复变函数与积分变换知识点总结本文主要介绍复变函数与积分变换的相关知识点，包括基本概念、公式、定理及其应用。复变函数是数学中重要的一门学科，
它涉及到多种数学领域，如数学分析、微积分、拓扑学、数论等，具有广泛的应用价值和重要性。
一、复变函数和复数
复变函数是指将复数作为自变量和函数值的函数，也就是输出
值为复数的函数。在复平面上，复数可以表示为 x+yi 的形式，其
中 x 和 y 分别表示实部和虚部，i 是虚数单位。从图形上看，复数
可以看成是在平面坐标系上的点，其中实部 x 对应水平方向，虚
部 y 对应垂直方向。
二、重要公式和定理
1. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ
欧拉公式是复数理论中非常重要的公式，它表明了复数极坐标形式和直角坐标形式之间的关系。欧拉公式常常被用来化简复数幂、求解复数方程等等。
2. 柯西-黎曼条件
柯西-黎曼条件是指函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在某一点处可导的充分必要条件。它包括两个部分：一是实部和虚部的偏导数存在且相等；二是实部和虚部的偏导数在该点处连续。
3. 洛朗级数
洛朗级数是指将复变函数在一个环域上展开成为一定形式的级数，它可以看成是泰勒级数的一种推广形式。洛朗级数可以用来处理复变函数的奇点、留数及边界值等问题。
4. 度量定理
度量定理是指一个可积函数的形式化定义，它对于研究函数的特殊性质和进行积分变换有很重要的作用。度量定理是复变函数
理论中的一个基本定理，它可用来刻画单复变函数的局部和全局性质。
三、应用及例子
复变函数和积分变换广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。其中，最为著名的应用包括热传导方程、电动力学、量子力学等等。下面列举一些具体的例子：
1. 应用于调制技术
调制技术是指将信息信号通过某种方式转换成为载波信号，以达到传输信号的目的。而在调制过程中，使用的正交变换中的基函数，就是一种特殊的复变函数。
2. 应用于信号处理
信号处理是指对信号进行数字化、滤波、噪声抑制等一系列工作，以提高信号的质量和准确度。在信号处理中，常常采用离散傅里叶变换等积分变换方法，并利用复数的性质来进行计算。
3. 应用于图像处理
图像处理是指对图像进行预处理、增强、分析和识别等一系列处理。而在图像处理中，复变函数和积分变换也有着非常重要的应用。例如，二维傅里叶变换被广泛应用于图像滤波、分析和压缩等方面。
总结
复变函数和积分变换作为数学中的重要分支，不仅拥有严格的理论基础，而且在各个领域中都有着广泛的应用。本文所涉及的知识点仅是复变函数和积分变换领域中的众多重要概念、公式和定理。在实际应用中，我们还需要结合具体问题，灵活应用各类数学工具和方法，以求更高效的解决方案。
复变函数与积分变换 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数： y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= 1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解） 反正弦函数 )1(1 sin 2z iz Ln i z Arc w -+== 反余弦函数 )1(1 cos 2-+= =z z Ln i z Arc w
复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模：22 z x y =+； 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
复变函数与积分变换知识点总结本文主要介绍复变函数与积分变换的相关知识点，包括基本概念、公式、定理及其应用。复变函数是数学中重要的一门学科， 它涉及到多种数学领域，如数学分析、微积分、拓扑学、数论等，具有广泛的应用价值和重要性。 一、复变函数和复数 复变函数是指将复数作为自变量和函数值的函数，也就是输出 值为复数的函数。在复平面上，复数可以表示为 x+yi 的形式，其 中 x 和 y 分别表示实部和虚部，i 是虚数单位。从图形上看，复数 可以看成是在平面坐标系上的点，其中实部 x 对应水平方向，虚 部 y 对应垂直方向。 二、重要公式和定理 1. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ
欧拉公式是复数理论中非常重要的公式，它表明了复数极坐标形式和直角坐标形式之间的关系。欧拉公式常常被用来化简复数幂、求解复数方程等等。 2. 柯西-黎曼条件 柯西-黎曼条件是指函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在某一点处可导的充分必要条件。它包括两个部分：一是实部和虚部的偏导数存在且相等；二是实部和虚部的偏导数在该点处连续。 3. 洛朗级数 洛朗级数是指将复变函数在一个环域上展开成为一定形式的级数，它可以看成是泰勒级数的一种推广形式。洛朗级数可以用来处理复变函数的奇点、留数及边界值等问题。 4. 度量定理 度量定理是指一个可积函数的形式化定义，它对于研究函数的特殊性质和进行积分变换有很重要的作用。度量定理是复变函数
理论中的一个基本定理，它可用来刻画单复变函数的局部和全局性质。 三、应用及例子 复变函数和积分变换广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。其中，最为著名的应用包括热传导方程、电动力学、量子力学等等。下面列举一些具体的例子： 1. 应用于调制技术 调制技术是指将信息信号通过某种方式转换成为载波信号，以达到传输信号的目的。而在调制过程中，使用的正交变换中的基函数，就是一种特殊的复变函数。 2. 应用于信号处理 信号处理是指对信号进行数字化、滤波、噪声抑制等一系列工作，以提高信号的质量和准确度。在信号处理中，常常采用离散傅里叶变换等积分变换方法，并利用复数的性质来进行计算。
复变函数与积分变换复习提纲 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数： y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= 1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+=i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解）
复变函数与积分变换总结 第一章小结 一、复数及运算 复数及代数运算复数的几何表示 复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定复数的两个概念为模、辐 角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图做出；几何运算积(商)的模等于模的积(商)，幅角等于幅角和(差)；复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的乘幂及方根时较方便二、复数集概念邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域三、 复变函数 对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两种方法(1).参考一元实变函数的研究方法 例.设函数f(z)在z0连续，且f(z0)0，证明必存在z0的一个邻域，使得在此邻域内f(z)0 f(z0)2证明设limf(z)f(z0)，则对任意的zz0,存在0使得当zz0时 f(z)f(z0)f(z0)2f(z0)2, 因此f(z0)f(z)f(z0)2, 所以f(z)0. (2).转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤证明复数模的不等式关键步骤 (1).证明原不等式两端平方后的不等式(2).利用z2zz 确定平面曲线的复数方程 关键步骤转化为求x,y满足的方程确定复数方程对应图形 关键步骤利用复数差模的几何意义；转化为关于x,y的方程；转化为关于r,的方程确定映射wf(z)将z平面上的图形映到w平面上的图形关键步骤
(1).写出wf(z)对应的两个二元实变函数 (2).利用z平面上的图形对应的方程将二元实变函数中的两个变量用同一个变量表示讨论复变函数wf(z)的极限及连续性关键步骤 (1).将wf(z)看成一些简单函数的运算 (2).通过分析这些简单函数对应的两个二元实变函数得到这些简单函数的极限及连续性 (3).利用极限及连续的一些运算法则得到原函数的极限及连续性 扩展阅读复变函数与积分变换重要知识点归纳 复变函数复习重点 (一)复数的概念 复数的概念zxiy，x,y是实数, xRez,yImz.i2 注一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.复数的表示1）模zx2y2； 2）幅角在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于(,]中的幅角。3）argz与arctany之间的关系如下 xy；xyxyx当x0, argzarctany0,argzarctan当x0,y0,argzarctan； 4）三角表示zzcosisin，其中argz；注中间一定是“+”号。 5）指数表示z(二)复数的运算 加减法若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y2乘除法 1）若z1x1iy1,z2x2iy2，则 z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2； zei，其中argz。
复变函数与积分变换总结 复变函数与积分变换总结 第一章小结 一、复数及运算 1.复数及代数运算 2.复数的几何表示 复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定复数的两个概念为：模、辐 角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图做出；几何运算：积(商)的模等于模的积(商)，幅角等于幅角和(差)；复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的乘幂及方根时较方便二、复数集概念：邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域三、 复变函数 1.对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两种方法(1).参考一元实变函数的研究方法 例.设函数f(z)在z0连续，且f(z0)0，证明必存在z0的一个邻域，使得在此邻域内f(z)0 f(z0)2证明：设limf(z)f(z0)，则对任意的zz0,存在0使得当zz0时 f(z)f(z0)f(z0)2f(z0)2, 因此f(z0)f(z)f(z0)2, 所以f(z)0. (2).转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤1.证明复数模的不等式关键步骤： (1).证明原不等式两端平方后的不等式(2).利用z2zz 2.确定平面曲线的复数方程
关键步骤：转化为求x,y满足的方程3.确定复数方程对应图形 关键步骤：利用复数差模的几何意义；转化为关于x,y的方程；转化为关于r,的方程4.确定映射wf(z)将z平面上的图形映到w平面上的图形关键步骤： (1).写出wf(z)对应的两个二元实变函数 (2).利用z平面上的图形对应的方程将二元实变函数中的两个变量用同一个变量表示5.讨论复变函数wf(z)的极限及连续性关键步骤： (1).将wf(z)看成一些简单函数的运算 (2).通过分析这些简单函数对应的两个二元实变函数得到这些简单函数的极限及连续性(3).利用极限及连续的一些运算法则得到原函数的极限及连续性扩展阅读：复变函数与积分变换重要知识点归纳 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：zxiy，x,y是实数, xRez,yImz.i21. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：zx2y2； 2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于(,]中的幅角。3）argz与arctany之间的关系如下： xy；xyxyx当x0, argzarctany0,argzarctan当x0,y0,argzarctan； 4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示：z(二)复数的运算 1.加减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y2 2.乘除法： 1）若z1x1iy1,z2x2iy2，则
复变函数与积分变换 一、复变函数 复数是数学中的一种特殊的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 都是实数，而 i 是虚数单位，满足i²=-1、复变函数则是将复数作为输入和输出的函数，即 f(z)。在复变函数中，z 表示复数的变量。 复变函数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。与实函数类似，复变函数也可以用级数展开，例如幂级数和三角级数等。通过级数展开可以对复变函数进行分析和计算。 复变函数的导数和积分与实函数的导数和积分有一些区别。复变函数的导数称为复导数，而复变函数的积分称为复积分。复导数可以通过求偏导数来计算，而复积分则需要对路径进行积分。 二、积分变换 积分变换是一种数学工具，用于将一个函数从一个变量域转换到另一个变量域。它可以将一个函数从时间域转换到频率域，或者从空间域转换到动量域等。积分变换的基本思想是将函数表示为函数的积分形式，然后对该积分进行变换。 在实数域上，最常见的积分变换是拉普拉斯变换和傅里叶变换。拉普拉斯变换是将函数从时间域（或空间域）转换到复频域的变换，而傅里叶变换则是将函数从时间域（或空间域）转换到复频率域（或动量域）的变换。
在复数域（复平面）上，积分变换有另一种形式，称为夫琅禾费变换。夫琅禾费变换的定义与拉普拉斯变换相似，但是它可以处理复变函数，而 不仅仅是实变函数。 积分变换在工程学科中有着广泛的应用。它可以用于信号处理、控制 理论、电路分析、图像处理等领域。例如，通过对信号进行拉普拉斯变换 或傅里叶变换，可以将时域的微分方程转化为频域的代数方程，从而更方 便地进行分析和计算。 三、复变函数与积分变换的关系 例如，拉普拉斯变换可以看作是将一个函数从实数轴上的一个点（t）转移到复频率轴上的另一个点（s）的过程。类似地，夫琅禾费变换可以 看作是将函数从复平面上的一个点（z）转移到另一个点（w）的过程。 通过复变函数的分析，可以推导出积分变换的性质和定理。例如，复 变函数的零点和极点可以用来推导拉普拉斯变换的部分分式展开定理。而 拉普拉斯变换的性质又可以用来推导复变函数的一些性质。 总结起来，复变函数与积分变换之间存在着紧密的关系。复变函数是 积分变换的基础，而积分变换则为复变函数的分析提供了有效的工具。它 们的研究不仅有着理论上的意义，还广泛应用于科学和工程的实际问题中。
复变函数与积分变换知识点总结 复变函数与积分变换是数学中重要的概念和工具，广泛应用于物理、 工程、经济等领域。复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为 自变量和函数值，积分变换是指通过对函数进行积分操作来获得新的函数。本文将对复变函数与积分变换的相关知识进行总结，包括复变函数的定义 与性质、积分变换的定义与性质、常见的复变函数以及常见的积分变换。 一、复变函数的定义与性质 1. 复变函数的定义：复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复 数作为自变量和函数值。一般来说，复变函数可以写成 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy表示复平面上的点，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。 2.复变函数的性质： （1）连续性：复变函数在复平面上连续，当且仅当实部和虚部函数 分别在该点连续。 （2）可微性：复变函数在复平面上可微，当且仅当实部和虚部函数 具有一阶连续偏导数，并满足复合函数的求导法则。 （3）调和函数：实部和虚部函数都是二阶偏导数连续的函数，若满 足拉普拉斯方程△u=0，则称u(x,y)为调和函数。 二、积分变换的定义与性质 1. 积分变换的定义：积分变换是一种将函数通过积分操作转换为另 一种函数的方法。一般来说，积分变换可以写成F(s)=∫f(t)e^(-st)dt，其中s为复变量，f(t)为原函数。
2.积分变换的性质： （1）线性性：积分变换具有线性性质，即对于常数a和b，以及函 数f(t)和g(t)，有积分变换[a*f(t)+b*g(t)](s)=a*F(s)+b*G(s)。 （2）平移性：若对于函数f(t)，其积分变换为F(s)，则 e^(at)*f(t)的积分变换为F(s-a)。 （3）卷积性：若函数f(t)和g(t)的积分变换分别为F(s)和G(s)， 则f(t)*g(t)的积分变换为F(s)*G(s)。 三、常见的复变函数 1. 复指数函数：复指数函数的表达式为 e^(z)=e^(x+iy)=e^x*cos(y)+ie^x*sin(y)，其中x和y分别是实部和虚部。 2. 复对数函数：复对数函数的表达式为log(z)=log，z，+i*arg(z)，其中，z，为z的模，arg(z)为z的辐角。 3. 复三角函数：复三角函数包括正弦函数sin(z)、余弦函数cos(z) 和正切函数tan(z)，其表达式分别为sin(z)=[e^(iz)-e^(-iz)]/2i， cos(z)=[e^(iz)+e^(-iz)]/2，tan(z)=sin(z)/cos(z)。 4. 复双曲函数：复双曲函数包括双曲正弦函数sinh(z)、双曲余弦 函数cosh(z)和双曲正切函数tanh(z)，其表达式分别为sinh(z)=(e^z- e^(-z))/2，cosh(z)=(e^z+e^(-z))/2，tanh(z)=sinh(z)/cosh(z)。 四、常见的积分变换 1. 傅里叶变换：傅里叶变换是将函数从时域转换到频域的一种积分 变换。其定义为F(s)=∫f(t)e^(-st)dt，其中s为复变量。
复变函数与积分变换 复变函数与积分变换是复变函数理论中的一个重要部分，在计算机科学、物理学和数学等领域都具有重要的理论意义和实际应用意义。复变函数是一类复多元函数，可以用来描述和解释实际问题中出现的特定变化规律。积分变换是一种重要的数学工具，它可以用来求解不可积的复变函数，从而实现某些抽象的概念的具体数学表示。 一、复变函数 复变函数是一类复多元函数，它从一维到多维可以描述复杂的数学模型，研究复变函数在计算机科学、物理学和数学等领域都具有重要的理论意义和实际应用意义。其中包括实变函数、复变函数、级数函数、拓展函数和表达式函数等。 复变函数具有取值性质，可以用来描述和解释实际问题中出现的特定变化规律。例如，可以用复变函数来描述某种变化的速率，以及某类物理过程的流程等。它可以用来解决一些复杂的数学问题，如空间几何、拓扑学和动力学等。 二、积分变换 积分变换是一种重要的数学工具，可以用来求解不可积的复变函数。它允许用户使用基础数学知识，将复杂的抽象概念转化为具体的数学表示。通过积分变换，用户可以提取出某类复变函数的主要特性，从而更好地理解复变函数的行为特征。 与普通的积分不同，积分变换的计算过程更加复杂，它需要对复变函数进行复杂的数学分解和变换，以获得新函数的表达式以及其对
应积分的具体表述。一般来说，积分变换可以用来解决函数反函数、微分方程和复变函数等问题。 三、复变函数与积分变换的应用 复变函数与积分变换在计算机科学、物理学和数学等领域都具有重要的理论意义和实际应用意义。在计算机科学领域中，复变函数可以帮助计算机系统搜索出满足特定条件的函数，从而解决一些复杂的计算问题。积分变换则可以帮助计算机系统模拟物理系统的运动过程，优化动力学系统的性能，帮助我们更好地理解复变函数的行为特征。 在物理学领域，复变函数可以用来描述物理系统中描述某种变化的速率，以及某类物理过程的流程，进而实现更准确地物理系统模拟。此外，积分变换还可以帮助我们更好地理解物理过程的内部机理，从而更好地应用于物理系统中。 四、总结 复变函数与积分变换是复变函数理论中的一个重要部分，在计算机科学、物理学和数学等领域都具有重要的理论意义和实际应用意义。复变函数具有取值性质，可以用来描述和解释实际问题中出现的特定变化规律。积分变换是一种重要的数学工具，可以用来求解不可积的复变函数，从而实现某些抽象的概念的具体数学表示。复变函数与积分变换的实际应用涉及到计算机科学、物理学和数学等，为我们解决复杂的数学问题提供了强有力的工具。
复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21 i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模： 22 z x y =+； 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为() Arg z （多值函数）；主值 () arg z 是位于(,] ππ-中的幅角。 3） () arg z 与 arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当 0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ⎧ ≥=+⎪⎪<⎨ ⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示： i z z e θ =，其中arg z θ=。 (二) 复数的运算 1.加减法：若111222 ,z x iy z x iy =+=+，则 ()() 121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法： 1）若 111222 ,z x iy z x iy =+=+，则 ()() 1212122112z z x x y y i x y x y =-++； ()()()()112211112121221 222222222222222 x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。 2）若 12 1122,i i z z e z z e θθ==, 则 () 1 21212i z z z z e θθ+=； ()1211 22 i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则 (cos sin )n n n in z z n i n z e θ θθ=+=。 若 (cos sin )i z z i z e θ θθ=+=，则
复变函数与积分变换公式汇总
复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与 arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示： i z z e θ=，其中arg z θ=。 (二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法： 1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则 ()() 1212122112z z x x y y i x y x y =-++；
商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件 1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导 ⇔() ,u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 此时， 有 ()u v f z i x x ∂∂'=+∂∂。 2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域内解析 ⇔() ,u x y 和(),v x y 在(),x y 在D 内可微，且满足C D -条件：,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂； 此时()u v f z i x x ∂∂'=+∂∂。 注意： 若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()(),,,u x y v x y 在区域D 内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足C R -条件时，函数()f z u iv =+一定是可导或解析的。 3．函数可导与解析的判别方法 1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）
复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ⎧ ≥=+⎪⎪ <⎨ ⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示：i z z e θ =，其中arg z θ=。 (二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法： 1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则 ()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++； ()()()()1122111121212212222 22222222222 x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。 2）若12 1122,i i z z e z z e θ θ==, 则 () 1 21212i z z z z e θθ+=； ()1211 22 i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根 1） 若(cos sin )i z z i z e θ θθ=+=，则(cos sin )n n n in z z n i n z e θ θθ=+=。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ⎧ ≥=+⎪⎪ <⎨ ⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。 (二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法： 1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则 ()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++； ()()()()112211112121221 2222 22222222222 x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。 2）若1 2 1122,i i z z e z z e θθ==, 则
复变函数复习 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ⎧ ≥=+⎪⎪ <⎨ ⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示：i z z e θ= ，其中arg z θ=。 (二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法： 1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则 ()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++； ()()()()112211112121221 2222 22222222222 x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若1 2 1122,i i z z e z z e θθ==, 则