插值函数

实验四：三大插值法的建立和相关题目的验证

实验目的：掌握Lagrange插值、Newton插值及Hermite插值方法，编写程序求Lagrange插值、Newton插值多项式以及Hermite插值多项式。

与插值有关的MATLAB 函数

(一) POLY2SYM函数

调用格式一：poly2sym (C)

调用格式二：f1=poly2sym(C,'V') 或f2=poly2sym(C, sym ('V') ),

poly2sym([2 3 4],'t')

ans =

2*t^2+3*t+4 就是把系数数组转换为多项式。

(二) POLYVAL函数

调用格式：Y = polyval(P,X)

y0=polyval(p,x0)

可求得多项式在x0处的值y0

(三) POLY函数

调用格式：Y = poly (V)

poly([0.9 0.9 -0.9])为求根为0.9 0.9 -0.9的三次多项式的系数，当V 是一个N*N矩阵式，poly(V)命令求出V的特征多项式

(四) CONV函数

调用格式：C =conv (A, B)

返回多项式函数A,B的乘积，c是系数

(五) DECONV 函数

调用格式：[Q,R] =deconv (B,A)

deconv可以看成是相除得到的系数。q为系数，r为余数。

(六) roots(p)命令

调用格式：roots(p)返回多项式函数的所有复数根

1.拉格朗日插值及其误差估计的MATLAB 主程序

function [y,R]=lagranzi(X,Y,x,M)

n=length(X); m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);s=0.0;

for k=1:n

p=1.0; q1=1.0; c1=1.0;

for j=1:n

if j~=k

p=p*(z-X(j))/(X(k)-X(j));

end

q1=abs(q1*(z-X(j)));c1=c1*j;

end

s=p*Y(k)+s;

end

y(i)=s;

end

R=M*q1/c1;

例3 已知5.030sin = ，1707.045sin = ，0866.060sin = ，用拉格朗日插值

及其误差估计的MATLAB 主程序求

40sin 的近似值，并估计其误差.

解 输入MATLAB 程序

>> x=2*pi/9;M=1; X=[pi/6 ,pi/4, pi/3];

Y=[0.5,0.7071,0.8660]; [y,R]= newcz(X,Y,x,M)

2.牛顿插值及其误差估计的MATLAB 主程序

function [y,R]= newcz(X,Y,x,M)

n=length(X); m=length(x);

for t=1:m

z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';

s=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0;

for j=2:n

for i=j:n

A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end

q1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j;

end

C=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n)));

for k=(n-1):-1:1

C=conv(C,poly(X(k)));d=length(C); C(d)=C(d)+A(k,k); end

y(k)= polyval(C, z);

end

R=M*q1/c1;

例4 已知5.030sin =

，1707.045sin = ，0866.060sin = ，用牛顿插值法求 40sin 的近似值，估计其误差，并与例3的计算结果比较.

解 输入MATLAB 程序

>> x=2*pi/9;M=1; X=[pi/6 ,pi/4, pi/3];

Y=[0.5,0.7071,0.8660]; [y,R]= newcz(X,Y,x,M)

3.求埃尔米特插值多项式和误差公式的MATLAB 主程序 function [Hc, Hk,wcgs,Cw]= hermite (X,Y,Y1)

m=length(X); n=M1;s=0; H=0;q=1;c1=1; L=ones(m,m); G=ones(1,m);

for k=1:n+1

V=1;

for i=1:n+1

if k~=i

s=s+(1/(X(k)-X(i)));

V=conv(V,poly(X(i)))/(X(k)-X(i));

end

h=poly(X(k)); g=(1-2*h*s); G=g*Y(k)+h*Y1(k); end

H=H+conv(G,conv(V,V)); b=poly(X(k));b2=conv(b,b); q=conv(q,b2); t=2*n+2;

Hc=H;Hk=poly2sym (H); Q=poly2sym(q);

end

for i=1:t

c1=c1*i;

end

syms M,wcgs=M*Q/c1; Cw=q/c1;

例5 给定函数)(x f 在点2/,4/,6/210π=π=π=x x x 处的函数值5.0)(0=x f , 1707.0)(1=x f ，1)(2=x f 和导数值0866.0)(0'=x f ，1707.0)(1'=x f ，0000.0)(0'=x f ，且1)()6(≤x f ，求函数)(x f 在点210,,x x x 处的五阶埃尔米特插值多项式)(5x H 和误差公

式，计算)1.567

(f 并估计其误差. 解 （1）保存名为hermite.m 的M 文件.

（2）在MATLAB 工作窗口输入程序

>>X=[pi/6,pi/4,pi/2]; Y=[0.5,0.7071,1];

Y1=[0.8660,0.7071,0]; [Hc, Hk,wcgs,Cw]= hermite (X,Y,Y1) 运行后输出五阶埃尔米特插值多项式H k 及其系数向量H c ，误差公式wcgs 及其系数向量C w

样条插值函数与应用

样条插值函数及应用

摘要 样条函数具有广泛的应用，是现代函数论的一个十分活跃的分支，是计算方法的主要基础和工具之一，由于生产和科学技术向前发展的推动以及电子计算机广泛应用的需要，人们便更多地应用这个工具，也更深刻的认识了它的本质。 在实际问题中所遇到许多函数往往很复杂，有些甚至是很难找到解析表达式的。根据函数已有的数据来计算函数在一些新的点处的函数值，就是插值法所需要解决的问题。 插值法是数值逼近的重要方法之一，它是根据给定的自变量值和函数值,求取未知函数的近似值。早在一千多年前,我国科学家就在研究历法时就用到了线性插值和二次插值。而在实际问题中,有许多插值函数的曲线要求具有较高的光滑性,在整个曲线中,曲线不但不能有拐点,而且曲率也不能有突变。因此，对于插值函数必须二次连续可微且不变号 ,这就需要用到三次样条插值。 关键词三次样条函数；插值法

目录 引言 0 第一章三次样条插值 (1) 1.1 样条插值函数简介 (1) 1.2 三次样条函数应用 (2) 第二章AMCM91A 估计水塔水流量 (4) 2.1 理论分析及计算 (5) 2.2运用MATLAB软件计算 (8) 参考文献 (13)

引言 样条函数具有广泛的应用，是现代函数论的一个十分活跃的分支，是计算方法的主要基础和工具之一，由于生产和科学技术向前发展的推动以及电子计算机广泛应用的需要，人们便更多地应用这个工具，也更深刻的认识了它的本质。上世纪四十年代，在研究数据处理的问题中引出了样条函数，例如，在1946年Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数，直到五十年代，还多应用于统计数据的处理方面，从六十年代起，在航空、造船、汽车等行业中，开始大量采用样条函数。 在我国，从六十年代末开始，从船体数学放样到飞机外形设计，逐渐出现了一个使用样，逐渐出现了一个使用样条函数的热潮，并推广到数据处理的许多问题中。 在实际生活中有许多计算问题对插值函数的光滑性有较高的要求，例如飞机机翼外形、发动机进、排气口都要求有连续的二阶导数，用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑度，而且当节点逐渐加密时其函数值整体上能很好地逼近被插函数，相应的导数值也收敛于被插函数的导数值，不会发生“龙格现象”。 现在国内外学者对这方面的研究也越来越重视，根据我们的需要来解决不同的问题，而且函数的形式也在不断地改进，长期以来很多学者致力于样条插值的研究，对三次样条的研究已相当成熟。

Lagrange插值基函数构造插值多项式

数学与软件科学学院实验报告 学期：至第学期年月日 课程名称:___计算机数值方法___ 专业: 级班 实验编号：1 实验项目一次、二次Lagrange 插值多项式指导教师__张莉_ 姓名：学号：实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的：体会使用Lagrange插值基函数构造插值多项式的特点，熟悉使用一次或二次Lagrange插值多项式近似函数y=f(x)的算法。掌握Lagrange插值多项式近似函数f(x)的误差表达式，并会熟练应用。 实验要求： 1. 给出一次、二次Lagrange插值算法 2. 用C语言实现算法 3. 给出误差分析。 二、实验内容 用下列插值节点数据，构造一次和二次Lagrange插值多项式，并计 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页) 步骤一：用为代码描述lagrange插值多项式的算法 Step 1:输入：插值节点控制数n，插值点序列（xi,yi）,i=0,1,…n,要计算的函数点x. Step 2: for j=0 to n { { for j=0 to n 对于给定的x,计算lagrange基函数li(x) 然后求tmp=tmp*（x-xj）/(xi-xj); } fx=fx+tmp*yi; } Step 3:输出结果。 步骤二：编辑程序如下：

#include #define MAX_N 3 // 定义点的最大维数 typedef struct tagPOINT /*the structer of point */ { double x; double y; }POINT; //点的结构 int main() { int n,i,j; POINT points[MAX_N+1]; double tmp=1.0; double x; double lagrange=0.0; clrscr(); printf("\nInput n value :"); /*the number of the points inserted*/ scanf("%d",&n); //输入被插值点的个数 if(n>MAX_N) { printf("The input n is larger than MAX_N,please redefine the MAX_N.\n"); return 1; } if(n<=0) { printf("Please input a number between 1 and %d.\n",MAX_N); } printf("Now input the (x_i,y_i),i=0,...%d:\n",n); for(i=0;i<=n;i++) scanf("%lf %lf",&points[i].x,&points[i].y); //输入被插值点 printf("Now input the x value:"); /*the value of x*/ scanf("%lf",&x); //输入待求的点的第一个分量 for(i=0;i<=n;i++) { for(j=0;j<=n && j!=i;j++) tmp*=(x-points[j].x)/(points[i].x-points[j].x); lagrange+=tmp*points[i].y; } //用lagrange来求多项式 printf("the results is %lf",lagrange);

对样条函数及其插值问题的一点认识

对样条函数及其插值问题的一点认识 样条函数是计算数学以及计算机辅助设计几何设计的重要工具。1946年，I. J. Schoenberg 著名的关于一元样条函数的奠定性论文“Contribution to the problem of application of equidistant data by analytic functions ”发表，建立了一元样条函数的理论基础。自此以后，关于样条函数的研究工作逐渐深入。随着电子计算机技术的不断进步，样条函数的理论以及应用研究得到迅速的发展和广泛的应用。经过数学工作者的努力，已经形成了较为系统的理论体系。 所谓（多项式）样条函数，乃指具有一定光滑性的分段（分片）多项式。一元n 次且n －1阶连续可微的样条函数具有如下的表示式： 1()()()()N n n j j j s x p x c x x x +==+--∞<<+∞∑[] 011,00,01,,...,,(1),...,(),,...,,n n n n N n N N u un u u u u x x x x x S x x x x ++++ +≥??=??

五种插值法的对比研究---开题报告

五种插值法的对比研究 1. 选题依据 1.1 选题背景 插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。据考证，在公元六世纪时， 我国焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时，Newton 和 Gregory(格雷格里) 建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，Lagrange(拉格朗日) 给出了更一般的非等距节点插值公式。 而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机工程中。许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。 1.2 研究的目的和意义 插值法是数值分析中最基本的方法之一。 在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时， 要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值， 按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。 在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。在数值计算方法中，我们学习过五种基本的插值方法，即Lagrange 插值、Newton 插值、分段线性插值、分段三次Hermite 插值、样条插值函数。所以通过从这五种插值法的基本思想、特征、性质和具体实例入手，探讨五种插值法的优缺点和适用围，让学习者能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。 2. 研究的方法 从具体实例入手并结合Matlab 在科学计算中的优势，通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。 3. 论文结构 3.1 论文的总体结构 第一部分 导言 主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。 第二部分 五种插值法的基本思想、性质及特点 在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。 插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1 个实点0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…,f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1 个 离散数据对0n i i )}y ,{(x i .要估算f(x)在其它点x 处的函数值，最常见的一种办法就是插值， 即寻找一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y(i x )=f(i x )，i=0,1,…,n.，并以y(x)作为f(x)的近似值.其中y(x)称为插值函数，f(x)称为被插函数。

Matlab中插值函数汇总和使用说明.

告: Matlab中插值函数汇总和使用说明收藏 命令1 interp1 功能一维数据插值(表格查找。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x在中间点的数值。其中函数f(x由所给数据决定。x:原始数据点 Y:原始数据点 xi:插值点 Yi:插值点 格式 (1yi = interp1(x,Y,xi 返回插值向量yi,每一元素对应于参量xi,同时由向量x 与Y 的内插值决定。参量x 指定数据Y 的点。 若Y 为一矩阵,则按Y 的每列计算。yi 是阶数为length(xi*size(Y,2的输出矩阵。 (2yi = interp1(Y,xi 假定x=1:N,其中N 为向量Y 的长度,或者为矩阵Y 的行数。 (3yi = interp1(x,Y,xi,method 用指定的算法计算插值: ’nearest’:最近邻点插值,直接完成计算; ’linear’:线性插值(缺省方式,直接完成计算;

’spline’:三次样条函数插值。对于该方法,命令interp1 调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函 数。命令spline 用它们执行三次样条函数插值; ’pchip’:分段三次Hermite 插值。对于该方法,命令interp1 调用函数p chip,用于对向量x 与y 执行分段三次内插值。该方法保留单调性与数据的外形; ’cubic’:与’pchip’操作相同; ’v5cubic’:在MATLAB 5.0 中的三次插值。 对于超出x 范围的xi 的分量,使用方法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法,相应地将返回NaN。对其他的方法,interp1 将对超出的分量执行外插值算法。 (4yi = interp1(x,Y,xi,method,'extrap' 对于超出x 范围的xi 中的分量将执行特殊的外插值法extrap。 (5yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval 确定超出x 范围的xi 中的分量的外插值extrapval,其值通常取NaN 或0。 例1 1.>>x = 0:10; y = x.*sin(x; 2.>>xx = 0:.25:10; yy = interp1(x,y,xx; 3.>>plot(x,y,'kd',xx,yy 复制代码 例2 1.>> year = 1900:10:2010;

三次样条插值方法的应用

CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告

三次样条插值方法的应用 一、问题背景 分段低次插值函数往往具有很好的收敛性，计算过程简单，稳定性好，并且易于在在电子计算机上实现，但其光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线船体放样等型值线往往要求具有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（即所谓的样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让他自由弯曲，然后沿木条画下曲线，称为样条曲线。样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数及其应用。 二、数学模型 样条函数可以给出光滑的插值曲线（面），因此在数值逼近、常微分方程和偏微分方程的数值解及科学和工程的计算中起着重要的作用。 设区间[]b ,a 上给定有关划分b x x n =<<<= 10x a ，S 为[]b ,a 上满足下面条件的函数。 ● )(b a C S ,2∈； ● S 在每个子区间[]1,+i i x x 上是三次多项式。 则称S 为关于划分的三次样条函数。常用的三次样条函数的边界条件有三种类型： ● Ⅰ型 ()()n n n f x S f x S ''0'',==。 ● Ⅱ型 ()()n n n f x S f x S ''''0'''',==，其特殊情况为()()0''''==n n x S x S 。 ● Ⅲ型 ()() 3,2,1,0,0==j x S x S n j j ，此条件称为周期样条函数。 鉴于Ⅱ型三次样条插值函数在实际应用中的重要地位，在此主要对它进行详细介绍。 三、算法及流程 按照传统的编程方法，可将公式直接转换为MATLAB 可是别的语言即可；另一种是运用矩阵运算，发挥MATLAB 在矩阵运算上的优势。两种方法都可以方便地得到结果。方法二更直观，但计算系数时要特别注意。这里计算的是方法一的程序，采用的是Ⅱ型边界条件，取名为spline2.m 。 Matlab 代码如下： function s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x) %s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x) %x0,y0 are existed points,x are insert points,y21,y2n are the second

三次样条插值作业题

例1 设)(x f 为定义在[0,3]上的函数，有下列函数值表： 且2.0)('0=x f ，1)('3-=x f ，试求区间[0,3]上满足上述条件的三次样条插值函数)(x s 本算法求解出的三次样条插值函数将写成三弯矩方程的形式： ) ()6()() 6()(6)(6)(211123 13 1j j j j j j j j j j j j j j j j x x h h M y x x h h M y x x h M x x h M x s -- + -- + -+ -= +++++其中，方程中的系数 j j h M 6， j j h M 61+，j j j j h h M y )6(2- ， j j j j h h M y ) 6(211++- 将由Matlab 代码中的变量Coefs_1、Coefs_2、Coefs_3以及Coefs_4的值求出。 以下为Matlab 代码： %============================= % 本段代码解决作业题的例1 %============================= clear all clc % 自变量x 与因变量y ，两个边界条件的取值 IndVar = [0, 1, 2, 3]; DepVar = [0, 0.5, 2, 1.5]; LeftBoun = 0.2; RightBoun = -1; % 区间长度向量，其各元素为自变量各段的长度 h = zeros(1, length(IndVar) - 1); for i = 1 : length(IndVar) - 1 h(i) = IndVar(i + 1) - IndVar(i); end % 为向量μ赋值

关于三次样条插值函数的学习报告(研究生)资料

学习报告—— 三次样条函数插值问题的讨论 班级：数学二班 学号：152111033 姓名：刘楠楠

样条函数： 由一些按照某种光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数；最常用的样条函数为三次样条函数，即由三次多项式组成，满足处处有二阶连续导数。 一、三次样条函数的定义： 对插值区间[,]a b 进行划分，设节点011n n a x x x x b -=<< <<=，若 函数2()[,]s x c a b ∈在每个小区间1[,]i i x x +上是三次多项式，则称其为三次样条函数。如果同时满足()()i i s x f x = (0,1,2)i n =，则称()s x 为()f x 在 [,]a b 上的三次样条函数。 二、三次样条函数的确定： 由定义可设：101212 1(),[,] (),[,]()(),[,] n n n s x x x x s x x x x s x s x x x x -∈??∈?=???∈?其中()k s x 为1[,]k k x x -上的三次 多项式，且满足11(),()k k k k k k s x y s x y --== (1,2,,k n = 由2()[,]s x C a b ∈可得：''''''()(),()(),k k k k s x s x s x s x -+-+== 有''1()(),k k k k s x s x -++= ''''1()(),(1 ,2,,1)k k k k s x s x k n -+ +==-， 已知每个()k s x 均为三次多项式，有四个待定系数，所以共有4n 个待定系数，需要4n 个方程才能求解。前面已经得到22(1)42n n n +-=-个方程，因此要唯一确定三次插值函数，还要附加2个条件，一般上，实际问题通常对样条函数在端点处的状态有要求，即所谓的边界条件。 1、第一类边界条件：给定函数在端点处的一阶导数，即 ''''00(),()n n s x f s x f == 2、第二类边界条件：给定函数在端点处的二阶导数，即

函数的插值方法及matlab程序

6.1 插值问题及其误差 6.1.2 与插值有关的MATLAB 函数 (一) POLY2SYM函数 调用格式一：poly2sym (C) 调用格式二：f1=poly2sym(C,'V') 或f2=poly2sym(C, sym ('V') ), (二) POLYVAL函数 调用格式：Y = polyval(P,X) (三) POLY函数 调用格式：Y = poly (V) (四) CONV函数 调用格式：C =conv (A, B) 例 6.1.2求三个一次多项式、和的积.它们的零点分别依次为0.4,0.8,1.2. 解我们可以用两种MATLAB程序求之. 方法1如输入MATLAB程序 >> X1=[0.4,0.8,1.2]; l1=poly(X1), L1=poly2sym (l1) 运行后输出结果为 l1 = 1.0000 - 2.4000 1.7600 -0.3840 L1 = x^3-12/5*x^2+44/25*x-48/125 方法2如输入MATLAB程序 >> P1=poly(0.4);P2=poly(0.8);P3=poly(1.2); C =conv (conv (P1, P2), P3) , L1=poly2sym (C) 运行后输出的结果与方法1相同. (五) DECONV 函数 调用格式：[Q,R] =deconv (B,A) (六) roots(poly(1:n))命令 调用格式：roots(poly(1:n)) (七) det(a*eye(size (A)) - A)命令 调用格式：b=det(a*ey e(size (A)) - A) 6.2 拉格朗日（Lagrange）插值及其MATLAB程序 6.2.1 线性插值及其MATLAB程序 例 6.2.1 已知函数在上具有二阶连续导数，，且满足条件 .求线性插值多项式和函数值，并估计其误差. 解输入程序 >> X=[1,3];Y=[1,2]; l01= poly(X(2))/( X(1)- X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2)- X(1)), l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=1.5; Y = polyval(P,x) 运行后输出基函数l0和l1及其插值多项式的系数向量P（略）、插值多项式L和插值Y为l0 = l1 = L = Y = -1/2*x+3/2 1/2*x-1/2 1/2*x+1/2 1.2500 输入程序 >> M=5;R1=M*abs((x-X(1))* (x-X(2)))/2

数值分析作业-三次样条插值

数值计算方法作业 实验4.3 三次样条差值函数 实验目的： 掌握三次样条插值函数的三弯矩方法。 实验函数: dt e x f x t ? ∞ -- = 2 221)(π 实验内容： （1） 编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件； （2） 计算各插值节点的弯矩值； （3） 在同一坐标系中绘制函数f(x)，插值多项式，三次样条插值多项式的曲线 比较插值结果。 实验4.5 三次样条差值函数的收敛性 实验目的： 多项式插值不一定是收敛的，即插值的节点多，效果不一定好。对三次样条插值函数如何呢？理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，通过本实验可以证明这一理论结果。 实验内容： 按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。 实验要求： （1） 随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情 况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较； （2） 三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考

虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线，其中一 算法描述： 拉格朗日插值： 错误!未找到引用源。 其中错误!未找到引用源。是拉格朗日基函数，其表达式为：() ∏ ≠=--=n i j j j i j i x x x x x l 0) ()( 牛顿插值： ) )...()(](,...,,[.... ))(0](,,[)0](,[)()(1102101210100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N 其中????? ?? ?? ?????? --=--= --= -)/(]),...,[],...,[(]...,[..],[],[],,[)()(],[01102110x x x x x f x x x f x x x f x x x x f x x f x x x f x x x f x f x x f n n n n i k j i k j k j i j i j i j i 三样条插值： 所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数，它在节点Xi(a

三次样条插值自然边界条件

例：已知一组数据点，编写一程序求解三次样条插值函数满足 并针对下面一组具体实验数据 0.25 0.3 0.39 0.45 0.53 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 求解，其中边界条件为. 1）三次样条插值自然边界条件源程序： function s=spline3(x,y,dy1,dyn) %x为节点，y为节点函数值，dy1，dyn分别为x=0.25,0.53处的二阶导 m=length(x);n=length(y); if m~=n error('x or y输入有误') return end h=zeros(1,n-1); h(n-1)=x(n)-x(n-1); for k=1:n-2 h(k)=x(k+1)-x(k); v(k)=h(k+1)/(h(k+1)+h(k)); u(k)=1-v(k); end g(1)=3*(y(2)-y(1))/h(1)-h(1)/2*dy1; g(n)=3*(y(n)-y(n-1))/h(n-1)+h(n-1)/2*dyn; for i=2:n-1 g(i)=3*(u(i-1)*(y(i+1)-y(i))/h(i)+v(i-1)*(y(i)-y(i-1))/h(i-1)); end for i=2:n-1; A(i,i-1)=v(i-1); A(i,i+1)=u(i-1); end A(n,n-1)=1; A(1,2)=1; A=A+2*eye(n); M=zhuigf(A,g); %调用函数，追赶法求M fprintf('三次样条（三对角）插值的函数表达式\n'); syms X;

for k=1:n-1 fprintf('S%d--%d:\n',k,k+1); s(k)=(h(k)+2*(X-x(k)))./h(k).^3.*(X-x(k+1)).^2.*y(k)... +(h(k)-2*(X-x(k+1)))./h(k).^3.*(X-x(k)).^2.*y(k+1)... +(X-x(k)).*(X-x(k+1)).^2./h(k).^2*M(k)+(X-x(k+1)).*... (X-x(k)).^2./h(k).^2*M(k+1); end s=s.'; s=vpa(s,4); %画三次样条插值函数图像 for i=1:n-1 X=x(i):0.01:x(i+1); st=(h(i)+2*(X-x(i)))./(h(i)^3).*(X-x(i+1)).^2.*y(i)... +(h(i)-2.*(X-x(i+1)))./(h(i)^3).*(X-x(i)).^2.*y(i+1)... +(X-x(i)).*(X-x(i+1)).^2./h(i)^2*M(i)+(X-x(i+1)).*... (X-x(i)).^2./h(i)^2*M(i+1); plot(x,y,'o',X,st); hold on End plot(x,y); grid on %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %调用的函数： %追赶法 function M=zhuigf(A,g) n=length(A); L=eye(n); U=zeros(n); for i=1:n-1 U(i,i+1)=A(i,i+1); end U(1,1)=A(1,1); for i=2:n L(i,i-1)=A(i,i-1)/U(i-1,i-1); U(i,i)=A(i,i)-L(i,i-1)*A(i-1,i); end Y(1)=g(1); for i=2:n Y(i)=g(i)-L(i,i-1)*Y(i-1); end M(n)=Y(n)/U(n,n); for i=n-1:-1:1 M(i)=(Y(i)-A(i,i+1)*M(i+1))/U(i,i);

Matlab中插值函数汇总和使用说明

告： Matlab中插值函数汇总和使用说明收藏 命令1 interp1 功能一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。x：原始数据点 Y：原始数据点 xi：插值点 Yi：插值点 格式 (1)yi = interp1(x,Y,xi) 返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y 的内插值决定。参量x 指定数据Y 的点。 若Y 为一矩阵，则按Y 的每列计算。yi 是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。 (2)yi = interp1(Y,xi) 假定x=1:N，其中N 为向量Y 的长度，或者为矩阵Y 的行数。 (3)yi = interp1(x,Y,xi,method) 用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ’spline’：三次样条函数插值。对于该方法，命令interp1 调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函

数。命令spline 用它们执行三次样条函数插值； ’pchip’：分段三次Hermite 插值。对于该方法，命令interp1 调用函数p chip，用于对向量x 与y 执行分段三次内插值。该方法保留单调性与数据的外形； ’cubic’：与’pchip’操作相同； ’v5cubic’：在MATLAB 5.0 中的三次插值。 对于超出x 范围的xi 的分量，使用方法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法，相应地将返回NaN。对其他的方法，interp1 将对超出的分量执行外插值算法。 (4)yi = interp1(x,Y,xi,method,'extrap') 对于超出x 范围的xi 中的分量将执行特殊的外插值法extrap。 (5)yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval) 确定超出x 范围的xi 中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN 或0。 例1 1.>>x = 0:10; y = x.*sin(x); 2.>>xx = 0:.25:10; yy = interp1(x,y,xx); 3.>>plot(x,y,'kd',xx,yy) 复制代码 例2 1.>> year = 1900:10:2010; 2.>> product = [75.995 91.972 105.711 12 3.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505

三次样条插值函数matlab程序绝不坑爹

x0=[0 0.9211 1.8431 2.9497 3.8714 4.9781 5.9 7.0064 7.9286 8.9678 10.9542 12.0328 12.9544 13.8758 14.9822 15.9039 16.8261 17.9317 19.0375 19.9594 20.8392 22.9581 23.88 24.9869 25.9083]; >> >> y0=[14405 11180 10063 11012 8797 9992 8124 10160 8488 11018 19469 20196 18941 15903 18055 15646 13741 14962 16653 14496 14648 15225 15264 13708 9633]; >> x=0:0.1:25.9; >> y1=interp1(x0,y0,x,'spline'); >> pp1=csape(x0,y0); %样条插值工具箱函数 y2=ppval(pp1,x); %计算x对应的y值 pp2=csape(x0,y0,'second'); y3=ppval(pp2,x); xydata=[x',y1',y2',y3'] subplot(1,2,1) plot(x0,y0,'+',x,y1) title('Spline1') subplot(1,2,2) plot(x0,y0,'+',x,y2) title('Spline2') dx=diff(x); dy=diff(y2); dy_dx=dy./dx; dy_dx0=dy_dx(1) ytemp=y2(13<=x&x<=15); ymin=min(ytemp); xmin=x(y2==ymin); xymin_1315=[xmin,ymin]

插值法原理

附:插值法原理 我们知道化学工程中用来描述客观现象的函数f(x)往往是很复杂的，通过实验可以得到的一系列离散点xi及其相应的函数值yi,而xi和yi之间有时不能表达成一个适宜的数学关系式。这种情况下，可以用表格来反应xi和yi之间的关系。但表格法不便于分析其性质和变化规律，不能连续表达变量之间的关系，特别是不能直接读取表中数据点之间的数据。例如水的物理性质（黏度、密度、焓、比热容、热导率、动力黏度、运动黏度等）是在化工过程研究与计算中常用的参数，教科书或手册上往往只给出每隔10℃的相关物理性质数据，而实际应用中常常需要知道任意给定点处的函数值，或者利用已知的测试值来推算非测试点上的函数值，这就需要通过函数插值法来解决。 插值法的基本思想就是构造一个简单函数y = P(x)作为f(x)的近似表达式，以P(x)的值作为函数f(x)的近似值，而且要求P(x)在给定点xi与取值相同，即P(xi) = f(xi)通常称P(x)为f(x)的插值函数，xi称为插值节点。插值的方法很多，这里介绍一元线性插值和二次插值。 1．一元线性插值 已知函数y = f(x)，在x0，x1上的值为y0，y1，如何构造一个插值函数y =P(x)，使之满足P(x0) = y0，P(x1) = y1，从而使得函数P(x)可以近似地代替f(x)的数据。 一元线性插值法是最简单的插值方法，即该插值函数P(x)是通过A(x0,y0) 与B(x1,y 1)两点的一条直线，以此来近似地表示函数f(x)，此直线的方程为 y = P1(x) = y0+ (1) 式(1)中P1(x)是x的一次多项式，即一次函数，这种插值称为线性插值。 将上式整理，可以改写为

三次样条插值函数

一．介绍

二．程序框图 开始 输入未知数X及 (xi,yi),i=0,1,…,n 计算步长H[i] 计算λ、μ、d 根据边界条件，求 解相应的方程得到 M1,…, Mn 将M代入原方程， 得到分段函数 结束

三．源码 syms h n=9;%插入节点数，可以根据题目更改 h=2/(n+1); u=0.5; v=0.5; f=inline('1/(1+25*x.^2)');%输入函数，这个也可以根据题目更改g=inline('3/h*((c-b)/h-(b-a)/h)','a','b','c','h'); for i=1:n+2 x(1)=-1; x(i+1)=x(i)+2/(n+1); y(i)=f(x(i)); end for i=1:n d(i)=g(y(i),y(i+1),y(i+2),h); end A=zeros(n,n); for i=1:n A(i,i)=2; end for i=1:n-1 A(i,i+1)=u; A(i+1,i)=v; end B=zeros(n,1); for i=1:n B(i,1)=d(i) end C=inv(A)*B for i=1:n M(i)=C(i,1); end x=(-1:h/50:1); k=1./(1+25*x.^2); cs=spline(x,k); plot(x,k,'r.'); hold on; ezplot('1/(1+25*x^2)',[-1 1]); title('三次样条插值曲线和f(x)曲线') 四．结果

系数矩阵 弯矩M

分段函数不同次幂x对应的系数 三次样条插值函数与原函数

拉格朗日插值公式的证明及其应用讲解

拉格朗日插值公式的证明及其应用 摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估 曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()n k k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的 准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值 １.１. 线性插值的定义 假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =, ()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ． ()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线， 如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即 ()()k k k k k k x x x x y y y x L ---+ =++111 (点斜式)， 图１ ()11111++++--+--= k k k k k k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)． y=L 1x () y=f x () y k+1 y k x k+1 x k o y x

三次样条插值函数的Matlab代码

并针对下面一组具体实验数据 求解，其中边界条件为. 解：Matlab计算程序为： clear clc x=[0.25 0.3 0.39 0.45 0.53] y=[0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280] n=length(x); for i=1:n-1 h(i)=x(i+1)-x(i); end for i=1:n-2 k(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1)); u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1)); end for i=1:n-2 gl(i)=3*(u(i)*(y(i+2)-y(i+1))/h(i+1)+k(i)*(y(i+1)-y(i))/h(i)); end g0=3*(y(2)-y(1))/h(1); g00=3*(y(n)-y(n-1))/h(n-1); g=[g0 gl g00]; g=transpose(g) k1=[k 1]; u1=[1 u]; Q=2*eye(5)+diag(u1,1)+diag(k1,-1) m=transpose(Q\g) syms X; for i=1:n-1 p1(i)=(1+2*(X-x(i))/h(i))*((X-x(i+1))/h(i))^2*y(i); p2(i)=(1-2*(X-x(i+1))/h(i))*((X-x(i))/h(i))^2*y(i+1); p3(i)=(X-x(i))*((X-x(i+1))/h(i))^2*m(i); p4(i)=(X-x(i+1))*((X-x(i))/h(i))^2*m(i+1); p(i)=p1(i)+p2(i)+p3(i)+p4(i); p(i)=simple(p(i)); end s1=p(1) s2=p(2) s3=p(3) s4=p(4) for k=1:4

Lagrange插值基函数构造插值多项式.docx

数学与软件科学学院实验报告 学期?至第学期年月日 课!呈名称：计算机数值务法专业：级班 实验编号：1实验项目一次、二次Lagrange插值多项式指导教师张莉 姓名：学号：实验成绩： 一、实验目的及要求实验目的：体会使用Lagrange插值基函数构造插值多项式的特点，熟悉使用一次或二次Lagrange插值多项式近似函数y=f(x)的算法。掌握Lagrange插值多项式近似函数f(x)的误差表达式，并会熟练应用。 实验要求： 1.给出一次、二次Lagrange插值算法 2?用C语言实现算法 3?给出误差分析。 二、实验内容 用下列插值节点数据，构造一次和二次Lagrange插值多项式，并计算 f(11.5),f(12.5)的值。(f(x)=sinx) 要求：所需数据都从键盘读入，最后输出结果. 三、实验步骤(该部分不够填写?请填写附页) 步骤一：用为代码描述lagrange插值多项式的算法 Step 1:输入：插值节点控制数n,插值点序列(xi,yi) ,i=O,l,...n,要计算的函数点x. Step 2: for j=0 to n { { forj=0 to n对于给定的x,计算lagrangc基函数li(x) 然后求tmp=tmp* (x-xj) /(xi-xj); fx=fx+tmp*yi; Step 3:输111结果。步骤二：编辑程序如下:

# includc #define MAX N 3 // 定义点的最大维数 typedef struct tagPOINT { /*the structer of point */ double x; double y; } POINT; 〃点的结构 int main() { int n,i,j; POINT pointsLMAX_N+lJ; double tmp=1.0; double x; double lagrange=0.0; clrscr(); printf(”\nlnput n value scanf(n%d n,&n); /*the number of the points inserted*/ 〃输入被插值点的个数 if(n>MAX_N) { printf("The i叩ut n is larger than MAX_N,please redefine the MAX_N.\n"); return 1; 1 if(n<=0) { printf("Please i叩ut a number between 1 and %d.\n",MAX_N); } printf("Now input the (x_i,y_i),i=O,...%d:\n",n); fbr(i=O;i<=n ;i++) scanf("%lf %lf',&points[i].x,&points[i].y); 〃输入被插值点 printf("Now input the x value:*'); /*the value of x*/ scanf(“％f,&x); 〃输入待求的点的第一个分量 for(i=0;i<=n;i++) { for(j=0;j<=n && j!=i；j++) tmp*=(x-pointsfj].x)/(points[i].x-points[jl.x); lagrange+=tmp*points[i].y; } 〃用lagrange來求多项式 printf(M the results is %lf',lagrange);