] = size(A);
X = zeros(n, 1);
temp = zeros(1, m);
temp_b = 0;
i = 1;
for j = 1: (m - 1)
if (A(i, j) ~= 0)
for k = (i + 1):n
if (A(k, j) ~= 0)
temp = A(k, :) + A(i, :) * (-A(k, j) / A(i, j));
temp_b = b(k) + b(i) * (-A(k, j) / A(i, j));
A(k, :) = temp;
b(k) = temp_b;
end
end
end
i = i + 1;
end;
A
b
disp('det(A) is ...');
x = det(A);
disp(x);
disp('cond(A) is ...');
x = cond(A);
disp(x);
X(n) = b(n) / A(n, n);
for i = (n - 1):-1:1
temp_b = 0;
for j = (i + 1):n
temp_b = temp_b + A(i, j) * X(j);
end
X(i) = (b(i) - temp_b) / A(i, i);
end
end
输出结果为:
A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2]
第八章矩阵特征值的计算
1.已知矩阵A=
10787
7565
86109
75910
??
??
??
??
??
??,B=
23456
44567
03678
00289
00010
??
??
??
??
??
??
??
??
,=
11/21/31/41/51/6
1/21/31/41/51/61/7
1/31/41/51/61/71/8
1/41/51/61/71/81/9
1/51/61/71/81/91/10
1/61/71/81/91/101/11
??
??
??
??
??
??
??
??
??
(1)用MATLAB函数“eig”求矩阵全部特征值。
(2)用基本QR算法求全部特征值(可用MATLAB函数“qr”实现矩阵的QR分解)。解:MATLAB程序如下:
求矩阵A的特征值:
clear;
A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];
E=eig(A)
输出结果:
求矩阵B的特征值:
clear;
B=[2 3 4 5 6;4 4 5 6 7;0 3 6 7 8;0 0 2 8 9;0 0 0 1 0];
E=eig(B)
输出结果:
求矩阵的特征值:
clear;
=[1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6; 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7; 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8; 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9;1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10; 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11]; E=eig(
)
输出结果:
(2)A=107
8
77
565861097
5
9
10
第一步:A0=hess(A);[Q0,R0]=qr(A0);A1=R0*Q0 返回得到:
第二部:
[Q1,R1]=qr(A1);A2=R1*Q1
第三部:
[Q2,R2]=qr(A2);A3=R2*Q2
现在收缩,继续对A3的子矩阵=29.8329 3.44110.0000 3.4411 4.30530.1611
00.16110.8516
-
-
进行累世变换,得到(假设收缩后的矩阵为C6)
C6=29.8329 3.44110.0000 3.4411 4.30530.1611
00.16110.8516
-
-
这是进行了6步qr算法所得的结果。故求的A的近似特征值为30.2886,,,0.0102。而A的特征值是
0.0102
30.2886
同理,用类似的方法可求矩阵B 和的特征值,但过程过于繁琐,不再一一求解。
课题一:拉格朗日插值法 1.实验目的 1.学习和掌握拉格朗日插值多项式。 2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。 2.实验过程 作出插值点(1.00,0.00),(-1.00,-3.00),(2.00,4.00)二、算法步骤 已知:某些点的坐标以及点数。 输入:条件点数以及这些点的坐标。 输出:根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。 3.程序流程: (1)输入已知点的个数; (2)分别输入已知点的X坐标; (3)分别输入已知点的Y坐标; 程序如下: #include
插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量,记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:");
scanf("%d",&n); if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); } 举例如下:已知当x=1,-1,2时f(x)=0,-3,4,求f(1.5)的值。
数值分析报告 班级: 专业: 流水号: 学号: 姓名:
常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值状况,估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪,中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后,牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代,插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具,又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础,许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是:假定区间[a,b〕上的实值函数f(x)在该区间上n+1个互不相同点x0,x1……x n处的值是f(x0),……f(x n),要求估算f(x)在[a,b〕中某点的值。其做法是:在事先选定的一个由简单函数构成的有n+1个参数C0, C1,……C n的函数类Φ(C0,C1,……C n)中求出满足条件P(x i)=f(x i)(i=0,1,……n)的函数P(x),并以P(x)作为f(x)的估值。此处f(x)称为被插值函数,x0,x1,……xn 称为插值结(节)点,Φ(C0,C1,……C n)称为插值函数类,上面等式称为插值条件,Φ(C0,……C n)中满足上式的函数称为插值函数,R(x)=f(x)-P(x)称为插值余项。
求解这类问题,它有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值。 一.拉格朗日插值 1.问题提出: 已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x L 上的函数值01,,,n y y y L ,求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明:函数()y f x =可能是未知的;也可能是已知的,但它比较复杂,很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法: 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知(或复杂)函数()y f x =,则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =++++L ,构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a L 。 3.构造()n P x 的依据: 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时,我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件,可以写出非齐次线性方程组: 20102000 20112111 2012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?++++=?++++=?? ? ?++++=?L L L L L 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式: ()20 0021110 2111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏L L M M M M L
数值分析 报告 班级: 专业: 流水号: 学号: 姓名:
常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值状况,估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪,中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后,牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代,插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具,又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础,许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是:假定区间[a,b〕上的实值函数f(x)在该区间上 n+1 个互不相同点x 0,x 1 (x) n 处的值是f(x ),……f(x n ),要求估算f(x)在[a,b〕 中某点的值。其做法是:在事先选定的一个由简单函数构成的有n+1个参数C , C 1,……C n 的函数类Φ(C ,C 1 ,……C n )中求出满足条件P(x i )=f(x i )(i=0,1,…… n)的函数P(x),并以P(x)作为f(x)的估值。此处f(x)称为被插值函数,x 0,x 1 ,……xn 称为插值结(节)点,Φ(C 0,C 1 ,……C n )称为插值函数类,上面等式称为插值条件, Φ(C 0,……C n )中满足上式的函数称为插值函数,R(x)= f(x)-P(x)称为 插值余项。
求解这类问题,它有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值。 一.拉格朗日插值 1.问题提出: 已知函数()y f x =在n+1个点01,, ,n x x x 上的函数值01,, ,n y y y ,求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明:函数()y f x =可能是未知的;也可能是已知的,但它比较复杂,很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法: 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知(或复杂)函数()y f x =,则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =+++ +,构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a 。 3.构造()n P x 的依据: 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时,我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件,可以写出非齐次线性方程组: 20102000 201121112012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?+++ +=?++++=??? ?+++ +=? 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式: () 200021110 2 111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏
第二章插值法 2.在区间[-1,1]上分别取n=10,20用两组等距节点对龙哥函数f(x)=1/(1+25*x^2)做多项式插值及三次样条插值,对每个n值,分别画出插值函数及f(x)的图形。 (1)多项式插值 ①先建立一个多项式插值的M-file; 输入如下的命令(如牛顿插值公式): function [C,D]=newpoly(X,Y) n=length(X); D=zeros(n,n) D(:,1)=Y' for j=2:n for k=j:n D(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1)); end end C=D(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))) m=length(C); C(m)= C(m)+D(k,k); end ②当n=10时,我们在命令窗口中输入以下的命令: clear,clf,hold on; X=-1:0.2:1; Y=1./(1+25*X.^2); [C,D]=newpoly(X,Y); x=-1:0.01:1; y=polyval(C,x); plot(x,y,X,Y,'.'); grid on; xp=-1:0.2:1; z=1./(1+25*xp.^2); plot(xp,z,'r') 得到插值函数和f(x)图形:
③当n=20时,我们在命令窗口中输入以下的命令:clear,clf,hold on; X=-1:0.1:1; Y=1./(1+25*X.^2); [C,D]=newpoly(X,Y); x=-1:0.01:1; y=polyval(C,x); plot(x,y,X,Y,'.'); grid on; xp=-1:0.1:1; z=1./(1+25*xp.^2); plot(xp,z,'r') 得到插值函数和f(x)图形:
《数值分析》课程实验一:插值与拟合 一、实验目的 1. 理解插值的基本原理,掌握多项式插值的概念、存在唯一性; 2. 编写MATLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值,验证Runge 现象; 3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果,理解多项式拟合的基本原理; 4. 编写MATLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。 二、实验内容 1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式,并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。 2. 设 ]5,5[,11 )(2 -∈+= x x x f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。不妨取n = 5和n = 10,编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。 3. 在某冶炼过程中,根据统计数据的含碳量与时间关系如下表,试求含碳量与时间t 的拟合曲线。
(1) 用最小二乘法进行曲线拟合; (2) 编写MATLAB 程序绘制出曲线拟合图。 三、实验步骤 1. (1) Lagrange 插值法:在线性空间P n 中找到满足条件: ?? ?≠===j i j i x l ij j i , 0,, 1)(δ 的一组基函数{}n i i x l 0)(=,l i (x )的表达式为 ∏ ≠==--= n i j j j i j i n i x x x x x l ,0),,1,0()( 有了基函数{}n i i x l 0)(=,n 次插值多项式就可表示为 ∑==n i i i n x l y x L 0)()( (2) Newton 插值法:设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点,y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n ),f (x )在处的n 阶差商定义为 1102110] ,,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --= - 则n 次多项式 ) ())(](,,[) )(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N 差商表的构造过程:
数值分析作业 第二章 1、用Gauss消元法求解下列方程组: 2x 1-x 2 +3x 3 =1, (1) 4x 1+2x 2 +5x 3 =4, x 1+2x 2 =7; (2) 解: A=[2 -1 3 1;4 2 5 4;1 2 0 7] n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1; % 消元过程 for k=1:n-1 for i=k+1:n if abs(A(k,k))>eps A(i,k+1:n+1)= A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); else flag=0; return end end end % 回代过程 if abs(A(n,n))>eps x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); else flag=0; return end for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end return x A = 2 -1 3 1 4 2 5 4 1 2 0 7
x = 9 -1 -6 11x1-3x2-2x3=3, (2)-23x 1+11x 2 +1x 3 =0, x 1+2x 2 +2x 3 =-1; (2) 解: A=[11 -3 -2 3;-23 11 1 0;1 2 2 -1] n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1; % 消元过程 for k=1:n-1 for i=k+1:n if abs(A(k,k))>eps A(i,k+1:n+1)= A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); else flag=0; return end end end % 回代过程 if abs(A(n,n))>eps x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); else flag=0; return end for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end return x A = 11 -3 -2 3 -23 11 1 0 1 2 2 -1 x = 0.2124 0.5492 -1.1554 4、用Cholesky分解法解方程组 3 2 3 x1 5 2 2 0 x2 3 3 0 12 x3 7
4.1 设(0.4)0.38942,(0.5)0.47943,(0.6)0.56464f f f ===,使用一次、二次 Lagrange 插值多项式计算(0.5789)f 的近似值. 解:(0.4)0.38942,(0.5)0.47943,(0.6)0.56464f f f === 一次Lagrange 插值多项式公式 05338.08521.06 .05.06 .0)5.0(5.06.05.0) 6.0()(1+=--+--=x x f x f x P 故 546669.005338.057891.08521.0)57891 .0(1≈+?=P . 二次Lagrange 插值多项式公式: ) 5.04.0)( 6.04.0() 5.0)( 6.0() 4.0()4.0 5.0)( 6.05.0()4.0)(6.0()5.0()4.06.0)(5.06.0()4.0)(5.0() 6.0()(2----+----+----=x x f x x f x x f x P 即 01862.01161.124.0)(22-+-=x x x P 故 5470686 .001862.057891.01161.157891.024.0)57891.0(2 2=-?+?-=P 4.2 设01(),(), ,()n l x l x l x 是以为节点的01,,,n x x x 的n 次Lagrange 插值基函数,试 证明; (),0,1, ,n j j k k k x l x x j n ===∑ 证:假设在对应于01,,,n x x x 节点的函数值为,...)1,0(=i y i ,则应有: ),...,1,0()()(1 n i x l y x P n i i i ==∑= 取n j x y j i i ,...,1,0,==,由插值条件有: j i i j x y x P ==)( 故0 ()n j j i i i i x x l x ==∑,即0 ()n j j k k i x x l x ==∑