数学与软件科学学院实验报告
学期：至第学期年月日
课程名称:___计算机数值方法___ 专业: 级班
实验编号：1 实验项目一次、二次Lagrange 插值多项式指导教师__张莉_ 姓名：学号：实验成绩：
一、实验目的及要求
实验目的：体会使用Lagrange插值基函数构造插值多项式的特点，熟悉使用一次或二次Lagrange插值多项式近似函数y=f(x)的算法。掌握Lagrange插值多项式近似函数f(x)的误差表达式，并会熟练应用。
实验要求：
1. 给出一次、二次Lagrange插值算法
2. 用C语言实现算法
3. 给出误差分析。
二、实验内容
用下列插值节点数据，构造一次和二次Lagrange插值多项式，并计
三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页)
步骤一：用为代码描述lagrange插值多项式的算法
Step 1:输入：插值节点控制数n，插值点序列（xi,yi）,i=0,1,…n,要计算的函数点x.
Step 2: for j=0 to n
{ { for j=0 to n 对于给定的x,计算lagrange基函数li(x)
然后求tmp=tmp*（x-xj）/(xi-xj);
}
fx=fx+tmp*yi;
}
Step 3:输出结果。
步骤二：编辑程序如下：
#include
#define MAX_N 3 // 定义点的最大维数
typedef struct tagPOINT /*the structer of point */
{
double x;
double y;
}POINT;
//点的结构
int main()
{
int n,i,j;
POINT points[MAX_N+1];
double tmp=1.0;
double x;
double lagrange=0.0;
clrscr();
printf("\nInput n value :"); /*the number of the points inserted*/
scanf("%d",&n); //输入被插值点的个数
if(n>MAX_N)
{
printf("The input n is larger than MAX_N,please redefine the MAX_N.\n");
return 1;
}
if(n<=0)
{
printf("Please input a number between 1 and %d.\n",MAX_N);
}
printf("Now input the (x_i,y_i),i=0,...%d:\n",n);
for(i=0;i<=n;i++)
scanf("%lf %lf",&points[i].x,&points[i].y);
//输入被插值点
printf("Now input the x value:"); /*the value of x*/
scanf("%lf",&x); //输入待求的点的第一个分量
for(i=0;i<=n;i++)
{
for(j=0;j<=n && j!=i;j++)
tmp*=(x-points[j].x)/(points[i].x-points[j].x);
lagrange+=tmp*points[i].y;
} //用lagrange来求多项式
printf("the results is %lf",lagrange);
return 0;
}
实验报告附页
四、实验结果分析与评价(该部分不够填写.请填写附页)
构造lagrange一次插值多项式，求点f(11.5)，选取前两个插值点
构造lagrange一次插值多项式，求点f(12.5)，选取后两个插值点
构造lagrange 二次插值多项式，求点f(11.5)，结果为：
构造lagrange 二次插值多项式，求点f(12.5)，结果为：
误差分析：
当x=11.5时, lagrange一次插值多项式的误差为：
①|R(x)|=|f(2)(a)(x-x0)(x-x1)/2|=|sin(x)(11.5-11)(11.5-12)/2|<=0.125
②当x=12.5时，lagrange一次插值多项式的误差为：
|R（x）|=|f(2)(a)(x-x1)(x-x2)|=|sin(x)(12.5-12)(12.5-13)/2|<=0.125
③当x=11.5时，lagrange二次插值多项式的误差为：
|R(x)|=|f(3)(a)(x-x0)(x-x1)(x-x2)/(3*2)|<=|(11.5-11)(11.5-12)(11.5-13 )/6|=0.0625
④当x=12.5时，lagrange二次插值多项式的误差为：R(x)=
|f(3)(a)(x-x3)(x-x1)(x-x2)/(3*2)|<=|(12.5-12)(12.5-12)(12.5-13)/(3*2) |=0.0625
发现：二次插值的误差要小于一次插值的误差。
注:实验成绩等级分为(90-100分)优,(80-89分)良,(70-79分)中,(60-69分)及格,(59分)不及格
数学与软件科学学院实验报告 学期：至第学期年月日 课程名称:___计算机数值方法___ 专业: 级班 实验编号：1 实验项目一次、二次Lagrange 插值多项式指导教师__张莉_ 姓名：学号：实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的：体会使用Lagrange插值基函数构造插值多项式的特点，熟悉使用一次或二次Lagrange插值多项式近似函数y=f(x)的算法。掌握Lagrange插值多项式近似函数f(x)的误差表达式，并会熟练应用。 实验要求： 1. 给出一次、二次Lagrange插值算法 2. 用C语言实现算法 3. 给出误差分析。 二、实验内容 用下列插值节点数据，构造一次和二次Lagrange插值多项式，并计 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页) 步骤一：用为代码描述lagrange插值多项式的算法 Step 1:输入：插值节点控制数n，插值点序列（xi,yi）,i=0,1,…n,要计算的函数点x. Step 2: for j=0 to n { { for j=0 to n 对于给定的x,计算lagrange基函数li(x) 然后求tmp=tmp*（x-xj）/(xi-xj); } fx=fx+tmp*yi; } Step 3:输出结果。 步骤二：编辑程序如下：
#include
五种插值法的对比研究 1. 选题依据 1.1 选题背景 插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。据考证，在公元六世纪时， 我国焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时，Newton 和 Gregory(格雷格里) 建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，Lagrange(拉格朗日) 给出了更一般的非等距节点插值公式。 而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机工程中。许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。 1.2 研究的目的和意义 插值法是数值分析中最基本的方法之一。 在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时， 要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值， 按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。 在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。在数值计算方法中，我们学习过五种基本的插值方法，即Lagrange 插值、Newton 插值、分段线性插值、分段三次Hermite 插值、样条插值函数。所以通过从这五种插值法的基本思想、特征、性质和具体实例入手，探讨五种插值法的优缺点和适用围，让学习者能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。 2. 研究的方法 从具体实例入手并结合Matlab 在科学计算中的优势，通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。 3. 论文结构 3.1 论文的总体结构 第一部分 导言 主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。 第二部分 五种插值法的基本思想、性质及特点 在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。 插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1 个实点0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…,f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1 个 离散数据对0n i i )}y ,{(x i .要估算f(x)在其它点x 处的函数值，最常见的一种办法就是插值， 即寻找一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y(i x )=f(i x )，i=0,1,…,n.，并以y(x)作为f(x)的近似值.其中y(x)称为插值函数，f(x)称为被插函数。
6.1 插值问题及其误差 6.1.2 与插值有关的MATLAB 函数 (一) POLY2SYM函数 调用格式一：poly2sym (C) 调用格式二：f1=poly2sym(C,'V') 或f2=poly2sym(C, sym ('V') ), (二) POLYVAL函数 调用格式：Y = polyval(P,X) (三) POLY函数 调用格式：Y = poly (V) (四) CONV函数 调用格式：C =conv (A, B) 例 6.1.2求三个一次多项式、和的积.它们的零点分别依次为0.4,0.8,1.2. 解我们可以用两种MATLAB程序求之. 方法1如输入MATLAB程序 >> X1=[0.4,0.8,1.2]; l1=poly(X1), L1=poly2sym (l1) 运行后输出结果为 l1 = 1.0000 - 2.4000 1.7600 -0.3840 L1 = x^3-12/5*x^2+44/25*x-48/125 方法2如输入MATLAB程序 >> P1=poly(0.4);P2=poly(0.8);P3=poly(1.2); C =conv (conv (P1, P2), P3) , L1=poly2sym (C) 运行后输出的结果与方法1相同. (五) DECONV 函数 调用格式：[Q,R] =deconv (B,A) (六) roots(poly(1:n))命令 调用格式：roots(poly(1:n)) (七) det(a*eye(size (A)) - A)命令 调用格式：b=det(a*ey e(size (A)) - A) 6.2 拉格朗日（Lagrange）插值及其MATLAB程序 6.2.1 线性插值及其MATLAB程序 例 6.2.1 已知函数在上具有二阶连续导数，，且满足条件 .求线性插值多项式和函数值，并估计其误差. 解输入程序 >> X=[1,3];Y=[1,2]; l01= poly(X(2))/( X(1)- X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2)- X(1)), l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=1.5; Y = polyval(P,x) 运行后输出基函数l0和l1及其插值多项式的系数向量P（略）、插值多项式L和插值Y为l0 = l1 = L = Y = -1/2*x+3/2 1/2*x-1/2 1/2*x+1/2 1.2500 输入程序 >> M=5;R1=M*abs((x-X(1))* (x-X(2)))/2
附:插值法原理 我们知道化学工程中用来描述客观现象的函数f(x)往往是很复杂的，通过实验可以得到的一系列离散点xi及其相应的函数值yi,而xi和yi之间有时不能表达成一个适宜的数学关系式。这种情况下，可以用表格来反应xi和yi之间的关系。但表格法不便于分析其性质和变化规律，不能连续表达变量之间的关系，特别是不能直接读取表中数据点之间的数据。例如水的物理性质（黏度、密度、焓、比热容、热导率、动力黏度、运动黏度等）是在化工过程研究与计算中常用的参数，教科书或手册上往往只给出每隔10℃的相关物理性质数据，而实际应用中常常需要知道任意给定点处的函数值，或者利用已知的测试值来推算非测试点上的函数值，这就需要通过函数插值法来解决。 插值法的基本思想就是构造一个简单函数y = P(x)作为f(x)的近似表达式，以P(x)的值作为函数f(x)的近似值，而且要求P(x)在给定点xi与取值相同，即P(xi) = f(xi)通常称P(x)为f(x)的插值函数，xi称为插值节点。插值的方法很多，这里介绍一元线性插值和二次插值。 1．一元线性插值 已知函数y = f(x)，在x0，x1上的值为y0，y1，如何构造一个插值函数y =P(x)，使之满足P(x0) = y0，P(x1) = y1，从而使得函数P(x)可以近似地代替f(x)的数据。 一元线性插值法是最简单的插值方法，即该插值函数P(x)是通过A(x0,y0) 与B(x1,y 1)两点的一条直线，以此来近似地表示函数f(x)，此直线的方程为 y = P1(x) = y0+ (1) 式(1)中P1(x)是x的一次多项式，即一次函数，这种插值称为线性插值。 将上式整理，可以改写为
拉格朗日插值公式的证明及其应用 摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估 曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()n k k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的 准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值 １.１. 线性插值的定义 假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =, ()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ． ()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线， 如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即 ()()k k k k k k x x x x y y y x L ---+ =++111 (点斜式)， 图１ ()11111++++--+--= k k k k k k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)． y=L 1x () y=f x () y k+1 y k x k+1 x k o y x
数学与软件科学学院实验报告 学期?至第学期年月日 课!呈名称：计算机数值务法专业：级班 实验编号：1实验项目一次、二次Lagrange插值多项式指导教师张莉 姓名：学号：实验成绩： 一、实验目的及要求实验目的：体会使用Lagrange插值基函数构造插值多项式的特点，熟悉使用一次或二次Lagrange插值多项式近似函数y=f(x)的算法。掌握Lagrange插值多项式近似函数f(x)的误差表达式，并会熟练应用。 实验要求： 1.给出一次、二次Lagrange插值算法 2?用C语言实现算法 3?给出误差分析。 二、实验内容 用下列插值节点数据，构造一次和二次Lagrange插值多项式，并计算 f(11.5),f(12.5)的值。(f(x)=sinx) 要求：所需数据都从键盘读入，最后输出结果. 三、实验步骤(该部分不够填写?请填写附页) 步骤一：用为代码描述lagrange插值多项式的算法 Step 1:输入：插值节点控制数n,插值点序列(xi,yi) ,i=O,l,...n,要计算的函数点x. Step 2: for j=0 to n { { forj=0 to n对于给定的x,计算lagrangc基函数li(x) 然后求tmp=tmp* (x-xj) /(xi-xj); fx=fx+tmp*yi; Step 3:输111结果。步骤二：编辑程序如下:
# includc