柯西留数定理及其应用

淮北师范大学

2013届学士学位论文

柯西留数定理及其应用

学院、专业数学科学学院、数学与应用数学

研究方向函数论

学生姓名刘军

学号 20091101089

指导教师姓名张杰

指导教师职称副教授

2013年4月15日

柯西留数定理及其应用

刘军

(淮北师范大学数学科学学院,淮北,235000)

摘要

本文首先通过介绍柯西留数定理的重要性、定义及证明过程,然后进一步研究柯西留数定理在一些广义积分中的应用.此后,通过一些实例结合自己的学习体会做出应用柯西留数定理在一些复杂定积分中的巧妙运算,目的是使我们在掌握定积分基本运算方法之后,熟悉一些复杂定积分,如反常积分、广义定积分的一些特性及巧妙运算方法,增强解题能力.接着研究柯西留数定理在级数求和中的应用,最后研究柯西留数定理在其他方面的应用.

关键词留数定理,广义积分,定积分,级数求和

Cauchy residue theorem and its applications

Liu Jun

(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, huaibei, 235000)

Abstract

This article firstly introduce the importance of the cauchy residue theorem basis, definition and the process of proof, and then studies the applications of the cauchy residue theorem in some generalized integrations. Since then, throughing some examples combined with own learning experience to make the application of the cauchy residue theorem in complex skillful operation of definite integration, the purpose is to make familiar with some complex definite integration after we master the basic operation method of definite integration, such as improper integration, some of the generalized integration and clever operation methods, strengthen the solving ability of some problems. Then study the applications of the cauchy residue theorem in series summation, and the cauchy residue theorem in other applications finally.

Keywords：residue theorem，the generalized integration，definite integration，series summation

目录

引言 (1)

一、柯西留数定理的理论基础 (1)

二、柯西留数定理的概念及其证明 (4)

三、柯西留数定理的应用 (4)

（一）辐角原理 (4)

（二）在广义积分中的应用 (7)

（三）在级数求和中的应用 (11)

（四）柯西留数定理的推广应用 (12)

结束语 (15)

参考文献 (15)

致谢 (16)

引言

柯西留数定理是《复变函数论》中留数理论中的一个重要定理,利用柯西留数定理在围线积分中的应用计算,探求柯西留数定理在一些特殊实积分,如反常积分、广义积分等中的应用,可以起到事半功倍的作用,它是研究计算定积分,尤其是对原函数不易直接求得的实积分和反常积分,常是一个有效的方法,其要点是将其划归为复变函数的周线积分,再把计算周线积分的整体问题,化为计算各孤立奇点处留数的局部问题,继而就可得到解决.柯西留数定理是复变函数论中留数理论的重点和难点,如何在教学中突出重点,化难为易,是教学研究的重要内容之一.

一、柯西留数定理的理论基础

在复分析中,通过对函数的罗朗级数负幂项的系数与函数曲线积分的关系研究,得出函数在孤立奇点的留数概念,因此产生了留数理论,而利用留数理论来计算围线积分,特别是计算复杂的实积分,提供了一种工具,而作为留数理论中的一个最基本、最重要的定理——柯西留数定理,是柯西积分定理和柯西积分公式的推广而来的,是计算解析函数沿闭曲线路径积分的一个有力工具.下面先介绍留数理论中的基本概念——留数.

（一）留数的定义

定义1[]1 设()a a ≠∞是函数()f z 的孤立奇点,若函数()f z 在0z a R <-<内解析,则称积分

1

()2c f z dz i

π?为()f z 在孤立奇点a 的留数,记作Re (,)s f a ,其中c 为圆周(0)z a R ρρ-=<<.

注 （1）由上述定义可以看出,Re (,)s f a 只有当点a 是函数()f z 的孤立奇点时才有意义.

（2）留数Re (,)s f a 与圆c 的半径ρ无关.由11

()Re (,)2c c f z dz s f a i

π-=

=?,可以

得到Re (,)s f a 等于()f z 在点a 的罗朗展式中

1

z a

-这一项的系数. （3）若a 为()f z 的可去奇点,则Re (,)0s f a =. 在此,要介绍另一个概念——对数留数. 定义2

[]

1 称积分'1()

2()

c f z dz i f z π?为函数()f z 的对数留数,其中c 为一条围

线,()f z 在c 上解析且不为零,()f z 在c 的内部为亚纯函数.

由于'()(ln ())()f z d f z f z dz =

,所以称上面的积分为对数留数.显然,函数()f z 的零点和极点都可能是'()

()

f z f z 的奇点.

这个定义将在柯西留数定理的应用——辐角原理中起到很大的作用.下文中会具体介绍.

（二）留数的计算

对于留数的计算,有以下几种方法：

1、直接使用定义,通过计算函数的曲线积分而直接得到函数在某一点的留数,该方法主要有理论上的价值,实际计算中一般不用.

2、利用1Re (,)s f a c -=,把函数()f z 在点a 展成罗朗级数,其中的系数1c -即为函数()f z 在点a 的留数Re (,)s f a .

例1 设函数24

1()z

e f z z -=,求Re (,0)s f 和Re (,)s f ∞.

解 由于

44

325114122()2234!!

n n n z f z z z z n -+∞==-----∑

(0)z <<+∞, 所以

4

Re (,0)3

s f =-.

又0z =是唯一有限奇点, 故

4Re ()Re ()3

z z s f z s f z =∞

==-=

. 3、设b 是()f z 的一级极点,则 . 例2 设函数61

()(1)

z f z z z -=-,求Re (,1)s f .

解 由于

1

61

lim(1)

50(1)

z z z z z →--=≠-,

且

61

(1)

z z z --在点1的某个去心邻域中解析,从而1z =是()f z 的一级极点,

所以

1

61

Re (,1)lim(1)

5(1)

z z s f z z z →-=-=-.

4、设a 是()

()()

z g z z ?ψ=

的一级极点,()z ?、()z ψ均在a 解析,且 ()0a ψ=,'()0a ψ≠,()0a ?≠,则()

Re (,)'()

a s g a a ?ψ=. 例3 设函数52

()(1)

z h z z z -=

-,求Re (,0)s h .

解 易知0z =是函数()h z 的一级极点, 令

()52z z ?=-,()(1)z z z ψ=-,

可得

(0)20?=-≠,'(0)10ψ=-≠,(0)0ψ=

所以

(0)2

Re (,0)2'(0)1

s h ?ψ-=

==-. 5、设a 是()f z 的一个m 级极点，则1

11Re (,)lim [()()](1)!m m m z a d s f a z a f z m dz

--→=

--. 例4 设函数3

sin ()z

f z z =

,求Re (,0)s f .

解 易知0z =是函数()f z 的3级极点, 所以

22

3220011Re (,0)lim (())lim sin 02!2z z d d s f z f z z dz dz

→→===.

通过以上的几种留数求法可以看出,在以后遇到的具体问题中要具体对待,更要学会灵活运用.

二、柯西留数定理的概念及证明

柯西留数定理[]1 设D 是复平面上的一个有界区域,其边界是一条或有限条简单闭曲线C .设()f z 在D 内除去有限个孤立奇点1z ,2z ,…,n z 外,在每一点都解析,并且它在D D C =?上除1z ,2z ,…,n z 外连续,则1()2Re (,)n

C k k f z dz i s f z π==∑?.

证 以D 内每一个孤立奇点k z 为心,作圆周k γ,使以它为边界的闭圆盘含在D 内,并且任意两个这样的闭圆盘彼此不相交.从D 中除去以这些k γ为边界的闭圆盘得到一个区域G ,其边界是C 以及k γ（1k =,2,…,n ）.()f z 在G 内解析,()f z 在G 上连续.因此由文献[1]中的柯西积分定理推广到复围线的情形,我们有

1

()()k

n

C

k f z d z f z d

z γ

==∑??,而()2Re (,)k k f z dz i s f z γπ=?(1,2,,)k n = ,所以 1

()2Re (,)n

C

k k f z dz i s f z π==∑?

.

三、柯西留数定理的应用

（一）辐角原理

在介绍该原理之前,先看下面的两个引理.由留数的相关概念,易得：

引理1[]

1 （1）设a 为()f z 的n 级零点,则a 必为'()

()

f z f z 的一级极点,并且

'()Re (,)()

f z s a n f z =;

（2）设b 为()f z 的m 级极点,则b 必为'()

()

f z f z 的一级极点,并且

'()

Re (

,)()

f z s b m f z =-. 引理2[]1 假设

（1）C 为一条围线,()f z 在C 的内部是亚纯的,且连续到C ; （2）()f z 在C 上不为零;

则函数()f z 在C 的内部只有有限个零点和极点.

由上述的两个引理,易证： 定理1[]1 假设

（1）C 为一条围线,()f z 在C 的内部是亚纯的,且连续到C ; （2）()f z 在C 上不为零;

则:

'1()

(,)(,)2()

C f z dz N f C P f C i f z π=-? ① 其中(,)N f C 与(,)P f C 分别表示()f z 在C 内部零点的个数与奇点的个数（一个

n 级零点算作n 个零点,一个m 级奇点算作m 个奇点）.

为了进一步说明①式的意义,我们给出下面的定理. 定理2（辐角原理）[]1 假设

（1）C 是一条围线,()f z 在C 的内部是亚纯的,且连续到C ; （2）()f z 在C 上不为零;

则

'1()1

arg ()(,)(,)2()2C C f z dz f z N f C P f C i f z ππ

=?=-?, 其中

1

arg ()(,)(,)2C f z N f C P f C π

?=-表示z 沿C 的正向绕行一周时,函数()f z 辐角的改变量.特别若()f z 在C 内部解析,则1

(,)arg ()2C N f C f z π

=

?. 下面就辐角原理的具体应用,结合实例具体分析.

例1 设()(1)(3)(5)g z z z z z =---,:4C z =,用辐角原理证明()g z 在C 的内部有3个根.

解 ()g z 在曲线C 上没有零点,在C 内解析,在C 内部有3个零点,而没有奇点,所以(,)(,)3N f C P f C -=. 另一方面

arg ()(1)(3)(5)C C C C C f z z z z z ?=?+?-+?-+?-

222πππ=++ 6π=. 于是

1

arg ()(,)(,)2C f z N f C P f C π

?=-. 由此可以看出,在一些题目的计算中,辐角原理是个很便捷而有效的工具.而其中一个较重要的应用就是儒歇定理,它在考察零点分布时会起到很大的作用.下面就儒歇定理的应用做具体介绍.

定理3[]2（儒歇定理）设C 是一条周线,函数()f z 及()z ?满足条件: (1)它们在C 的内部均解析,且连续到C ; (2)在C 上,()()f z z ?>;

则函数()f z 与()()f z z ?+在C 的内部有同样多(几阶算作几个)的零点,即

(,)(,)N f C N f C ?+=.

例 2 设()z ?在:1C z =内部解析,且连续到C ,在C 上()1z ?<.试证:在C 内部只有一个点0z 使00()z z ?=.

证 设()f z z =-,()()g z z ?= 则在C 上有

()()1()g z z z f z ?=<=-=

由儒歇定理知,()f z 与()()()f z z z z ??+=-在C 内零点个数相同,而()f z z =-在C 内只有一个零点,所以()()()f z z z z ??+=-在C 内有且只有一个零点,记为0z ,使得00()0z z ?-=,即00()z z ?=.

（二）在广义积分中的应用

1、计算20(cos ,sin )R d π

θθθ?型积分

其中(cos ,sin )R θθ为sin ,cos θθ的有理函数,在[]0,2π是连续.设i z e θ=,则

dz

d iz

θ=

,由欧拉公式得1cos 22i i e e z z θθθ--++==,1sin 22i i e e z z i i θθθ----==.当θ从0变化到2π时,z 沿单位圆周正方向绕行一周,因此我们有以下的计算积分公式：

1121

(cos ,sin )(,)22z z z z z dz

R d R i iz

π

θθθ--=+-=?

?

可以看出上式右端是关于变量z 的有理函数的围线积分,且设其中的被积函数在1z =上没有奇点,则可利用柯西留数定理来计算实积分20(cos ,sin )R d π

θθθ?.

注 这里关键一步是利用变数代换i z e θ=,至于被积函数(cos ,sin )R θθ在[]0,2π上的连续性可不必考虑,只要看变换后的函数在1z =上有无奇点.

例1 计算积分20

5

cos 4

d I π

θθ=-?

.

解 令i z e θ=,则dz d iz

θ=. 这样就有

11()(1)

22

z dz

I i z z ==

--?,

且在圆1z <内1()11

()(1)

22

f z z z =--,只以1

2

z =

为一阶极点,在1z =上无奇点, 由Re ()()z a

s f z a ?==可知

12

114Re ()113

112

4

z p

z s f z z ===

=

=

-- 因此由柯西留数定理得

112821131144

I i i ππ

π===

-- . 注 此题也可利用数学分析中的方法来求解,这里就不详细解答了,但比较起来,用复变函数中的柯西留数定理来求解要显得简单的多.

2、计算()

()

P x dx Q x +∞-∞

?

型积分 为了计算这种类型的反常积分,首先证明下面的一个引理.它的作用是估计辅助曲线Γ上的积分.

引理1[]2 设()f z 沿圆弧:Re i R S z θ=12(,R θθθ<<充分大）上连续,且

lim ()R zf z λ→+∞

=于R S 上一致成立（既与12θθθ≤≤中的θ无关）,则有

21lim

()()R

S R f z dz i θθλ→+∞=-?

.

由上述引理,易证： 定理1[]2 设()

()()

P z f z Q z =

为有理分式,其中101()m m m P z c z c z c -=+++ 0(0)c ≠ 与101()n n n Q z b z b z b -=+++ 0(0)b ≠为互质多项式,且符合条件： （1）2n m -≥; （2）在实轴上()0Q z ≠; 于是有

Im 0

()2Re ()k

k z a a f x dx i

s f z π+∞

-∞

=>=∑

?

.

例2 设0a >,计算积分2

222

()x dx x a +∞

-∞

+?

.

解 设2

222

()()z f z z a =+

因为

2

222

lim ()lim 0()z z z zf z z z a →∞→∞==+, 所以

222222

2Re ()()2x z dx i s x a z a a

π

π+∞

-∞

==++?

. 例3 求积分2

22

(1)(4)

x I dx x x +∞

=++?的值. 解 因为

2212(1)(4)

dx

I x x +∞-∞=

++? 由定理1知道

2212(1)(4)6

dx I x x π+∞-∞=

=++?. 3、计算()()

imx

P x e dx Q x +∞

-∞

?

型积分 引理2[]2 设函数()g z 沿半圆周:Re i R z θΓ=(0,)R θπ≤≤充分大上连续,且

lim ()0R g z →+∞

=在R Γ上一致成立,则lim

()0R

imz R g z e dz Γ→+∞=?

(0)m >.

该引理也称为若尔当引理,应用上述引理,和证明定理1一样,可得: 定理2[]3 设()

()()

P z g z Q z =

,其中()P z 及()Q z 是互质多项式,且符合条件: （1）()Q z 的次数比()P z 的次数高; （2）在实轴上()0Q z ≠; （3）0m >; 则有

Im ()2Re [()]k k

imx imz z a a g x e dx i s g z e π+∞

-∞

==∑?

.

将上述式子的实虚部分开,可以得到形如()

cos ()P x mxdx Q x +∞

-∞

?

和()sin ()

P x mxdx

Q x +∞-∞?的积分.由数学分析中的结论,可知上面两个反常积分都存在,其值就是柯西主值.

例4 计算积分2

cos 710

x x

dx x x +∞-∞

-+?. 解 因为2()710

z

f z z z =

-+在上半平面25x =内无奇点,在实轴上只有两个一级

极点12x =,25x =. 于是

{}

2(),2(),5710

iz iz iz

ze dz i Res f z e Res f z e z z π+∞

-∞

????=+????-+?

, 所以

252cos Re (25)(2sin 25sin 5)710

i i

x x dx s i e e x x ππ+∞

-∞

??=-+=-??-+?

. 例5 计算积分2

cos 1x

dx x +∞

-∞+?

.

解 因为被积函数为偶函数, 故

220

cos 1cos 121x x

dx dx x x

+∞

+∞-∞=++?

?， 根据定理4得

222Re 11ix iz z i e e dx i s x z π+∞

-∞=??=??++??

?11

22e i e i ππ--==， 于是有

1

2cos 1x dx e x π+∞

--∞=+?和120cos 12x dx e x π+∞-=+?. 4、计算0

()ln R x xdx +∞

?

型积分

计算此种类型的积分,其主要方法是[]4:设()R x 是有理函数,且分子比分母至少低二次,设函数2()()(ln )F z R z z =.将复平面沿正实轴(包括原点)作支线割开,得其单位值域D ,取ln z 在正实轴上为实值的分枝,其对应()F z 记为2()()(ln )f z R z z =,若k z 是2()(ln )R z z 在D 内的各个极点,则:

2

11()ln Re Re ()(ln ),2n k k R x xdx s R z z z +∞

=????=-??????

∑?

① 例6 计算4

ln (1)x

dx x +∞+?

的值. 解 设辅助函数2

4

1()(ln )(1)

f z z z =

+,显然()f z 在1z =-处有四阶极点,

其留数为

24

(ln )2Re ,11(1)3z s i z π??-=-??+??

. 根据公式①即得

[]{}40

ln 1121

Re Re (),1Re 1(1)2232

x dx s f z i x π+∞

??=--=--=-??

+???

. 通过上述的一些实例可以看出,应用柯西留数定理计算某些类型实函数的积分,其大概思想是[]5:为了求实函数()f x 在实轴或者实轴上的某一段L 上的积分,我们要适当增加某一曲线使其构成一简单闭曲线C ,其内部为D ,选取合适的函数()f z ,然后对()f z 应用柯西留数定理,就大大简化了计算问题.

（三）在级数求和中的应用

设()R z 是分子次数比分母至少低两次的有理函数,且其极点12,,,n z z z 都不为整数,则有

1

()Re R()cot(),n

j

k j R k s z z z

ππ+∞=-∞

=??=-??∑∑;

1

(1)

()Re ()csc(),n

k

j k j R k s R z z z ππ+∞

=-∞

=??-=-??∑∑

例1

[]

6 求级数24

1

cos (4)n n

n n +∞

=-∑

的和. 解 设24cos ()(4)

z

f z z z =

-,则()f z 有一个一阶极点0和四个一阶极点

:

1234c c c c ====-.

由文献[6]中的一个公式（6）得

244224011cos cot()4cos 1lim lim cot()()()(4)22!m m z z c n m z z d z z n dz z z c f z n n ππππ+∞→→==????????-??????=-+-??-??????∑∑

21))1624π?

?=--+-??.

例2

[]

6 求级数1

1

(1)n n n +∞

=+∑

的和.

解 因为

120,1

111

(1)(1)(1)

n n n n n n n n n n +∞

+∞+∞

=-∞

==-≠-=++++∑

∑∑

, 2221

1111

(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n -∞

+∞+∞+∞

=-======+--+-+∑∑∑∑, 所以

10,1

111

(1)

2(1)n n n n n n n -∞

+∞==-∞≠-=++∑∑. 设1

()(1)

f z z z =+，显然()f z 有一阶极点0和-1，且都是()cot()()F z z f z ππ=的

二阶极点，

从而有

1

0,1

()2(

Re ()Re ()Re ())n

c z j

z z j j F z dz i s F z s F z sF z π+∞

===-=-∞≠-=++∑?

,

所以

11

0,1

11()()(1)2n n n n f n f n n n +∞

+∞

+∞

===-∞≠-==+∑∑∑ 011cot()cot()11lim lim 2z z z z d z d z z z dz dz ππππ→→-?+????

???????+??????=-+??????

1=.

（四）柯西留数定理的推广应用

这里有必要对推广的柯西留数定理稍作陈述,其定义如下:

推广的留数定理[]7 设()f z 在D 内解析,在D 上有极点12,,,n z z z (其中有些可能在Γ上),此外,在D 上()f z 除去Γ上有限个点处有奇异性外,处处连续,则

1

1

()()Re ()2n

k k k f d a z sf z i ξξπΓ==∑?. 上述推广的留数定理,相较于原有的只是将条件稍加放宽了,在计算一些复杂的积分时,可以发挥很好的效果,对此,还要结合一下定理,这样会使计算更加便捷.

定理1[]8 假设:

（1）D 为一区域,C D =?是一条或有限条简单闭曲线;{}n a 为D 内一孤立点列,0lim n n a a a D →∞

=∈;()f z 在D 内除去n a (0,1,2,)n = 外解析,在D D C =+上除去

n a (0,1,2,)n = 外为连续;

（2）级数1

Re (,)n n s f a ∞

=∑收敛;

则

()2Re (,)n

n C

f z dz i s f a π∞

==∑?

由上述定理,易证:

定理2[]8 设{}n a 为复平面上一孤立奇点列,0lim n n a a →∞

=;()f z 在扩充复平面上

除去01,,,a a ∞ 外为解析.若级数1

Re (,)n n s f a ∞

=∑收敛,

则

0Re (,),()n

n s f a a

∞

==∞∑

Re (,)Re (,)0n

n s f a s f ∞

=+∞=∑

在应用中特别重要的是下面介绍的两个定理:

定理3[]8 在定理1的条件下，若()f z 在D 内某一收缩于0a 的正常曲线族{}n C 上满足1

max ()(

)n

z C n

f z o d ∈=,其中n d 的意义如前,则: 0Re (,)0s f a =

1

()2Re (,)n

n C

f z dz i s f a π∞

==∑?

定理4[]8 在定理1中条件（1）的假定下,若存在收缩于0a 的正常曲线族{}n C 使

n C 与1n C +围成的区域内仅含有点列{}n a 的一点n a ,并且在n C 上()f z 满足条件

1

max ()()n z C n f z o d ∈=,则有级数1

Re (,)n n s f a ∞

=∑收敛. 上述的每个定理是对区域内仅有一个极限点的点列的情形来表述的.但是,我们很容易把这些结果推广到有若干个极限点的孤立点列的情形.

例1 函数2()k g x x ctgx =（k 为正整数）在以1

()(1)2n i π+±为顶点的正方形曲

线族{}n C 上满足1max ()()n x C n g x o d ∈=,21

Re (,)()k s g n n ππ= (1,2,)n =±± ,利用ctgx 的Laurent 展式可得222Re (,0)(1)(2)!

k k

k B s g k =-,式中n B 为Bernoulli 数.由定理2及

定理3,即得21

12221

21(1)

(2)!k k k k k n B n k π-∞

-==-∑(1,2,)k = . 把定理2和定理3顺次应用于函数2csc k x x -与21sec k x x --（k 为正整数）, 则有

21

221(21)1(1)(1)(2)!k n

k k k

n B n k π-∞

=--=-∑ (1,2,)k = , 1

221

1

1(1)(1)()(21)2(2)!2

n k

k k n E n k π∞

-+=-=-+∑ (1,2,)k = , 其中n E 为Euler 数.

结束语

本文主要介绍了柯西留数定理的应用,当一些广义积分无法运用正常的求解方式解答时,柯西留数定理就是一个有效便捷的途径.值得一提的是,柯西留数定理在级数求和中的应用,使得级数求和又有了一个简便的方法.在一些广义积分中,有些问题给出的数学对象所具有的求解因素并不明显外露,我们可以借助一定的方法构造辅助线,从而为问题的解法寻找简捷的途径.通常情况下,在利用柯西留数定理计算实积分时,一般总是针对那些原函数不易求出的;在计算级数求和中,先求出极点,进而利用相关的公式和定理去求解;而在其它学科中的应用,同样要结合数学中的相关知识将其转化并解答.利用柯西留数定理可以巧妙灵活地解答一些特殊实积分问题,使解题更为方便简洁.总之,应用柯西留数定理时,要结合其它的一些方法,如导数、极限、不等式及定积分等,其应用之广,技巧性之灵活,需要我们好好理解掌握.

参考文献：

[1]王信松,张节松.复变函数[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2011.

[2]钟玉泉.复变函数论[M].第三版.北京:高等教育出版社,2004.

[3]陆生琪.留数理论及其应用[J].三江学院,2009,(33):947-949.

[4]邓志颖,潘建辉.留数定理在积分计算和级数求和中的应用[J].专家论坛,2011,8:437- 438.

[5]林金火.留数定理在广义积分中的应用[J].九江职业技术学院学报,2007,1:84-85.

[6]林金楠.基于留数定理的一种级数求和方法[J].高等数学研究,2009,12,(4):110-113.

[7]路见可.推广的留数定理及其应用[J].武汉大学学报(自然科学版),1978,10,1:1-6.

[8]李鸿振.留数定理的推广及应用[J].河北大学学报,1988,(4):7-10.

致谢

时光荏苒,大学四年的生活即将结束,完成论文成了最后一题“作业”,为了检验自己四年所学,为了给大学生活划上一个完美句号,为了一个新的开始,我积极、认真地完成论文.本文的完成离不开数学科学学院张杰老师的热情指导,同时数学科学学院机房的硬件设施和学校图书管电子资源,为课题的研究工作提供了良好的条件,另外,本课题的部分工作还得益于同窗挚友的共同研讨,在此,对他们一并表示感谢.

中值定理证明

中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

留数定理在定积分计算中的应用论(参考模板)

留数定理在定积分计算中的应用 引言 在微积分或数学分析中，不少积分( 包括普通定积分与反常积分) 的计算用微积分教材里的知识很难解决或几乎是无能为力． 如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论解决这类问题，会达到化难为易、化繁为简的效果．本文主要利用复变函数中的留数定理，将实积分转换为复积分的方法，讨论了几类定积分的计算，首先我们来给出留数的定义及留数定理． 1留数定义及留数定理 1.1 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R

证明:以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ?=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，利用复周线的柯西定理得 ()()1k n k C f z dz f z dz =Γ=∑??， 由留数的定义，有 ()()2Re k k z a f z dz i s f z π=Γ=?． 特别地，由定义得 ()2Re k k z a f z dz i s π=Γ=?， 代入（1）式得 ()()1 2Re k n z a k C f z dz i s f z π===∑?． 2．留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分． 2.1形如 ()20 cos ,sin f x x dx π ?型的积分 ()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，且在[]0,2π上连续，解决此类积分要注意两点，一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。满足这两点之后，我们可以设ix z e =，则dz izdx =， 21sin 22ix ix e e z x i iz ---==，21 cos 22ix ix e e z x z -++== 得 ()22210 11cos ,sin ,22z z z dz f x x dx f z iz iz π =??--= ????? ()1 2Re k n z z k i s f z π===∑．

柯西中值定理

§2 柯西中值定理和不等式极限 一柯西中值定理 定理(6.5) 设、满足 (i) 在区间上连续， (ii) 在内可导 (iii) 不同时为零; (iv) 则至少存在一点使得 柯西中值定理的几何意义 曲线由参数方程 给出，除端点外处处有不垂直于轴的切线， 则上存在一点 P处的切线平行于割线.。 注意曲线 AB在点处的切线的斜率为

， 而弦的斜率为 . 受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下： 由于， 类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数 容易验证满足罗尔定理的条件且 根据罗尔定理，至少有一点使得，即

由此得 注2：在柯西中值定理中，取，则公式（3）可写成 这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令，则 . 这恰恰是罗尔定理. 注3:设在区间I上连续，则在区间I上为常数，. 三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性 1、利用其几何意义 要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。 可以用这种几何解释进行思考解题： 例1：设在（a ，b）可导，且在 [a，b] 上严格递增，若，则对一切 有。 证明：记A（），，对任意的x，记C（），作弦线AB，BC，应用拉格 朗日中值定理，使得分别等于AC，BC弦的斜率，但因严格递增，所以

＜，从而 ＜ 注意到，移项即得＜， 2、利用其有限增量公式 要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式 进行思考解题： 例2：设上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在使得 证：上式左端 作辅助函数 则上式 =， =

，其中 3、作为函数的变形 要点：若在[a，b]上连续，（a，b）内可微，则在[a，b]上 （介于与 之间） 此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。 例3 设在上可导，，并设有实数A＞0，使得 ≤在上 成立，试证 证明：在[0，]上连续，故存在] 使得 ==M 于是 M=≤A≤≤ 。 故 M=0，在[0，] 上恒为0。用数学归纳法，可证在一切[]（ i=1,2,…）上恒有 =0, 所以=0, 。

使用留数定理计算实积分

用留数定理计算实积分 一：教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法 重点：用留数定理计算实积分的方法 难点：定理的应用 二：教学目标或要求： 真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：5－7 用留数定理计算实积分 留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分. 如，在研究阻尼振动时 计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分. 在热学中将遇到积分(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来. 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区 间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样

左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具体 介绍几个类型的实变定积分. 一 计算? π20 d )sin ,(cos R θ θθ型积分 令θi e =z ，则θc o s 与θsin 均可用复变量z 表示出来，从而实现将 )sin ,(cos R θθ变形为复变量z 的函数的愿望，此时有 z z z z i 21sin ,21cos 2 2 -= += θθ 同时，由于θi e =z ，所以1=z ，且当θ由0变到π2时，z 恰好在圆周1:=z c 上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。 至此，有 ?? =?-+=1 2 2π20 d i 1 )i 21,21(R d )sin ,(cos R z z z z z z z θθθ 于是，计算积分? π20 d )sin ,(cos R θ θθ的方法找到了，只需令θi e =z 即可。 例 求。 解 当 时， ；当 时，令 ， 当 时，在 内， 仅以 为一级极点， 在 上无奇点，故由留数定理

复变函数的积分 柯西定理

第三章 复变函数的积分 §3-1复变函数的积分 【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】 复变函数积分的定义： 设C 为复平面上以0z 为起点，而以z %为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=%L 把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -] 上任取一点k ξ作和数： ()()()11 1 n n n k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=?∑∑, 其中1k k k z z z -?=- 如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -?=-）趋于零时， 和式()1 n k k k f z ξ=?∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿 路径C 由0z 到z %的积分: ()()1 lim lim n n k k C n n k f z dz S f z ξ→∞ →∞ ===?∑? ， C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。 若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()C f z dz ?? . (围道积分) 几点说明： 1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。)

2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是 ()()()(),,C C f z dz u x y iv x y dx idy =++?????? ()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ????=-++???? ??， 所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。 3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质： （1）0C dz z z =-?%，z %、0z 分别为C 之起点、终点。 （2）()()()()11221122C C C a f z a f z dz a f z dz a f z dz ±=±???????，1a 、2a 为复常数。 （3）()()()1 2 C C C f z dz f z dz f z dz =+???, 其中积分路径C 由路径1C 、2C 连接 而成。 （4）()()C C f z dz f z dz - =-??, C - 表示与C 方向相反的同一条曲线。 4．围道积分的环绕方向： 若积分路径C 的两端点重合（即C 为自身不相交的封闭曲线），则计算积分()C f z dz ??时必须先规定积分路径的环绕方向（因为：()()C C f z dz f z dz - =-??蜒 ）。 以后凡遇围道积分，如 不加特别说明，都假定积分路径的环绕方向为沿逆时钟方向。 ( C 为逆时钟方向，C - 代表顺时钟方向)

柯西中值定理的证明及应用

柯西中值定理的证明及应用 马玉莲 （西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070） 摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式. 关键词：柯西中值定理; 证明; 应用

1.引言 微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下： 柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足 (1) 在[,]a b 上都连续; (2) 在(,)a b 内都可导; (3) '()f x 和'()g x 不同时为零; (4) ()()g a g b ≠, 则存在(,)a b ξ∈，使得 ()()() ()()() f f b f a g g b g a ξξ''-=- . （1） 本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用. 2.柯西中值定理的证明 2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理 罗尔定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，且 ()()f a f b =则至少存在一点,(,)a b ξ∈ , 使得 因为()0g ξ'≠（若()g ξ'为0则()f ξ'同时为0, 不符条件）故可将（2）式改写为(1)式. 便得所证.

用留数定理计算实积分的再讨论分析

毕业论文 （2014届） 题目用留数定理计算实积分的再讨论 学院数计学院 专业数学与应用数学（师范） 年级2010级(2)班 学生学号12010244185 学生姓名刘艳 指导教师汪文帅 2014年5月8日 用留数定理计算实积分的再讨论

数学计算机学院数学与应用数学师范专业2014届刘艳 摘要:正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质并且在计算实积分的过程中构造容易求解的积分路径,然而大量教材或者相关文献长期或者有意无意的按照既定思维对某些实积分计算问题选择基本固定不变的积分路径进行求解,在一定程度上给学生造成思维定势. 本文用例证的方法讨论了用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选择方法,从不同的角度体现了求解过程中选择积分路径的核心思想.这为进一步开拓思维,更为深刻理解留数定理有积极的意义. 关键词:留数定理;实积分;积分曲线 中图分类号:O174 Further discussion of Calculation on real integral by the residue theorem Abstract: The correct use of the residue theorem to calculate real integration means to understand its essence and to construct easy-solved integral path, but a lot of materials or the relevant studies always select the same integral path to solve the similar problem, which give the students wrong understanding when most teachers did not pay attention to the ideological inspiration in teaching. T o some extent, this limits students’ thinking. In this paper, the selection method of integral curve is given with examples in view of the different integral path and the core idea of the residue theorem is shown in calculating process, which has a positive significance for further development of thinking and more understanding of the residue theorem. Key words: real integral；residue theorem；integral curve

应用留数定理计算实变函数定积分

应用留数定理计算物理学中实变函数定积分 1问题 在物理学中，研究阻尼振动时计算积分 sin x dx x ∞ ? ，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞?， 在热学中遇到积分 cos (0,ax e bxdx b a ∞ ->? 为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不 可能。而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数 定积分跟复变函数回路积分联系起来。 2应用留数定理求解实变函数定积分的类型 将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则 1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有 1 2 ()()()l l l f z dz f x dx f z dz =+? ??； 3） ()l f z dz ? 可以应用留数定理，1 ()l f x dx ?就是所求的定积分。如果2 ()l f z dz ?较易求出（往往是 证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了. 类型一 20 (cos ,sin )R x x dx π ? .被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π]. 求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从 0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理. 可以设ix z e =,则dz izdx =∴dz dx iz = 而1 1cos ()22ix ix e e x z z --+= =+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z k z z z z dz I R i Resf z i iz π--=+-==∑? 类型二 -()f x dx ∞ ∞ ? .积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限 个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0. 求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ?ψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至 图1

中值定理证明

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

第六章留数理论及其应用 §1.留数1.（定理柯西留数定理）： 2.（定理）：设a为f(z)的m阶极点， 其中在点a解析，，则 3.（推论）：设a为f(z)的一阶极点， 则 4.（推论）：设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数：

即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.（定理）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。 8.计算留数的另一公式： §2.用留数定理计算实积分 一.→引入 注：注意偶函数 二.型积分 1.（引理大弧引理）：上 则 2.（定理）设

为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 注：可记为 三.型积分 3.（引理若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周 上连续，且 在上一致成立。则 4.（定理）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：（1）Q的次数比P高； （2）Q无实数解； （3）m>0 则有 特别的，上式可拆分成：

及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理小弧引理）： 于上一致成立，则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数： 2.（引理）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且 （2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且 3.（定理对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在C的内部是亚纯的；

复变函数的积分柯西定理

第三章 复变函数的积分 第一节 复变函数积分的概念 教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变 函数积分的基本性质、柯西积分定理. 教学要求：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线 上的积分 2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定 积分的概念 教学过程： 一、复变函数的积分的定义 定义3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中 ),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点 B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中 ),...,2,1,0(n k y x z k k k =+=

在每个狐段上任取一点k k k ηξ?+=，作和式 ))((11 -=-∑k n k k k z z f ? （1） 令|}{|max 11-≤≤-=k k n k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξ?+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作 =? C z z f d )())((lim 11 -=→-∑k n k k k z z f ?λ 当)(z f 沿曲线C 的负方向（从B 到A ）积分，记作?- C z z f d )( 当)(z f 沿闭曲线C 的积分，记作()dz z f C ? 定理3.1 若),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且 ,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f C C C ++-= ?? ? （2） 证明： ) )((11 -=-∑k n k k k z z f ? )]())][(,(),([11 1k k n k k k k k k k y y i x x iv u -+-+=+=+∑ηξηξ ], ))(,())(,([) )(,())(,(1 1 11 11 1 11 1∑∑∑∑-=+=+-=+=+-+-+---=n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k y y u x x v i y y v x x u ηξηξηξηξ 由),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，可知 ),(),,(y x v y x u 沿光滑简单曲线C 也连续，当0→λ时，有

留数定理与几类积分的计算

留数定理与几类积分的计算 中文摘要 本文主要总结几类可用留数定理计算的积分的特征并给出对应的用留数定理算积分的步骤以及可行性说明。其中类型3是对文献1中给出的结论的推广，类型3中的引理2是笔者对文献1的一道习题的推广并给出了证明。接着笔者补充了参考文献2中多值函数积分部分4个引理的证明并给出相应的应用例子，类型7笔者根据个人理解将分成瑕积分和黎曼积分两类给出计算方法。 关键词：留数定理，积分计算，单值函数，多值函数 …… 正文 （一）单值函数 类型1：形如20(sint,cost)dt I R π =?的实积分，其中(x,y)R 是有理函数，并且在圆 周22{(x,y):x y 1}+=上分母不为零。 解决技巧：令it z e =，将实积分转化为单位圆周上的复积分。 由sin ,cost ,22 it it it it it e e e e t dz ie dt i ---+= ==可得： 22221 111111 (,)2Re ((,),z )22222n k C k z z z z I R dz i s R iz z iz iz z i =-+-+==π∑?① 其中，12,,...,n z z z 是22111 (,)22z z R iz z zi -+在单位圆周的所有孤立奇点，22111 (,)22z z R iz z zi -+在单位闭圆盘除去12,,...,n z z z 外的其他点都解析。 例子： 类型2：形如(x)dx I R +∞ -∞ =? 的实反常积分，其中(x)R 是有理函数，在实轴上分 母不为零，并且分母的次数至少比分子次数高2。计算公式为 1 2Re (R(z),z )n k k I i s ==π∑（其中12,,...,n z z z 为R(z)在上半平面的所有孤立奇点，R(z ） 在上半平面除去这些点外的其他点解析）

留数定理及应用

留数及其应用 摘 要 数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内各孤立 奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可 以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用． 关键词 留数定理；留数计算；应用 引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法． 一. 预备知识 孤立奇点 1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点 则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域内解析，但在点a 不解析， 则称a 为f 的孤立奇点.例如sin z z ，1 z e 以0=z 为孤立奇点. z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点. 11sin z 以0=z 为奇点（又由1sin 0=z ，得1(1, 2...,)π ==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有

柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用

（ 2012 届） 本科毕业论文（设计） 题目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用 学院：教师教育学院 专业：数学与应用数学（师范） 班级：数学082 学号： 姓名： 指导教师： 完成日期： 教务处制

诚信声明 我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得＿＿＿＿＿＿或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信。 论文(设计)作者签名：签名日期：年月日

授权声明 学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置。 论文(设计)作者签名：签名日期：年月日

柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用 王莉莉 （嘉兴学院数学与信息工程学院） 摘要:复变函数是综合性大学或师院类院校理工专业的必修课，是实变函数微积分的推广和发展.其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键.它的核心内容是柯西积分定理,即解析函数沿围线的积分值为零.本文研究了柯西积分定理和柯西积分公式的相关概念、证明、推广及在代数基本定理证明、实积分计算中的应用，论述了柯西积分定理与复变函数的积分有着密切的联系，利用柯西积分定理很容易导出著名的柯西积分公式，还对留数定理作了简要介绍，利用留数定理可以分别得到复变函数中的柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式. 关键词:复变函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理

论文留数定理及其应用

石河子大学 本科毕业论文（设计） 留数定理及其应用 院系师范学院 专业数学与应用数学 姓名向必旭 指导老师曹月波 职称讲师 摘要 留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。 1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。 柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论

及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。 关键字：留数；留数定理；积分 目录 摘要··············································· 1. 引言············································· 2. 留数············································· 2.1 留数的定义及留数定理························ 2.2 留数的求法·································· 2.3 函数在无穷远处的留数························ 3. 用留数定理计算实积分 3.1 计算形如∫f (cos x ,sin x )dx 2π 0的积分············ 3.2 计算形如∫f (x )+∞ ?∞dx 的积分···················· 3.3 计算形如∫P (x ) Q (X )+∞?∞e imx dx 的积分················ 3.4 计算形如∫P (x )Q (x ) +∞?∞ cos mxdx 和∫P (x ) Q (x ) +∞?∞sin mxdx 的积分 3.5 计算积分路径上有奇点的积分···················· 参考文献 1. 引言

留数定理在定积分中的应用

留数定理在定积分中的应用 1． 留数定义及留数定理 1．1 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R

由留数的定义，有 ()()2Re k k z a f z dz i s f z π=Γ=?． 特别地，由定义得 ()2Re k k z a f z dz i s π=Γ=?， 代入（1）式得 ()()1 2Re k n z a k C f z dz i s f z π===∑?． 2．留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分． 2．1 形如 ()20 cos ,sin f x x dx π ?型的积分 这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设ix z e =，则dz izdx =， 21sin 22ix ix e e z x i iz ---==，21cos 22ix ix e e z x z -++== 得 ()222 10 11cos ,sin ,22z z z dz f x x dx f z iz iz π =??--= ???? ?

留数定理及其在积分中的运用

江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 留数定理及其在积分中的运用 （Residue theorem and the use in the Calculus） 姓名：刘燕 学号： 0507010122 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：易才凤（教授） 完成时间：2009年*月*日

留数定理及其在积分中的应用 【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算 方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容--留数定理，并得到留数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问题. 【关键词】解析孤立奇点留数留数定理

Residue theorem and the use in the Calculus 【Abstract】This paper, we first introduce the prior knowledge of complex function Calculus，and introduce the method of calculating the residue, etc.On this basis,We described and proved the main contents of this article--the Residue theorem,and the promotion of the Residue theorem . This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems. 【Key words】Analysis Isolated singular point Residue Residue theorem

论文留数定理及其应用

论文留数定理及其应用 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

石河子大学 本科毕业论文（设计） 留数定理及其应用 院系师范学院 专业数学与应用数学 姓名向必旭 指导老师曹月波 职称讲师 摘要 留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。 1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。

柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。 关键字：留数；留数定理；积分 目录 摘要··············································· 1.引 言············································· 2.留 数············································· 2.1留数的定义及留数定 理························ 2.2留数的求 法···························· ······ 2.3函数在无穷远处的留

留数定理及应用

留数定理及应用

留数及其应用 摘 要 数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内 各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数， 因此我们只关心该奇点处罗朗 留数理论是复积分和复级数 理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用． 关键词 留数定理；留数计算；应用 引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法． 一. 预备知识 孤立奇点 1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点 则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域内解析，但在点a 不解析， 则称a 为f 的孤立奇点.例如sin z z ，1 z e 以0=z 为孤立奇点. z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.

11sin z 以0=z 为奇点（又由1sin 0=z ，得1(1, 2...,)π ==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1 ()()() ， ∞ ∞ -===+-∑∑-n n n n n n f z c z a c z a 称()n=1 ∞ -∑-n n c z a 为()f z 在点a 的主要部分，称 () ∞ =-∑n n n z a c 为()f z 在点a 的正则部分， 当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点； 当主要部分为有限项时，设为 (1)11 (0)()()------+++≠---L m m m m m c c c c z a z a z a 称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点. 二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域 0z a R