学号：2012501007
石河子大学
本科毕业论文（设计）
留数定理及其应用
院系师范学院
专业数学与应用数学
姓名向必旭
指导老师曹月波
职称讲师
摘要
留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。
1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。
柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。
关键字：留数；留数定理；积分
目录
摘要···············································
1.引言·············································
2.留数·············································
2.1留数的定义及留数定理························
2.2留数的求法··································
2.3函数在无穷远处的留数························
3.用留数定理计算实积分
3.1计算形如的积分············
3.2计算形如的积分····················
3.3计算形如的积分················
3.4计算形如和的积分
3.5计算积分路径上有奇点的积分····················参考文献
1.引言
留数理论是柯西积分理论的延续。其中的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具。留数在复变函数论本身和实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系。此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域函内数的零点分布状况。
2.留数
2.1 留数的定义及留数定理
如果函数在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，并包围点a,则根据柯西积分定理，有
但是，如果a是的一个孤立奇点，且周线C全在a的某个去心邻域内，并包围点a,则积分
的值，一般说来，不再为零。并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。概括起来，我们有
定义2.1 设函数以有限点a为孤立奇点，即在点a的某去心领域内解析，则称积分
为在点a的留数，记为
由柯西积分定理知道，当时，留数的值与无关，利用洛朗系数公式，有
即
这里是在处的洛朗展式中这一项的系数。
2.2 留数的求法
如果为的简单极点，则
法则2：设，其中在处解析，如果，为的一阶零点，则为的一阶极点，且
法则3：如果为的m阶极点，则
.
例1求函数在奇点处的留数
解有两个一阶极点，于是根据法则得
例2求函数在奇点处的留数
解有一个一阶极点与两个二阶极点，于是由法则
可得
2.3 函数在无穷远点的留数
定义设为的一个孤立奇点，即在圆环域内解析，则称
为在点的留数，记为，这里是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）。
如果在的洛朗展开式为，则
这里，我们要注意，即使是的可去奇点，在
的留数也必是这是同有限点的留数不一致的地方。
定理如果在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）
为，则在各点的留数总和为零
关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则
法则
例3 求下列函数在所有孤立奇点处的留数：
（1）；（2）；
分析对于有限的孤立奇点a，计算留数最基本的方法就是寻求洛朗展开式中负幂项的系数。但是如果能知道孤立奇点的类型，那么留数的计算也许稍简便些.。
例如当a为可去奇点时，（切记当时此结论不成立）对于极点处留数的计算，我们有相应的规则或公式。
对于无穷远点的留数，一般是寻求在
内洛朗展开式中负幂项的系数变号，也可转变为求函数在处的留数，还可以用公式
，其中为的有
限个奇点。
解（1）函数有孤立奇点0和，而且易知在内有洛朗展开式
这既可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是函数在的去心邻域内的洛朗展开式所以
（2）函数有奇点：0，，.显然0为非孤立奇点，为的一阶零点，所以为的一阶极点
由公式
由公式
易知为的三阶极点
=
注：由分式给出的函数，其中与在都解析。若为的一阶零点，那么当时，是的简单极点；当时，是的可去奇点，不管是哪类点都有
3.用留数定理计算实积分
留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分。如，在研究阻尼振动时计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分.。在热学中将遇到积分
(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂。如果能把它们化为复积分，用柯西定理和留数定理，那就简单了。当然关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来。
把实变积分联系复变回路积分的要点如下：定积分的积分区间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路包围着区域B，这样
左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了。下面具体介绍几个类型的实变定积分。留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分。
3.1 形如型的积分
这里表示的有理函数，并且在上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为，这样当作定积分时从经历变到，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周。第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设，则，
，得
例4 计算
解令，则
例5 计算积分
解令,则
其中,
为实系数二次方程
的两个相异实根.由根与系数的关系，且显然，故必，.
于是，被积函数在上无奇点。在单位圆内只有一个二阶极点和一个一阶极点。则
,
, 由留数定理得
.
3.2形如型的积分
把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适用。第一：，其中，均为关于的多项式，且分母的次数至少比分子的次数高两次；第二：在半平面上的极点为在实轴上的极点为
则有
例6 计算
解由于，且上半平面只有一个极点,因此
例7 设,计算积分
解因=，,
它一共有四个一阶极点
且符合定理的条件。而
(这里用到了)
在上半平面内只有两个极点及,于是
=
=
==
3.3 形如型的积分
1) 留数公式
定理2（若尔当引理）设函数沿半径圆周
上连续，且在上一致成立，则
证明，使当时，
有于是
这里利用了以及
于是由若尔当不等式
（）
将（2）化为
г
例8 计算
解不难验证，函数满足若尔当引理条件
这里，，函数有两个一阶极点及，
于是
．3.4 形如和型积分
定理设，其中和是互质多项式，并且符合条件：（1）的次数比的次数高；
（2）在实轴上；
（3）
则有
特别地，将（4）式分开实虚部，就可用得到形如
及的积分。
由数学分析的结论，可知上面两个反常积分都存在，其值就等于其柯西主值。
例9 计算．
解利用以及若尔当引理，且分母在上半圆只有两个孤立奇点和，得到
=
=
=
3.5 计算积分路径上有奇点的积分
在数学分析中，对于反常积分，也可以类似的定义它的柯西主值。又在定理中假定无实零点，现在我们可以把条件放宽一点，允许有有限多个一阶零点,即允许函数在实轴上有有限一阶极点。为了估计挖去这种极点后沿辅助路径的积分,除了上面的两个引理外，我们在引入一个与其相似的引理。
引理设沿圆弧(,,r充分小)上连续,且于上一致成立,则有
证明因为于是有
与上述引理的证明相似，得知上式在r充分小时，其值不超过任意给定的正数。
例10 计算积分
解存在,且考虑函数沿图所示之闭曲线路径C的积分
根据柯西积分定理得
或写成
这里及分别表示半圆周
及
由引理知
和
在（1）中，令取极限即得的主值
P.V.
所以
参考文献
［1］钟玉泉.复变函数论［M］高等教育出版社，2004.
［2］盖云英.复变函数与积分变换指导［M］科学出版社，2004. ［3］王玉玉.复变函数论全程导学及习题全解［M］中国时代经济出版社，2008.
［4］王瑞苹.论留数与定积分的关系［J］菏泽学院学报,2005. ［5］余家荣. 复变函数论［M］高等教育出版社，2004.
［6］李红,谢松发.复变函数与积分变换［M］华中科技大学,2003.
留数定理在定积分计算中的应用 引言 在微积分或数学分析中，不少积分( 包括普通定积分与反常积分) 的计算用微积分教材里的知识很难解决或几乎是无能为力． 如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论解决这类问题，会达到化难为易、化繁为简的效果．本文主要利用复变函数中的留数定理，将实积分转换为复积分的方法，讨论了几类定积分的计算，首先我们来给出留数的定义及留数定理． 1留数定义及留数定理 1.1 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R
证明:以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ?=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，利用复周线的柯西定理得 ()()1k n k C f z dz f z dz =Γ=∑??， 由留数的定义，有 ()()2Re k k z a f z dz i s f z π=Γ=?． 特别地，由定义得 ()2Re k k z a f z dz i s π=Γ=?， 代入（1）式得 ()()1 2Re k n z a k C f z dz i s f z π===∑?． 2．留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分． 2.1形如 ()20 cos ,sin f x x dx π ?型的积分 ()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，且在[]0,2π上连续，解决此类积分要注意两点，一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。满足这两点之后，我们可以设ix z e =，则dz izdx =， 21sin 22ix ix e e z x i iz ---==，21 cos 22ix ix e e z x z -++== 得 ()22210 11cos ,sin ,22z z z dz f x x dx f z iz iz π =??--= ????? ()1 2Re k n z z k i s f z π===∑．
用留数定理计算实积分 一：教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法 重点：用留数定理计算实积分的方法 难点：定理的应用 二：教学目标或要求： 真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：5－7 用留数定理计算实积分 留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分. 如，在研究阻尼振动时 计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分. 在热学中将遇到积分(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来. 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区 间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样
左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具体 介绍几个类型的实变定积分. 一 计算? π20 d )sin ,(cos R θ θθ型积分 令θi e =z ，则θc o s 与θsin 均可用复变量z 表示出来，从而实现将 )sin ,(cos R θθ变形为复变量z 的函数的愿望，此时有 z z z z i 21sin ,21cos 2 2 -= += θθ 同时，由于θi e =z ，所以1=z ，且当θ由0变到π2时，z 恰好在圆周1:=z c 上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。 至此，有 ?? =?-+=1 2 2π20 d i 1 )i 21,21(R d )sin ,(cos R z z z z z z z θθθ 于是，计算积分? π20 d )sin ,(cos R θ θθ的方法找到了，只需令θi e =z 即可。 例 求。 解 当 时， ；当 时，令 ， 当 时，在 内， 仅以 为一级极点， 在 上无奇点，故由留数定理
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目录 引言 (1) 1 单片机概述 (2) 2 芯片简介 (2) 2.1 MSC-51芯片简介 (2) 2.2 8255芯片简介 (5) 2.3 74LS373简介 (6) 3 系统硬件设计 (6) 3.1交通管理的方案论证 (6) 3.2系统硬件设计 (7) 结论 (13) 辞 (14) 参考文献 (15)
引言 在当今，红绿灯安装在各个道口上，已经成为疏导交通车辆最常最有效的手段。但这一技术在19世纪就已出现了。 1858年，在英国伦敦主要街头安装了以燃煤气为光源的红，蓝两色的机械扳手式信号灯，用以指挥马车通行。这是世界上最早的交通信号灯。1868年，英国机械工程师纳伊特在伦敦威斯敏斯特区的议会大厦前的广场上，安装了世界上最早的煤气红绿灯。它由红绿两以旋转式方形玻璃提灯组成，红色表示“停止”，绿色表示“注意”。1869年1月2日，煤气灯爆炸，使警察受伤，遂被取消。 电气启动的红绿灯出现在美国，这种红绿灯由红绿黄三色圆形的投光器组成，1914年始安装于纽约市5号大街的一座高塔上。红灯亮表示“停止”，绿灯亮表示“通行”。 1918年，又出现了带控制的红绿灯和红外线红绿灯。带控制的红绿灯，一种是把压力探测器安在地下，车辆一接近红灯便变为绿灯；另一种是用扩音器来启动红绿灯，司机遇红灯时按一下嗽叭，就使红灯变为绿灯。红外线红绿灯当行人踏上对压力敏感的路面时，它就能察觉到有人要过马路。红外光束能把信号灯的红灯延长一段时间，推迟汽车放行，以免发生交通事故。 信号灯的出现，使交通得以有效管制，对于疏导交通流量、提高道路通行能力，减少交通事故有明显效果。1968年，联合国《道路交通和道路标志信号协定》对各种信号灯的含义作了规定。绿灯是通行信号，面对绿灯的车辆可以直行，左转弯和右转弯，除非另一种标志禁止某一种转向。左右转弯车辆都必须让合法地正在路口行驶的车辆和过人行横道的行人优先通行。红灯是禁行信号，面对红灯的车辆必须在交叉路口的停车线后停车。黄灯是警告信号，面对黄灯的车辆不能越过停车线，但车辆已十分接近停车线而不能安全停车时可以进入交叉路口。
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数学计算机学院数学与应用数学师范专业2014届刘艳 摘要:正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质并且在计算实积分的过程中构造容易求解的积分路径,然而大量教材或者相关文献长期或者有意无意的按照既定思维对某些实积分计算问题选择基本固定不变的积分路径进行求解,在一定程度上给学生造成思维定势. 本文用例证的方法讨论了用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选择方法,从不同的角度体现了求解过程中选择积分路径的核心思想.这为进一步开拓思维,更为深刻理解留数定理有积极的意义. 关键词:留数定理;实积分;积分曲线 中图分类号:O174 Further discussion of Calculation on real integral by the residue theorem Abstract: The correct use of the residue theorem to calculate real integration means to understand its essence and to construct easy-solved integral path, but a lot of materials or the relevant studies always select the same integral path to solve the similar problem, which give the students wrong understanding when most teachers did not pay attention to the ideological inspiration in teaching. T o some extent, this limits students’ thinking. In this paper, the selection method of integral curve is given with examples in view of the different integral path and the core idea of the residue theorem is shown in calculating process, which has a positive significance for further development of thinking and more understanding of the residue theorem. Key words: real integral；residue theorem；integral curve
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引言 在当今，红绿灯安装在各个道口上，已经成为疏导交通车辆最常最有效的手段。但这一技术在19世纪就已出现了。 1858年，在英国伦敦主要街头安装了以燃煤气为光源的红，蓝两色的机械扳手式信号灯，用以指挥马车通行。这是世界上最早的交通信号灯。1868年，英国机械工程师纳伊特在伦敦威斯敏斯特区的议会大厦前的广场上，安装了世界上最早的煤气红绿灯。它由红绿两以旋转式方形玻璃提灯组成，红色表示“停止”，绿色表示“注意”。1869年1月2日，煤气灯爆炸，使警察受伤，遂被取消。 电气启动的红绿灯出现在美国，这种红绿灯由红绿黄三色圆形的投光器组成，1914年始安装于纽约市5号大街的一座高塔上。红灯亮表示“停止”，绿灯亮表示“通行”。 1918年，又出现了带控制的红绿灯和红外线红绿灯。带控制的红绿灯，一种是把压力探测器安在地下，车辆一接近红灯便变为绿灯；另一种是用扩音器来启动红绿灯，司机遇红灯时按一下嗽叭，就使红灯变为绿灯。红外线红绿灯当行人踏上对压力敏感的路面时，它就能察觉到有人要过马路。红外光束能把信号灯的红灯延长一段时间，推迟汽车放行，以免发生交通事故。 信号灯的出现，使交通得以有效管制，对于疏导交通流量、提高道路通行能力，减少交通事故有明显效果。1968年，联合国《道路交通和道路标志信号协定》对各种信号灯的含义作了规定。绿灯是通行信号，面对绿灯的车辆可以直行，左转弯和右转弯，除非另一种标志禁止某一种转向。左右转弯车辆都必须让合法地正在路口行驶的车辆和过人行横道的行人优先通行。红灯是禁行信号，面对红灯的车辆必须在交叉路口的停车线后停车。黄灯是警告信号，面对黄灯的车辆不能越过停车线，但车辆已十分接近停车线而不能安全停车时可以进入交叉路口。 1 单片机概述
应用留数定理计算物理学中实变函数定积分 1问题 在物理学中，研究阻尼振动时计算积分 sin x dx x ∞ ? ，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞?， 在热学中遇到积分 cos (0,ax e bxdx b a ∞ ->? 为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不 可能。而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数 定积分跟复变函数回路积分联系起来。 2应用留数定理求解实变函数定积分的类型 将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则 1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有 1 2 ()()()l l l f z dz f x dx f z dz =+? ??； 3） ()l f z dz ? 可以应用留数定理，1 ()l f x dx ?就是所求的定积分。如果2 ()l f z dz ?较易求出（往往是 证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了. 类型一 20 (cos ,sin )R x x dx π ? .被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π]. 求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从 0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理. 可以设ix z e =,则dz izdx =∴dz dx iz = 而1 1cos ()22ix ix e e x z z --+= =+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z k z z z z dz I R i Resf z i iz π--=+-==∑? 类型二 -()f x dx ∞ ∞ ? .积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限 个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0. 求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ?ψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至 图1
应用电子技术专业论文开题报告 应用电子技术专业论文开题报告 北京理工大学高等职业技术学院应用电子技术专业论文开题报告开题报告日期：姓名：付月学号：03 指导老师：班善军老师论文题目：自动窗帘启闭控制电路设计任务书一。论文选题意义（初拟） 1.选题的目的和意义目的：为了方便人们的日常生活，设计一个根据室内光强控制的自动启闭光控窗帘意义：在科学技术日益发达的今天，各种小的技术创造充满了人们的生活，其目的就是为了让人们生活的更加的方便。自动启闭光控窗帘就是这样的一个设计，他可以根据室内的光的强度来自动调节窗帘打开的程度，以此将室内的光强控制一个自己认为合适的亮度。 2. 本选题的基本内容及国内外研究现状窗帘其基本的作用无非是保护业主的个人隐私以及遮阳挡尘等功能，但传统的窗帘您必须手动去拉动，每天早开晚关也是挺麻烦的，特别是别墅或复式房的大窗帘，比较重，而且长，需要很大的力量才能开关窗帘，很不方便。于是遥控电动窗帘在最近几年得到迅速发展，并广泛应用于智能大厦、高级公寓、酒店和别墅等领域，只要遥控器轻按一下，窗帘就自动开合（百叶窗可以自动旋转），非常方便。采用智能控制系统还可以实现窗帘的定时开关，场景控制等高级控制功能，真正让窗帘成为现代家居的一
道亮丽的风景线 1.电动窗帘特点遥控电动窗帘系统是一种新型的高科技产品。它的应用将带给您高科技的享受及便捷，同时能美化您的环境，使您的家居呈现更高品位。以下介绍电动窗帘系统的相关设备及特点。安全方面：窗帘驱动设备装有可靠的安全设防保护装置，用户可放心使用。 兼容性：该系统备有手动、智能线控按钮、遥控器。当窗帘完全开启或关闭时，驱动器能及时停止工作。发生断电时，可手动开启及关闭系统。适用性：具有多种不同档的开启和关闭速度，不同的场合可选用不同的速度。智能化：系统定时控制器能预先在24小时内进行多次自动开启与关闭的设置。如遇到您外出，系统会按照您的习惯在每天同一时间自动开启及关闭窗帘，确保安全。另外，通过系统专用遥控器及专用位置码接受器对窗帘进行设置，该系统设备能单独或同时控制不同的窗帘系统。遥控窗帘在最近几年被广泛应用于高级智能公寓和私人别墅。随着科技的进步，近年来又出现了直线电机新技术，直线电机技术作为一项高新技术自问世以来，就受到社会各界的广泛关注，并以它自身的技术特点迅速改变了人们对传统事物的看法 2.电动窗帘的技术革新--磁驱直线电动窗帘机邮政分拣系统、上海的磁悬浮列车、计算机磁盘定位系统、离子加速器等，而将它应用在电动窗帘方面则使该行业进入了一个新阶段--磁驱直线电动窗帘机。磁驱直线电动窗帘机直接利用磁驱动的力量驱动电机进行往返动作，带动窗帘作来回往返
应用电子技术专业毕业设计（论文）课题题目 一、光电计数器的设计 设计要求： 1、实现０―999范围计数，能在超出最大值后溢出报警； 2、要求使用红外发光二极管、光电管检测； 3、能在设定值报警，能在报警后延时3秒钟自动关闭报警并自动重新计数；可以手动清除报警； 4、要求光电发射管与接收管有1米以上的间距； 5、画出完整的电路原理图（包含电源部分）和PCB板图。 二、水温控制器的设计 1、水温能控制在25℃-60℃之间； 2、可以以2℃为步进调节，控制误差±2℃； 2、画出完整的电路原理图（包含电源部分）和PCB板图。 三、数字式可调稳压电源 1、用89C51系列单片机控制实现； 2、输出电压在0-24V之间可以任意调节，分辨率，输出电流最大1.5A； 3、整机效率>60% ； 4、画出完整的电路原理图（包含电源部分）和PCB板图，写出完整 的程序。
四、采用protel实现XX电路板的设计 1、画出完整的电路原理图、PCB板图； 2、“XX”指电路可以自拟，但要求元件数须大于50个（至少包 含一个多于40引脚的集成电路）； 3、电路原理图、PCB板图必须同时有电子文件和纸质文件； 4、最好能通过工厂制作ＰＣＢ实物； 5、详细叙述设计过程，包括必要的设计原则说明。 五、12v/220v车载逆变电源 1、实现DC12V到AC220V的转换，输出电流最大1A； 2、电压稳定率220V±5% 3、画出完整的电路原理图（包含电源部分）和PCB板图。 六、电子温度计的设计 1、温度测量范围0℃～100℃，分辨率0.1℃； 2、测量值用LED数码管显示； 3、画出完整的电路原理图（包含电源部分）和PCB板图。 七、声光控制楼道灯开关 1、白天灯灭，晚上有声响时灯亮，延迟25秒后熄灭； 2、灯泡最大功率60W；
第六章留数理论及其应用 §1.留数1.（定理柯西留数定理）： 2.（定理）：设a为f(z)的m阶极点， 其中在点a解析，，则 3.（推论）：设a为f(z)的一阶极点， 则 4.（推论）：设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数：
即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.（定理）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。 8.计算留数的另一公式： §2.用留数定理计算实积分 一.→引入 注：注意偶函数 二.型积分 1.（引理大弧引理）：上 则 2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 注：可记为 三.型积分 3.（引理若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周 上连续，且 在上一致成立。则 4.（定理）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：（1）Q的次数比P高； （2）Q无实数解； （3）m>0 则有 特别的，上式可拆分成：
及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理小弧引理）： 于上一致成立，则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数： 2.（引理）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且 （2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且 3.（定理对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在C的内部是亚纯的；
留数定理编辑讨论3 上传视频 本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。[1] 中文名留数定理外文名Residue theorem别称柯西留数定理应用学科工程学、数学适用领域范围工学相关术语解析函数 目录 1 定律定义 2 推导过程 3 相关术语 定律定义编辑 假设U是复平面上的一个单连通开子集，，是复平面上有限个点，是定义在U\{ }的全纯函数。如果γ是一条把包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个，并且其起点与终点重合，那么： 如果γ是若尔当曲线，那么I(γ,ak)=1, 因此： 在这里，Res(f, ak)表示f在点ak的留数，I(γ, ak)表示γ关于点ak 的卷绕数[2] 。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点ak的次数。如果γ依逆时针方向绕着ak移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过ak，卷绕数就是零。
推导过程编辑 以下的积分 在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从?a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到?a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为： 由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。由于z2 + 1 = (z + i)(z ? i)，因此这个函数在z = i或z = ?i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。 由于f(z)是 f(z)在z = i的留数是： 根据留数定理，我们有： 路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：
毕业实践论文报告 题目：对液晶显示屏中Eye Inspection的论述 系别：信息与电气工程系 专业：应用电子技术 学制： 姓名： 指导教师： 二О一四年二月十一日对液晶显示屏中Eye Inspection的论述
摘要：液晶显示屏中Eye Inspection的操作步骤及流程，不但可以增强作业员对不良产 品的分类保管的安全可靠性，同时这项操作保证了产品的良率，也大大简化了后工序人 员的操作步骤。Eye Inspection操作的同时不仅强化了Spec的理论知识，也为自己以后 的工作积累经验。只有符合Eye Inspection操作中要求的panel才能是可以流入下一个 工序的显示屏。 关键词：Eye Inspection（目视检测）；pad（电极）；burr（毛刺）；目镜 随着社会的进步和科学技术的发展，显示屏技术应时代而生，伴随着高科技产品的快速发展，时代对显示屏的要求也越来越高，此项技术的不足也会不断涌现，因此，怎样解决问题，怎样才能做出满足大众要求的产品成了关键的问题，这样就要从产品的生产及运输过程中考虑，当然最重要的还是生产的全过程，而Eye Inspection则是显示屏生产中必不可少的一步，我主要从Eye Inspection的作业前准备、作业步骤、Spec的要求、注意事项及安全以及安全生产等方面进行阐述。 1、液晶显示屏中Eye Inspection的论述 1.1、Eye Inspection作业前准备 1.1.1、作业人员做好准备、准备好手环、脚环和指套。 1.1.2、准备好CST。 1.1.3、熟练掌握不良Panel判定Spec. 1.2、Eye Inspection的作业步骤 1.2.1 burr inspection 位置和unload cr eye inspection 作业步骤 a. 听到提示音后打开burr inspection 设备窗口轻轻取出 panel b. 按照spec 判定是否NG。必要时使用显微镜或有刻度目镜测量 裂纹确认 c. 如判定可以向下流品，则将panel 轻放回继续流品 d. 若判定为NG panel ，则选择scrap e. NG panel 如果可以修复则可以送入专门的cst 中保存等待修复 f. 整个操作过程中严禁将头部伸入设备中，发现panel 切割异常及时 通知cut科技术人员。 g. 将待检区的Q-panel 放置在检测区域 h. 打开检测灯，用吸球将single panel 轻轻吸起剥掉残材 i. 按照spec 判定 single panel 是否 NG ，OK 的panel 放入cst ，
留数定理与几类积分的计算 中文摘要 本文主要总结几类可用留数定理计算的积分的特征并给出对应的用留数定理算积分的步骤以及可行性说明。其中类型3是对文献1中给出的结论的推广，类型3中的引理2是笔者对文献1的一道习题的推广并给出了证明。接着笔者补充了参考文献2中多值函数积分部分4个引理的证明并给出相应的应用例子，类型7笔者根据个人理解将分成瑕积分和黎曼积分两类给出计算方法。 关键词：留数定理，积分计算，单值函数，多值函数 …… 正文 （一）单值函数 类型1：形如20(sint,cost)dt I R π =?的实积分，其中(x,y)R 是有理函数，并且在圆 周22{(x,y):x y 1}+=上分母不为零。 解决技巧：令it z e =，将实积分转化为单位圆周上的复积分。 由sin ,cost ,22 it it it it it e e e e t dz ie dt i ---+= ==可得： 22221 111111 (,)2Re ((,),z )22222n k C k z z z z I R dz i s R iz z iz iz z i =-+-+==π∑?① 其中，12,,...,n z z z 是22111 (,)22z z R iz z zi -+在单位圆周的所有孤立奇点，22111 (,)22z z R iz z zi -+在单位闭圆盘除去12,,...,n z z z 外的其他点都解析。 例子： 类型2：形如(x)dx I R +∞ -∞ =? 的实反常积分，其中(x)R 是有理函数，在实轴上分 母不为零，并且分母的次数至少比分子次数高2。计算公式为 1 2Re (R(z),z )n k k I i s ==π∑（其中12,,...,n z z z 为R(z)在上半平面的所有孤立奇点，R(z ） 在上半平面除去这些点外的其他点解析）
电子技术毕业论文 摘要：随着我们国家的科学技术飞速的发展，数字化、信息化以及自动化已经成了智能电网想要稳定、快速发展的主要方向。利用先进的电力电子技术在对智能电网进行搭建的过程当中，起到非常关键的作用。怎么才能够将先进的电力电子技术有效的应用到智能电网当中，而且对智能电网未来的实际发展需求对电力电子技术就要不断的进行改善，这也是当今阶段主要的研究任务之一。本篇文章就对我们国家的智能电网在进行发展的过程当中，对电力电子技术方面实际的需求进行了详细的论述，而且也对电力电子技术在智能电网的建设过程当中实际的发展方向进行了简单的分析，并且也进一步的提出了后期主要的发展目标。 关键词：电力电子；智能电网；电能质量 尤其是近几年，我们国家额科学技术飞速的发展，使得我们国家的智能电网建设速度以及规模越来越增加，这样才能够有效的满足人们对电能越来越多、越来越高的需要。先进的电力电子技术在整个电力行业当中属于比较新兴的一种技术，在电力交换方面可以更好的进行运用。因为采用这一技术可以大大的提升电能的利用率，因此，当今阶段这一技术已经在很多个行业当中有了非常广泛得应用。所以，相关的工作人员一定要对先进的电力电子技术深入的进行研究，这样就能够在后期智能电网进行建设的时候有效的进行应用这一技术。 1先进电力电子技术在智能电网中的运用意义 对先进的电力电子技术进行应用，不但可以使电网的反应能力有非常大的提升，并且还可以使得电网的电能质量以及输配电的能力有非常大的提高。在当今阶段，我们国家的电网架构还比较薄弱，在对于输配电方面还要不断的进行完善。先进的电力电子技术对系统的调控能够进行实现，并且也能够对电网潮流的分配有效的进行调节，因此，可以使电网始终保持在一个比较安全的运行环境当中。对可再生能源进行应用的过程当中，运用先进的电力电子技术能够更加有效的实现对可再生能源的发电控制以及有效的调度，并切也能够使得这些能源进行大规模以及分布式的接入，为能源的利用打下坚实的基础。在对电能质量进行管理的过程当中，运用先进的电力电子技术能够有效的强化用户与供电方之间的交互关系，更好的实现电网电能的质量大大的提高，从而得到质量更好、更稳定的电能供应。另外，在节能减排上运用先进的电力电子技术可以使得当今阶段的输电线路实际的输送能力大大的提升。 2我们国家的智能电网实际的发展情况 智能电网指的就是智能化的电网，这是比较新型的一种电网，可以非常有效的提升效率，对能源的浪费大大的降低，并且对于电能的损耗也比较小，更好的保障了用电的安全等。随着经济快速的发展，也使得智能电网的应用范围更加的广泛，虽然美国的智能电网
留数及其应用 摘 要 数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内各孤立 奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可 以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用． 关键词 留数定理；留数计算；应用 引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法． 一. 预备知识 孤立奇点 1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点 则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域内解析，但在点a 不解析， 则称a 为f 的孤立奇点.例如sin z z ，1 z e 以0=z 为孤立奇点. z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点. 11sin z 以0=z 为奇点（又由1sin 0=z ，得1(1, 2...,)π ==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有
石河子大学 本科毕业论文（设计） 留数定理及其应用 院系师范学院 专业数学与应用数学 姓名向必旭 指导老师曹月波 职称讲师 摘要 留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。 1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。 柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论
及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。 关键字：留数；留数定理；积分 目录 摘要··············································· 1. 引言············································· 2. 留数············································· 2.1 留数的定义及留数定理························ 2.2 留数的求法·································· 2.3 函数在无穷远处的留数························ 3. 用留数定理计算实积分 3.1 计算形如∫f (cos x ,sin x )dx 2π 0的积分············ 3.2 计算形如∫f (x )+∞ ?∞dx 的积分···················· 3.3 计算形如∫P (x ) Q (X )+∞?∞e imx dx 的积分················ 3.4 计算形如∫P (x )Q (x ) +∞?∞ cos mxdx 和∫P (x ) Q (x ) +∞?∞sin mxdx 的积分 3.5 计算积分路径上有奇点的积分···················· 参考文献 1. 引言
盐城纺织职业技术学院毕业设计 基于单片机的99马表设计 黄晓芳 班级：电子512 专业：应用电子技术 所在系：机电工程系 学号：053052111 指导老师：罗文华 完成时间2008年4月10日至2008年6月18日
目录 摘要： (3) 引言： (4) 第一章单片机的发展与应用 (5) 1.1、单片机的发展 (5) 1.1.1、单片机的概念 (5) 1.2、MCS-51单片机的简介 (5) 第二章基于单片机AT89C51的99马表硬件系统 (9) 2.1、基于单片机AT89C51的99马表原理 (9) 2.1．1、主要功能： (9) 2.1.2、系统板上硬件连线 (10) 2.2、AT89S51的介绍 (10) 2.2.1、主要特性 (11) 2.2.2、管脚说明 (11) 2.2.3、振荡器特性 (13) 2.2.4、芯片擦除 (13) 2.3、基于AT89S51的99马表外围电路设计 (14) 2.3.1、复位电路 (14) 2.3.2、时钟电路 (16) 2.3.3、数码管 (16) 2.3.4、键盘电路 (19) 第三章基于AT89S51的99马表软件系统 (21) 3.1、基于单片机AT89S51的99马表汇编程序 (21) 3.1.1、基于单片机AT89S51的99马表流程图 (21) 3.1.2、基于单片机AT89S51的99马表汇编程序 (22) 3.2、K EIL U V ISION2集成开发环境介绍 (26) 3.2．1、keil的使用步骤 (26) 3.4仿真软件P ROTEUS (28) 3.4.1、基于Proteus软件的系统硬件仿真设计 (28) 3.4.2、基于Proteus软件的系统硬件仿真运行 (29) 3.5、硬件系统的设计 (29) 3.5.1、Protel DXP概述 (29) 3.5.2、原理图设计系统的特点 (29) 3.5.3、印制电路板（PCB）的设计系统的特点 (31) 第四章小结与展望 (32) 4.1、小结 (32) 4.2、全文展望 (32) 致谢 (33) 参考文献 (34)
留数定理在定积分中的应用 1． 留数定义及留数定理 1．1 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R
由留数的定义，有 ()()2Re k k z a f z dz i s f z π=Γ=?． 特别地，由定义得 ()2Re k k z a f z dz i s π=Γ=?， 代入（1）式得 ()()1 2Re k n z a k C f z dz i s f z π===∑?． 2．留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分． 2．1 形如 ()20 cos ,sin f x x dx π ?型的积分 这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设ix z e =，则dz izdx =， 21sin 22ix ix e e z x i iz ---==，21cos 22ix ix e e z x z -++== 得 ()222 10 11cos ,sin ,22z z z dz f x x dx f z iz iz π =??--= ???? ?
江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 留数定理及其在积分中的运用 （Residue theorem and the use in the Calculus） 姓名：刘燕 学号： 0507010122 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：易才凤（教授） 完成时间：2009年*月*日
留数定理及其在积分中的应用 【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算 方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容--留数定理，并得到留数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问题. 【关键词】解析孤立奇点留数留数定理
Residue theorem and the use in the Calculus 【Abstract】This paper, we first introduce the prior knowledge of complex function Calculus，and introduce the method of calculating the residue, etc.On this basis,We described and proved the main contents of this article--the Residue theorem,and the promotion of the Residue theorem . This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems. 【Key words】Analysis Isolated singular point Residue Residue theorem