复变函数论总结

复变函数论总结

摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。

关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换

1引言

《复变函数论主要内容》

第一章复变函数complex function

第二章复变函数的积分complex function integral

第三章幂级数展开power series expansion

第四章留数定理residual theorem

第五章傅立叶变换Fourier integral transformation

第一章复变函数

§1.1 复数及复数的运算

§1.2 复变函数

§1.3导数

§1.4解析函数

§1.1 复数及复数的运算

1．复数的概念

的数被称为复数，其中。

；；ｉ为虚数单位，其意义为

当且仅当时，二者相等

复数与平面向量一一对应

ｚ平面

虚轴ｙ

. （ｘ，ｙ）

ｒ

ｘ实轴

模

幅角(ｋ)

注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义

2．复数的表示代数表示

三角表示

指数表示

一个复数ｚ的共轭复数

注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点

在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义

4．复数的运算

复数的加法法则：

复数与的和定义是

两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律，且

，

当同一方向时等号成立。

复数的减法法则：

且有

复数的乘法法则：

乘法的交换律、结合律与分配律都成立

复数的除法法则：

注意：采用三角式或指数式比较方便。

§1.2复变函数

(一)复变函数的定义

若在复数平面上存在一个点集Ｅ,对于Ｅ的每一点，按照一定的规律，有一个或多个复数值与之相对应，则称的函数—复变函数，ｚ称为的宗量，定义域为Ｅ，记作，ｚＥ

(二)区域的概念

领域：以复数ｚ为圆心，以任意小正数为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为ｚ的领域

内点：若ｚ及其领域均属于点集Ｅ，则称ｚ为该点集的内点

外点：若ｚ及其领域均不属于点集Ｅ，则称ｚ为该点集的外点

境界点：若在ｚ的每个领域内，既有属于Ｅ的点，也有不属于Ｅ的点，则称ｚ为该点集的境界点，它既不是Ｅ的内点，也不是Ｅ的外点，境界点的全体成为境界线

区域是指满足下列两个条件的点集

1.全由内点组成

2.具有连通性，即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线

上的点全部属于改点集

闭区域：区域及其境界线所组成的点集

(三)复变函数例

周期为

周期为

周期为

（ｓ为复数) 周期为

注意：复变函数在点连续的定义是：

当ｚ时，

§1.3 导数

(一)导数的定义

设函数是在区域Ｂ上定义的单值函数，即对于Ｂ上的每一个ｚ值，有且只有一个值与之相对应，若在Ｂ上的基点ｚ，极限

存在，并且与的方式无关，则称函数点可导，复变函数的导数定义，形式上跟实变函数的导数定义一样。

现在让我们比较沿平行于实轴方向逼近零和沿平行于虚轴方向逼近零的两种情形

1.先看沿平行于实轴方向逼近零，这是而，于是

2.再看沿平行于虚轴方向逼近零，这是而，于是

则有，即

这两个方程叫做柯西黎曼方程，是复变函数可导的必要条件

(二)极坐标系中的柯西黎曼方程

§1.4 解析函数

(一)解析函数定义

若函数在点及其领域上处处可导，则称在点解析。又若在区域Ｂ上每一点都解析，则称是区域Ｂ上的解析函数。函数在一点可导与解析是不等价的，但函数若在某一区域Ｂ上解析，意味着函数在区域Ｂ上处处可导，因此函数在某区域上可导与解析是等价的

(二)解析函数性质

1.若函数在区域Ｂ上解析，则

ｕ（ｘ，ｙ) ，ｖ（ｘ，ｙ) 是Ｂ上的两组正交曲线族

2.若函数在区域Ｂ上解析，则ｕ，ｖ均为Ｂ上的调和函数，即

(三)求解析函数的方法

1.曲线积分法：全微分的积分与路径无关，故可选取特殊积分路径

2.凑全微分显示法

3.不定积分法

第二章复变函数的积分

§2.1 复变函数的积分

§2.2 柯西定理

§2.3 不定积分

§2.4 柯西公式

§2.1 复变函数的积分

(一)复变函数路积分定义

复变函数路积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是路积分的实部和虚部

ｕ（ｘ，ｙ)ｄｘ

ｖ（ｘ，ｙ)ｄｘｕ（ｘ，ｙ)ｄｙ

(二)复变函数路积分性质

1.常数因子可以移到积分号外

2.函数的和的积分等于各个函数的积分之和

3.反转积分路径，积分变号

4.全路径上的积分等于各段上积分之和

5.积分的模小于等于模的积分

注意：复变函数的积分值不仅依赖于起点和终点，还与积分路径有关

§2.2 柯西定理

(一)单通区域的情形

所谓单通区域是这样的区域，在其中做任何简单的闭合围线，围线内的店都是属于该区域内的点

单通区域柯西定理：如果函数在闭单通区域上解析，则沿上任意分段光滑闭合曲线ｌ，有

(二)复通区域的情形

在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属于该区域的点，这样的区域便称为复通区域，对于区域的境界线，外境界线是逆时针方向为正，内境界线是顺时针方向为正

复通区域柯西定理：如果是闭复通区域上的单值解析函数，则

，

式中为区域外境界线，诸为区域内境界线，积分均沿境界线正方向进行

(三)总结柯西定理

1.闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零

2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零

3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界

线逆时针方向积分之和

§2.3 不定积分

当积分起点固定时，这个不定积分就定义了一个单值函数，记作

就是说路积分的值等于原函数的改变量

注意：须记住下面重要结果

的结果是

§2.4 柯西公式

(一)单通区域柯西公式：

设在单通区域D内解析，为D的内点，则D的边界线，又可写为(二)复通区域的柯西公式:

设在复通区域D内解析，为D的内点，则

（积分沿的边界线１的正方向）

第三章幂级数展开

§3.1 复数项级数

§3.2 幂级数

§3.3 泰勒级数展开

§3.4 解析延拓

§3.5洛朗级数展开

§3.6 孤立奇点的分类

§3.1 复数项级数

(一)定义：

设有复数项的无穷级数

，

它的每一项都可分为实部和虚部，那么，

从而

，

这样复数项无穷级数的收敛性问题就归结为两个实数项级数的收敛问题，柯西收敛判据成立。

(二)绝对收敛

如果复数项级数各项的模组成的级数

收敛，就把复数项级数叫做绝对收敛

注意：绝对收敛级数各项先后次序可以改变，两个绝对收敛的复数项级数的乘积也会收敛于原来函数的乘积

(三)一致收敛

复变项级数

，

它的各项是ｚ的函数，如果在某个区域上所有的点级数都收敛，就叫作在此区域上收敛。复变项级数在区域上收敛的充分必要条件是，在区域上各点ｚ，对于给定任意小正数，必有Ｎ存在，使得ｎＮ时

｜｜，

式中ｐ为任意正整数，如果Ｎ与ｚ无关，就把复变项级数叫做在此区域上一致收敛，一致收敛具有连续性、可积性、解析性。

§3.2 幂级数

定义：

叫做为中心的幂级数，为圆心做一个半径为Ｒ的圆周，由于幂级数在圆的

内部绝对收敛，在圆外发散，这个圆因而叫做幂级数的收敛圆，半径则叫做收敛半径。

｜或

注意：函数在区域内解析的充要条件是，函数在此区域内任意一点的领域内都可展成幂级数

§3.3 泰勒级数展开

任意阶导数都存在的实变函数可以展为泰勒级数

定理：设在以为圆心的圆内解析，则对圆内任意ｚ点，可展为幂级数

，

其中

具体步骤：先确定展开中心，再确定系数，最后将系数代回，写出泰勒级数

方法：直接发和间接法

注意：若在以点解析，则

1.在以某一领域内可导

2.在以某一领域内有连续的偏导数并满足柯西黎曼方程

3.沿所有内外境界线正方向积分和为零

4.可化为幂级数泰勒展开

§3.4 解析延拓

简单的说，解析延拓就是解析函数定义域的扩大，而且解析延拓是唯一的。

§3.5 洛朗级数展开

(一)定理：设在环形区域的内部单值解析，则对环域上任意ｚ点，可展为幂级

数

，

其中，

积分路径Ｃ为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任意闭合曲线

(二)具体步骤：先求的奇点，然后以为展开中心，奇点为分隔点，找出到无穷

远使解析的环域

(三)洛朗级数和泰勒级数的区别

1. 从形式上看，洛朗级数有幂次为负数的项，而泰勒级数没有。

2. 但这只是表面现象，这两者本质上的不同在于，洛朗级数是在孤立奇点

的邻域的级数展开，它的定义域是一个环状的区域

3. 洛朗级数的正则部分（也就是幂次非负的部分）是在|z|<=R有效的，而

主要部分（也就是幂次为负的部分）是在r<=|z|处有效的，两者都有定

义的部分就是那个环状区域。

4. 实际上，泰勒级数是更基本的。洛朗级数的正则部分就是这个孤立奇点

附近的关于z的泰勒级数，而其主要部分则是无穷远点附近的关于1/z

的泰勒级数。也就是说洛朗级数是两个泰勒级数的和。

§3.6 孤立奇点的分类

(一)定义：若在以点不可导，而在的任意小领域内处外处处可导，便称为的孤立

奇点

(二)孤立奇点的分类

在挖去孤立奇点而形成的环域上的解析函数的洛朗级数或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，在这三种情况下，我们分别把的可去奇点，极点或本性奇点

第四章留数定理

§4.1 留数定理

§4.2 应用留数定理计算实变函数定积分

§4.1 留数定理

(一)留数的概念：洛朗级数的项的系数叫做函数在以点的留数通常记作Ｒｅｓ，

这样

(二)留数定理：设函数在回路ｌ所围区域Ｂ上除有限个孤立奇点外解析，在闭区

域Ｂ上处外连续，则

留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上个奇点的留数之和

(三)留数的求法：

1.非零的有限值，即

若可以表示为的特殊形式，其中都在点解析，是的一阶零点，，从而是的一阶极点，则

2.若是的ｍ阶极点，则有

(四)求回路积分：

1.确定孤立奇点

2.看是否在积分范围内

3.求留数

4.代回回路积分

§4.2 应用留数定理计算实变函数定积分

(一)方法：

1.变量代换

2.解析延拓

(二)具体类型：

1.类型1 ：，被积函数是三角函数的有理式，积分区间，作自然代换ｚ，

则有

，，，

于是原积分化为

Ｉ(

2.类型2：，积分区间是；复变函数在实轴上没有奇点，在上半平面除有限

个奇点外是解析的；当ｚ在上半平面和在实轴上时，ｚ一致地。如果是

有理分式，上述条件意味着没有实的零点，的次数至少高于两次，则有

3.类型3：，，积分区间；偶函数在实轴上没有奇点，在上半平面处有限个

奇点外是解析的；当ｚ在上半平面实轴上时，一致地，则有

第五章傅立叶变换

§5.1 傅立叶级数

§5.2 傅立叶积分与傅立叶变换

§5.3 函数

§5.1 傅立叶级数

(一)周期函数的傅立叶展开

若函数以2ｌ为周期，即，则可将展开为级数

其中

(二)狄里希利定理

若函数满足条件：

1.处处连续。或在每个周期中只有有限个第一类间断点

2.在每个周期中只有有限个极值点

则级数收敛，且

级数和

(三)奇函数及偶函数的傅立叶展开

奇函数：及诸均为零，

偶函数：所有均为零

(四)定义在有限区间上的函数的傅立叶展开

可以采取解析沿拓的方法，使其成为某种周期函数(五)复数形式的傅立叶级数

§5.2 傅立叶积分与傅立叶变换

(一)实数形式的傅立叶积分

注意：

1.奇函数的傅立叶积分

2.偶函数的傅立叶积分

(二)复数形式的傅立叶积分

(三)傅立叶变换的基本性质

1.导数定理：

2.积分定理：

3.相似性定理：

4.延迟定理：

5.位移定理：

6.卷积定理：，，则

(四)多重傅立叶积分

§5.3 函数

(一)函数

(二)函数的一些性质

1.函数是偶函数，它的导数是奇函数

2.

3.对于任意一个定义在（上的连续函数，

4.即使是连续分布的质量、电荷或持续作用的力也可用函数表出

5.如果的实根（ｋ=1，2，3….）全是单根，则

(三)函数是一种广义函数

(四)函数的傅立叶变换

(五)多维的函数

2．小结

对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换

参考文献：

[1]梁昆淼，数学物理方法，高等教育出版社

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结 [键入文档副标题] acer [选取日期]

复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作 x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ₁θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π， Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点ξk并作和式S n=ξ(z k-z k-1)=ξ∆z k记∆z k= z k- z k-1， 弧段z k-1 z k的长度=,n),当0时，不论对c的分发即ξk的取法如何，S n有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z) 沿曲线C的积分为： =ξ∆z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作 (C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分 ,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0.

∵f(z)=1 S n=ξ(z k-z k-1)=b-a ∴ =b-a,即 =b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设ξk=z k-1,则 ∑1= （ ）(z k-z k-1) 有可设ξk=z k，则 ∑2= （ ）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得： = - vdy + i + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤) = 参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π) 例题1：积分路线是原点到3+i的直线段 解：参数方程 z=（3+i）t =′ =(3+i)3 =6+i 例题2：沿曲线y=x2计算（ ）

复变函数的总结范文

复变函数的总结范文 复变函数是复数域上的函数，它的定义域和值域都是复数域。复变函数是在复数域上进行运算的函数，与实变函数不同，它的自变量和因变量都是复数。 复变函数可以由一个实变量的函数通过对自变量进行复数化得到。设f(x) 是定义在实数域上的一个函数，则定义在复数域上的函数 f(x+iy), 其中 x 和 y 是实数，称为复变函数。 1. 复变函数的加法：若 f(x+iy) 和 g(x+iy) 是两个复变函数，则它们的和是 h(x+iy) = f(x+iy) + g(x+iy)。 2. 复变函数的乘法：若 f(x+iy) 和 g(x+iy) 是两个复变函数，则它们的乘积是 h(x+iy) = f(x+iy) * g(x+iy)。 3. 复变函数的求导：与实变函数类似，复变函数也可以进行求导运算。对于复变函数 f(x+iy)，它的导函数是 g(x+iy) = ∂f/∂x + i∂f/∂y。 4. 复变函数的除法：若 f(x+iy) 和 g(x+iy) 是两个复变函数，则它们的商是 h(x+iy) = f(x+iy) / g(x+iy)。 1.复变函数的连续性：与实变函数类似，复变函数对于自变量的连续性要求也是一样的。当复变函数在其中一点处连续时，它在该点的极限存在且等于该点的函数值。 2.复变函数的解析性：若复变函数在一个区域内处处可导，则称它在该区域内是解析的。解析函数是复变函数中非常重要的一类函数，它在实数域上的导函数也是解析的。

3. 复变函数的奇偶性：与实变函数一样，复变函数也可以具有奇偶性。若复变函数满足 f(x+iy) = -f(-x-iy)，则它是奇函数。若满足 f(x+iy) = f(-x-iy)，则它是偶函数。 4. 复变函数的周期性：与实变函数不同，复变函数可以具有任意周期。若复变函数满足 f(x+iy) = f(x+iy+T)，其中 T 是一个复数，那么它就是周期函数。 1.科学与工程中的应用：复变函数在电力工程、电子工程、通信工程等领域中有广泛的应用。例如，复变函数可以用于分析电路中电流和电压的关系，计算电路中的功率、电阻等。 2.数学分析中的应用：复变函数在数学分析中有重要的地位，它被用于研究微分方程、积分方程、无穷级数等问题。解析函数的研究是复变函数理论的核心内容。 3.统计学与概率论中的应用：复变函数可以用于研究概率分布函数、随机过程等问题。复变函数的运算和性质可以帮助我们更好地理解概率与统计的相关概念和定理。 总结： 复变函数是定义在复数域上的函数，它可以进行加法、乘法、求导、除法等运算。复变函数具有连续性、解析性、奇偶性、周期性等性质。它在科学与工程、数学分析、统计学与概率论等领域有广泛的应用。复变函数的研究为我们提供了一种强大的工具，帮助我们理解和解决复杂的数学和工程问题。

【最新】《复变函数》总结

【最新】《复变函数》总结 复变函数是指把一个复变量的变量表示为函数的过程，也是复变量和复函数之间的等 价关系，它有着重要的数学意义和重要的实际应用。 复变函数通常由实数域和虚数域组成，用公式来描述，它是一种在复平面上根据定义 域及值域定义复函数的方法。它把定义域上的复变量转换成在值域上定义的复函数，从而 可以求解复变量的取值，具体来说，复变函数由两个函数f(z) = u (z) + iv (z) 组成，其中，u(z)是定义域上的一个实函数，v(z)是定义域上的一个虚函数。可以知道，复变函 数既可以是实函数，也可以是虚函数，这要取决于其定义域以及值域中所包含的复变量的 表达式。 复变函数的求法有三种：一是复变量方法，二是参数方法，三是Laplace变换方法。 1. 复变量方法就是把复变量z表示为对应的复数f(z)=p (x, y)+qi(x, y)，其中x, y表示实数部分和虚数部分，p(x, y)是实函数，q(x, y)是虚函数，并求出复变函数f(z) 的极值； 2. 参数方法则是把复变量z表示成参数形式z=a+bi，其中a, b均为实数，把f(z) 用a, b来表示，用参数求极值，求得f(z)； 3. Laplace变换方法就是把复变函数f(z)用局部Laplace变换求解，利用计算机软 件计算出来。 复变函数在数学思维中具有广泛的应用，它不仅常用于线性系统，还应用在微分方程、概率论、信号处理、最优控制、网络控制等领域。例如，在机器学习中，复变函数可以用 来描述模型的行为，对系统的性能进行优化和分析；在仿生学中，复变函数也可以用来模 拟动物思维；在信号处理中，复变函数可以用来求解幅度、相位、频率等特性；在最优控 制中，复变函数可以把控制问题转换成数学形式，来求解最优全局策略；在网络控制中， 复变函数可以把网络的复杂性转换为可求解的数学问题，用以搜索网络中的最佳状态。 总之，复变函数是一种独特的函数，在数学思考和实际应用中都具有重要的意义。熟 练掌握复变函数的求法和应用方法，也是有助于我们进行更多数学思考的重要技能之一。

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，

z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度 ={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为： =??z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0. ∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a ∴=b-a,即=b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则 ∑1= （）(z k-z k-1) 有可设?k=z k，则 ∑2= （）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：

复变函数总结

第一章 复数与复变函数 一、复数几种表示 （1）代数表示 yi x z += （2）几何表示：用复平面上点表示 （复数z 、点z 、向量z 视为同一概念） （3）三角式：)sin (cos θθi r z += （4）指数式 ： θi re z = 辐角πk z Argz 2arg += 22||y x z += ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧ <=->=<<-><+>=0,0,2/0,0,2/0 ,0,arctan 0 ,0,arctan ,0,arctan arg y x y x y x x y y x x y x x y z ππππ i z z y z z x 2,2-= += 二、乘幂与方根 （1）乘幂： θi re z =，θin n n e r z = （2）方根： 1,2,1,0,||arg 2-==+n k e z z i n z k n n π 第二章 解析函数 一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似 函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域处处可导

注：（1）点解析⇒点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域解析与可导等价 二、定理1 iv u z f w +==)(在0z 可导⇔v u ,在0z 可微，满足C-R 方程 定理2 iv u z f w +==)(在区域D 解析（可导） ⇔v u ,在区域D 可微，满足C-R 方程 讨论1 v u ,在区域D4个偏导数存在且连续，满足C-R 方程 ⇒iv u z f w +==)(在区域D 解析（可导） 三、解析函数和调和函数的关系 1、定义1 调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函数。 定义2 设),(),,(y x y x ψϕ是区域D 调和函数，且满足C-R 方程， x y y x ψϕψϕ-==,，则称ψ是ϕ的共轭调和函数。 2、定理1 解析函数的虚部与实部都是调和函数。 定理2 函数在D 解析⇔虚部是实部的共轭调和函数。 3、问题：已知解析函数的实部（或虚部），求虚部（或实部） 理论依据： （1）虚部、实部是调和函数。 （2）实部与虚部满足C-R 方程。 求解方法：（例如已知v ） （1）偏积分法：先求y x u u ,，再求)(y dx u u x ϕ+=⎰，得出)(y ϕ （2）利用曲线积分：求du u u y x ,,，再c dy u dx u u y x y x y x ++=⎰),() ,(00 （3）直接凑全微分：求du u u y x ,,，再du

复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结

第四章解析函数的幂级数表示法 §1、复级数的基本性质 1、(定理4、1)复级数收敛的充要条件:实部虚部分别收敛。 2、(定理4、2)复级数收敛的充要条件(用定义):对任给的>0,存在正整数N(),当n>N 且p为任何正整数时, 注1:收敛级数通项必趋近于零; 注2:收敛级数各项必有界; 注3:级数省略有限个项不改变敛散性。 3、(定理 4、3)收敛 4、(定理4、4) (1)绝对收敛的复级数可任意重排,不改变收敛性,不改变与; (2)两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积(柯西积)级数,也绝对收敛于。 5、一致收敛的定义:对任给的>0以及给定的,存在正整数N=N(,z),当n>N时,有

式中 6、不一致收敛的定义 7、(定理4、5 柯西一致收敛准则):级数收敛的充要条件就是:任给>0,存在正整数N=N(),使当n>N时,对一切,均有 8、(定理4、5’不一致收敛准则): 9、(优级数准则):如果有正数列,使对一切,有|)|≤,且正项级数 收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。 10、优级数定义:称为的优级数。 11、(定理4、6)级数各项在点集E上连续,且一致收敛于f(z),则与函数 也在E上连续。 12、(定理4、7 积分求与符号可交换)级数的各项在曲线C上连续,且一致收敛于f(z),则沿C可逐项积分 13、内闭一致收敛:有界闭集上一致收敛 14、(定理4、8)在圆K:|z-a|

15、(定理4、9 魏尔斯特拉斯定理):设(1)函数在区域D内解 析;(2)在D内内闭一致收敛于函数f(z): 则: (1)f(z)在D内解析; (2) (3)在D内内闭一致收敛于 §2、幂级数 1、(定理4、10 阿贝尔定理):幂级数在某点(≠a)收敛它必在 圆K:|z-a|<|-a|(以a为圆心,圆周通过的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛。 2、(推论4、11):幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心,圆周通过的圆周外发散。 3、收敛半径:圆周内部绝对收敛,圆周外部发散。 4、(定理4、12 收敛半径R的求法柯西-阿达马公式):(不能缺项)如果幂级数 的系数满足: 或

复变函数总结

复变函数总结 复变函数，又称为复数函数，是数学中重要的一个分支。它在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。复变函数的研究主要涉及复数、复平面、复数域的性质，以及复数函数的导数、积分等基本理论。在本文中，我将对复变函数的基本概念、性质和常见应用进行总结。 一、复数的基本概念 复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，而i为虚数单位，满足i²=-1。复数可以表示平面上的一 个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。复数的加法、减法、乘法 和除法规则与实数的运算规则相似。 二、复平面与复函数 复平面是由复数构成的平面，以复数的实部和虚部作为坐标轴。 复函数是定义在复数域上的函数，可以将复数作为自变量和因变量。 复函数在复平面上的图像通常是曲线、点或者区域。 三、复变函数的性质 1. 解析性：复变函数在一个区域内解析，意味着它在该区域内 具有连续性和光滑性，并且在该区域内无奇点。 2. 洛朗级数展开：复变函数可以用洛朗级数展开，即可以由一 个主要部分和无穷个幂级数按次幂递减的项组成。 3. 共轭函数：对于复变函数f(z)，其共轭函数为f*(z)，实部

相同，虚部取相反数。 4. 解析函数的判别：柯西-黎曼方程是判断一个函数在某一点是否解析的重要工具，同时也是复变函数的基本性质之一。 5. 调和函数：调和函数是一类特殊的复变函数，满足拉普拉斯方程。 四、复变函数的应用 1. 电路分析：复变函数可以用来分析交流电路中的电流和电压，特别是在包含电感和电容的电路中，通过构造复变函数的拉普拉斯变换可以简化问题。 2. 流体力学：复变函数在描述流体的速度场、压力场和流线的分析中具有重要作用，特别是在无旋场和无散场的情况下。 3. 光学：复变函数可用于描述光波的传播和干涉现象，以及计算透镜的成像和衍射效应。 4. 统计学：复数也可应用于统计学中，如复数正态分布在处理随机变量时具有一定的优势。 5. 量子力学：复变函数是量子力学中运动状态和波函数的基础，通过复变函数可以描述粒子的行为以及能量的量子化。 综上所述，习得和掌握复变函数的基本概念、性质和应用对于理解和应用复变函数的理论和方法具有重要意义。复变函数的研究不仅为数学学科的发展提供了新的思路和方法，也为实际问题的求解提供了数学工具和理论依据。在实际应用中，我们可以根据具体问题选择

《复变函数》总结

《复变函数》总结 《复变函数》总结 复变小结 1.幅角（不赞成死记，学会分析） yarctg,x0x,x0,y0argz2yarctg,x0,y0x,x0,y0yargtg.2x2-∏b.对于P12例题1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C）共线所满足的公式:(向 量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBA c.对于P15例题1.14中可直接转换成X和Y的表达式后判断正负号来确定其图像。 d.判断函数f(z)在区域D内是否连续可借助课本P17定义1.84.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程 a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。 b.柯西黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加） c.指数函数:复数转换成三角的定义。 d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k) e.幂函数：底数为e时直接运算（一般转换成三角形式）当底数不为e时，w=za=eaLnz(幂指数为Ln而非ln) ieeii,,e能够区分：,i的计算。 f.三角函数和双曲函数： eizeizeizeizcos只需记住：z,sinz. 22i

其他可自己试着去推导一下。 eyeycosiychy2(2.15)及eyeysiniyishy2i 反三角中前三个最好自己记住，特别ArctgziLn1iz 21iz因为下一章求积分会用到5.复变函数的积分 (arctanz),1z21(如第三章的习题9)a.注：只有当函数解析即满足柯西-黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。（勿乱用）例如:zdz与路径无关。而zdz与路径有关。 ccb.柯西-古萨基本定理：当函数f(z)在以简单闭曲线C为边界的有界区域D 内解析且在闭区域上连续时： 重要公式 f(z)dz0C2πi,n0,dzn1 (zz0)0,n0.|zz0|rc.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分： 1f(z) dz.(3.17)2πizzf(z0)0C0!f(f(n)(z)nz)dz(3.20) d.调和函数： 22n12πi(zz)0Cn1,2,。xy 一般与柯西-黎曼公式一起用:熟知课本P52中的例3.11中三种解法即可。6.级数 (x,y)调和:2a.熟知课本P59定理4.2及其推导（其中1最重要）性质。b.阿贝尔定理:判断收敛和发散区间。 c.幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。（方法同于高数级数） d.泰勒级数：n0 f(z)cn(zz0)n1(n)成立,其中cnf(z0),n0,1,2,.

复变函数总结

复变函数总结 复变函数，即复数域上的函数，是数学中重要的研究领域之一。 在复变函数的研究过程中，人们发现了许多有趣且重要的性质和定理。本文将对复变函数的一些基本概念、性质以及常见定理进行总结，并 探讨它们的应用。 一、复数的基本概念 复数是由实部和虚部构成的，以形如a + bi的形式表示，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。复数域上的运算包括加法、减法、 乘法和除法。 二、复变函数的定义与性质 复变函数可看作是以复数为定义域和值域的函数。复变函数的导 数概念在复数域上进行推广，被称为复导数。复导数的定义如下： 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是定义在某区域上的复变函数， 若当点z在该区域内变动时，极限 f'(z_0)=lim(f(z)-f(z_0))/(z-z_0) 在极限存在时，则称f(z)在z_0处可导。 复变函数的可导性与解析性密切相关。如果一个函数在某区域上 处处可导，则称该函数在该区域内解析。解析函数具有许多重要的性质，如可导函数的连续性和可微性。

三、柯西-黎曼方程与调和函数 柯西-黎曼方程是解析函数的一个重要条件，其表达式为： ∂u/∂x = ∂v/∂y 和∂u/∂y = -∂v/∂x 其中u(x, y)为解析函数的实部，v(x, y)为解析函数的虚部。柯西-黎曼方程表明，解析函数的实部与虚部之间存在一定的关系。 调和函数是满足柯西-黎曼方程的实函数，它在物理学和工程学中应用广泛。调和函数具有许多有趣的性质，如最大值原理和平均值性质。 四、复变函数的积分 与实变函数类似，复变函数也存在积分的概念。复积分常用路径积分表示，即沿着某条曲线对函数进行积分。 路径积分与路径有关，沿不同路径积分的结果可能不同。当沿闭合路径进行积分时，根据柯西积分定理可知，对于解析函数来说，积分结果为0。这是柯西积分定理的基本形式。 另外，在某些情况下，复积分可通过取局部极值来求解，这一方法称为留数法。留数法是复变函数积分的一个重要工具，在计算复积分中发挥着重要的作用。 五、常见的复变函数定理 复变函数中有一些常见的定理对于深入研究解析函数和应用解析函数都具有重要意义。下面介绍其中的两个定理。

复变函数与积分变换知识点总结

复变函数与积分变换知识点总结本文主要介绍复变函数与积分变换的相关知识点，包括基本概念、公式、定理及其应用。复变函数是数学中重要的一门学科， 它涉及到多种数学领域，如数学分析、微积分、拓扑学、数论等，具有广泛的应用价值和重要性。 一、复变函数和复数 复变函数是指将复数作为自变量和函数值的函数，也就是输出 值为复数的函数。在复平面上，复数可以表示为 x+yi 的形式，其 中 x 和 y 分别表示实部和虚部，i 是虚数单位。从图形上看，复数 可以看成是在平面坐标系上的点，其中实部 x 对应水平方向，虚 部 y 对应垂直方向。 二、重要公式和定理 1. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ

欧拉公式是复数理论中非常重要的公式，它表明了复数极坐标形式和直角坐标形式之间的关系。欧拉公式常常被用来化简复数幂、求解复数方程等等。 2. 柯西-黎曼条件 柯西-黎曼条件是指函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在某一点处可导的充分必要条件。它包括两个部分：一是实部和虚部的偏导数存在且相等；二是实部和虚部的偏导数在该点处连续。 3. 洛朗级数 洛朗级数是指将复变函数在一个环域上展开成为一定形式的级数，它可以看成是泰勒级数的一种推广形式。洛朗级数可以用来处理复变函数的奇点、留数及边界值等问题。 4. 度量定理 度量定理是指一个可积函数的形式化定义，它对于研究函数的特殊性质和进行积分变换有很重要的作用。度量定理是复变函数

理论中的一个基本定理，它可用来刻画单复变函数的局部和全局性质。 三、应用及例子 复变函数和积分变换广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。其中，最为著名的应用包括热传导方程、电动力学、量子力学等等。下面列举一些具体的例子： 1. 应用于调制技术 调制技术是指将信息信号通过某种方式转换成为载波信号，以达到传输信号的目的。而在调制过程中，使用的正交变换中的基函数，就是一种特殊的复变函数。 2. 应用于信号处理 信号处理是指对信号进行数字化、滤波、噪声抑制等一系列工作，以提高信号的质量和准确度。在信号处理中，常常采用离散傅里叶变换等积分变换方法，并利用复数的性质来进行计算。

复变函数论第二章总结

复变函数论第二章总结 一、思维导图 二、分类 1.与积分路径无关： 定理1 如果函数f(z)在单连通域内处处解析，F(z)为f(z)的一个原函数，那么： 其中为单连通域内的两个点。 2.与积分路径有关： ①无奇点： 定理2（柯西积分定理）设f(z)在单连通域E内解析，C为E 内任一简单闭曲线，则： 例题：

②有一个奇点： 定理3（柯西积分公式）如果函数f(z)在区域D内处处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，为C 内任意一点，那么

例题： 定理4（高阶导数公式）解析函数的导数仍然为解析函数，它的n阶导数为： 例题：

③有两个及以上奇点： 定理5（复合闭路定理）设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以为边界的区域全含于D，如果f(z)在D内解析，则： (1) ， 例题：

2.解析函数与调和函数的关系 1.调和函数的定义： 若u(x,y)在区域E内具有连续的二阶偏导数，且在E内满足，则 称函数u(x,y)为区域E的调和函数。方程称为调和方程。 定理1 任何一个在区域E上解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部与虚部都是该区域上的调和函数。（该定理的逆定理不成立！要使u+iv解析，还需要满足C-R条件才可以）2.对于给定的调和函数u(x,y)，把使u+iv构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。

3.求共轭调和函数的两种方法：①偏积分法（最常用，且不容易出错） 如果已知一个调和函数u，那么就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi。这种方法称为偏积分法。 例题： ②偏积分法： 例题：

复变函数总结完整版

复变函数总结完整版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第一章 复数 1 2i =-1 1-=i 欧拉公式 z=x+iy 实部Re z 虚部 Im z 2运算 ① 2121Re Re z z z z =?≡ 21Im Im z z = ②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z ++±=±+±=± ③()() ()()122121212 112212122112 1y x y x i y y x x y y y ix y ix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=? ④()()()()222221212222212122222211222121y x y x x y i y x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z z z +-+++=-+-+== ⑤iy x z -= 共轭复数 ()() 22y x iy x iy x z z +=-+=? 共轭技巧 运算律 P1页 3代数，几何表示 iy x z += z 与平面点()y x ,一一对应，与向量一一对应 辐角 当z ≠0时，向量z 和x 轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=πθk 20+ k=±1±2±3… 把位于-π＜0θ≤π的0θ叫做Arg z 辐角主值 记作0θ=0arg z 4如何寻找arg z 例：z=1-i 4π- z=i 2 π z=1+i 4 π z=-1 π 5 极坐标： θcos r x =， θsin r y = ()θθsin cos i r iy x z +=+= 利用欧拉公式 θθθsin cos i e i +=

复变函数论总结

复变函数论总结 摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。 关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换 1引言 《复变函数论主要内容》 第一章复变函数complex function 第二章复变函数的积分complex function integral 第三章幂级数展开power series expansion 第四章留数定理residual theorem 第五章傅立叶变换Fourier integral transformation 第一章复变函数 §1.1 复数及复数的运算 §1.2 复变函数 §1.3导数 §1.4解析函数 §1.1 复数及复数的运算 1．复数的概念 的数被称为复数，其中。 ；；ｉ为虚数单位，其意义为 当且仅当时，二者相等 复数与平面向量一一对应 ｚ平面 虚轴ｙ . （ｘ，ｙ） ｒ

ｘ实轴 模 幅角(ｋ) 注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义 2．复数的表示代数表示 三角表示 指数表示 一个复数ｚ的共轭复数 注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点 在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义 4．复数的运算 复数的加法法则： 复数与的和定义是 两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律，且 ， 当同一方向时等号成立。 复数的减法法则： 且有 复数的乘法法则： 乘法的交换律、结合律与分配律都成立 复数的除法法则： 注意：采用三角式或指数式比较方便。 §1.2复变函数 (一)复变函数的定义 若在复数平面上存在一个点集Ｅ,对于Ｅ的每一点，按照一定的规律，有一个或多个复数值与之相对应，则称的函数—复变函数，ｚ称为的宗量，定义域为Ｅ，记作，ｚＥ (二)区域的概念

复变函数重点知识点总结

复变函数重点知识点总结 复变函数是数学分析中的一门重要课程，主要研究复数域上的函数。 复变函数具有许多特殊性质和重要应用，在数学、物理学等领域有广泛的 运用。以下是复变函数的一些重点知识点总结。 1.复变函数的定义及运算法则： -复变函数是定义在复数域上的函数，可以表示为 f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)，其中z=x+i*y为复数，u(x,y)和v(x,y)为实函数，分别称为f的实部和虚部。 -复变函数的加法、减法、乘法和除法运算法则与实数类似，可以进 行复数的加减乘除运算。 -复变函数可以表示为级数形式，如幂级数、三角级数等。 2.复变函数的解析性： - 解析函数是指在其定义域内可导的函数，复变函数的解析性与其实 部和虚部的连续性及Cauchy-Riemann条件密切相关。 - Cauchy-Riemann条件是解析函数必须满足的条件，即函数的实部 和虚部的偏导数满足一定的关系。 -如果一个复变函数在其定义域内解析，则其在该域内无穷次可导， 并且导数处处存在。 3.高阶导数及全纯函数： -复变函数的高阶导数可以通过对复变函数的导数进行重复求导得到。

-如果一个复变函数在其定义域内高阶导数均存在，则称该函数为全纯函数。 -全纯函数具有许多优良性质，如解析、无奇点等。 4. 路径积分及Cauchy定理： -路径积分是指沿着一条曲线对复变函数进行积分的操作，复变函数的路径积分与路径无关。 - Cauchy定理是复分析中的重要定理之一，它指出如果一个函数在一个简单连通区域内解析，那么它在该区域中的曲线积分等于零。 5.解析延拓及解析函数的唯一性定理： -解析延拓是指将一个函数的定义域扩展到更大的区域上，使得该函数在扩展后的区域内解析。 -解析函数的唯一性定理是指如果两个解析函数在一些区域内相等，那么它们在该区域内处处相等。 -解析函数的唯一性定理是复分析中的一个重要定理，它可以用于证明解析函数的存在性、奇点的性质等。 6.高阶亚纯函数及留数计算： -亚纯函数是指解析函数和有限阶极点函数的叠加，亚纯函数可以表示为f(z)=P(z)+Q(z)，其中P(z)为解析函数，Q(z)为有限阶极点函数。 -极点是亚纯函数的奇点之一，留数是计算亚纯函数在极点处的积分的重要方法。

复变函数与积分变换总结[1]

复变函数与积分变换总结 复变函数与积分变换总结 第一章小结 一、复数及运算 1.复数及代数运算 2.复数的几何表示 复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定复数的两个概念为：模、辐 角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图做出；几何运算：积(商)的模等于模的积(商)，幅角等于幅角和(差)；复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的乘幂及方根时较方便二、复数集概念：邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域三、 复变函数 1.对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两种方法(1).参考一元实变函数的研究方法 例.设函数f(z)在z0连续，且f(z0)0，证明必存在z0的一个邻域，使得在此邻域内f(z)0 f(z0)2证明：设limf(z)f(z0)，则对任意的zz0,存在0使得当zz0时 f(z)f(z0)f(z0)2f(z0)2, 因此f(z0)f(z)f(z0)2, 所以f(z)0. (2).转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤1.证明复数模的不等式关键步骤： (1).证明原不等式两端平方后的不等式(2).利用z2zz 2.确定平面曲线的复数方程

关键步骤：转化为求x,y满足的方程3.确定复数方程对应图形 关键步骤：利用复数差模的几何意义；转化为关于x,y的方程；转化为关于r,的方程4.确定映射wf(z)将z平面上的图形映到w平面上的图形关键步骤： (1).写出wf(z)对应的两个二元实变函数 (2).利用z平面上的图形对应的方程将二元实变函数中的两个变量用同一个变量表示5.讨论复变函数wf(z)的极限及连续性关键步骤： (1).将wf(z)看成一些简单函数的运算 (2).通过分析这些简单函数对应的两个二元实变函数得到这些简单函数的极限及连续性(3).利用极限及连续的一些运算法则得到原函数的极限及连续性扩展阅读：复变函数与积分变换重要知识点归纳 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：zxiy，x,y是实数, xRez,yImz.i21. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：zx2y2； 2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于(,]中的幅角。3）argz与arctany之间的关系如下： xy；xyxyx当x0, argzarctany0,argzarctan当x0,y0,argzarctan； 4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示：z(二)复数的运算 1.加减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y2 2.乘除法： 1）若z1x1iy1,z2x2iy2，则

复变函数简单总结

复变函数简单总结 对于某些专业的工科学生，学习复变函数是非常有意义的。复变函数的记号是w＝f（）。从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。 在直角坐标系复平面上，自变量记作＝＋i，函数值记作w＝u ＋iv。那么复变函数w＝f（）就等价于两个二元函数u=u （，）,v=v（，），即一个复变函数的映射，等同于两个二元实函数的映射。在物理学或力学中，可以用复变函数来建立“平面场”的数学模型，例如在流体力学中，平面流速场的速度分布可用复函数V＝V（）＝V（，）＋iV（，）来表示，其中，V（，）和V（，）是坐标轴方向的速度分量（不是偏导数记号），V（）则称为复速度。 在静电学中，平面静电场也可以用复函数E（）＝E（，）＋iE（，）来表示，E（，）和E（，）是坐标轴方向的场强分量，E （）称为复场强。

对于理科的物理专业，以及工科与流体力学、电工电子学有 关的各类专业，“复变函数与数学物理方法”课程（也有分为两 门的，甚至三门的，即积分变换）都是很基础的一门课程。 复变函数泛谈 首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复 数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的 认识，完全在于一个虚字。而对于复变产生的意义，书中是这样 给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。 复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。 复数的集合复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三 维世界中的任何一个二维平面。可以说复平面在现实世界中完全 找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。 而就在最近我弄清了两个概念：数学与科学。结论为：数学 不是科学。数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的

复变函数与积分变换总结

复变函数与积分变换总结 第一章小结 一、复数及运算 1.复数及代数运算2复数的几何表示 复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定 复数的两个概念为：模、辐 角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图 做出；几何运算：积商的模等于模的积商，幅角等于幅角和差； 复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的 乘幂及方根时较方便二、复数集概念：邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域三、 复变函数 1.对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两 种方法1参考一元实变函数的研究方法 在0连续，且f00，证明必存在0的一个邻域，使得在此邻域内f0

f02证明：设imff0，则对任意的0,存在0使得当0时 ff0f02f02, 因此f0ff02, 所以f0 2转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤1证明复数模的不等式关键步骤： 1证明原不等式两端平方后的不等式2利用2 2.确定平面曲线的复数方程 关键步骤：转化为求,满足的方程3确定复数方程对应图形 关键步骤：利用复数差模的几何意义；转化为关于,的方程；转化为关于r,将平面上的图形映到w平面上的图形关键步骤：1写出wf对应的两个二元实变函数 2的极限及连续性关键步骤： 1将wf看成一些简单函数的运算

2通过分析这些简单函数对应的两个二元实变函数得到这些简单函数的极限及连续性3利用极限及连续的一些运算法则得到原函数的极限及连续性 扩展阅读：复变函数与积分变换重要知识点归纳 复变函数复习重点 一复数的概念 1.复数的概念：i，,是实数, Re,Imi21 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2复数的表示1）模：22； 2）幅角：在0时，矢量与轴正向的夹角，记为Arg（多值函数）；主值arg是位于,]中的幅角。3）arg与arctan之间的关系如下： ；当0, argarctan0,argarctan当0,0,argarctan； 4）三角表示：coiin，其中arg；注：中间一定是“”号。

复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除

第六章留数理论及其应用 §1.留数 1.（定理柯西留数定理）： 2.（定理）：设a为f(z)的m阶极点， 其中在点a解析，，则 3.（推论）：设a为f(z)的一阶极点， 则 4.（推论）：设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数： 即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.（定理）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。

8.计算留数的另一公式： §2.用留数定理计算实积分 一.→引入 注：注意偶函数 二.型积分 1.（引理大弧引理）：上 则 2.（定理）设 为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 注：可记为 三.型积分 3.（引理若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周上连续，且 在上一致成立。则

4.（定理）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：（1）Q的次数比P高； （2）Q无实数解； （3）m>0 则有 特别的，上式可拆分成： 及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理小弧引理）： 于上一致成立，则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数： 2.（引理）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且 （2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且